2020年高考理科数学原创专题卷：《概率》

原创理科数学专题卷

专题概率

考点47：古典概型、几何概型(1-6题，13,14题，17题，18题）

考点48：事件的独立性与条件概率（7-9题，15题，19题）

考点49：独立重复试验与二项分布、正态分布（10题，20题）

考点50：离散型随机变量的分布列、期望与方差（11,12题，16题，21,22题）

试时间：120分钟满分：150分

说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上

第I卷（选择题）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。）

1．【2017课标1，理】考点47 易

如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）

A．1

4

B．

π

8

C．

1

2

D．

π

4

2．【2017山东，理8】考点47 易

从分别标有1，2， ，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（）

（A）5

18（B）

4

9

（C）

5

9

（D）

7

9

3.【来源】2017届淮北市高三第二次模拟考试考点47中难

五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币.若

硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两

个人站起来的概率为（ ） A.

516 B. 1132 C. 1532 D. 12

4．【来源】江西省2017届高三下学期调研考试 考点47 中难

如图，在三棱锥S ABC -中， SA ⊥平面ABC ， AB BC ⊥，现从该三棱锥的6条棱中任选2条，则这2条棱互相垂直的概率为 （ ）

A.

13 B. 14 C. 25 D. 29

5．【来源】陕西省渭南市2017届高三下学期第二次教学质量检测 考点47 中难 已知函数()[]

2log ,1,8f x x x =∈，则不等式()12f x ≤≤成立的概率是 （ ） A.

17 B. 27 C. 37 D. 47

6．【来源】安徽省安庆市2017届高三模拟考试 考点47 中难

2的弦AB ，动点P 在圆内，则使得2AP AB ?≥u u u r u u u r

的概率为（ ）

A.

24ππ- B. 2ππ- C. 324ππ- D. 2

π

7．【来源】甘肃省2017年高三第二次高考诊断考试 考点48 易 抛掷两枚骰子，记事件A 为“朝上的2个数之和为偶数”，事件B 为“朝上的2个数均为偶数”，则(|)P B A =（ ） A.

18 B. 14 C. 25 D. 1

2

8.【来源】江西省鹰潭市2017届高三第二次模拟考试 考点48 易

余江人热情好客，凡逢喜事，一定要摆上酒宴，请亲朋好友、同事高邻来助兴庆贺.欢度佳节，迎亲嫁女，乔迁新居，学业有成，仕途风顺，添丁加口，朋友相聚，都要以酒示意，借酒表达内心的欢喜.而凡有酒宴，一定要划拳，划拳是余江酒文化的特色.余江人划拳注重礼节，形式多样；讲究规矩，蕴含着浓厚的传统文化和淳朴的民俗特色.在礼节上，讲究“尊老尚贤敬远客”一般是东道主自己或委托桌上一位酒量好的划拳高手来“做关”，——就是依次陪桌上会划拳的划一年数十二拳（也有半年数六拳）.十二拳之后晚辈还要敬长辈一杯酒.

再一次家族宴上，小明先陪他的叔叔猜拳12下，最后他还要敬他叔叔一杯，规则如下：前两拳只有小明猜叔赢叔叔，叔叔才会喝下这杯敬酒，且小明也要陪喝，如果第一拳小明没猜到，则小明喝下第一杯酒，继续猜第二拳，没猜到继续喝第二杯，但第三拳不管谁赢双方同

饮自己杯中酒，假设小明每拳赢叔叔的概率为1

3

，问在敬酒这环节小明喝酒三杯的概率是多少（ ）

（猜拳只是一种娱乐，喝酒千万不要过量！）

A.

49 B. 827 C. 29 D. 427

9．【来源】甘肃省天水市第一中学2017届高三下学期第三次诊断考试 考点48 中难 从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为

12， 13， 1

6

，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为（ ） A.

536 B. 13 C. 512 D. 12

10.【来源】2017届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三二模考试 考点49 易 已知随机变量ξ服从正态分布()

22,N σ， ()40.84P ξ≤=，则()0P ξ≤=（ ）

A. 0.16

B. 0.32

C. 0.68

D. 0.84 11．【2017浙江，8】 考点50 易

已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1—p i ，i =1，2． 若0

1

2

，则（ ） A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξ B ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ C ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξ

D ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ

12.【来源】河北省石家庄二中2017届高三下学期第三次模拟考试 考点50 中难 在—次实验中，同时抛掷4枚均匀的硬币16次，设4枚硬币正好出现3 枚正面向上， 1 枚反面向上的次数为ξ，则ξ的方差是 （ ） A. 3 B. 4 C. 1 D. 15

16

第Ⅱ卷（非选择题） 二.填空题（每题5分，共20分） 13．【来源】四川省宜宾市2017届高三第二次诊断检测数学（理） 考点47 易 从1,2,3,4,5,6,7这七个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是

________． 14．【来源】2017届广西南宁市高三第一次适应性测试 考点47 易

在区间[]

1,5-上任取一个实数b ，则曲线()3

2

2f x x x bx =-+在点()()

1,1f 处切线的倾斜

角为钝角的概率为__________．

15.【来源】黑龙江省大庆市2017届高三第三次教学质量检测 考点48 中难 某校高三年级要从名男生和名女生中任选名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是__________． 16.【2017课标II ，理13】 考点49 中难

一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X =

三.解答题（共70分） 19．17．（本小题满分12分）【2017山东，理18】 考点47 考点50 易

在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.

（I ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含1B 的频率。

（II ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX . 18．（本题满分12分）【来源】河北省石家庄市高三数学一模考试 考点47 中难 某港口有一个泊位，现统计了某月100艘轮船在该泊位停靠的时间（单位：小时），如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足1小时按1小时计时，以此类推，统计结果如表： 停靠时间 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 轮船数量

12

12

17

20

15

13

8

3

（Ⅰ）设该月100艘轮船在该泊位的平均停靠时间为a 小时，求a 的值；

（Ⅱ）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠a 小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率． 19.（本题满分12分）【2017天津，理16】考点48 考点50 中难 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为

111

,,234

. （Ⅰ）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.

20．（本题满分12分）【2017课标1，理19】考点49 考点50 中难

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零

件的尺寸服从正态分布

2

(,)N μσ． （1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈

，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =???．

用样本平均数x 作为μ的估计值?μ

，用样本标准差s 作为σ的估计值?σ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除????(3,3)μ

σμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．

附：若随机变量Z 服从正态分布2

(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，

160.997 40.959 2=0.09≈．

21．（本题满分12分）【2017课标3，理18】考点50 中难

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？

22．（本题满分12分）【来源】安徽省蚌埠市2017届第三次教学质量检测考点50中难

生产甲乙两种精密电子产品，用以下两种方案分别生产出甲乙产品共3种，现对这两种方案生产的产品分别随机调查了各100次，得到如下统计表：

件甲产品和件乙产品

①生产

已知生产电子产品甲1件，若为正品可盈利20元，若为次品则亏损5元；生产电子产品乙1件，若为正品可盈利30元，若为次品则亏损15元．

（I）按方案①生产2件甲产品和1件乙产品，求这3件产品平均利润的估计值；

（II）从方案①②中选其一，生产甲乙产品共3件，欲使3件产品所得总利润大于30元的机会多，应选用哪个？

参考答案

1．【答案】B 【解析】

2．【答案】C

3．【答案】B

【解析】一共有52种基本事件，其中没有相邻的两个人站起来包括如下情况：没有人站起

来，共1种基本事件；只有一个人站起来，有1

55C =种基本事件；有两个人站起来，只有

13,14,24,25,35，这五种基本事件，因此所求概率为1

55

1511

232

C ++=,选B. 4．【答案】A

【解析】由已知SA ⊥平面ABC ， AB BC ⊥，可推得SB BC ⊥，从该三棱锥的6条棱中

任选2条共有2

615C =种不同的选法，而其中互相垂直的2条棱有

()()()()(),,,,,,,,,SA AB SA BC SA AC SB BC AB BC ，共5种情况，所以这2条棱互相垂直

的概率为51

153

p ==，故选A. 5．【答案】B

【解析】由()12f x ≤≤，可知21log 2x ≤≤，解得24x ≤≤，由几何概型可知27

P =，选B. 6．【答案】A

【解析】

建立直角坐标系，则()1,1AB =u u u r

，设P 点坐标为

()

,x y ，则

γχγχ+=?+=AB AP AP ),，1(+1≥2,

，故10x y +-≥，则使得2AP AB ?≥u u u r u u u r

的概率为24S P S ππ

-==阴影圆

,故选A.

7.答案】D

【解析】解：事件AB 的事件包括：

()()()()()()()()()2,2,,2,4,2,6,4,2,4,4,4,6,6,2,6,4,6,6,

事件A 包括： ()()()()()()()()()()()()()()()()()()1,1,1,3,1,5,2,2,,2,4,2,6,3,1,3,3,3,5,4,2,4,4,4,6,5,1,5,3,5,5,6,2,6,4,6,6,

由题意可得： ()()918,36

36

p AB P A == ,由条件概率公式可得： ()()

1(|)2

P AB P B A P A ==

. 8.【答案】A

【解析】解：由题意结合独立事件概率公式可得： 在敬酒这环节小明喝酒三杯的概率是2

141=39

p ??

=- ??

? . 9.【答案】C

【解析】解：满足题意时，取到2红1白或者2白1红，据此可得，记下的颜色中有红有白

但没有黄的概率为： 22

223

311115232312

p C C ????=??+??= ? ????? . 10.【答案】A

【解析】试题分析： ()()()04140.16P P P ξξξ≤=≥=-≤=，选A 11．【答案】A 【解析】112212(),(),()()E p E p E E ξξξξ==∴

111222121212()(1),()(1),()()()(1)0D p p D p p D D p p p p ξξξξ=-=-∴-=---

A ．

12.【答案】A

【解析】抛掷4枚均匀的硬币1次，正好出现3 枚正面向上， 1 枚反面向上的概率为

4

341124C ??= ???

,因为116,4B ξ??~ ???,所以ξ的方差是11161344????-= ??? ，选A.

13．【答案】

19

35

【解析】 由题意得，从1,2,3,4,5,6,7中随机抽取3个不同的数， 3

735C =种， 当这3个和为偶数分为两类情形：当三个数同时为偶数时，共有3

31C =种， 当三个数中两个奇数、一个偶数时，共有21

4318C C =种，所以概率为18119

3535

P +=

=. 14．【答案】

1

3

【解析】13

()()/2/34.11f x x x b f b =-+∴=-Q .由()/10f <得1b < .则由几何概型可得所求概率为()()1--11=5--13

15.【答案】

【解析】男生甲被选中记作事件A ，男生乙和女生丙至少一个被选中记作事件B ，

则： ， ，由条件概率公式可得： .

16.【答案】1.96

【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即)02.0,100(~B X ，由二项分布的期望可得 96.198.002.0100)1(=??=-=p np DX . 17．【答案】（I ）5

.18

(II)X 的分布列为 X 0

1

2

3

4

P

142 521 1021 521 142

X 的数学期望是2EX =.

因此X 的分布列为 X 0

1

2

3

4

P

142 521 1021 521 142

X 的数学期望是0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)EX P X P X P X P X P X =?=+?=+?=+?=+?= =151******** 2.4221212142?

+?+?+?+?=

18.

【答案】（1）4；（2）11

36

【解析】（Ⅰ） 2.512312 3.517420 4.515513 5.58634100

a ?+?+?+?+?+?+?+?==．…..4分

（Ⅱ）设甲船到达的时间为x ，乙船到达的时间为y ，则024,{024,

x y <<<<

若这两艘轮船在停靠该泊位时至少有一艘船需要等待，则4y x -<， 所以必须等待的概率为22

20

11124

36

P =-=

．

答：这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为

1136

………..12分

19．【答案】 (1)13

12

(2)

11

48

所以，随机变量X的分布列为

X0 1 2 3

P 1

4

11

24

1

4

1

24

随机变量X的数学期望1111113

()0123

42442412

E X=?+?+?+?=.

20．【解析】

21.【答案】(1)分布列略；(2) n =300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元. 【解析】（1）由题意知，X 所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知 ()2162000.290P X +==

=，()363000.490P X ===，()2574

5000.490

P X ++===. 因此X 的分布列为

X 200 300 500

P

0.2 0.4 0.4

22.【答案】（1）22.70（2）选择方案②．

【解析】（I ）由所给数据得生产件甲产品和件乙产品利润频率表 利 润 70 25 45 0 20 25- 频 率 0.15

0.20

0.16

0.31

0.10

0.08

3件产品平均利润的估计值为

()700.15250.20450.1600.31200.10250.0822.70?+?+?+?+?+-?=（元）

（II ）方案①生产的件元件所得总利润大于30元的情形有70,45， 频率是0.150.160.31+=．

方案②生产的3件元件所得总利润大于30元的情形有80,55,35， 频率是0.080.100.200.38++=． 因为0.380.31>，所以选择方案②．