层流边界层积分近似解
合集下载
层流边界层积分近似解
y 0
假定速度分布函数： b0 b1 y b2 y2 b3 y3
y 0： 0
T T 2T u v a 2 x y y
2 0 2 y
y ：
0 y
平板层流边界层微分方程组中 的温度场方程
b0 b1 y b2 y2 b3 y3
基本思路
1) 建立边界层积分方程。 2) 对边界层内的速度和温度分布做出假 设，常用的函数形式为多项式。 3) 利用边界条件确定速度和温度分布中的常 数，然后将速度分布和温度分布带入积分方程， 解出 t 4) 根据求得的速度分布和温度分布计算边界 上的 c fx Nux
边界层能量积分方程式
谢谢观赏
背景
1921年，冯卡门提出了边界层动量积分方程。 1936年，克鲁齐林求解了边界层能量积分方程所得 的结果称为边界层问题的近似解。 边界层积分方程一般可由两种方法获得：一是将动 量守恒定律和能量守恒定律应用于控制体：二是对 边界层微分方程直接进行积分。前一种方法物理意 义清晰，有助于对流动和换热机理的理解；后一种 推倒方法比较简捷。
y 0： u 0
u u 2u u v v 2 x y y
2u 0 2 y
y ： u u
u 0 y
平板层流边界层微分方程组中 的速度场方程
u a0 a1 y a2 y 2 a3 y3
y 0： u 0
2u 0 2 y
y ： u u
u 0 y
a0 0
a1 3/2
u
a2 0
u a3 3 2
u 3y 1 y 3 ( ) u 2 2 代入动量积分方程后求解得：
平板层流边界层近似速度分布计算方法的改进
(17)
·590 ·
鞍 山 科 技 大 学 学 报 第 29 卷
1 2
CD
=
ν∞ x ν=
1 2
α1
dF dη
η= 0
=
1 - 01215β 01117 46 + 01024 649 3β - 01005 420 55β2
基本边界条件式 。
把式 (14) 带入边界层积分方程中 ,确定边界层中的特征量和 CD ,并确定近似速度剖面对应的β值 。
对应式 (14) 的 α1 ,α2 和ddηF η= 0 的值分别为
∫ ∫ α2 =
1
(1 - F) dη =
0
1
1-
0
βsin
πη 2
+
(1
-
β) (2η -
2η3
+ η4 )
01005
420
55β2
这是边界层厚度δ的一阶常微分方程 ,根据边界条件 δ| x = 0 = 0 ,积分上式可得
δ
ν∞ νx
=
2 (2 - 0143) 01117 46 + 01024 649 3β - 01005 420 55β2
(15)
由式 (3) 和式 (15) 以及 α1
,α2
和
dF dη
(8)
文献[ 1 ] 给出的公式
F (η) = 11635η - 01905η3 + 0127η4
(9)
文献[ 2 ] 给出的公式
F (η) = 11674 9η - 01769 3η3 + 01061 3η6 + 01033η8
(10)
满足边界层条件 F (0) = 0 , F (1) = 1 , F′(1) = 0 , F″(0) = 0 。
层流边界层流动和换热的相似解(一)18页PPT
即
dp p
dx x
其中 ddpxuddux若 dd ux0，d d则 p x0
带入化简后的动量方程式得
（ u u xv u y) 1d d p x y 2u 2
（3）边界层能量方程，经类似分析有： u xt v yt a y2t2
（4）综上，经数量级分析简化后的控制方程为：
uv0 x y
法则： （1）明确数量级分析得区域空间； （2）任何方程至少有两个数量级相等的主要控制项； （3） C=A+B,若○(A)>> ○(B),则○(C)= ○(A)；
若○(A) ~○(B),则 ○(C)~○(A) ~○(B)； （4） P=AB, ○(P)~○(A)·○(B) （5）R=A/B， ○(R)~○(A)/○(B)
可忽略分母为平也可以通过下法分析简化压力项考虑边界层内任一点的压力全微分dy除以dx得到dxdydxdp从动量方程的数量级分析考虑压力项和摩擦项平衡如方程1有分析过程类似地由方程2得dxdydxdp一致即边界层的压力主要在x方向换言之在任意x处边界层的压力与边界层外缘处压力相同dxdpdxdp带入化简后的动量方程式得3边界层能量方程经类似分析有
连续性方程
uv0 x y
（ u u x v u y) 1 p x ( x 2 u 2 y 2 u 2)
动量方程
能量方程
边 界 条 件
u x tv y ta( x 2T 2 y 2T 2)
u|y00,v|y00,t|y0tw u|yu,t|yt uconst
2、利用数量级分析对控制方程进行化简
层流边界层流动和换热的相似解(一)
幽默来自智慧，恶语来自无能
层流边界层流动和换热的相似解（一）
第二版 8—3 P161
高等热值交换技术 边界层的流动和换热
w f x
平均
1 L tw t f tw t f L 0 温差
1 Lq q L x x dx L 0 h dx L 0 Nu dx x x
qL 平均努塞尔数: Nu tw t f Nu 0.680Re1/ 2 Pr1/ 3 偏差2.4％ 1/ 2 1/3 Nu 0.664Re Pr
第三章 层流边界层的流动和换热
3-1 外掠平板层流边界层流动的相似解 h=f(u,tw,tf,λ,ρ,c,η,α,l,ψ)
流体平行外掠平板强迫对流换热的解，可以表示成特征数关联 式的形式，即
Nu=f(Re,Pr)
特征数关联式中变量个数大为减少，更突出地反映相关物理量 之间的依赖关系，及其对对流换热的综合影响。
1. 布拉修斯无量纲参数得到外掠平壁的层流边界层流 动的相似解； 2. 戈尔德斯坦研究在什么条件下，可实现相似变量的 变换而求得相似解； 3. 赛比西和布雷德肖 应用龙格-库塔法求得同样问题 的解； 4. 豪沃思用数值积分得到的结果如下表：
由上述计算得到的外掠 平壁层流边界层 流动的速度分布:
(1) 流动边界层厚度
这一结果与理论分析结果一致。附加项Ｐｒｆ／Ｐｒｗ 用以考虑物性变化和热流方向的影响。
43
作业：
1. 试证明:Prw<<1 的流体外掠平壁层流边界层流动换热的局 部努谢尔特数为：
Nu
1
Re x Pr
2
1
1
2
２. 试证明:Prw＞＞1 的流体外掠平壁层流边界层流动换热， 若假定速度分布与温度分布均为直线，使用积分方程求解证 明：
对有限控制容积建立动量热量平衡方程 对边界层微分方程进行积分
积分方程 25
平均
1 L tw t f tw t f L 0 温差
1 Lq q L x x dx L 0 h dx L 0 Nu dx x x
qL 平均努塞尔数: Nu tw t f Nu 0.680Re1/ 2 Pr1/ 3 偏差2.4％ 1/ 2 1/3 Nu 0.664Re Pr
第三章 层流边界层的流动和换热
3-1 外掠平板层流边界层流动的相似解 h=f(u,tw,tf,λ,ρ,c,η,α,l,ψ)
流体平行外掠平板强迫对流换热的解，可以表示成特征数关联 式的形式，即
Nu=f(Re,Pr)
特征数关联式中变量个数大为减少，更突出地反映相关物理量 之间的依赖关系，及其对对流换热的综合影响。
1. 布拉修斯无量纲参数得到外掠平壁的层流边界层流 动的相似解； 2. 戈尔德斯坦研究在什么条件下，可实现相似变量的 变换而求得相似解； 3. 赛比西和布雷德肖 应用龙格-库塔法求得同样问题 的解； 4. 豪沃思用数值积分得到的结果如下表：
由上述计算得到的外掠 平壁层流边界层 流动的速度分布:
(1) 流动边界层厚度
这一结果与理论分析结果一致。附加项Ｐｒｆ／Ｐｒｗ 用以考虑物性变化和热流方向的影响。
43
作业：
1. 试证明:Prw<<1 的流体外掠平壁层流边界层流动换热的局 部努谢尔特数为：
Nu
1
Re x Pr
2
1
1
2
２. 试证明:Prw＞＞1 的流体外掠平壁层流边界层流动换热， 若假定速度分布与温度分布均为直线，使用积分方程求解证 明：
对有限控制容积建立动量热量平衡方程 对边界层微分方程进行积分
积分方程 25
柯尔本类似律在化工传递过程中的应用
关键 词 ： 柯尔本类似律 ； 柯尔本 因数 ； 热 ； 传 传质
中 图 分 类 号 ：Ｋ１３ Ｔ ２ 文献标识码 ： Ａ Ｚ Ｎ ｕｎ ｓｅ ｇ Ｅ Ｇ Ｑ ａ －ｈ ｎ
（ ｏｌ ｅｏ ｈｍｉ ｌ ｎｉｅｒ ｇ。 ｆｉ ｎｖｒｔ ｆ ｅｈ ｏｏｙ Ｈｅｅ ２０ ０ ，ｈｎ ） Ｃ ｌｇ ｆ ｅ ｃ ｇ ｅｉ Ｈｅｅ Ｕ ｉｅｓｙｏ ｃｎ ｌｇ， ｆｉ ３０ ９Ｃ ｉａ ｅ Ｃ ａＥ ｎ ｎ ｉ Ｔ
ｊ
近似 取 ｎ ， （ — ） ＝１ 式 ２ １ 即为 式 （－ ）进 而 可 １２ ，
得：
由于质量传递与热量传递的类似性 ， 流体在平
（— ） ２ ２
； Ｊ Ｌ ２ Ｈ
板壁面上层流边界层 区域的对流传质与对流传热 的机理相似 、 数学模型相似 、 求解过程相似 、 求得的 结果也相似 ， 所得 的局部修伍德数为【： 】
行于平板壁面上流动时 ， 只有 摩 擦 阻力 ， 界 层 厚 边 度 随距 前沿 距离 的增 大而 变厚 。 当 值较 小 时 ， 边
联 立 上 述 公 式 ，即得 一 个 形 式 非 常 简 单 的公
式：
庐 （— ） １ ７
该式集“ 三传 ” 于一 身 ， 是动量 、 热量和质量传 递 的柯 尔 本类 似律 ［。 ２ １
阻力系数 、 对流传热系数与传质 系数是在计算 化 工传递过程速率 （ 流动 阻力 、 传热速率与传质速 率 ） 首先 要 确 定 的传 递 系数 。它们 都 是 雷诺 数 的 时
函 数 ， 者具 有 类 似性 ， 缺少 实验 数 据 时 ， 三 在 可应 用
对于光滑管 中的湍流流动 ， 化学工程文献 中常 用 的一个 经验 方程 为…：
由式 （— ） １２ 可得 ：
中 图 分 类 号 ：Ｋ１３ Ｔ ２ 文献标识码 ： Ａ Ｚ Ｎ ｕｎ ｓｅ ｇ Ｅ Ｇ Ｑ ａ －ｈ ｎ
（ ｏｌ ｅｏ ｈｍｉ ｌ ｎｉｅｒ ｇ。 ｆｉ ｎｖｒｔ ｆ ｅｈ ｏｏｙ Ｈｅｅ ２０ ０ ，ｈｎ ） Ｃ ｌｇ ｆ ｅ ｃ ｇ ｅｉ Ｈｅｅ Ｕ ｉｅｓｙｏ ｃｎ ｌｇ， ｆｉ ３０ ９Ｃ ｉａ ｅ Ｃ ａＥ ｎ ｎ ｉ Ｔ
ｊ
近似 取 ｎ ， （ — ） ＝１ 式 ２ １ 即为 式 （－ ）进 而 可 １２ ，
得：
由于质量传递与热量传递的类似性 ， 流体在平
（— ） ２ ２
； Ｊ Ｌ ２ Ｈ
板壁面上层流边界层 区域的对流传质与对流传热 的机理相似 、 数学模型相似 、 求解过程相似 、 求得的 结果也相似 ， 所得 的局部修伍德数为【： 】
行于平板壁面上流动时 ， 只有 摩 擦 阻力 ， 界 层 厚 边 度 随距 前沿 距离 的增 大而 变厚 。 当 值较 小 时 ， 边
联 立 上 述 公 式 ，即得 一 个 形 式 非 常 简 单 的公
式：
庐 （— ） １ ７
该式集“ 三传 ” 于一 身 ， 是动量 、 热量和质量传 递 的柯 尔 本类 似律 ［。 ２ １
阻力系数 、 对流传热系数与传质 系数是在计算 化 工传递过程速率 （ 流动 阻力 、 传热速率与传质速 率 ） 首先 要 确 定 的传 递 系数 。它们 都 是 雷诺 数 的 时
函 数 ， 者具 有 类 似性 ， 缺少 实验 数 据 时 ， 三 在 可应 用
对于光滑管 中的湍流流动 ， 化学工程文献 中常 用 的一个 经验 方程 为…：
由式 （— ） １２ 可得 ：
第6章层流的解析解与近似解
第6章 层流的解析解与近似解粘性流动基本方程组的解析解有着它固有的数学困难，真正能做解析解的流动为数不多，而且都是比较简单的流动。
本章将介绍几种粘性流动的解析解，有助于我们开阔思路，认识多种实际流动的性质。
首先先介绍一下粘性流研究的意义和研究的特点以及粘性流动的基本方程组，接着介绍一些解析解。
在介绍解析解时先考虑常特性不可压缩流体，通过基本方程，解得流场的速度和温度分布，最后求出摩擦阻力系数和热交换系数。
为了认识可压缩流动的特性，介绍两种简单的可压缩流动的解析解。
另外本章只限于雷诺数不大的流动。
6.1 粘性流研究的意义一切流体都具有粘性，但是人类最经常接触的流体，如水和空气其粘性都很小，要考虑粘性的影响就会使数学问题变得非常复杂；另外，对于这些粘性小的流体，忽略其粘性所得到的结果又能在一定程度上符合实际情况，因此，理想无粘性流体理论最先得到了发展，它比粘性流体理论要成熟得多。
应当指出，虽然理想流体理论取得了重大的成就，但在某些方面却有不可逾越的先天性缺陷。
例如，它不能预估管道流动的压力损失，也不能计算在流体中运动的物体所受到的阻力。
后一问题与著名的达朗伯疑题有关。
达朗伯对理想流体进行了严谨的研究后得出了如下结论：当任意形状的固体在静止的充满无限空间的无粘性流体中作匀速直线运动，它不承受沿运动方向的作用力，即物体所受阻力为零。
在他所做假设的前提下，这一结论的逻辑推理是完全正确的，但它却与实际完全不符，因为所有的物体在流动中运动时都受到阻力作用。
这从反面说明了考虑粘性的必要性。
例1 圆柱绕流对于理想不可压缩流体，()22214sin s p p p C U θρ∞∞-==- 其中 p ∞——远前方静压，ρ——流体密度。
空气动力学基础第五章边界层理论及其近似解读
u v 0 x y
ue u u u ue 2u u v ue 2 t x y t x y
在定常流动情况下，有
u v 0 x y
ue u u 2u u v ue 2 x y x y
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
0 1 p y
这说明，在高Re数情况下，在边界层内压力沿法向是不变的。
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
边界层内的压力分布与边界层外边界线上的压力分布相等。也就是， p与y无关，仅是x和t的函数。即
p pe ( x, t )
忽略质量力，Prandtl边界层方程变为
u v 0 x y
0
1 1
0
u dy e ue
这部分主流区增加的流体厚度是由边界层流体排挤入主流区造成的。因 此，称其为排移厚度。 （b）边界层动量损失厚度 在边界层内，在质量流量不变的条件下，理想流体通过的动量为
K i u e udy
0
由于粘性的存在，实际流体通过的动量为
v v v 1 p 2v 2v u v fy 2 2 t x y y x y
选取长度特征L，速度尺度ue，时间尺度t=L/ue，边界层近似假定：
5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程
（1）根据边界层定义，纵向偏导数远远小于横向偏导数。
5.1、边界层近似及其特征
Prandtl的边界层概念，为人们如何计入粘性的作用开辟了划时代的途 径，因此称其为粘性流体力学之父。对整个流场提出的基本分区是： （1）整个流动区域可分成理想流体的流动区域（势流区）和粘性流体的 流动区域（粘流区）。 （2）在远离物体的理想流体流动区域，可忽略粘性的影响，按势流理论 处理。 （3）粘性流动区域仅限于物面近区的薄层内，称为边界层。既然是粘流 区，粘性力的作用不能忽略，与惯性力同量级，流体质点作有旋运 动。 2、边界层的特征 （1）边界层定义 严格而言，边界层区与主流区之间无明显界线，通常以速度达到主 流区速度的0.99U作为边界层的外缘。由边界层外缘到物面的垂直距离称 为边界层名义厚度。
层流边界层方程积分方程
8-4 层流边界层的积分方程
边界层积分方程分为 a、边界层动量积分方程 b、边界层能量积分方程 8-4-1 边界层动量积分方程 m U cx 如果边界层外主流速度不遵循式 （m不 是常数）的规律，则不能获得相似解，边界层方程 不能简化为常微分方程，只能采用近似的方法求解 边界层方程。 a、可以通过质量、动量和能量守恒，对边界层的控 制体进行计算。 b、对边界层微分方程直接积分。
4
h
(tw t )
qw
(tw t ) (t y ) y 0
(8 4 18)
它是温差tw-t∞与壁面处温度梯度的比值。
将上式在y 方向对整个边界层厚度积分，可得
0 x [u(U u)]dy v(U u ) dU u (U u )dy 0 0 dx y
0
(8 4 4)
其中速度u（x ，y）是x ，y的函数，δ只是x的函数。
利用微分法则可知
(8 4 14)
式（8-4-14）称为边界层能量积分方程。
1、边界层能量损失厚度δ3
3
0
u u2 (1 2 )dy (8 4 15) U U
反映的是由于流体的粘性而产生的能量损失，相当于 通过厚度为δ3厚度的主流区流体具有的动能。
2、焓厚度∆2
为简化积分方程的表达式，定义边界层的焓厚度为
t t 2t u v a 2 x y y
同样，上式在 y方向上对整个温度边界层厚度积分，得
t
0
2 t t t t t u dy v dy a dy 2 0 0 x y y
(8 4 10)
t u d t utdy t dy vt 0 dx 0 x
边界层积分方程分为 a、边界层动量积分方程 b、边界层能量积分方程 8-4-1 边界层动量积分方程 m U cx 如果边界层外主流速度不遵循式 （m不 是常数）的规律，则不能获得相似解，边界层方程 不能简化为常微分方程，只能采用近似的方法求解 边界层方程。 a、可以通过质量、动量和能量守恒，对边界层的控 制体进行计算。 b、对边界层微分方程直接积分。
4
h
(tw t )
qw
(tw t ) (t y ) y 0
(8 4 18)
它是温差tw-t∞与壁面处温度梯度的比值。
将上式在y 方向对整个边界层厚度积分，可得
0 x [u(U u)]dy v(U u ) dU u (U u )dy 0 0 dx y
0
(8 4 4)
其中速度u（x ，y）是x ，y的函数，δ只是x的函数。
利用微分法则可知
(8 4 14)
式（8-4-14）称为边界层能量积分方程。
1、边界层能量损失厚度δ3
3
0
u u2 (1 2 )dy (8 4 15) U U
反映的是由于流体的粘性而产生的能量损失，相当于 通过厚度为δ3厚度的主流区流体具有的动能。
2、焓厚度∆2
为简化积分方程的表达式，定义边界层的焓厚度为
t t 2t u v a 2 x y y
同样，上式在 y方向上对整个温度边界层厚度积分，得
t
0
2 t t t t t u dy v dy a dy 2 0 0 x y y
(8 4 10)
t u d t utdy t dy vt 0 dx 0 x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4 2 1
y 0
3 2
略去高次项
d 3 2 3 [ u ] a dx 20 2
d 2 a 2 d u u 10 dx dx
d 2 a 2 d u u 10 dx dx
d
令：
3
d 3 39 1 dx 4 x 56 x Pr
一阶线性常微分方程
d 3 39 1 dx 4 x 56 x Pr
P
Q
通解： e
Pdx
Pdx ( Qe dx c)
13 1 cx 3 / 4 14 Pr
x 0, t 0
基本思路
1) 建立边界层积分方程。 2) 对边界层内的速度和温度分布做出假 设，常用的函数形式为多项式。 3) 利用边界条件确定速度和温度分布中的常 数，然后将速度分布和温度分布带入积分方程， 解出 t 4) 根据求得的速度分布和温度分布计算边界 上的 c fx Nux
边界层能量积分方程式
w w
边界层动量积分方程解：
d du u ( u u ) dy dx 0 dx
0
(u u )dy
u y
y 0
d u u u u (1 )dy 0 dx u u y
2
y 0
假定速度分布函数： u a0 a1 y a2 y 2 a3 y3
140 dx 13 u
280 x 13 u
2
280 d 2 a 2 140 x 10 13 dx 13
13 2 d 3 4 x dx 14 Pr
d 2 13 3 2 x dx 14 Pr 4 d 3 13 3 x 3 dx 14 Pr
y 0： u 0
u u 2u u v v 2 x y y
2u 0 2 y
y ： u u
u 0 y
平板层流边界层微分方程组中 的速度场方程
u a0 a1 y a2 y 2 a3 y3
y 0： u 0
2u 0 2 y
y ： u u
3
13 1 cx 3 / 4 14 Pr
3
0
c0
13 1 14 Pr
t 1 Pr 1/ 3 Pr 1/ 3 1.025
T hx Twx T y
y 0
3 1 2
3 x Nux 2
hx x
1/ 2 3 Re 1/ 2 1/ 3 1/ 3 x 0.332 Re Pr 1.025Pr x 2 4.64
对控制体应用质量，动量和能量守恒关系，导出动量 积分方程和能量积分方程。
能量积分方程：
d t t u (t t )dy a dx 0 y
y 0
边界层动量积分方程式
动量积分方程：
d du u (u u )dy dx 0 dx
0
u (u u )dy y
边界层积分方程组求解
报告人：慈超 学 号：2013110806
边界层积分方程组求解
背景
1921年，冯卡门提出了边界层动量积分方程。 1936年，克鲁齐林求解了边界层能量积分方程所得 的结果称为边界层问题的近似解。 边界层积分方程一般可由两种方法获得：一是将动 量守恒定律和能量守恒定律应用于控制体：二是对 边界层微分方程直接进行积分。前一种方法物理意 义清晰，有助于对流动和换热机理的理解；后一种 推倒方法比较简捷。
y 0
假定速度分布函数： b0 b1 y b2 y2 b3 y3
y 0： 0
T T 2T u v a 2 x y y
2 0 2 y
y ：
0 y
平板层流边界层微分方程组中 的温度场方程
b0 b1 y b2 y2 b3 y3
c fx
wx
1 2 u 2
0.646 Re
1/2 x
边界层能量分析求解 边界层温度场、厚度、及壁面温度梯度，从而 求出表面传热系数。 为简化方程推导，设定换热条件是：1）壁温 为t w ，主流温度为 t ，主流速度为 u2）流 体为常物性，且 pr 1 3）流体无内热源也不 考虑耗散热。根据热边界层的特点，x方向上 导热很小故不考虑，只考虑y方向的导热。
y 0
动量积分方程的求解
动量积分方程式推导中没有附加紊流或层流的 条件，故它不仅适用于层流也适用于紊流。但 求解时，必须先给出边界层速度分布函数以及 粘滞应力的表达式。给出的这两个函数是否精 确将影响到积分结果，这是积分方程解的特点， 因此其解是近似的。
外掠平板层流边界层的厚度及摩擦系数
作为实例，把 u 作为常数，此时动量积分方 du 程左边第二项为0，且 dy。同时为积分 方程，补充的边界层速度函数一般选用多项式 较好，也可选用其他形式函数，选择哪一种， 主要看它能否更好表达边界层内的速度分布。
谢谢观赏
u 0 y
a0 0
a1 3/2
u
a2 0
u a3 3 2
u 3y 1 y 3 ( ) u 2 2 代入动量积分方程后求解得：
0
140 d 13 u
0
x
dx
x
280 1/2 4.64 Re x 13 u x
x
280 1/2 4.64 Re x 13 u x
代入速度分布方程：
u 3 y 1 y 3 ( ) 1/2 1/2 u 2 4.64 Re x 2 4.64 Re x x x
u w y
y 0
3/2 3 u u 0.323 1 / 2 2 4.64 Re x x x
tw
外掠平板层流热边界层厚度及表面传热系数
以外掠平板层流作为实例，为求解能量积分方 程，必须先给出边界层速度分布函数u和边界 层温度分布函数t，速度分布函数u已确定了， 尚须补充温度分布函数，仍选用多项式函数。
边界层能量积分方程解：
引入过余温度：θ=T-Tw
d t u u (1 )dy a dx 0 u y
y 0： 0
2 0 2 y
y t：
b2 0
0 y
b0 0
b1 3/2
b3 1/2
3 y 1 y 3 ( ) 2 t 2 t
令：
t /
1
t y
d 3 2 3 4 3 代入能量积分方程： dx [ u ( 20 28 )] 2 a
y 0
3 2
略去高次项
d 3 2 3 [ u ] a dx 20 2
d 2 a 2 d u u 10 dx dx
d 2 a 2 d u u 10 dx dx
d
令：
3
d 3 39 1 dx 4 x 56 x Pr
一阶线性常微分方程
d 3 39 1 dx 4 x 56 x Pr
P
Q
通解： e
Pdx
Pdx ( Qe dx c)
13 1 cx 3 / 4 14 Pr
x 0, t 0
基本思路
1) 建立边界层积分方程。 2) 对边界层内的速度和温度分布做出假 设，常用的函数形式为多项式。 3) 利用边界条件确定速度和温度分布中的常 数，然后将速度分布和温度分布带入积分方程， 解出 t 4) 根据求得的速度分布和温度分布计算边界 上的 c fx Nux
边界层能量积分方程式
w w
边界层动量积分方程解：
d du u ( u u ) dy dx 0 dx
0
(u u )dy
u y
y 0
d u u u u (1 )dy 0 dx u u y
2
y 0
假定速度分布函数： u a0 a1 y a2 y 2 a3 y3
140 dx 13 u
280 x 13 u
2
280 d 2 a 2 140 x 10 13 dx 13
13 2 d 3 4 x dx 14 Pr
d 2 13 3 2 x dx 14 Pr 4 d 3 13 3 x 3 dx 14 Pr
y 0： u 0
u u 2u u v v 2 x y y
2u 0 2 y
y ： u u
u 0 y
平板层流边界层微分方程组中 的速度场方程
u a0 a1 y a2 y 2 a3 y3
y 0： u 0
2u 0 2 y
y ： u u
3
13 1 cx 3 / 4 14 Pr
3
0
c0
13 1 14 Pr
t 1 Pr 1/ 3 Pr 1/ 3 1.025
T hx Twx T y
y 0
3 1 2
3 x Nux 2
hx x
1/ 2 3 Re 1/ 2 1/ 3 1/ 3 x 0.332 Re Pr 1.025Pr x 2 4.64
对控制体应用质量，动量和能量守恒关系，导出动量 积分方程和能量积分方程。
能量积分方程：
d t t u (t t )dy a dx 0 y
y 0
边界层动量积分方程式
动量积分方程：
d du u (u u )dy dx 0 dx
0
u (u u )dy y
边界层积分方程组求解
报告人：慈超 学 号：2013110806
边界层积分方程组求解
背景
1921年，冯卡门提出了边界层动量积分方程。 1936年，克鲁齐林求解了边界层能量积分方程所得 的结果称为边界层问题的近似解。 边界层积分方程一般可由两种方法获得：一是将动 量守恒定律和能量守恒定律应用于控制体：二是对 边界层微分方程直接进行积分。前一种方法物理意 义清晰，有助于对流动和换热机理的理解；后一种 推倒方法比较简捷。
y 0
假定速度分布函数： b0 b1 y b2 y2 b3 y3
y 0： 0
T T 2T u v a 2 x y y
2 0 2 y
y ：
0 y
平板层流边界层微分方程组中 的温度场方程
b0 b1 y b2 y2 b3 y3
c fx
wx
1 2 u 2
0.646 Re
1/2 x
边界层能量分析求解 边界层温度场、厚度、及壁面温度梯度，从而 求出表面传热系数。 为简化方程推导，设定换热条件是：1）壁温 为t w ，主流温度为 t ，主流速度为 u2）流 体为常物性，且 pr 1 3）流体无内热源也不 考虑耗散热。根据热边界层的特点，x方向上 导热很小故不考虑，只考虑y方向的导热。
y 0
动量积分方程的求解
动量积分方程式推导中没有附加紊流或层流的 条件，故它不仅适用于层流也适用于紊流。但 求解时，必须先给出边界层速度分布函数以及 粘滞应力的表达式。给出的这两个函数是否精 确将影响到积分结果，这是积分方程解的特点， 因此其解是近似的。
外掠平板层流边界层的厚度及摩擦系数
作为实例，把 u 作为常数，此时动量积分方 du 程左边第二项为0，且 dy。同时为积分 方程，补充的边界层速度函数一般选用多项式 较好，也可选用其他形式函数，选择哪一种， 主要看它能否更好表达边界层内的速度分布。
谢谢观赏
u 0 y
a0 0
a1 3/2
u
a2 0
u a3 3 2
u 3y 1 y 3 ( ) u 2 2 代入动量积分方程后求解得：
0
140 d 13 u
0
x
dx
x
280 1/2 4.64 Re x 13 u x
x
280 1/2 4.64 Re x 13 u x
代入速度分布方程：
u 3 y 1 y 3 ( ) 1/2 1/2 u 2 4.64 Re x 2 4.64 Re x x x
u w y
y 0
3/2 3 u u 0.323 1 / 2 2 4.64 Re x x x
tw
外掠平板层流热边界层厚度及表面传热系数
以外掠平板层流作为实例，为求解能量积分方 程，必须先给出边界层速度分布函数u和边界 层温度分布函数t，速度分布函数u已确定了， 尚须补充温度分布函数，仍选用多项式函数。
边界层能量积分方程解：
引入过余温度：θ=T-Tw
d t u u (1 )dy a dx 0 u y
y 0： 0
2 0 2 y
y t：
b2 0
0 y
b0 0
b1 3/2
b3 1/2
3 y 1 y 3 ( ) 2 t 2 t
令：
t /
1
t y
d 3 2 3 4 3 代入能量积分方程： dx [ u ( 20 28 )] 2 a