2019年全国高考文科数学分类汇编---解析几何

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1.(2019北京文科)已知双曲线2

221x y a

-=(a >0则a =

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A.

B. 4

C. 2

D.

12

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【答案】D 【解析】 【分析】

本题根据根据双曲线的离心率的定义,列关于a 的方程求解.

【详解】 ∵双曲线的离心率c

e a

=

=,c =,

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=,

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解得12

a = , 故选D.

【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义,双曲线中a,b,c 的关系,方程的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

2.(2019北京文科)设抛物线y 2

=4x 的焦点为F ,准线为l .则以F 为圆心,且与l 相切的圆的方程为__________. 【答案】(x -1)2+y 2

=4.

【解析】 【分析】

由抛物线方程可得焦点坐标,即圆心,焦点到准线距离即半径,进而求得结果.

【详解】抛物线y 2

=4x 中,2p =4,p =2,

焦点F (1,0),准线l 的方程为x =-1, 以F 为圆心,

且与l 相切的圆的方程为 (x -1)2+y 2=22,即为(x -1)2+y 2

=4.

【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标,抛物线的准线方程,直线与圆相切的充分必要条件等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

3.(2019北京文科)已知椭圆22

22

:

1x y C a b +=的右焦点为(1,0),且经过点(0,1)A .

(Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)设O 为原点,直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ,Q ,直线AP 与x 轴交于点M ,直线AQ 与x 轴交于点N ,若|OM |·|ON |=2,求证:直线l 经过定点.

【答案】(Ⅰ)2

212

x y +=;

(Ⅱ)见解析. 【解析】 【分析】

(Ⅰ)由题意确定a ,b 的值即可确定椭圆方程;

(Ⅱ)设出直线方程,联立直线方程与椭圆方程确定OM ,ON 的表达式,结合韦达定理确定t 的值即可证明直线恒过定点.

【详解】(Ⅰ)因为椭圆的右焦点为(1,0),所以

12

25

; 因为椭圆经过点(0,1)A ,所以1b =,所以2

2

2

2a b c =+=,故椭圆的方程为2

212

x y +=.

(Ⅱ)设1122(,),(,)P x y Q x y

联立2

212(1)x y y kx t t ?+=???=+≠?

得222

(12k )4220x ktx t +++-=,

2121222

422

0,,1212kt t x x x x k k -?>+=-=++,121222()212t y y k x x t k +=++=+,22

2

2

1212122

2()12t k y y k x x kt x x t k

-=+++=+. 直线111:1y AP y x x --=

,令0y =得111x x y -=-,即1

11

x OM y -=-; 同理可得2

21

x ON y -=

-. 因为2OM ON =,所以

1212

121212211()1

x x x x y y y y y y --==---++;

22

1

121

t t t -=-+,解之得0t =,所以直线方程为y kx =,所以直线l 恒过定点(0,0). 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时,要注意:

(1)注意观察应用题设中的每一个条件,明确确定直线、椭圆的条件;

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.

4.(2019全国1卷文科)双曲线C :22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的 一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为

A. 2sin40°

B. 2cos40°

C.

1

sin50?

D.

1

cos50?

【答案】D 【解析】 分析】

由双曲线渐近线定义可得tan130,tan 50b b a a -=?∴=?

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,再利用c e a == 【详解】由已知可得tan130,tan 50b b

a a

-

=?∴=?,

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1cos50c e a ∴======?,故选D . 【点睛】对于双曲线:()222210,0x y a b a b -=>>,

有c e a ==对于椭圆()222210x y a b a b +=>>,

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有c e a ==

5.(2019全国1卷文科)已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -(),(),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若

222AF F B =││││,1AB BF =││││,则C 的方程为

A. 2

212

x y +=

B. 22132x y +=

C. 22

143

x y +=

D. 22

154

x y += 【答案】B 【解析】 分析】

由已知可设2F B n =,则212,3AF n BF AB n ===,

得12A F n =,在1A F B △中求得11

cos 3

F AB ∠=,再在12AF F △

中,由余弦定理得2

n =

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,从而可求解. 【详解】法一:如图,由已知可设2F B n =,则212,3AF n BF AB n ===,由椭圆的定义有

121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=.在1A F B △中,由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==??.在12

AF F △中,由余弦定理得22

14422243n n n n +-???=,

解得2

n =.

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2

2

2

24312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22

132

x y +=,故选B .

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法二:由已知可设2F B n =,则212,3AF n BF AB n ===,由椭圆的定义有

121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=.在12AF F △和12BF F △中,由余弦定理得

222122

2144222cos 4,

422cos 9n n AF F n n n BF F n

?+-???∠=?+-???∠=?,又2121,AF F BF F ∠∠互补,2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=,两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,,得223611n n +=

,解得

2

n =

.222

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24,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=,故选B .

【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质,考查数形结合思想、转化与化归的能力,很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.

6(2019全国1卷文科).已知点A ,B 关于坐标原点O 对称,│AB │ =4,⊙M 过点A ,B 且与直线x +2=0相切.

(1)若A 在直线x +y =0上,求⊙M 的半径.

(2)是否存在定点P ,使得当A 运动时,│MA │-│MP │为定值?并说明理由.

【答案】(1)2或6; (2)见解析. 【解析】 【分析】

(1)设(),A t t -,(),B t t -,根据4AB =,可知t =

M 必在直线y x =上,

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可设圆心(),M a a ;利用圆心到20x +=的距离为半径和MA MB r ==构造方程,从而解出r ;(2)当直线AB 斜率存在时,设AB 方程为:y kx =,由圆的性质可知圆心M 必在直线1

=-y x k

上;假设圆心

坐标,利用圆心到20x +=的距离为半径和r MA ==

构造方程,解出M 坐标,可知M

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轨迹为抛物线;利用抛物线定义可知()1,0P 为抛物线焦点,且定值为1;当直线AB 斜率不存在时,求解出M 坐标,验证此时()1,0P 依然满足定值,从而可得到结论.

【详解】(1)

A 在直线2

2gR r

上 ∴设(),A t t -,则(),B t t -

又4AB = 2816t ∴=,解得:t =

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M 过点A ,B ∴圆心M 必在直线y x =上

设(),M a a ,圆的半径为r

M 与20x +=相切 2r a ∴=+

又MA MB r ==,即((2

2

2

a a r ++=

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((

()2

2

2

2a a a ∴+=+,解得:0a =或4a =

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当0a =时,2r =;当4a =时,6r =

M ∴的半径为:2或6

(2)存在定点()1,0P ,使得1MA MP -= 说明如下:

A ,

B 关于原点对称且4AB =

∴直线AB 必为过原点O 的直线,且2OA =

①当直线AB 斜率存在时,设AB 方程为:y kx =

M 的圆心M 必在直线1

=-y x k

设(),M km m -,

M 的半径为r

M 与20x +=相切 2r km ∴=-+

又r MA ==

=

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2km ∴-+=,整理可得:24m km =-

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即M 点轨迹方程为:2

4y x =,准线方程为:1x =-,焦点()1,0F

MA r =,即抛物线上点到2x =-的距离 ∴1MA MF =+ 1MA MF ∴-=

∴当P 与F 重合,即P 点坐标为()1,0时,1MA MP -=

②当直线AB 斜率不存在时,则直线AB 方程为:0x =

M \在x 轴上,设(),0M n

2n ∴+=,解得:0n =,即()0,0M

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若()1,0P ,则211MA MP -=-=

综上所述,存在定点()1,0P ,使得MA MP -为定值.

【点睛】本题考查圆的方程的求解问题、圆锥曲线中的定点定值类问题.解决本定点定值问题的关键是能够根据圆的性质得到动点所满足的轨迹方程,进而根据抛物线的定义得到定值,进而验证定值符合所有情况,使得问题得解.

7.(2019全国2卷文科)若x 1=4π,x 2=34

π

是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点,则ω= A. 2 B. 32

C. 1

D. 12

【答案】A 【解析】 【分析】

从极值点可得函数的周期,结合周期公式可得ω. 【详解】由题意知,()sin f x x ω=的周期232(

)44

T ω

π

ππ

=

=-=π,得2ω=.故选A . 【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期,渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取公式法,利用方程思想解题.

8.(2019全国2卷文科)若抛物线y 2

=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y p

p

+

=的一个焦点,则p =

A. 2

B. 3

C. 4

D. 8

【答案】D 【解析】 【分析】

利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程,即可解出p ,或者利用检验排除的方法,如2p =时,抛物线焦点为(1,0),椭圆焦点为(±2,0),排除A ,同样可排除B ,C ,故选D .

【详解】因为抛物线2

2(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆

2231x y p p +=的一个焦点,所以23()2

p

p p -=,解得8p =,故选D .

【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质,渗透逻辑推理、运算能力素养.

9.(2019全国2卷文科)设F 为双曲线C :22

221x y a b

-=(a >0,b >0)的右焦点,O 为坐标原点,以OF 为

直径的圆与圆x 2+y 2=a 2

交于P 、Q 两点.若|PQ |=|OF |,则C 的离心率为

A.

B.

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C. 2

D.

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【答案】A 【解析】 【分析】

准确画图,由图形对称性得出P 点坐标,代入圆的方程得到c 与a 关系,可求双曲线的离心率. 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ,由对称性可知PQ x ⊥轴,

||PQ OF c ==,||,2

c

PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径,

A ∴为圆心||2

c

OA =.

,22c c P ??

∴ ???

,又P 点在圆222x y a +=上,

22244c c a ∴+=,即2222

2,22c c a e a

=∴==.

e ∴=A .

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【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解,难度适中,审题时注意半径还是直径,优先考虑几何法,避免代数法从头至尾,运算繁琐,准确率大大降低,双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题,需强化练习,才能在解决此类问题时事半功倍,信手拈来.

10.(2019全国2卷文科)已知12,F F 是椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的两个焦点,P 为C 上一点,O 为

坐标原点.

(1)若2POF V 为等边三角形,求C 的离心率;

(2)如果存在点P ,使得12PF PF ⊥,且12F PF △的面积等于16,求b 的值和a 的取值范围.

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【答案】(1) 1e =;(2)4b =,a 的取值范围为)+∞. 【解析】 【分析】

(1)先连结1PF ,由2POF V 为等边三角形,得到1290F PF ∠=,2PF c =,1

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PF =;再由椭圆定义,即可求出结果;

(2)先由题意得到,满足条件的点(,)P x y 存在,当且仅当12162y c ?=,

1y y x c x c ?=-+-,22221x y a b

+=,根据三个式子联立,结合题中条件,即可求出结果.

【详解】(1)连结1PF ,由2POF V 为等边三角形可知:在12F PF △中,1290F PF ∠=,2PF c =,

1PF =,

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于是122a PF PF c =+=,

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故椭圆C 的离心率为1

c e a =

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==; (2)由题意可知,满足条件的点(,)P x y 存在,当且仅当12162y c ?=,

1y y x c x c ?=-+-,22

221x y a b

+=, 即16c y = ①

222x y c += ②

22

221x y a b

+= ③ 由②③以及2

2

2

a b c =+得42

2b y c =,又由①知22

216y c

=,故4b =;

由②③得22

2

22()a x c b c

=-,所以22c b ≥,从而2222232a b c b =+≥=,故a ≥;

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当4b =,a ≥P .

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故4b =,a 的取值范围为)+∞.

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【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率,以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题,熟记椭圆的简单性质即可求解,考查计算能力,属于中档试题.

11.(2019全国3卷文科)已知F 是双曲线22

:145

x y C -=的一个焦点,点P 在C 上,O 为坐标原点,若

=OP OF ,则OPF 的面积为( )

A.

32

B.

52

C.

72

D.

92

【答案】B 【解析】 【分析】

设()00,P x y ,因为=OP OF 再结合双曲线方程可解出0y ,再利用三角形面积公式可求出结果.

【详解】设点()00,P x y ,则22

00145

x y -=①.

又3OP OF ===,

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22009x y ∴+=②.

由①②得2

025

9

y =

, 即053

y =

, 0115532232

OPF S OF y ?∴=

=??=, 故选B .

【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅。

12.(2019全国3卷文科)设12F F ,为椭圆22

:+13620

x y C =的两个焦点,M 为C 上一点且在第一象限.若

12MF F △为等腰三角形,则M 的坐标为___________.

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【答案】( 【解析】 【分析】

根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、

,设出M 的坐标,结合三角形面积可求出M 的坐标. 【详解】由已知可得2

2

2

2

2

36,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=,

11228MF F F c ∴===.∴24MF =.

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