带余除法

1.两个数相除，商是22，余数是8 ，被除数，除数，商与余数的和是866，求

被除数和除数。

2.一个整数除300、262、205，得到相同的余数，且余数不为0，问这个整数

是几？

3.一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，这个数最小是多少？

4.一个整数，除300，254，185，所得余数相同（不为0）问这个整数是多少？

5.一个数除以3余1，除以4余2，除以5余3，这个数最小是多少？

6.一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。

7.把1至2000这2000个自然数依次写下来，得到一个多位数

12345678910111213141516171--------19992000，试求这个多位数除以9的余数

8.如果2836、4582、5164、6522、被同一个两位数除得的余数相同（不为0）。

除数是多少？

9.1×1＋2×2＋3×3＋4×4＋5×5＋6×6＋7×7＋8×8＋9×9的和除以3的

余数是几？

10.求被3除余2，被5除余3，被11除余2的最小整数。

11.在大于1999的自然数中，被66除后商与余数相等的数共有多少个？这些数

的总和是多少？

12.一个自然数被8除余1，所得的商被8除也余1，再把第2次所得的商除以8

后余7，最后商是a,又这个数被17除余4，所得的商被17除余15，最后得到的商是a的2倍，求这个自然数

《同余除法》答案

1.除数为：（866-22-8×2）÷（22+1）=36 被除数为：36×22+8=800

2.本题要求的是除数，已知条件说的是这3个数对于该除数是同余的，所以根

据同余性质，300 262 205 这3个数中任何两个数的差都能被这个除数整除，即除数应该是这3个数中任意两个数的差的公约数，

300-262=38=19×2

262-205=57=19×3

300-205=95=19×5

所以，所求的数应该是19 的约数，但19只有两个约数1和19，而1在本题中不可以做除数，所以应该是19。

3三人同行七十兮，五树梅花21枝，七子团圆月正半，除百零五便得知2×70+3×21+2×15=233 233-105×2=23

423

558 可以用转化法如第一句除以3余1 可以转化为被3除少2，以下同理62×70+3×21+4×15-105×2=53

7余数是3 。任意连续9个自然数所组成的多位数一定能被9整除，2000÷9=222(组)………2（个数）这两个数可以看成是1 和2 ，1+2=3 3÷9的余数是3 所以余数是3

897

9用各个积除以3得到的余数再相加的所得的和除以3就是所以余数是1 10三人同行55兮五树梅花66枝11子团圆一月半，除了165便得知55×2+66×3+45×2=398 398-165×2=68

五年级：带余除法

带余除法 1.两数相除，商为15，余数为11，且被除数、除数、商、余数的和为309，求被除数？ 2.一个两位数去除251，得到的余数为41，求这个两位数？练习：已知被除数比除数多78，被除数除以除数，所得的商为6，余数为3，求被除数？ 3.有一个数列，第一个数是7，第二个数是11，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和，求第2009个数除以3的余数是多少？ 4.有一盒乒乓球，每次8个8个地数，10个10个地数，12个12个地数，最后总是剩下3个，则这盒乒乓球至少有多少个？

5.被6除余4，被8除余6，被10除余8的最小整数是多少? 练习：（1）一筐苹果，每次4个4个取，6个6个取，9个9个取，最后都是少2个，这筐苹果最少有多少个？（2）一个自然数能被3、5、7整除，若用11去除这个数，则余1，这个数最小是多少？ 6.有一批书大约300到400本，包装成每包12本，剩下11本；包装成每包18本缺1本；包装成每包15本就有7包每包各多2本。这批书有多少本？ 1.一个整数除以3余2，除以7余2，除以9余5，这个数最小是多少？

3.一个自然数除以5整除，除以6余4，除以8余6，这个数最小是多少？练习：某数被3除余2，被5除余4，被7除余5，这个数最小是多少？（小升初试题一中） 3.某次会议有不到200人参加，分房间住宿时，每5人一间又多3人，吃饭时每9人一桌又少1人，分组讨论时，每7人一组又多6人。求参加会议的人数。 4. 用自然数n去除63、91、129、得到的三个余数之和为25，则n等于几？ 5. 一个整数除以7余1，除以6余2，除以9余5，求适合条件的最小数是多少？

余数性质及同余定理(B级) 1

一、带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数．二、余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。知识框架余数性质及同余定理

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。例如：23，14除以5的余数分别是3和4，23－14＝9除以5的余数等于4，两个余数差为3＋5－4＝4 3.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1＝3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2. 乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么n a与n b除以m的余数也相同．一、同余定理 1、定义整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b（modm） 2、同余的重要性质及举例。〈1〉a≡a（modm）（a为任意自然）；〈2〉若a≡b（modm），则b≡a（modm）〈3〉若a≡b（modm），b≡c（modm）则a≡c（modm）；〈4〉若a≡b（modm），则ac≡bc（modm）〈5〉若a≡b（modm），c≡d（modm），则ac=bd（modm）；〈6〉若a≡b（modm）则an≡bm（modm）其中性质〈3〉常被称为"同余的可传递性"，性质〈4〉、〈5〉常被称为"同余的可乘性，"性质〈6〉常被称为"同余的可开方性" 注意：一般地同余没有"可除性"，但是：如果：ac=bc（modm）且（c，m）=1则a≡b（modm）3、整数分类：〈1〉用2来将整数分类，分为两类： 1，3，5，7，9，……（奇数）； 0，2，4，6，8，……（偶数）〈2〉用3来将整数分类，分为三类： 0，3，6，9，12，……（被3除余数是0） 1，4，7，10，13，……（被3除余数是1） 2，5，8，11，14，……（被3除余数是2）

三年级奥数有余除法

有余除法唐僧师徒四人上西天取经。这一天，烈日当空，天气格外炎热。师徒四人来到一座山前，走到半山腰，唐僧只觉得口干舌燥，又见白龙马气喘吁吁，便对孙悟空说：“悟空，我们在此休息片刻，你去找点水和食物来。”孙悟空听了便对沙僧和猪八戒说：“两位师弟好好照看师傅，俺老孙去也。”说完，一个筋斗就不见了踪影。不一会儿，孙悟空拎着一大包东西回来了。孙悟空说：“师傅，这是座荒山，方圆百里都没有人家，俺只摘了一些桃子。”猪八戒听了，说：“俺老猪最胖，我可要多吃几个桃子。”孙悟空笑道：“我出道题目，如果你能回答出来，就让你多吃一些。”“猴哥，你就快点出题吧。”猪八戒说道。“这一袋桃子，如果每次拿走5个，最后余3个；如果每次拿走6个，最后余下4个，这袋桃子最少有多少个？”孙悟空说道，猪八戒听了苦思冥想，怎么也想不出结果，他就不好意思多吃桃子了。实际上这是一道关于有余除法的问题，本讲我们就来研究余数的应用。例1.一个数除以5，商是123，余数是3，这个数是多少？

【方法点拨】在一道有余数的除法中，被除数＝商×除数＋余数，根据这一关系可以列出算式求出被除数。练习1. （1）同学们做纸花，每6朵扎成1束，一共扎了103束，还多5朵，同学们一共做了多少朵纸花？（2）国庆节到了，学校要在6条走廊挂上彩灯，已知每条走廊上挂的彩灯一样多，且彩灯的总数是最大的两位数，挂完后还多出3盏，问每条走廊上挂了几盏彩灯？（3）一道除法算式，被除数是最小的三位数，商是8，余数是4，求这道除法算式的除数的多少？例2.6＝……中，不告诉被除数、商是多少，你能写出它的余

五年级奥数题：带余数除法

带余数除法作业一、填空题 1．除107后，余数为2的两位数有_____. 2. 27 ( )=( )…… 3. 上式( )里填入适当的数,使等式成立,共有_____种不同的填法. 3. 四位数8□98能同时被17和19整除,那么这个四位数所有质因数的和是_____. 4. 一串数1、2、4、7、11、16、22、29……这串数的组成规律，第2个数比第1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3；依此类推；那么这串数左起第1992个数除以5的余数是_____. 5. 222……22除以13所得的余数是_____. 2000个 6. 小明往一个大池里扔石子,第一次扔1个石子,第二次扔2个石子,第三次扔3个石子,第四次扔4个石子……，他准备扔到大池的石子总数被106除，余数是0止，那么小明应扔_____次. 7. 七位数3□□72□□的末两位数字是_____时,不管十万位上和万位上的数字是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中哪一个,这个七位数都不是101的倍数. 8. 有一个自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和是25.这三个余数中最小的一个是_____. 9. 在1,2,3,……29，30这30个自然数中，最多能取出_____个数,使取出的这些数中,任意两个不同的数的和都不是7的倍数. 10. 用1-9九个数字组成三个三位数,使其中最大的三位数被3除余2,并且还尽可能地小；次大的三位数被3除余1；最小的三位数能被3整除.那么,最大的三位数是_____. 二、解答题 11．桌面上原有硬纸片5张。从中取出若干张来，并将每张都任意剪成7张较小的纸片，然后放回桌面，像这样，取出，剪小，放回；再取出，剪小，放

汇编除法原理

汇编除法原理 2010-03-24 17:26 多字节二进制除法算法2009-3-27 8:17:00 二进制的除法本质是通过重复减法运算实现即通过重复”从被除数的高位依次取出每一位, 被取出的数据加上上次的减法结果*2, 然后减去除数”的处理, 求出除法结果假设:16位除以16位被除数 R0R1 (占用2字节) 除数 R2R3 (占用2字节) 商 R0R1 (占用2字节) ******************* 这里需要说明, 此程序执行结束以后, 商的结果保存在被除数中 ************ 余数 R4R5 (占用2字节) 移位次数 R6 (占用1字节) ******************* 这里需要说明, 其数值根据被除数的位数定义, 这里为32 ************* 操作流程如下: a) 余数清零 b) 判断除数是否为0, 如果为0, 是错误, 不再往下执行. c) 设定移位次数 d) 被除数左移1位, 溢出的最高位保存在进位标志C中, 再把余数左移1位, 把C(被除数溢出的最高位)放入余数的最低位 e) 余数与除数比较大小(余数减去除数): 余数≧ 除数(减法结果为正)时, 被除数的最低位, 赋值 1 余数 < 除数(减法结果为负时, 恢复到减法前的余数) 被除数的最低位, 赋值 f) 定移位次数递减 g) 直到移位次数为0, 否则重复d) ~ f) 假设32位除以16位被除数R3R2R1R0 除数R5R4

商也在R3R2R1R0中计算开始的时候R7R6R3R2R1R0整体左移一位然后余数R7R6与除数比较如果大于除数则r0最低位置一依次循环32次其他的多位除法类似但是余数位数和除数位数要一致 ; (r3r2r1r0) / (r5r4), 余数(r7r6) div_4b: mov r7,#0 mov r6,#0 push cnt mov cnt,#32 clr c div_32_loop: mov a,r0 rlc a mov r0,a mov a,r1 rlc a mov r1,a mov a,r2 rlc a mov r2,a mov a,r3 rlc a mov r3,a mov a,r6 rlc a mov r6,a mov a,r7 rlc a mov r7,a clr c mov a,r6 subb a,r4 mov b,a mov a,r7

小学数学竞赛：带余除法(一).学生版解题技巧培优易错难

1. 能够根据除法性质调整余数进行解题 2. 能够利用余数性质进行相应估算 3. 学会多位数的除法计算 4. 根据简单操作进行找规律计算带余除法的定义及性质 1、定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2、余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数． 3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．除法公式的应用【例 1】某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于。例题精讲知识点拨教学目标 5-5-1.带余除法（一）

【巩固】计算口÷△，结果是：商为10，余数为▲。如果▲的值是6，那么△的最小值是_____。【例 3】除法算式 L L □□=208中，被除数最小等于。【例 4】 71427和19的积被7除，余数是几? 【例 5】 1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．【巩固】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。【巩固】在下面的空格中填上适当的数。 3 1247

数论之余数三大定理

第十四章数论之余数三大定理概念一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a ＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (1)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完 (2)当0 全商三大余数定理 1.余数的加法定理 a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。 2.余数的乘法定理 a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。 3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m 整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|(a－b)

例题 1. 用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r。 2. 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。 3. 一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。 4. 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？ 5. 用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是1 6.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？ 6. （真题）三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。 7. 一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________。 8. 有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够。问：第二组有多少人? 9. 一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数。

奥数余数问题带余除法

奥数余数问题带余除法集团企业公司编码：（LL3698-KKI1269-TM2483-LUI12689-ITT289-

带余除法被除数=除数×商+余数被除数—余数=除数×商余数=被除数—除数×商商=（被除数—余数）÷除数要注意以下几点： 1.余数总是小于除数的整数。 2.只要除数不为0，带余除法总能进行，且商和余数是唯一存在的。 3.整除是带余除法的特殊情况。例1、用一个两位数除766，余数为66，求这个两位数。例2、甲数除以7，商3余5；乙数除以7，商5余3，甲乙两数之和除以7，商是多少，余数是多少？ 1、被除数是96，除以一个两位数，商是7，余数是5，求这个两位数。 2、一个整数除以127的商是78，余数是9，这个数是多少？ 3、两个整数a、b，a除以b的商是14，余数是5，如果b=9，那么a是多少？ 4、1705除以一个两位数得到的余数是40，求这个两位数。 5、如果一个数除439，2188，3142都余15，那么这个数是多少？例3、573除以一个数得的商是11，并且除数与余数的差是3，求除数和余数。 1、被除数与除数的和是136，商是7，余数是8，求被除数与除数。 2、被除数、除数、商与余数的和是903，已知商是35，余数是2，求被除数和除数。 3、两个整数相除的商是27。余数是19，已知被除数比除数多565，求被除数。 4、一个数除以25的商是余数的3倍，这个数是余数的多少倍？ 5、1492除以一个数，商是46，且除数比余数大12，则除数是多少？余数是多少？ 6、从574中减去一个数，再除以这个数，商7余6，这个数是多少？ 7、两个数相除，商是7，余数是5，除数比被除数小131，被除数是多少？例4、某数除以5余2，除以3余1，求满足着个条件的最小两位数是多少？1、一个数除以3余1，除以8余3，除以11余2，那么满足这个条件的最小的自然数是几？ 2、一个数被8除余5，被5除余2，这个数最小是多少？ 3、有一个两位数被3除或被4除，余数都是1，符合这一条件的最大三位数和最小三位数各是多少？ 4、有一个最小的两位数，除以5余数是3，除以13余数是5，这个最小的两位数除以11余数是多少？ 5、一个两位数除以一个一位数，商仍是两位数，余数是8.被除数、除数、商及余数的和是多少？ 6、一个两位数除329，这个两位数与商相等，余数是5，求这个两位数。

综合除法与余数定理

学科：奥数教学内容：综合除法与余数定理【内容综述】数学运算既要求正确，还要求迅速。简化运算方法与步骤，是速算的一种重要途径。例如，应用正负数的概念，可以把有理数的加减法统一为加法，即求代数和，把两种运算转化成一种运算，就是一种了不起的简化。同样地，整式的加减法也可以统一成加法，即合并同类项，进而简化为求同类项系数的代数和，把代数式的运算转化为数的运算，又是一种了不起的简化。本期主要介绍一种简便的综合除法运算方法。【要点讲解】 1、综合除法在课本上已学习了用竖式计算两个一元多项式相除的问题。由多项式除法我们可以推得（此处用表示关于x 的多项式）除以的商式系数和余数有如下规律：商式的最高次项系数就是（按降幂排列后）的第一项系数，把这个数乘以 b 加的第二项系数得商式的次高次项系数，以此类推最后得余数。 ★例1 计算（）分析把除式变成形式用综合除法，解：， ∴商式为，余式为-38 说明用综合除法计算时要注意：（1）被除式与除式按降幂排列后的缺项要用0补足；（2 ）除式要变成的形式（b可以是负数） ★★例2 用综合除法计算（1 ）；（2 ）解：（1 ） ∴商式为，余式为-3 （2 ）用除，只需先以除，再把求得的商用2除，而余数不变。

∴商式为，余式为。说明一般地，多项式除以一次二项式，用综合除法先将多项式除以，所得的商式除以p就是所求的商式，所得的余数就是所求的余数。 2、余数定理若多项式f（x）除以的商式为p（x），余数为r，则当时，（此处表示多项式中x用数值b代入后计算出的数值），从而有下面的定理。余数定理多项式除以()所得的余数等于。特别地，当时，我们称多项能被整除，即()是的因式，这也称为因式定理。由余数定理易知多项式除以的余数就是的多项式的值。余数定理告诉我们，可以不做除法求除以的余数；反过来在计算复杂时也可以用综合法求。 ★★★例3 一个关于x的二次多项式，它被除余2，它被除时余28，它还可被整除，求。解：设由题意得解得a=3,b=1,c=2。 ∴ 说明因能被整除，所以是的因式，于是可设，再由，，列出a,b的方程求解。 ★★★★例4 利用余数定理判断能否被a-b，a+b整除。分析含，即把看成是含字母a的多项式，要判断能否被a-b，a+b整除，即判断，是否为零。解：令= 当a=b时，，故能被a-b整除；

五年级奥数带余数除法

带余数的除法月日，宋老师带走进美妙的数学花园! 知识集锦古代数学书《孙子算经》里，最引人瞩目的是“物不知其数”问题的算法。这种算法有很多种有趣的名称，如“秦王暗点兵”、“韩信点兵”等等，人们还编了许多美妙动人的故事。实质上，这些算法正是带余除法的表现形式。两个整数相除时，不一定都能整除，当不能整除时，就出现了余数。被除数、除数、商和余数之间有下面关系：被除数＝除数×商＋余数（0≤余数＜除数）。例题集合例1 两个数相除的商是15，余数是11，被除数、除数、商与余数的和是309，那么除数是多少？练习1 两个数相除的商是12，余数是26，被除数、除数、商与余数的和等于454，那么除数是多少？例2 自然数a除以7余3，自然数b除以7余3，已知a大于b，那么a减b的差除以7，余数是多少？

练习2 已知自然数a除以13余6，自然数b除以13余12。求a加b的和除以13，余数是多少？例3 一个三位数被37除余1，被36除余19，那么这个三位数是多少？练习3 一个四位数，它被131除时余112，被132除时余98，求这个四位数。例4 已知一个布袋中装有小球若干个。如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个。布袋中至少有小球多少个？练习4 用卡车运货，每次运9袋余1袋，每次运8袋余3袋，每次运7袋余2袋.这批货至少有多少袋？

例5 某班同学买了310个本子，如果分给每个同学的数量相同，结果还剩下37本，且不能继续平分，问这个班有多少同学？练习5 有一篮苹果不足60个，平均分给5名小朋友，多出一个；若平均分给6名小朋友，最后多出3个；若平均分给7名小朋友，最后却多出2个。问这一篮苹果一共有多少个？课堂练习 1、哪些数除以7能使商与余数相同？ 2、474除以一个两位数的余数是6，求适合这个条件的所有两位数。

小学奥数- 带余除法(一)

5-5-1.带余除法（一）教学目标 1.能够根据除法性质调整余数进行解题 2.能够利用余数性质进行相应估算 3.学会多位数的除法计算 4.根据简单操作进行找规律计算知识点拨带余除法的定义及性质 1、定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0 r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (2)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2、余数的性质 ⑴被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵余数小于除数． 3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题精讲除法公式的应用【例1】某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于。【例2】一个三位数除以36，得余数8，这样的三位数中，最大的是__________。

【巩固】计算口÷△，结果是：商为10，余数为▲。如果▲的值是6，那么△的最小值是_____。【例3】除法算式 □□=208中，被除数最小等于。【例4】71427和19的积被7除，余数是几? 【例5】1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．【巩固】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。【巩固】在下面的空格中填上适当的数。

余数性质及同余定理(B级)

一、带余除法的定义及性质 1. 定义：一般地，如果a 是整数，b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ，也就是a ＝b ×q ＋r , 0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或完全商 (2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除，q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a 本，这个a 就可以理解为被除数，现在要求按照b 本一捆打包，那么b 就是除数的角色，经过打包后共打包了c 捆，那么这个c 就是商，最后还剩余d 本，这个d 就是余数。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2. 余数的性质 ⑴ 被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数．一、余数定理： 1.余数的加法定理 a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16＝39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为 2 2.余数的加法定理 a 与 b 的差除以 c 的余数，等于a ,b 分别除以c 的余数之差。例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23－16＝7除以5的余数等于2，两个余数差3－1＝ 2. 当余数的差不够减时时，补上除数再减。余数性质及定理知识框架

整除和带余除法

第四编整除和带余除法
§1 自然数
1．1 自然数
① 本编规定 0,1, 2, 3, , 12, 13, 是自然数。
② 自然数最重要的性质是可以比较大小，即两个自然数，或者相等，或者其中一个小于另一个，或者大于另一个。而且，它们必有其中一个关系。这条性质称为自然数的有序性质。
③ 自然数有两条重要的原理：
1. 最小自然数原理——一个自然数的集合，如果至少包含有一个自然数，则在这个集合中，一定有一个自然数最小；
2. 最大自然数原理——一个自然数的集合，如果至少包含有一个自然数，而且个数有限，则在这个集合中，一定有一个最大的自然数。
【说明和建议】（1）自然数也可以规定为不包括 0，本编则规定包括零，两者都符合数学严格的关于自然数的公理化定义。做题时需要注意题目中的自然数是何种规定，例如：第一届至第八届的“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题中涉及的自然数就规定不包括 0。（2）③的内容及其有关的例题仅供老师参考。
例1.1 将下列自然数 12、7、10、103 和 3 按从小到大排列成一个新的自然数。解：这个自然数是 371012103。
例1.2 说明在小明的班级中，一定有一个同学，他的年龄最小。解：用最小自然数原理。
例 1.3 说明对任意的自然数 m >2，一定有唯一的自然数 k 使
2k m 2k1 。
（1.1）
解：用符号 S 标记具有如下性质的自然数的集合：n 是任意一个自然数，如果 2n m ，
n 就是 S 中的成员；如果 n 是 S 中的一个成员，就一定满足 2n m 。
S 一定至少包含一个自然数，例如：1。而且， S 不会包含无穷多个自然数，否则,
可以将这些自然数按从小到大排列，没有上界，它就有一个成员，例如 j，它不满足 2 j m 。
所以，这个集合满足最大自然数原理的条件，在 S 中一定有一个最大的自然数，把它记
作 k ，则（1.1）成立。否则， k 不是 S 中最大自然数。
1..2 自然数的运算和运算规律
① 在自然数中有两个自然的运算：加法和乘法，它们具有如下性质：对任何自然
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小学数学带余除法(二).教师版

5-5-2.带余除法（二）教学目标 1.能够根据除法性质调整余数进行解题 2.能够利用余数性质进行相应估算 3.学会多位数的除法计算 4.根据简单操作进行找规律计算知识点拨带余除法的定义及性质 1、定义：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r, 0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里： (1)当0 r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商 (2)当0 r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。 2、余数的性质 ⑴被除数=除数?商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵余数小于除数． 3、解题关键理解余数性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题精讲模块一、带余除法的估算问题【例1】修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数。问修改后的这个数是几？【考点】带余除法的估算问题【难度】3星【题型】解答【解析】本题采用试除法。823是质数，所以我们掌握的较小整数的特征不适用，31743÷823=38……469，于【解析】是31743除以823可以看成余469也可以看成不足(823-469=)354，于是改动某位数字使得得到的新数比原来大354或354+823n也是满足题意的改动．有n=1时，354+823：1177，n=2时，354+823×2=2000，所以当千位增加2，即改为3时，有修改后的五位数33743为823的倍数．

小学奥数24带余除法

2.6带余除法 2.6.1相关概念在整数范围内，整数a除以整数b（b≠0），若有a÷b＝q……r，（即a=bq+r），0≤r＜b。当r=0时，我们称a能被b整除；当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商。 2.6.2余数的性质 ⑴被除数=除数×商＋余数，除数=（被除数－余数）÷商，商=（被除数－余数）÷除数。 ⑵余数小于除数。 2.6.3同余定理（1）如果a，b除以c的余数相同，就称a、b对于除数c来说是同余的，且有a与b 的差能被c整除。（a、b、c均为正整数）例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。（2）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。（3）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c 的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。性质（2）（3）都可以推广到多个自然数的情形。 2.6.4典型例题例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。 5122-66=5056， 5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到 5056=26×79。由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。例2被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。解：因为被除数=除数×商+余数=除数×33+52，被除数=2143-除数-商-余数=2143-除数-33-52=2058-除数，所以除数×33+52=2058-除数，所以除数=（2058-52）÷34=59，被除数=2058-59=1999。例3甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

有余数的除法的初步认识教案

有余数的除法的初步认识、余数的意义兰考县谷营乡东张小学潘素霞教学内容：教科书第60页例1 教学目标： 1、知识与技能：通过分草莓的操作活动，使学生理解余数及有余数的除法的含义，并会用除法算式表示出来，培养学生观察、分析、比较的能力。 2、过程与方法：借助用花瓣摆图形的操作，使学生巩固有余数的除法的含义，并通过观察、比较探索余数和除数的关系，理解余数比除数小的道理。 3、情感态度与价值观：渗透借助直观研究问题的意识和方法，使学生感受数学和生活的密切联系。教学重点：理解余数及有余数除法的含义，探索并发现余数和除数的关系。教学难点：找到如何求余数的方法。教学准备：多媒体课件，花瓣。教学过程：一、情景导入 1、观看美丽的花朵，多媒体出示（有3瓣、4瓣、5瓣、6瓣的） 2、请学生用12片花瓣试试拼出自己最喜欢的那种花。看看最多能拼几朵？花瓣是否有剩余？ 3、展示并将拼出的结果分为两类，突出显示有剩余的。总结在

日常生活中平均分物品时也会遇到像这种不够再分，分后有剩余的现象。二、摆一摆，比较感知（一）摆一摆，回顾除法意义把下面这些每2个摆一盘，摆一摆。 1、读一读，你知道了什么？ 2、摆一摆，说一说你是怎样做了。 3、能把摆的过程用算式表示出来吗？ 6÷2＝3（盘）问题： 1、这个算式什么意思？ 2、这个意思你还在哪看到了？（沟通算式、文字、摆的过程之间的对应关系。）（二）摆一摆，解决新问题把下面这些每2个摆一盘，摆一摆。

1、观察，你发现了什么？ 2、现在你还会摆吗？互相说一说你打算怎样做。 3、这1个草莓怎么不摆了？ 4、能把你的想法用算式表示出来吗？ 6÷2＝3（盘）……1（个）问题： 1、这个算式什么意思？ 2、这个意思你还在哪看到了？（沟通算式、文字、摆的过程之间的对应关系。） 3、这个算式如何写读作？如果不带单位读作怎么写？ 4、这个算式中的六个小圆点是什么意思？这六个圆点书写的注意事项是什么？ 5、这个算式是哪一种除法呢？为什么？（三）比一比，初步感知有余数除法的意义把下面这些每2个摆一盘，摆一摆。 6÷2＝3（盘）7÷2＝3（盘）……1（个）问题：比较，有什么相同？有什么不同？

DSP除法原理

设累加器为8位,且除法运算为10除以3,除的过程就是除数逐步移位并与被除数比较的过程，在每一步进行减法运算，如果能减则将位插入商中．１，除数的最低有效位对齐被除数的最高有效位．００００１０１０－０００１１０００１１１１００１０２．由于减支结果为负，放弃减法结果，将被除数左移一位，再减．０００１０１００－０００１１０００１１１１１１００３．结果仍为负，放弃减法结果，被除数左移一位，再减．００１０１０００－０００１１００００００１００００４，结果为正，将减法结果左移一位后加１，作最后一次减．００１００００１－０００１１０００００００１００１５．结果为正，将结果左移一位加１得最后结果．高４位代表余数４位表示商．０００１００１１即商为００１１＝３，余数为０００１＝１以上除法的计算机实现过程，在ＤＳＰ中，我们有专用的用于除法的ＳＵＢＣ指令，当然我们也可以用乘以除数的倒数来计算，在４０位的ＤＳＰ中，有ＳＵＢＣ的理解方法同上，一看就可以明白的，希望这一文章对大家有所帮助的

C54x DSP 定点除法当|被除数|<|除数|时，将|被除数|存放在累加器的高16位，然后用SUBC完成15次移位相减，相减之后在累加器A的低16位中存放商的绝对值根据运算前被除数和除数的符号是否相同来决定是否要改变所得结果的符号当|被除数|≥|除数|时，将|被除数|存放在累加器的低16位，然后用SUBC完成16次移位相减，相减之后在累加器A的低16位中存放商的绝对值根据运算前被除数和除数的符号是否相同来决定是否要改变所得结果的符号从实现的过程分析，当|被除数|<|除数|时，移位相减开始时|被除数|和|除数|的小数点位置正好相差一位第一次相减后在累加器A的O位最低位存进的数值正是商的最高位，该位为商的小数点后第一位在15次移位相减之后，累加器A低16位所得的结果为Q值为15的小数当|被除数|≥|除数|时，在第l6次相减时，|被除数|位于A的高16位(30～15位)上，小数点位在A的15位后，和|除数|的小数点位正好对齐，则此次相减后在A的0位加上的值正好是商的最低有效整数位，相当于十进制数中的个位所以在16次移位相减之后，累加器A低16位所得的结果为Q值为0的整数以此分析，当商的精确值不是整数，或者超出Q 值15所表示的范围时，此算法所得结果就达不到16位数据所能表达的精确度

三年级奥数《有余除法》

第四讲：有余除法【知识要点】：把一些书平均分给几个小朋友，要使每个小朋友分得的本数最多，这些书分到最后会出现什么情况呢？一种是全部分完，还有一种是有剩余，并且剩余的本数必须比小朋友的人数少，否则还可以继续分下去。每次除得的余数必须比除数小，这就是有余数除法计算中特别要注意的。解这类题的关键是要先确定余数，如果余数已知，就可以确定除数，然后再根据被除数与除数、商和余数的关系求出被除数。有余数的除法中，要记住：（1）余数必须小于除数；（2）被除数＝商×除数＋余数。【例1】 [ ]÷6＝8……[ ]，根据余数写出被除数最大是几？最小是几？【思路导航】除数是____，根据____________，余数可填_____________.根据____________，又已知商、除数、余数，可求出最大的被除数为6×8＋5＝53，最小的被除数为______________。列式如下：________________________________________。答：被除数最大是53，最小是______。【课堂反馈1】 (1) [ ]÷8＝3……[ ]，题中被除数最大可填________，最小可填_______。 (2) [ ]÷4＝7……[ ]，题中被除数最大可填________，最小可填_______。【例2】算式28÷[ ]＝[ ]……4中，除数和商分别是______和______。【思路导航】根据“被除数＝商×除数＋余数”，可以得知“商×除数＝被除数－余数”，所以本题中商×除数＝28－4＝24。这两个数可能是1和24，____和____，____和____，____和____，又因为余数为4，因此除数可以是24,12,8,6,商分别为____，____，____，____。_________________________________________________________________。答：除数和商分别是24，1；____，____；____，____；____，____。

小学奥数带余除法

再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。（3）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。性质（2）（3）都可以推广到多个自然数的情形。 2.6.4典型例题例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。 5122-66=5056， 5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到 5056=26×79。

小升初数学试卷及答案：数论之带余除法

小升初数学试卷及答案：数论之带余除法一、求被除数类 1. 同余加余，同差减差例1.某数被7除余6，被5除余3，被3除余3，求此数最小是多少? 解：因为“被5除余3，被3除余3”中余数相同，即都是3(同余)，所以要先求满足5和3的最小数，[5、3]=15， 15+3=18， 18÷7=2……4不余6，(不对) 15×2=30 (30+3)÷7=4……5不余6(不对) (15×3+3)÷7=6……6(对) 所以满足条件的最小数是48。例2.某数被3除余2，被5除余4，被7除余5，这个数最小是多少? 解：因为“被3除余2，被5除余4”中都差1就可整除，即同差，所以要先满足5和3的最小数，[5、3]=15， 15-1=14， 14÷7=2……0不余5(不对) (15×6-1)÷7=12 (5) 所以满足条件的最小数是89。

例3.一个四位数，它被131除余112，被132除余98，求这个四位数? 解：除数相差132-131=1，余数相差112-98=14，说明这个四位数中有14个131还余112。所以131×14+112=1946。二、求除数类 1.若a÷c=……r;b÷c=……r.则cㄏ(a-b)。例1.一个数去除551，745，1133这3个数，余数都相同。问这个数可能是几? 解：745-551=194，1133-745=388。(194，388)=194，所以这个数是194。 2.若a÷c=……r1;b÷c=……r2， r1+ r2=d.则cㄏ(a+b-d)。例2.有一个整数，用它分别去除157，234和324，得到的三个余数之和是100。求这个整数? 解：157+324+234-100=615，615=3×5×41。100÷3=33……1，即最小的除数应大于34，小于157。所以满足条件的有41、123两个，经过验算可知准确答案为41。三、求余数类例1.已知整数n除以42余12，求n除余21的余数? 解：由已知条件可知，n=42的倍数+12=21的2倍的倍数+12。所以，n除以21的余数为12。例2.有一个整数，除1200，1314，1048所得的余数都相同且大于5。问：这个相同的余数是多少? 解：因为 1314-1200=114=3×38，