2020年深圳市高三年级第一次调研考试数学试题(文科) 答案20200108

2020年深圳市高三第一次调研考试

文科数学试题参考答案及评分参考

第Ⅰ卷

一、选择题

1.D

2.B

3.C

4.B

5.A

6.B

7.D

8.B

9.D 10.C 11. A 12.B

12.【解析】由图像，可得30()2f x <<，所以()913,x ∈，且(31333()=()=3x f x x f x x ⋅⋅⋅，

令t =()3231()()=31,3g t x f x t t t =⋅−+∈，，故()2()3632g t t t t t '=−+=−−， 故当2=t 时，max ()(2)4g t g ==. 法二：利用均值不等式：

((3

313333()=()=3=434=43x f x x f x x ⎫⎛⎫⋅⋅⋅⨯≤⎪ ⎪⎭⎝⎭

.

二、填空题

13. 5; 14.

2

11

; 15. 32; 16. 3. 16.【解法一】，设MFO θ∠=,因为,,OF c OM a ==所以,2.MF b MN b ==

所以cos ,sin ,b a c c θθ==2233,N N b c ab x y c c −==

又点N 在直线b y x a =上，所以整理得到

223a c =，又1e >，所以e =.

【解法二】设MOF θ∠=，则π2MON θ∠=−，在Rt OMN ∆中，有||

tan ||

MN MON OM ∠=

，

所以2tan

2)b a

πθ−=（，由此可求得22

2a b =，从而可求得e = 【命题意图】考查学生直线与圆的位置关系，双曲线的基本性质等知识点，考查学生数形结合，方程的数学思想，体现学生直观想象，数学运算等核心素养； 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知公差不为零，315S =，且1a 、3a 、11a 成等比数列．

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）设5

()6

n n n b a =⋅，试问数列{}n b 是否存在最大项？若存在，求出最大项序号n 的值；反之，请说明理由．

解：（1）由315S =可得15a d +=，① ……………………………………1分

又

2

3111a a a =⋅，2111(2)(10)a d a a d ∴+=+ …………………2分

整理得2

164(0)a d d d =≠，所以132a d =，② ……………………3分

联立①②可得12a =，3d =，………………………………………………5分 所以31n a n =−．………………………………………………………………6分 （2）5(31)()6

n n b n =−⋅， ………………………………………………7分

1155(32)()(31)()66n n n n b b n n ++−=+⋅−−⋅5163()66

n n

−=⨯，………………9分

若10n n b b +−>，则161

533n <=；……………………………………………10分 若10n n b b +−<，则161

533

n >

=；……………………………………………11分 因此15671>n n b b b b b b −<<<>>>…………，

所以6b 最大，即最大项序号6n =．……………………………………12分

【命题意图】本题主要考查以两个常见（等差、等比）的数列模型为载体，考查基本量之间的关系，求数列的最大项，能够认清数列的本质就是特殊的函数，把研究函数单调性、最值迁移到数列之中，重点考查等价转换思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养． 18．（本小题满分12分）

为了推动青少年科技活动的蓬勃开展，培养青少年的创新精神和实践能力，提高青少年的科技素质，某市开展“青少年科技创新大赛”活动.已知参加该活动的学生有1000人，其中男生600人，女生400人，为了解学生在该活动中的获奖情况是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取了100名学生的参赛成绩，其频率分布直方图如下：

（1）该活动规定：成绩不低于60分的参赛学生可获奖，低于60分的参赛学生不能获奖.请将参赛学生获奖和不获奖的人数填入下面的列联表，并判断能否有90%以上的把握认为“参赛学生是否获奖与性别有关”？

（2）估计这100名学生的参赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．

解：（1）由题意可得，

--------------------2分

22

2

()100302430160.966()()()()60404654

n ad bc K a b c d a c b d −⨯⨯−⨯∴==≈++++⨯⨯⨯（）

--------4分

323.1996.0<

∴没有90%以上的把握认为“学生的数学成绩与性别有关”．----------------------6分

（2）由题意可知，男生数学的平均成绩为

6025.09025.0703.05015.03005.010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x ，----------------8分

女生数学成绩的平均成绩为

5315.09025.0703.0502.0301.010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=y ，-------------------10分

样本中男女生人数之比为23：，

这100名学生的平均成绩为25740536060...z =⨯+⨯=．---------------------------12分

【命题意图】本题主要考查利用列联表计算2K 的值，独立性检验，利用频率分布直方图计算平均值等知识，体现了数据分析、数学运算等核心素养．