分析力学习题
第15章虚位移原理
解题的一般步骤及应注意的问题
１．解题的一般步骤
（１）根据题意，分清所分析的问题是属于哪一类问题
①求平衡条件；
②求约束反力；
③求桁架内力。
（2）分析约束的性质, 画主动力的受力图.
①系统以外的物体对它的作用力；
②非理想约束的约束反力；
③因解除约束而“转化”为主动力的约束反力或内力。
（3）确定系统的自由度，应包括因解除约束而增加的自由度。选择合适的坐标做广义坐标。
（4）给出系统的虚位移，采用如下方法计算主动力作用点的虚位移与广义坐标虚位移间的关系：
①几何法：运用运动学中分析速度的方法，进行计算。
②分析法：先选一静坐标系，用广义坐标写出主动力（力矩）作用点的坐标分析表达式，然后再对广义坐标取变分，进行计算。
（5）建立虚功方程，计算各主动力在给定虚位移中的虚功，建立虚功方程，确定平衡条件，求出待求的参量。
2.应注意的问题
1应用虚位移原理，一般都是以整个系统为研究对象，不宜选取分离体。
2计算弹性力在虚位移中的虚功时，弹性力的大小与虚位移的大小无关。
3在计算转动刚体（或平面运动刚体）上的主动力的虚功时，如果把主动力的虚功转化为主动力对转动轴（或瞬时转动轴）之力矩的虚功，可能简便些。
三、典型例题分析
例1 图示曲柄连杆机构, 在曲柄OA上作用一力偶矩为M的力偶, 欲使机构在图示位置保持平衡, 试求加于滑块B上的水平力P应为多大? 已知OA=a, AB=b, 在图示位置AB与水平线的夹角α=30o
解: 这是属于求主动力的平衡条件的问题。作用于系统和主动力有Ｐ和Ｍ。系统受完整约束，有一个自由度，当机构有虚位移时，ＯＡ作定轴转动，曲柄ＡＢ作平面运动，滑块Ｂ作平动。令ＯＡ杆的虚位移为δ?，则Ａ点虚位移为δr A, B点虚位移为δr B, AB杆的虚位移为绕瞬心C的微小转角δψ, 机构的虚位移如图。
根据虚位移原理得：
Ｐδr B－Ｍδ?＝０（１）
3
r , A B δ?δδδψδδψδ?δa AC BC r BC r AC a r B A ==∴===
代入（１）式得：03
=-δ?δ?M a P
a
M P 30=
∴≠δ? 15-1 图示曲柄式压缩机的销钉B 上作用有水平力F ，此力位于平面ABC 内。作用线平分ABC ∠。设AB = BC ，θ2=∠ABC ，各处摩擦及杆重不计，求对物体的压缩力。 解：令B 有虚位移AB B ⊥r δ，而C 有铅直向上的虚位移C r δ，如图（a ）。将B r δ及C r δ向BC 方向投影，为简单起见，以B r δ表示B r δ的绝对值B r δ，以C r δ表示C r δ，则有
)902cos(δ)90cos(δ?-=-?θθB C r r
即 θ
cos 21
δδ=C B r r （1） 由虚位移原理得 0δsin δN =-C B r F r F θ
θ
sin δδN F F r r C B = （2） 将式（1）代入（2）得 θtan 2
N F
F =
15-3 挖土机挖掘部分示意如图。支臂DEF 不动，A 、B 、D 、E 、F 为铰链，液压油缸AD 伸缩时可通过连杆AB 使挖斗BFC 绕F 转动，EA = FB = a 。当?==3021θθ时杆DF AE ⊥，此时油缸推力为F 。不计构件重量，求此时挖斗可克服的最大阻力矩M 。
解：由虚功原理： 0δδcos 1=-??θM r F A （1） 式中
a
r B
δδ=
? （2）
A 、
B 的虚位移向AB 投影 22sin δcos δθθB A r r =
2tan δδθB A r r =
（3）
式（2），（3）代入（1）得 0δδtan cos 21=?-??a
r M r F B
B θθ
Fa M Fa M 2
1,sin ,30221=
=?==θθθ 15-5 在图示机构中，当曲柄OC 绕O 轴摆动时，滑块A 沿曲柄滑动，从而带动杆AB 在铅直导槽K 内移动。已知：OC = a ，OK = l ，在点C 处垂直于曲柄作用一力F 1；而在点B 沿BA 作用一力F 2。求机构平衡时F 2与F 1的关系。
解：用解析法解，选取?为广义坐标，则滑块A 的约束方程
?tan l y A =
??δsec δ2
l y A = （1）
由虚位称原理
0δδ)(21=+-A y F a F ? （2）
把式（1）代入（2）得 0δsec δ2
21=+-???l F a F
因 0δ≠?，于是有 0sec 2
21=+-?l F a F
故 ?
221cos a l F F
=
15-7 图示滑套D 套在光滑直杆AB 上，并带动杆CD 在铅直滑道上滑动，已知?=0θ时弹簧为原长，弹簧刚性系数为5 kN/m 。求在任意位置平衡时，应加多大的力偶矩M ？ 解：解除弹簧约束，代之以弹性力F 及F '。
已知0=θ时弹簧原长为0.3 m ，在任意θ角时，弹簧)cos 3
.06.0(θ
-=-=AD AB DB ，此时弹簧的缩短量为)3.0cos 3
.0(3.0-=-θ
DB 。 故弹性力 F F '=)3.0cos 3
.0(
-=θ
k 取x 轴沿AB 杆，设D 点沿杆的坐标为x D ，而选取θ为广义坐标，则滑块D 的约束方程为
θcos 3.0=
D x ，θθ
θ
δcos sin 3.0δ2=D x 另外有 x B = 常量，0δ=B x
由虚位移原理
0δδ)(=+-θM x F D 把F 及D x δ的表达式代入上式得
0δδcos sin 3.0)3.0cos 3.0(2=+?--θθθ
θθM k
θ
θ
θ2
cos sin 3.0)1cos 1(3.0?-?=k M 把k = 5000 N/m 代入求得 m N cos )
cos 1(sin 4503?-=θ
θθM
15-9 在图示机构中，曲柄AB 和连杆BC 为均质杆，具有相同的长度和重量W 1。滑块C 的重量为W 2，可沿倾角为θ的导轨AD 滑动。设约束都是理想的，求系统在铅垂面内的平衡位置。
解：取?为广义坐标，另作坐标系Axy ，设AB = BC = l 因 )sin(2
1?θ+=
l
y
θ
?θθ?θ?θ?θsin cos 2sin )
(2
sin cos 2)sin(2sin 2l AC y l
l l AC y C ==-+=-+= 对坐标的变分：
?
θ??
θ?θ??
?θδsin sin 2δδ)cos(2sin sin 2δδ)cos(2
δ21l -y l l y l
y C =??
?
???-+-=+
=
由虚位移原理
0δδδ22111=++C y W y W y W 即 0δsin sin 2)cos(2sin sin 2)cos(221=?
?????
-???
???-+
-+?θ?θ?θ??θl W l l l W 因0δ≠?，故有
0sin sin 2)cos(2sin sin 2)cos(221=-??
?
???-+-+θ?θ?θ??θl W l l l W
即
1cot cot 2
1
sin sin 2sin sin 2cos cos 12-=-=?θ?θ?θ?θW W 故 θ?cot )
(2tan 211
W W W +=
15-11 图示均质杆AB 长为2l ，一端靠在光滑的铅直墙壁上，另一端放在固定光滑曲面DE 上。欲使细杆能静止在铅直平面的任意位置，问曲面的曲线DE 的形式应是怎样的？ 解：作坐标系Dxy ，由于杆AB 只受主动力W 作用，根据虚位移原理 0δ=C y W 0≠W 0δ=C y ，故
y C = 常量
杆在铅直位置时y C 0 = l ， y C = l 杆在任意位置时y C = y A + l cos ?， 即 ?cos l y l A +=
?
?sin 2)cos 1(l x l y A A =-=
消去?得DE 曲线方程
1)(42
2
22
=-+l y l l x A A 由方程知 ，DE 曲线为中心在（0，l ）长短半轴分别为2l 和l 的椭圆的一部分。如坐标系Dxy 向上平移l 距离，则DE 曲线方程与书中答案一致。
15-13 半径为R 的滚子放在粗糙水平面上，连杆AB 的两端分别与轮缘上的A 点和滑块B 铰接。现在滚子上施加矩为M 的力偶，在滑块上施加力F ，使系统于图示位置处平衡。设力F 为已知，忽略滚动摩阻和各构件的重量，不计滑块和各铰链处的摩擦，试求力偶矩M 以及滚子与地面间的摩擦力F s 。 解：作功力M ，F ，虚功方程为：
0δ2δ=-B A
s F R
s M
A s δ，
B s δ向AB 投影： ?=45cos δδB A s s
0δ)2/(δ2
2
=-?
B B s F R s M M = 2RF 0=∑x F
， F s = F
15-15 试用虚位移原理求图示桁架中杆3的内力。 解：将BD 杆解除代之以力F 及F '。
令C 点有虚位移C r δ，则B 点必有虚位移B r δ D 点必有虚位移D r δ，如图（a ）。
由虚位移原理
0δ90cos δδP =-?'+D D B r F r F r F 即
P
δδF F r r B D = （1）
由图（a ）可见，ACD 框的转轴在A 点， CB 杆的瞬心在E 点 故 AC AD
r r C D =δδ 及
EB
EC
r r B C =δδ 所以 16363
66δδδδδδ2
222=+?+=?=B C C D B D r r r r r r （2）
由式（1）、（2）得 P F F F ='=（拉力）
例15-4 在水平面内运动的行星齿轮机构如图15-4所示。均质系杆OA 的质量为m 1，它可绕端点O 转动，另一端装有质量为m 2，半径为r 的均质小齿轮，小齿轮沿半为R 的固定大齿轮纯滚动。当系杆受力偶M 的作用时，试求系杆的角加速度。
图15-4
【解】 机构具有一个自由度，选系杆的转角φ为广义坐标。设系杆对O 轴的转动惯量为J O ，小齿轮对其质心A 的转动惯量为J A ，小齿轮的绝对角速度为，则A 点的速度为
小齿轮的角速度
系统的动能等于系杆的动能和小齿轮的动能之和，即
与广义坐标对应的广义力
将上两式代入拉氏方程
例题2 三铰拱如图所示,求支座B 的约束反力。
解: (1)求支座B 的铅垂反力, 解除支座B 的铅垂约束,代之约束反力Y B ,如图所示, 该系统有一个自由度: AC 绕A 定轴转动, BC 做平面运动, 瞬心为A, 画虚位移图如图。
利用虚位移图，δr C =(AC )δθ1 =(AC )δθ2
δθ1 = δθ2 = δθ 利用虚位移图计算虚功 δW (m ) = m δθ1
δW (P ) = aP δθ2
由虚位移原理，m δθ+ aP δθ -2aY B δθ = 0
A
2
2P a m Y B +=
(2)求支座B 的水平反力, 解除支座B 的水平约束, 代之约束反力X B ,如图所示, 该系统有一个自由度: AC 绕A 定轴转动,
BC 做平面运动, 瞬心为I , 画虚位移图如图。 利用虚位移图得:
δr C = (AC ) δθ1 = (IC )
δθ1 = δθ2 = δθ 利用虚位移图计算虚功 δW (m ) = m δθ1 δW (P ) = aP δθ2 δW (X B ) = 2aX B δθ2 由虚位移原理得:
m δθ1+
aP δθ2+2aX B δθ2=0
例题=15kN, M =40kN?m,求固定端支座A
2
2P a m Y B +
= P
2
2P a m X B --
=P
M A =7.685kN ?m
(2)求固定端支座A 的水平反力, 解除固定端约束,代之以水平反力X A 和滑块A , 该滑块固结
于A 端， 只能水平方向自由滑动，如图所示, 作用在系统上的主动力有X A 、M 、P 1、P 2以及均布荷载的合力Q 。该系统有一个自由度: AB 做平动, CD 做定轴转动，BC 做平面运动，瞬心为I 。
画虚位移图如图。由虚位移图得：δr A =δ
BI=8，
A
A
r CD IC r δδθδθδδθ
18121===
由虚位移原理得:
解: (1)求固定端支座A 的反力偶, 解除固定端约束,代之反力偶M A
和固定铰支座A , 如
图所示, 作用在系统上的主动力有M A
、M 、P 1
、P 2
以及均布荷载的合力Q 。该系统有一
个自由度: AC 绕A 定轴转动, BC 做平面运动, 瞬心为I , 画虚位移图如图。
δr B =(AB )δθ1 =(BI )δθ2 δθ2 =
BI
AB
δθ1=1.25δθ1 δW (M ) = M δθ3 利用虚位移图得: δW (P 1) = -2P 1δθ1
δW (M A ) = M A δθ1 δW (P 2) = -P 2?
2.123?δW (Q ) =-Q ?1δθ1
由虚位移原理得: M A δθ1+ M δθ3-2P 1δθ1+(-P 22.123?δθ2+ P 2?6.12
1
?δθ2)-Q δθ1=0 δr C =(IC )δθ2=(CD )δθ3
02
1
22321212=-??-??
-?+?δθδθδθδδM BI P P rA Q rA X A
02
232
1=
--A
A A A r P r P r Y δδδ
例4 求图示桁架1、２杆的内力。
δW (S 1) = - 0.87aS 1δθ1 δW (P
) = - aP δθ1 δW (P ) = -2aP δθ1 δW (S 2) = - 0.87aS 2δθ2 由虚位移原理得:
0.87aS δθ1 - aP δθ1 - 2aP δθ1
S 1 = 1.15P
Y A = 16.495kN
由虚位移原理得:
解：(1) 求1杆的内力S 1，解除1杆，用内力S 1和S '1
代替（假设为拉力），如图所示, 作用在系统上的主动力有P 、P 、S 1
和S '1
。该系统有一个自由度: ADEFG 做定轴转动, BFH 做
平面运动， 瞬心在B 点。
画虚位移图如图。利用虚位移图得: (3)求固定端支座A 的铅直方向的反力Y A , 解除固定端约束,代之以铅直反力Y A 和滑块A , 该滑块固结于A 端， 只能铅直方向自由滑动，如图所示, 作用在系统上的主动力有Y A 、M 、P 1、P 2以及均布荷载的合力Q 。该系统有一个自由度: AB 做平动, BC 做平面运动， 瞬心在C 点。CD 不动。 画虚位移图如图。 解得：X A
=17.547kN
δδr F =2a δθ1 = a δθ2 2δθ1
= δθ2
利用虚位移图计算虚功
利用虚位移图得:
S G = S F = S =s2=0
02
3
33311=δθ+
δθ-δθ+δθF G aS aP aS aP 1
3)(δθ=δG G aS S W (2) 求2杆的内力S 2，解除2杆，用内力S 2和S '2代替（假设为拉力），如图所示, 作用在系统上的主动力有P 、P 、S 2和S '2。该系统有一个自由度: ADEG 做定轴转动, BFH 做平面运动，瞬心在B 点（因为B 点的速度沿水平方向， EF 做平面运动，F 点的速度等于随E 点平动的速度和绕E 点转动的速度，而这两个分速度均沿铅直方向， 所以F 点的速度沿铅直方向，由此可定出BFH 部分的瞬心在B 点）。GH 做平面运动，瞬心在I 1点，EF 做平面运动， 瞬心在I 2点。画虚位移图如图。
δr G =AG δθ1 =I 1G δθ2 δr H =I 1H δθ2=BH δθ3
δθ1 = δθ3
利用虚位移图计算虚功δW (P ) =aP δθ1 δW (P ) = - aP δθ3
32
3
)(δθ=
δF F aS S W
理论力学试题库
《理论力学》试题库 一、判断体： 1.没有参照系就无法描述物体的位置和运动。 2.经典力学可分为牛顿力学和分析力学两大部分。 3.运动是绝对的，而运动的描述是相对的。 4.相对一个惯性系运动的参照系一定不是惯性系。 5.相对一个惯性系作匀速直线运动的参照系也是一个惯性系。 6.经典力学的相对性原理表明：所有参照系等价。 7.通过力学实验不能确定参照系是否为惯性系。 8.通过力学实验不能确定参照系是否在运动。 9.位移矢量描述质点的位置。 10.表述为时间函数的位置变量称为运动学方程。 11.质点的轨道方程可以由运动学方程消去时间变量得到。 12.速度矢量的变化率定义为加速度。 13.速率对时间的一阶导数定义为加速度。 14.速率对时间的一阶导数等于切向加速度。 15.若质点的加速度为常矢量则其必作直线运动。 16.极坐标系中的径向加速度就是向心加速度。 17.在对物体运动的描述中，参照系和坐标系是等价的。 18.若质点作圆周运动，则其加速度恒指向圆心。 19.牛顿第二定律只适用于惯性系。 20.若质点组不受外力则机械能守恒。 21.质点组内力对任意点力矩的矢量和与内力有关。 22.内力不能改变系统的机械能。 23.内力可以改变系统的机械能。 24.内力不改变系统的动量。 25.内力可以改变系统的动量。 26.质点组内力的总功可以不等于零。 27.质点系动量守恒时动量矩不一定守恒。
28.质点系内力对任意点力矩的矢量和必为零。 29.质点系的质心位置与质点系各质点的质量和位置有关。 30.质点的动量守恒时对任意定点的动量矩也守恒。 31.质点系的动量守恒时对任意定点的动量矩也守恒。 32.质点系对某点的动量矩守恒则其动量必定守恒。 33.刚体是一种理想模型。 34.刚体的内力做的总功为零。 35.刚体平衡的充要条件是所受外力的矢量和为零。 36.刚体处于平衡状态的充要条件是所受外力的主矢和主矩均为零。 37.正交轴定理适用于任何形式的刚体。 38.正交轴定理只适用于平面薄板形的刚体。 39.对刚体的一系列平行转轴，以对过质心的轴的转动惯量最小。 40.转动惯量表示刚体自身的性质，因而由刚体自身决定。 41.过刚体质心的惯量主轴称为中心惯量主轴。 42.刚体对质心的动量矩守恒时动量一定守恒。 43.刚体做平面平行运动时其上各点均做平面运动。 44.刚体定轴转动时其上各点都做圆周运动。 45.转动参照系一定不是惯性系。 46.匀角速转动系是惯性参照系。 47.匀角速转动的参照系不是惯性系。 48.受科氏力影响，无论在地球的南半球还是北半球落体都偏东。 49.惯性力不是真实力，因为它没有力的作用效果。 50.惯性力与真实力有相同的作用效果。 51.惯性系中存在惯性力，非惯性系中没有惯性力。 52.广义坐标的量纲必须是长度。 53.广义坐标的数目不能大于系统的自由度。 54.虚位移可能并不包括实位移。 55.虚位移与时间无关。 56.虚位移是不可能发生的位移。 57.所谓的虚位移是指任意的位移。
分析力学的题目
08级基地班分析力学期末试题 （注：每年试题会有不同，不过题型和难度不会变。大家可以作为参考资料。呵呵，我也没有电子版，就今天下午手打了一份送给大家，打的不好，请见谅。）《这份相同的PDF 版是方便大家打印，以免打的时候公式不出来》 简答题（共3题，每题4分。共12分） 1，什么叫微震动？用拉格朗日方法研究微震动时，首先要注意什么？2，什么叫刚体的惯量主轴？它有什么物理意义？数学上，如何寻找惯量主轴？ 3.什么叫科里奥利力？它是怎么产生的？ 证明题（共3题，1、2题10分，3题8分） 1，证明：边长为a.b.c,质量均匀分布的长方体的惯量主轴就是长方体的几何对称轴。2证明：[]z PB y x P P L ?=,(其中Lx,Py,Pz 分别是角动量的x 分量，动量的y 分量与z 分量) 3证明：设：y f y x Q x f y x P y x f f ??=??==),(,),(),,(试用勒让德变换将变量X 变为变量P 计算题（共4题，每题15分，共60分）
1, 点可饶和其质量分别是， ，可能是我记错了估计是和的两根均匀棒和长为O ,m )AB OB(OA 2121OA m l l 在竖直平面内自由转动。AB 与OA 在A 点用铰链连接起来。在棒AB 的B 段加一已知的水平压力F ，求平衡时，体系的位置。 2，设一维无阻尼振荡系统在t=0时静止在平衡位置，作用在该系统的力F 的变化规律是：t<0时F=0.当)0
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分析力学试题与标答
分析力学 一、试推导质点系理想约束情况下的动力学普遍方程，并写出解析表达式。(10分) 二、已知均质杆A 1B 1和A 2B 2杆重为P 1和P 2，不计各处摩擦，试用虚位移原理求平衡时α、β角应满足的关系。（20分） 三、均质圆柱体半径R ，质量为M ，沿直线轨道做无滑动滚动，在圆心用铰链连接一长为l 的刚性杆OA ，不计杆的质量，杆的A 端有一质量为m 的小球，构成一单摆。试用拉格朗日方程求系统的运动微分方程，并写出其初积分。（30分） 四、具有水平轨道的管子可绕铅直轴转动，质量为m 的小球无摩擦地沿管子滑动。管子的转动惯量为J =mR 2，作用在小球上的力具有势函数V (r )。试用哈密顿正则方程建立系统的运动微分方程。（15分） 五、质量为m 的物体放在光滑水平面上，刚性系数为k 的弹簧水平放置，一端与物块相连，另一端固结在竖直墙面上，试由哈密顿原理求物体的振动微分方程。（10分） 六、图示均质杆OA 长l =3m ，质量为m =2kg ；O 为铰链，A 端连一弹簧，刚度系数为k =4N/m 。弹簧原长为l 0=1.2m ，h =3.6m 。试用势力场质点系的平衡条件求平衡时的角度θ，并讨论平衡的稳定性。（15分） 1、 解：质系n 个质点，第i 个质点质量m i ，主动力合力F i ，约束反力F Ni ，惯性力F gi =-ma i 2 1 x A
由达朗伯原理 0=++gi Ni i F F F （3分） 给质点系一虚位移，第i 质点的虚位移为i r δ， 由虚位移原理 0)(=?++i gi Ni i r F F F δ （3分） 对上式求和 0)(=?++∑i gi Ni i r F F F δ 理想约束情况下 0=?∑i Ni r F δ （2分） 于是有 0)(=?+∑i gi i r F F δ 或 0)(=?-∑i i i i r a m F δ （1分） 解析表达式为 0)()()(=?-+?-+?-∑i i i i i i i i i i i i z z m Z y y m Y x x m X δδδ （1分） 2、 解：以系统为研究对象，单自由度，以α为广义坐标。 αsin 2111l y C = βs i n 21 22l y C = αδαδcos 2111l y C = βδβδc o s 21 22l y C = （4分） 由虚位移原理02211=--C C y P y P δδ （4分） 0cos 2 cos 22 2 11=--βδβαδαl P l P （2分） 而L l l =+βαcos cos 21 （4分） 两边求变分0sin sin 21=--βδβαδαl l 即 δαβ α δβsin sin 21l l - = （2分） 0)sin sin cos 2cos 2(2122 11=+-δαβ αβαl l l P l P 0≠?δα 0s i n s i n c o s 2c o s 22122 11=+-βαβαl l l P l P （2分） βαtan tan 2 1 P P = （2分） 3、 解：系统有两个自由度，以x 、φ为广义坐标 ?sin l x x A += ?c o s l y A -= ??cos l x x A += ??s i n l y A = （4分） )cos 2(2 1 )(212122222??? x l l x m r x J x M T O ++++= （2分）
分析力学试题与标答
武汉理工大学考试试题纸（ A 卷） 课程名称 分析力学 专业班级 工力0901、02、1001、 备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题) 一、试推导质点系理想约束情况下的动力学普遍方程，并写出解析表达式。(10分) 二、已知均质杆A 1B 1和A 2 B 2杆重为P 1和P 2，不计各处摩擦，试用虚位移原理求平衡时α、β角应满足的关系。（20分） 三、均质圆柱体半径R ，质量为M ，沿直线轨道做无滑动滚动，在圆心用铰链连接一长为l 的刚性杆OA ，不计杆的质量，杆的A 端有一质量为m 的小球，构成一单摆。试用拉格朗日方程求系统的运动微分方程，并写出其初积分。（30分） 四、具有水平轨道的管子可绕铅直轴转动，质量为m 的小球无摩擦地沿管子滑动。管子的转动惯量为J = mR 2 ，作用在小球上的力具有势函数V (r )。试用哈密顿正则方程建立系统的运动微分方程。（15分） 五、质量为m 的物体放在光滑水平面上，刚性系数为k 的弹簧水平放置，一端与物块相连，另一端固结在竖直墙面上，试由哈密顿原理求物体的振动微分方程。（10分） 六、图示均质杆OA 长 l =3m ，质量为m =2kg ；O 为铰链，A 端连一弹簧，刚度系数为k =4N/m 。弹簧原长为l 0=1.2m ，h =3.6m 。试用势力场质点系的平衡条件求平衡时的角度θ，并讨论平衡的稳定性。（15分） 2 1 x A
武汉理工大学教务处 试题标准答案及评分标准用纸 课程 分析力学 （ A 卷） 1、 解：质系n 个质点，第i 个质点质量m i ，主动力合力F i ，约束反力F Ni ，惯性力F gi =-ma i 由达朗伯原理 0=++gi Ni i F F F （3分） 给质点系一虚位移，第i 质点的虚位移为i r δ， 由虚位移原理 0)(=?++i gi Ni i r F F F δ （3分） 对上式求和 0)(=?++∑ i gi Ni i r F F F δ 理想约束情况下 0=?∑ i Ni r F δ （2分） 于是有 0)(=?+∑ i gi i r F F δ 或 0)(=?-∑ i i i i r a m F δ （1分） 解析表达式为 0)()()(=?-+?-+?-∑i i i i i i i i i i i i z z m Z y y m Y x x m X δδδ （1分） 2、 解：以系统为研究对象，单自由度，以α为广义坐标。 αsin 2 111l y C = βs i n 2 122l y C = αδαδcos 2 111l y C = βδβδc o s 2 122l y C = （4分） 由虚位移原理02211=--C C y P y P δδ （4分） 0cos 2 cos 2 22 11 =--βδβαδαl P l P （2分） 而L l l =+βαcos cos 21 （4分） 两边求变分0sin sin 21=--βδβαδαl l 即 δαβ αδβsin sin 21l l - = （2分） 0)sin sin cos 2cos 2 (2122 11 =+-δαβ αβ αl l l P l P 0≠?δα 0s i n s i n c o s 2 c o s 2 2122 11=+-β αβ αl l l P l P （2分） βαtan tan 2 1P P = （2分）
大学几乎所有学科的课本答案
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分析力学综合习题08讲
分析力学习题 例1半径为R 、质量为m 的圆环挂在一半径为r 的 固定圆柱上。设圆环与圆柱间有足够大的摩擦力阻止相对 滑动，试写出圆环系统的哈密顿正则方程和运动微分方 程，并求微幅摆动的周期。 解：圆环具有一个自由度，是完整系统。取 为广义 坐标，圆环的动能为 其中V o (R r) O ，瞬心为A , T -m(R r)2 2 2 主动力有势，系统的势能为 V = — mg (R — r) cos T 2 d T 2 —2m(R r)2 --------------- 2m(R r)2 dt T V —0 ——mg(R r)si n 代入拉格朗日方程，得到系统的动力学方程: 即 考虑到微幅，有 周期为 由于主动力有势，可以写出拉格朗日函数： 同样可以得到系统的动力学方程。 2.已知摆线绕在固定圆柱上，尺寸如图；写出系统的哈密顿正则方程, 求此摆的运动微分方程。 解 这是单自由度保守系统，选 为广义坐标，选 能位置，贝J 将T 、V 代入保守系统的拉格朗日方程 或将拉格朗日函数L = T V 代入如下形式的拉格朗日 方程 皆可得运动微分方程 例3三角楔块A 可沿水平光滑面作直线运动，楔 块A 的质量为mi ,其上受有简谐力 F = Hsin t 的作用(H 和 均为常量)。楔块斜 彳「 “1 一^ 2 1 1^ 2 (R r) 2/0 \2 2 —mR ----- -- m(R r) 于是 2(R r) g sin 0 =0为系统的零势 =*= D ^77777^7777777777777 “ * A
边BD 上有一质量为m 2、半径为r 的圆柱体，沿BD 滚动而不滑动，二弹 簧的刚体系数分别为k i 和k 2。试建立系统的运动微分方程。 解：系统具有二个自由度。取三角楔块的位移 x 和圆柱体相对于楔块 的位移 为广义坐标，二者均以其静平衡位置为原点。 楔块A 作平动，V A x ，圆柱体作平面运动，质心速度 V c 为 角速度为 系统的动能T 为 系统的势能V 为 在平衡位置有关系式 于是势能V 为 非有势力F 相应的广义力分别为 又， 代入拉格朗日方程，得到系统的运动微分方程： 例4图示系统中，半径为r 的均匀圆盘在槽内作不滑动的滚动。 已知 圆盘质量为m ，槽的半径为R 。试用哈密顿原理建立系统的运动方程。 解： 若选择为广义坐标，则系统微幅 振动时的能量为 (a) mr 2 /2是圆盘对质心的转动惯量。圆盘作不 由此，得到 (c) 将式(c)代入式(a),得到 3 2 —mr 4 而系统的位能 T 2m[(R r) ]2 2 2'A 其中，为圆盘的角速度, 滑动的滚动时，存在有 (R r) (b) (d) Z7 图圆盘微幅振动
分析力学基础测验题答案
分析力学基础 一是非判断题 1.不论刚体作何种运动，其惯性力系向一点简化的主矢都等于刚体的质量与其质心加速度的乘积，方向与质心加速度的方向相反。（√） 2. 均质圆柱绕其对称轴作定轴转动，则圆柱惯性力系对于空间中平行于转轴的任意一轴的力矩之和，都是同一值。（√） 3. 因为实位移和虚位移都是约束允许的，所以实际的微小位移必定是诸虚位移中的一个。（×） 4. 虚位移原理只适用于具有理想约束的系统。（×） 5. 凡几何约束都是完整约束，完整约束未必是几何约束。（√） 二选择题 1.下列约束中，非理想约束的是（B ）。 A 纯滚动，有摩擦力但无滚动摩阻。 B 有摩擦的铰链。 C 摩擦传动中两个刚性摩擦轮的接触处，两轮间不打滑，无滚动摩阻。 D 连接两个质点的不可伸长的柔索。 2. 如图所示四种情况，惯性力系的简化只有（ C ）图正确。 3. 均质细杆AB质量为m，长为L，置于水平位置，如图所示。若在绳BC突然剪断时角 加速度为α ，则杆上各点惯性力的合力大小为（ 1 2 mLα），方向为（垂直向上），作用点 的位置在杆的（左端A ）处 4. 四根等长等重的均质直杆用铰链连接起来，再把两端用铰链固定在同一水平线上，如图所示，平衡时图示两个角度α和β的关系是（ B ）。 第二(3)题图第二(4)题图
A ．tan 3tan βα=； B. tan 3tan αβ= C. tan 2tan βα=; D. tan 2tan αβ= 5. 图示系统中，O 处为轮轴，绳与滑轮间无相对滑动，则物块A 与物块B 的虚位移大小的比值为（ B ）。 A ．6； B ．5； C ．4； D ．3. 三 填空题 1. 图示平面系统，圆环在水平面上作纯滚动，圆环内放置的直杆AB 可在圆环内自由运动，A ，B 两点始终与圆环保持接触，则该系统的自由度数为（ 2 ）。 2. 轮轴质心位于O 处，对轴O 的转动惯量为O J 。在轮轴上系有两个质量各为1m 和2m 的物体，已知此轮轴顺时针转向转动，角加速度为α，则轴承O 处的动反力Ox F =( 0 ), Oy F =（ 12()m R m r α-）。 3. 在图所示的平面机构中，试用杆OA 的虚位移δ?表达套筒B 的虚位移B y δ， B y δ=（ 2sec l ?δ? ）。 第二(5)题图 第三（1）题图 第三（2）题图
清华大学物理系博士生资格考试经典物理试题
2005年春季清华大学物理系博士生资格考试 分析力学： 两质点m1,m2，中间用无质量的弹簧相连，弹性系数k ，原长d 。在无摩擦的光滑平面上运动，转动或振动。求出广义动量，哈密顿量，哈密顿方程（写出积分形式即可） 电动力学： 求运动电荷产生的电磁辐射能量密度 力学： 1.一个杆质量m ，长度l ，截面积S,杨氏模量Y 。在光滑水平面内绕一端转动，角速度ω。在杆内部截面上切向应力均匀分布。求r 处的内应力，求杆的总伸长量。 2.滑轮质量M ，半径R ，两侧两个水桶通过绳子相连，绳子绕过滑轮。两桶原质量为m0，静止。左侧桶下有个洞，水从中流出，单位时间内流出的质量为qm ，流出的水相对桶的速度为u 。求左侧桶的加速度a(t). 3.质量为m0的质点从静止开始在F=kx*x 作用下运动，考虑相对论效应，求v(t). 电磁学： 1.圆柱形电容器，内半径a ，外半径b ，长l 。上下两半为两种导电（注意是导电!!!）介质，介电常数和电导率分别为ε1，σ1，ε2σ2。电容器中间通过的总电流为I 。求电容器的电势差，第一种介质内表面的自由电荷密度。。。 2.一大圆圈，半径R ，电流I 。在正上方有一小圆圈，平行于大圆圈，半径r 。两圆圈圆心在一条直线上。t=0时小圆圈圆心距大圆圈圆心z ，以v 偏离大圆圈运动。小圆圆半径r 很小，可近似认为小圆圈内磁场均匀分布。求小圆圈圆心处的磁场，小圆圈上的感应电动势大小和方向。设小圆圈自感为T ，求小圆圈中的电流i. 热学： 质量为m ，温度为T1，压强为P1的液体，变为压强P2，温度T2的高温高压气体。求熵变。给定液体比热c ，水蒸汽临界压强Pb?汽化热？。。。。记不清了 光学： 1.双缝间距d=0.4mm ，缝宽a=0.08mm 。后面透镜f=50cm 。一束单色平面光波长。。。垂直于缝入射，求透镜像平面上明条纹间距，求一级衍射包中间的明条纹数量 2.光，通过线偏振器，转动线偏振器，发现光强没有变化。让光先通过1/4波长偏振片，然后再用线偏振器检偏，发现最大光强是最小光强的4倍。求光的组成，原先光中偏振光的光强占总光强的百分比 2006年春季清华大学物理系博士生资格考试 1． 一质量为m 的物体与长为L 、拴于轴O 点的静止杆相碰撞， 碰撞之后物体的速度为零。碰撞时间极短为τ。 求（1）刚碰撞完时，杆的角速度？（2）碰撞过程中，轴O 对杆的水平力F 为多少？（3）不计阻力，杆上升的最大角 度？ 2． 体系拉氏量1212(...,...,)L q q q q t ，哈密顿量1212(...,...,)H q q p p t ， 求证：,,0i i i i q q q q q p dL dH dq dq ≠≠????+= ? ?????
《理论力学》试题库
理论力学》试题库 、判断体： 1.没有参照系就无法描述物体的位置和运动。 2.经典力学可分为牛顿力学和分析力学两大部分。 3.运动是绝对的，而运动的描述是相对的。 4.相对一个惯性系运动的参照系一定不是惯性系。 5.相对一个惯性系作匀速直线运动的参照系也是一个惯性系 6.经典力学的相对性原理表明：所有参照系等价。 7.通过力学实验不能确定参照系是否为惯性系。 8.通过力学实验不能确定参照系是否在运动。 9.位移矢量描述质点的位置。 7. 表述为时间函数的位置变量称为运动学方程。 8. 质点的轨道方程可以由运动学方程消去时间变量得到。 12.速度矢量的变化率定义为加速度。 13.速率对时间的一阶导数定义为加速度。 14.速率对时间的一阶导数等于切向加速度。 15.若质点的加速度为常矢量则其必作直线运动。 16.极坐标系中的径向加速度就是向心加速度。 17.在对物体运动的描述中，参照系和坐标系是等价的。 18.若质点作圆周运动，则其加速度恒指向圆心。 19.牛顿第二定律只适用于惯性系。 20.若质点组不受外力则机械能守恒。
21.质点组内力对任意点力矩的矢量和与内力有关 22.内力不能改变系统的机械能。 23.内力可以改变系统的机械能。 24.内力不改变系统的动量。 25.内力可以改变系统的动量。 26.质点组内力的总功可以不等于零。 27.质点系动量守恒时动量矩不一定守恒。 28.质点系内力对任意点力矩的矢量和必为零。 29.质点系的质心位置与质点系各质点的质量和位置有关。 30.质点的动量守恒时对任意定点的动量矩也守恒。 31.质点系的动量守恒时对任意定点的动量矩也守恒。 32.质点系对某点的动量矩守恒则其动量必定守恒。 33.刚体是一种理想模型。 34.刚体的内力做的总功为零。 35.刚体平衡的充要条件是所受外力的矢量和为零。 36.刚体处于平衡状态的充要条件是所受外力的主矢和主矩均为零 37.正交轴定理适用于任何形式的刚体。 38.正交轴定理只适用于平面薄板形的刚体。 39.对刚体的一系列平行转轴，以对过质心的轴的转动惯量最小。 40.转动惯量表示刚体自身的性质，因而由刚体自身决定。 41.过刚体质心的惯量主轴称为中心惯量主轴。 42.刚体对质心的动量矩守恒时动量一定守恒。
物理学史试题
经典物理学时期标志与现代物理学时期标志？ 经典物理学时期： 经典物理学时期(17世纪初—19世纪末) 这时资本主义生产促进了技术与科学的发展，形成了比较完整的经典物理学体系。系统的观察实验和严密的数学推导相结合的方法，被引进物理学中，导致了17世纪主要在天文学和力学领域中的“科学革命”。 发展达到了它的顶峰。 现代物理学时期： 现代物理学时期(20世纪初至今) 十九世纪末叶物理学上一系列重大发现，使经典物理学理论体系本身遇到了不可克服的危机，从而引起了现代物理学革命。由于生产技术的发展，精密、大型仪器的创制以及物理学思想的变革，这一时期的物理学理论呈现出高速发展的状况。研究对象由低速到高速，由宏观到微观，深入到广垠的宇宙深处和物质结构的内部，对宏观世界的结构、运动规律和微观物质的运动规律的认识，产生了重大的变革。 举例说明近代物理学的研究方法、现代物理学的研究方法： 近代物理学时期：（又称经典物理学时期）这一时期是从16世纪至19世纪，是经典物理学的诞生、发展和完善时期。这一时期的物理学有如下特征：在研究方法上采用实验与数学相结合、分析与综合相结合和归纳与演绎相结合等方法；在知识水平上产生了比较系统和严密科学理论与实验；在内容上形成比较完整严密的经典物理学科学体系；在发展速度上十分迅速，社会功能明显，推动了资本主义生产与社会的迅速发展。这一时期的物理学又可细分为三个阶段。〖1〗草创阶段（16世纪至17世纪）。主要在天文学和力学领域中爆发了一场“科学革命”，牛顿力学诞生。〖2〗消化和渐进阶段（18世纪）。建立了分析力学，光学、热学和静电学也取得较大的发展。〖3〗鼎盛阶段（19世纪）。相继建立了波动光学、热力学与分子运动论、电磁学，使经典物理学体系臻于完善。 现代物理学时期：这一时期是从19世纪末至今，是现代物理学的诞生和取得革命性发展时期。物理学的研究领域得到巨大的拓展，实验手段与设备得到前所未有的增强，理论基础发生了质的飞跃。这一时期的物理学有如下特征：在研究方法上更加依赖大规模的实验、高度抽象的理性思维和国际化的合作与交流；在认识领域上拓展到微观（10-13）与宇观（200亿光年）和接近光速的高速运动新领域，变革了人类对物质、运动、时空、因果律的认识；在发展速度上非常迅猛，社会功能十分显著，推动了社会的飞速发展。这一时期的物理学又可大致地分为两个阶段。〖1〗革命与奠基阶段（1895年至1927年）。建立了相对论和量子力学，奠定了现代物理学的基础。〖2〗飞速发展阶段（1927年至今）产生了量子场论、原子核物理学、粒子物理学、半导体物理学、现代宇宙学、现代物理技术等分支学科。 学习物理学史的意义 （1）加深对概念和理论的理解，启迪科学新思想的萌发和产生。 （2）物理学史可以使我们认识到“科学是最高意义上的革命力量”。 （3）物理学史可以培养我们的科学思维，掌握科学研究的方法，加深对科学研究的认识，可以活跃思想，开阔眼界，使我们的知识立体化。 （4）可以使我们认识到思想观念转变的意义。 (5)物理学史可以培养同学们的爱国主义精神 （6）通过学习科学家的精神，培养同学们追求真理，献身科学的崇高思想境界。 热学发展史实际上就是热力学和统计物理学的发展史，可以划分为哪四个时期？
理论力学试题库
理论力学试题库 《理论力学》试题库一、判断体: 1. 没有参照系就无法描述物体的位置和运动。 2. 经典力学可分为牛顿力学和分析力学两大部分。 3. 运动是绝对的，而运动的描述是相对的。 4. 相对一个惯性系运动的参照系一定不是惯性系。 5. 相对一个惯性系作匀速直线运动的参照系也是一个惯性系。 6. 经典力学的相对性原理表明:所有参照系等价。 7. 通过力学实验不能确定参照系是否为惯性系。 8. 通过力学实验不能确定参照系是否在运动。 9. 位移矢量描述质点的位置。 10. 表述为时间函数的位置变量称为运动学方程。 11. 质点的轨道方程可以由运动学方程消去时间变量得到。 12. 速度矢量的变化率定义为加速度。 13. 速率对时间的一阶导数定义为加速度。 14. 速率对时间的一阶导数等于切向加速度。 15. 若质点的加速度为常矢量则其必作直线运动。 16. 极坐标系中的径向加速度就是向心加速度。 17. 在对物体运动的描述中，参照系和坐标系是等价的。 18. 若质点作圆周运动，则其加速度恒指向圆心。 19. 牛顿第二定律只适用于惯性系。 20. 若质点组不受外力则机械能守恒。 21. 质点组内力对任意点力矩的矢量和与内力有关。 22. 内力不能改变系统的机械能。 23. 内力可以改变系统的机械能。 24. 内力不改变系统的动量。 25. 内力可以改变系统的动量。 26. 质点组内力的总功可以不等于零。
27. 质点系动量守恒时动量矩不一定守恒。 1 28. 质点系内力对任意点力矩的矢量和必为零。 29. 质点系的质心位置与质点系各质点的质量和位置有关。 30. 质点的动量守恒时对任意定点的动量矩也守恒。 31. 质点系的动量守恒时对任意定点的动量矩也守恒。 32. 质点系对某点的动量矩守恒则其动量必定守恒。 33. 刚体是一种理想模型。 34. 刚体的内力做的总功为零。 35. 刚体平衡的充要条件是所受外力的矢量和为零。 36. 刚体处于平衡状态的充要条件是所受外力的主矢和主矩均为零。 37. 正交轴定理适用于任何形式的刚体。 38. 正交轴定理只适用于平面薄板形的刚体。 39. 对刚体的一系列平行转轴，以对过质心的轴的转动惯量最小。 40. 转动惯量表示刚体自身的性质，因而由刚体自身决定。 41. 过刚体质心的惯量主轴称为中心惯量主轴。 42. 刚体对质心的动量矩守恒时动量一定守恒。 43. 刚体做平面平行运动时其上各点均做平面运动。 44. 刚体定轴转动时其上各点都做圆周运动。 45. 转动参照系一定不是惯性系。 46. 匀角速转动系是惯性参照系。 47. 匀角速转动的参照系不是惯性系。 48. 受科氏力影响，无论在地球的南半球还是北半球落体都偏东。 49. 惯性力不是真实力，因为它没有力的作用效果。 50. 惯性力与真实力有相同的作用效果。 51. 惯性系中存在惯性力，非惯性系中没有惯性力。 52. 广义坐标的量纲必须是长度。
分析力学第四次作业解答
7.3 Laplace-Runge-Lenz vector. Show form the Poisson bracket condition for conserved quantities that the Laplace-Runge-Lenz vector Is a constant of motion for a mass moving under the Kepler potential. Also, show this by taking the time derivative of this quantity Solution: (a) In terms of Possion brackets, the time rate of change of a dynamical variable, in this case the Laplace-Runge-Lenz vector, is given by Since, ,to show that is conserved, we need First, the Hamiltonian H is given by The canonical coordinates and moment are Write in polar coordinates The Poisson bracket is given by
Writing as a function of the canonical coordinates And recalling We have Hence So, (b) We can also show that is conserved by direct differentiation Where we have used Since:
2018科学启蒙-尔雅标准答案
一、单选题（题数：50，共50.0 分） 1 关于定义的规则，下列说法错误的是（）。（1.0分）1.0 分 A、 必需给出要定义的事物的基本属性 B、 必需避免循环定义 C、 必需避免太宽泛或太狭隘 D、 必需使用学术的、晦涩的语言 我的答案：D 2 （）建立了古典力学的“分析力学”体系。（1.0分）1.0 分 A、 莫佩尔蒂 B、 牛顿 C、 欧拉
拉格朗日 我的答案：D 3 阿基M德是第一个将（）放在坚实的基础上的人。（1.0分） 1.0 分 A、 惯性和量子力学 B、 惯性和流体静力学 C、 力学和量子力学 D、 力学和流体静力学 我的答案：D 4 公元19世纪，下列人物的学说在欧洲获得更广泛支持的是（）。（1.0分）1.0 分 A、 泰勒斯 B、 苏格拉底
亚里士多德 D、 柏拉图 我的答案：D 5 腓尼基人发明的字母文字主要来源于（）。（1.0分） 1.0 分 A、 乌加里特字母和埃及象形文字 B、 乌加里特字母和希腊字母 C、 巴比伦楔形字母和埃及象形文字 D、 巴比伦楔形字母和希腊字母 我的答案：C 6 提出土星结构原子模型的长冈半太郎属于日本（）科学家。（1.0分）1.0 分 A、 第四代
第三代 C、 第二代 D、 第一代 我的答案：D 7 康德将判断分成（）。（1.0分） 1.0 分 A、 逻辑判断与综合判断 B、 逻辑判断和单一判断 C、 分析判断与综合判断 D、 分析判断和单一判断 我的答案：C 8 弗朗西斯·培根认为真理来自于（）。（1.0分）1.0 分
逻辑 B、 哲学 C、 经验 D、 信念 我的答案：C 9 科学史学科的奠基人是（）。（1.0分）1.0 分 A、 Isaac Newton B、 Isaac Asimov C、 Paul Forman D、 George Sarton 我的答案：D 10
分析力学.
四大力学： 1、理论力学 2、量子力学 3、电动力学 4、热力学统计物理 理论力学——分析力学基础部分牛顿力学回顾一、研究对象物体的机械运动即物体的空间位置随时间变化。 r = r (t 二、牛顿的时空观（狭义相对论的时空观）时间、空间、质量三个基本物理量是绝对的，它们与运动无关且彼此独立，“同时性”和力学规律也是绝对的，而物体的坐标和速度是相对的。 三、力学状态的确定同时给定物体的坐标和速度（量子力学与此不同）四、力学规律的表达形式力学系统的运动微分方程（牛顿第二定律）： d2r m 2 =F dt 力是力学系统的核心。五、伽利略相对性原理（爱因斯坦相对性原理）力学规律在所有惯性系中都是等价的，不存在特殊的惯性系。六、牛顿力学的适用范围低速（ v 运动。 3 × 108 m/s ）、宏观物体（l 10?10 m）的 问题：力学规律是否只有牛顿形式？力学规律的其它表述形式：拉格朗日形式、哈密顿形式。分析力学的主要内容经典力学：牛顿力学＋分析力学第一章拉格朗日方程与哈密顿方程 §1-1 自由度和广义坐标一个自由质点在空间的位置可以用三个独立坐标来确定，我们说该自由质点有3个自由度。一般质点运动会受到约束限制，则其自由度数会减少。若有一个约束方程，确定其位置用两个独立坐标即可，则质点的自由度减少为2个。 例如：一质点M 限制在球面的上半部运动，球心坐标为（a，b，c），则约束方程( x ? a2 + ( y ? b2 + ( z ? c2 = R 2 z =c+ R 2 ? ( x ? a2 ? ( y ? b2 故该质点在空间的位置由x、y 就可确定，其自由度数为2。一般讲，一个由N 个质点组成的质点系，每个质点不受约束，系统的确定需要3N个孤立坐标，则系统的自由度为3N。若受到k 个约束作用，则其在空间的位置可由3N－k 个坐标完全确定下来。系统的自由度为3N－k。 对完整系统,系统的自由度数等于系统在空间中位置的独立坐标数目。 我们把这些描述质点系在空间中位置的独立坐标,称为广义坐标,用来表示。广
分析力学解题指导
第五章分析力学 解题指导 在前面各章都是按“牛顿方式”研究力学问题，即为矢量力学。它和分析力学在观点和方法上都有区别。矢量力学所牵涉到的量大都是矢量。力和动量是它的两个基本量；而分析力学是拉格朗日和哈密顿等人所建立的变分原理为基础的，牵涉到的量为标量，基本量是能量。搞清矢量理学与分析力学的主要区别，对解决分析力学有关问题大有好处。我们将其主要区别归纳如下： 1、处理有关约束问题时：在矢量力学中须用约束力代替约束条件，但往往由于约束力性质未知，所以事先既要讨论对它作出的某些假设，事后又常常要将它从方程中消去；分析力学在承认这些条件的前提下进行讨论，而不追问需要在何处用什么力来维持这些条件。这样，解题就会方便得多，这是分析力学的一个优点。 2、在建立运动微分方程时，在分析力学中可以根据统一的最小作用量原理求得。这样又极值原理所得方程与坐标系无关。当应用矢量力学寻找加速度时，尤其在空间问题中往往要用坐标系或柱坐标中的分量是去解题，这无疑给读者会带来一些困难，这也是在矢量力学中很少使用柱，球坐标系的原因（除非迫不得已）；而在分析力学中这个困难就不复存在。 3、在处理质点组问题时，矢量力学是将个别质点孤立出来，分析每个质点所受的力，再用牛顿定律建立它们的运动微分方程；而分析力学是将质点组看成一个整体，只需求出一个仅与各质点位置（速度）有关的标函数。单凭微分便能获得有关各力的知识，并得到整个质点组的运动微分方程。 4、分析力学是以普通原理为基础（微分或积分的方法），采用分析手段导出系统整体的基本运动微分方程，并研究这些方程本身及积分的方法，与数学的关联更加紧密。因此，线性常微分方程组及非线性微分方程经常会碰到，数学上求泛函数的极值方法则是分析力学中哈密顿原理的基础了。所以，具有高等数学知识的读者不难解决较复杂的力学问题。为了能更具体理解分析力学的解体方法，
第六章_分析力学_习题解答
6.1、一长为0l 、质量为m 的匀质棒，斜靠在固定的半球形碗的边缘，一端置于碗内，如图示。已知碗是光滑的，半径为r ；棒在碗内的长度为(2)l l r <。用虚功原理证明棒的全长为 2204(2)l r l l -=。 6.2、用绳子等距离地在定点O 处悬挂两个相同的匀质球。两球之上另旋转一相同的球体，如图示。已知分别悬挂两球的绳长都是l ，用虚功原理求出α角与β角之间的关系。 6.3、用轻质橡皮圈捆扎三个置于光滑水平桌面上的相同球体，捆扎的高度与球心的高度相同。将第四个同样的球体置于三球之上，由虚功原理求出橡皮圈中的张力。已知每个球体的重量为P 6.4、一弹性绳圈，它的自然长度为0l ，弹性系数为k ，单位长度质量(线密度)为σ。将此弹性圈套在一半径为0(2)R R l π>的光滑球面上，弹性圈因自重而下滑。用虚功原理求出平衡时弹性绳圈对球心所张的角度θ应满足的方程。 6.5、一半径为R 的半球形碗内装有两个质量分别为1m 和2m 的球体，它们的半径同为 (2)r r R <。用虚功原理求出这两个球体在碗中平衡时它们的连心线与水平线间的夹角。
6.6、一轻杆长为2l ，一端光滑铰链于固定点O ，另一端点及中点分别焊接有质量为'm 和m 的小球。杆可在铅直平面内绕固定点摆动。写出此力学系统的拉格朗日函数，并求出其作微小摆动时的周期。 6.7、一半径为r 、质量为'm 的圆柱形轱辘，其轴线沿水平方向。轱辘上绕有长为l 的轻绳，绳的自由端系一质量为m 的重物。初始时绳子完全绕在轱辘上，体系静止。尔后重物下落带动轱辘转动。写出此力学系的拉格朗日函数，并求出绳子完全释放时轱辘转动角速度的大小。 6.8、上题中，如果绳子具有弹性，弹性势能为2 /2ks ，s 为绳子的伸长。证明重物m 的运动为维持恒定的加速运动上附加一角频率为ω 的振动，其中2('2)/'k m m m m ω=+。求出此种振动的振幅。设初始时绳子完全绕在轱辘上，体系静止，尔后释放。 6.9、力学系统如图所示。二滑轮为相同的圆盘，半径为r ，质量为m 。悬挂的重物质量分别为1m 和2m ，且12()/2m m m >+。初始时系统静止。 (i)导出此力学系的运动微分方程 (ii)分别求出两重物下降的速度与重物下落距离h 之间的关系。
分析力学综合习题08讲
分析力学习题 例1 半径为R 、质量为m 的圆环挂在一半径为r 的 固定圆柱上。设圆环与圆柱间有足够大的摩擦力阻止相对 滑动，试写出圆环系统的哈密顿正则方程和运动微分方 程，并求微幅摆动的周期。 解：圆环具有一个自由度，是完整系统。取θ为广义 坐标，圆环的动能为 其中O O r R v θ&)(-=，瞬心为A ，则 于是 22222222)()(21)(21θθθ&&&r R m R r R mR r R m T -=-+-= 主动力有势，系统的势能为 V =－mg (R －r ) cos θ θθ θθθθθsin )(0)(2d d )(222r R mg V T r R m T t r R m T -=??=??-=??? ????-=??&&&& & 代入拉格朗日方程，得到系统的动力学方程： 即 0sin )(2=+-θθg r R && 考虑到微幅，有 周期为 g r R )2(π2-=τ 由于主动力有势，可以写出拉格朗日函数： 同样可以得到系统的动力学方程。 2. 已知摆线绕在固定圆柱上，尺寸如图；写出系统的哈密顿正则方程，求此摆的运动微分方程。 解 这是单自由度保守系统，选θ为广义坐标，选θ = 0为系统的零势能位置，则 将T 、V 代入保守系统的拉格朗日方程 或将拉格朗日函数L = T - V 代入如下形式的拉格朗日 方程 皆可得运动微分方程 例3 三角楔块A 可沿水平光滑面作直线运动，楔 块A 的质量为m 1，其上受有简谐力F ＝ H sin ωt 的作用（H 和ω均为常量）。楔块斜
边BD 上有一质量为m 2、半径为r 的圆柱体，沿BD 滚动而不滑动，二弹簧的刚体系数分别为k 1和k 2。试建立系统的运动微分方程。 解：系统具有二个自由度。取三角楔块的位移x 和圆柱体相对于楔块的位移ξ为广义坐标，二者均以其静平衡位置为原点。 楔块A 作平动，x v A &=，圆柱体作平面运动，质心速度v C 为 角速度ω为 系统的动能T 为 系统的势能V 为 在平衡位置有关系式 于是势能V 为 非有势力F 相应的广义力分别为 又， 代入拉格朗日方程，得到系统的运动微分方程： 例4 图示系统中，半径为r 的均匀圆盘在槽内作不滑动的滚动。已知圆盘质量为m ，槽的半径为R 。试用哈密顿原理建立系统的运动方程。 解： 若选择θ 为广义坐标，则系统微幅 振动时的能量为 222 ])[(21?θ&&A I r R m T 1+-= (a) 其中，?&为圆盘的角速度，I A = mr 2/2是圆盘对质心的转动惯量。圆盘作不滑动的滚动时，存在有 )(r R r -=θ?&& (b) 由此，得到 θ?&&r r R -= (c) 将式(c)代入式(a)，得到 22 243θ&??? ??-= r r R mr T (d) 而系统的位能