数学理卷·2014届山东省青岛开发区一中高三12月月考(2013.12)

理科数学 2013.12本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡—并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。

2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、 修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式：S 是锥体的底面积，，h 是锥体的高。

R 是球的半径。

第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (1)，则A B =(A){}|12x x << (B){}|12x x -<< (D){}|11x x -<< (2)若函数21,1()ln ,1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩则(())f e （e 为自然对数的底数）=(A)0 (B)1 (C)2 (D)2ln(1)e +(3)已知α为第二象限角，且，则tan()πα+的值是(4)则“函数()x f x a =”在R 上是增函数”是“函数()ag x x =”“在(0,)+∞上是增函数”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(5)(6)(7)的图象向右平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于 y m(8)设数列{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和，已知2431,7a a S == ，则5S =(A)(9)已知,,a b c R ∈，给出下列命题：①若a b >，则22ac bc >；②若ab ≠0，③若0,a b n N *>>∈，则n n a b >； ④若log 0(0,1)a b a a <>≠，则a ，b 中至少有一个大于1．其中真命题的个数为 (A)2 (B)3 (C)4 (D)1 (10)已知某几何体的三视图如右图所示，其中，主（正）视图， 左（侧）视图均是由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆 与内接直角三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为( )(B)(C)(A) (B) (C) (D)(11)若ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ．且，则CA CB 等于(D)3 (12)设函数[)()1,,1,f x n x n n n N =-∈+∈，则方程2()log f x x =的根有(A)1个 (B) 2个 (C)3个 (D)无数个第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．(13)已知向量(1,2)a =，向量(,2)b x -，且()a a b ⊥-，则实数x 等于______________.． ，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>> 的最大值为8，则a+b 的最小值为_____________．(16)若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象和直线y=x 无交点，现有下列结论： ①方程[()]f f x x =一定没有实数根；②若a>0，则不等式[()]f f x x >对一切实数x 都成立； ③若a<0，则必存在实数0x ，使00[()]f f x x >;④函数2()(0)g x ax bx c a =-+≠的图象与直线y=-x 一定没有交点，其中正确的结论是____________（写出所有正确结论的编号）． 三、解答题：本大题共6小题，共74分． (17)（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且角A 、B 、C 成等差教列． ( I)c 的值； ( II)设sin sin t A C =，求f 的最大值． (18)（本小题满分12分）已知函数()22,xxf x k k R -=+∈ . ( I)若函数()f x 为奇函数，求实数k 的值；( II)若对任意的[)0,x ∈+∞，都有()2xf x ->成立，求实数k 的取值范围．(19)（本小题满分12分）在四棱锥P-ABCD 中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，90,1,2ADC AB AD PD CD ∠===== ADC -900,AB= AD= PD=1.CD=2.(I)求证：BC ⊥平面PBD ：(II)设E 为侧棱PC 上异于端点的一点，PE PC λ=，试确定λ的值，使得二面角E-BD -P 的大小为45 ．(20)（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：11(),1n n a a n N a *+>∈=，该数列的前三项分别加上l ，l ，3后顺次成为等比数列{}n b 的前三项． (I)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； ( II)求c 的最小值．(21)（本小题满分13分）某建筑公司要在一块宽大的矩形地面（如图所示）上进 行开发建设，阴影部分为一公共设施不能建设开发，且要求 用栏栅隔开（栏栅要求在直线上），公共设施边界为曲线 2()1(0)f x ax a =->的一部分，栏栅与矩形区域的边界交于点M 、N ，切曲线于点P ，设(,())P t f t ．( I)将OMN ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示成f 的函数S(t)； (II)S(t)取得最小值，求此时a 的值及S(t)的最小值．(22)（本小题满分13分）已知函数()ln r x x =，函数 ( I)试求f (x)的单调区间。

(II)若f (x)在区间[)1,+∞上是单调递增函数，试求实数a 的取值范围：(ⅡI)设数列{}n a 是公差为1．首项为l n 项和为n S ，求证：当1a =时，参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1-5 BCDAC 6-10ADBAC 11-12DC二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）9；（14；（15）4； （16）①②④ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.(17)解：（Ⅰ）因为角A B C 、、成等差数列，所以2B A C =+，因为A B C ++=π，所以………2分 ，3a =，2222cos b a c ac B =+-, 所以2340c c --=.所以4c =或1c =-(舍去)． …………6分………………9分……………12分(18)解：（Ⅰ）因为()22x x f x k -=+ 是奇函数，所以()(),R f x f x x -=-∈， ………2分即22(22),x x x x k k --+=-+ 所以2(1)(1)20x k k +++= 对一切R x ∈恒成立， 所以1k =-. ……………6分（Ⅱ）因为[)0,x ∈+∞，均有()2,x f x ->即222x x x k --+> 成立，所以212x k -<对0x ≥恒成立， ……………8分所以2min 1(2)x k -<,因为22x y =在[)0,+∞上单调递增，所以2min (2)1x =， 所以0k >. ……………12分(19) （Ⅰ）证明：因为侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，所以PD⊥底面ABCD ，所以PD ⊥AD .又因为ADC ∠＝90 ，即AD ⊥CD ，以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,1)P ，所以(1,1,0),(1,1,0).DB BC ==-所以0DB BC ⋅=，所以BC BD ⊥ 由PD ⊥底面ABCD ，可得PD BC ⊥,又因为PD DB D = ，所以BC ⊥平面PBD . ……5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PBD 的一个法向量为(1,1,0)BC =- ，且(0,0,1)P ，(0,2,0)C ，所以(0,2,1)PC =- ，又PE PC = λ，所以(0,2,1)E -λλ，(0,2,1)DE =-λλ. (7)分设平面EBD 的法向量为(,,)a b c =n ，因为(1,1,0)DB =，由0DB = n ，0DE =n ，得02(1)0a b b c +=⎧⎨+-=⎩λλ，令1a =-，则可得平面EBD 的一个法向量为……………10分又由题意知()0,1∈λ，故 ……………12分 (20) 解: （Ⅰ）设d q 、分别为数列{}n a 的公差、数列{}n b 的公比．由题意知，11a =，231,12a d a d =+=+，分别加上1,1,3得2,2,2d d ++4,2(2)2(42),2d d d +=+=±所以又1n n a a +>，所以0d >，所以2d =，所以21n a n =-(*n ∈N )，由此可得12b =24b =，2q =，所以2n n b =(*n ∈N )． ……………6分……………10分分(21)解：（Ⅰ）2y ax '=-，直线MN 的斜率为2at -，∴直线MN的方程为2(1)2()y at at x t --=--令0,y = (3)分令0x =,得2222121,(0,1)y at at at N at =-+=+∴+,MON ∴∆的面积 (6)分因为0,0a t >>,由()0S t '=, ………9分 , ()0S t '>, ,, ()S t 取得最小值,………13分(22)解：（Ⅰ）()f x =因为0a >，0x >，所以20ax >，令10ax ->， 所以()f x 的单调递增区间是；()f x 的单调递减区间是 (4)分（Ⅱ）若()f x 在[1,)x ∈+∞是单调递增函数，则'()0f x ≥恒成立，即因为[1,)x ∈+∞，…………….7分令1,2,,1,(x n n *=-∈ N 且2)n ≥时， 将所得各不等式相加，得……………13分。