(6) 第二部分 向量组,线性方程组及矩阵的秩——典型例题
T
（II） 1 = (1, 2, a + 3)T , β 2 = (2, 1, a + 6)T , β 3 = (2, 1, a + 4)T β 试问当a取何值时，向量组（I）与（II） 等价？a取何值时，（I）与（II）不等价？
(03)
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第二部分 向量组,线性方程组及矩阵的秩——典型例题
(00)
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第二部分 向量组,线性方程组及矩阵的秩——典型例题
21
五 求向量组的秩、最大无关组，并将 其余向量用最大无关组线性表示
例47 设 α1 = (1, 3, 2, 0) , α 2 = (7, 0, 14, 3) ,
T
T
α 3 = (2, − 1, 0, 1)T , α 4 = (5, 1, 6, 2)T , α 5 = (2, − 1, 4, 1)T
9
二 利用解的性质及结构求通解
例35 已知4阶方阵 A = (α1 , α 2 , α 3 , α 4 ), α1 , α 2 , α 3 , α 4 均为4维列向量，其中
α 2 , α 3 , α 4 线性无关，α1 = 2α 2 − α 3 , 如果 β = α 1 + α 2 + α 3 + α 4 , 求线性
无解、有唯一解或有无穷多解？
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4
例29 设线性方程组
(04)
⎧ (1 + a ) x1 + x2 + + xn = 0 ⎪ 2 x + (2 + a ) x + + 2 x = 0 ⎪ 1 2 n ( n ≥ 2) ⎨ ⎪ ⎪ nx1 + nx2 + + ( n + a ) xn = 0 ⎩
20
例46 已知向量组 β 1 = (0, 1, − 1)T , β 2 = (a , 2, 1)T ,
α 2 = (3, 0, 1)T , β 3 = ( b, 1, 0) 与向量组α 1 = (1, 2, − 3) ,
T
T
α 3 = (9, 6, − 7) 有相同的秩，且 β 3 可由
T
α1 , α 2 , α 3 线性表示，求 a , b 的值.
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13
三 讨论两个线性方程组的同解性及 两个齐次线性方程组的非零公共解
例40 设线性方程组 ⎧ x1 + x2 + x3 = 0 ⎪ ⎨ x1 + 2 x2 + ax3 = 0 ⎪ x1 + 4 x2 + a 2 x3 = 0 ⎩ 与方程 x1 + 2 x2 + x3 = a − 1 有公共解， 求a的值及所有公共解
1）求秩； 2）求一个最大无关组, 并把其余向量用
此最大无关组线性表示.
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例48 设4维向量组 α1 = (1 + a , 1, 1, 1)T ,
α 2 = (2, 2 + a , 2, 2) , α 3 = (3, 3, 3 + a , 3) ,
(1, − 1, 1, − 1)T 是方程组的一个解. 已知
(04)
1）求方程组的全部解； 2）求方程组满足 x2 = x3 的全部解
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例33 设 A = (aij )3× 3 是实正交阵，且 a11 = 1,
T
T
α 4 = (4, 4, 4, 4 + a ) , 问a 取何值时， α1 , α 2 , α 3 , α 4 线性相关？ α1 , α 2 , α 3 , α 4 当
T
求其一个最大无关组，并将 线性相关时， 其余向量用该最大无关组线性表示.
(06)
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T
T
(91)
β = (1, 1, b + 3, 5)T 问 1）a, b取何值时, β 不能表成α1 , α 2 , α 3 , α 4 的线性组合 2）a, b取何值时, β 有α1 , α 2 , α 3 , α 4 的
唯一线性表示式, 并写出该表示式.
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例41 设A是m×n矩阵，B为p×n矩阵. 若
R( A) + R( B ) < n ,
证明齐次线性方程组 Ax = 0与 Bx = 0 有非零公共解.
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x1 + bx2 + cx3 = 0 ⎧ (Ⅱ) ⎨ 2 x1 + b 2 x2 + (c + 1) x3 = 0 ⎩
(05)
同解，求a, b, c的值
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例42 设4元齐次线性方程组(I) ⎧ 2 x1 + 3 x2 − x3 = 0 ⎨ ⎩ x1 + 2 x2 + x3 − x4 = 0
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(07)
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例39 已知齐次线性方程组
⎧ x1 + 2 x2 + 3 x3 = 0 ⎪ (Ⅰ) ⎨ 2 x1 + 3 x2 + 5 x3 = 0 ⎪ x + x + ax = 0 2 3 ⎩ 1
T
T
线性表示，但 β 1 , β 2 , β 3 不能由 α 1 , α 2 , α 3 线性表示.
(05)
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例45 设有向量组
α 3 = (1, − 1, a + 2)T α （I） 1 = (1, 0, 2) , α 2 = (1, 1, 3) ,
第二部分 向量组,线性方程组及矩阵的秩——典型例题
12
例38 已知3阶方阵A的第一行是 (a , b, c ),
⎛1 2 3⎞ a , b, c 不全为零.矩阵 B = ⎜ 2 4 6 ⎟（k为 ⎜3 6 k⎟ ⎝ ⎠ 常数），且 AB = 0, 求线性方程组 Ax = 0
的通解
(05)
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A = ( n + 1)a n 1) 求证
2) a为何值时, 方程组有唯一解，求 x1 3) a为何值时, 方程组有无穷多解，求通解
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例31(06) 已知非齐次线性方程组
⎧ x1 + x2 + x3 + x4 = −1 ⎪ ⎨ 4 x1 + 3 x2 + 5 x3 − x4 = −1 ⎪ ax + x + 3 x + bx = 1 2 3 4 ⎩ 1
问当a取何值时，方程组有非零解， 并求其非零解.
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⎛ 2a 1 ⎞ ⎜ a 2 2a ⎟ 例32(08) 设矩阵A = , ⎜ 1⎟ ⎜ a 2 2a ⎟ n×n ⎝ ⎠ T A满足 AX=B, 其中 X = ( x1 , , xn ) , T B = (1, 0, , 0) ,
的两个解，求其通解.
(MBA)
9 mber 2012
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11
例37 已知四元线性方程组
⎧ a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 = b1 ⎪ ⎨ a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + a24 x4 = b2 ⎪a x + a x + a x + a x = b 32 2 33 3 34 4 3 ⎩ 31 1
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23
例49 设4维向量组 α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , 令
A = (α1 , α 2 , α 3 , α 4 ), 且方程组Ax=0
的通解为k(1, 0, 1, 0)T, 求该向量组的 一个最大无关组.
b = (1, 0, 0) , 则线性方程组 Ax = b的解为
T
例34 求一个齐次线性方程组，使它的基础 解系为 ξ1 = (0, 1, 2, 3)T , ξ 2 = (3, 2, 1, 0)T
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第二部分 向量组,线性方程组及矩阵的秩——典型例题
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18
例44 确定常数a，使得向量组 α 1 = (1, 1, a ) ,
第二讲：向量组的秩和方程组解的结构
第二讲:向量组的秩和线性方程组的解的结构主讲人：同济大学孙娟娟基本要求1.理解向量组的最大无关组和向量组的秩的概念,知道向量组的秩与矩阵的秩的关系.会用矩阵的初等变换求向量组的秩和最大无关组.2.了解向量组线性相关性理论的主要结论.3.理解齐次线性方程组的基础解系的概念及系数矩阵的秩与全体解向量的秩之间的关系,熟悉基础解系的求法.理解非齐次线性方程组通解的构造.知识要点及例题解析向量组的秩最大无关组定义：n S ⊂1{,,}r S αα⊂向量组,1{,,}r αα(1)线性无关则下面三条等价,S α∀∈α1{,,}r αα(2)可由线性表出;S 1r +(2’)中任意个向量线性相关;,S α∀∈1,{,,}r ααα(2’’)线性相关.1{,,}r ααS 我们称是的最大无关组⇔满足条件(1),(2)⇔满足条件(1),(2’)⇔满足条件(1),(2’’)向量组的秩0 中只有零向量的任意最大无关组中向量个数中有非零向量S S S S R ⎧⎪=⎨⎪⎩条件(1)+(2)⇔1{,,}r ααS S 是中和等价的向量子组n S ⊂定义向量组.S S R 的秩定义为⇔1{,,}r ααS 是中向量个数最多的线性无关组条件(1)+(2’)⇔1{,,}r ααS 是中不能再线性无关扩充的线性无关子组.条件(1)+(2’’)有限个列向量的向量组.求向量组的秩,最大无关组,以及其它向量用最大无关组表示:第一步:1)(,,n mm A αα⨯=令第二步:第三步:A 1,r A A −−→1,A 利用初等行变换把化成阶梯形1.()中非零行的行数S R R A A ==则向量组的秩1A 12,,,r j j j 如果的首元列是列,则向量组S 12,{,,}r j j j ααα是的一个最大无关组.第四步:1A 2,A 把化成行最简形2A 从中读出其它向量用最大无关组表示的系数.向量组的秩及最大无关组的求解步骤:1{,,}:m S αα=21112112144622436979A --⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪-⎝⎭=解令1211214211124622436979r r ↔-⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−−→ ⎪-- ⎪-⎝⎭1221114636,,αα-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=534112214224997,,ααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=51234,,,{,}ααααα例设求向量组的秩,并将不属于最大无关组的向量写成最大无关组的线性组合.2,4,321314111214033160101061203343r r r r r r ----⎛⎫ ⎪--- ⎪−−−−−−−→ ⎪--- ⎪--⎝⎭334112140331601162103343r r +-⎛⎫ ⎪--- ⎪−−−→ ⎪-- ⎪--⎝⎭(1),332112140116210331603343r r r -↔-⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−−−→ ⎪--- ⎪--⎝⎭,3242331121401162100019570002266r r r r +--⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−−−−→ ⎪- ⎪-⎝⎭,34(19)22112140116210001300013r r ÷-÷-⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−−−−→ ⎪- ⎪-⎝⎭143112140116210001300000r r A --⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−→= ⎪- ⎪⎝⎭1112140116210001300000A -⎛⎫⎪--⎪= ⎪- ⎪⎝⎭12210104011030001300000r r A --⎛⎫⎪- ⎪−−−→= ⎪-⎪⎝⎭312ααα-=-5124433αααα+-=由于化成的行阶梯形有三个非零行,所以向量组的秩是3.非零行的首元在第一,二,四列,所以可以选取124,{,}ααα最为一个最大无关组.下面把行阶梯形化成行最简形:所以,1323611207011030001300000r r r r -+-⎛⎫⎪- ⎪−−−−−→⎪-⎪⎝⎭线性方程组解的结构1212(1),,S S S ξξξξ+∈∈∈⇒的解的集合,:S 0Ax =(2)().S k S k ξξ∈∈⇒∈121122,,,::基础解系通解n r n r n r x k k k ξξξξξξ---+++⇔=则S 基础解系:=的最大无关组().r R A =其中0()Ax =*解的结构齐次线性方程组例求下面齐次线性方程组的基础解系和通解:12341234.2340350x x x x x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩+++=+-+=211234123413150141r r A -⎛⎫⎛⎫−−−→ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=122101120141r r -⎛⎫−−−−→ ⎪-⎝⎭方程组和134234112040x x x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩++=-+=同解解把系数矩阵12341315A ⎛⎫ ⎪-⎝⎭=化成行最简形矩阵现在选取非首元所在的列,第三,第四列的未知元34,x x 作为自由变量,从而可从同解方程组中得到1342341142x x x x x x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩--从而得到一个基础解系1211241,1001ξξ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3434123433441121124411001x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=------=+即和通解1211241.1001x k k --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭*1122+n r n r x k k k ξξξη--+++=(1)Ax β=0(2)Ax =12,ηη1.若是(1)的解,则12ηη-是(2)的解;2.若η是(2)的解,则ξ是(1)的解,ξη+是(1)的解;1,,n r ξξ-3.若是(2)的基础解系,*η是(1)的特解,则(1)的通解是(0)Ax ββ=≠解的结构非齐次线性方程组解第一步：先找所对应齐次方程的解1232,ααα=-而例1234,,,()A αααα=其中234,,{}ααα1232,ααα=-1234.βαααα+++=求Ax β=的通解.线性无关，线性无关，234,,{}ααα因为所以234,,{}ααα是1234,,,{}αααα的极大无关组，从而()3R A =于是0Ax =的解空间维数是4() 1.R A -=由于1232,ααα=-从而12320,ααα+-=-即12341122,,,)110000(A αααα--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⇔=所以1210ξ-⎛⎫⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭是0Ax =的基础解系第二步：找非齐次方程的一个特解因为1234,βαααα+++=12341111,,,)1111(A ββαααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⇔=从而找到一个特解*1111η⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭所以最终得到Ax β=的通解是1121()1101k k R x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=+∈-。
线性代数课件PPT第三章 线性方程组 S1 向量组与矩阵的秩
i
am1 am2 amn m
向量组 1 ,2 , ,m 称为矩阵A的行向量组．
11
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量组1, 2 ,, m ,
构成一个n m矩阵
A (1 , 2 ,, m )
m个n维行向量所组成
的向量组1, 2 , m ,构成
li hi 0, (i 1, 2, , s)
即 li hi , (i 1, 2, , s)
所以表示法唯一. 例5和例6的结论可作为定理使用
24
三、几个有关的结论
定理2 n阶行列式|A|=det(aij)=0 它的n个行（列） 向量线性相关.
25
推论 n阶行列式|A|≠0 它的n个行(列)向量线 性无关.
(a1 , a2 , , an ),
注意
b1
b2
bn
行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算.
9
§3.1.1.2向量组的线性相关性
一、向量、向量组与矩阵
若干个同维数的列向量（或行向量）所组成 的集合叫做向量组．
例如1 A
矩阵A
a11 a21
(a
2
a12
a22
ij)mn
但是，若A为可逆矩阵，则可以得到B=O.
| An | n | A |
注意: 矩阵与行列式线性运算的不同点，以及
(AB)T=BTAT
|AnBn| = |An| |Bn| = |Bn| |An|
2
3. 掌握逆矩阵及其性质、矩阵可逆的充要条 件，会用伴随矩阵求二阶矩阵逆矩阵． 如： |A|≠0时A可逆，或对于方阵A，若存在 方阵B，使 AB=E (AB=BA=E)则A可逆。 (AT)−1=(A−1)T, (AB)−1=B−1A−1, |A−1|=|A|−1 A−1=A* / |A|，注意A*中元素的排列顺 序 对任意方阵A，有 AA*=A*A=|A|E
线性代数应用题总结分类及经典例题
线性代数应用题总结分类及经典例题本文旨在总结线性代数中的应用题，并提供一些经典例题。
以下是对应的分类和例题：1. 线性方程组例题1：已知线性方程组如下：$$\begin{cases}2x + y - z = 5 \\x - 3y + 2z = -4 \\3x + 4y - z = 6 \\\end{cases}$$求解以上线性方程组。
例题2：已知线性方程组如下：$$\begin{cases}2x + 3y - z = 4 \\x - 2y + 3z = -1 \\3x + 4y - 2z = 7 \\\end{cases}$$求解以上线性方程组。
2. 矩阵与向量例题1：已知矩阵$A=\begin{bmatrix}1 &2 &3 \\4 &5 &6 \\\end{bmatrix}$，向量$\mathbf{b}=\begin{bmatrix}2 \\-1 \\\end{bmatrix}$，求解方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$。
例题2：已知矩阵$A=\begin{bmatrix}2 & -1 \\3 &4 \\\end{bmatrix}$，向量$\mathbf{b}=\begin{bmatrix}1 \\2 \\\end{bmatrix}$，求解方程组$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$。
3. 线性变换例题1：已知线性变换$T$将向量$\mathbf{v}=\begin{bmatrix}2 \\3 \\\end{bmatrix}$映射为$\mathbf{w}=\begin{bmatrix}5 \\-1 \\\end{bmatrix}$，求线性变换$T$的矩阵表示。
例题2：已知线性变换$T$将向量$\mathbf{v}=\begin{bmatrix} 1 \\-2 \\\end{bmatrix}$映射为$\mathbf{w}=\begin{bmatrix}3 \\4 \\\end{bmatrix}$，求线性变换$T$的矩阵表示。
线性代数总结汇总+经典例题
线性代数总结汇总+经典例题线性代数知识点总结1 行列式（一）行列式概念和性质1、逆序数：所有的逆序的总数2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。
（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。
（6）两行成比例，行列式的值为0。
（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式数学归纳法证明★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0（四）行列式公式10、行列式七大公式：（1）|kA|=k n|A|（2）|AB|=|A|·|B|（3）|A T|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A|n-1（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B|（五）克莱姆法则11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。
2 矩阵（一）矩阵的运算1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）（3）AB=O不能推出A=O或B=O。
向量组的秩例题
向量组的秩例题向量组的秩是数学中一个重要的概念，它可以提供有关一组向量的结构和属性的信息。
因此，在线性代数中，学习和理解向量组的秩是必不可少的。
本文试图通过分析给出的例题来解释向量组的秩，以便为学习者更好地掌握这一概念。
首先，需要界定向量组的秩的概念。
简单的说，向量组的秩是该向量组中的最大线性无关矢量的维数。
若向量组中存在一组相等的非零向量，则称这组向量为线性关联向量，此时，这组向量所构成的空间称为子空间。
如果向量组中没有相等的非零向量，则称这组向量为矢量无关向量，而向量组构成的空间则称为无关空间。
要明白向量组的秩，最好的方法就是从实用的角度出发，从一些例题中理解这一概念。
下面给出一组由三个向量组成的例子：第一组：v1=(1,2,3)，v2=(-2,4,6)，v3=(3,-6,9)这3个向量形成的向量组的秩可以用行线性无关性方法来计算。
考虑到，v2可以由v1和v3线性组合而成，即v2=2v1-v3，因此，这三个向量形成的向量组的秩为2。
第二组：v1=(1,2,3,4)，v2=(2,3,4,5)，v3=(3,4,5,6),v4=(4,5,6,7)这四个向量形成的向量组的秩也可以用行线性无关性方法来计算。
考虑到，v2可以由v1, v3和v4线性组合而成，即v2=v1+v3-v4，因此，这四个向量形成的向量组的秩为3。
第三组：v1=(1,2,3,4)，v2=(1,2,3,4)，v3=(3,4,5,6),v4=(4,5,6,7)这四个向量形成的向量组的秩也可以用行线性无关性方法来计算。
考虑到，v2等于v1，即v2=v1，因此，这四个向量形成的向量组的秩为3。
由上述例题可知，向量组的秩由其中矢量无关性情况决定，它能揭示出给定向量组所构成的空间的结构特征。
换言之，向量组的秩可以帮助理解给定向量组的维度，从而获得关于该向量组的一般性知识。
此外，向量组的秩还可以用来解决线性方程组的解的数目。
设线性方程组具有m个未知数，如果系数矩阵的秩等于m，则线性方程组有唯一解；如果系数矩阵的秩小于m，则线性方程组有无数解；如果系数矩阵的秩大于m，则线性方程组无解。
向量组的秩例题选讲-PPT
1 2 1 0
A1 1
4 3
1 0
4 2
1 2 3 4
解 通过初等行变换把A化为行最简形
1 2 1 0 1 2 1 0 A 1 4 1 4 0 2 2 4
1 3 0 2 0 1 1 2
向量组的秩例题选讲
24
1 2 1 0 1 2 1 0 0 2 2 4 0 1 1 2
0 1 1 2 0 0 0 0
向量组的秩
4.3
本节 主要内容
1. 极大线性无关组与秩; 2. 向量组的等价; 3.向量组的秩与矩阵的秩的关系.
向量组的秩例题选讲
4
4.3.1 向量组的极大无关组与秩
定义1设S是n维向量构成的向量组,在S中
选取r个向量 1, 2,如,果,满r 足
(1) 1,2 , ,r线性无关 (2)任取 S,总有 ,1,线2,性相,关r . 则称向量组 1,2,为向,量r 组S的一个
是r 维线性无关向量的接长,仍线性无关.
j A, 下证 j ,i1 ,i2 ,,ir
是线性相关的,
向量组的秩例题选讲
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因为
①
j
在 j ,
i1 , i1 ,
ii22,线, …性,,ii相rr 中关; .
② j 不在 i1 , i2 , …,ir 中,
而 所以
r+1列对应的子矩阵记为A1 ,r(A1)≤ r(A)= r ＜r +1 j ,i1 ,i线2 ,性,相ir 关,
线性相关,所以 j ( j=r+1,…,m)可以由
1, 2 ,, r 线性表示 (I)可由(II)线性表示.
故 (I)与(II) 等价.
向量组的秩例题选讲
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向量组与矩阵的秩
k
i 1 i
s
i
k1 1 k 2 2 k s s 0
反之，如果只有在k1=k2=…=ks=0时上式才成立，就 称 1 , 2 , s线性无关。 当 1 , 2 , s是行向量组时，它们线性相关就是指有 非零的1×s矩阵（k1,k2,…,ks）使
所以 k1 1 k 2 2 k n n 0 当且仅当k1=k2=…=kn=0 因此 1 单位向量。
湖南科技大学 吴晓勤
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例2
讨论向量组
1
2 3 2 1
1 2 1
3
3 2 -1
k1 1 k2 2 k3 3 (k1 k3 ) 1 (k1 k2 ) 2 (k2 k3 )
设有k1,k2,k3,使 k1 1 k 2 2 k 3 3 0 由 1 , 2 , 3线性无关，故有
k1 k 3 0 k1 k 2 0 k k 0 3 2
由于满足k1,k2,k3的取值只有k1=k2=k3=0 所以 1 , 2 , 3 线性无关。
湖南科技大学 吴晓勤
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一般地 , 判断一个向量组 1,2,…,m线性相关的基本 方法和步骤是: 1)假定存在一组数k1,k2,…,km ，使 k11+k22+…+kmm=0; 2) 应用向量的线性运算和向量相等的定义 ,找出含未 知量k1,k2,…,km的齐次线性方程组; 3)判断方程组有无非零解; 4)如有非零解,则1,2,…,m线性相关;如仅有零解,则 1,2,…,m线性无关.
湖南科技大学 吴晓勤
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1 例1 判断向量组
(1,0, ,0),
2 (0,1, ,0), n (0,0, ,1)
向量组的线性相关性和矩阵的秩练习题答案
第三章向量组的线性相关性和矩阵的秩（一）基本要求：（二）内容分析和教学指导（1）从解方程的过程引出所要解决的问题，每个方程对应于一个行向量，某个方程可由其它方程表示，则该方程可去掉，为无效方程。
这对应于讨论向量组中是否有某个向量可由其它向量线性表示，即向量的线性相关性问题。
去掉无效方程后的方程求解，需要确定自由未知量和保留未知量，涉及最后的方程系数行列式不等于零的问题（2）向量的线性运算及其性质，和矩阵的运算相对应。
（3 ）向量线性相关性的定义和判断：线性相关性定义使用于理论证明，把相关性问题转化为向量方程（即方程组）有无非零解的问题，而等价定义使相关性的含义更加明确。
为了加深相关性的定义，对与一个向量，两个向量和三个向量线性相关的几何意义加以强调：单个零向量是线性相关的，两个向量相关是指两个向量共线，三个向量相关是共面。
通过利用相关性定义来判断向量组线性相关，重点培养学生的利用概念分析判断，进行逻辑推理的能力。
定义理解中的误区：（1 ）定义中的系数是独立的，（2 ）非零组合系数是相对向量组的，不同向量组对应的系数可能不同，（ 3 ）向量组线性相关则至少有一个向量可以由其它向量线性表示，至于是那一个向量是依赖于具体的向量组，并不是每个向量都可由其它向量变来表示。
列向量组的线性相关性和线性表示的矩阵表示，行向量组线性相关性和线性表示的矩阵表示。
重点是列向量组表示的矩阵形式（4 ）相关表示式的分量形式是理解相关性定理的基础和本质，一个分量对应一个方程，一个向量对应一个未知数。
用子式判断向量的线性相关性的方法，子式不等于对应于只有零解，对应于线性无关，子式等于零对应于有非零解，对应线性相关。
（5 ）最大无关组和矩阵的秩：重点理解矩阵秩的定义和含义，牢固建立矩阵和向量组的对应关系。
矩阵的秩等于行向量组的秩，等于列向量组的秩，就是非零子式的最高阶数。
掌握最高阶非零子式和向量组的最大无关组之间的对应关系，子式为零对应于线性相关，子式非零对应于线性无关。
3.3向量组的秩与矩阵的秩
定义3.设A是一个矩阵，称A的行向量组的秩为 A的行秩；称A的列向量组的秩为A的列秩。
定理4.矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩和列秩.
a1,1
证明：设AFra biblioteka2,1
M
a1,2 L a2,2 L ML
am
,1
am,2
L
a1,n
a2,n
M
am
,n
(1)首先证明矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩
类似可证：矩阵的初等列变换不改变矩阵的 列秩。
(2)证明矩阵的初等行变换也不改变矩阵的列秩
设A：1, 2, …, r, r+1, …, n是矩阵A的列向 量组，无妨说：1, 2, …, r是A的极大线性无关
组. P是一个m阶的初等方阵
B：P1, P2, …, Pr, Pr+1, …, Pn
依据定理3得知：
定义2. 设A是一组n维向量，1, 2, …, r是A的
一个极大线性无关组。称r为A向量组的秩, 记为R(A).
推论2:若向量组A和向量组B等价, 则R(A) = R(B)
证明：设1, 2, …, r是向量组A的一个极大线性 无关组；1, 2, …, s是向量组B的一个极大线性
无关组.
由于1, 2, …, r与A等价； A与B等价，同 时B与1, 2, …, s等价，所以1, 2, …, r与1, 2, …, s等价
组，简称极大无关组。
定理1.设有n维向量组A：a1, a2, …, as和B：b1, b2, …,bt .若A组向量线性无关，并且A组向 量可以被B组向量线性表出，则必然有 s t.
证明: (反证法)设不然，即s > t
a1 c1,1b1 c2,1b2 L ct,1bt 无妨说：a2 c1,2b1 c2,2b2 L ct,2bt
线性代数 第二章 矩阵的秩与线性方程组 参考答案
3 2 0 5 0 1 3 −2 2 3 6 − 1 3 −2 （３） A = 0 2 − 1 3 ； （４） ． A = 2 0 1 5 −3 −2 0 1 5 1 6 −4 −1 4
1 0 → 0 0
r3 + 3r2 r4 + 5 r2
6 −4 4 0 0
4 1 −3 −2 3 r4 + r3 0 → 0 0 1 −2 0 −1 2 0
−1
6 −4
4 4 −3 − 2 3 0 0 1 −2 0 0 0 0
其中 x2 , x4 , x5 为自由未知量，令
x2 = c1 , x 4 = c 2 , x 5 = c 3 ，
可得通解为
5
2 1 x1 = − 3 c1 − 3 c2 x 2 = c1 1 x3 = − c3 ， （ c1 , c 2 为任意常数） ． 3 x 4 = c2 x5 = c3
解 （１）系数矩阵
3
1 −3 2 1 −3 2 行 A = 2 −5 3 → 0 1 −1 ， 3 −8 2 0 0 −3 x1 = 0 由于 r ( A) = 3 = n ，故方程组只有唯一零解，即 x2 = 0 ． x = 0 3
x3 = c1, x 4 = c 2 ，
可得通解为
x1 = c1 + 2c2 x = c + 3c 2 2 1 ， （ c1 , c 2 为任意常数） ． x = c 3 1 x4 = c2