分析力学试题与标答

武汉理工大学考试试题纸（ A 卷）

课程名称 分析力学

专业班级 工力0901、02、1001、

备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)

一、试推导质点系理想约束情况下的动力学普遍方程，并写出解析表达式。(10分)

二、已知均质杆A 1B 1和A 2

B 2杆重为P 1和P 2，不计各处摩擦，试用虚位移原理求平衡时α、β角应满足的关系。（20分）

三、均质圆柱体半径R ，质量为M ，沿直线轨道做无滑动滚动，在圆心用铰链连接一长为l 的刚性杆OA ，不计杆的质量，杆的A 端有一质量为m 的小球，构成一单摆。试用拉格朗日方程求系统的运动微分方程，并写出其初积分。（30分）

四、具有水平轨道的管子可绕铅直轴转动，质量为m 的小球无摩擦地沿管子滑动。管子的转动惯量为J =

mR 2

，作用在小球上的力具有势函数V (r )。试用哈密顿正则方程建立系统的运动微分方程。（15分）

五、质量为m 的物体放在光滑水平面上，刚性系数为k 的弹簧水平放置，一端与物块相连，另一端固结在竖直墙面上，试由哈密顿原理求物体的振动微分方程。（10分）

六、图示均质杆OA 长

l =3m ，质量为m =2kg ；O 为铰链，A 端连一弹簧，刚度系数为k =4N/m 。弹簧原长为l 0=1.2m ，h =3.6m 。试用势力场质点系的平衡条件求平衡时的角度θ，并讨论平衡的稳定性。（15分）

2

1 x

A

武汉理工大学教务处

试题标准答案及评分标准用纸

课程

分析力学 （ A 卷）

1、 解：质系n 个质点，第i 个质点质量m i ，主动力合力F i ，约束反力F Ni ，惯性力F gi =-ma i

由达朗伯原理 0=++gi Ni i F F F

（3分）

给质点系一虚位移，第i 质点的虚位移为i r

δ，

由虚位移原理 0)(=?++i gi Ni i r F F F

δ （3分）

对上式求和

0)(=?++∑

i gi Ni i r F F F

δ

理想约束情况下 0=?∑

i Ni r F

δ （2分）

于是有

0)(=?+∑

i gi i r F F

δ 或

0)(=?-∑

i i i i r a m F

δ （1分）

解析表达式为

0)()()(=?-+?-+?-∑i i i i i i i i i i i i

z z m Z y y m Y x x m X

δδδ （1分）

2、 解：以系统为研究对象，单自由度，以α为广义坐标。

αsin 2

111l y C =

βs i n 2

122l y C =

αδαδcos 2

111l y C =

βδβδc o s 2

122l y C =

（4分）

由虚位移原理02211=--C C y P y P δδ （4分）

0cos 2

cos 2

22

11

=--βδβαδαl P l P （2分）

而L l l =+βαcos cos 21 （4分） 两边求变分0sin sin 21=--βδβαδαl l 即 δαβ

αδβsin sin 21l l -

= （2分）

0)sin sin cos 2cos 2

(2122

11

=+-δαβ

αβ

αl l l P l P

0≠?δα 0s i n s i n c o s 2

c o s 2

2122

11=+-β

αβ

αl l l P l P （2分）

βαtan tan 2

1P P =

（2分）

3、 解：系统有两个自由度，以x 、φ为广义坐标

?sin l x x A += ?c o s l y A -=

??cos l x x A += ??s i n l y A = （4分） )cos 2(2

1)(21

2122

222

??? x l l x

m r x J x

M T O ++++=

（2分） 以x 轴为零势能位置，?cos mgl V -= （2分）

????cos )cos 2(2

14322

22

mgl x l l x

m x

M V T L ++++=-= （2分） ??cos )2

3(

ml x

m M x

L ++=?? 0=??x

L （4分）

??

?

cos 2

x ml ml L +=?? ????s i n s i n m g l x

ml L --=?? 带入拉格朗日方程

0)(

=??-??k

k q L q

L dt

d 有 （2分）

0sin cos )2

3(2

=-++????

ml ml x m M （2分） 0sin cos =++???g x

l （2分） 定常约束，保守系统，有能量积分 （5分）

E mgl x l l x

m x

M V T =-+++=

+????cos )cos 2(2

14322

22

x 为可遗坐标，有循环积分 （5分）

C ml x

m M '=++??cos )2

3( 4、解：系统有两个自由度，以管子转角φ、r 为广义坐标 （2分）

2

222

22

22

)(2

12

1)(2

121?

??

r R m r

m r r

m J T ++=++=

（3分） ?

?? )(2

2r R m T p +=??=

)(2

2

r R m p +=?

? （4分）

r m r

T p r =??=

m

p r r =

)()(21)()(2

12

12

2

2

2

2

22

2

02r V R

r p p m

r V r R m r

m V T T H r +++

=+++=

+-=?

?

（2分）

由哈密顿正则方程有

)(2

2

R r m p p H +=

??=?

??

0=??-=??H p

m

p p H r r r

=

??= dr

dV R r m rp r

H p

r -

+=

??-=2

2

2

2

)

(?

（4分）

5、解：单自由系统，以弹簧伸长为广义坐标，原长为零势能位置

2

2

2

121kx x

m V T L -=

-= （2分）

则哈密顿作用量为?

=

2

1

t t Ldt S （2分）

由哈密顿原理，0=S δ

02

1

2

1

2

1

2

1

=-=

=

?

?

?

?

t t t t t t t t xdt kx dt x x

m Ldt dt L δδδδ

（2分）

式中，?

?

-

=2

1

2

1

21

t t t t t t xdt x

x x dt x x δδδ （2分） 而02

1==t t δ?

δ? ， （1分）

故

?

?-=2

1

2

1

t t t t xdt x dt x x δδ

代回原式，有 0)(2

1

=+?

t t xdt kx x

m δ 其中x δ是独立的任意变量，系统的微分方程为

0=+kx x

m （1分） 6、解：单自由度，θ为广义坐标。设B 处为重力零势能点，弹簧原长为弹性势能零势能位置。

θcos 22

2hl h l AB -+= 2

0)(2

1cos 2

1l AB k mgl V -+

=

θ （2分）

??

?

???-+-=)1(21

sin 0

AB l khl mgl d dV

θθ （2分） 令

0=θ

d dV

σθθ=?????

?

??

?????

????? ??--+==hl mgl hlk k hll l h 2121cos ,0sin 2

02

2 （3分） 因而有三个平衡位置

9.68arccos ,,0321====σθπθθ （3分）

3

2

22

2sin )1(2

1

cos AB

hkll AB l khl mgl d V d +??

?

???-+-=θθ

（2分）

01=θ l h AB -=

0<22

d d θ

V 不稳定平衡， （1分）

πθ=2 l h AB +=

0<2

2d d θ

V 不稳定平衡， （1分）

σθarccos 3=

0>2

2

d d θ

V ，稳定位置。 （1分）