2020年深圳市高三年级第一次调研考试数学试题(文科) 答案20200108

2020年深圳市高三第一次调研考试文科数学试题参考答案及评分参考第Ⅰ卷一、选择题1.D2.B3.C4.B5.A6.B7.D8.B9.D 10.C 11. A 12.B12.【解析】由图像，可得30()2f x <<，所以()913,x ∈，且(31333()=()=3x f x x f x x ⋅⋅⋅，令t =()3231()()=31,3g t x f x t t t =⋅−+∈，，故()2()3632g t t t t t '=−+=−−， 故当2=t 时，max ()(2)4g t g ==. 法二：利用均值不等式：((3313333()=()=3=434=43x f x x f x x ⎫⎛⎫⋅⋅⋅⨯≤⎪ ⎪⎭⎝⎭.二、填空题13. 5; 14.211; 15. 32; 16. 3. 16.【解法一】，设MFO θ∠=,因为,,OF c OM a ==所以,2.MF b MN b ==所以cos ,sin ,b a c c θθ==2233,N N b c ab x y c c −==又点N 在直线b y x a =上，所以整理得到223a c =，又1e >，所以e =.【解法二】设MOF θ∠=，则π2MON θ∠=−，在Rt OMN ∆中，有||tan ||MN MON OM ∠=，所以2tan2)b aπθ−=（，由此可求得222a b =，从而可求得e = 【命题意图】考查学生直线与圆的位置关系，双曲线的基本性质等知识点，考查学生数形结合，方程的数学思想，体现学生直观想象，数学运算等核心素养； 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知公差不为零，315S =，且1a 、3a 、11a 成等比数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设5()6n n n b a =⋅，试问数列{}n b 是否存在最大项？若存在，求出最大项序号n 的值；反之，请说明理由．解：（1）由315S =可得15a d +=，① ……………………………………1分又23111a a a =⋅，2111(2)(10)a d a a d ∴+=+ …………………2分整理得2164(0)a d d d =≠，所以132a d =，② ……………………3分联立①②可得12a =，3d =，………………………………………………5分 所以31n a n =−．………………………………………………………………6分 （2）5(31)()6n n b n =−⋅， ………………………………………………7分1155(32)()(31)()66n n n n b b n n ++−=+⋅−−⋅5163()66n n−=⨯，………………9分若10n n b b +−>，则161533n <=；……………………………………………10分 若10n n b b +−<，则161533n >=；……………………………………………11分 因此15671>n n b b b b b b −<<<>>>…………，所以6b 最大，即最大项序号6n =．……………………………………12分【命题意图】本题主要考查以两个常见（等差、等比）的数列模型为载体，考查基本量之间的关系，求数列的最大项，能够认清数列的本质就是特殊的函数，把研究函数单调性、最值迁移到数列之中，重点考查等价转换思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养． 18．（本小题满分12分）为了推动青少年科技活动的蓬勃开展，培养青少年的创新精神和实践能力，提高青少年的科技素质，某市开展“青少年科技创新大赛”活动.已知参加该活动的学生有1000人，其中男生600人，女生400人，为了解学生在该活动中的获奖情况是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中随机抽取了100名学生的参赛成绩，其频率分布直方图如下：（1）该活动规定：成绩不低于60分的参赛学生可获奖，低于60分的参赛学生不能获奖.请将参赛学生获奖和不获奖的人数填入下面的列联表，并判断能否有90%以上的把握认为“参赛学生是否获奖与性别有关”？（2）估计这100名学生的参赛成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．解：（1）由题意可得，--------------------2分222()100302430160.966()()()()60404654n ad bc K a b c d a c b d −⨯⨯−⨯∴==≈++++⨯⨯⨯（）--------4分323.1996.0<∴没有90%以上的把握认为“学生的数学成绩与性别有关”．----------------------6分（2）由题意可知，男生数学的平均成绩为6025.09025.0703.05015.03005.010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x ，----------------8分女生数学成绩的平均成绩为5315.09025.0703.0502.0301.010=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=y ，-------------------10分样本中男女生人数之比为23：，这100名学生的平均成绩为25740536060...z =⨯+⨯=．---------------------------12分【命题意图】本题主要考查利用列联表计算2K 的值，独立性检验，利用频率分布直方图计算平均值等知识，体现了数据分析、数学运算等核心素养．19．（本小题满分12分）已知三棱柱111ABC A B C −，侧面11BCC B 为正方形，底面ABC 为正三角形，11BC B C O =，111A B AC =． （1）求证：1B C ⊥平面11A BC ；（2）若2BC =，求点C 到平面111A B C 的距离．解：（1）证明：连接1AO ，………1分 侧面11BCC B 为正方形，∴11BC B C ⊥， ……………………2分11AB A B =，111A B AC =， ∴111A B AC =， 又O 为1B C 的中点，∴11B C AO ⊥， …………………3分11BC AO O =， ………………4分 ∴1B C ⊥平面11A BC ． …………………5分（2）解法一：2BC =，∴111112A B AC AC ===,侧面11BCC B 为正方形， ∴221122B C BC BB =+=，∴112B O C O CO ===，……………6分∴12A O =， ……………7分2221111AC C O AO =+， ∴1C O ⊥1AO ， …………………………8分11C O B C ⊥，11AO B C O =，∴1C O ⊥平面11A B C ． ………………………9分设h 为点C 到平面111A B C 的距离，由111111C A B C C A B C V V −−=可得11111111||33A B CA B C S C O Sh ⨯=⨯． …………………………………………10分11122A B CS=⨯=，1||C O=，111122A B CS=⨯………11分∴h=…………………………………………………12分解法二：通过证明或计算可得四棱锥1A ABC−为正四面体，其高的公式h=（a为棱长）．解法三：可利用1B C⊥平面11A BC计算111111111122||3C A B C B A C O A C OV V S B O−−∆==⨯⋅．【命题意图】本题主要考查了线面垂直的判定定理和定义、等体积法求点到面的距离等知识，重点考查等价转换思想，体现了直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养．20．（本小题满分12分）已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>C过点(01)−，．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线:l(0)y x m m=+>与椭圆C交于A、B两点，点O为坐标原点，在椭圆C上是否存在一点P，满足OP OA OB++=0，若存在，求ABP∆的面积；若不存在，请说明理由．解：(1)由题设可知，22==ace，12=b，---------------2分又222cba+=，解得22=a，--------------------------------3分所以椭圆C的方程为1222=+yx．--------------------------4分(2)设存在椭圆上的一点00(,)P x y，满足OA OB OP++=0，设1122(,),(,)A x yB x y，则012012(),(),x x xy y y=−+⎧⎨=−+⎩-------------5分联立2212xy+=与(0)y x m m=+>，消去y并整理，得2234220x mx m++−=，---------6分令222(4)43(22)2480m m m∆=−⋅⋅−=−>,则0m<<---------------------------------------------------------------7分则21212422,33m m x x x x −+=−=，则1212223m y y x x m +=++=,---------8分 所以004,32,3m x m y ⎧=⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩将点42(,)33m m P −代入2212x y +=，解之，2m =，---------------------------------------------------------------------------9分所以2AB ===，---------------------10分而原点O 到AB距离4d ==，所以11222ABO S AB d ∆=⋅=⋅=，所以3ABP ABO S S ∆∆==-----------------------------------------------------------12分 说明：求距离也可用求点P 到直线AB 的距离．点)33,332(−P 到直线23:+=x y AB 的距离46323323332=++='d ，所以11222ABP S AB d ∆'=⋅=⋅=．----------------------12分 【命题意图】本题以直线与椭圆为载体，借助向量表示三角形的重心为背景，利用方程思想解决几何问题，主要考察直线与椭圆的位置关系、三角形面积等知识，考查学生的逻辑推理，数学运算等数学核心素养及思辨能力. 21.（本小题满分12分）已知函数2cos 4a f x x x a =+−（）． （1）当1=a 时，求曲线y f x =（）在点(π(π))f ，处的切线方程；（2）当1≥a 时，求证：对任意的[]20,x ∈，0≤）（x f ．解：（1）当1=a 时，则141cos 2−+=x x x f ）（， 故x x x f 21sin +−='）（，……………………1分 π21π='∴）（f ，又2π41π2−=）（f ，…………………2分因此切线方程为)π(21)2π41(2x-πy =−−，……………………3分整理得2π41π212−−=x y ，即08π4π22=−−−y x ．……………………4分 （2）证明：（方法一）因为])2,0[(,4cos )(2∈−+=x a x ax x f ，所以x ax x f 2sin )(+−='， …………………5分令x ax x g 2sin )(+−=，当2≥a 时，02cos )(>+−='ax x g ，所以)(x g 为增函数，00=≥）（）（g x g ， 所以)(,0)(x f x f ≥'为增函数，所以02cos )2()(<=≤f x f ，所以0)(<x f .…………………7分当)2,1[∈a 时，)1,21[2∈a ， 又因为]2,0[∈x ，所以]1,2[cos cos ∈x ，212cos <， 所以存在]2,0[0∈x ，使得2cos 0a x =， 即02cos )(00=+−='ax x g ， 所以)(x g 在),0(0x 上为减函数，在)2,(0x 上为增函数，…………………9分 所以02sin )2(,0)(,0)0(0>+−=<=a g x g g ，由单调性及零点存在性定理得，存在)2,(01x x ∈，使得0)(1=x g .…………………10分 当),0(1x x ∈时，0)(<x g ，即0)(<'x f ； 当)2(1，x x ∈时，0)(>x g ，即0)(>'x f .所以)(x f 在),0(1x 上为减函数，在)2,(1x 上为增函数，…………………11分又02cos )2(,01)0(<=≤−=f a f ，所以0)(≤x f ，证毕. …………………12分（2）（方法二）x a x x f cos )141()(2+−= ，当[]2,0∈x 时，014112≤−≤−x ，∴当1≥a ，[]2,0∈x 时，x x x f cos 141)(2+−≤， …………………6分令141cos )(2−+=x x x g ，则x x x g sin 21)(−='，令x x x h sin 21)(−=，则x x h cos 21)(−='，……………………7分由于)(x h '在[]2,0上是增函数，且0)3(='πh ，∴当），3π0[∈x 时，0)(<'x h ，当]2,3π(∈x 时，0)(>'x h ，）（x h ∴在)3π,0[上是减函数，在]2,3π(上是增函数， 0633π)3π()(m in <−==∴h x h ，……………………9分又0)0(=h ，02sin 1)2(>−=h ，故)(x h 在)2,3π(上存在唯一零点0x ，∴当),0[0x x ∈时，0)(≤x h ，]2,(0x x ∈时，0)(>x h ， ∴)(x g 在),0[0x 上是减函数，在]2,(0x 上是增函数，又0)0(=g ，02πcos2cos )2(=<=g ， ∴当[]2,0∈x 时，0)(≤x g ，即当1≥a 时，对任意[]2,0∈x ，0)(≤x f 恒成立. …………………12分(2)：（方法三）先证明当[]20,x ∈时，2cos 12x x <−.…………………5分 令函数()2cos 12x g x x =+−， 因为()sin g x x x '=−+， ……………………………………………………6分令函数()sin h x x x =−+，又()1cos 0h x x '=−≥，所以函数()h x 在区间[]2,0为单调递增函数， ………………7分 所以()()min 00h x h ==，即()0g x '≥，所以函数()g x 在区间[]2,0为单调递增函数， 所以()()min00g x g ==，即在区间[]2,0函数()0g x ≥所以2cos 12x x <−. …………8分所以要证不等式()0f x ≤成立，即证01)2141(2≤−+−a x a 成立，令a x a x u −+−=1)2141()(2，①当2a =时，不等式显然成立；……………………………………………………9分②当12a ≤<时，函数()u x 是开口向下的二次函数，所以函数在区间[]0,1上单调递减， 所以()()max 010u x u a ==−≤，当1,0a x ==时等号成立.③当2>a 时，抛物线开口向上，)(x u 在[]2,0上为增函数，……………………11分 所以01)2()(m ax <−==u x u ，不等式成立，综述所述：当1≥a 时，对任意的[]20,x ∈，0≤）（x f 成立．……………………12分 【命题意图】本题旨在考查导数在研究函数时的应用，以研究导数的几何意义，证明不等式等为载体，综合考查学生的分类讨论、化归转化、数形结合等数学思想，考查了学生的数学运算、逻辑推理等数学核心素养．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧AD 、BC 和线段AB 、CD 四部分组成，在极坐标系Ox 中，π(2,)3A ，2π(1,)3B ，4π(1,)3C ，π(2,)3D −，弧BC 、AD 所在圆的圆心分别是(0,0)、(2,0)，曲线1M 是弧BC ，曲线2M 是弧AD ．（1）分别写出1M 、2M 的极坐标方程； （2）点E 、F 位于曲线2M 上，且π3EOF ∠=，求EOF ∆面积的取值范围．ABCDOx解：（1）由题意，1M 的极坐标方程是2π4π1()33ρθ=≤≤，………………2分 而圆弧AD 所在圆的圆心为1(2,0)O ，设(,)P ρθ为2M 上任意一点，则在1OO P ∆中，可得ππ4cos ()33ρθθ=−≤≤， 所以1M ，2M 的极坐标方程分别为2π4π1()33ρθ=≤≤，ππ4cos ()33ρθθ=−≤≤；………………5分（2）不妨设1(,)E ρα，2π(,)3F ρα−，其中π03α≤≤，则14cos ρα=，2π4cos()3ρα=−所以121πππsin cos (cos cos sin sin )2333FOGS ρρααα∆=⋅⋅=+21π3(cos sin ))26αααα=⋅=++又因为π03α≤≤，所以1πsin(2)126α≤+≤，所以EOF ∆的面积的取值范围是⎡⎣．………………10分【命题意图】本题主要考查了圆的极坐标方程、极坐标的几何意义与应用和利用三角函数解决面积的最值问题等知识点，重点考查数形结合思想，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养．考察考生的化归与转化能力．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知22()23f x x t t x=+−++−，0x >. （1）若(1)2f =，求实数t 的取值范围； （2）求()f x 的最小值. 解:（1）(1)31312f t t t t =−+−≥−+−=， ………………2分取等条件为(3)(1)0t t −−≥， ……………………4分 解得13t ≤≤，即实数t 的取值范围为[1,3]. …………………5分 （说明：分类讨论求解亦可，可相应给分.） (2) 易知222222()23231f x x t t x t t x x x x=+−++−≥+−++−=+−，…………6分0x >，∴222113x x x x x +=++≥=，第 11页（共11页）∴2212x x+−≥，即()2f x ≥，……………………9分 由（1）知，当1x =，且13t ≤≤时，(1)2f =，∴()f x 的最小值为2.……………………10分【命题意图】本题以绝对值不等式、均值不等式和二次不等式为载体，考查不等式的求解及证明，分类讨论思想，及数学抽象，逻辑推理等数学核心素养.。