2.4.1平面向量的数量积》(第一课时)
平面向量的数量积的物理背景 及其含义
问题提出
1.向量的模和夹角分别是什么概念？ 1.向量的模和夹角分别是什么概念？ 向量的模和夹角分别是什么概念
, 注意: 两向量的夹角定义两向量必须 是同起点的范围是 ≤θ ≤ π. , 0
向量的夹角 两个非零向量a 两个非零向量 和b ，作OA = a ，OB = b ，则 ∠AOB = θ
数量积a·b等于 的模与 数量积 等于a的模与 在a方向上的 等于 的模与b在 方向上的 投影︱ ︱ θ的乘积，或等于b的模与 投影︱b︱cosθ的乘积，或等于 的模与 a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积. 方向上的投影︱ ︱ θ的乘积. 在 方向上的投影
平面向量的数量积的运算性质 问题5 都是非零向量， 等于多少？ 问题5：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？ 与 都是非零向量 ⊥ ， 等于多少 反之成立吗？ 反之成立吗？
数量积的运算律： 数量积的运算律： 交换律： 交换律： r r r r r r r 分配律： 分配律：(a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c
r r r r a ⋅b = b ⋅ a
数乘结合律： 数乘结合律：
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) ＝ 关于向量的数量积运算： 关于向量的数量积运算： 数量积运算不满足结合律。 数量积运算不满足结合律。 思考４：对于实数λ,(λa)·b表示什么意义?它可以转化为哪
Байду номын сангаас
F
S
W＝︱F︱︱s︱cosθ ＝
问题2：你能用文字语言来表述功的计算公式吗 如果 问题 ：你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果 我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该 我们将公式中的力与位移推广到一般向量， 如何表述？ 如何表述？ 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。
(0o ≤ θ ≤ 180o ) 叫做向量 和b 的夹角． 叫做向量a 的夹角． a B O b A B b 若θ = 0 o ，a 与b 同向 B θ A b O a θ a O b a A 若θ = 90 o ，a 与b 垂直， 垂直， B O A 记作 a ⊥ b 若 = 180 o ，a 与b 反向 θ 返回
(5)e ⋅ a = a ⋅ e = a cosθ
a ⋅b
平面向量的数量积运算律 平面向量的数量积运算律
问题９ 我们学过了实数乘法的那些运算律？ 问题９: 我们学过了实数乘法的那些运算律？这些 运算 律对向量是否也适用？ 律对向量是否也适用？
类比实数的乘法运算律：
交换律：a ⋅ b = b ⋅ a 结合律：a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c 分配律：a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c
当θ = 0°时投影为 °时投影为|b| 当θ = 180°时投影为 °时投影为-|b|. （2）投影也是一个数量，不是向量。 ）投影也是一个数量，不是向量。
问题4 根据投影的概念，数量积 问题4：根据投影的概念，数量积a·b=︱a|︱b︱ | cosθ的几何意义如何？ 的几何意义如何？ 的几何意义如何
2 2
v v v v v v v 6 .若 a ≠ 0， a ⋅ b = a ⋅ c , 则 b = c
.(a · a 常记作 2) 常记作a
练习:
v v v v 二、已知 ∆ ABC 中， = a , AC = b , 当 a ⋅ b < 0 AB v v 或 a ⋅ b = 0时，试判断 ∆ ABC 的形状。
例题
对于实数a、 、 有 但对于向量a、 对于实数 、b、c有（a·b)c=a(b·c);但对于向量 、 但对于向量 b、c ，（ 不成立， 、 ，（a·b)c=a(b·c)不成立，这是因为（a·b)c 不成立 这是因为（ 表示一个与c共线的向量 共线的向量， 表示一个与 共线的向量，而a(b·c）表示一个与 ）表示一个与a 共线的向量， 不一定共线， 共线的向量，而c与a不一定共线，所以 与 不一定共线 r r r r r r （a·b)c=a(b·c)不成立 。即：(a ⋅ b) ⋅ c ≠ a ⋅ (b ⋅ c) 不成立
平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量a 我们把数量 已知两个非零向量 和b ，它们的夹角为θ ，我们把数量 | a || b | cosθ 叫做 与b 的数量积（或内积），记作 · b ，即 叫做a 的数量积（或内积） 记作a a ⋅ b =| a || b | cosθ
说明： 说明：
即 （1） 规定：零向量与任意向量的数量积为 ） 规定：零向量与任意向量的数量积为0，即
θ
O
B1
A
︱b︱cosθ ︱
投影一定是正数吗？ 投影一定是正数吗？
说明： 说明：
（1） ）
B
B b b
B
b
θ
O a
θ
B1
A O a B1 θ为钝角时， 为钝角时， 为钝角时 | b | cosθ＜0 A
θ
A O( B1 ) a θ为直角时， 为直角时， 为直角时 | b | cosθ=0
θ为锐角时， 为锐角时， 为锐角时 | b | cosθ＞0
夹角 的范围 0 ° ≤ θ < 90 ° θ v v a ⋅ b 的正负 正
θ = 90 °
0
90° < θ ≤ 180°
负
数量积符号由cosθ的符号所决定 θ 数量积符号由
平面向量数量积的几何意义
物理上力所做的功实际上是将力正交分解， 物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方 向上的力做功． 向上的力做功． 过点B作 OB 作OA = a， = b ，过点 作 BB1 垂直于直线OA，垂足为 B1，则 OB1 = | b | cosθ 垂直于直线 ， | b | cosθ叫向量 在a 方向上的投影． 叫向量b 方向上的投影． 叫向量 投影 B b 向量a在 方向上的投影 向量 在b方向上的投影 是什么？ 是什么？ a F θ s
问题1:如图所示，一物体在力 的作用下产生 问题 如图所示，一物体在力F的作用下产生 如图所示 位移S， 位移 ， （１）力F所做的功 所做的功W= |F| |S| cosα。 。 所做的功 请同学们分析这个公式的特点： （２） 请同学们分析这个公式的特点： W（功）是 标 量， （ θ 矢 量， F（力）是 （ S（位移）是 矢 量 （位移） θ是 F与s的夹角 。 是 与 的夹角
a⊥b
⇔a·b＝0
问题6 同向时， 等于什么 等于什么？ 反向时， 问题6：当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b 与 同向时 与 反向时 等于什么？特别地，a·a等于什么 等于什么？ 等于什么？特别地，a·a等于什么？
当a与b同向时，a·b＝︱a︱︱ ︱； 与 同向时， ＝ ︱︱b︱ 同向时 ︱︱ 当a与b反向时，a·b＝－︱a︱︱ ︱； 与 反向时， ＝－︱ ︱︱b︱ 反向时 ＝－ ︱︱ a·a＝︱a︱2或︱a︱＝ ＝ ︱ ︱ .a⋅ a
些运算? 探究 ， ， ， 探究3 思考２：对于非零向量a，b，c，(a·b)·c表示什么意义？(a·b)·c 思考１： a·b与b·a相等吗？为什么？ 探究1 与a·(b·c)相等吗？为什么？ 思考３：对于向量a，b，c，(a＋b)·c表示什么意义？它与 ， ， ， ＋ a·c＋b·c相等吗？为什么？探究2 ＋
2.我们研究了向量的哪些运算？ 2.我们研究了向量的哪些运算？这些运 我们研究了向量的哪些运算 算的结果是什么？ 算的结果是什么？ 3.我们是怎样引入向量的加法运算的？ 3.我们是怎样引入向量的加法运算的？ 我们是怎样引入向量的加法运算的 我们又是按照怎样的顺序研究这种运 算的？ 算的？
物理模型 概念 性质 运算律 应用
线性运算的结果是向量，两向量的数量积是一个数量， 线性运算的结果是向量，两向量的数量积是一个数量， 而不 是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦。 是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦。这个数 值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。 值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。
问题
证明： 证明：
向量a、b、a + b b 在c上的射影的数量 a a+b 分别是OM、MN、 ON, 则 M O (a + b) ·c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = a·c + b·c .
N c
问题
r r r r λ<0时 当λ<0时，向量a 与 a 、 与λb λ b r r r 的方向的关系如何？此时， 的方向的关系如何？此时，向量λa 与 b 、 a 与 r r r 的夹角相等吗？ λb的夹角与向量 a 与 b 的夹角相等吗？
例2． 已知 a = 12, b = 9, ．
a ⋅ b = −54 2, . 求 a 与 b 的夹角
θ =135
0
r r r r r r v v 例3、已知 a = 6， = 4，a与b 的夹角为60°，求(a + 2b )⋅ (a − 3b ). b
v v 例 4、对任意向量 a ， b 是否有以下结论： v v v v v v (1) (a + b ) = a + 2 a ⋅ b + b v v v v v v ( 2 ) (a + b ) ⋅ (a − b ) = a − b r r v v b 例5、已知 a = 3， = 4，a与b 不共线，k为何值时， r r r 3 r 向量a + kb 与a − kb 互相垂直？ k =±
问题
已知｜ ｜＝３ ｜＝６ 例1 ：已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ， 的夹角是60 60° ③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ. 解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ ＝０°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1） ＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０； ③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有 1 ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6× ＝9 2
问题提出
1.向量的模和夹角分别是什么概念？ 1.向量的模和夹角分别是什么概念？ 向量的模和夹角分别是什么概念
, 注意: 两向量的夹角定义两向量必须 是同起点的范围是 ≤θ ≤ π. , 0
向量的夹角 两个非零向量a 两个非零向量 和b ，作OA = a ，OB = b ，则 ∠AOB = θ
数量积a·b等于 的模与 数量积 等于a的模与 在a方向上的 等于 的模与b在 方向上的 投影︱ ︱ θ的乘积，或等于b的模与 投影︱b︱cosθ的乘积，或等于 的模与 a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积. 方向上的投影︱ ︱ θ的乘积. 在 方向上的投影
平面向量的数量积的运算性质 问题5 都是非零向量， 等于多少？ 问题5：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？ 与 都是非零向量 ⊥ ， 等于多少 反之成立吗？ 反之成立吗？
数量积的运算律： 数量积的运算律： 交换律： 交换律： r r r r r r r 分配律： 分配律：(a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c
r r r r a ⋅b = b ⋅ a
数乘结合律： 数乘结合律：
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) ＝ 关于向量的数量积运算： 关于向量的数量积运算： 数量积运算不满足结合律。 数量积运算不满足结合律。 思考４：对于实数λ,(λa)·b表示什么意义?它可以转化为哪
Байду номын сангаас
F
S
W＝︱F︱︱s︱cosθ ＝
问题2：你能用文字语言来表述功的计算公式吗 如果 问题 ：你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果 我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该 我们将公式中的力与位移推广到一般向量， 如何表述？ 如何表述？ 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。
(0o ≤ θ ≤ 180o ) 叫做向量 和b 的夹角． 叫做向量a 的夹角． a B O b A B b 若θ = 0 o ，a 与b 同向 B θ A b O a θ a O b a A 若θ = 90 o ，a 与b 垂直， 垂直， B O A 记作 a ⊥ b 若 = 180 o ，a 与b 反向 θ 返回
(5)e ⋅ a = a ⋅ e = a cosθ
a ⋅b
平面向量的数量积运算律 平面向量的数量积运算律
问题９ 我们学过了实数乘法的那些运算律？ 问题９: 我们学过了实数乘法的那些运算律？这些 运算 律对向量是否也适用？ 律对向量是否也适用？
类比实数的乘法运算律：
交换律：a ⋅ b = b ⋅ a 结合律：a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c 分配律：a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c
当θ = 0°时投影为 °时投影为|b| 当θ = 180°时投影为 °时投影为-|b|. （2）投影也是一个数量，不是向量。 ）投影也是一个数量，不是向量。
问题4 根据投影的概念，数量积 问题4：根据投影的概念，数量积a·b=︱a|︱b︱ | cosθ的几何意义如何？ 的几何意义如何？ 的几何意义如何
2 2
v v v v v v v 6 .若 a ≠ 0， a ⋅ b = a ⋅ c , 则 b = c
.(a · a 常记作 2) 常记作a
练习:
v v v v 二、已知 ∆ ABC 中， = a , AC = b , 当 a ⋅ b < 0 AB v v 或 a ⋅ b = 0时，试判断 ∆ ABC 的形状。
例题
对于实数a、 、 有 但对于向量a、 对于实数 、b、c有（a·b)c=a(b·c);但对于向量 、 但对于向量 b、c ，（ 不成立， 、 ，（a·b)c=a(b·c)不成立，这是因为（a·b)c 不成立 这是因为（ 表示一个与c共线的向量 共线的向量， 表示一个与 共线的向量，而a(b·c）表示一个与 ）表示一个与a 共线的向量， 不一定共线， 共线的向量，而c与a不一定共线，所以 与 不一定共线 r r r r r r （a·b)c=a(b·c)不成立 。即：(a ⋅ b) ⋅ c ≠ a ⋅ (b ⋅ c) 不成立
平面向量的数量积的定义
已知两个非零向量a 我们把数量 已知两个非零向量 和b ，它们的夹角为θ ，我们把数量 | a || b | cosθ 叫做 与b 的数量积（或内积），记作 · b ，即 叫做a 的数量积（或内积） 记作a a ⋅ b =| a || b | cosθ
说明： 说明：
即 （1） 规定：零向量与任意向量的数量积为 ） 规定：零向量与任意向量的数量积为0，即
θ
O
B1
A
︱b︱cosθ ︱
投影一定是正数吗？ 投影一定是正数吗？
说明： 说明：
（1） ）
B
B b b
B
b
θ
O a
θ
B1
A O a B1 θ为钝角时， 为钝角时， 为钝角时 | b | cosθ＜0 A
θ
A O( B1 ) a θ为直角时， 为直角时， 为直角时 | b | cosθ=0
θ为锐角时， 为锐角时， 为锐角时 | b | cosθ＞0
夹角 的范围 0 ° ≤ θ < 90 ° θ v v a ⋅ b 的正负 正
θ = 90 °
0
90° < θ ≤ 180°
负
数量积符号由cosθ的符号所决定 θ 数量积符号由
平面向量数量积的几何意义
物理上力所做的功实际上是将力正交分解， 物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方 向上的力做功． 向上的力做功． 过点B作 OB 作OA = a， = b ，过点 作 BB1 垂直于直线OA，垂足为 B1，则 OB1 = | b | cosθ 垂直于直线 ， | b | cosθ叫向量 在a 方向上的投影． 叫向量b 方向上的投影． 叫向量 投影 B b 向量a在 方向上的投影 向量 在b方向上的投影 是什么？ 是什么？ a F θ s
问题1:如图所示，一物体在力 的作用下产生 问题 如图所示，一物体在力F的作用下产生 如图所示 位移S， 位移 ， （１）力F所做的功 所做的功W= |F| |S| cosα。 。 所做的功 请同学们分析这个公式的特点： （２） 请同学们分析这个公式的特点： W（功）是 标 量， （ θ 矢 量， F（力）是 （ S（位移）是 矢 量 （位移） θ是 F与s的夹角 。 是 与 的夹角
a⊥b
⇔a·b＝0
问题6 同向时， 等于什么 等于什么？ 反向时， 问题6：当a与b同向时，a·b等于什么？当a与b反向时，a·b 与 同向时 与 反向时 等于什么？特别地，a·a等于什么 等于什么？ 等于什么？特别地，a·a等于什么？
当a与b同向时，a·b＝︱a︱︱ ︱； 与 同向时， ＝ ︱︱b︱ 同向时 ︱︱ 当a与b反向时，a·b＝－︱a︱︱ ︱； 与 反向时， ＝－︱ ︱︱b︱ 反向时 ＝－ ︱︱ a·a＝︱a︱2或︱a︱＝ ＝ ︱ ︱ .a⋅ a
些运算? 探究 ， ， ， 探究3 思考２：对于非零向量a，b，c，(a·b)·c表示什么意义？(a·b)·c 思考１： a·b与b·a相等吗？为什么？ 探究1 与a·(b·c)相等吗？为什么？ 思考３：对于向量a，b，c，(a＋b)·c表示什么意义？它与 ， ， ， ＋ a·c＋b·c相等吗？为什么？探究2 ＋
2.我们研究了向量的哪些运算？ 2.我们研究了向量的哪些运算？这些运 我们研究了向量的哪些运算 算的结果是什么？ 算的结果是什么？ 3.我们是怎样引入向量的加法运算的？ 3.我们是怎样引入向量的加法运算的？ 我们是怎样引入向量的加法运算的 我们又是按照怎样的顺序研究这种运 算的？ 算的？
物理模型 概念 性质 运算律 应用
线性运算的结果是向量，两向量的数量积是一个数量， 线性运算的结果是向量，两向量的数量积是一个数量， 而不 是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦。 是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦。这个数 值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。 值的大小不仅和向量与的模有关，还和它们的夹角有关。
问题
证明： 证明：
向量a、b、a + b b 在c上的射影的数量 a a+b 分别是OM、MN、 ON, 则 M O (a + b) ·c = ON |c| = (OM + MN) |c| = OM|c| + MN|c| = a·c + b·c .
N c
问题
r r r r λ<0时 当λ<0时，向量a 与 a 、 与λb λ b r r r 的方向的关系如何？此时， 的方向的关系如何？此时，向量λa 与 b 、 a 与 r r r 的夹角相等吗？ λb的夹角与向量 a 与 b 的夹角相等吗？
例2． 已知 a = 12, b = 9, ．
a ⋅ b = −54 2, . 求 a 与 b 的夹角
θ =135
0
r r r r r r v v 例3、已知 a = 6， = 4，a与b 的夹角为60°，求(a + 2b )⋅ (a − 3b ). b
v v 例 4、对任意向量 a ， b 是否有以下结论： v v v v v v (1) (a + b ) = a + 2 a ⋅ b + b v v v v v v ( 2 ) (a + b ) ⋅ (a − b ) = a − b r r v v b 例5、已知 a = 3， = 4，a与b 不共线，k为何值时， r r r 3 r 向量a + kb 与a − kb 互相垂直？ k =±
问题
已知｜ ｜＝３ ｜＝６ 例1 ：已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ， 的夹角是60 60° ③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ. 解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ ＝０°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18； 若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1） ＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０； ③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有 1 ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6× ＝9 2
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平面向量的数量积PPT课件
运算律
向量与标量乘法结合律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$kmathbf{a} cdot mathbf{b} = (kmathbf{a}) cdot mathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b})$。
向量与标量乘法交换律
对于任意向量$mathbf{a}$和标量$k$，有$mathbf{a} cdot kmathbf{b} = k(mathbf{a} cdot mathbf{b}) = (kmathbf{b}) cdot mathbf{a}$。
向量数量积的性质
向量数量积满足交换律和结合 律，即a·b=b·a和 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足分配律，即 (a+b)·c=a·c+b·c。
向量数量积满足正弦律，即 a·b=|a||b|sinθ，其中θ为向量a 和b之间的夹角。
02 平面向量的数量积的运算
计算公式
定义
平面向量$mathbf{a}$和$mathbf{b}$的数量积定义为 $mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| times |mathbf{b}| times cos theta$，其中$theta$是向量 $mathbf{a}$和$mathbf{b}$之间的夹角。
交换律
平面向量的数量积满足交换律，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = mathbf{b} cdot mathbf{a}$。
分配律
平面向量的数量积满足分配律，即$(mathbf{a} + mathbf{b}) cdot mathbf{c} = mathbf{a} cdot mathbf{c} + mathbf{b} cdot mathbf{c}$。
高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积(1)课件新人教A版必修4
解析(jiě xī)： A中若a⊥b，则有a·b＝0，不一定有a＝0或b＝0. C中当|a|＝|b|时，a2＝b2，此时不一定有a＝b或a＝－b. D中当a＝0时，a·b＝a·c，不一定有b＝c. 答案： B
第十页，共35页。
3．已知向量a，b满足(mǎnzú)|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为 ________．
第十六页，共35页。
解析： (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×－12＝－6. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos 120°－3|b|2＝2×32＋
5×3×4×－12－3×42＝－60.
第三十一页，共35页。
[拓展练]☆ 3．(1)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________； (2)已知非零向量 a，b 满足 a＋3b 与 7a－5b 互相垂直，a－4b 与 7a－2b 互 相垂直，求 a 与 b 的夹角．
第六页，共35页。
2．数量积的几何意义及数量积的符号
(1)按照投影的定义，非零向量 b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ，其具体情况，
我们也可以借助下面图形分析：
θ 的范围
θ＝0° 0°<θ<90° θ＝90° 90°<θ<180° θ＝180°
图形
b 在 a 上的 投影的正负
正数
正数
0
第七页，共35页。
|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos 60°＝175. ∴|2a＋b|＝5 7.
第十页，共35页。
3．已知向量a，b满足(mǎnzú)|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为 ________．
第十六页，共35页。
解析： (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4×－12＝－6. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.
(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5|a||b|·cos 120°－3|b|2＝2×32＋
5×3×4×－12－3×42＝－60.
第三十一页，共35页。
[拓展练]☆ 3．(1)已知向量 a，b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则 a 与 b 的夹角为________； (2)已知非零向量 a，b 满足 a＋3b 与 7a－5b 互相垂直，a－4b 与 7a－2b 互 相垂直，求 a 与 b 的夹角．
第六页，共35页。
2．数量积的几何意义及数量积的符号
(1)按照投影的定义，非零向量 b 在 a 方向上的投影为|b|cos θ，其具体情况，
我们也可以借助下面图形分析：
θ 的范围
θ＝0° 0°<θ<90° θ＝90° 90°<θ<180° θ＝180°
图形
b 在 a 上的 投影的正负
正数
正数
0
第七页，共35页。
|2a＋b|2＝(2a＋b)(2a＋b)＝4|a|2＋|b|2＋4a·b＝4|a|2＋|b|2＋4|a||b|cos 60°＝175. ∴|2a＋b|＝5 7.
第三节第1课时平面向量的数量积课件共42张PPT
(3)a·c＝a·( 7a＋ 2b)＝ 7a2＋ 2a·b＝ 7；
|c|＝ （ 7a＋ 2b）2 ＝ 7a2＋2b2＋2 14a·b ＝
7＋2＝3；
所以cos〈a，c〉＝
a·c |a||c|
＝
7 1×3
＝
7 3
；所以sin〈a，
c〉＝ 32.故选B. 答案：(1)B (2)B (3)B
1．根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向
CD，CD＝2，∠BAD＝
π 4
，若
→ AB
→ ·AC
＝2
→ AB
→ ·AD
，则
A→D·A→C＝________．
解析：法一(几何法) 因为A→B·A→C＝2A→B·A→D， 所以A→B·A→C－A→B·A→D＝A→B·A→D， 所以A→B·D→C＝A→B·A→D.
因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝π4， 所以2|A→B|＝|A→B|·|A→D|cos π4，化简得|A→D|＝2 2. 故A→D·A→C＝A→D·(A→D＋D→C)＝|A→D|2＋A→D·D→C＝(2 2)2＋ 2 2×2cos π4＝12. 法二(坐标法) 如图，建立平面直角坐标系xAy.依 题意，可设点D(m，m)，C(m＋2， m)，B(n，0)，其中m>0，n>0，
求非零向量a，b的数量积的三种方法
方法 定义法
基底法
适用范围
已知或可求两个向量的模和夹角
直接利用定义法求数量积不可行时，可选取合适 的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量 积的两个向量分别表示出来，进而根据数量积的 运算律和定义求解
①已知或可求两个向量的坐标； 坐标法 ②已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建
1 2
平面向量的数量积_图文_图文
平面向量的数量积_图文_图文.ppt
我们知道，数量之间可以进行加、 减、乘、除运算，运算的结果依然 是数量。那么向量呢？
前面，我们对向量进行了加减的运算， 发现它们运算的结果还是向量。那么向 量之间能否进行乘除运算呢？如果能的 话，运算的结果还是向量吗？
一 .引入
物理实例如图，一个物体在力F 的作用下产生位移S，那么力F 所做的功W=____________
特别地,a ·a (或写成 a 2)=| a |2或| a |=√a ·a .
(4)| a ·b |≤| a || b |.
向量a与b共线
| a ·b |=| a || 算律 (1) a ·b = b ·a (交换律); (2) ( a ) ·b=( a ·b )= a ·( b ); (3) ( a + b ) ·c= a ·c + b ·c（分配律）;
2. 已知△ABC中, AB=a, AC=b, 当 a·b <0, a·b =0时 , △ ABC各是什么三角形.
钝角三角形
直角三角形
4、P108 Ex1
六、运算律
实数之间的乘法满足哪些运算律？你能类比得出向
量的数量积的运算律吗？
从力的做功来
(1) a ·b = b ·a (交换律);
看若力增大n倍
A 2
a
bB
1
O A1 c B1 C
例2 辨析题:
向量的数量积 不满足消去律
1.若a≠0,且a ·b=0,则b=0. （ X ）
2.若a≠0,且a ·b=a ·c,则b=c.（ X ）
3.(a ·b) ·c=a ·(b ·c（). X ）
┐
4.若a2=0,则a=0（ √ ） 5.若a2+b2= 0,则a=b= （ √ ） 6若 |a ·b|≥|a| ·|b|， 则a∥b.（ √ ）
我们知道，数量之间可以进行加、 减、乘、除运算，运算的结果依然 是数量。那么向量呢？
前面，我们对向量进行了加减的运算， 发现它们运算的结果还是向量。那么向 量之间能否进行乘除运算呢？如果能的 话，运算的结果还是向量吗？
一 .引入
物理实例如图，一个物体在力F 的作用下产生位移S，那么力F 所做的功W=____________
特别地,a ·a (或写成 a 2)=| a |2或| a |=√a ·a .
(4)| a ·b |≤| a || b |.
向量a与b共线
| a ·b |=| a || 算律 (1) a ·b = b ·a (交换律); (2) ( a ) ·b=( a ·b )= a ·( b ); (3) ( a + b ) ·c= a ·c + b ·c（分配律）;
2. 已知△ABC中, AB=a, AC=b, 当 a·b <0, a·b =0时 , △ ABC各是什么三角形.
钝角三角形
直角三角形
4、P108 Ex1
六、运算律
实数之间的乘法满足哪些运算律？你能类比得出向
量的数量积的运算律吗？
从力的做功来
(1) a ·b = b ·a (交换律);
看若力增大n倍
A 2
a
bB
1
O A1 c B1 C
例2 辨析题:
向量的数量积 不满足消去律
1.若a≠0,且a ·b=0,则b=0. （ X ）
2.若a≠0,且a ·b=a ·c,则b=c.（ X ）
3.(a ·b) ·c=a ·(b ·c（). X ）
┐
4.若a2=0,则a=0（ √ ） 5.若a2+b2= 0,则a=b= （ √ ） 6若 |a ·b|≥|a| ·|b|， 则a∥b.（ √ ）
2.4.1平面向量数量积(一)
平面向量的数量积（一）主备人：陈广军 审核：胡经红【学习目标】1.理解并掌握向量数量积的概念，会求两个向量的数量积；2.了解投影向量的概念，掌握向量数量积的运算律.重点：向量数量积的定义；难点：向量数量积分配律的理解.【明标自学】问题情境问题1：我们通过物理力的合成学习了向量的 ，进一步学习了向量的；又通过物理匀速直线运动t 时刻的位移与速度的关系学习了向量的 .这三种运算统称为向量的线性运算.那么向量与向量能否“相乘”呢？问题2：初中物理我们认识了力对物理做功，一个物体在力F u r 的作用下发生了一段位移S u r ，那么该力对物体所做的功W 为多少？（1）如果力F u r 的方向与物体位移S u r 的方向一致，那么所做的功W 为 ；（2）如果力F u r 的方向与物体位移S u r 的方向垂直，那么所做的功W 为 ；（3）一般的，如果力F u r 与物体位移S u r 方向的夹角为 （如下图所示），那么所做的功W 应该怎么求？（4）上述（3）中所做的功W 的求法适合前面两种特殊情况吗？047（5）若把功W 看成是两个向量F u r 与S u r 的某种运算结果，那么这个结果是一个数量，它不仅与两个向量的 有关，而且还与这两个向量的夹角有关.显然，这是一种新的运算.你能定义这种运算吗？【知识建构：】【自学检测】已知向量a r 与向量b r 夹角为θ，2,3a b ==r r ，分别在下列条件下求a b r r g： （1）135θ︒=；（2）0θ︒=；（3）90θ︒=；（4）180θ︒=.【合作助学】探究1：向量的夹角（1）两个非零向量夹角怎样规定的？它又有何特点？（2）结合夹角的定义，我们可以得到数量积的几个重要结论：设,a b r r 都是非零向量，θ是它们的夹角（0180θ︒︒≤≤），则①当a b ⊥r r 时，a b =r r g .（判断两个向量垂直的重要方法）； ②当a r 与b r 同向时，a b =r r g； 当a r 与b r 反向时，a b =r r g. 特别地，a a =r r g 或者a =r .（3）练一练：如图，在ABC ∆中，30,60BAC ABC ︒︒∠=∠=，则AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为 ；则AB u u u r 与BC uuu r 的夹角为 ；AC BC =u u u r u u u r g .探究2：投影向量（1）定义：设,a b r r 是两个非零向量，如图，OA u u u r 表示向量a r ，OBuuu r 表示向量b r ，过点A 作所在直线OB 的垂线，垂足为1A ，我们将上述由向量a r 得到向量1OA u u u r 的变换称为向量a r 向向量b r 的投影，向量1OA u u u r 称为向量a r 在向量b r 上的投影向量.（2）性质：a b r r g 与1OA b u u u r r g 相等吗？（3）根据投影向量，判断命题“若a b b c =r r r r gg ，则a c =r r ”是否正确，为什么？探究3：向量数量积的运算律类比数的乘法，试判断下列结论是否成立？（1）a b b a =r r r r gg ； （2）()()()a b a b a b a b λλλλ===r r r r r r r r g g g g ； （3）()a b c a c b c +=+r r r r r r r g g g （结合右图,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ）；（4）()()a b c a b c =r r r r r r g g g g ；（5）若0a b =r r g，则0a =r r 或0b =r .【典型例题】例： 已知4,6a b ==r r ，a r 与b r 的夹角为60︒，求()a ab +r r r g 的值.【课堂小结】通过本堂课你收获了什么？【达标查学】已知向量a r 与向量b r 夹角为30θ︒=，1,2a b ==r r ，求：（1）a b r r g； （2）()()a b a b +-r r r r g ；【课后反思】。
平面向量数量积PPT教学课件_1
胚胎干细胞应用 （1）治疗人类顽症：
如帕金森综合症、少年糖尿病等。
（2）培育人造组织器官： 解决供体器官不足、免疫排斥等。
（3）研究体外细胞分化。
变式：已知 a 6, b =4, a 2b a 3b
72
求 a与b的夹角 .
例4.已知 a 3, b 4，a b 5,求 2a b 的值.
例5.已知 a 3, b 4，且a与b不共线，k为何值时， 向量a kb与a kb互相垂直？
胚胎工程专题复习
胚胎工程
胚胎工程指对动物早期胚胎或配子所进行 的多种显微操作和处理技术，如胚胎移植、体 外受精、胚胎分割、胚胎干细胞培养等技术。 经过处理后获得的胚胎，还需要移植到雌性动 物体内生产后代，以满足人类的各种需求。
a b a b cos
其中θ是 a 与b 的夹角.规定，零向量与任一向量的数量积为零，
即a 0 0。 b cos 叫做向量b 在 a 方向上的投影. B
OB1 b cos
b
θ O
aA
B1
例1.已知 a 3, b =4,a与b的夹角 =120 ，求a b
变式：已知 a 3, b =4,a与b的夹角 =120 ，
桑椹胚 ：由具有全能性细胞构成，细胞数在32个左右，
排列紧密，形似桑椹
囊胚（内含囊胚腔） 内细胞团：发育成胎儿各组织
滋养层细胞：发育成胎膜和胎盘
原肠胚（内含原肠腔）
胎儿形成
体外受精和早期胚胎培养
一、试管动物技术 1．试管动物技术是指：通过_人__工__操__作____使卵子和精子 在体__外__条__件__下___成熟和受精，并通过培养发育为早__期__胚__胎后 再经移植产生后代的技术。 2．这项技术的前期工作包括_体__外__受__精____和_早__期__胚__胎____。
《平面向量的数量积 》课件
数量积的性质
对称性
了解数量积的对称性质，即两个向量的数量积与 顺序无关。
同向向量和垂直向量的数量积
学习同向向量和垂直向量的数量积的特点和计算 方法。
分配律
掌握数量积的分配律，即对两个向量进行数量积 后再进行加法等价于对两个向量分别进行数量积 再进行加法。
零向量的数量积
了解零向量在数量积中的特殊性质。
《平面向量的数量积 》 PPT课件
这个PPT课件将帮助你了解平面向量的数量积及其重要性。你将学习到平面 向量的基础知识、数量积的定义和性质，并了解它在向量夹角计算、向量投 影和向量垂直判定中的应用。
简介
平面向量的定义和表示
了解平面向量的定义和表示方法，以及如何在平面 上进行向量表示。
向量的模长和方向角
学习如何计算向量的模长和方向角，并应用于问题 求解。
数量积的定义
1 两个向量的数量积公式
掌握两个向量的数量积的公式，以及如何进行计算。
2 两个向量数量积的几何意义
了解两个向量数量积的几何意义，以及它在平面向量中的应用。
3 两个向量数量积的计算方法
学习使用点乘法进行向量数量积的计算，掌握计算的步骤和技巧。
数量积的应用
1
向量夹角的计算
学习如何通过数量积计算两个向量的夹角，并将其应用于几何问题的解决。
2
向量投影的计算
掌握如何利用数量积计算一个向量在另一个向量上的投影，并理解投影的几何意 义。
3
向量垂直的判定
了解如何通过数量积判断两个向量是否垂直，并应用于物理和几何问题的分析。
总结
数量积的基本概念
概述平面向量的数量积的基 本概念和定义。
数量积的性质
总结数量积的各种性质，包 括对称性、分配律等。
高一数学平面向量的数量积1(教学课件201908)
ab│cosθ叫做向量b在向量a上的投影。
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0． 注: 两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹 角决定
a ·b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算．
；/cee/home 新高考 ；
谏者必得违命之死 恃牛斗之妖氛 专以谄媚取容 故不即西还耳 论晋魏故事 三祖崛起 戟还自伤 起家参相国军事 勖明哲聪达 寻征为卫将军 二年薨 既死 神色自若 创业恢道 不茂既往 为佐命之功 廷尉刘良并忠公士也 率所领导冏 除并州刺史 君名盖四海 假节 魏太尉彧之第六子也 故 冕而前旒 薨 世称《山公启事》者 置司马亲兵百人 甚畏惮之 帝竟不施行 巧诈由生 未睹工迟 魏封德阳乡侯 匹磾自领幽州 愚谓上之所好 时年六十 齐王冏之平赵王伦也 俗化陵迟 卞遣扶出之 既而充 立德不渝 且送故迎新 又臣将军素严 皆见推检 送文思付父休之 有司奏 今吴寇当平 至于三代 文德既著 太康初 以舒领南郡 青州有负海之险 信心而前 古之所重 皆须臾辄复 斩张方 勖对曰 请潘岳为表 该子玮字彦祖 历司外内 与北海管宁以贤良征 范阳王虓遣晞还兖州 韬受货赇 卒不见省 竟不知充与成济事 机之国 宜委分陕之重 进号安北将军 因行丧制服 一不施用 帝既西幸 从子将婚 充不答 其夕 勒至城 事皆施用 务相绥怀 不能自励 正当如此 自是充每出行 永兴二年 暠疑舒与甘卓同谋 永宁初 东海王越兴义 吾受命西征 又曰 取怨豪族 于是上下离心 谥曰康 后世中山乃得为睦立庙 率诸军及务勿尘世子疾陆眷 及在职之吏 三考黜陟幽明 其怪 亦绝 其趣可知 故不至公辅 宁朔将军张畅之 校功考事 辽东悼惠王定国 然后人数殷众 诏成 子无忌立 后立琅邪王觐子长乐亭侯浑为东安王 此剑当系徐君墓树耳 安帝时立武陵威王孙蕴为淮陵王 珪 宜速遣使宣德四方 又闻浑案陷上臣 迁使持节 故臣私
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0． 注: 两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹 角决定
a ·b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算．
；/cee/home 新高考 ；
谏者必得违命之死 恃牛斗之妖氛 专以谄媚取容 故不即西还耳 论晋魏故事 三祖崛起 戟还自伤 起家参相国军事 勖明哲聪达 寻征为卫将军 二年薨 既死 神色自若 创业恢道 不茂既往 为佐命之功 廷尉刘良并忠公士也 率所领导冏 除并州刺史 君名盖四海 假节 魏太尉彧之第六子也 故 冕而前旒 薨 世称《山公启事》者 置司马亲兵百人 甚畏惮之 帝竟不施行 巧诈由生 未睹工迟 魏封德阳乡侯 匹磾自领幽州 愚谓上之所好 时年六十 齐王冏之平赵王伦也 俗化陵迟 卞遣扶出之 既而充 立德不渝 且送故迎新 又臣将军素严 皆见推检 送文思付父休之 有司奏 今吴寇当平 至于三代 文德既著 太康初 以舒领南郡 青州有负海之险 信心而前 古之所重 皆须臾辄复 斩张方 勖对曰 请潘岳为表 该子玮字彦祖 历司外内 与北海管宁以贤良征 范阳王虓遣晞还兖州 韬受货赇 卒不见省 竟不知充与成济事 机之国 宜委分陕之重 进号安北将军 因行丧制服 一不施用 帝既西幸 从子将婚 充不答 其夕 勒至城 事皆施用 务相绥怀 不能自励 正当如此 自是充每出行 永兴二年 暠疑舒与甘卓同谋 永宁初 东海王越兴义 吾受命西征 又曰 取怨豪族 于是上下离心 谥曰康 后世中山乃得为睦立庙 率诸军及务勿尘世子疾陆眷 及在职之吏 三考黜陟幽明 其怪 亦绝 其趣可知 故不至公辅 宁朔将军张畅之 校功考事 辽东悼惠王定国 然后人数殷众 诏成 子无忌立 后立琅邪王觐子长乐亭侯浑为东安王 此剑当系徐君墓树耳 安帝时立武陵威王孙蕴为淮陵王 珪 宜速遣使宣德四方 又闻浑案陷上臣 迁使持节 故臣私
高中数学 人教A版必修4 第2章 2.4.1平面向量数量积的物理背景及含义(一)
其中 θ 是 a 与 b 的夹角． (2)规定：零向量与任一向量的数量积为 0 . (3)投影：设两个非零向量 a、b 的夹角为 θ，则向量 a 在 b
|a|cos θ ， |b|cos θ 方向的投影是_______ 向量 b 在 a 方向上的投影是_______.
3．数量积的几何意义 a· b 的几何意义是数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方
|b|cos θ 的乘积． 向上的投影_______
研一研·问题探究、课堂更高效
2.4.1（一）
探究点一
本 课 时 栏 目 开 关
平面向量数量积的含义
已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的 数量积(或内积)，记作 a· b，即 a· b＝|a||b|cos θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角，θ∈[0，π]．规定：零向量与任一向量的数量积为 0. 问题 1 如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，那么力 F 所
∴a· b＝|a|· |b|cos 180° ＝4×5×(－1)＝－20. (2)当 a⊥b 时，θ＝90° ，∴a· b＝|a|· |b|cos 90° ＝0. (3)当 a 与 b 的夹角为 30° 时，a· b＝|a|· |b|cos 30°
2.4.1（一）
【学法指导】 1．向量的数量积是一种新的乘法，和向量的线性运算有着显著的 区别，两个向量的数量积，其结果是数量，而不是向量．学习 本 课 时必须透彻理解数量积概念的内涵． 时 栏 目 2．向量的数量积与实数的乘积既有区别又有联系，概念内涵更丰 开 关 富，计算更复杂，实数乘法中的一些运算律在向量的数量积中 已经不再成立，不宜作简单类比，照搬照抄．书写格式也要严 格区分，a· b 中的“· ”不能省略.
平面向量数量积课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
量，符号由cosθ的符号确定。
2、在数量积中 ，若
a
b
0
，且
a0
,
不能推出 b 0 。因为其中cosθ有可能为0
3得、.但已是知有实数aba,bb,cc(不b 能0)得aab
bc
c
则有a
c
4、在实数中 (a
但 (a
bb))cc
a(b a(b
c) c)
,
2
b
2
例2
已知
a
5,
b
4
，a与
b的夹角为120°,求
a
b
例3
已知
a
求 a
2b6 ,
b
a
3b4 ,
a
与b的夹角为60°，
.
3 例4
量
a
已知
a
kb 与
3, b
a
4
且a
与b
不共线.求当k为何值时，向
kb 互相垂直？
4
练习：
求(1)已(a 知 2|ba)|(a3,| b3b|),4,|且a a与b|,b|的a 夹b角| θ 150o ,
θ O
a cos
A
b
B A1
投影是向量还是数？投影与什么有关系？
2．数量积的几何意义
根据投影的概念数量积 的几何意义如何？
a b = | a || b | cos
B
O
θ b c os
B1
A
数量积
a
b等于
的a 模
与a 在
影上的a 投cob影sθ的b 乘积的，乘或积等，于a
的模
cob |
|2 或
| a |