直角三角形三边的关系(2)
直角三角形三条边的长度关系
直角三角形三条边的长度关系直角三角形是初中数学学习中的一个重要内容，它的性质和应用广泛存在于各种数学和物理问题中。
在本文中，我们将探讨直角三角形三条边的长度关系。
一、勾股定理在直角三角形中，最著名的定理就是勾股定理。
勾股定理指出，在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
勾股定理可以用数学公式表示为：$c^2=a^2+b^2$其中，$a$、$b$分别表示直角三角形的两条直角边的长度，$c$表示斜边的长度。
勾股定理的证明可以用多种方法，其中最著名的是毕达哥拉斯的证明。
毕达哥拉斯的证明是通过构造一个正方形，利用几何关系来证明勾股定理的。
二、三角函数除了勾股定理之外，三角函数也是直角三角形的重要内容。
三角函数是指正弦、余弦和正切三种函数，它们是角的函数，可以用来描述直角三角形中的各种关系。
正弦、余弦和正切分别定义为：$sintheta=frac{a}{c}$$costheta=frac{b}{c}$$tantheta=frac{a}{b}$其中，$theta$表示直角三角形的一个角，$a$、$b$、$c$分别表示直角三角形的三条边。
三角函数可以用来求解直角三角形的各种问题，例如已知某个角度和一个边长，可以用三角函数求出另外两个边长。
此外，三角函数还有许多重要的性质和应用，例如在物理学中的波动问题中，三角函数是不可或缺的。
三、三边关系除了勾股定理和三角函数之外，直角三角形的三条边之间还存在着一些特殊的关系。
这些关系可以用来求解一些直角三角形的问题。
1. 等腰直角三角形等腰直角三角形是指两条直角边长度相等的直角三角形。
在等腰直角三角形中，斜边的长度等于直角边的平方根乘以2。
2. 黄金比例黄金比例是指一条线段被分成两段，其中一段与整条线段的比值等于另一段与这一段的比值。
在直角三角形中，斜边与直角边的比值就是黄金比例，它的值为$frac{1+sqrt{5}}{2}$。
3. 三边比在一些特殊的直角三角形中，三条边之间存在着一些特殊的比例关系。
直角三角形的边长关系
直角三角形的边长关系直角三角形是一种特殊的三角形，其中有一个内角为90度（直角）。
在直角三角形中，三条边的长度之间有一定的关系和性质。
本文将探讨直角三角形的边长关系。
1. 边长定义在直角三角形中，我们通常用三个字母a、b、c来表示三条边的长度。
其中，a和b是直角的两条边（称为直角边），c是斜边（称为斜边）。
根据勾股定理，直角三角形的边长关系可以用下面的公式来表示：a^2 + b^2 = c^22. 边长关系根据勾股定理的边长关系，我们可以通过已知两条边的长度来求解第三条边的长度。
具体的计算步骤如下：2.1 求解斜边如果我们已知直角三角形的直角边a和b的长度，可以直接将它们代入勾股定理的公式，求解斜边c的长度。
例如，如果a=3，b=4，则有：3^2 + 4^2 = c^29 + 16 = c^225 = c^2c = √25 = 52.2 求解直角边如果我们已知直角三角形的斜边c和其中一个直角边a或b的长度，也可以通过勾股定理的公式求解另外一个直角边的长度。
例如，如果a=3，c=5，则有：3^2 + b^2 = 5^29 + b^2 = 25b^2 = 25 - 9b^2 = 16b = √16 = 43. 例题分析为了更好地理解直角三角形的边长关系，我们来看一个例题：例题：已知直角三角形的直角边a=5，斜边c=13，求解直角边b的长度。
解析：根据勾股定理的公式：a^2 + b^2 = c^25^2 + b^2 = 13^225 + b^2 = 169b^2 = 169 - 25b^2 = 144b = √144 = 12因此，直角三角形的直角边b的长度为12。
4. 应用举例直角三角形的边长关系在实际生活和工作中有着广泛的应用。
例如，在建筑和工程领域中，我们经常使用勾股定理来测量不可直接测量的距离，以及计算角度和位置关系。
此外，在导航和地图应用中，我们也可以利用直角三角形的边长关系来确定两个地点之间的距离和方位角。
直角三角形三边的关系(2)
如图，在直角三角形ＡＢＣ中， AC＝１６０米， ＢＣ＝１２８米，
根据勾股定理可得
ＡＢ＝ AC 2 BC 2 ＝ 160 2 128 2 ＝96（米）． 答： 从点A穿过湖到点B有96米．
练习1
王强等到某海岛上 去探宝旅游，按照探 宝图，他们登陆A点 后先往东走8千米， 又往北走2千米，遇 到障碍后又往西走3 千米，再折向北走到 6千米处往东一拐， 仅走1千米就找到宝 藏，问点A到点B的直 线距离是多少千米?
（2） 已知a＝24， c＝25， 求b． 2. 如果一个直角三角形的两条边长分别 是3厘米和4厘米，那么这个三角形的周长 是多少厘米? 斜边上的高呢？
3.小波家买了一台新彩电,小波量了电视 机的屏幕后，发现屏幕长58厘米和宽46 厘米，就问妈妈彩电是多少英寸,妈妈 告诉他: “我们平常所说的电视机多少 英寸指的是屏幕对角线的长度,1英寸等 于2.54厘米,利用你所学的知识算一下 电视机是多少英寸的?” 你能帮小波算 出来吗？
1. 直角三角形三边的关系(2)
a b
正源学校数学备课组
c
回 顾：
勾股定理：
直角三角形两直角边的 平方和等于斜边的平方.
c a
┏
b
2+b2=c2 a
1、求下列直角三角形中未知边的长:
8 17
x
20
16
5
x
x
12
2、求下列图中表示边的未知数x、y、z的值. 225 225 400 ① 289 ②
4.课本p53练习 第1题；p55习题 第4、5题 作业：课本p55习题 第3题
z
625
576
③
已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值
直角三角形三边的关系
解：如图,在Rt△ABC中, ∠ACB=90゜
AC=12， BC=5,
根据勾股定理得：
12
AB AC2BC2
5
122 52
13
答：要用13米长的直角钢三角丝形三边绳的关才系 能把电线杆固定.
例1如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上， ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直 距离ＡＢ．（精确到0.01米）
（2）等腰直角三角形的三边关系：AC2 + BC2 =AB2
说明:在等腰直角三角形ＡＢＣ中， 两直角边的平方和等于斜小
方
格 表 示
A
R c bQ
Sp 9
SQ 16
1 平 方
B aC
SR 25
Sp SQSR
厘
P
BC2 + AC2 =AB2
米
a2 b2 c2
直角三角形三边的关系
勾股定理： 对于任意的直角三角形，如果 它的两条直角边分别为a、 b，斜边为c， 那么一定有a2＋b2＝c2。
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
b
c
a
勾股定理揭示了直角三
角形三边之间的关系
直角三角形三边的关系
直角三角形两直角边的平方和 等于斜边的平方.
cb
┏
a
a2+b2=c2
直角三角形三边的关系
24m
9m
?
如图，大风将一根木制旗 杆吹裂，随时都可能倒下， 十分危急。接警后“119” 迅速赶到现场，并决定从 断裂处将旗杆折断。现在 需要划出一个安全警戒区 域，那么你能确定这个安 全区域的半径至少是多少 米吗？
直角三角形的关系
直角三角形的关系
直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度（直角）。
直角三角形具有如下关系：
1. 边长关系：直角三角形的两条边与直角边之间有特定的关系。
根据勾股定理，直角边的平方等于直角三角形另外两条边的平方和。
即a² + b² = c²，在此公式中，c表示斜边，a和b分别表示其他两条边。
2. 正弦、余弦和正切关系：直角三角形的三个边与其内角度之间有特定的三角函数关系。
正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）是直角三角形中常用的三角函数。
对于一个直角三角形的角度A：sin(A) = 对边/斜边；cos(A) = 邻边/斜边；tan(A) = 对边/邻边。
3. 特殊比例关系：直角三角形中还存在一些特殊的比例关系。
例如，在一个以斜边长为1的直角三角形中，对边与邻边的比值为较为常见的三角函数值，即sin(A)、cos(A)和tan(A)。
直角三角形的关系和特性在几何学和三角学中有广泛的应用和研究，对于测量、计算和解决实际问题都具有重要意义。
45度角三角形三边关系(二)
45度角三角形三边关系(二)
45度角三角形三边关系
1. 什么是45度角三角形
•45度角三角形是一个直角三角形，其中直角的两条边相等，同时两个非直角的角度也相等，均为45度。
2. 三边关系
•在一个45度角三角形中，三条边之间存在着一些特殊的关系：
斜边与直角边的关系
•斜边：45度角三角形的斜边是直角边的√2倍。
直角边之间的关系
•直角边：45度角三角形的直角边之间相等。
斜边之间的关系
•斜边：两个45度角三角形的斜边相等。
3. 详细解释
斜边与直角边的关系
•在45度角三角形中，直角边的长度为x，则斜边的长度为x∗√2。
这是因为根据勾股定理，斜边的平方等于直角边的平方之和，即
c2=a2+b2。
在45度角三角形中，直角边的长度都相等，假设
为x，所以c2=x2+x2=2x2，即c=x∗√2。
直角边之间的关系
•在45度角三角形中，两个直角边的长度相等。
这是因为直角三角形的两个直角边就是相等的，因为它们都是直角三角形的两个
直角的边。
斜边之间的关系
•在两个45度角三角形中，它们的斜边的长度相等。
这是因为两个45度角三角形除了斜边的长度不同外，其余的边都是相等的。
而根据勾股定理，斜边的长度决定了直角边的长度，所以两个45
度角三角形的斜边长度必须相等。
结论
综上所述，在45度角三角形中，斜边与直角边呈一定的倍数关系，直角边之间相等，斜边之间相等。
这些关系是角度和边长的特殊性质，对于解决一些与45度角三角形相关的问题非常有用。
三角形三个边长的关系
三角形三个边长的关系
在数学中，三角形是一种基本的几何图形，由三条线段组成，它们相交于三个顶点。
三角形的三个边长是三条线段的长度，它们之间有着特定的关系。
三角形的三个边长可以用a、b、c表示，其中a、b、c分别表示三角形的三条边。
根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，即a+b>c、a+c>b、b+c>a。
这个性质被称为三角形的三边不等式。
三角形的三个边长还有一个重要的关系，即勾股定理。
勾股定理是指在一个直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方之和。
即a²+b²=c²（其中c为斜边）。
除了勾股定理，三角形的三个边长还有其他的关系。
例如，海伦公式可以用来计算三角形的面积。
海伦公式是指在已知三角形三边长的情况下，可以通过以下公式计算三角形的面积：
S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
其中，S表示三角形的面积，a、b、c表示三角形的三边长，s表示半周长，即s=(a+b+c)/2。
三角形的三个边长还可以用来判断三角形的形状。
例如，当三角形的三边长相等时，这个三角形被称为等边三角形；当三角形的两边长相等时，这个三角形被称为等腰三角形；当三角形的三边长都不
相等时，这个三角形被称为不等边三角形。
三角形的三个边长之间有着密切的关系，这些关系不仅可以用来计算三角形的面积和判断三角形的形状，还可以用来解决各种数学问题。
因此，学好三角形的三个边长的关系对于数学学习和应用都非常重要。
推导公式直角三角形的三边关系
推导公式直角三角形的三边关系直角三角形是指一个角度为90度的三角形。
在直角三角形中，我们可以通过一些数学公式来描述三边之间的关系。
接下来，我们将一一推导这些公式。
首先，设直角三角形的三边分别为a、b、c，其中c为斜边（即直角三角形的斜边），a、b为直角三角形的两条直角边。
根据勾股定理，我们知道在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
即：c² = a² + b²根据这个公式，我们可以计算出一条直角边的长度，当已知另两条边的长度时。
接下来，我们将推导出其他与直角三角形有关的公式。
1. 正弦定理在任意三角形中，根据正弦定理，我们可以得到以下公式：sin(A) = a / csin(B) = b / c其中A、B为直角三角形中的两个非直角角度。
由于在直角三角形中，一个角度为90度，因此我们可以将上述公式简化为：sin(A) = a / c通过这个公式，我们可以求解直角三角形中的角度。
2. 余弦定理在任意三角形中，根据余弦定理，我们可以得到以下公式：c² = a² + b² - 2ab·cos(C)其中C为直角三角形中的非直角角度。
同样地，由于在直角三角形中，一个角度为90度，因此我们可以将上述公式简化为：c² = a² + b² - 2ab·cos(90°)c² = a² + b²这个公式表示在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
3. 三角函数关系在直角三角形中，还存在着三个基本的三角函数：正弦、余弦和正切。
正弦函数定义为：sin(A) = a / c余弦函数定义为：cos(A) = b / c正切函数定义为：tan(A) = a / b通过这些三角函数，我们可以计算直角三角形中的各个角度。
综上所述，直角三角形的三边关系可以通过勾股定理、正弦定理、余弦定理和三角函数来描述。
14.1.1 直角三角形三边的关系(2)湘教版
4米
3米
应用知识回归生活 王子救公主的故事 y=0
营救方案
小船能漂多远？
应用知识回归生活 y=0
4. 如图,为了求出湖两岸的AB两点之间的距离， 一个观测者在点C设桩，使△ABC恰好为Rt△， 通过测量，得到AC长160米，BC长128米，问从A 点穿过湖到点B有多远？
解：Rt△ABC中，AC=160， BC=128， 根据勾股定理得:
c c
c
a
b
有趣的总统证法
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明， 就把这一证法称为“总统”证法。
C D c
c a
a
A b E
S 梯形 b
B
ABCD
1 （ a b（ a b ) ) 2
1 2 2 （ a b 2 ab ) 2
北
东
C
练一练：
做一个长，宽，高分别为50厘米，40 厘米，30厘米的木箱，一根长为70厘米 的木棒能否放入，为什么？试用今天学 过的知识说明。
30cm 50cm
40cm
小 结：
1图形经过割补拼接后，只要没有空隙，没有 重叠，面积不会改变。
2构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题， 运用勾股定理建立方程求解。
AB
2 2
x
AC
2
2
2
BC
2
2
2
x 160
128
x 96
x 160 128 答：从A点穿过湖到点B有96米。
应用知识回归生活 y=0
5. 假期中，王强和同学到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图 （如图），他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到 障碍后又往西走3千米，再折向北走到6千米处往东一拐，仅走 1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多 少千米?
直角等边三角形的三边关系
直角等边三角形的三边关系
直角等边三角形是一种特殊的三角形，它的三个内角分别为90度、45度和45度，同时它的三条边长度相等。
这篇文章将会探讨直角等边三角形的三边关系。
首先，我们来看直角等边三角形的边长关系。
由于直角等边三角形的三个角分别为90度、45度和45度，所以我们可以利用三角函数来计算其边长。
设直角等边三角形的边长为a，则有：
sin 45° = a / √2
cos 45° = a / √2
tan 45° = a / a = 1
因此，直角等边三角形的边长为a = √2。
也就是说，直角等边三角形的三条边长度都为√2。
接下来，我们来看直角等边三角形的面积。
直角等边三角形的面积可以用勾股定理计算。
设直角等边三角形的直角边长为a，则有： a + a = 2a
√2a = a√2
因此，直角等边三角形的面积为S = 1/2 × a × a = 1/2 × a = 1/2 × (a√2)/2 = a/4 = 1/2。
最后，我们来看直角等边三角形的周长。
由于直角等边三角形的三条边长度都为√2，所以它的周长为3√2。
综上所述，直角等边三角形的三边关系可以总结为：三条边长度相等，为√2；面积为1/2；周长为3√2。
这些关系可以帮助我们更
好地理解和计算直角等边三角形的性质和应用。
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直角三角形三边的关系（2） 知识点复习 1、勾股定理的运用技巧： （1）在直角三角形中，已知两边长，求第三边，利用开方形式，即：22c a b =+或
22b c a =-。
（2）在直角三角形中，已知一边长，另两边的数量关系也已知时，通常可设其中一边为x ，
利用勾股定理列方程求解。
2、勾股定理只适用于直角三角形，实际问题中常通过添加辅助线，建立直角三角形模型求解。
分层递进
A 层练习
1、若等腰直角三角形的斜边长为2cm,则它的直角边的长为（ ）
A 、1cm
B 、2cm
C 、22cm
D 、2cm
（第2题）
2、如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，若BD=10cm ，BC=8cm ，则点D 到直线AB 的距离是（ ）
A 、5cm
B 、6cm
C 、8cm
D 、10cm
3、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=c ，BC=a ，AC=b ，若a ︰b=3︰4，c=15，则a= ， b= 。
4、有一块土地形状如图所示，其中∠B=∠D=90°，AB=20m ，BC=15m ，CD=7m ， 求这块土地的面积。
5、如图，在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1m ，一阵风吹来，红莲吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m ，问：该处的水深是多少米？
B 层练习
6、如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC ，
顶点分别在相互平行的三条直线1l 、2l 、3l 上，
且1l 、2l 之间的距离为1，2l 、3l 之间的距离为3，
则AC 的长为（ ）
A 、10
B 、5
C 、7
D 、52
7、如图，小新同学折叠一个直角三角形的纸片，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，若已知AC=8cm ，BC=6cm ，求CE 的长。
C 层练习
8、如图，铁路上A 、B 两站（视为直线上的两点）相距25km ，C 、D 为两村庄（视为两点），DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C 、D 两村庄到E 站的距离相等。
（1）试用尺规作图，在图中画出E 站的位置；
（2）问：E 站应建在距A 站多远处？。