高数 空间直线
高数A2总复习资料
(ax bx )i (ay by ) j (az bz )k
a b {ax bx , ay by , az bz }
a
(ax
{ax ,
bx )i
ay ,
(ay
az }
by
)
j
(az
bz
)k
(ax )i (ay ) j (az )k
向量模长的坐标表示式
| a |
的距离为
M0
d
n
M1
(3) 点
到直线
的距离为
M 0 (x0 , y0 , z0 ) d
d M0M1 s s
s (m,n, p)
M1(x1, y1, z1)
i
j
k
1 m2 n2 p2
x1 x0 m
y1 y0 z1 z0
n
p
（4）两直线间的距离
命题1 两平行直线
l1 :
x x1 X
T( x, z) 0
y
0
10、平面
[1] 平面的点法式方程 A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
[2] 平面的一般方程
Ax By Cz D 0
[3] 平面的截距式方程 x yz 1 a bc
z
n
M0 M
o
y
x
M 0( x0 , y0 , z0 )
n { A, B, C}
y)
2z z
xy
( ) y x
f xy ( x, y)
2 z z
yx
( ) x y
f yx (x,
y)
2 z z
y 2
( ) y y
f yy(x, y)
高等数学 第5讲 空间直线及其方程
与直线
2 3
x x
2 8
y y
z z
23 18
0 0
的夹角的余弦为__________；
3、 直
线
x x
y y
3z 0 z0
和平面
x
y
z
1
0
在平
面 x 2 y z 1 0上的夹角为___________；
4、点(1 , 2 , 0 )在平面x 2 y z 1 0上的投影为
设直线 L 的方向向量为 s (m, n, p) 平面 的法向量为 n (A, B,C )
则直线与平面夹角 满足
︿ sin cos( s , n )
ns L
sn sn
Am Bn C p m2 n2 p2 A2 B2 C2
特别有:
(1) L
D1 D2
0 0
对称式
参数式
x y
x0 y0
m n
t t
z z0 p t
(m2 n2 p2 0)
2. 线与线的关系
直线
L1：x
x1 m1
y
y1 n1
z
z1 p1
,
直线
L2：x
x2 m2
y
y2 n2
z
z2 p2
,
L1 L2
比例，所以对于任何一个 值，方程(3)的系数：
A1 A2、B1 B2、C1 C2不全为零，从而方程(3)表示
高数下册常用常见知识点
高数下册常用常见知识点高等数学下册常用知识点第八章：空间解析几何与向量代数一、向量及其线性运算1.向量的概念及基本性质：包括向量相等、单位向量、零向量、向量平行、共线、共面等基本概念。
2.向量的线性运算：包括加减法和数乘。
3.空间直角坐标系：包括坐标轴、坐标面、卦限和向量的坐标分解式等。
4.利用坐标进行向量的运算：设向量a=(ax。
ay。
az)，向量b=(bx。
by。
bz)，则a±b=(ax±bx。
ay±by。
az±bz)，λa=(λax。
λay。
λaz)。
5.向量的模、方向角、投影：包括向量的模、两点间的距离公式、方向角、方向余弦和投影等。
二、数量积和向量积1.数量积：包括数量积的概念、性质和计算公式等。
2.向量积：包括向量积的概念、性质和计算公式等。
三、曲面及其方程1.曲面方程的概念：包括曲面方程的定义和基本性质等。
2.旋转曲面：包括旋转曲面的定义、方程和旋转后方程的计算等。
3.柱面：包括柱面的特点、方程和母线的概念等。
4.二次曲面：包括椭圆锥面的方程和图形等。
2.椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$3.旋转椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$4.单叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$5.双叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$6.椭圆抛物面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z$7.双曲抛物面（马鞍面）：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z$8.椭圆柱面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$9.双曲柱面：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$10.抛物柱面：$2x=ay^2$空间曲线及其方程：1.参数方程：$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$，如螺旋线：$\begin{cases}x=a\cos t\\y=a\sin t\\z=bt\end{cases}$2.一般方程：$F(x,y,z)=0$，消去$z$，得到曲线在面$xoy$上的投影。
高数公式大全
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理： f (b) − f ( a) = f ′(ξ )(b − a ) f (b) − f (a ) f ′(ξ ) 柯西中值定理： = F (b) − F (a) F ′(ξ ) 当F( x ) = x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。
曲率：
3 / 13
弧微分公式： ds = 1 + y ′ 2 dx , 其中 y ′ = tg α 平均曲率： K = ∆α .∆α : 从 M 点到 M ′点，切线斜率的倾角变 化量； ∆s ： M M ′弧长。 ∆s y ′′ ∆α dα M 点的曲率： K = lim = = . ∆ s →0 ∆ s ds (1 + y ′ 2 ) 3 1 . a
dx
2
x dx 2 ∫ sin 2 x = ∫ csc xdx = −ctgx + C ∫ sec x ⋅ tgxdx = sec x + C
= ∫ sec 2 xdx = tgx + C
∫ csc x ⋅ ctgxdx = − csc x + C
ax +C ln a ∫ shxdx = chx + C
sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β
tgα ± tgβ 1 m tgα ⋅ tgβ ctgα ⋅ ctgβ m 1 ctg (α ± β ) = ctgβ ± ctgα tg (α ± β ) =
2u 1− u2 x 2du ， cos x = ， u = tg ， dx = 2 1+ u2 1+ u2 1+ u2
高等数学平面和直线
解: 设所求平面的法向量为
则所求平面
方程为 A(x 1) B( y 1) C(z 1) 0
n M1M 2
A 0 B 2C 0, 即
n 的法向量 A B C 0 , 故
因此有 2C(x 1) C( y 1) C(z 1) 0 (C 0)
2
cos n1 n2
n1 n2
即
cos
A1A2 B1B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22
2011年2月
7-5平面,6直线
n1
n2
1
总51页 第10页
1 : n1 ( A1, B1, C1) 2 : n2 ( A2 , B2 , C2 )
cos
n1 n2 n1 n2
①
称①式为平面的点法式方程, 称 n 为平面 的法向量.
2011年2月
7-5平面,6直线
总51页 第3页
例1.求过三点
的平面 的方程.
解: 取该平面 的法向量为
n
n M1M 2 M1M3
M1
i jk
3 4 6
2 3 1
(14, 9, 1)
又 M1 , 利用点法式得平面 的方程
M3 M2
解
3
1
设所求平面的法向量为
n
由题设知点 M (2,1,2) 为直线L上一点
其方向向量
s
3i
j
k
由于所求平面通过 点A及L n AM i 3 j 4k n s AM
2011年2月
7-5平面,6直线
总51页 第26页
ijk
3 1 1 i 13 j 10k
高等数学：第九讲 空间直线的点向式方程
空间直线的一般式
定义 空间直线可看成两个不平行的平面的交线.
L
A1 A2
x x
B1 y C1z D1 B2 y C2 z D2
0 0
1 2
——空间直线的一般式
注 (1) A1、B1、C1与A2、B2、C2 不成比例.
(2) 直线L的一般方程形式不是唯一的.
z
2
L
且 M 0M // s
x x0 y y0 z z0
m
n
p
——直线的点向式方程
O
x
s
L
M M0
y
空间直线的点向式方程
x x0 y y0 z z0
m
n
p
s
的三个坐标 m、n、p
称为
L 方向数.
s
z
L
注意 直线的方向数 m、n、p ， 可以等于0（不全为零）.
⑴
当m=0时，直线的方程可表示为
取 s n1 n2 {3,2,1}{2,1,1} {1,5,7}
所以点向式方程为
x 3 7
y8 7
z
1
5
7
s
n2
n1s 12Fra bibliotekL谢谢
y
n
y0
z z0 p
O
x
y
x x0 0
⑵
当m=n=0
时,直线的方程可表示为
y x
y0 x0
0 0
例题讲解
例1. 求过两点M1(1,2,3)，M2(2,6,5)的直线方程.
解
向量 M1M 2 与直线平行
取 s M 1M 2 {1,4,2}
所求直线方程为
x1 y 2 z 3
[高等教育]高等数学 第七章 空间解析几何与向量代数 第六节 空间直线及其方程.
![[高等教育]高等数学 第七章 空间解析几何与向量代数 第六节 空间直线及其方程.](https://img.taocdn.com/s3/m/4067d540a45177232f60a273.png)
定义 空间直线可看成两平面的交线．
Π 1 : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
Π 2 : A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
⎧ A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 ⎨ ⎩ A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0
例如， 直线 L1 : s1 = (1,−4, 0), 直线 L2 : s2 = (0,0,1),
∵ s1 ⋅ s2 = 0, ∴ s1 ⊥ s2 , 即 L1 ⊥ L2 .
例4
求过点 ( −3, 2, 5) 且与两平面 x − 4 z = 3 和
2 x − y − 5 z = 1的交线平行的直线方程.
x
s = ( m , n, p ), M 0 M = { x − x0 , y − y0 , z − z0 }
x − x0 y − y0 z − z0 直线的对称式方程 = = m n p （点向式方程）
注 : 当方向向量的某个坐标 为零时，比如 m = 0 ,n ≠ 0 ,p ≠ 0时，方程仍然写为 x − x 0 y − y0 z − z 0 , = = n p 0 ⎧ x − x0 = 0 ⎪ 此时理解为二平面的交 线⎨ y − y0 z − z0 ⎪ n = p ⎩
x −1 y +1 z − 3 L: = = , 相交的直线方程. −5 3 2 L
分析: 关键是求得直线上另外 M • P1 一个点 M1. M1在过M且平行 于 平面 P 的一个平面P1上, 待求直线又与已知直线相交, 交点既在P1上,又在 L上,因此是L与P1的交点. 解 过M作平行于 平面 P 的一个平P1
高数300题(三)
考点 40 确定直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系 203、平面 0 2 2 2 = + + - z y x 与平面 2310 x y z ---= 的位置关系是( )A.斜交B.平行C.垂直D.重合解：对应系数不成比例，对应系数乘积之和不等于零，所以两平面不平行也不垂直，故这两个平面的位 置关系是斜交。
选 A. 204、直线22253x y z +- == -- 与平面30 x y z --= 的位置关系为 （ ）A．直线与平面斜交 B．直线与平面垂直C．直线在平面内D．直线与平面平行解：直线的方向向量 { } 2,5,3 s =-- r ，平面的法向量为 { } 3,1,1 n =-- r.这两个向量既不平行又不垂直，因此直线与平面斜交，选 A. 205、平面 230 x y z +-+= 与空间直线 112311x y z -+- == - 的位置关系是 ( ) A.平行但直线不在平面内 B.既不平行也不垂直 C.垂直D.直线在平面上解：平面的法向量 { } 1,2,1 n =- r ，直线l 的方向向量是 { } 3,1,1 l =- r， 则 3210 n l ×=--= r r ，n l ^ r r，故平面π与直线l 平行.取直线l 上一点( ) 1,1,2 - 满足平面方程，因此直线在平面上.选 D. 206、和平面 210 x y z -++= 垂直的平面方程为 （）A． 2100 x y z ---+= B． 2350x y z -++= C．23460x y z +++= D． 540x y z --++= 解：两个平面系数对应的乘积之和为零,选 C.207、已知两平面 0 24 6 7 : = - - + z y mx a 与平面 0 19 11 3 2 : = - + - z my x b 相互垂直，求m 的值．解：两平面的法矢分别为 ( ) 6 , 1 , 1 - - = m n ， ( ) 11 , 3 , 2 2 m n - = ，由 1 n ⊥ 2 n ，得66 21 2 = - - m m 求出 1966-= m . 考点 41 由方程识别空间曲面或曲线的类型 208、柱面 20 x z += 的母线平行于（ ） A. y 轴B.x 轴C.z 轴D.zOx 面解：不含哪个变量，母线平行于哪个坐标轴，从而母线平行于 y 轴. 209、曲面 22 24 z x y =+ 称为（ ）A.椭球面B.圆锥面C.旋转抛物面D.椭圆抛物面解：根据方程的特点和截痕曲线，该曲面是椭圆抛物面，应选 D.210、在空间直角坐标系下，方程 2221 9916 4 x y z z ì ++= ï í ï = î表示的是（）A.一条直线B.一个点C. 椭圆D.两个圆解：在空间直角坐标系下方程 2221 9916x y z ++= 椭球面，而 4 z = 是平面，方程 2221 9916 4 x y z z ì ++= ï í ï = î表示其交痕，显然为(0,0,4)，即表示一个点，应选B.211、方程 222 0 x y z +-= 在空间直角坐标系内表示的二次曲面是 （ ）A. 球面椭球面B.旋转抛物面C.圆锥面D.圆柱面解：本题属于 222Ax By Cz D ++= 中的 0 D = ，且 1,1 A B C ===- ，该二次方程空间直角坐标系内 表示的二次曲面是圆锥面。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 2 (4) (2) 1 (1)
cos
12 (4)2 12 22 (2)2 (1)2
从而
π
4
(参考P44 例2 )
目录 上页 下页 返回 结束
2. 直线与平面的夹角
当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直
线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;
cos s1 s2
s1 s2
L1
s1
L2
s2
m1m2 n1n2 p1 p2
m12 n12 p12 m22 n22 p22
目录 上页 下页 返回 结束
特别有:
(1) L1 L2
(2) L1 // L2
s1 s2
L1 s1 L2
m1m2 n1n2 p1 p2 0
y 2
z
1, 1
相交,求此直线方程 .
解： 方法1 利用叉积.
设直线 Li 的方向向量为 si (i 1, 2),过 A 点及 L2 的平
面的法向量为 n, 则所求直线的方向向量 s s1 n , n
因原点 O 在 L2 上, 所以
A
i jk
n s2 OA 2 1 1 3 i 3 j 3k O 121
(m2 n2 p2 0)
目录 上页 下页 返回 结束
2. 线与线的关系
直线
L1：x
x1 m1
y
y1 n1
z
z1 p1
,
直线
L2：x
x2 m2
y
y2 n2
z
z2 p2
,
L1 L2
s1 s2 0
L1 // L2
s1 s2 0
夹角公式: cos s1 s2
则有
x0 2
y0
z0 1
即
x0 2 y0 , z0 y0
A(1,2,1) L2
B(x0 , y0 , z0 )
目录 上页 下页 返回 结束
而 AB (x0 1, y0 2, z0 1) L1
L1
:
x
1 3
y 2
z
1 1
3(x0 1) 2( y0 2) (z0 1) 0
解:先在直线上找一点.
令 x = 1, 解方程组
y z 2 y 3z 6
,得
y
0,
z
2
是直线上一点 .
再求直线的方向向量 s .
交已知直线的两平面的法向量为
s n1 , s n2 s n1 n2
目录 上页 下页 返回 结束
i jk
s n1 n2 1 1 1 (4, 1, 3) 2 1 3
目录 上页 下页 返回 结束
特别有:
(1) L
s // n
(2) L //
sn
ABC mn p Am BnC p 0
例3. 求过点(1,－2 , 4) 且与平面
垂
直的直线方程.
解: 取已知平面的法向量 n (2, 3, 1)
n
为所求直线的方向向量.
则直线的对称式方程为
L2 s2
目录 上页 下页 返回 结束
待求直线的方向向量
i jk
s s1 n 3 2 1 3(3 i 2 j 5 k) 3 3 3
故所求直线方程为 x 1 y 2 z 1 3 2 5
方法2 利用所求直线与L2 的交点 .
设所求直线与 L2 的交点为B(x0 , y0 , z0 ),
第六节
第八章
空间直线及其方程
一、空间直线方程 二、线面间的位置关系
目录 上页 下页 返回 结束
一、空间直线方程
1. 一般式方程 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程
A1x B1y C1z D1 0
(不唯一)
z
L 1
O x2 yຫໍສະໝຸດ 目录 上页 下页 返回 结束
2. 对称式方程
已知直线上一点 M 0 (x0 , y0 , z0 )和它的方向向量
s2
s1 // s2 m1 n1 p1 m2 n2 p2
s1
L1
s2
L2
目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求以下两直线的夹角
L2
:
x y20 x 2z 0
解: 直线L1的方向向量为
i jk
直线L2的方向向量为 s2 1 1 0 (2, 2, 1)
10 2 二直线夹角 的余弦为
设直线上的动点为 M (x, y, z)
s
则
M (x, y, z)
故有
x x0 y y0 z z0
m
n
p
M 0 (x0 , y0 , z0 )
此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)
说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零. z
例如, 当 m n 0, p 0 时, 直线方程为
故所给直线的对称式方程为 x 1 y
t
4 1
参数式方程为
解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量.
是直线上一点
目录 上页 下页 返回 结束
二、线面间的位置关系
1. 两直线的夹角
两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)
设直线 L1, L2 的方向向量分别为
则两直线夹角 满足
x y
x0 y0
y0
x x0 O
y
目录 上页 下页 返回 结束
3. 参数式方程
设 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
得参数式方程 :
x x0 mt y y0 nt z z0 pt
目录 上页 下页 返回 结束
例1.用对称式及参数式表示直线
mn p ABC
L //
sn0
mAnB pC 0
夹角公式： sin s n
sn
L
目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习
P48 题2, 10
作业 P48 3，4，5，7，9
习题课 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
一直线过点
又和直线
且垂直于直线 L1
:
x 1 3
当直线与平面垂直时,规定其夹角为
设直线 L 的方向向量为 s (m, n, p) 平面 的法向量为 n (A, B,C )
则直线与平面夹角 满足
︿ sin cos( s , n )
ns L
sn
Am Bn C p
sn
m2 n2 p2 A2 B2 C2
x 1 y 2 z 4 2 3 1
目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 空间直线方程
一般式
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 0
对称式
参数式
x y
x0 y0
m n
t t
z z0 p t
将 x0 2 y0 , z0 y0 代入上式 , 得
AB ( 9 , 6 , 15) 3 (3, 2, 5) 77 7 7
由点向式得所求直线方程
A(1,2,1)
x 1 y 2 z 1 3 2 5
L2 B(x0 , y0 , z0 )
目录 上页 下页 返回 结束
s1 s2
m1 n1 p1 m2 n2 p2
目录 上页 下页 返回 结束
3. 面与线间的关系
平面 : Ax B y C z D 0, n (A, B ,C )
直线 L : x x y y z z , s (m, n, p) mn p
L⊥
sn0