二分图匹配(匈牙利算法)
匈牙利算法解决二分图最大匹配
匈⽛利算法解决⼆分图最⼤匹配预备知识 匈⽛利算法是由匈⽛利数学家Edmonds于1965年提出，因⽽得名。
匈⽛利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是⼆分图匹配最常见的算法，该算法的核⼼就是寻找增⼴路径，它是⼀种⽤增⼴路径求⼆分图最⼤匹配的算法。
⼆分图 ⼆分图⼜称作⼆部图，是图论中的⼀种特殊模型。
设G=(V,E)是⼀个⽆向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的⼦集(A，B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点 i 和 j 分别属于这两个不同的顶点集(i in A，j in B)，则称图G为⼀个⼆分图。
匹配 在图论中，⼀个图是⼀个匹配（或称独⽴边集）是指这个图之中，任意两条边都没有公共的顶点。
这时每个顶点都⾄多连出⼀条边，⽽每⼀条边都将⼀对顶点相匹配。
例如，图3、图4中红⾊的边就是图2的匹配。
图3中1、4、5、7为匹配点，其他顶点为⾮匹配点，1-5、4-7为匹配边，其他边为⾮匹配边。
最⼤匹配 ⼀个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最⼤匹配。
图 4 是⼀个最⼤匹配，它包含 4 条匹配边。
任意图中，极⼤匹配的边数不少于最⼤匹配的边数的⼀半。
完美匹配 如果⼀个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是⼀个完美匹配。
显然，完美匹配⼀定是最⼤匹配，但并⾮每个图都存在完美匹配。
最⼤匹配数：最⼤匹配的匹配边的数⽬。
最⼩点覆盖数：选取最少的点，使任意⼀条边⾄少有⼀个端点被选择。
最⼤独⽴数：选取最多的点，使任意所选两点均不相连。
最⼩路径覆盖数：对于⼀个DAG（有向⽆环图），选取最少条路径，使得每个顶点属于且仅属于⼀条路径，路径长可以为0（即单个点）定理1：Konig定理——最⼤匹配数 = 最⼩点覆盖数定理2：最⼤匹配数 = 最⼤独⽴数定理3：最⼩路径覆盖数 = 顶点数 - 最⼤匹配数匈⽛利算法例⼦ 为了便于理解，选取了dalao博客⾥找妹⼦的例⼦： 通过数代⼈的努⼒，你终于赶上了剩男剩⼥的⼤潮，假设你是⼀位光荣的新世纪媒⼈，在你的⼿上有N个剩男，M个剩⼥，每个⼈都可能对多名异性有好感（惊讶，-_-||暂时不考虑特殊的性取向） 如果⼀对男⼥互有好感，那么你就可以把这⼀对撮合在⼀起，现在让我们⽆视掉所有的单相思（好忧伤的感觉，快哭了），你拥有的⼤概就是下⾯这样⼀张关系图，每⼀条连线都表⽰互有好感。
二分图匹配(匈牙利算法)
设G=(V,{R})是一个无向图。
如顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属两个不同的子集。
则称图G为二分图。
v给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。
v选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题(maximal matching problem)v如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。
最大匹配在实际中有广泛的用处，求最大匹配的一种显而易见的算法是：先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。
但是这个算法的复杂度为边数的指数级函数。
因此，需要寻求一种更加高效的算法。
匈牙利算法是求解最大匹配的有效算法，该算法用到了增广路的定义(也称增广轨或交错轨)：若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属M的边和不属M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M 的一条增广路径。
由增广路径的定义可以推出下述三个结论：v 1. P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。
v 2. P经过取反操作（即非M中的边变为M中的边，原来M中的边去掉）可以得到一个更大的匹配M’。
v 3. M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。
从而可以得到求解最大匹配的匈牙利算法：v(1)置M为空v(2)找出一条增广路径P，通过取反操作获得更大的匹配M’代替Mv(3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止根据该算法，我选用dfs (深度优先搜索)实现。
程序清单如下：int match[i] //存储集合m中的节点i在集合n中的匹配节点,初值为-1。
int n,m,match[100]; //二分图的两个集合分别含有n和m个元素。
bool visit[100],map[100][100]; //map存储邻接矩阵。
bool dfs(int k){int t;for(int i = 0; i < m; i++)if(map[k][i] && !visit[i]){visit[i] = true;t = match[i];match[i] = k; //路径取反操作。
二分图匹配--匈牙利算法
⼆分图匹配--匈⽛利算法⼆分图匹配--匈⽛利算法⼆分图匹配匈⽛利算法基本定义：⼆分图 —— 对于⽆向图G=(V,E)，如果存在⼀个划分使V中的顶点分为两个互不相交的⼦集，且每个⼦集中任意两点间不存在边 ϵ∈E,则称图G为⼀个⼆分图。
⼆分图的充要条件是，G⾄少有两个顶点，且所有回路长度为偶数。
匹配 —— 边的集合，其中任意两条边都不存在公共顶点。
匹配边即是匹配中的元素，匹配点是匹配边的顶点，同样⾮匹配边，⾮匹配点相反定义。
最⼤匹配——在图的所有匹配中，包含最多边的匹配成为最⼤匹配 完美匹配——如果在⼀个匹配中所有的点都是匹配点，那么该匹配称为完美匹配。
附注：所有的完美匹配都是最⼤匹配，最⼤匹配不⼀定是完美匹配。
假设完美匹配不是最⼤匹配，那么最⼤匹配⼀定存在不属于完美匹配中的边，⽽图的所有顶点都在完美匹配中，不可能找到更多的边，所以假设不成⽴，及完美匹配⼀定是最⼤匹配。
交替路——从⼀个未匹配点出发，依次经过⾮匹配边，匹配边，⾮匹配边…形成的路径称为交替路，交替路不会形成环。
增⼴路——起点和终点都是未匹配点的交替路。
因为交替路是⾮匹配边、匹配边交替出现的，⽽增⼴路两端节点都是⾮匹配点，所以增⼴路⼀定有奇数条边。
⽽且增⼴路中的节点(除去两端节点)都是匹配点，所属的匹配边都在增⼴路径上，没有其他相连的匹配边，因此如果把增⼴路径中的匹配边和⾮匹配边的“⾝份”交换，就可以获得⼀个更⼤的匹配(该过程称为改进匹配)。
⽰例图Fig1_09_09.JPG注释：Fig3是⼀个⼆分图G=(V,E),V={1,2,3,4,5,6,7,8},E={(1,7),(1,5),(2,6),(3,5),(3,8),(4,5),(4,6)},该图可以重绘成Fig4，V可分成两个⼦集V={V1,V2},V1={1,2,3,4},V2={5,6,7,8}。
Fig4中的红⾊边集合就是⼀个匹配{(1,5),(4,6),(3,8)}Fig2中是最⼤匹配Fig1中红⾊边集合是完美匹配Fig1中交替路举例(4-6-2-7-1-5)Fig4中增⼴路(2-6-4-5-1-7)匈⽛利树匈⽛利树中从根节点到叶节点的路径均是交替路，且匈⽛利树的叶节点都是匹配点。
匈牙利匹配算法的原理
匈牙利匹配算法的原理匈牙利匹配算法（也被称为二分图匹配算法或者Kuhn-Munkres算法）是用于解决二分图最大匹配问题的经典算法。
该算法由匈牙利数学家Dénes Kőnig于1931年提出，并由James Munkres在1957年进行改进。
该算法的时间复杂度为O(V^3)，其中V是图的顶点数。
匹配问题定义：给定一个二分图G=(X,Y,E)，X和Y分别代表两个不相交的顶点集合，E表示连接X和Y的边集合。
图中的匹配是指一个边的集合M，其中任意两条边没有公共的顶点。
匹配的相关概念：1.可增广路径：在一个匹配中找到一条没有被占用的边，通过这条边可以将匹配中的边个数增加一个，即将不在匹配中的边添加进去。
2. 增广路径：一个可增广路径是一个交替序列P=v0e1v1e2v2...ekvk，其中v0属于X且不在匹配中，v1v2...vk属于Y且在匹配中，e1e2...ek在原图中的边。
3.增广轨：一个交替序列形如V0E1V1E2...EkVk，其中V0属于X且不在匹配中，V1V2...Vk属于Y且在匹配中，E1E2...Ek在原图中的边。
增广轨是一条路径的特例，它是一条从X到Y的交替序列。
1.初始时，所有的边都不在匹配中。
2.在X中选择一个点v0，如果v0已经在匹配中，则找到与v0相连的在Y中的顶点v1、如果v1不在匹配中，则(v0,v1)是可增广路径的第一条边。
3. 如果v1在匹配中，则找到与v1相连的在X中的顶点v2，判断v2是否在匹配中。
依此类推，直到找到一个不在匹配中的点vn。
4.此时，如果n是奇数，则(n-1)条边在匹配中，这意味着我们找到了一条增广路径。
如果n是偶数，则(n-1)条边在匹配中，需要进行进一步的处理。
5.如果n是偶数，则将匹配中的边和非匹配中的边进行颠倒，得到一个新的匹配。
6.对于颠倒后的匹配，我们再次从第2步开始，继续寻找增广路径。
7.重复步骤2到步骤6，直到找不到可增广路径为止，此时我们得到了最大匹配。
二分图的最大匹配—匈牙利算法
⼆分图的最⼤匹配—匈⽛利算法【基本概念】：⼆分图：⼆分图⼆分图⼜称作⼆部图，是图论中的⼀种特殊模型。
设G=(V,E)是⼀个⽆向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的⼦集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为⼀个⼆分图。
⽆向图G为⼆分图的充分必要条件是，G⾄少有两个顶点，且其所有回路的长度均为偶数。
最⼤匹配最⼤匹配：给定⼀个⼆分图G，在G的⼀个⼦图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同⼀个顶点，则称M是⼀个匹配. 选择这样的边数最⼤的⼦集称为图的最⼤匹配问题，如果⼀个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配.最⼩覆盖：最⼩覆盖要求⽤最少的点（Ｘ集合或Ｙ集合的都⾏）让每条边都⾄少和其中⼀个点关联。
可以证明：最少的点（即覆盖数）＝最⼤匹配数最⼩路径覆盖：⽤尽量少的不相交简单路径覆盖有向⽆环图Ｇ的所有结点。
解决此类问题可以建⽴⼀个⼆分图模型。
把所有顶点i拆成两个：Ｘ结点集中的i 和Y结点集中的i',如果有边i->j，则在⼆分图中引⼊边i->j'，设⼆分图最⼤匹配为m,则结果就是n-m。
增⼴路（增⼴轨）：（增⼴轨）：增⼴路若P是图G中⼀条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的⼀条增⼴路径（举例来说，有A、B集合，增⼴路由A中⼀个点通向B中⼀个点，再由B中这个点通向A中⼀个点……交替进⾏）。
增⼴路径的性质：1 有奇数条边。
2 起点在⼆分图的左半边，终点在右半边。
3 路径上的点⼀定是⼀个在左半边，⼀个在右半边，交替出现。
（其实⼆分图的性质就决定了这⼀点，因为⼆分图同⼀边的点之间没有边相连，不要忘记哦。
）4 整条路径上没有重复的点。
5 起点和终点都是⽬前还没有配对的点，⽽其它所有点都是已经配好对的。
最大二分图匹配（匈牙利算法）
最大二分图匹配（匈牙利算法）二分图指的是这样一种图：其所有的顶点分成两个集合M和N，其中M或N中任意两个在同一集合中的点都不相连。
二分图匹配是指求出一组边，其中的顶点分别在两个集合中，并且任意两条边都没有相同的顶点，这组边叫做二分图的匹配，而所能得到的最大的边的个数，叫做最大匹配。
计算二分图的算法有网络流算法和匈牙利算法（目前就知道这两种），其中匈牙利算法是比较巧妙的，具体过程如下（转自组合数学）：令g=（x,*,y）是一个二分图，其中x={x1,x2...},y={y1,y2,....}.令m为g中的任意匹配。
1。
将x的所有不与m的边关联的顶点表上￥，并称所有的顶点为未扫描的。
转到2。
2。
如果在上一步没有新的标记加到x的顶点上，则停，否则，转33。
当存在x被标记但未被扫描的顶点时，选择一个被标记但未被扫描的x的顶点，比如xi，用（xi）标记y 的所有顶点，这些顶点被不属于m且尚未标记的边连到xi。
现在顶点xi 是被扫描的。
如果不存在被标记但未被扫描的顶点，转4。
4。
如果在步骤3没有新的标记被标记到y的顶点上，则停，否则转5。
5。
当存在y被标记但未被扫描的顶点时。
选择y的一个被标记但未被扫描的顶点，比如yj，用（yj）标记x的顶点，这些顶点被属于m且尚未标记的边连到yj。
现在，顶点yj是被扫描的。
如果不存在被标记但未被扫描的顶点则转道2。
由于每一个顶点最多被标记一次且由于每一个顶点最多被扫描一次，本匹配算法在有限步内终止。
代码实现：bfs过程：#include<stdio.h>#include<string.h>main(){bool map[100][300];inti,i1,i2,num,num1,que[300],cou,stu,match1[100],match2[300],pqu e,p1,now,prev[300],n;scanf("%d",&n);for(i=0;i<n;i++){scanf("%d%d",&cou,&stu);memset(map,0,sizeof(map));for(i1=0;i1<cou;i1++){scanf("%d",&num);for(i2=0;i2<num;i2++){scanf("%d",&num1);map[i1][num1-1]=true;}}num=0;memset(match1,int(-1),sizeof(match1)); memset(match2,int(-1),sizeof(match2)); for(i1=0;i1<cou;i1++){p1=0;pque=0;for(i2=0;i2<stu;i2++){if(map[i1][i2]){prev[i2]=-1;que[pque++]=i2;}elseprev[i2]=-2;}while(p1<pque){now=que[p1];if(match2[now]==-1)break;p1++;for(i2=0;i2<stu;i2++){if(prev[i2]==-2&&map[match2[now]][i2]){prev[i2]=now;que[pque++]=i2;}}}if(p1==pque)continue;while(prev[now]>=0){match1[match2[prev[now]]]=now; match2[now]=match2[prev[now]]; now=prev[now];}match2[now]=i1;match1[i1]=now;num++;}if(num==cou)printf("YES\n");elseprintf("NO\n");}}dfs实现过程：#include<stdio.h>#include<string.h>#define MAX 100bool map[MAX][MAX],searched[MAX]; int prev[MAX],m,n;bool dfs(int data){int i,temp;for(i=0;i<m;i++){if(map[data][i]&&!searched[i]){searched[i]=true;temp=prev[i];prev[i]=data;if(temp==-1||dfs(temp))return true;prev[i]=temp;}}return false;}main(){int num,i,k,temp1,temp2,job;while(scanf("%d",&n)!=EOF&&n!=0) {scanf("%d%d",&m,&k);memset(map,0,sizeof(map));memset(prev,int(-1),sizeof(prev)); memset(searched,0,sizeof(searched));for(i=0;i<k;i++){scanf("%d%d%d",&job,&temp1,&temp2); if(temp1!=0&&temp2!=0)map[temp1][temp2]=true;}num=0;for(i=0;i<n;i++){memset(searched,0,sizeof(searched)); dfs(i);}for(i=0;i<m;i++){if(prev[i]!=-1)num++;}printf("%d\n",num);}}。
数学建模匈牙利算法
数学建模匈牙利算法
【最新版】
目录
一、匈牙利算法的概念与基本原理
二、匈牙利算法的应用实例
三、匈牙利算法的优缺点
正文
一、匈牙利算法的概念与基本原理
匈牙利算法（Hungarian algorithm）是一种求解二分图最大匹配问题的算法，由匈牙利数学家 Mátyásovszky 于 1937 年首次提出。
该算法的基本思想是：通过不断循环寻找图中的偶数长度路径，并将路径中的顶点依次匹配，直到找不到这样的路径为止。
此时，图中的所有顶点都已匹配，即得到了二分图的最大匹配。
二、匈牙利算法的应用实例
匈牙利算法广泛应用于任务分配、资源调度、数据融合等领域。
下面举一个简单的例子来说明匈牙利算法的应用。
假设有 5 个工人和 8 个任务，每个工人完成不同任务的效率不同。
我们需要为每个任务分配一个工人，使得总效率最大。
可以用一个二分图来表示这个问题，其中顶点分为两类：工人和任务。
边表示任务与工人之间的效率关系。
匈牙利算法可以用来求解这个问题，找到最优的任务分配方案。
三、匈牙利算法的优缺点
匈牙利算法的优点是简单、高效，可以解决二分图的最大匹配问题。
然而，它也存在一些缺点：
1.匈牙利算法只能解决无向图的匹配问题，对于有向图，需要将其转
换为无向图才能使用匈牙利算法。
2.当图中存在环时，匈牙利算法无法找到最大匹配。
这时需要使用其他算法，如 Euclidean algorithm（欧几里得算法）来解决。
3.匈牙利算法在实际应用中可能存在数值稳定性问题，即在计算过程中可能出现精度误差。
用匈牙利算法求二分图的最大匹配
用匈牙利算法求二分图的最大匹配二分图的最大匹配有两种求法，第一种是最大流；第二种就是匈牙利算法。
这个算法说白了就是最大流的算法，但是它跟据二分图匹配这个问题的特点，把最大流算法做了简化，提高了效率。
最大流算法的核心问题就是找增广路径（augment path）。
匈牙利算法也不例外，它的基本模式就是：初始时最大匹配M为空while 找得到增广路径do 把增广路径加入到最大匹配中去可见和最大流算法是一样的。
但是这里的增广路径就有它一定的特殊性，下面我来分析一下。
（注：匈牙利算法虽然根本上是最大流算法，但是它不需要建网络模型，所以图中不再需要源点和汇点，仅仅是一个二分图。
每条边也不需要有方向。
）图1是我给出的二分图中的一个匹配：［1，5］和［2，6］。
图2就是在这个匹配的基础上找到的一条增广路径：3->6->2->5->1->4。
我们借由它来描述一下二分图中的增广路径的性质：(1)有奇数条边。
(2)起点在二分图的左半边，终点在右半边。
(3)路径上的点一定是一个在左半边，一个在右半边，交替出现。
（其实二分图的性质就决定了这一点，因为二分图同一边的点之间没有边相连。
）(4)整条路径上没有重复的点。
(5)起点和终点都是目前还没有配对的点，而其它所有点都是已经配好对的。
（如图1、图2所示，［1，5］和［2，6］在图1中是两对已经配好对的点；而起点3和终点4目前还没有与其它点配对。
）(6)路径上的所有第奇数条边都不在原匹配中，所有第偶数条边都出现在原匹配中。
（如图1、图2所示，原有的匹配是［1，5］和［2，6］，这两条配匹的边在图2给出的增广路径中分边是第2和第4条边。
而增广路径的第1、3、5条边都没有出现在图1给出的匹配中。
）(7)最重要的一条，把增广路径上的所有第奇数条边加入到原匹配中去，并把增广路径中的所有第偶数条边从原匹配中删除（这个操作称为增广路径的取反），则新的匹配数就比原匹配数增加了1个。
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KM算法
对于任意的G和M,可行顶标都是存在的: l(x) = maxw(x,y) l(y) = 0 欲求完全二分图的最佳匹配,只要用匈牙利算法求 其相等子图的完备匹配;问题是当标号之后的Gl无 完备匹配时怎么办?1957年(居然比匈牙利算法 早???),Kuhn和Munkras给出了一个解决该问 题的有效算法,用逐次修改可行顶标l(v)的办法使对 应的相等子图之最大匹配逐次增广,最后出现完备 匹配.
例题3 打猎 猎人要在n*n的格子里打鸟,他可以在某一行 中打一枪,这样此行中的所有鸟都被打掉, 也可以在某一列中打,这样此列中的所有鸟 都打掉.问至少打几枪,才能打光所有的鸟? 建图:二分图的X部为每一行,Y部为每一列, 如果(i,j)有一只鸟,那么连接X部的i与Y部的j. 该二分图的最大匹配数则是最少要打的枪数.
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由于每条边表示一个空地,有冲 突的空地之间必有公共顶点,所 以问题转化为二部图的最大匹配 问题.
1 2Leabharlann 34例题1 Place the Robots(ZOJ) 小结
比较前面的两个模型:模型一过于简单,没有给问 题的求解带来任何便利;模型二则充分抓住了问题的内 在联系,巧妙地建立了二部图模型.为什么会产生这种 截然不同的结果呢?其一是由于对问题分析的角度不同: 模型一以空地为点,模型二以空地为边;其二是由于对 原型中要素的选取有差异:模型一对要素的选取不充分, 模型二则保留了原型中"棋盘"这个重要的性质.由此 可见,对要素的选取,是图论建模中至关重要的一步.
例题4 最小路径覆盖 一个不含圈的有向图G中,G的一个路径覆盖 是一个其结点不相交的路径集合P,图中的每 一个结点仅包含于P中的某一条路径.路径可 以从任意结点开始和结束,且长度也为任意 值,包括0.请你求任意一个不含圈的有向图 G的最小路径覆盖数. 理清一个关系:最小路径覆盖数=G的定点 数-最小路径覆盖中的边数
KM算法
上述算法的证明也很容易 Kuhn-Munkras算法流程: (1)初始化可行顶标的值 (2)用匈牙利算法寻找完备匹配 (3)若未找到完备匹配则修改可行顶标的值 (4)重复(2)(3)直到找到相等子图的完备匹配为 止
参考文献
王树禾《离散数学引论》 吴文虎 王建德《图论算法与程序设计》 刘汝佳 黄亮《算法艺术与信息学竞赛》 2002年冬令营论文-孙方成《偶图的算法及 应用》 2004年冬令营论文-黄源河《浅谈图论模型 的建立与应用》
1 2 3 4
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8 7 6 5
例题1 Place the Robots(ZOJ) 模型一
在问题的原型中,草地,墙这些信 息不是我们所关心的,我们关心的 只是空地和空地之间的联系.因此, 我们很自然想到了下面这种简单的 模型: 以空地为顶点,有冲突的空地间连 边,我们可以得到右边的这个图:
匈牙利算法
在主程序中调用下面的程序即可得出最大匹 配数. Bmatch := 0; For I:=1 to n do Bmatch := Bmatch + find(i); Writeln(Bmatch); 一个关于二分图的性质: 最大匹配数+最大独立集=X+Y
最佳匹配
如果边上带权的话,找出权和最大的匹配叫 做求最佳匹配. 实际模型:某公司有职员x1,x2,…,xn,他们去 做工作y1,y2,…,yn,每个职员做各项工作的效 益未必一致,需要制定一个分工方案,使得 人尽其才,让公司获得的总效益最大. 数学模型:G是加权完全二分图,求总权值 最大的完备匹配.
�
匈牙利算法
程序清单: Function find(k:integer):integer; var st,sf,i,j,t:integer; queue,father:array[1..100] of integer; begin queue[1] := k; st := 1; sf := 1; fillchar(father,sizeof(father),0); repeat
匈牙利算法
求最大匹配的一种显而易见的算法是:先找出全部 匹配,然后保留匹配数最多的.但是这个算法的复 杂度为边数的指数级函数.因此,需要寻求一种更 加高效的算法. 增广路的定义(也称增广轨或交错轨): 若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径,并且 属M的边和不属M的边(即已匹配和待匹配的边)在P 上交替出现,则称P为相对于M的一条增广路径.
例题4 最小路径覆盖
试想我们应该使得最小路径覆盖中的边数尽量多, 但是又不能让两条边在同一个顶点相交. 拆点:将每一个顶点i拆成两个顶点Xi和Yi.然后根 据原图中边的信息,从X部往Y部引边.所有边的方 向都是由X部到Y部.
例题4 最小路径覆盖 因此,所转化出的二分图的最大匹配数则是 原图G中最小路径覆盖上的边数.因此由最 小路径覆盖数=原图G的顶点数-二分图的 最大匹配数便可以得解.
匈牙利算法
由增广路的定义可以推出下述三个结论: 1-P的路径长度必定为奇数,第一条边和最 后一条边都不属于M. 2-P经过取反操作可以得到一个更大的匹配 M'. 3-M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于 M的增广路径.
匈牙利算法
用增广路求最大匹配(称作匈牙利算法,匈牙 利数学家Edmonds于1965年提出) 算法轮廓: (1)置M为空 (2)找出一条增广路径P,通过取反操作获得 更大的匹配M'代替M (3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止
Empty Grass Wall
例题1 Place the Robots(ZOJ) 模型一
在问题的原型中,草地,墙这些信 息不是我们所关心的,我们关心的 只是空地和空地之间的联系.因此, 我们很自然想到了下面这种简单的 模型: 以空地为顶点,有冲突的空地间连 边,我们可以得到右边的这个图: 于是,问题转化为求图的最大独立 集问题.
匈牙利算法
for i:=1 to n do if (father[i]=0)and(a[queue[st],i]=1) then begin if match2[i]<>0 then begin inc(sf); queue[sf] := match2[i]; father[i] := queue[st]; end else
KM算法
修改方法如下: 先将一个未被匹配的顶点u(u in {x})做一次增广路, 记下哪些结点被访问那些结点没有被访问.求出 d=min{lx[i]+ly[j]-w[i,j]}其中i结点被访问,j结点没有 被访问.然后调整lx和ly:对于访问过的x顶点,将 它的可行标减去d,对于所有访问过的y顶点,将它 的可行标增加d.修改后的顶标仍是可行顶标,原 来的匹配M仍然存在,相等子图中至少出现了一条 不属于M的边,所以造成M的逐渐增广.
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这是NP问题!
例题1 Place the Robots(ZOJ) 模型二
我们将每一行,每一列被墙隔开, 且包含空地的连续区域称作 "块".显然,在一个块之中, 最多只能放一个机器人.我们把 这些块编上号. 1 2 2 5 1 3 4
同样,把竖直方向的块也编上号.
KM算法
穷举的效率-n!,我们需要更加优秀的算法. 定理: 设M是一个带权完全二分图G的一个完备匹配,给 每个顶点一个可行顶标(第i个x顶点的可行标用lx[i] 表示,第j个y顶点的可行标用ly[j]表示),如果对所 有的边(i,j) in G,都有lx[i]+ly[j]>=w[i,j]成立(w[i,j]表示 边的权),且对所有的边(i,j) in M,都有lx[i]+ly[j]=w[i,j] 成立,则M是图G的一个最佳匹配.证明很容易.
例题2 救护伤员(TOJ1148) 无情的海啸夺取了无数人的生命.很多的医疗 队被派往灾区拯救伤员.就在此时,医疗队突 然发现自己带的药品已经不够用了,只剩下了 N种.(1 < n <= 20),随着病人病情的发 展,每种药在每天能获得的效果是不一样的. 同时,每天病人只能服用一种药.也就是说, 这些药还够支持N天.现在,给出你每种药 在每天使用的效果,请你判断当每种药都用 完后所有药达到的效果之和最大可以是多少.
3
4
例题1 Place the Robots(ZOJ) 模型二
把每个横向块看作X部的点,竖向 块看作Y部的点,若两个块有公共 的空地,则在它们之间连边. 于是,问题转化成这样的一个二 部图:
1 2 3 4 5
1 2 5 3 4
1 2
1 2 3 4
3
4
例题1 Place the Robots(ZOJ) 模型二
例题1 Place the Robots(ZOJ1654) 问题描述
有一个N*M(N,M<=50)的棋盘, 棋盘的每一格是三种类型之一: 空地,草地,墙.机器人只能放 在空地上.在同一行或同一列的 两个机器人,若它们之间没有墙, 则它们可以互相攻击.问给定的 棋盘,最多可以放置多少个机器 人,使它们不能互相攻击.
匈牙利算法
begin j := queue[st]; while true do begin t := match1[j]; match1[j] := i; match2[i] := j; if t = 0 then break; i := t; j := father[t];
匈牙利算法
end; find := 1; exit; end; end; inc(st); until st>sf; find := 0; end;
二分图匹配
匈牙利算法和KM算法简介
二分图的概念
二分图又称作二部图,是图论中的一种特殊 模型. 设G=(V,{R})是一个无向图.如顶点集V可分 割为两个互不相交的子集,并且图中每条边 依附的两个顶点都分属两个不同的子集.则 1 2 3 4 5 称图G为二分图.