二分图最大匹配及常用建图方法
地图制版印刷技术的特点及绘制方法
地图制版印刷技术的特点及绘制方法１来源：广东印刷地图是一个社会文明的象征，也是一个国家政治、经济、外交和文化教育的缩影。
地图作为人类认识世界、了解社会、改造世界的必备工具，它的应用已经从最基本的地名、路线查询发展到基于地图分析和处理的更广阔的领域。
从政府决策到市政建设，从知识传播到企业管理，从移动互联到电子商务，以及数字地球、数字中国等等，无一能脱离地图。
特别是电子地图的问世，网络的出现、地理信息系统、全球定位系统的发展与应用，使得作为测绘终端产品的地图的应用已渗透到我们生活、学习和工作的方方面面。
地图作为特殊的载体，又是国家主权的象征，是一种特殊的出版物，科学而严谨的制作生产流程是确保地图适应市场需要的关键。
现代地图印刷是建立在光学、色彩学、应用化学、高分子学、材料学、照相学、电子学、资讯科学等学科基础之上的，它属于出版印刷的范畴，但又具有独自的特点与要求。
地图印刷是将不同类型的地图原稿，通过不同的印制方法与工艺，复制出大量的比原稿更美观、清晰易读的各种形式的地图。
随着现代科学技术的发展，地图印刷应用了许多新技术、新工艺和新材料。
地图的制版印刷与其他出版物相比较，有其自身的特点，主要有以下几个方面：１．印刷幅面大。
地图的幅面大小，或是按国家技术标准进行规定，或是在地图编绘设计中根据特殊要求进行规定，不能任意分割。
一般地形图按规范以经纬度分幅，图廓尺寸为６０ｃｍ×４４ｃｍ左右，挂图幅面更大，有的要用几张、十几张纸拼接而成，这是其它印刷品所没有的特点。
２．复制精度要求高。
地图应用中有时要在地形图或其它地图上通过量算获取数据，因此在复制中和复制后的地图图廓尺寸都要在允许误差范围之内。
线条、符号符合规范图例或设计的规定，相邻两幅图之间内容要能够正确的拼接，不能因印制而影响地图的几何精度。
３．以单色原稿印制成彩色地图。
绝大部分提供给出版印刷的地图原稿均是单色，在印制过程中，参照所提供的彩色样图，制版印刷成彩色地图，因此，给拷贝、分色、修版、制版各工序增添了许多困难。
二分图理论
*7.5 二部图及匹配7.5.1二部图在许多实际问题中常用到二部图，本节先介绍二部图的基本概念和主要结论，然后介绍它的一个重要应用—匹配。
定义7.5.1 若无向图,G V E =的顶点集V 能分成两个子集1V 和2V ，满足（1）12V V V =，12V V φ=；（2）(,)e u v E ∀=∈，均有1u V ∈，2v V ∈。
则称G 为二部图或偶图(Bipartite Graph 或Bigraph)，1V 和2V 称为互补顶点子集，常记为12,,G V V E =。
如果1V 中每个顶点都与2V 中所有顶点邻接，则称G 为完全二部图或完全偶图(Complete Bipartite Graph)，并记为,r s K ，其中12,r V s V ==。
由定义可知，二部图是无自回路的图。
图7-55中，(),(),(),(),()a b c d e 都是二部图，其中(),(),(),()b c d e 是完全二部图1,32,32,43,3,,,K K K K 。
图7-55二部图示例显然，在完全二部图中,r s K 中，顶点数n r s =+，边数m rs =。
一个无向图如果能画成上面的样式，很容易判定它是二部图。
有些图虽然表面上不是上面的样式，但经过改画就能成为上面的样式，仍可判定它是一个二部图，如图7-56中()a 可改画成图()b ，图()c 可改画成图()d 。
可以看出，它们仍是二部图。
图7-56二部图示例定理7.5.1 无向图,G E =为二部图的充分必要条件为G 中所有回路的长度均为偶数。
证明 先证必要性。
设G 是具有互补节点子集1V 和2V 的二部图。
121(,,,,)k v v v v 是G 中任一长度为k 的回路，不妨设11v V ∈，则211m v V +∈，22m v V ∈，所以k 必为偶数，不然，不存在边1(,)k v v 。
再证充分性。
设G 是连通图，否则对G 的每个连通分支进行证明。
图像拼接算法及实现(一).
图像拼接算法及实现（一）论文关键词：图像拼接图像配准图像融合全景图论文摘要：图像拼接(image mosaic)技术是将一组相互间重叠部分的图像序列进行空间匹配对准,经重采样合成后形成一幅包含各图像序列信息的宽视角场景的、完整的、高清晰的新图像的技术。
图像拼接在摄影测量学、计算机视觉、遥感图像处理、医学图像分析、计算机图形学等领域有着广泛的应用价值。
一般来说,图像拼接的过程由图像获取,图像配准,图像合成三步骤组成,其中图像配准是整个图像拼接的基础。
本文研究了两种图像配准算法:基于特征和基于变换域的图像配准算法。
在基于特征的配准算法的基础上,提出一种稳健的基于特征点的配准算法。
首先改进Harris角点检测算法,有效提高所提取特征点的速度和精度。
然后利用相似测度NCC(normalized cross correlation——归一化互相关),通过用双向最大相关系数匹配的方法提取出初始特征点对,用随机采样法RANSAC(Random Sample Consensus)剔除伪特征点对,实现特征点对的精确匹配。
最后用正确的特征点匹配对实现图像的配准。
本文提出的算法适应性较强,在重复性纹理、旋转角度比较大等较难自动匹配场合下仍可以准确实现图像配准。
Abstract：Image mosaic is a technology that carries on thespatial matching to a series of image which are overlapped with each other, and finally builds a seamless and high quality image which has high resolution and big eyeshot. Image mosaic has widely applications in the fields of photogrammetry, computer vision, remote sensing image processing, medical image analysis, computer graphic and so on. 。
二分图相关问题
X X S X X
X X X X
X代表攻击范围，S代表骑 士
分析
对棋盘染色，设方格的坐标为(x,y)，x和y同奇 偶的方格对应X集合，不同奇偶的对应Y集合。 由于骑士沿着“日”字形路线攻击，所以每个 攻击肯定是处于X集合和Y集合之间，而不可 能在两个集合内部。 显然，转化后变为求二分图的最大独立集
匈牙利算法
简要说明：find函数用于判断从k点开始是否能 够找到一条交错路。对于每个可以与k匹配的 顶点j，假如它未被匹配，交错路就已经找到； 假如j已与某顶点x匹配，那么只需调用find(x) 来求证x是否可以与其它顶点匹配，如果返回 true的话，仍可以使j与k匹配；这就是一次 DFS。每次DFS时，要标记访问到的顶点 （cover[j]=true），以防死循环和重复计算。
例题分析
Hanoi Tower Troubles Again! (OIBH Contest)
ZOJ 1239 题目大意：给定柱子数N，按编号从小到大放球， 要求：如果该球不在最底数，则该球和它下面一个 球的编号之和必须为完全平方数。 问对于给定的N，最多能放多少球上去。 N<=50
例题分析
分析
铺放方法
1.2. .333 444. ..2.
Sample Output 4
分析
最小覆盖是覆盖所有的边，因此泥地对应边 建图方式类似于皇家卫士，也是利用行连通块 和列连通块做点，单位泥地对应二分图中的边 要求放最少的板覆盖全部的泥地，转化为求最 小覆盖
二分图最大独立集
图的独立集：寻找一个点集，其中任意两点在 图中无对应边 一般图的最大独立集是NP完全问题 二分图的最大独立集=图的点数-最大匹配数
二分图最小覆盖
图的覆盖：寻找一个点集，使得图中每一条边 至少有一点在该点集中
基于相位相关的图像匹配算法研究
基于相位相关的图像匹配算法研究胡海;罗桂娥【摘要】提出一种基于相位相关的图像匹配方法.针对仅有位移变换的图像,给出基于相位相关的模板匹配方法,并进行了改进,然后利用人工平移的方式进行实验验证.结合Fourier-Mellin变换理论,给出解决旋转问题的图像匹配方法,并利用人工旋转的方式进行了实验验证.实验结果表明,本方法在精度和速度上都能取得比较满意的效果.【期刊名称】《微型机与应用》【年(卷),期】2013(032)007【总页数】3页(P5-7)【关键词】相位相关;傅里叶-梅林变换;模板匹配【作者】胡海;罗桂娥【作者单位】中南大学信息科学与工程学院,湖南长沙410083;中南大学信息科学与工程学院,湖南长沙410083【正文语种】中文【中图分类】TP391图像匹配是评价两幅或多幅图像的相似性以确定同名点的过程。
图像匹配算法就是设法建立两幅图像之间的对应关系，确定相应几何变换参数，对两幅图像中的一幅进行几何变换的方法。
图像匹配是图像分析和处理过程中的基本问题。
它在航空影像自动制图、图像三维重构、计算机视觉、遥感融合、模式识别、医学图像处理、影像分析等领域都有十分重要的应用。
目前图像匹配算法分为基于图像特征和基于图像灰度两大类。
在诸多现有的图像匹配算法中，基于相位相关的方法以其计算量小、抗噪声等优点得到广泛关注。
本文提出的基于相位相关的模板匹配方法不但有很高的匹配精度而且能精确地测量出相对图像对之间的相对平移量，但它对旋转变换很敏感。
为了能够准确实现图像匹配，本文结合Fourier-Mellin变换求取图像的旋转量，并对图像进行匹配[1-5]。
1 Fourier变换位移理论基于频域傅里叶变换相位相关法描述如下：f1（x，y），f2（x，y）是定义在空间 R2的两幅图像，假定f1（x，y）是参考图像，图像 f2（x，y）是 f1（x，y）平移（x0，y0）后的观测图像，两者之间的关系可表示为：根据傅里叶变换的性质有：则两幅图像的互功率谱为：式中，F（ξ，η）为 F1（ξ，η）的复共轭。
集成电路常用器件版图松柏书屋
❖ 图7.26：梳状二极管。
❖ 用作ESD的二极管的面积较大，且画成环形结 构。
专业课堂
27
5.5 保护环版图
❖ 保护环（guard ring）是有N+型的接触孔或 P+型的接触孔转成环状，将所包围的器件与 环外的器件隔离开来，所以叫做保护环。
❖ 保护环的作用：隔离噪声，保护敏感电路不 受外界干扰；防止闩锁效应。
专业课堂
15
5.2 电阻常见版图画法
专业课堂
16
5.2 电阻常见版图画法
专业课堂
17
5.2 电阻常见版图画法
专业课堂
18
5.2 电阻常见版图画法
❖ 对于无法使用串、并联关系来构建的电阻， 可以在单元电阻内部取部分进行构建。
❖ 图7.18的实现方式。
专业课堂
19
电阻匹配设计总结
❖ （1）采用同一材料来制作匹配电阻
电容值。
❖ 做在场氧区，电容值较小。
专业课堂
23
5.3 电容版图设计
❖ （4）MIM电容 ❖ 金属层之间距离较大，因此电容较小。
❖ 减小电容面积、提高电容值：叠层金属电容 器，即将多层金属平板垂直的堆叠在一起， 将奇数层和偶数层金属分别连在一起，形成 两个梳状结构的交叉。图7.21
❖ PIP和MIM电容由于下极板与衬底距离较远， 寄生电容较小，精度较好。
专业课堂
33
输入单元
输入单元主要承担对内部电路的保 护，一般认为外部信号的驱动能力足 够大，输入单元不必具备再驱动功能。 因此，输入单元的结构主要是输入保 护电路。
专业课堂
34
输入单元版图
单二极管、电阻电路
双二极管、电阻电路
专业课堂
最大二分图匹配（匈牙利算法）
最大二分图匹配（匈牙利算法）二分图指的是这样一种图：其所有的顶点分成两个集合M和N，其中M或N中任意两个在同一集合中的点都不相连。
二分图匹配是指求出一组边，其中的顶点分别在两个集合中，并且任意两条边都没有相同的顶点，这组边叫做二分图的匹配，而所能得到的最大的边的个数，叫做最大匹配。
计算二分图的算法有网络流算法和匈牙利算法（目前就知道这两种），其中匈牙利算法是比较巧妙的，具体过程如下（转自组合数学）：令g=（x,*,y）是一个二分图，其中x={x1,x2...},y={y1,y2,....}.令m为g中的任意匹配。
1。
将x的所有不与m的边关联的顶点表上￥，并称所有的顶点为未扫描的。
转到2。
2。
如果在上一步没有新的标记加到x的顶点上，则停，否则，转33。
当存在x被标记但未被扫描的顶点时，选择一个被标记但未被扫描的x的顶点，比如xi，用（xi）标记y 的所有顶点，这些顶点被不属于m且尚未标记的边连到xi。
现在顶点xi 是被扫描的。
如果不存在被标记但未被扫描的顶点，转4。
4。
如果在步骤3没有新的标记被标记到y的顶点上，则停，否则转5。
5。
当存在y被标记但未被扫描的顶点时。
选择y的一个被标记但未被扫描的顶点，比如yj，用（yj）标记x的顶点，这些顶点被属于m且尚未标记的边连到yj。
现在，顶点yj是被扫描的。
如果不存在被标记但未被扫描的顶点则转道2。
由于每一个顶点最多被标记一次且由于每一个顶点最多被扫描一次，本匹配算法在有限步内终止。
代码实现：bfs过程：#include<stdio.h>#include<string.h>main(){bool map[100][300];inti,i1,i2,num,num1,que[300],cou,stu,match1[100],match2[300],pqu e,p1,now,prev[300],n;scanf("%d",&n);for(i=0;i<n;i++){scanf("%d%d",&cou,&stu);memset(map,0,sizeof(map));for(i1=0;i1<cou;i1++){scanf("%d",&num);for(i2=0;i2<num;i2++){scanf("%d",&num1);map[i1][num1-1]=true;}}num=0;memset(match1,int(-1),sizeof(match1)); memset(match2,int(-1),sizeof(match2)); for(i1=0;i1<cou;i1++){p1=0;pque=0;for(i2=0;i2<stu;i2++){if(map[i1][i2]){prev[i2]=-1;que[pque++]=i2;}elseprev[i2]=-2;}while(p1<pque){now=que[p1];if(match2[now]==-1)break;p1++;for(i2=0;i2<stu;i2++){if(prev[i2]==-2&&map[match2[now]][i2]){prev[i2]=now;que[pque++]=i2;}}}if(p1==pque)continue;while(prev[now]>=0){match1[match2[prev[now]]]=now; match2[now]=match2[prev[now]]; now=prev[now];}match2[now]=i1;match1[i1]=now;num++;}if(num==cou)printf("YES\n");elseprintf("NO\n");}}dfs实现过程：#include<stdio.h>#include<string.h>#define MAX 100bool map[MAX][MAX],searched[MAX]; int prev[MAX],m,n;bool dfs(int data){int i,temp;for(i=0;i<m;i++){if(map[data][i]&&!searched[i]){searched[i]=true;temp=prev[i];prev[i]=data;if(temp==-1||dfs(temp))return true;prev[i]=temp;}}return false;}main(){int num,i,k,temp1,temp2,job;while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n!=0) {scanf("%d%d",&m,&k);memset(map,0,sizeof(map));memset(prev,int(-1),sizeof(prev)); memset(searched,0,sizeof(searched));for(i=0;i<k;i++){scanf("%d%d%d",&job,&temp1,&temp2); if(temp1!=0&&temp2!=0)map[temp1][temp2]=true;}num=0;for(i=0;i<n;i++){memset(searched,0,sizeof(searched)); dfs(i);}for(i=0;i<m;i++){if(prev[i]!=-1)num++;}printf("%d\n",num);}}。
三分图上的匹配与其算法和应用
第一章引言在过去的四十几年里，图论已经被证明是解决几何、数论、运筹学和优化等领域中各种组合问题非常有用的工具。
而匹配是图论中的一个重要内容，也是图论的一个活跃的研究领域．匹配与独立集。
横贯等概念有着密切的关系．三四十年代Ｈａｌｌ，Ｔｕｔｔｅ［１】【２】得出了二分图上完美匹配存在性的充要条件；五十年代末Ｂｅｒｇｅ［３１等得出了最大匹配的判定条件；Ｋｕｈｎ，Ｍｕｎｋｒｅｓ［４］［５１给出了二分图上的最大权匹配的一个有效算法；六十年代Ｅｄｍｏｎｄ［Ｓ］｛７］找到了一般图上最大匹配以及最大加权匹配的第一个多项式算法；Ｇａｂｏｗ［ｓ］将Ｅｄｍｏｎｄｓ算法的复杂度从ｏ（［ｖ１４）提高到了ｏ（Ｉｖｌ３），还提出一种嵌入合并和查找技术的算法其复杂度为ｏ（ＩＶｌｌＥＩ）１９】；Ｍｉｅａｌｉ，Ｖａｚｉｒａｎｉ［１０】提出了一个最优渐进运行时间为ｏ（￣／丽例）的算法，不过这个算法难于理解和实现，以至从发表到证明其正确性花了近十年的时间．最大匹配、最大权匹配的启发式算法也有不少研究，ＤｏｒａｔｈａＥ．Ｄｒａｋｅ［ｎ］等人针对加权匹配问题提出了一种效率为；复杂度为ｏ（㈣）的算法；ＪｏｎａｔｈａｎＡｒｏｎｓｏｎ，ＭａｒｔｉｎＤｙｅｒ，Ａｌａｎ刚ｅ＝ｅ【１目等人发展了随机贪婪算法并对其中的一些性质做了深入的探讨．本文针对三分图上的最大匹配也提出了一个启发式算法，算法能够为随后的基于拉格朗日松弛的分支定界提供一个好的初始下界．管理决策中，匹配在所谓人员分配问题和最优分配阿题中有重要应用，．还有很多问题可以化归到匹配问题．通常意义上的匹配都假定图中节点在匹配中只出现１次。
如果放宽在节点上的容量约束，允许每个节点可以在匹配中重复出现多次，就变成了６一Ｍｏｔｃｈｉｎｇ问题．ＰｕｌｌｅｙＢｌａｎｋ（１９８０，１９８１）［１３】ｆ１４Ｊ对ｂ—Ｍａｃｔｈｉｎ９作了研究；ＭａｔｔｈｉａｓＭｕｌｌｅｒ．Ｈａｎｎｅｍａｎｎ，ＡｌｅｘａｎｄｅｒＳｃｈｗａｒｔｚ御咧【１５】从实现的角度进行了研究．以上的这些研究往往局限在二分图上，在管理决策中也的确出现了不少的问题可以归结到三分图上的匹配问题，笔者最近所作的项目中就出现了此类问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
算法———艺术二分图匹配剖析很多人说，算法是一种艺术。
但是对于初学者的我，对算法认识不是很深刻，但偶尔也能感受到他强大的魅力与活力。
这让我追求算法的脚步不能停止。
下面我通过分析匈牙利算法以及常用建图方式，与大家一起欣赏算法的美。
匈牙利算法匈牙利算法是用来解决最大二分图匹配问题的，所谓二分图即“一组点集可以分为两部分，且每部分内各点互不相连，两部分的点之间可以有边”。
所谓最大二分图匹配即”对于二分图的所有边，寻找一个子集，这个子集满足两个条件，1：任意两条边都不依赖于同一个点。
2：让这个子集里的边在满足条件一的情况下尽量多。
首先可以想到的是，我们可以通过搜索，找出所有的这样的满足上面条件的边集，然后从所有的边集中选出边数最多的那个集合，但是我们可以感觉到这个算法的时间复杂度是边数的指数级函数，因此我们有必要寻找更加高效的方法。
目前比较有效的方法有匈牙利算法和通过添加汇点和源点的网络流算法，对于点的个数都在200 到300 之间的数据，我们是采取匈牙利算法的，因为匈牙利算法实现起来要比网络流简单些。
下面具体说说匈牙利算法：介绍匈牙利之前，先说说“增广轨”。
定义：若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属最大匹配边集M的边和不属M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广轨定义总是抽象的下面通过图来理解它。
图中的线段（2->3, 3->1, 1->4）便是上面所说的p路径，我们假定边（1,3）是以匹配的边，（2,3）（1,4）是未匹配的边，则边（4,1）边（1,3）和边（3,2）在路径p上交替的出现啦，那么p就是相对于M的一条增广轨，这样我们就可以用边1,4 和边2,3来替换边1,3 那么以匹配的边集数量就可以加1,。
匈牙利算法就是同过不断的寻找增广轨实现的。
很明显如果二分图的两部分点分别为n 和m，那么最大匹配的数目应该小于等于MIN（n,m）; 因此我们可以枚举任第一部分（的二部分也可以）里的每一个点，我们从每个点出发寻找增广轨，最后吧第一部分的点找完以后，就找到了最大匹配的数目，当然我们也可以通过记录找出这些边。
下面给出关于二分图最大匹配的两个定理1:最大匹配数+ 最大独立集= n + m2:二分图的最小覆盖数= 最大匹配数3:最小路径覆盖= 最大独立集最大独立集是指求一个二分图中最大的一个点集，该点集内的点互不相连。
最小顶点覆盖是指在二分图中，用最少的点，让所有的边至少和一个点有关联。
最小路径覆盖是指一个不含圈的有向图G中，G的一个路径覆盖是一个其结点不相交的路径集合P，图中的每一个结点仅包含于P中的某一条路径。
路径可以从任意结点开始和结束，且长度也为任意值，包括0下面给出二分图最大匹配的伪代码：/*use[i] 数组时标记第二部分点中的第j个点是否使用过。
match[i] 与第二部分中的点i 匹配的点是match[i]*/Int GetAugmentPath ( number ) //通过number这个点寻找增广轨，找到返回1找不到返回0；P ←related[number] . next; // 与number 相连的点；While（p != NULL）{If not used[p] then // p 点没有被使用过If match[p] == 0 or GetAugmentPath(match[p]) // p点没有和另一部分的点配对// 或和p配对的那个点可以找到其它点和他配对（找到增广轨）Return 1;p ←p . next // 与number 相连的下几个点}Return 0;} end GetAugmentPath;我们只需要在主程序中对某一部分点集的每个点进行增广轨的寻找；Int main{ans ← 0For I = 1 →n // 枚举第一部分的n个点；For j = 1 →muse[j] ←false // 把第二部分的m个点表示为没有使用过。
if GetAugmentPath (i) thenans ← ans + 1 // 找到增广轨就给边数加一；}程序非常好写，也非常好懂。
1 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5 6 7 8 每次我们从上面的第i个点出发尽量去找一个能唯一和它匹配的点p，策略有两种，一是直接在下面的点中找到一个点p，他没有和上面的点匹配过（即match[p] =0）。
二是当p和上面的某个点匹配过，即（match[p]）那么我们就从match[p]出发，去给他找下面另外的点和他匹配，把p点留给点i。
这样我们不就多找到了一条？然而对于匈牙利算法来说，难点并不在与程序本身，而是在如何把实际问题转化为最大二分图匹配的模型，然后再利用匈牙利算法解决。
下面我们说几种常见的建图模型。
常见建图模型法一行列匹配法上图是一个3 * 3 的矩阵，方格内的1表示这个地方有敌人，0表示没有敌人，现在我们有很多箭，每根箭可以杀死一行或者一列的敌人，问题是，我们要杀死所有的敌人至要用到几根箭？初看似乎和最大二分图没有什么相关联的，然而如果我们转换一下视角，这样思考：我们要杀死某个敌人，只要让他所在的位置有箭经过就行。
也就是所有的位置都被箭覆盖就行，对就是覆盖，就是顶点的最小覆盖，既然是顶点的最小覆盖，而且我们要杀的是敌人，那么我们的点就应该是敌人的位子，即（行列）对于上面那个图我么可以建立下面这个模型有人在的坐标是（1,1 1,3 2,2 3,1）我们就用这几个点的横纵坐标建图1 12 23 3 （每个点的横坐标是第一部分，纵坐标是另一部分，被边相连的两个数字表示一个点）上面我们说过，一个二分图的最小顶点覆盖就是要找到最少的边把所有的顶点覆盖，正好符合这个题的要求，上面还给出了一个性质，即二分图的最小顶点覆盖是等于二分图的最大匹配。
所以我们只需要对上面的那个二分图就最大匹配就行，这样把原本的问题转变的很简单了。
法二黑白染色法又是一个图，要求是把方格里的所有的1改为零，一次最多只能修改相邻的两个，为最少需要修改几次？有是一个求最值得问题，但是似乎用于求最值的算法（贪心，动态规划……）都派不上用场，既然在这里提出，那么他肯定能用二分图最大匹配解决，关键是如何建图？既然是每次只能拿相邻的两个，是两个，正好我们匹配的时候也是找两个进行匹配，这是否就是这个题和最大二分图匹配相联系的地方呢？对就是这里。
但是每个点能和他四周的四个点匹配，那么我们怎么把所有的点分成来那个部分呢？对就是要把第i个点放到第一部分，第I个点周围的四个点放到第二部分，再把这四个点周围的16点放到第1部分有了这样的思想，我们只需对原图做这样的改动：黑白染色使四周和中间的颜色不同。
表示的就是上面那个0,1图的1的个数然后建图，把相邻的点相连，比如说1和2 2和3 。
白色黑色13 25 46然后要把所有一改为零，也就是要对每个点都操作，每个点都要有，那不就是最小顶点覆盖吗？对，这个问题有解决了。
法三反建法问题背景：一个极度封建的老师要带同学们出去玩，但是他怕在途中同学之间发生恋情老师研究了一下发现，满足下面几种条件的两个同学之间发生恋情的可能性很小1》身高差> 40 2>性别相同3》爱好不同的音乐4>爱好同类型的运动显然如果我们用满足上面条件的同学之间建边那么最后建立起来的就不是二分图了。
稍微观察一下，男生之间我们是随便带的，女生也是，因为他们彼此性别相同。
因此我们就可以把男女分为两部分，那么男女之间如何建边？如果我们把男女满足不发生恋情的连起来，那么求出来的最大匹配没有代表性，不能得到我们想要的结果。
因此我们用反建法，把男女中可能发生恋情的建立边。
也就是说把身高差<=40 或爱好相同音乐或爱好不同类型运动的男女同学之间用边连起来。
然后求一个最大独立集，最大独立集的原则不就是找到一个点集，使得集合内的点互不相连且点尽量多吗？我们把可能发生恋情的男女相连，那么最大独立集不就是我们要找的不可能发生恋情的人的集合吗？那么，这个问题解决了！法四拆点法拆点法是用于解决最小路径覆盖问题的，给出一个图要找到几条路径，可以把所有的点经过，并且路径之间不可以交叉。
我们的做法是把点拆成两部分（点1 拆为x1,y1. 点2拆为x2,y2……）如果我们对这个图求二分图的最大匹配，你会发现每个匹配对应着一个路径覆盖，因此，此二分图的最大匹配即：原图中的最小路径覆盖上的边的个数（路径是由0条，1条或多条边组成的）。
那么原图的最小路径覆盖数= 原图顶点数–最小路径上的边数也就是原图的最小路径覆盖数= 原图顶点数–二分图最大匹配数。
法五一行变多行，一列变多列上面是一个4*4的方格，方格内的###表示墙，我们要在表格内没有墙的地方建立碉堡，而且要保证任何两个碉堡之间互相不能攻击，问最多能建多少个碉堡？是否感觉像第一个题呢？如果我们向第一个题那样建图，那么最后求出来的最大匹配也就是行和列的匹配。
而且这个匹配满足了所有匹配都是不同行不同列（匹配本身的性质就是每个点至多属于匹配中的某个边）。
但是这样的建图的话，我们墙怎么处理？有墙的地方就相当于把这一行和这一列分成了两行，两列。
例如等价于还是一行等价于和一行变成了两行对就是这么分的。
原图（因为有了墙所以第一行变为两行）（因为上面有了二行固只能从第三行开始）（因为第一列有了墙，固列数增加为5）（第3,4列有了墙，固列数增加到了6和7）一行变多行，一列变多列后的图 然后我们按照这个编号见图即可1 12 23 34 45 56 6 7对这个图求二分图最大匹配即可。
这个问题也解决了！一个应用于求二分图匹配的算法—匈牙利算法，巧妙的应用找增广轨的方式，使得求二分图最大匹配即变得高效，而且也变得容易理解，这就有了艺术的感觉，然而，一个应用于二分图的操作，却可以把其他看似和二分图没关系的事情，通过巧妙的，艺术性的手笔转化为二分图问题，这是多么的美妙。
算法是很神奇的东西，总是让人摸不着头脑，当你认为自己对某种算法很熟悉的时候，你总会立即发现其实你只是对他有了一点点认识，这就是算法。