2020届四川省资阳市高三第二次诊断考试 数学(理)Word版含答案
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2020届四川省资阳市高三第二次诊断考试
数学(理工类)
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上时应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x|x 2－3x －10≤0}，B ＝{x|x ＝2n ，n ∈N}，则A ∩B ＝
A.{－1，1，2}
B.{1，2}
C.{1，2，4}
D.{0，1，2，4}
2.已知i 为虚数单位，复数z ＝(1＋i)(2＋i)，则其共扼复数z =
A.1＋3i
B.1－3i
C.－1＋3i
D.－1－3i
3.在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P(44sin ,cos 33
ππ)，则cos(π＋α)＝
B.12
C.12
- D.
4.已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，且|OA||OB|(O 为坐标原点)，则该椭圆的离心率为
B.3
C.2
D.3
5.函数2
()1
x x f x e =-的图象大致是
6.执行如图所示的程序框图，若输入x 的值分别为－2，19
，输出y 的值分别为a ，b ，则a ＋b ＝
A.－4
B.－2
C.74-
D.14
7.如图，已知△ABC 中，D 为AB 的中点，13AE AC =
，若DE AB BC λμ=+，则λ＋µ＝
A.56-
B.16-
C.16
D.56
8.圆x 2＋y 2＋2x －2y －2＝0上到直线l ：x ＋y ＝0的距离为l 的点共有
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
9.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统。
分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义。
如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于－种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形。
若在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为 A.928 B.1928 C.2764 D.3764
10.关于函数()3sin(2)1()3f x x x R π=-
+∈，有下述四个结论：①若f(x 1)＝f(x 2)＝1，则x 1－x 2＝k π(k ∈Z)；②y ＝f(x)的图象关于点(2,13π)对称；③函数y ＝f(x)在(0,2π)上单调递增；④y ＝f(x)的图象向右平移12π个单位长度后所得图象关于y 轴对称。
其中所有正确结论的编号是
A.①②④
B.①②
C.③④
D.②④
11.四面体P －ABC 的四个顶点坐标为P(0，0，2)，A(0，0，0)，B(0，0)，C(30)，则该四面体外接球的体积为
A.323
π C.20π 12.已知直线y ＝2x 与曲线f(x)＝ln(ax ＋b)相切，则ab 的最大值为 A.4e B.2
e C.e D.2e 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD(如图)。
若底面圆的弦AB 所对的圆心角为3
π，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为 。
14.某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球球单打决赛。
假设甲每局获胜的概率为23
，则由此估计甲获得冠军的概率为 。
15.已知函数f(x)＝e |x|＋x 2－e ，则满足不等式f(m －2)≤1的m 取值范围是 。
16.某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售。
现有8辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次，乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次，甲型车每天费用320元，乙型车每天费用504元。
若需要一天内把180吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆，运送这批水果的费用最少为 元。
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生依据要求作答。
(－)必考题：共60分。
17.(本小题满分12分)
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，首项为a 1，且4，a n ，S n 成等差数列。
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若a n 2＝2n b
，求数列{b n }的前n 项和T n 。
18.(本小题满分12分)
在△ABC 中，角A ，B ，C 所又寸的边分a ，b ，c ，且1cos 2
a C c
b +
=。
(1)求角A 的大小；
(2)若a
b ＋
c 的最大值。
19.(本小题满分12分) 已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关。
现收集了一只该品种昆虫的产卵数y(个)和温度x(℃)的7组观测数据，其散点图如下所示：
根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数y 和温度x 可用方程y ＝e bx ＋
a 来拟合，令z ＝lny ，结合样本数据可知z 与温度x 可用线性回归方程来拟合。
根据收集到的数据，计算得到如下值：
表中7
1
1ln ,7i i i i z y z z ===∑。
(1)求z 和温度x 的回归方程(回归系数结果精确到0.001)；
(2)求产卵数y 关于温度x 的回归方程；若该地区一段时间内的气温在26℃～36℃之间(包括26℃与36℃)，估计该品种一只昆虫的产卵数的范围。
(参考数据：e 3.282≈27，e 3.792≈44，e 5.832≈341，e 6.087≈440，e 6.342≈568。
)
附：对于一组数据(ω1，v 1)，(ω2，v 2)，…，(ωn ，v n )，其回归直线ˆˆˆv
αβω=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为12
1()()ˆˆˆ,()n
i i
i n i
i v v a v ωωββωωω==--==--∑∑。
20.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ，E 为线段PB 的中点，若F 为线段BC 上的动点(不含B)。
(1)平面AEF与平面PBC是否互相垂直?如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
(2)求二面角B－AF－E的余弦值的取值范围。
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝xe x－alnx－ax＋a－e。
(1)若f(x)为单调函数，求a的取值范围；
(2)若函数f(x)仅一个零点，求a的取值范围。
(二)选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22.[选修4－4，坐标系与参数方程](本小题满分10分)
已知曲线C的参数方程为
2cos
sin
x
y
α
α
=
⎧
⎨
=
⎩
，(α为参数)，以平面直角坐标系的原点O为极点，x的正半轴为极
轴建立极坐标系。
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)P，Q是曲线C上两点，若OP⊥OQ，求
22
22
OP OQ
OP OQ
⋅
+
的值。
23.[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分) 已知正实数a，b满足a＋b＝3。
(1)最大值；
(2)若不等式|x＋2m|－|x－1|≤14
a b
+对任意x∈R恒成立，求m的取值范围。
四川省资阳市2019-2020学年高考二诊数学试题含解析
四川省资阳市2019-2020学年高考二诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数2()(2)g x f x x =+为奇函数，且(2)3f =，则(2)f -=（ ） A ．2 B ．5 C ．1 D ．3【答案】B 【解析】 【分析】由函数2()(2)g x f x x =+为奇函数,则有(1)(1)0(2)1(2)10g g f f -+=⇒-+++=,代入已知即可求得.【详解】(1)(1)0(2)1(2)10(2)5g g f f f -+=⇒-+++=⇒-=-.故选:B . 【点睛】本题考查奇偶性在抽象函数中的应用,考查学生分析问题的能力,难度较易.2．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点(2,1)P -在角α的终边上，则sin 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．45-B ．45C ．35-D ．35【答案】D 【解析】 【分析】由题知cos α=，又2sin 2cos 22cos 12πααα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，代入计算可得.【详解】由题知cos α=，又23sin 2cos 22cos 125πααα⎛⎫-==-= ⎪⎝⎭.故选：D 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用求值.3．如图，在ABC V 中，,(,),2AD AB BD xAB yAC x y R AD ⊥=+∈=u u u v u u u v u u u v u u u v ，且12AC AD ⋅=u u u v u u u v，则2x y +=（ ）A ．1B ．23-C ．13-D ．34-【答案】C 【解析】 【分析】由题可0,12AD AB AC AD ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以将已知式子中的向量用AD AB AC u u u r u u u r u u u r ，，表示，可得到的,x y 关系，再由,,B D C 三点共线，又得到一个关于,x y 的关系，从而可求得答案 【详解】由BD xAB yAC =+u u u v u u u v r r u u u v ，则(1),[(](1)AD x AB y AC AD AD AD x AB y AC x AD AB y AD AC =++⋅=⋅++=+⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，即412y =，所以13y =，又,,B D C 共线，则1111,,233x y x x y ++==-+=-. 故选：C 【点睛】此题考查的是平面向量基本定理的有关知识，结合图形寻找各向量间的关系，属于中档题. 4．已知函数()ln f x x =，若2()()3F x f x kx =-有2个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A ．21,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,06e ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．210,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】令2()()30F x f x kx =-=，可得2ln 3x k x =，要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和2ln ()3xg x x=有两个交点，结合已知，即可求得答案. 【详解】令2()()30F x f x kx =-=， 可得2ln 3xk x =， 要使得()0F x =有两个实数解，即y k =和2ln ()3xg x x =有两个交点， Q 312ln ()3xg x x -'=， 令12ln 0x -=，可得x =∴当x ∈时，()0g x '>，函数()g x 在上单调递增；当)x ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 在)+∞上单调递减.∴当x =max 1()6eg x =， ∴若直线y k =和2ln ()3x g x x =有两个交点，则10,6e k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. ∴实数k 的取值范围是10,6e ⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题主要考查了根据零点求参数范围，解题关键是掌握根据零点个数求参数的解法和根据导数求单调性的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.5．已知集合{2,3,4}A =，集合{},2B m m =+，若{2}A B =I ，则m =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据2m =或22m +=，验证交集后求得m 的值. 【详解】因为{2}A B =I ，所以2m =或22m +=.当2m =时，{2,4}A B =I ，不符合题意，当22m +=时，0m =.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题.6．已知角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则cos2α等于（ ）A ．19B ．79-C ．23-D ．13【答案】B 【解析】 【分析】先由三角函数的定义求出sin α，再由二倍角公式可求cos2α. 【详解】解：角α的终边与单位圆221x y +=交于点01,3P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭1cos 3α=，2217cos 22cos 12139αα⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：B 【点睛】考查三角函数的定义和二倍角公式，是基础题.7．已知锐角α满足2sin 21cos2 ,αα=-则tan α=（ ） A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C 【解析】 【分析】利用sin 22sin cos ,ααα=2cos 212sin αα=-代入计算即可. 【详解】由已知，24sin cos 2sin ααα=，因α为锐角，所以sin 0α≠，2cos sin αα=， 即tan α=2. 故选：C. 【点睛】本题考查二倍角的正弦、余弦公式的应用，考查学生的运算能力，是一道基础题.8．已知点(3,0),(0,3)A B -，若点P 在曲线y =PAB △面积的最小值为（ ）A ．6B ．3C ．92D ．92+【答案】B 【解析】 【分析】求得直线AB 的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得P 位于(1,0)-，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值. 【详解】解：曲线y =O 为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图， 直线AB 的方程为30x y -+=，可得||32AB =，由圆与直线的位置关系知P 在(1,0)-时，P 到直线AB 距离最短，即为|103|22--+=， 则PAB △的面积的最小值为132232⨯⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得．9．已知等比数列{}n a 满足21a =，616a =，等差数列{}n b 中54b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，则9S =（ ） A ．36 B ．72C ．36-D ．36±【答案】A 【解析】 【分析】根据4a 是2a 与6a 的等比中项，可求得4a ，再利用等差数列求和公式即可得到9S . 【详解】等比数列{}n a 满足21a =，616a =，所以4264a a a =±⋅=±，又2420a a q =⋅>，所以44a =，由等差数列的性质可得9549936S b a ===. 故选：A 【点睛】本题主要考查的是等比数列的性质，考查等差数列的求和公式，考查学生的计算能力，是中档题. 10．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：因为，所以，即，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，即，所以数列的通项公式是，故选D ．考点：数列的通项公式． 11．若，则（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可. 【详解】 因为，由诱导公式得，所以.故选B 【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.12．设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆C ：2212x y +=交于不同的两点P ，Q ，若原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，则直线l 的斜率k 的取值范围为（ ） A ．65,⎛ ⎝⎭B ．665,5⎛- ⎝⎭⎝U C ．65⎝D ．665,5⎛- ⎝⎭⎝U【答案】D 【解析】 【分析】设直线l ：2y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由原点O 在以PQ 为直径的圆的外部，可得0OP OQ ⋅>u u u r u u u r，联立直线l 与椭圆C 方程，结合韦达定理，即可求得答案. 【详解】显然直线0x =不满足条件，故可设直线l ：2y kx =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，由22122x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2212860k x kx +++=，Q ()226424120k k ∆=-+>，∴解得k >或k <，∴122812k x x k +=-+，122612x x k =+， Q 02POQ π<∠<，∴0OP OQ ⋅>u u u r u u u r，∴()()1212121222OP OQ x x y y x x kx kx ⋅=+=+++u u u r u u u r()()21212124kx x k x x =++++()222222611610240121212k k k k k k+-=-+=>+++， ∴解得k <<∴直线l 的斜率k的取值范围为22k ⎛⎫⎛∈- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝U . 故选：D. 【点睛】本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考全国卷Ⅱ数学(理)试卷及答案详解,
2020年高考全国卷Ⅱ数学（理）试卷一、选择1. 已知集合U={−2,−1,0,1,2,3},A={−1,0,1},B={1,2}，则∁U(A∪B)= ( )A. {−2,3}B. {−2,2,3}C. {−2,−1,0,3}D. {−2,−1,0,2,3}2. 若α为第四象限角，则( )A.cos2α>0B.cos2α<0C.sin2α>0D. sin2α<03. 在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天新订单是1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )A.10名B.18名C.24名D.32名4. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块5. 若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为( )A.√55B. 2√55C.3√55D.4√556. 数列{a n}中，a1=2，a m+n=a m a n.若a k+1+a k+2+⋯+a k+10=215−25，则k= ()A.2B.3C.4D.57. 如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为( )A.EB.FC.GD.H8. 设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点.若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为() A.4 B.8 C.16 D.329. 设函数f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|，则f(x)( )A.是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B.是奇函数，且在(−12,12)单调递减C.是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D.是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减10. 已知△ABC是面积为9√34的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为()A.√3B.32C.1 D.√3211. 若2x−2y<3−x−3−y，则( )A. ln(y−x+1)>0B.ln(y−x+1)<0C.ln|x−y|>0D.ln|x−y|<012. 0−1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a 1a 2⋯a n ⋯满足a i ∈{0,1}(i =1,2,⋯)，且存在正整数m ，使得a i+m =a i (i =1, 2, ⋯)成立，则称其为0−1周期序列，并称满足a i+m =a i (i =1, 2, ⋯)的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0−1序列a 1a 2⋯a n ⋯,C (k )=1m∑a i m i=1a i+k (k =1, 2, ⋯, m −1)是描述其性质的重要指标.下列周期为5的0−1序列中，满足C (k )≤15(k =1,2,3,4)的序列是( ) A.11010⋯ B.11011⋯ C.10001⋯ D.11001⋯二、填空题已知单位向量a →，b →的夹角为45∘，ka →−b →与a →垂直，则k =________.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名学生，则不同的安排方法有________种．设复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=2，z 1+z 2=√3+i ，则|z 1−z 2|=________.设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l . 则下列命题中所有真命题的序号是________.①p 1∧p 4 ；②p 1∧p 2 ；③¬p 2∨p 3 ； ④¬p 3∨¬p 4. 三、解答题△ABC 中， sin 2A −sin 2B −sin 2C =sin B sin C . (1)求A ；(2)若BC =3，求△ABC 周长的最大值．某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ,y i )(i =1,2,⋯,20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得∑x i 20i=1=60 ，∑y i 20i=1=1200， ∑(x i −x ¯)220i=1=80， ∑(y i −y ¯)220i=1=9000，∑(x i −x ¯)20i=1(y i −y ¯)=800.(1)求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；(2)求样本(x i,y i)(i=1,2,⋯,20)的相关系数（精确到0.01）；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数：r=∑(x−x¯)n(y−y¯)√∑(xi−x)2ni=1∑(y i−y)2ni=1√2≈1.414.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合.C1的中心与C2的顶点重合，过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=43|AB|.(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.如图已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．(1)证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥面EB1C1F.(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO//面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．已知函数f(x)=sin2x sin2x.(1)讨论f(x)在(0,π)上的单调性；(2)证明：|f(x)|≤3√38；(3)证明：sin2x sin22x sin24x⋯sin22n x≤3n4n.已知曲线C1,C2的参数方程分别为C1：{x=4cos2θ，y=4sin2θ(θ为参数)，C2：{x=t+1t，y=t−1t(t为参数).(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.已知函数f(x)=|x−a2|+|x−2a+1|.(1)当a=2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范围.参考答案与试题解析2020年高考全国卷Ⅱ数学（理）试卷一、选择1.【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可知A∪B={−1,0,1,2}，故∁U(A∪B)={−2,3}.故选A.2.【答案】D【考点】任意角的三角函数【解析】此题暂无解析【解答】解：∵α为第四象限角，∴−π+2kπ<α<2kπ，2∴−π+4kπ<2α<4kπ，∴2α是第三或第四象限角，∴当2α在第三象限时，cos2α<0，当2α在第四象限时，cos2α>0，故A，B错误；无论2α在第三还是在第四象限，都有sin2α<0.故选D.3.【答案】B【考点】生活中概率应用【解析】此题暂无解析【解答】解：因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为：1600+500−1200=18名.50故选B.4.【答案】C【考点】等差数列的前n项和等差数列的性质等差数列【解析】此题暂无解析【解答】解：设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差d=9，a1=9.由等差数列性质知S n，S2n−S n，S3n−S2n成等差数列，且(S3n−S2n)−(S2n−S n)=n2d，则9n2=729，解得n=9，则三层共有扇形面石板为S3n=S27=27a1+27×262×9=3402块. 故选C.5.【答案】B【考点】点与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：设圆心为(a,a)，则半径为a，圆过点(2,1)，则(a−2)2+(a−1)2=a2，解得a=1或a=5，所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心(1,1)到直线的距离是d=5=2√55，圆心(5,5)到直线的距离是d=√5=2√55.故选B.6.【答案】C【考点】等比数列的前n项和等比关系的确定【解析】此题暂无解析【解答】解：a m+n=a m a n，取m=1，则a1+n=a1a n. 又a1=2，所以a n+1a n=2，所以{a n}是首项，公比均为2等比数列，则a n=2n，所以a k+1+a k+2+⋯+a k+10=2k+1(1−210)1−2=2k+1⋅210−2k+1=215−25，解得k=4.故选C.7.【答案】A【考点】由三视图还原实物图【解析】此题暂无解析【解答】解：该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然所求点对应的为E点.故选A.8.【答案】B【考点】直线与双曲线结合的最值问题双曲线的渐近线【解析】此题暂无解析【解答】解：双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为y=±bax，则容易得到|DE|=2b，则S△ODE=ab=8. 又因为c2=a2+b2≥2ab=16，即c≥4，焦距2c≥8.故选B.9.【答案】D【考点】函数奇偶性的判断复合函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：函数f(−x)=ln|−2x+1|−ln|−2x−1|=ln|1−2x|−ln|2x+1|=−f(x)，∴f(x)为奇函数.当x∈(12，+∞)时，f(x)=ln(2x+1)−ln(2x−1)=ln2x+12x−1=ln(1+22x−1)，单调递减；当x∈(−12,12)时，f(x)=ln(2x+1)−ln(1−2x)，单调递增；当x∈(−∞,−12)时，f(x)=ln(−2x−1)−ln(1−2x)=ln2x+12x−1=ln(1+22x−1)，单调递减.故选D.10.【答案】C【考点】三角形的面积公式三角形五心球的体积和表面积【解析】此题暂无解析【解答】解：设ABC的外接圆圆心为O1，记OO1=d，圆O1的半径为r，球O半径为R，等边三角形△ABC的边长为a，则S△ABC=√34a2=9√34，可得a=3，所以r=√3=√3.由题知球O的表面积为16π，则R=2，由R2=r2+d2，易得d=1，即O到平面ABC的距离为1. 故选C.11.【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性函数单调性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：2x−3−x<2y−3−y，设f(x)=2x−3−x，则f′(x)=2x ln2+3−x ln3>0，∴函数f(x)在R上单调递增，∵f(x)<f(y)，所以x<y，则y−x+1>1，∴ln(y−x+1)>0.故选A.12.【答案】C【考点】函数新定义问题数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：对于A选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+0)=15，C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+1+0+1+0)=25>15，不满足，排除；对于B选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+1+1)=35>15，不满足，排除；对于C选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(0+0+0+0+1)=15，C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+0+0+0+0)=0，C(3)=15∑a i5i=1a i+3=15(0+0+0+0+0)=0，C(4)=15∑a i5i=1a i+4=15(1+0+0+0+0)=15，满足；对于D选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+1)=25>0，不满足，排除.故选C．二、填空题【答案】√22向量的数量积判断向量的共线与垂直 平面向量数量积 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ 单位向量a →，b →的夹角为45∘， ∴ a →⋅b →=|a →|⋅|b →|⋅cos 45∘=√22. ∵ ka →−b →与a →垂直， ∴ (ka →−b →)⋅a →=k −√22=0，∴ k =√22. 故答案为：√22.【答案】36【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意可得，不同的安排方法有C 42A 33=36种. 故答案为：36. 【答案】2√3【考点】 复数的模 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题设z 1=a +bi ，则z 2=(√3−a)+(1−b )i ， 故 |z 1|2=a 2+b 2=4， |z 2|2=(√3−a)2+(1−b )2 =a 2+b 2−2√3a −2b +4=4， 则|z 1−z 2|2=(2a −√3)2+(2b −1)2 =4a 2+4b 2−4√3a −4b +4=2(a 2+b 2)+2(a 2+b 2−2√3a −2b)+4 =2×4+4=12， 故|z 1−z 2|=2√3. 故答案为：2√3.①③④【考点】逻辑联结词“或”“且”“非”命题的真假判断与应用空间中直线与平面之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：对于p1：可设l1与l2相交，所得平面为α．若l3与l1相交，则交点A必在α内，同理，与l2交点B在α内，故直线AB在α内，即l3在α内，故p1为真命题．对于p2：过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数多平面，故p2为假命题．对于p3：空间中两条直线的位置关系有相交、平行、异面，若不相交，可能平行，也可能异面，故p3为假命题．对于p4：若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，因为直线l⊂平面α，故m⊥l，故p4为真命题．综上可知：①p1∧p4为真命题；②p1∧p2为假命题，③¬p2∨p3为真命题；④¬p3∨¬p4为真命题．故答案为：①③④ .三、解答题【答案】解：(1)在△ABC中，设内角A,B,C的对边分别为a,b,c，∵sin2A−sin2B−sin2C=sin B sin C，由正弦定理得，a2−b2−c2=bc，即b2+c2−a2=−bc，由余弦定理得，cos A=b2+c2−a22bc =−12.∵0<A<π，∴A=2π3.(2)由(1)知A=2π3，因为BC=3，即a=3，由余弦定理得，a2=b2+c2−2bc cos A，∴9=b2+c2+bc=(b+c)2−bc.由基本不等式√bc≤b+c2知bc≤(b+c)24，结合上式得9=(b+c)2−bc≥34(b+c)2, (b+c)2≤12，∴b+c≤2√3，当且仅当b=c=√3时取等号，∴△ABC周长的最大值为3+2√3.【考点】基本不等式在最值问题中的应用正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)在△ABC中，设内角A,B,C的对边分别为a,b,c，∵sin2A−sin2B−sin2C=sin B sin C，由正弦定理得，a2−b2−c2=bc，即b2+c2−a2=−bc，由余弦定理得，cos A=b2+c2−a22bc =−12.∵0<A<π，∴A=2π3.(2)由(1)知A=2π3，因为BC=3，即a=3，由余弦定理得，a2=b2+c2−2bc cos A，∴9=b2+c2+bc=(b+c)2−bc.由基本不等式√bc≤b+c2知bc≤(b+c)24，结合上式得9=(b+c)2−bc≥34(b+c)2,(b+c)2≤12，∴b+c≤2√3，当且仅当b=c=√3时取等号，∴△ABC周长的最大值为3+2√3.【答案】解：(1)由题意可知，1个样区这种野生动物数量的平均数=120020=60，故这种野生动物数量的估计值=60×200=12000；(2)由参考公式得，r=∑(x i−x¯)ni=1(y i−y¯)√∑(xi−x)2ni=1∑(y i−y)2ni=1=√80×9000=6√2≈0.94；(3)由题意可知，各地块间植物覆盖面积差异很大，因此在调查时，先确定该地区各地块间植物覆盖面积大小并且由小到大排序，每十个分为一组，采用系统抽样的方法抽取20个地块作为样区进行样本统计．【考点】众数、中位数、平均数相关系数收集数据的方法此题暂无解析【解答】解：(1)由题意可知，1个样区这种野生动物数量的平均数=120020=60，故这种野生动物数量的估计值=60×200=12000；(2)由参考公式得，r=∑(x i−x¯)ni=1(y i−y¯)√∑(xi−x)2ni=1∑(y i−y)2ni=1=√80×9000=6√2≈0.94；(3)由题意可知，各地块间植物覆盖面积差异很大，因此在调查时，先确定该地区各地块间植物覆盖面积大小并且由小到大排序，每十个分为一组，采用系统抽样的方法抽取20个地块作为样区进行样本统计．【答案】解：(1)F为C1的焦点，且AB⊥x轴，∴F(c,0)，|AB|=2b2a，设C2的标准方程为y2=2px(p>0)，∵F为C2的焦点，且AB⊥x轴，∴F(p2,0).由抛物线的定义可得，|CD|=2p．∵|CD|=43|AB| .C1与C2焦点重合，∴{c=p2，2p=43×2b2a，消去p得：4c=8b 23a，∴3ac=2b2，∴3ac=2a2−2c2，设C1的离心率为e，则2e2+3e−2=0，∴e=12或e=−2(舍)，故C1的离心率为12.(2)由(1)知a=2c，b=√3c，p=2c．∴C1:x24c2+y23c2=1，C2:y2=4cx，联立两曲线方程，消去y得3x2+16cx−12c2=0，∴(3x−2c)(x+6c)=0，∴x=23c或x=−6c(舍).从而|MF|=x+p2=23c+c=53c=5，∴c=3，∴C1与C2的标准方程分别为x236+y227=1，y2=12x.【考点】圆锥曲线的综合问题椭圆的离心率抛物线的标准方程抛物线的定义椭圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)F为C1的焦点，且AB⊥x轴，∴F(c,0)，|AB|=2b2a，设C2的标准方程为y2=2px(p>0)，∵F为C2的焦点，且AB⊥x轴，∴F(p2,0).由抛物线的定义可得，|CD|=2p．∵|CD|=43|AB| .C1与C2焦点重合，∴{c=p2，2p=43×2b2a，消去p得：4c=8b 23a，∴3ac=2b2，∴3ac=2a2−2c2，设C1的离心率为e，则2e2+3e−2=0，∴e=12或e=−2(舍)，故C1的离心率为12.(2)由(1)知a=2c，b=√3c，p=2c．∴C1:x24c2+y23c2=1，C2:y2=4cx，联立两曲线方程，消去y得3x2+16cx−12c2=0，∴(3x−2c)(x+6c)=0，∴x=23c或x=−6c(舍).从而|MF|=x+p2=23c+c=53c=5，∴c=3，∴C1与C2的标准方程分别为x236+y227=1，y2=12x.【答案】(1)证明：∵M，N分别为BC，B1C1的中点，底面为正三角形，∴B1N=BM，四边形BB1NM为矩形，A1N⊥B1C1，∴BB1//MN，而AA1//BB1，MN⊥B1C1，∴AA1//MN.又∵MN∩A1N=N，∴B1C1⊥面A1AMN.∵B1C1⊂面EB1C1F，∴面A1AMN⊥面EB1C1F.(2)∵三棱柱上下底面平行，平面EB1C1F与上下底面分别交于B1C1，EF，∴EF//B1C1//BC.∵AO//面EB1C1F，AO⊂面AMNA1，面AMNA1∩面EB1C1F=PN，∴AO//PN，四边形APNO为平行四边形，而O为正三角形的中心，AO=AB，∴A1N=3ON，AM=3AP,PN=BC=B1C1=3EF.由(1)知直线B1E在平面A1AMN内的投影为PN，直线B1E与平面A1AMN所成角即为等腰梯形EFC1B1中B1E与PN所成角.在等腰梯形EFC1B1中，令EF=1，过E作EH⊥B1C1于H，则PN=B1C1=EH=3，B1H=1，B1E=√10，sin∠B1EH=B1HB1E =√1010.所以直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为√1010.【考点】直线与平面所成的角两条直线平行的判定平面与平面垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：∵M，N分别为BC，B1C1的中点，底面为正三角形，∴B1N=BM，四边形BB1NM为矩形，A1N⊥B1C1，∴BB1//MN，而AA1//BB1，MN⊥B1C1，∴AA1//MN.又∵MN∩A1N=N，∴B1C1⊥面A1AMN.∵B1C1⊂面EB1C1F，∴面A1AMN⊥面EB1C1F.(2)∵三棱柱上下底面平行，平面EB1C1F与上下底面分别交于B1C1，EF，∴EF//B1C1//BC.∵AO//面EB1C1F，AO⊂面AMNA1，面AMNA1∩面EB1C1F=PN，∴AO//PN，四边形APNO为平行四边形，而O为正三角形的中心，AO=AB，∴A1N=3ON，AM=3AP,PN=BC=B1C1=3EF.由(1)知直线B1E在平面A1AMN内的投影为PN，直线B1E与平面A1AMN所成角即为等腰梯形EFC1B1中B1E与PN所成角.在等腰梯形EFC1B1中，令EF=1，过E作EH⊥B1C1于H，则PN=B1C1=EH=3，B1H=1，B1E=√10，sin∠B1EH=B1HB1E =√1010.所以直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为√1010.【答案】(1)解：∵ f (x )=2sin 3x cos x ， ∴ f ′(x )=2sin 2x(3cos 2x −sin 2x) =−8sin 2x sin (x +π3)sin (x −π3).当x ∈(0,π3)时， f ′(x )>0, f (x )单调递增；当x ∈(π3,2π3)时， f ′(x )<0, f (x )单调递减； 当x ∈(2π3,π)时， f ′(x )>0, f (x )单调递增.(2)证明：由f (x )=2sin 3x cos x 得， f (x )为R 上的奇函数．f 2(x )=4sin 6x cos 2x =4(1−cos 2x )3cos 2x =4(1−cos 2x )3×3cos 2x 3≤43×(3−3cos 2x+3cos 2x 4)4=(34)3.当1−cos 2x =3cos 2x ，即cos x =±12时等号成立，故|f (x )|≤3√38.(3)证明：由(2)知：sin 2x sin 2x ≤3√38=(34)32，sin 22x sin 4x ≤3√38=(34)32， sin 222x sin 23x ≤3√38=(34)32，⋯ sin 22n−1x sin 2n x ≤3√38=(34)32，∴ sin 2x sin 32x sin 34x ⋯sin 32n−1x sin 22n x ≤(34)3n2 ， ∴ sin 3x sin 32x sin 34x ⋯sin 32n−1x sin 32n x =sin x(sin 2x sin 32x sin 34x ⋯sin 32n−1x sin 22n x)sin 2nx ≤(34)3n 2，∴ sin 2x sin 22x sin 24x ⋯ sin 22n x ≤3n4n . 【考点】 不等式的证明利用导数研究函数的单调性 【解析】 此题暂无解析 【解答】(1)解：∵ f (x )=2sin 3x cos x ， ∴ f ′(x )=2sin 2x(3cos 2x −sin 2x) =−8sin 2x sin (x +π3)sin (x −π3).当x ∈(0,π3)时， f ′(x )>0, f (x )单调递增； 当x ∈(π3,2π3)时， f ′(x )<0, f (x )单调递减；当x ∈(2π3,π)时， f ′(x )>0, f (x )单调递增.(2)证明：由f (x )=2sin 3x cos x 得， f (x )为R 上的奇函数． f 2(x )=4sin 6x cos 2x =4(1−cos 2x )3cos 2x =4(1−cos 2x )3×3cos 2x 3≤43×(3−3cos 2x+3cos 2x 4)4=(34)3.当1−cos 2x =3cos 2x ，即cos x =±12时等号成立，故|f (x )|≤3√38.(3)证明：由(2)知：sin 2x sin 2x ≤3√38=(34)32，sin 22x sin 4x ≤3√38=(34)32， sin 222x sin 23x ≤3√38=(34)32，⋯，sin 22n−1x sin 2nx ≤3√38=(34)32，∴ sin 2x sin 32x sin 34x ⋯sin 32n−1x sin 22nx ≤(34)3n 2，∴ sin 3x sin 32x sin 34x ⋯sin 32n−1x sin 32n x=sin x(sin 2x sin 32x sin 34x ⋯sin 32n−1x sin 22n x)sin 2n x ≤(34)3n2， ∴ sin 2x sin 22x sin 24x ⋯ sin 22n x ≤3n4n . 【答案】解：(1)C 1：{x =4cos 2θ，①y =4sin 2θ，②①+②得，x +y =4，故C 1的普通方程为：x +y −4=0. 由 {x =t +1t ，y =t −1t可得{x 2=t 2+2+1t2，③y 2=t 2−2+1t2，④③−④得，x 2−y 2=4，故C 2的普通方程为：x 2−y 2=4. (2)联立C 1,C 2 {x +y −4=0，x 2−y 2=4，解得：{x =52，y =32， 所以点P 坐标为：P (52,32). 设所求圆圆心为Q (a,0)，半径为a ，故圆心Q (a,0)到P (52,32)的距离为√(52−a)2+(32−0)2=a ，解得a =1710，所以圆Q 的圆心为(1710, 0)，半径为1710，则圆Q 的直角坐标方程为：(x −1710)2+y 2=(1710)2，即．x 2+y 2−175x =0，所以所求圆的极坐标方程为： ρ=175cos θ.【考点】圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化 直线与双曲线结合的最值问题 参数方程与普通方程的互化 点到直线的距离公式 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)C 1：{x =4cos 2θ，①y =4sin 2θ，②①+②得，x +y =4，故C 1的普通方程为：x +y −4=0. 由 {x =t +1t ，y =t −1t 可得{x 2=t 2+2+1t2，③y 2=t 2−2+1t 2，④③−④得，x 2−y 2=4，故C 2的普通方程为：x 2−y 2=4. (2)联立C 1,C 2 {x +y −4=0，x 2−y 2=4，解得：{x =52，y =32， 所以点P 坐标为：P (52,32). 设所求圆圆心为Q (a,0)，半径为a ，故圆心Q (a,0)到P (52,32)的距离为√(52−a)2+(32−0)2=a ，解得a =1710，所以圆Q 的圆心为(1710, 0)，半径为1710， 则圆Q 的直角坐标方程为：(x −1710)2+y 2=(1710)2， 即．x 2+y 2−175x =0，所以所求圆的极坐标方程为： ρ=175cos θ.【答案】解：(1)当a =2时，f (x )={7−2x ，x ≤3，1，3<x ≤4，2x −7，x >4.试卷第21页，总21页 因此，不等式f (x )≥4的解集为{x|x ≤32或x ≥112}.(2)因为f (x )=|x −a 2|+|x −2a +1|≥|a 2−2a +1|=(a −1)2， 故当(a −1)2≥4，即|a −1|≥2时， f (x )≥4，所以当a ≥3或a ≤−1时，f (x )≥4；当−1<a <3时， f (a 2)=|a 2−2a +1|=(a −1)2<4. 所以a 的取值范围是(−∞,−1]∪[3,+∞).【考点】绝对值不等式的解法与证明绝对值三角不等式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当a =2时，f (x )={7−2x ，x ≤3，1，3<x ≤4，2x −7，x >4.因此，不等式f (x )≥4的解集为{x|x ≤32或x ≥112}.(2)因为f (x )=|x −a 2|+|x −2a +1|≥|a 2−2a +1|=(a −1)2， 故当(a −1)2≥4，即|a −1|≥2时， f (x )≥4，所以当a ≥3或a ≤−1时，f (x )≥4；当−1<a <3时， f (a 2)=|a 2−2a +1|=(a −1)2<4. 所以a 的取值范围是(−∞,−1]∪[3,+∞).。
四川省德阳市2020届高三下学期质量检测考试(三)数学(理)试题Word版含解析
阳市高中2017级质量检测考试(三)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合/1 = {3/-2工=0},集合3 = {1,2,3},则下列结论正确的是( )A. 2N(A C8)B. 2w(Ac8)C. AcB = eD.Au B = B【答案】B【解析】【分析】求出集合A，集合3,从而Ac8 = {2}, AuB = {O,l,2,3}.由此能求出结果.【详解】解：•集合4 = {xlf -2x = 0}={0,2},集合8 = {1,2,3},所以4cB = {2}, -8 = {0,1,2,3}:.2e(A[yB)故A、C、D均错误，B正确.故选：B.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查补集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.2,设向量2 = (1,T)出=(2,力,若"〃几则-=( )A. 1B. -1C. 2D. -2 【答案】D【解析】【分析】根据向量履B的坐标以及7/石即可得出x + 2 = 0,解出x即可.【详解】解：♦・• Z=(1,-1),B=(2,X),且"〃族)>2 = 0,解得x = —2.故选：D.【点睛】本题考查了平行向量的坐标关系，向量平行的定义，考查了计算能力，属于基础题.3.已知随机变量§服从正态分布N（2,，），尸©W4） = 0.84,则尸（JWO）=（）A. 0.16B. 0.32C. 0.68D. 0.84 【答案】A【解析】由正态分布的特征得。
♦❷6❷。
=K 4） = 1 — 0.84 = 0.1,选A.4.若a,beR,则“ /十从工。
”是“不全为零，，（）A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.必要不充分条件D.充分不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件定义，即可求得答案.【详解】①由“ 〃+〃¥（），，可以推出“。
四川省成都市2020届(高2017级)高中毕业班第二次诊断性检测理科数学试题
成都市2017级高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，第1卷（选择题）1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数z 满足2)1(=+i z （i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ） A.i B.-i C.-1 D.12.设全集R U =，集合{}1<=x x M ，{}2>=x x N ，则N M C U I )(=（ ） A.{}2>x x B.{}1≥x x C.{}21<<x x D.{}2≥x x 3.某中学有高中生1500人，初中生1000人，为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高中生和初中生中抽取一个容量为n 的样本。
若样本中高中生恰有30人，则n 的值为（ ）A.20B.50C.40D.60 4.曲线x x y -=3在点)0,1(处的切线方程为（ ）A.02=-y xB.022=-+y xC.022=++y xD.022=--y x 5.已知锐角β满足αα2cos 12sin 2-=，则αtan =（ ） A.21B.1C.2D.4 6.函数)1ln(cos )(2x x x x f -+⋅=在]1,1[-的图象大致为（ ）A B C D7.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A.16B.48C.96D.1288.已知函数0)4(),0)(2sin()(=<<+=ππωπωf x x f ，则函数)(x f 的图象的对称轴方程为（ ） A.Z k k x ∈-=,4ππ B.Z k k x ∈+=,4ππC.Z k k x ∈=,21π D.Z k k x ∈+=,421ππ 9.如图，双曲线C )0,0(12222>>=-b a by a x ：的左，右交点分别是)0,(1c F -，)0,(2c F ，直线a bc y 2=与双曲线C 的两条渐近线分别相交于B A ,两点.若321π=∠F BF ，则双曲线C 的离心率为（ ） A.2 B.324 C.2 D.33210.在正方体1111D C B A ABCD -中，点Q P ,分别为AD AB ,的中点，过点D 作平面α使αα平面∥，平面∥Q A P B 11，若直线M D B =α平面I 11，则11MB MD 的值为（ ） A.41 B.31 C.21 D.32 11.已知EF 为圆1)1()1(22=++-y x 的一条直径，点),(y x M 的坐标满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥++≤+-103201y y x y x ，则⋅的取值范围为（ ） A.]13,29[ B.]13,4[ C.]12,4[ D.]12,27[ 12.已知函数x xe x g xxx f -==)(,ln )(，若存在R x x ∈+∞∈21),,0(，使得)0()()(21<==k k x g x f 成立，则ke x x 212)(的最大值为（ ） A.2e B.e C.24e D.21e第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13．()41x +的展开式中x 2的系数为 。
2020届四川省德阳市高三“二诊”考试数学(理)试题(解析版)
2020届四川省德阳市高三“二诊”考试数学（理）试题一、单选题 1．已知复数21z i =+ ，其中i 为虚数单位，则z =（ ）A B C ．2D【答案】D【解析】把已知等式变形，然后利用数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案. 【详解】 解：()()()2121111i z i i i i -===-++- ，则z =. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.2．函数y =A ，集合(){}2log 11B x x =+>，则A B =I （ ）A ．{}12x x <≤ B ．{}22x x -≤≤C ．{}23x x -<<D ．{}13x x <<【答案】A【解析】根据函数定义域得集合A ，解对数不等式得到集合B ，然后直接利用交集运算求解. 【详解】解：由函数y =240x -≥，解得22x -≤≤，即{}22A x x =-≤≤；又()22log 11og 2l x +>=，解得1x >，即{}1B x x =>， 则{}12A B x x ⋂=<≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题.3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】试题分析：根据题意，当2x ≤时，令213x -=，得2x =±；当2x >时，令2log 3x =，得9x =，故输入的实数值的个数为3．【考点】程序框图． 4．函数()()cos ln x x x xf x e e -=+在[],ππ-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据函数的奇偶性，在x π=时函数范围的判断进行排除，即可得答案. 【详解】解：由已知()()()()()cos cos ln ln x x x xx x x xf x f x e e e e -----==-=-++，则函数()()cos ln x x x xf x e e -=+在[],ππ-上是奇函数，故排除B ；又()()()()cos 0,1ln ln ln ln f e e e e e e e πππππππππππππ---==-<->-=-+++，故排除CD ； 故选：A. 【点睛】本题考查函数图像的识别，利用函数的性质，如奇偶性，单调性，特殊点的函数值等进行排除是常用的方法，是基础题. 5．要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位 【答案】D【解析】直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可； 【详解】解：函数sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象向左平移6π个单位． 故选：D ． 【点睛】本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题．6．二项式52x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为（ ）A ．80-B ．80C ．160-D ．160【答案】A【解析】求出二项式52x ⎫-⎪⎭的展开式的通式，再令x 的次数为零，可得结果.【详解】解：二项式52x ⎫⎪⎭展开式的通式为()()55225215512rrr rrr r rr T C x C x---+-+=-=-，令5202rr --+=，解得1r =， 则常数项为()11451280C -=-.故选：A. 【点睛】本题考查二项式定理指定项的求解，关键是熟练应用二项展开式的通式，是基础题. 7．已知l 为抛物线24x y =的准线，抛物线上的点M 到l 的距离为d ，点P 的坐标为()4,1，则MP d +的最小值是（ ）A ．17B ．4C ．2D ．117+【答案】B【解析】设抛物线焦点为F ，由题意利用抛物线的定义可得，当,,P M F 共线时，MP d +取得最小值，由此求得答案.【详解】解：抛物线焦点()0,1F ，准线1y =-， 过M 作MN l ⊥交l 于点N ，连接FM由抛物线定义MN MF d ==，244MP d MP MF PF ∴+=+≥==，当且仅当,,P M F 三点共线时，取“＝”号， ∴MP d +的最小值为4. 故选：B. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.8．不等式组201230 xyy xx y-≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，则（）A．(),x y∀∈Ω，23x y+>B．(),x y∃∈Ω，25x y+> C．(),x y∀∈Ω，231yx+>-D．(),x y∃∈Ω，251yx+>-【答案】D【解析】根据题意，分析不等式组的几何意义，可得其表示的平面区域，设1222,1yz x y zx+=+=-，分析12,z z的几何意义，可得12,z z的最小值，据此分析选项即可得答案.【详解】解：根据题意，不等式组201230x yy xx y-≥⎧⎪⎪≥⎨⎪+-≤⎪⎩其表示的平面区域如图所示，其中()2,1A，()1,2B，设12z x y=+，则122zxy=-+，1z的几何意义为直线122zxy=-+在y轴上的截距的2倍，由图可得：当122zxy=-+过点()1,2B时，直线12z x y=+在y轴上的截距最大，即25x y+≤，当122zxy=-+过点原点时，直线12z x y=+在y轴上的截距最小，即20x y+≥，故AB错误；设221yzx+=-，则2z的几何意义为点(),x y与点()1,2-连线的斜率，由图可得2z 最大可到无穷大，最小可到无穷小，故C 错误，D 正确； 故选：D. 【点睛】本题考查本题考查二元一次不等式的性质以及应用，关键是对目标函数几何意义的认识，属于基础题.9．平行四边形ABCD 中，已知4AB =，3AD =，点E 、F 分别满足2AE ED =uu u r uu u r，DF FC =u u u r u u u r ，且6AF BE ⋅=-u u u r u u u r ，则向量AD u u u r 在AB u u u r上的投影为（ ）A ．2B ．2-C ．32D ．32-【答案】C【解析】将,AF BE u u u r u u u r用向量AD u u u r 和AB u u u r 表示，代入6AF BE ⋅=-u u u r u u u r 可求出6AD AB ⋅=u u u r u u u r，再利用投影公式AD ABAB⋅u u u r u u u ru u u r 可得答案. 【详解】解：()()AF BE AD DF BA AE ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r21123223AD AB AD AD AB AB AB AD =⋅+⋅-⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22421346332AD AB =⋅+⨯-⨯=u u ur u u u r ， 得6AD AB ⋅=u u u r u u u r，则向量AD u u u r 在AB u u u r 上的投影为6342AD AB AB⋅==u u u r u u u ru u ur . 故选：C. 【点睛】本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将,AF BE u u u r u u u r 用向量AD u u u r 和AB u u u r表示是关键，是基础题.10．已知ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且60A =︒，3b =，AD 为BC 边上的中线，若72AD =，则ABC V 的面积为（ ）A B C ．154D 【答案】B【解析】延长AD 到E ，使AD DE =，连接,BE CE ，则四边形ABEC 为平行四边形，根据余弦定理可求出5AB =，进而可得ABC V 的面积. 【详解】解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接,BE CE ，则四边形ABEC 为平行四边形， 则3BE AC ==，18060120ABE ∠=-=o o o ，27AE AD ==， 在ABE △中，2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠ 则2227323cos120AB AB =+-⨯⨯⨯o ，得5AB =，113153sin 605322ABC S AB AC =⋅⋅=⨯⨯⨯=o V . 故选：B.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，其中根据中线作出平行四边形是关键，是中档题.11．已知实数0a >，1a ≠，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12a <≤ B ．5a < C ．35a << D ．25a ≤≤【答案】D【解析】根据题意，对于函数分2段分析：当1,()xx f x a <=，由指数函数的性质分析可得1a >①，当241,()ln x f x x a x x≥=++，由导数与函数单调性的关系可得24()20af x x x x'=-+≥，在[1,)+∞上恒成立，变形可得2a ≥②，再结合函数的单调性，分析可得14a ≤+③，联立三个式子，分析可得答案. 【详解】解：根据题意，函数()2,14ln ,1x a x f x x a x x x ⎧<⎪=⎨++≥⎪⎩在R 上单调递增，当1,()x x f x a <=，若()f x 为增函数，则1a >①， 当241,()ln x f x x a x x≥=++， 若()f x 为增函数，必有24()20af x x x x'=-+≥在[1,)+∞上恒成立， 变形可得：242a x x≥-， 又由1x ≥，可得()242g x x x =-在[1,)+∞上单调递减，则2442212x x -≤-=，若242a x x≥-在[1,)+∞上恒成立，则有2a ≥②，若函数()f x 在R 上单调递增，左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值，则需有145a ≤+=，③ 联立①②③可得：25a ≤≤. 故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的性质以及应用，注意分段函数单调性的性质.12．ABC V是边长为E 、F 分别为AB 、AC 的中点，沿EF 把AEF V 折起，使点A 翻折到点P 的位置，连接PB 、PC ，当四棱锥P BCFE -的外接球的表面积最小时，四棱锥P BCFE -的体积为（ ） A．4B．4C．4D．4【答案】D【解析】首先由题意得，当梯形BCFE 的外接圆圆心为四棱锥P BCFE -的外接球球心时，外接球的半径最小，通过图形发现，BC 的中点即为梯形BCFE 的外接圆圆心，也即四棱锥P BCFE -的外接球球心，则可得到PO OC ==的体积公式求出体积.如图，四边形BCFE 为等腰梯形，则其必有外接圆，设O 为梯形BCFE 的外接圆圆心， 当O 也为四棱锥P BCFE -的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过A 作BC 的垂线交BC 于点M ，交EF 于点N ，连接,PM PN ，点O 必在AM 上，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，则必有AN PN MN ==，90APM ∴∠=o ，即APM △为直角三角形.对于等腰梯形BCFE ，如图：因为ABC V 是等边三角形，E 、F 、M 分别为AB 、AC 、BC 的中点， 必有MB MC MF ME ===，所以点M 为等腰梯形BCFE 的外接圆圆心，即点O 与点M 重合，如图132PO OC BC ∴===222336PA AO PO =-=-= 所以四棱锥P BCFE -底面BCFE 的高为3623PO PA AM ⋅== 1131313623323343424P BCFE BCFE ABC V S h S h -==⨯=⨯⨯⨯=V . 故选：D.本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外接球球心的位置，这个是一个难点，考查了学生空间想象能力和分析能力，是一道难度较大的题目.二、填空题13．随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质与健康现状，合理制定学校体育卫生工作发展规划，某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30000名高中男生的身高ξ（单位：cm ）服从正态分布()2172,N σ，且()17218004P ξ<≤=.，那么该市身高高于180cm 的高中男生人数大约为__________. 【答案】3000【解析】根据正态曲线的对称性求出()180P ξ>，进而可求出身高高于180cm 的高中男生人数. 【详解】解：全市30000名高中男生的身高ξ（单位：cm ）服从正态分布()2172,N σ，且()17218004P ξ<≤=.，则()10.421800.12P ξ-⨯>==， 该市身高高于180cm 的高中男生人数大约为300000.13000⨯=. 故答案为：3000. 【点睛】本题考查正态曲线的对称性的应用，是基础题.14．春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院选派2名医生，6名护士到湖北A 、B 两地参加疫情防控工作，每地一名医生，3名护士，其中甲乙两名护士不到同一地，共有__________种选派方法. 【答案】24【解析】先求出每地一名医生，3名护士的选派方法的种数，再减去甲乙两名护士到同一地的种数即可. 【详解】解：每地一名医生，3名护士的选派方法的种数有132640C C =，若甲乙两名护士到同一地的种数有11124216C C C =，则甲乙两名护士不到同一地的种数有401624-=. 故答案为：24. 【点睛】本题考查利用间接法求排列组合问题，正难则反，是基础题.15．已知a 、b 为正实数，直线10x y ++=截圆()()224x a y b -+-=所得的弦长为1a ab+的最小值为__________.【答案】3+【解析】先根据弦长，半径，弦心距之间的关系列式求得10a b +-=，代入1a ab+整理得()112131a ab a a +=-+-++，利用基本不等式求得最值.【详解】解：圆()()224x a y b -+-=的圆心为(),a b ，则(),a b 到直线10x y ++=，由直线10x y ++=截圆()()224x a y b -+-=所得的弦长为222+=，整理得()214a b ++=， 解得10a b +-=或30++=a b (舍去)，令1(0,0)a m a b ab+=>> ()()()()21111211312131a a a m ab a a a a a a +++∴====--+++--+-++，又()211a a ++≥+1a +=,等号成立, 则()21331a a -+-+≤-+ ()132131m a a ∴=≥=+-+-++故答案为：3+【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考核基本不等式求最值，关键是对目标式进行变形，变成能用基本不等式求最值的形式，也可用换元法进行变形，是中档题.16．在ABC V 中，B 、C 的坐标分别为()-，()，且满足sin sin 2B C A -=，O 为坐标原点，若点P 的坐标为()4,0，则AO AP ⋅u u u r u u u r 的取值范围为__________. 【答案】()12,+∞【解析】由正弦定理可得点A 在曲线221,244x y x -=<-上，设(),A x y ，则224AO AP x x y ⋅=-+u u u r u u u r ，将224y x =-代入可得()2216AO x AP ⋅-=-u u u r u u u r ，利用二次函数的性质可得范围. 【详解】解：由正弦定理得422AC AB BC -==⨯=<， 则点A 在曲线221,244x y x -=<-上，设(),A x y ，则221,244x y x -=<-，()()224.4,AO AP x y x y y x x --⋅=⋅--=-+u u u r u u u r，又224y x =-，()22242641AO x AP x x x ∴⋅=--=--+u u u r u u u r ， 因为2x <-，则()2221612AO AP ⋅>⨯---=u u u r u u u r ，即AO AP ⋅u u u r u u u r的取值范围为()12,+∞. 故答案为：()12,+∞. 【点睛】本题考查双曲线的定义，考查向量数量积的坐标运算，考查学生计算能力，有一定的综合性，但难度不大.三、解答题17．已知数列{}n a 满足：()12311232222122nn n a a a a n +⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=-⋅+对一切n *∈N 成立.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列21n n a a +⎧⋅⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【答案】（1）n a n =；（2）()()()35412n n n S n n +=++【解析】（1）先通过1n =求得11a =，再由2n ≥得()123112312222222n n n a a a a n --⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=-⋅+，和条件中的式子作差可得答案；（2）变形可得2111122n n a a n n +⎛⎫=- ⎪⋅+⎝⎭，通过裂项求和法可得答案.【详解】（1）()12311232222122nn n a a a a n +⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=-⋅+Q ①，∴当1n =时，1122a ⋅=，11a ∴=，当2n ≥时，()123112312222222n n n a a a a n --⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=-⋅+②，①-②得：22n nn a n ⋅=⋅，n a n ∴=，适合11a =， 故n a n =；（2）()211111222n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭，11111111121324352n S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭()()()35412n n n n +=++.【点睛】本题考查n S 法求数列的通项公式，考查裂项求和，是基础题.18．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 中，ABD △为等边三角形，BCD V 是等腰三角形，且顶角120BCD ∠=︒，PC BD ⊥，平面PBD ⊥平面ABCD ，M 为PA 中点.（1）求证：//DM 平面PBC ；（2）若PD PB ⊥，求二面角C PA B --的余弦值大小. 【答案】（1）见解析；（221【解析】（1）设AB 中点为N ，连接MN 、DN ，首先通过条件得出CB AB ⊥，加DN AB ⊥，可得//DN BC ，进而可得//DN 平面PBC ，再加上//MN 平面PBC ，可得平面//DMN 平面PBC ，则//DM 平面PBC ；（2）设BD 中点为O ，连接AO 、CO ，可得PO ⊥平面ABCD ，加上BD ⊥平面PCO ，则可如图建立直角坐标系O xyz -，求出平面PAB 的法向量和平面PAC 的法向量，利用向量法可得二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：设AB 中点为N ，连接MN 、DN ，QV ABD 为等边三角形，DN AB ∴⊥，DC CB =Q ，120DCB ∠=︒，30CBD ∴∠=︒，603090ABC ∴∠=︒+︒=︒，即CB AB ⊥， DN AB ⊥Q ，//DN BC ∴，BC ⊂Q 平面PBC ，DN ⊄平面PBC ， //DN ∴平面PBC ，MN Q 为PAB △的中位线，//MN PB ∴，PB ⊂Q 平面PBC ，MN ⊄平面PBC ，//MN ∴平面PBC ，MN Q 、DN 为平面DMN 内二相交直线，∴平面//DMN 平面PBC ，DM ⊂Q 平面DMN ，//DM ∴平面PBC ；（2）设BD 中点为O ，连接AO 、COQV ABD 为等边三角形，BCD V 是等腰三角形，且顶角120BCD ∠=︒ AO BD ∴⊥，CO BD ⊥，A ∴、C 、O 共线，PC BD ⊥Q ，BD CO ⊥，PC CO C =I ，PC ，CO ⊂平面PCOBD ∴⊥平面PCO .PO ⊂Q 平面PCOBD PO ∴⊥Q 平面PBD ⊥平面ABCD ，交线为BD ，PO ⊂平面PBDPO ∴⊥平面ABCD .设2AB =，则3AO =在BCD V 中，由余弦定理，得：2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠ 又BC CD =Q ，222222cos120BC BC ∴=-⋅︒，CB CD ∴==，CO =， PD PB ⊥Q ，O 为BD 中点，112PO BD ∴==， 建立直角坐标系O xyz -（如图），则3C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1P ，()3,0,0A ，()0,1,0B . )3,1,0BA ∴=-u u u r ，)3,0,1PA =-u u u r，设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =r，则，300030x y n BA n PA x z ⎧-=⋅=⇒⎨⋅=-=⎩u u u v v u u u v v ， 取1x =，则3y z ==(3,3n ∴=r，平面PAC 的法向量为()0,1,0OB =u u u r，21cos ,7n OB n OB n OB⋅==⋅r u u u rr u u u r r u u u r ，Q 二面角C PA B --为锐角，∴二面角C PA B --的余弦值大小为217.【点睛】本题考查面面平行证明线面平行，考查向量法求二面角的大小，考查学生计算能力和空间想象能力，是中档题.19．贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标.党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标.为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作.对某种农产品加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2万元.经统计A ，B 两市场以往100个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如下表：A 市场：需求量90100110B 市场：把市场需求量的频率视为需求量的概率，设该厂在下个销售周期内生产n 吨该产品，在A 、B 两市场同时销售，以X （单位：吨）表示下一个销售周期两市场的需求量，Y（单位：万元）表示下一个销售周期两市场的销售总利润. （1）求200X >的概率；（2）以销售利润的期望为决策依据，确定下个销售周期内生产量190n =吨还是200n =吨?并说明理由.【答案】（1）0.42；（2）200n =吨，理由见解析【解析】（1）设“A 市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件1A ，2A ，3A ，“B市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件1B ，2B ，3B ，由题可得()1P A ，()2P A ，()3P A ，()1P B ，2()P B ，()3P B ，代入()()233233200P X P A B A B A B >=++，计算可得答案；（2）X 可取180，190，200，210，220，求出190n =吨和200n =吨时的期望，比较大小即可. 【详解】（1）设“A 市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件1A ，2A ，3A ，“B 市场需求量为90，100，110吨”分别记为事件1B ，2B ，3B ，则()10.2P A =，()20.5P A =，()30.3P A =， ()10.1P B =，)2(0.6P B =，()30.3P B =， ()()233233200P X P A B A B A B >=++()()()()()()233233P A P B P A P B P A P B =++ 0.50.30.30.60.30.30.42=⨯+⨯+⨯=；（2）X 可取180，190，200，210，220，()()111800.20.10.02P X P A B ===⨯=()()21121900.50.10.20.60.17P X P A B A B ==+=⨯+⨯=当190n =时，()()18051020.02190510.02948.()6E Y =⨯-⨯⨯+⨯⨯-= 当200n =时，()()()()18052020.021*******.17200510.020.17E Y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯--985.3=.9486985.3<Q .，200n ∴=时，平均利润大，所以下个销售周期内生产量200n =吨.【点睛】本题考查离散型随机变量的期望，是中档题.20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，右焦点为抛物线24y x =的焦点F .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）O 为坐标原点，过O 作两条射线，分别交椭圆于M 、N 两点，若OM 、ON 斜率之积为45-，求证：MON △的面积为定值. 【答案】（1）22154x y +=；（2）见解析 【解析】（1）由条件可得1c =，再根据离心率可求得,a b ，则可得椭圆方程；（2）当MN 与x 轴垂直时，设直线MN 的方程为：()0x t t t =<<≠，与椭圆联立求得,M N 的坐标，通过OM 、ON 斜率之积为45-列方程可得t 的值，进而可得MON △的面积；当MN 与x 轴不垂直时，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，利用韦达定理和OM 、ON 斜率之积为45-可得22254m k =+，再利用弦长公式求出MN ，以及O 到MN 的距离，通过三角形的面积公式求解. 【详解】（1）抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，1c ∴=，5e =Q，c a ∴=， 5a ∴=，2b =，∴椭圆方程为22154x y +=；（2）（ⅰ）当MN 与x 轴垂直时，设直线MN的方程为：()0x t t t =<<≠代入22154x y +=得：,M t ⎛ ⎝，,N t ⎛- ⎝，2122455t k k t-∴⋅==-⋅ 2245455t t -∴-⋅=-，解得：252t =，12MONS t ∴=⋅⋅=△ （ⅱ）当MN 与x 轴不垂直时，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN 的方程为y kx m =+由()2222245105200154y kx mk x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 由22054k m ∆>⇒+>①1221045km x x k +=-+，212252045m x x k -⋅=+4·5OM ON k k =-Q ，121245y y x x ∴⋅=-，1212540y y x x ∴+= 即()()22121254550k x x mk x x m +⋅+++=()2222252010545504545m km k mk m k k-⎛⎫∴+⋅+⋅-+= ⎪++⎝⎭整理得：22254m k =+ 代入①得：0m ≠MN === O 到MN的距离d =12MON S MN d ∴=△===综上：MON S =△. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查直线和椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查了学生的计算能力，是中档题.21．已知函数()axf x e x =-（a R ∈，e 为自然对数的底数），()ln 1g x x mx =++.（1）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围；（2）当1a =时，()()x f x x g x ⎡⎤⎣≥⎦+对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）(],1-∞ 【解析】（1）将()f x 有两个零点转化为方程ln x a x =有两个相异实根，令()ln x G x x =求导，利用其单调性和极值求解；（2）将问题转化为ln 1x x m e x x≤--对一切()0,x ∈+∞恒成立，令()()ln 10x x F x e x x x=-->，求导，研究单调性，求出其最值即可得结果. 【详解】 （1）()f x 有两个零点⇔关于x 的方程ax e x =有两个相异实根由0>ax e ，知0x >()f x ∴有两个零点ln x a x ⇔=有两个相异实根. 令()ln x G x x =，则()21ln x G x x -'=， 由()0G x '>得：0x e <<，由()0G x '<得：x e >，()G x ∴在()0,e 单调递增，在(),e +∞单调递减()()max 1G x G e e∴==， 又()10G =Q∴当01x <<时，()0G x <，当1x >时，()0G x >当x →+∞时，()0G x →()f x ∴有两个零点时，实数a 的取值范围为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）当1a =时，()xf x e x =-， ∴原命题等价于ln 1x xe x mx ≥++对一切()0,x ∈+∞恒成立ln 1x x m e x x⇔≤--对一切()0,x ∈+∞恒成立. 令()()ln 10xx F x e x x x=-->()min m F x ∴≤()222ln ln x xx x e x F x e x x +'=+= 令()2ln xh x x e x =+，()0,x ∈+∞，则 ()2120x h x xe x e x'=++> ()h x ∴在()0,∞+上单增又()10h e =>，1201110e h e e e -⎛⎫=-<-= ⎪⎝⎭ 01,1x e ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使()00h x =即0020e n 0l x x x +=① 当()00,x x ∈时，()0h x <，当()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()F x 在()00,x 递减，在()0,x +∞递增，()()000min 00ln 1x x F x F x e x x ∴==-- 由①知0200ln x x ex =- 001ln 000000ln 111ln ln x x x x e e x x x x ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭∴ Q 函数()x x xe ϕ=在()0,∞+单调递增001ln x x ∴=即00ln x x =- ()0ln 0min 000011111x x F x e x x x x --∴=--=+-=， 1m ∴≤∴实数m 的取值范围为(],1-∞.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，最值问题，考查学生转化能力和分析能力，是一道难度较大的题目.22．已知点A 为圆C ：()2211x y -+=上的动点，O 为坐标原点，过()0,4P 作直线OA的垂线（当A 、O 重合时，直线OA 约定为y 轴），垂足为M ，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点M 的轨迹的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程为sin 43πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，连接OA 并延长交l 于B ，求OA OB 的最大值.【答案】（1）4sin ρθ=；（2【解析】（1）设M 的极坐标为(),ρθ，在OPM V 中，有4sin ρθ=，即可得结果；（2）设射线OA ：θα=，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，联立两个方程，可求出OA ，联立sin 43πρθθα⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩可得OB，则计算可得1sin 2438OAOB πα⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用三角函数的性质可得最值. 【详解】（1）设M 的极坐标为(),ρθ，在OPM V 中，有4sin ρθ=， ∴点M 的轨迹的极坐标方程为4sin ρθ=；（2）设射线OA ：θα=，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 由2cos ρθθα=⎧⎨=⎩得：12cos OA ρα==， 由sin 43πρθθα⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得：24sin 3OB ρα==π⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 2cos 4sin 3OA OB αα∴=π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 1cos sin 23ααπ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭1cos sin sin cos cos sin 233αααππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭21sin cos 4ααα=)1sin 2cos 218αα=++1sin 243πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭Q 242333απππ∴-<+<， ∴当232ππα+=，即12πα=时，max OA OB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， OAOB ∴. 【点睛】本题考查极坐标方程的应用，考查三角函数性质的应用，是中档题.23．已知函数()1f x x =+.（1）求不等式()423f x x ≤--的解集；（2）若正数m 、n 满足2m n mn +=，求证：()()28f m f n +-≥.【答案】（1）{}02x x ≤≤；（2）见解析 【解析】（1）()423f x x ≤--等价于（Ⅰ）()()11234x x x <-⎧⎨-+--≤⎩或（Ⅱ）()()3121234x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+--≤⎩或（Ⅲ）()()321234x x x ⎧>⎪⎨⎪++-≤⎩，分别解出，再求并集即可； （2）利用基本不等式及2m n mn +=可得28m n +≥，代入()()21212f m f n m n m n +-=++-+≥+可得最值.【详解】（1）()423f x x ≤--等价于（Ⅰ）()()11234x x x <-⎧⎨-+--≤⎩或（Ⅱ）()()3121234x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+--≤⎩或（Ⅲ）()()321234x x x ⎧>⎪⎨⎪++-≤⎩由（Ⅰ）得：123x x x <-⎧⎪⇒∈∅⎨≥-⎪⎩由（Ⅱ）得：3130220x x x ⎧-≤≤⎪⇒≤≤⎨⎪≥⎩由（Ⅲ）得：332222x x x ⎧>⎪⇒<≤⎨⎪≤⎩. ∴原不等式的解集为{}02x x ≤≤；（2）0m >Q ，0n >，2m n mn +=，()()221122224m n m n m n +∴+=⋅≤⨯， 28m n ∴+≥， 当且仅当22m n m n mn =⎧⎨+=⎩，即42m n =⎧⎨=⎩时取等号， ()()212128f m f n m n m n ∴+-=++-+≥+≥，当且仅当210n -+≤即12n ≥时取等号， ()()28f m f n ∴+-≥.【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，考查三角不等式的应用及基本不等式的应用，是一道中档题.。
四川省资阳市2020届高三上学期11月第一次诊断性考试数学(理)试题 Word版含解析
资阳市高中2017级第一次诊断性考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{10123}M =-，，，，，{|02}N x x =≤≤，则M N =I （ ） A. {1012}-，，， B. {101}-，， C. {012}，， D. {01}，【答案】C 【解析】 【分析】根据集合交集定义,即可得解.【详解】因为{}=10123M -，，，，{}02N x x =≤≤ 由交集定义可得{}012M N ⋂=，， 故选:C【点睛】本题考查了集合交集的基本运算,属于基础题. 2.复数212ii+=-（ ） A. i B. -iC.4i 5+ D.4i 5- 【答案】A 【解析】 【分析】由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】∵()()()()21222241212125i i i i ii i i i +++-++===--+． 故选：A ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.已知向量()()121a b m =-=-r r ，，，，若a b λ=r r （λ∈R ），则m ＝（ ） A. -2 B. 12-C.12D. 2【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算计算即可．【详解】∵向量()()121a b m =-=-r r ，，，，a b λ=r r （λ∈R ）， ∴()12-，＝λ()1m -，， ∴12mλλ-=⎧⎨=-⎩，∴m ＝12， 故选：C ．【点睛】本题考查了共线向量的坐标运算，属于基础题．4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2466++=a a a ，则7S =（ ） A. 7 B. 14C. 21D. 42【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得：a 4＝2，而由求和公式可得S 7＝7a 4，代入可得答案． 【详解】由等差数列的性质可得：2a 4＝a 2+a 6，又2466++=a a a ，解得a 4＝2， 而S 7()17477222a a a +⨯===7a 4＝14 故选：B ．【点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题． 5.已知,a b ∈R ，则“0a b <<”是“11a b>”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要比充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义分别判断其充分性和必要性即可． 【详解】若11a b >，即b a ab->0， ∴00b a ab ->⎧⎨⎩＞或00b a ab -<⎧⎨⎩＜，即a ，b 同号时：a <b ，a ，b 异号时：a >b ，∴当a <b<0时，11a b >成立，但11a b>成立，不一定有a <b<0， 所以“0a b <<”是“11a b>”的充分不必要条件故选：A ．【点睛】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是一道基础题． 6.执行右图所示的程序框图，则输出的n =（ ）A .3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】第一次执行循环体后，n ＝1，不满足退出循环的条件， 第二次执行循环体后，n ＝2，不满足退出循环的条件， 第三次执行循环体后，n ＝3，不满足退出循环的条件， 第四次执行循环体后，n ＝4，不满足退出循环的条件， 第四次执行循环体后，n ＝5，满足退出循环的条件， 故输出的n 值为5， 故选：C ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 7.已知 1.22a =，0.43b =，8ln 3=c ，则（ ） A. b a c >>B. a b c >>C. b c a >>D.a cb >>【答案】B 【解析】 【分析】容易得出 1.20.4822132013ln ><<<，，＜，从而得出a ，b ，c 的大小关系．【详解】 1.210.50.40822223331013a b c ln lne =>=>>==<==，＞，＜； ∴a ＞b ＞c ． 故选：B ．【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性，考查了比较大小的方法：中间量法．8.函数3()e 1=+x x f x 的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进行排除，即可得到函数的图象． 【详解】当x<0时，f （x ）<0．排除AC ，f ′（x ）()()()32222333(1)11x xx xxxx e xe x e x e ee+-+-==++，令33x x e xe +-=g (x )g ′（x ）()()312x x xe x e x e =-+=-，当x ∈（0，2），g ′（x ）＞0，函数g (x )是增函数，当x ∈（2，+∞），g ′（x ）＜0，函数g (x )是减函数，g (0)= 60>，g (3)=3>0， g (4)=4 3e -<0， 存在()03,4x ∈，使得g (0x )=0，且当x ∈（0，0x ），g (x )>0，即f ′（x ）＞0，函数f （x ）是增函数， 当x ∈（0x ，+∞），g (x )<0，即f ′（x ）＜0，函数f （x ）是减函数， ∴B 不正确， 故选：D ．【点睛】本题考查函数图象的判断，一般通过函数的定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性、特殊点以及变化趋势判断．9.已知角α的顶点在坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，将α的终边按顺时针方向旋转4π后经过点（3，4），则sin 2α=（ ）A. 1225-B. 725-C.725D.2425【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义及二倍角的余弦公式，求得结果．【详解】∵角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边按顺时针方向旋转4π后经过点（3，4），∴345cos πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴27212?2242542cos cos cos sin πππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴7225sin α=-， 故选：B ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式，考查了逻辑思维能力，属于基础题．10.若函数()sin(2)(0)f x x ϕϕ=+>的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ϕ的最小值为（ ） A.12πB.6π C.3π D.512π 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦函数图象的性质可得φ＝23k ππ-，（k ∈z ）再求解即可． 【详解】由f (x )＝sin （2x +φ），令23π⨯+φ＝kπ，（k ∈z ） 得：φ23k ππ=-，（k ∈z ）又φ＞0，所以k =1时 则φmin 3π=，故选：C ．【点睛】本题考查了正弦函数图象的性质，属简单题．11.已知向量a r =22b a b =⋅=-r r r ，，.若1c a b --=r r r ，则c r的取值范围是（ ）A. 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. [2,3]D. [1,3]【答案】D 【解析】 【分析】由题意得到a r ，b r是夹角为23π，模为2的两个向量，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ， O C c =u u u r r ，利用向量加减法的几何意义求出C 的轨迹，则可求得c r的取值范围.【详解】因为向量a r =22b a b a b cos θ=⋅==-r r r r r ，，可得12cos θ=-，所以a r ，b r是夹角为23π，模为2的两个向量，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ， O C c =u u u r r ，则A ，B 在以原点为圆心，2为半径的圆上，如图，不妨令A （2，0），则B （-13，则13OA OB OD +==u u u r u u u r u u u r，，则1c a b OC OA OB OC OD DC --=--=-==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r rr r ，所以C 在以D 为圆心，1为半径的圆上，c OC =u u ur r ，即求以D 为圆心，1为半径的圆上的动点C 到（0，0）的距离的最值问题，又|OD |2=．所以OC u u u r∈[21-，21+]= [1，3]，故选：D ．【点睛】本题考查了向量加减法的几何意义的应用，考查了动点的轨迹问题，考查了转化思想，解题时我们要根据题目中已知的条件，选择转化的方向，属于中档题.12.定义在R 上的可导函数()f x 满足(2)()22-=-+f x f x x ，记()f x 的导函数为()f x '，当1x „时恒有()1f x '<.若()(12)31---…f m f m m ，则m 的取值范围是（ ） A. (],1-∞- B. 1,13⎛⎤- ⎥⎝⎦C. [)1,-+∞D. 11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】令g （x ）＝f （x ）-x ，求得g （x ）＝g （2﹣x ），则g （x ）关于x =1对称，再由导数可知g （x ）在1x „时为减函数，化f （m ）﹣f （1﹣2m ）≥3m ﹣1为g （m ）≥g （1﹣2m ），利用单调性及对称性求解．【详解】令g （x ）＝f （x ）-x ，g ′（x ）＝f ′（x ）﹣1，当x ≤1时，恒有f '（x ）＜1．∴当x ≤1时，g （x ）减函数，而g （2﹣x ）＝f （2﹣x ）-（2﹣x ）， ∴由(2)()22-=-+f x f x x 得到f （2﹣x ）-（2﹣x ）=f （x ）-x∴g （x ）＝g （2﹣x ）． 则g （x ）关于x =1对称，由f （m ）﹣f （1﹣2m ）≥3m ﹣1，得f （m ）-m ≥f （1﹣2m ）-（1﹣2m ）， 即g （m ）≥g （1﹣2m ），∴1121m m -≥--，即-113m ≤≤． ∴实数m 的取值范围是[﹣1，13]． 故选：D ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解答该题的关键，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年四川省广安市、眉山市、遂宁市、自贡市高考数学二诊试卷(理科)+答案解析(附后)
2023年四川省广安市、眉山市、遂宁市、自贡市高考数学二诊试卷（理科）1. 已知，则( )A. B. C. D.2. 设全集为R，集合，，则( )A. B.C. D.3. 某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物.为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，其高度单位：均在区间内，按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于16cm的为“优质苗”.则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为( )A. 20B. 40C. 60D. 884. 数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为( )A. B.C. D.5. 已知，则( )A. B. C. D.6. 一个四棱台的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为上底长为2，下底长为4，腰长为2的等腰梯形，则该四棱台的体积为( )A. B. C. D. 567. 已知实数a，b满足，则下列各项中一定成立的是( )A. B. C. D.8.已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面ABCD的射影为BC中点H，则直线与平面ABCD所成角的正弦值为( )A. B. C. D.9. 已知函数给出下列结论：①是的最小值；②函数在上单调递增；③将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象.其中所有正确结论的序号是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③10. 已知直线l：与抛物线交于点A、B，以线段AB为直径的圆经过定点，则( )A. 4B. 6C. 8D. 1011. 在菱形ABCD中，，，将绕对角线BD所在直线旋转至BPD，使得，则三棱锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D.12. 若存在，使不等式成立，则a的取值范围是( )A. B. C. D.13. 已知，，，则实数______ .14. 已知的展开式中含项的系数为，则______ .15. 已知O为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线从左往右顺次交于A，B两点.若，则双曲线C的离心率为______ .16. 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、若，且，则周长的最大值为______ .17. 某商店销售某种产品，为了解客户对该产品的评价，现随机调查了200名客户，其评价结果为“一般”或“良好”，并得到如下列联表：一般良好合计男20100120女305080合计50150200通过计算判断，有没有的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？该商店在春节期间开展促销活动，该产品共有如下两个销售方案.方案一：按原价的8折销售；方案二：顾客购买该产品时，可在一个装有4张“每满200元少80元”，6张“每满200元少40元”共10张优惠券的不透明箱子中，随机抽取1张，购买时按照所抽取的优惠券进行优惠.已知该产品原价为元/件顾客甲若想采用方案二的方式购买一件产品，估计顾客甲需支付的金额；你认为顾客甲选择哪种购买方案较为合理？附表及公式：其中，18. 已知数列是公差为2的等差数列，是公比大于0的等比数列，，求数列和的通项公式；若数列满足，求的前n项和19. 如图，在三棱锥中，H为的内心，直线AH与BC交于M，，证明：平面平面ABC；若，，，求二面角的余弦值.20. 已知椭圆经过，两点，M，N是椭圆E上异于T的两动点，且，若直线AM，AN的斜率均存在，并分别记为，求证：为常数；求面积的最大值.21. 已知函数有两个极值点，求a的取值范围；若，求的取值范围.22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为求C的直角坐标方程；设直线l与曲线C交于A，B，求23. 设函数解不等式；令的最小值为T，正数x，y，z满足，证明：答案和解析1.【答案】D【解析】解：，，，则，故选：利用复数的四则运算法则即可得出．本题考查了复数的四则运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：，又，故故选：求出集合A中元素范围，再结合交集、补集的定义，即可求解．本题主要考查补集、交集的定义，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由频率分布直方图知，高度不低于16cm的频率为，所以选取的农作物样本苗中“优质苗”株数为故选：根据频率分布直方图求高度不低于16cm的频率和频数即可．本题考查了利用频率分布直方图求频率和频数的应用问题，是基础题．4.【答案】A【解析】解：对于A，函数，定义域为R，因为，所以函数为奇函数，又，故A符合图象；对于B，函数，定义域为R，因为，所以函数为奇函数，又，故B不符题意；对于C，函数，定义域为R，因为，故C不符题意；对于D，当时，，故D不符题意．故选：根据函数的奇偶性，再利用特殊值法，逐一判断即可．本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：，可得，，，又，故选：由已知利用二倍角公式可得，进而根据同角三角函数基本关系式即可计算得解．本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由三视图知，该四棱台的上、下底面都是正方形，且正方形的边长分别为2和4，高为所以四棱台的体积为故选：由三视图得出该四棱台的上、下底面都是正方形，且正方形的边长分别为2和4，求出高，再计算四棱台的体积．本题考查了三视图、四棱台的体积计算问题，是基础题．7.【答案】D【解析】解：因为，所以，则，故A错误；当时，，所以，故B错误；因为，所以，所以，即，故C错误；因为，所以，，即，故D正确．故选：由，可得，根据不等式的性质即可判断A；根据正弦函数的单调性即可判断B；根据对数函数的单调性即可判断C；根据指数函数及幂函数的单调性即可判断本题主要考查了不等式的性质，考查了正弦函数、对数函数和指数函数的单调性，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：点在底面ABCD的射影为BC中点H，则平面ABCD，又四边形ABCD为正方形，以点H为坐标原点，、、的方向分别为、y、z轴正方向，建系如图，平面ABCD，平面ABCD，，，，，、、、，，易知平面ABCD的一个法向量为，，直线与平面ABCD所成角的正弦值为故选：由已知可得平面ABCD，然后以点H为坐标原点，、、的方向分别为x、y 、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面ABCD所成角的正弦值．本题考查向量法求解线面角问题，化归转化思想，属中档题．9.【答案】B【解析】解：，对于①，，是的最小值，故①正确；对于②，当时，，所以函数在区间上不具有单调性，故②错误；对于③，将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，得，故③正确，所以正确的有①③．故选：先利用辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质即可判断①②，根据平移变换的原则即可判断③．本题主要考查了三角函数的恒等变形，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：记，则直线l的方程可表示为，设点、，联立，整理得，，则，由韦达定理得，，，，又，则，解得，故选：记，则直线l的方程可表示为，设点、，将直线l的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理，结合以及可求得的值，再利用弦长公式，即可得出答案．本题考查抛物线的性质和直线与抛物线的综合应用，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：如图，取BD的中点M，连接PM，AM，在菱形ABCD中，，则，都是等边三角形，则，因为平面平面，所以即为二面角的平面角，因为，所以，即，所以平面平面ABD，如图，设点E为的外接圆的圆心，则E在AM上，且，设点O为三棱锥的外接球的球心，则平面ABD，外接球的半径为R，设，则，解得，所以，所以三棱锥的外接球的表面积为故选：如图，取BD的中点M，连接的PM，AM，利用勾股定理证明，则有平面平面ABD，设点E为的外接圆的圆心，则E在AM上，设点O为三棱锥的外接球的球心，外接球的半径为R，利用勾股定理求出外接球的半径，再根据球的表面积公式即可得解．本题主要考查了三棱锥的外接球问题，考查了学生的空间想象能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：因为成立，即，即，即，令，即有，因为，所以，令，则原问题等价于存在，使得成立，因为，令，即，解得，令，即，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，又因为，，而，所以当时，，若存在，使得成立，只需且，解得且，所以，故a的取值范围为故选：由成立，可得，令，构造函数，从而问题转化为存在，使得成立，求导判断单调性求得当时，，，进而得到且，即可求解．本题考查了转化思想、导数的综合运用，构造函数是解答本题的关键，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：由已知得，，解得故答案为：先求出向量的坐标，再利用模的坐标运算列方程求解即可．本题主要考查了向量的坐标表示，属于基础题．14.【答案】【解析】解：，又的展开式通项为，的展开式通项为，，解得故答案为：求出的展开式通项，然后利用含项的系数为列方程求解．本题主要考查二项式定理，属于基础题．15.【答案】【解析】解：双曲线的渐近线方程为，由题意可得，则，联立，解得，联立，解得，因为两条渐近线从左往右顺次交于A，B两点，且，所以，，，所以，因为，所以，整理得，则，解得或舍去，所以离心率故答案为：分别联立直线与双曲线渐近线的方程，求出A，B两点的坐标，再根据A在B的右侧，可得，再根据，求得a，b的齐次式，由此求出，进而可得答案．本题主要考查双曲线的性质，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：因为，由正弦定理可得，所以，，因为A、，则，所以，，故，由余弦定理可得，所以，，即，故，当且仅当时，等号成立，故周长的最大值为故答案为：利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的值，结合角B的取值范围可求得角B的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，即可得出周长的最大值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．17.【答案】解：，所以有的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系；若甲顾客按方案二购买一件产品，设需要出X元，则X可取180，220，，所以元，所以顾客甲若想采用方案二的方式购买一件产品，估计顾客甲需支付204元，若甲顾客按方案一购买一件产品，则需要元，因为，所以顾客甲选择方案二购买较为合理．【解析】根据公式求出，再对照临界值表即可得出结论；设甲顾客按方案二购买一件产品需要出X元，写出X的所有可能取值，求出对应概率，再根据期望公式求出期望即可，再求出选择方案一所需的金额，即可得出结论．本题主要考查了独立性检验的应用，考查了离散型随机变量的期望，属于中档题．18.【答案】解：数列是公差为2的等差数列，，得，，是公比大于0的等比数列，，设公比为q，，，解得负值舍去，；由得，①，②，①-②得，【解析】由等差数列的求和公式解方程可得首项，进而得到；由等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到；由等比数列的求和公式，结合数列的错位相减法求和，可得所求和．本题考查等差数列与等比数列的通项公式的求解，错位相减法求和，属中档题．19.【答案】解：证明：设平面ABC，垂足为N，作于E，于F，连接PE，PF，因为平面ABC，AB，平面ABC，所以，，又，，NE，平面PNE，所以平面PNE，又平面PNE，所以，因为，，NF，平面PNF，所以平面PNF，又平面PNF，所以，在和中，因为，，所以，所以，在和中，，，所以，所以，即点N到AB，AC的距离相等，同理点N到BC，AC的距离相等，所以点N为的内心，所以N，H两点重合，所以平面ABC，又因平面PAM，所以平面平面ABC；如图，以点B为原点建立空间直角坐标系，则，，，设内切圆的半径为r，则，即，解得，故，则，，则，设平面AHP的法向量，则，即，可取，设平面ACP的法向量，则，即，可取，则，由图可得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为【解析】设平面ABC，垂足为N，作于E，于F，连接PE，PF，先证明，从而可证得，从而可得点N为的内心，即N，H 两点重合，再根据面面垂直的判定定理即可得证；以点B为原点建立空间直角坐标系，利用等面积法求得内切圆的半径，再利用勾股定理求得PH，即可得P，H的坐标，再利用向量法求解即可．本题考查面面垂直的判定定理，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．20.【答案】证明：设直线AM，AT，AN的倾斜角分别为，，，因为，所以，即，故，因为，，所以，所以，所以，则，所以为常数1；解：椭圆经过，两点，代入得，解得，所以椭圆方程为，设，，，由得，则AM的方程为，，AN的方程为，联立，消y得，则，同理可得，则，令，则，当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为【解析】设直线AM，AT，AN的倾斜角分别为，，，根据，可得，即，求出，从而可得出结论；利用待定系数法求出椭圆方程，设，，，联立方程求出，，再根据，化简计算结合基本不等式即可得解．本题主要考查椭圆的性质，直线与椭圆的综合，圆锥曲线中最值的求法，考查运算求解能力，属于难题．21.【答案】解：，由题意得方程有两个不同的实数根，即有两个不同的实数根，设，对其求导得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以时，函数取得极大值，极大值为，又因为时，，时，，且时，，所以方程有两个不同的实数根时，可得，即函数有两个极值点时，a的取值范围是；由知，函数的两个极值点，是方程的两根，且，则有，两式相除，可得，可得，又由，可得，所以，令，则，令，，原不等式可转化为恒成立，因为，令，则，令，易得在上单调递增，又由，，则存在，使得，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增，又，，所以存在，使得当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，又，所以当时，，则，单调递减，当时，，则，单调递增，所以当时，，所以，故实数的取值范围为【解析】根据题意转化为方程有两个不同的实根，设，求得，求得函数的单调性和极大值，进而求得a的取值范围；由得到，得出，令，得到，求得，令，取得，再令，利用导数求得的单调性，进而得出单调递性和最小值，即可求解．本题主要考查了函数极值存在条件的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．22.【答案】解：曲线C的极坐标方程为，，，化简整理可得，，故曲线C的直角坐标方程为；直线l的方程可改写为为参数，将其代入曲线C的方程，化简整理可得，，设点A，B对应的参数为，，由韦达定理可知，，，故【解析】根据已知条件，结合极坐标公式，即可求解；根据已知条件，将直线l进行变形，再结合参数方程的几何意义，即可求解．本题主要考查极坐标公式，以及参数方程的几何意义，属于中档题．23.【答案】解：当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得，综上所述，不等式的解集为；证明：由题，当且仅当即时取“等号”，故的最小值，即，则，所以，当且仅当，即，时取等号，所以【解析】分，，三种情况讨论，去绝对值符号，从而可得答案；根据绝对值的三角不等式求出的最小值，再根据基本不等式中“1”的整体代换结合基本不等式即可得证．本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了基本不等式的应用，属于中档题．。
2024年四川高考数学(理)试题(含答案)
2024年四川高考数学(理)试题及答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设5i z =+，则()i z z +=（ ）A 10iB. 2iC. 10D. 2-【答案】A 【解析】【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.【详解】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=.故选：A2. 集合{}}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则()A A B ⋂=ð（ ）A. {}1,4,9B. {}3,4,9 C. {}1,2,3 D. {}2,3,5【答案】D 【解析】【分析】由集合B 的定义求出B ，结合交集与补集运算即可求解.【详解】因为{}}1,2,3,4,5,9,A B A ==，所以{}1,4,9,16,25,81B =，则{}1,4,9A B = ，(){}2,3,5A A B = ð 故选：D3. 若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A. 5 B.12C. 2-D. 72-【答案】D 【解析】【分析】画出可行域后，利用z 的几何意义计算即可得.【详解】实数,x y 满足43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：.由5z x y =-可得1155y x z =-，即z 的几何意义为1155y x z =-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线1155y x z =-过点A ，联立43302690x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得321x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则min 375122z =-⨯=-.故选：D.4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（ ）A. 2- B.73C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】由510S S =结合等差中项的性质可得80a =，即可计算出公差，即可得1a 的值.【详解】由105678910850S S a a a a a a -=++++==，则80a =，则等差数列{}n a 的公差85133a a d -==-，故151741433a a d ⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭.故选：B.5. 已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,4)-，点(6,4)-在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A. 4 B. 3C. 2D.【答案】C 【解析】【分析】由焦点坐标可得焦距2c ，结合双曲线定义计算可得2a ，即可得离心率.【详解】设()10,4F -、()20,4F 、()6,4-P ，则1228F F c ==，110PF ==，26PF ==，则1221064a PF PF =-=-=，则28224c e a ===.故选：C.6. 设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A.16B.13C.12D.23【答案】A 【解析】【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点()0,1处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积.【详解】()()()()()222e 2cos 1e 2sin 21xx x x x xf x x ++-+⋅'=+，则()()()()()2e 2cos 010e 2sin 000310f ++-+⨯'==+，即该切线方程为13y x -=，即31y x =+，令0x =，则1y =，令0y =，则13x =-，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积1111236S =⨯⨯-=.故选：A.7. 函数()()2e e sin x x f x x x -=-+-在区间[2.8,2.8]-的大致图像为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22e e sin e e sin x x x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42ef ⎛⎫⎛⎫=-+->-+-=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.8. 已知cos cos sin ααα=-，则πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A. 1+B. 1- C.D. 1【答案】B 【解析】【分析】先将cos cos sin αα-α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos cos sin ααα=-，所以11tan =-α，tan 1⇒α=-，所以tan 1tan 11tan 4α+π⎛⎫==-α+⎪-α⎝⎭，故选：B.9. 已知向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（ ）A. “3x =-”是“a b ⊥”的必要条件 B. “3x =-”是“//a b”的必要条件C. “0x =”是“a b ⊥ ”的充分条件D. “1x =-”是“//a b”的充分条件【答案】C 【解析】【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对A ，当a b ⊥ 时，则0a b ⋅=，所以(1)20x x x ⋅++=，解得0x =或3-，即必要性不成立，故A 错误；对C ，当0x =时，()()1,0,0,2a b ==，故0a b ⋅=，所以a b ⊥，即充分性成立，故C 正确；对B ，当//a b时，则22(1)x x +=，解得1x =±，即必要性不成立，故B 错误；对D ，当1x =-+时，不满足22(1)x x +=，所以//a b不成立，即充分性不立，故D 错误.故选：C.10. 设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（ ）A. ①③ B. ②④C. ①②③D. ①③④【答案】A 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.【详解】对①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，故①正确；对②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，故②错误；对③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ= ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，故③正确；对④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，故④错误；综上只有①③正确，故选：A.11. 在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A.32B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】利用正弦定理得1sin sin 3A C =，再利用余弦定理有22134a c ac+=，再利用正弦定理得到22sin sin A C +的值，最后代入计算即可.【详解】因为29,34B b ac π==，则由正弦定理得241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:22294b ac ac ac =+-=，即:22134a c ac +=，根据正弦定理得221313sin sin sin sin 412A C A C +==，所以2227(sin sin )sin sin 2sin sin 4A C A C A C +=++=，因为,A C 为三角形内角，则sin sin 0A C +>，则sin sin A C +=.故选：C.12. 已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A. 2 B. 3C. 4D. 【答案】C 【解析】【分析】结合等差数列性质将c 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.【详解】因为,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，2c b a =-，代入直线方程0ax by c ++=得20ax by b a ++-=，即()()120a x b y -++=，令1020x y -=⎧⎨+=⎩得12x y =⎧⎨=-⎩，故直线恒过()1,2-，设()1,2P -，圆化为标准方程得：()22:25C x y ++=，设圆心为C ，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC AB ⊥时，AB最小，1,PC AC r ===，此时24AB AP ====.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是______．【答案】5【解析】【分析】先设展开式中第1r +项系数最大，则根据通项公式有1091101010111101011C C 3311C C 33r rr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，进而求出r即可求解.【详解】由题展开式通项公式为101101C 3rr r r T x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，010r ≤≤且r ∈Z ，设展开式中第1r +项系数最大，则1091101010111101011C C 3311C C 33rrr r r rr r --+---⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，294334r r ⎧≥⎪⎪⇒⎨⎪≤⎪⎩，即293344r ≤≤，又r ∈Z ，故8r =，所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为28101C 53⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为：5.14. 已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r -和()213r r -，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙______．【解析】【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解.【详解】由题可得两个圆台的高分别为)12h r r ==-甲，)12h r r ==-乙，所以V h V h ====甲甲乙乙.15. 已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ______．【答案】64【解析】【分析】将8log ,log 4a a 利用换底公式转化成2log a 来表示即可求解.【详解】由题28211315log log log 4log 22a a a a -=-=-，整理得()2225log 60log a a --=，2log 1a ⇒=-或2log 6a =，又1a >，所以622log 6log 2a ==，故6264a ==故答案为：64.16. 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是______．【答案】715【解析】【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为,a b ，第三个球的号码为c ，则323a b c a b +-≤≤++，就c 的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有36A 120=种，设前两个球的号码为,a b ，第三个球的号码为c ，则1322a b c a b +++-≤，故2()3c a b -+≤，故32()3c a b -≤-+≤，故323a b c a b +-≤≤++，若1c =，则5a b +≤，则(),a b 为：()()2,3,3,2，故有2种，若2c =，则17a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()1,3,1,4,1,5,1,6,3,4，()()()()()3,1,4,1,5,1,6,1,4,3，故有10种，当3c =，则39a b ≤+≤，则(),a b 为：()()()()()()()()1,2,1,4,1,5,1,6,2,4,2,5,2,6,4,5，()()()()()()()()2,1,4,1,5,1,6,1,4,2,5,2,6,2,5,4，故有16种，当4c =，则511a b ≤+≤，同理有16种，当5c =，则713a b ≤+≤，同理有10种，当6c =，则915a b ≤+≤，同理有2种，共m 与n 的差的绝对值不超过12时不同的抽取方法总数为()22101656++=，故所求概率为56712015=.故答案为：715三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据，能否认为12.247≈）附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++()2P K k≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】（1）答案见详解（2）答案见详解【解析】【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算2K，并与临界值对比分析；（2）用频率估计概率可得0.64p=，根据题意计算p+.【小问1详解】根据题意可得列联表：优级品非优级品甲车间2624乙车间7030可得()2215026302470754.687550100965416K⨯-⨯===⨯⨯⨯，因为3.841 4.6875 6.635<<，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.【小问2详解】由题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为960.64 150=，用频率估计概率可得0.64p=，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=，则0.50.50.5 1.650.56812.247p +=+≈+⨯≈，可知p p >+，所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.18. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且434n n S a =+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设1(1)n n n b na -=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．【答案】（1）14(3)n n a -=⋅- （2）(21)31n n T n =-⋅+【解析】【分析】（1）利用退位法可求{}n a 的通项公式．（2）利用错位相减法可求n T .【小问1详解】当1n =时，1114434S a a ==+，解得14a =．当2n ≥时，11434n n S a --=+，所以1144433n n n n n S S a a a ---==-即13n n a a -=-，而140a =≠，故0n a ≠，故13nn a a -=-，∴数列{}n a 是以4为首项，3-为公比的等比数列，所以()143n n a -=⋅-.【小问2详解】111(1)4(3)43n n n n b n n ---=-⋅⋅⋅-=⋅,所以123n n T b b b b =++++ 0211438312343n n -=⋅+⋅+⋅++⋅ 故1233438312343nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅ 所以1212443434343n nn T n --=+⋅+⋅++⋅-⋅()1313444313n nn --=+⋅-⋅-()14233143n nn -=+⋅⋅--⋅(24)32n n =-⋅-，(21)31n n T n ∴=-⋅+.19. 如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点．（1）证明：//BM 平面CDE ；（2）求二面角F BM E --的正弦值．【答案】（1）证明见详解； （2【解析】【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证//BM CD ，进而得证；（2）作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，易证,,OB OD OF 三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解.【小问1详解】因为//,2,4,BC AD EF AD M ==为AD 的中点，所以//,BC MD BC MD =，四边形BCDM 平行四边形，所以//BM CD ，又因为BM ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，所以//BM 平面CDE ；【小问2详解】如图所示，作BO AD ⊥交AD 于O ，连接OF ，因为四边形ABCD 为等腰梯形，//,4,BC AD AD =2AB BC ==，所以2CD =，结合（1）BCDM 为平行四边形，可得2BM CD ==，又2AM =，为所以ABM 为等边三角形，O 为AM中点，所以OB =，又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD 中点，所以,//EF MD EF MD =，四边形EFMD 为平行四边形，FM ED AF ==，所以AFM △为等腰三角形，ABM 与AFM △底边上中点O 重合，OF AM ⊥，3OF ==，因为222OB OF BF +=，所以OB OF ⊥，所以,,OB OD OF 互相垂直，以OB 方向为x 轴，OD 方向为y 轴，OF 方向为z 轴，建立O xyz -空间直角坐标系，()0,0,3F，)()(),0,1,0,0,2,3BM E，()(),BM BF ==，()2,3BE = ，设平面BFM 的法向量为()111,,m x y z =，平面EMB 的法向量为()222,,n x y z =，则00m BM m BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111030y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令1x =113,1y z ==，即)m =，则00n BM n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220230y y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，令2x =，得223,1y z ==-，即)1n =-，11cos ,13m n m n m n ⋅===⋅，则sin ,m n =，故二面角F BM E --20. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．（1）求C 的方程；（2）过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q，证明：AQ y ⊥轴．【答案】（1）22143x y += （2）证明见解析【解析】【分析】（1）设(),0F c ，根据M 的坐标及MF ⊥x 轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线方程和椭圆方程，用,A B 的坐标表示1Q y y -，结合韦达定理化简前者可得10Q y y -=，故可证AQ y ⊥轴.【小问1详解】设(),0F c ，由题设有1c =且232b a =，故2132a a -=，故2a =，故b =故椭圆方程为22143x y +=.【小问2详解】直线AB 的斜率必定存在，设:(4)AB y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得()2222343264120k x k x k +-+-=，故()()422Δ102443464120k k k=-+->，故1122k -<<，又22121222326412,3434k k x x x x k k -+==++，而5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故直线225:522y BN y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，故22223325252Qy y y x x --==--，所以()1222112225332525Q y x y y y y y x x ⨯-+-=+=--()()()12224253425k x x k x x -⨯-+-=-()222212122264123225825834342525k k x x x x k k k kx x -⨯-⨯+-++++==--2222212824160243234025k k k k k x --+++==-，故1Q y y =，即AQ y ⊥轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.21. 已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-．（1）当2a =-时，求()f x 的极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．【答案】（1）极小值0，无极大值. （2）12a ≤-【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就12a ≤-、102a -<<、0a ≥分类讨论后可得参数的取值范围.小问1详解】当2a =-时，()(12)ln(1)f x x x x =++-，故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x +'=++-=+-+++，因为12ln(1),11y x y x=+=-++在()1,∞-+上为增函数，为【故()f x '在()1,∞-+上为增函数，而(0)0f '=，故当10x -<<时，()0f x '<，当0x >时，()0f x '>，故()f x 在0x =处取极小值且极小值为()00f =，无极大值.【小问2详解】()()()()11ln 11ln 1,011a x axf x a x a x x x x+-=-+'+-=-+->++，设()()()1ln 1,01a x s x a x x x+=-+->+，则()()()()()()222111211111a a x a aax a s x x x x x ++++-++=-=-=-+++'+，当12a ≤-时，()0s x '>，故()s x 在()0,∞+上增函数，故()()00s x s >=，即()0f x '>，所以()f x 在[)0,∞+上为增函数，故()()00f x f ≥=.当102a -<<时，当210a x a+<<-时，()0s x '<，故()s x 在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上为减函数，故在210,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()0s x s <，即在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上()0f x '<即()f x 为减函数，故在210,a a +⎛⎫-⎪⎝⎭上()()00f x f <=，不合题意，舍.当0a ≥，此时()0s x '<在()0,∞+上恒成立，同理可得在()0,∞+上()()00f x f <=恒成立，不合题意，舍；综上，12a ≤-.【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．为[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）设直线l ：x ty t a=⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.【答案】（1）221y x =+ （2）34a =【解析】【分析】（1）根据cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩C 的直角方程.（2）将直线的新的参数方程代入C 的直角方程，法1：结合参数s 的几何意义可得关于a 的方程，从而可求参数a 的值；法2：将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求a 的值.【小问1详解】由cos 1ρρθ=+，将cos xρρθ⎧⎪=⎨=⎪⎩cos 1ρρθ=+，1x =+，两边平方后可得曲线的直角坐标方程为221y x =+.【小问2详解】对于直线l 的参数方程消去参数t ，得直线的普通方程为y x a =+.法1：直线l 的斜率为1，故倾斜角为π4，故直线的参数方程可设为x y a s ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，s ∈R .将其代入221y x =+中得()221)210s a s a +-+-=设,A B 两点对应的参数分别为12,s s，则)()212121,21s s a s s a +=--=-，且()()22Δ818116160a a a =---=->，故1a <，12AB s s ∴=-=2==，解得34a =.法2：联立221y x ay x =+⎧⎨=+⎩，得22(22)10x a x a +-+-=，()22Δ(22)41880a a a =---=-+>，解得1a <，设()()1122,,,A x y B x y ,2121222,1x x a x x a ∴+=-=-，则AB ==2=，解得34a =[选修4-5：不等式选讲]23. 实数,a b 满足3a b +≥．（1）证明：2222a b a b +>+；（2）证明：22226a b b a -+-≥．【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用22222()a b a b +≥+即可证明.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.【小问1详解】因为()()2222222022a b a ab b a b b a -+=--++=≥，当a b =时等号成立，则22222()a b a b +≥+，因为3a b +≥，所以22222()a b a b a b +≥+>+;【小问2详解】222222222222()a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+22222()()()()(1)326a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥⨯=。
2021年四川省资阳市高考数学二诊试卷(文科)
2021年四川省资阳市高考数学二诊试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|x2≤1}，则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣2＜x≤1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1＜x＜1} 2．（5分）复数z满足z（1﹣2i）=3+2i，则z=（）A． B． C．D．3．（5分）已知命题p：∃x0∈（0，3），x0﹣2＜lgx0，则￢p为（）A．∀x∈（0，3），x﹣2＜lgx B．∀x∈（0，3），x﹣2≥lgxC．∃x0∉（0，3），x0﹣2＜lgx0D．∃x0∈（0，3），x0﹣2≥lgx04．（5分）已知直线l1：ax+（a+2）y+2=0与l2：x+ay+1=0平行，则实数a的值为（）A．﹣1或2 B．0或2 C．2 D．﹣15．（5分）若sin（π﹣α）=，且≤α≤π，则sin2α的值为（）A．﹣B．﹣C．D．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．πC． D．2π7．（5分）为考察A、B两种药物预防某疾病的成效，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：依照图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）A．药物A、B对该疾病均没有预防成效B．药物A、B对该疾病均有显著的预防成效C．药物A的预防成效优于药物B的预防成效D．药物B的预防成效优于药物A的预防成效8．（5分）某程序框图如图所示，若输入的a，b分别为12，30，则输出的a=（）A．4 B．6 C．8 D．109．（5分）若点P为抛物线C：y=2x2上的动点，F为C的焦点，则|PF|的最小值为（）A．1 B．C．D．10．（5分）一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成（半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心），则该器皿的表面积为（）A．π+45 B．2π+45 C．π+54 D．2π+5411．（5分）已知函数f（x）=lnx，它在x=x0处的切线方程为y=kx+b，则k+b的取值范畴是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，0]C．[1，+∞）D．[0，+∞）12．（5分）边长为8的等边△ABC所在平面内一点O，满足﹣3=，若||=，则|PA|的最大值为（）A．6 B．2C．3D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）某校高三年级有900名学生，其中男生500名．若按照男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的女生人数为．14．（5分）设实数x，y满足约束条件，则x﹣2y的最小值为．15．（5分）如图，为测量竖直旗杆CD高度，在旗杆底部C所在水平地面上选取相距4m的两点A，B，在A处测得旗杆底部C在西偏北20°的方向上，旗杆顶部D的仰角为60°；在B处测得旗杆底部C在东偏北10°方向上，旗杆顶部D 的仰角为45°，则旗杆CD高度为m．16．（5分）已知函数f（x）=假如存在n（n≥2）个不同实数x1，x2，…，x n，使得成立，则n的值为．三、解答题：共70分．解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依照要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=a n log2a n，求{b n}的前n项和T n．18．（12分）某地区某农产品近几年的产量统计如表：年份202020202020202020212021年份代码t123456年产量y（万吨） 6.6 6.777.17.27.4（1）依照表中数据，建立y关于t的线性回来方程；（2）依照（1）中所建立的回来方程推测该地区2020年（t=7）该农产品的产量．附：关于一组数据（t1，y1），（t2，y2），…，（t n，y n），其回来直线的斜率和截距的最小二乘估量分别为：，．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，四边形ACC1A1是边长为2的菱形，∠A1AC=60°，AB=BC，AB⊥BC，E，F分别为AC，B1C1的中点．（1）求证：直线EF∥平面ABB1A1；（2）设P，Q分别在侧棱AA1，C1C上，且PA=QC1，求平面BPQ分棱柱所成两部分的体积比．20．（12分）已知椭圆C：的离心率，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过P作两条直线l1，l2与圆相切且分别交椭圆于M，N两点，求证：直线MN的斜率为定值．21．（12分）已知函数f（x）=（x＞0，a∈R）．（1）当a＞﹣时，判定函数f（x）的单调性；（2）当f（x）有两个极值点时，求a的取值范畴，并证明f（x）的极大值大于2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．假如多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（其中t为参数），在以原点O为极点，以x轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．（1）求直线l的一般方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设M是曲线C上的一动点，OM的中点为P，求点P到直线l的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）=|2x+a|+|x﹣2|（其中a∈R）．（1）当a=﹣4时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥3a2﹣|2﹣x|恒成立，求a的取值范畴．2020年四川省资阳市高考数学二诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|x2≤1}，则A∩B=（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣2＜x≤1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1＜x＜1}【解答】解：A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x2≤1}={x|﹣1≤x≤1}，则A∩B={x|﹣1＜x≤1}，故选：C2．（5分）复数z满足z（1﹣2i）=3+2i，则z=（）A． B． C．D．【解答】解：由z（1﹣2i）=3+2i，得，故选：A．3．（5分）已知命题p：∃x0∈（0，3），x0﹣2＜lgx0，则￢p为（）A．∀x∈（0，3），x﹣2＜lgx B．∀x∈（0，3），x﹣2≥lgxC．∃x0∉（0，3），x0﹣2＜lgx0D．∃x0∈（0，3），x0﹣2≥lgx0【解答】解：由特称命题的否定为全称命题，可得命题p：∃x0∈（0，3），x0﹣2＜lgx0，则￢p为：∀x∈（0，3），x﹣2≥lgx，故选B．4．（5分）已知直线l1：ax+（a+2）y+2=0与l2：x+ay+1=0平行，则实数a的值为（）A．﹣1或2 B．0或2 C．2 D．﹣1【解答】解：由a•a﹣（a+2）=0，即a2﹣a﹣2=0，解得a=2或﹣1．通过验证可得：a=2时两条直线重合，舍去．∴a=﹣1．故选：D．5．（5分）若sin（π﹣α）=，且≤α≤π，则sin2α的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵sin（π﹣α）=，∴sinα=，又∵≤α≤π，∴cosα=﹣=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=2×（﹣）=﹣．故选：A．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．πC． D．2π【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是扣在平面上的一个半圆柱，其中，半圆柱的底面半径为r=1，高为h=2，∴该几何体的体积为：V==π．故选：B．7．（5分）为考察A、B两种药物预防某疾病的成效，进行动物试验，分别得到如下等高条形图：依照图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（）A．药物A、B对该疾病均没有预防成效B．药物A、B对该疾病均有显著的预防成效C．药物A的预防成效优于药物B的预防成效D．药物B的预防成效优于药物A的预防成效【解答】解：依照两个表中的等高条形图知，药物A实验显示不服药与服药时患病的差异较药物B实验显示明显大，∴药物A的预防成效优于药物B的预防成效．故选：C．8．（5分）某程序框图如图所示，若输入的a，b分别为12，30，则输出的a=（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：模拟程序的运行，可得a=12，b=30，a＜b，则b变为30﹣12=18，不满足条件a=b，由a＜b，则b变为18﹣12=6，不满足条件a=b，由a＞b，则a变为12﹣6=6，由a=b=6，则输出的a=6．故选：B．9．（5分）若点P为抛物线C：y=2x2上的动点，F为C的焦点，则|PF|的最小值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：由y=2x2，得，∴2p=，则，由抛物线上所有点中，顶点到焦点距离最小可得，|PF|的最小值为．故选：D．10．（5分）一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成（半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心），则该器皿的表面积为（）A．π+45 B．2π+45 C．π+54 D．2π+54【解答】解：如图，该器皿的表面积是棱长为3的正方体的表面积减去半径为1的圆的面积，再加上半径为1的半球的表面积，∴该器皿的表面积为：S=6×（3×3）π×12+=54﹣π+2π=π+54．故选：C．11．（5分）已知函数f（x）=lnx，它在x=x0处的切线方程为y=kx+b，则k+b的取值范畴是（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣∞，0]C．[1，+∞）D．[0，+∞）【解答】解：依照题意，函数f（x）=lnx，其导数为f′（x）=，则有f′（x0）=，即k=，又由切点的坐标为（x0，lnx0），则切线的方程为y﹣lnx0=k（x﹣x0），变形可得：y=kx﹣kx0+lnx0，则有b=lnx0﹣1，则k+b=（lnx0﹣1）+，设g（x）=（lnx﹣1）+，则有g′（x）=﹣=，分析可得：在（0，1）上，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上为增函数，则g（x）的最小值g（1）=0，则有k+b=（lnx0﹣1）+≥0，即k+b的取值范畴是[0，+∞）；故选：D．12．（5分）边长为8的等边△ABC所在平面内一点O，满足﹣3=，若||=，则|PA|的最大值为（）A．6 B．2C．3D．【解答】解：∵﹣3=，∴﹣=2+2，设D为BC的中点，则2+2=4，∴=4，∴OD∥AC，∠ODC=∠ACB=60°，∵△ABC是边长为8的等边三角形，∴OD=2，AD=4，∠ADO=150°，∴OA==2．∵||=，∴P点轨迹为以O为原点，以r=为半径的圆．∴|PA|的最大值为OA+r=3．故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）某校高三年级有900名学生，其中男生500名．若按照男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的女生人数为20．【解答】解：女生人数为900﹣500=400，由分层抽样的定义得应抽取的女生人数为×45=20；故答案为：20．14．（5分）设实数x，y满足约束条件，则x﹣2y的最小值为﹣5．【解答】解：由z=x﹣2y得y=x﹣，作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=x﹣，由图象可知当直线y=x﹣，过点B时，直线y=x﹣的截距最大，现在z最小，，解得B（1，3）．代入目标函数z=x﹣2y，得z=1﹣2×3=﹣5，∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣5．故答案为：﹣5．15．（5分）如图，为测量竖直旗杆CD高度，在旗杆底部C所在水平地面上选取相距4m的两点A，B，在A处测得旗杆底部C在西偏北20°的方向上，旗杆顶部D的仰角为60°；在B处测得旗杆底部C在东偏北10°方向上，旗杆顶部D 的仰角为45°，则旗杆CD高度为12m．【解答】解：如图所示，设CD=x在Rt△BCD，∠CBD=45°，∴BC=x，在Rt△ACD，∠CAD=60°，∴AC==，在△ABC中，∠CAB=20°，∠CBA=10°，AB=4∴∠ACB=180°﹣20°﹣10°=150°，由余弦定理可得AB2=AC2+BC2﹣2AC•BC•cos150°，即（4）2=x2+x2+2••x•=x2，解得x=12，故答案为：12．16．（5分）已知函数f（x）=假如存在n（n≥2）个不同实数x1，x2，…，x n，使得成立，则n的值为2或3．【解答】解：∵的几何意义为点（x n，f（x n））与（﹣4，0）的连线的斜率，∴的几何意义为点（x n，f（x n））与（﹣4，0）的连线有相同的斜率，作出函数f（x）的图象，y=k（x+4）与函数f（x）的交点个数有1个，2个或者3个，故n=2或n=3，故答案：2或3．三、解答题：共70分．解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生依照要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=a n log2a n，求{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）当n=1时，a1=2a1﹣2，解得a1=2，当n≥2时，S n=2a n﹣2，S n﹣1=2a n﹣1﹣2．因此a n=2a n﹣2a n﹣1，则a n=2a n﹣1，因此{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列．故．（2），则①，②①﹣②得：==2n+1﹣n•2n+1﹣2．因此．18．（12分）某地区某农产品近几年的产量统计如表：年份202020202020202020212021年份代码t123456年产量y（万吨） 6.6 6.777.17.27.4（1）依照表中数据，建立y关于t的线性回来方程；（2）依照（1）中所建立的回来方程推测该地区2020年（t=7）该农产品的产量．附：关于一组数据（t1，y1），（t2，y2），…，（t n，y n），其回来直线的斜率和截距的最小二乘估量分别为：，．【解答】解：（1）由题，，，=（﹣2.5）×（﹣0.4）+（﹣1.5）×（﹣0.3）+0+0.5×0.1+1.5×0.2+2.5×0.4=2.8，=（﹣2.5）2+（﹣1.5）2+（﹣0.5）2+0.52+1.52+2.52=17.5．因此，又，得，因此y关于t的线性回来方程为．（8分）（2）由（1）知，当t=7时，，即该地区2020年该农产品的产量估量值为7.56万吨．（12分）19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，四边形ACC1A1是边长为2的菱形，∠A1AC=60°，AB=BC，AB⊥BC，E，F分别为AC，B1C1的中点．（1）求证：直线EF∥平面ABB1A1；（2）设P，Q分别在侧棱AA1，C1C上，且PA=QC1，求平面BPQ分棱柱所成两部分的体积比．【解答】（12分）（1）证明取A1C1的中点G，连接EG，FG，由于E，F分别为AC，B1C1的中点，因此FG∥A1B1．又A1B1⊂平面ABB1A1，FG⊄平面ABB1A1，因此FG∥平面ABB1A1．又AE∥A1G且AE=A1G，因此四边形AEGA1是平行四边形．则EG∥AA1．又AA1⊂平面ABB1A1，EG⊄平面ABB1A1，因此EG∥平面ABB1A1．因此平面EFG∥平面ABB1A1．又EF⊂平面EFG，因此直线EF∥平面ABB1A1．（6分）（2）四边形APQC是梯形，其面积==．由于AB=BC，E分别为AC的中点．因此BE⊥AC．因为侧面ACC1A1⊥底面ABC，因此BE⊥平面ACC1A1．即BE是四棱锥B﹣APQC的高，可得BE=1．因此四棱锥B﹣APQC的体积为．棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．因此平面BPQ分棱柱所成两部分的体积比为1：2（或者2：1）．（12分）20．（12分）已知椭圆C：的离心率，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过P作两条直线l1，l2与圆相切且分别交椭圆于M，N两点，求证：直线MN的斜率为定值．【解答】（12分）解：（1）由，设椭圆的半焦距为c，因此a=2c，因为C过点，因此，又c2+b2=a2，解得，因此椭圆方程为．（4分）（2）明显两直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，M（x1，y1），N（x2，y2），由于直线l1，l2与圆相切，则有k1=﹣k2，直线l1的方程为，联立方程组消去y得，因为P，M为直线与椭圆的交点，因此，同理，当l2与椭圆相交时，因此，而，因此直线MN的斜率．（12分）21．（12分）已知函数f（x）=（x＞0，a∈R）．（1）当a＞﹣时，判定函数f（x）的单调性；（2）当f（x）有两个极值点时，求a的取值范畴，并证明f（x）的极大值大于2．【解答】解：（1）由题f′（x）=，（x＞0）方法1：由于，﹣e x＜﹣1＜0，（﹣x2+3x﹣3）e x＜﹣，又，因此（﹣x2+3x﹣3）e x﹣a＜0，从而f'（x）＜0，因此f（x）为（0，+∞）上的减函数．（4分）方法2：令h（x）=（﹣x2+3x﹣3）e x﹣a，则h′（x）=（﹣x2+x）e x，当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）为增函数；当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）为减函数．故h（x）在x=1时取得极大值，也即为最大值．则h（x）max=﹣e﹣a．由于，因此h（x）max=h（1）=﹣e﹣a＜0，因此f（x）为（0，+∞）上的减函数．（4分）（2）令h（x）=（﹣x2+3x﹣3）e x﹣a，则h′（x）=（﹣x2+x）e x，当0＜x＜1时，h'（x）＞0，h（x）为增函数，当x＞1时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，当x趋近于+∞时，h（x）趋近于﹣∞．由于f（x）有两个极值点，因此f'（x）=0有两不等实根，即h（x）=0有两不等实数根x1，x2（x1＜x2），则，解得﹣3＜a＜﹣e，可知x1∈（0，1），由于h（1）=﹣e﹣a＞0，h（）=﹣﹣a＜﹣+3＜0，则．而f′（x2）==0，即=（#）因此g（x）极大值=f（x2）=，因此，（*）令，则（*）可变为，可得，而﹣3＜a＜﹣e，则有，下面再说明关于任意﹣3＜a＜﹣e，，f（x2）＞2．又由（#）得a=（﹣+3x2﹣3），把它代入（*）得f（x2）=（2﹣x2），因此当时，f′（x2）=（1﹣x2）＜0恒成立，故f（x2）为的减函数，因此f（x2）＞f（）=＞2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．假如多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（其中t为参数），在以原点O为极点，以x轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．（1）求直线l的一般方程及曲线C的直角坐标方程；（2）设M是曲线C上的一动点，OM的中点为P，求点P到直线l的最小值．【解答】[选修4﹣4：坐标系与参数方程]（10分）解：（1）∵直线l的参数方程为（其中t为参数），∴消去参数t，得l的一般方程x﹣y﹣1=0．∵曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ．由ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4．（4分）（2）设P（x，y），M（x0，y0），则，由于P是OM的中点，则x0=2x，y0=2y，因此（2x）2+（2y﹣2）2=4，得点P的轨迹方程为x2+（y﹣1）2=1，轨迹为以（0，1）为圆心，1为半径的圆．圆心（0，1）到直线l的距离．因此点P到直线l的最小值为．（10分）[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）=|2x+a|+|x﹣2|（其中a∈R）．（1）当a=﹣4时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥3a2﹣|2﹣x|恒成立，求a的取值范畴．【解答】[选修4﹣5：不等式选讲]（10分）解：（1）当a=﹣4时，求不等式f（x）≥6，即为|2x﹣4|+|x﹣2|≥6，因此|x﹣2|≥2，即x﹣2≤﹣2或x﹣2≥2，原不等式的解集为{x|x≤0或x≥4}．（4分）（2）不等式f（x）≥3a2﹣|2﹣x|即为|2x+a|+|x﹣2|≥3a2﹣|2﹣x|，即关于x的不等式|2x+a|+|4﹣2x|≥3a2恒成立．而|2x+a|+|4﹣2x|≥|a+4|，因此|a+4|≥3a2，解得a+4≥3a2或a+4≤﹣3a2，解得或a∈∅．因此a的取值范畴是．（10分）。
2020年高考理科数学全国卷2含答案(A4打印版)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷理科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{10{2101}1{1223U A B --==-}=}，，，，，，，，，，，则)(UA B = ( )A .{23-}，B .{223-}，，C .{2103--}，，，D .{21023--}，，，， 2.若α为第四象限角，则( )A .cos20α＞B .cos20α＜C .sin20α＞D .sin20α＜3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者 ( ) A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )A .3 699块B .3 474块C .3 402块D .3 339块5.若过点(2)1，圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为 ( )ABCD6.数列{n a }中，12a =，m n m n a a a +=，若155121022k k k a a a ++++++=-，则k =( )A .2B .3C .4D .57.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为，则该端点在侧视图中对应的点为( )A .EB .FC .GD .H8.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b -=＞＞的两条渐近线分别交于D E ，两点，若ODE △的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )A .4B .8C .16D .32 9.设函数()ln 21ln 21f x x x =+--，则()f x( )A .是偶函数，且在1()2+∞，单调递增 B .是奇函数，且在11()22-，单调递减C .偶函数，且在1()-∞-，单调递增D .是奇函数，且在1()2-∞-，单调递减10.已知ABC △的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为( )A B .32C .1D 11.若2233x y x y ----＜，则( )A .ln(1)0y x -+＞B .ln(1)0y x -+＜C .ln 0x y -＞D .ln 0x y -＜12.01-周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12na a a 满足，且存在正整数m ，使得(12)i m i a a i +==，，成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(12)i m i a a i +==，，的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为的01-序列12na a a ，11()(121)mi i k i C k a a k m m +===-∑，，，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1234)5C k k =≤，，，的序列是 ( )A .11010B .11011C .10001D .11001二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量a b ，的夹角为45︒，ka b -与a 垂直，则=k ________.14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种.15.设复数1z ，1z 满足12|=||=2z z ，12i z z +=，则12||=z z -________. 16.设有下列四个命题：1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. 2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面.3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. 4p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥.则下述命题中所有真命题的序号是________. ①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17.（12分）在ABC △中，222sin sin sin sin sin A B C B C =－－. （1）求A ；（2）若3BC =，求ABC △周长的最大值.18.（12分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据()()1220i i x y i =⋯，，，，，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得20160i i x ==∑，2011200i i y ==∑，2021)80i ix x =-=∑（，2021)9000i i y y =-=∑（，201))800i i i x y x y =--=∑（（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本()()1220i i x y i =⋯，，，，的相关系数（精确到0.01）； （3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数))ii nx y x y r --∑（（.19.（12分）已知椭圆2221201()x y a bC a b +=＞＞：的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于A B ，两点，交2C 于C D ，两点，且43CD AB =.（1）求1C 的离心率；（2）设M 是1C 与2C 的公共点，若5MF =，求1C 与2C 的标准方程.20.（12分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，M ，N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（1）证明：1AA MN ∥，且平面111A AMN EB C F ⊥；（2）设O 为111A B C △的中心，若AO ∥平面11EB C F ，且AO AB =，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值.21.（12分）已知函数2sin n )si (2f x x x =.（1）讨论()f x 在区间(0)π，的单调性； （2）证明：()f x （3）设*n N ∈，证明：22223sin sin 2sin 4sin 24nnn x x x x ⋯≤.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 已知曲线12C C ，参数方程分别为2124cos 4sin x C y θθ⎧=⎨=⎩，:（θ为参数），21π1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，：（t 为参数）. （1）将12C C ，的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设12C C ，的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求()4f x 不等式的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围.2020年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷理科数学答案解析一、选择题 1．【答案】A【解析】由题意可得：{}1012AB =-，，，，则{2()3UA B =-}，．故选：A ．【考点】并集、补集的定义与应用 2．【答案】D 【解析】当π6α=-时，πcos2cos 03α⎛⎫=- ⎪⎝⎭＞，选项B 错误；当π3α=-时，2πcos 2cos 03α⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜，选项A 错误；由α在第四象限可得：sin 0cos 0αα，＞＜，则sin22sin cos 0ααα=＜，选项C 错误，选项D 正确；故选：D ．【考点】三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值 3．【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，故需要志愿者9001850=名．故选：B ．【考点】函数模型的简单应用 4．【答案】C【解析】设第n 环天心石块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S -=-+，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+，即29729n =，解得9n =，所以32727(9927)34022n S S +⨯===．故选：C ．【考点】等差数列前n 项和有关的计算 5．【答案】B【解析】由于圆上的点()21，在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必第一象限，设圆心的坐标为()a a ，，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=．由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()11，或()55，，圆心到直线230x y --=距离均为d =230x y --=的距离为5．故选：B ． 【考点】圆心到直线距离的计算6．【答案】C【解析】在等式m n m n a a a +=中，令1m =，可得112n n n a a a a +==，12n na a +∴=． 所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n nn a -=⨯=，()()()()1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a ++++++--∴+++===-=---，1522k +∴=，则15k +=，解得4k =．故选：C ．【考点】利用等比数列求和求参数的值 7．【答案】A【解析】根据三视图，画出多面体立体图形，图中标出了根据三视图M 点所在位置，可知在侧视图中所对应的点为E ，故选：A ． 【考点】根据三视图判断点的位置 8．【答案】B 【解析】22221(00)x y C a b a b-=：＞，＞ ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±直线x a =与双曲线22221(00)x yC a b a b-=：＞，＞的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故()D a b ，联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故()E a b -，∴||2ED b =∴ODE △面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△ 双曲线22221(00)x y C a b a b-=：＞，＞∴其焦距为22228c ab ==当且仅当a b ==∴C 的焦距的最小值：8．故选：B ．【考点】双曲线焦距的最值问题 9．【答案】D【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC ；当1122x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增，()ln 12y x =-在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递减，()f x ∴在1122⎛⎫- ⎪⎝⎭，上单调递增，排除B ；当12x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+-在12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，上单调递减，D 正确．故选：D ． 【考点】函数奇偶性和单调性的判断 10．【答案】C【解析】设球O 的半径为R ，则24π16πR =，解得：2R =．设ABC △外接圆半径为r ，边长为a ，ABC 是面积为4的等边三角形，21224a ∴⨯=，解得：3a =，2233r ∴===，∴球心O 到平面ABC 的距离1d ===．故选：C ．【考点】球的相关问题的求解 11．【答案】A【解析】由2233x y x y ----＜得：2323x x y y ----＜，令()23t tf t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴＜，0y x -＞，11y x ∴-+＞，()ln 10y x ∴-+＞，则A 正确，B 错误；x y -与1的大小不确定，故CD无法确定．故选：A ． 【考点】数式的大小的判断问题 12．【答案】C 【解析】由i m i a a +=知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m =，511()12345i i k i C k a a k +===∑，，，， 对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑≤52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；故选：C【考点】数列的新定义问题 二、填空题 13．【解析】由题意可得：211cos452a b →→⋅=⨯⨯=，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a →→→⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即：2202k a a bk →→→⨯-=-=，解得：2k =．故答案为：2． 【考点】平面向量的数量积定义与运算法则 14．【答案】36【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，∴先取2名同学看作一组，选法有：246C =．现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A =．根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636⨯=种．故答案为：36． 【考点】计数原理的实际应用 15．【答案】 【解析】122z z ==，可设12cos 2sin i z θθ=+，22cos 2sin i z αα=+，()()122cos cos 2sin sin i 3i z z θαθα∴+=+++=+，()()2cos cos 2sin sin 1θαθα⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩()422cos cos 2sin sin 4θαθα++=，化简得：1cos cos sin sin 2θαθα+=-()()122cos cos 2sin sin iz z θαθα∴-=-+-===．故答案为：． 【考点】复数模长的求解 16．【答案】①③④【解析】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题．综上可知，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题．故答案为：①③④． 【考点】复合命题的真假，空间中线面关系有关命题真假的判断 三、解答题 17．【答案】（1）23π；（2）3+【解析】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-，()0πA ∈，，2π3A ∴=． （2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-=++=，即()29AC AB AC AB +-=．22AC AB AC AB +⎛⎫⎪⎝⎭≤（当且仅当AC AB =时取等号），()()()22223924AC AB AC AB AC ABAC AB AC AB +⎛⎫∴=+-+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤AC AB =时取等号），ABC ∴△周长3L AC AB BC =+++≤ABC ∴△周长的最大值为3+【考点】解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题 18．【答案】（1）12000； （2）0.94； （3）详见解析【解析】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ==⨯=∑，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000⨯=（2）样本(),i i x y的相关系数为20()()0.94ii xx y y r --===≈∑ （3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样，先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可．【考点】平均数的估计值、相关系数的计算，抽样方法的选取 19．【答案】（1）12；（2）22113627x y C +=：，2212C y x =：．【解析】（1）()0F c ，，AB x ⊥轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x c =， 联立22222221x cx y a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，则22b AB a =，抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x c y cx =⎧⎨=⎩，解得2x c y c =⎧⎨=±⎩，4CD c ∴=，43CD AB =，即2843b c a=，223b ac =，即222320c ac a +-=，即22320e e +-=，01e ＜＜，解得12e =，因此，椭圆1C 的离心率为12；（2）由（1）知2ac =，b =，椭圆1C 的方程为2222143x yc c +=，联立222224143y cx x y c c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得22316120x cx c +-=，解得23x c =或6x c =-（舍去），由抛物线的定义可得25533c MF c c =+==，解得3c =．因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y +=，曲线2C 的标准方程为212y x =．【考点】椭圆离心率的求解，利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程 20．【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）M N ，分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB ∴又11//AA BB 1//MN AA ∴．在ABC△中，M 为BC 中点，则BC AM ⊥．又侧面11BB C C 为矩形，1BC BB ∴⊥，1//MN BB ，MN BC ⊥，由MN AM M =，,MN AM ⊂平面1A AMN ，∴BC ⊥平面1A AMN ．又11//B C BC ，且11B C ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，11//B C ∴平面ABC ．又11B C ⊂平面11EB C F ，且平面11EB C F 平面ABC EF =11//B C EF∴//EF BC ∴又BC ⊥平面1A AMN ，∴EF ⊥平面1A AMN ，EF ⊂平面11EB C F ，∴平面11EB C F ⊥平面1A AMN．（2）连接NP//AO 平面11EB C F ，平面AONP 平面11EB C F NP =，∴//AO NP ．根据三棱柱上下底面平行，其面1A NMA平面ABC AM =，面1A NMA平面1111A B C A N =，∴//ON AP ．故：四边形ONPA 是平行四边形．设ABC △边长是6m (0m >)，可得：ON AP =，6NP AO AB m ===．O 为111A B C △的中心，且111A B C △边长为6m ，∴16sin 603ON =⨯⨯︒，故：ON AP =．//EF BC ，∴AP EPAM BM=，∴3EP=．解得：EP m =．在11B C 截取1B Q EP m ==，故2QN m =，1B Q EP =且1//B Q EP ，∴四边形1B QPE 是平行四边形，∴1//B E PQ ．由（1）11B C ⊥平面1A AMN ，故QPN ∠为1B E 与平面1A AMN 所成角．在Rt QPN △，根据勾股定理可得：PQ =，sinQN QPN PQ ∴∠===∴直线1B E 与平面1A AMN ． 【考点】证明线线平行和面面垂直，线面角21．【答案】（1）当π03x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＞，单调递增，当π2π33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＜，单调递减，当2ππ3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＞，单调递增．（2）证明见解析； （3）证明见解析．【解析】（1）由函数的解析式可得：()32sin cos f x x x =，则：()()22423sin cos sin f x x x x'=-()2222sin 3cos sin x x x =-()222sin 4cos 1x x =-()()22sin 2cos 12cos 1x x x =+-，()0f x '=在()0πx ∈，上的根为：12π2π33x x ==，，当π03x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＞，单调递增，当π2π33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＜，单调递减，当2ππ3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()()0f x f x '＞，单调递增．（2）注意到()()()()22πsin πsin 2πsin sin2f x x x x x f x +=+⎡+⎤==⎣⎦，故函数()f x 是周期为π的函数，结合（1）的结论，计算可得：()()0π0f f ==，2π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎝⎭，223f π⎛⎛⎫=⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭()max f x ⎡⎤=⎣⎦，()min f x ⎡⎤=⎣⎦，即()f x ≤． （3）结合（2）的结论有：2222sin sin 2sin 4sin 2n x x xx233333sin sin 2sin 4sin 2nx x xx ⎡⎤=⎣⎦()()()2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin2sin 2sin 2n nnx x x x x x x x -⎡⎤=⎣⎦23233sin sin 28n x x ⎡⎤⨯⨯⎢⎥⎣⎦≤ 238n⎡⎤⎛⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦≤34n⎛⎫= ⎪⎝⎭．【考点】导数的应用22．【答案】（1）14C x y +=：；2224C x y -=：；（2）17cos 5ρθ=． 【解析】（1）由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：4x y +=；由11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y -=． （2）由2244x y x y +=⎧⎨-=⎩得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即5322P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，； 设所求圆圆心的直角坐标为()0a ，，其中0a ＞，则22253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：1710a =，∴所求圆的半径1710r =，∴所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22175x y x +=，∴所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=． 【考点】极坐标与参数方程的综合应用23．【答案】（1）32x x ⎧⎨⎩≤或112x ⎫⎬⎭；（2）(][)13-∞-+∞，，． 【解析】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-．当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-，解得：32x ≤；当34x ＜＜时，()4314f x x x =-+-=，无解；当4x 时，()43274f x x x x =-+-=-，解得：112x；综上所述：()4f x 的解集为32x x ⎧⎨⎩≤或112x⎫⎬⎭． （2）()()()()22222121211f x x a x a x a x a aa a =-+-+---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-，解得：1a -≤或3a ，a ∴的取值范围为(][)13-∞-+∞，，． 【考点】绝对值不等式的求解，利用绝对值三角不等式求解最值。