线性代数 二次型 课件资料讲解
合集下载
线性代数ppt 第五章 二次型
a11 a 21 a n1
a12 a 22 an2
a1n a2n , a nn
x =
x1 x2 , xn
则 二 次 型 可 记 作 f = xT Ax, 其 中 A为 对 称 矩 阵 .
(3)
此时A 此时A称为二次型 f 的矩阵, f 称为对称矩阵A 的矩阵, 称为对称矩阵A 对应的二次型. 对应的二次型. 对矩阵A的秩叫做二次型 的秩 二次型f的秩 二次型 的秩. f(x1,x2)=3x12+3x22+2x1x2 )=3x +3x +2x
k1 0 TAP = P … 0
0 k2 … 0
… … … …
0 0 … kn
第五章 二次型
§5.1 二次型及其矩阵表示
三. 矩阵的合同 可逆矩阵P, 使得PTAP = B. 记为: A B. 可逆矩阵 使得P 矩阵P 记为: 矩阵间的合同关系也是一种等价关系. 矩阵间的合同关系也是一种等价关系. An与Bn合同(congruent): 合同(congruent):
(1) 反身性: A A; 反身性: A; (2) 对称性: A B B A; 对称性: (3) 传递性: A B, B C A C. 传递性:
定理5.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同. 定理5.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同.
作业 P151 1. (B) 1(1), (3); 2
本章主要内容 (1) 二次型矩阵表示 (2) 标准二次型,规范二次型 标准二次型, 二次型 (3) 将二次型化为标准形 (4)二次型的正定型的判定—主要是利用顺序 (4)二次型的正定型的判定 主要是利用顺序 二次型的正定型的判定— 主子式判定 主子式判定 作业: 作业: P152 7(1); 20(1)
线性代数居余马第6章二次型.ppt
f (α ) x T Ax 可以看成向量 α 的坐标 x1 , x2 ,, xn 的二次齐次函数。
如果n维向量在两组基B1={1,2,,n}和 B2 ={1,2,,n} 下的坐标向量分别 x=(x1, x2,, xn)T 和 y=(y1, y2,, yn)T 又 (1, 2,, n)=(1, 2,, n) C 则 x=C y f() = x TA x = yT(C TA C)y , B = C TA C 故 f() 在基B1和B2 下对应的矩阵分别是A和 B = C TA C 。 yT(CTA C)y 是 y1,y2,,yn 的一个二次型。
1
1
1,
1
2
1,
1
1 3 10
三个特征值决定二次曲面的类型。
*例 2
将一般二次曲面方程
(1)
x2 2 y 2 10z 2 28xy 8 yz 20xz 26x 32y 28z 38 0
化为标准方程（只含平方项和常数项）。
解 将(1)式中二次项部分
1=1时，有线性无关的特征向量x1 =(2, 1, 0)T, x2 =(2, 0, 1)T。
用Schmidt正交化方法(正交化，单位化) 得
γ1
5 5
2,
1, 0 , γ 2
T
5 15
2,
4, 5
T
2=10 时，得
取正交矩阵
2 5 5 T 1 γ 3 3 1, 2, 2 T γ1 , γ 2 , γ 3 5 5 0 则T1AT = diag(1, 1, 10) x TA x = yT(CTAC)y = y12+ y22 +10y32
x T Ax x 2 2 y 2 10z 2 28xy 8 yz 20xz
《线性代数》课件-第5章二次型
1
得
:
1
11,
单位化得: P1
1 3
111.
101 ,
1 1 1
1 0 1
对
2 =
0,
由A
1 1
3 1
1 1
r
0 0
1 0
0 0
,
得
:
2
101,
单位化得:
P2
1 2
101.
对
3
=
4, 由A
4E
3 1 1
1 1 1
113
1
r
0 0
0 1 0
012 ,
得
:3
1 2 1
,
单位化得
3. 定理5.1 可逆线性变换不改变二次型的秩.
说明: 二次型 f =xTAx 经可逆变换 x=Cy 后, 其秩不变, 但 f 的矩阵由 A 变为 B = CTAC.
§5.2 化二次型为标准形
一、用正交变换化二次型为标准形 二、拉格朗日配方法
一、用正交变换化二次型为标准形
对于二次型, 我们讨论的主要问题是: 寻求可逆的线性变换, 将二次型化为标准形.
4 2 1
A的特征值为: 1 4, 2 3 5.
对 1= 4,
由A
4E
5 2 4
2 8 2
4 2 5
1 r 0
0
0 1 0
1 1
,
2 0
2
得
: 1
1 ,
2
单位化得:
P1
1
3
2 1
.
2
对 2 = 3= 5,
由A
5E
4 2
2 1
4 2
1
线性代数二次型及其标准形PPT课件
第19页/共50页
而它们所对应的标准正交的特征向量为
2
P1
1 3
1 2
2
P2
1 3
2 1
1
P3
1 3
2 2
(3) 写出正交变换
2 2 1
取正交矩阵
P P1
则得所欲求的正交变换
P2
P3
1 3
1 2
2 1
2 2
即
x1 x2 x3
1 3
2 1 2
2 2 1
第3页/共50页
例如： f ( x, y) x2 4xy 5 y2
f ( x, y, z) 2x2 y2 xz yz
都是二次型。
f ( x1, x2 , x3 , x4 ) x1x2 x2 x3 x2 x4
f (x, y) x2 y2 5 不是二次型。
f (x, y) 2x2 y2 2x
第4页/共50页
取 aij a ji 则 2aij xi x j aij xi x j a ji xi x j
则（1）式可以表示为
f a11 x12 a12 x1 x2 a21 x2 x1 a22 x22
a1n x1 xn a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
kn xn
称为二次型的标准形(或法式)。
平方项系数只在
中取1,值的1,标0准形
f
x12
x
2 p
x
2 p1
xr2
称为二次型的规范形。
(注：这里规范形要求系数为1的项
排
在前面，其次排系数为-1的第项10。页/)共50页
目的： 对给定的二次型
n
f x1, x2 ,, xn aij xi x j (1)
而它们所对应的标准正交的特征向量为
2
P1
1 3
1 2
2
P2
1 3
2 1
1
P3
1 3
2 2
(3) 写出正交变换
2 2 1
取正交矩阵
P P1
则得所欲求的正交变换
P2
P3
1 3
1 2
2 1
2 2
即
x1 x2 x3
1 3
2 1 2
2 2 1
第3页/共50页
例如： f ( x, y) x2 4xy 5 y2
f ( x, y, z) 2x2 y2 xz yz
都是二次型。
f ( x1, x2 , x3 , x4 ) x1x2 x2 x3 x2 x4
f (x, y) x2 y2 5 不是二次型。
f (x, y) 2x2 y2 2x
第4页/共50页
取 aij a ji 则 2aij xi x j aij xi x j a ji xi x j
则（1）式可以表示为
f a11 x12 a12 x1 x2 a21 x2 x1 a22 x22
a1n x1 xn a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
kn xn
称为二次型的标准形(或法式)。
平方项系数只在
中取1,值的1,标0准形
f
x12
x
2 p
x
2 p1
xr2
称为二次型的规范形。
(注：这里规范形要求系数为1的项
排
在前面，其次排系数为-1的第项10。页/)共50页
目的： 对给定的二次型
n
f x1, x2 ,, xn aij xi x j (1)
线性代数第5章课件：二次型
且有 f 9 y12 18 y22 18 y32 .
例3 求一个正交变换x Py,把二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x2 x4 2 x3 x4
化为标准形.
解
0 1 1 1
二次型的矩阵为
A
1 1
0 1 1 0
1 1
,
1 1 1 0
样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
性变换，就得到标准形; 2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0
(i j),则先作可逆线性变换
xi xj
yi yi
yj yj
k 1,2,,n且k i, j
xk yk 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方
法配方.
例1 化二次型
0 0 1
例2 化二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 成 标 准 形, 并 求 所 用 的 变 换 矩 阵.
n
aij xi x j .
i , j1
2．用矩阵表示
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
x1(a11 x1 a12 x2 a1n xn )
第5章 二次型
5.1 二次型的概念 5.2 化二次型为标准形 5.3 正定二次型
5.1 二次型的概念
一、二次型的定义
定义1 含有n个变量x1 , x2 ,, xn的二次齐次函数
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 称为二次型.
线性代数 第五章二次型PPT课件
an1
f xAx
a12
a1n x1
a22
a2n
x2
an1
ann xn
aij a ji
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
设 二 次 型 f 3 x 1 2 6 x 1 x 2 8 x 1 x 3 5 x 2 2 x 2 x 3 x 3 2 求 f的 矩 阵 A ,当 x 1 = 3 , x 2 = 1 , x 3 = - 2时 ， 求 f的 值 。
1 2 1
得特征值
1 10
2 15
可求得的单位特征向量顺次为
0.6
e1
0.8
0 .8
e2
0 .6
P
0.6 0.8
0.8
0.6
经 正 交 变 换 xPy,
f 10y1 215y2 2
1 2 4
A
2
4
2
,
4 2 1
x1
x
x2
x3
试用正交变换化二次型
e2
2 2
( 1 ,0, 2
1 ) 2
e3
3 3
( 2,2 2, 2) 63 6
2
3
1 2
2
6
作正交变换
Pe1
e2
e3
1
3
2
3
0
2
2
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) P (y 1 ,y 2 ,y 3 )
设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A 1 (B B)
显然A是对称矩阵，xRn xAx1(xBx2xBx) 2
xBx(xBx) xBx xAx1(xBxxBx)xBx
f xAx
a12
a1n x1
a22
a2n
x2
an1
ann xn
aij a ji
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
设 二 次 型 f 3 x 1 2 6 x 1 x 2 8 x 1 x 3 5 x 2 2 x 2 x 3 x 3 2 求 f的 矩 阵 A ,当 x 1 = 3 , x 2 = 1 , x 3 = - 2时 ， 求 f的 值 。
1 2 1
得特征值
1 10
2 15
可求得的单位特征向量顺次为
0.6
e1
0.8
0 .8
e2
0 .6
P
0.6 0.8
0.8
0.6
经 正 交 变 换 xPy,
f 10y1 215y2 2
1 2 4
A
2
4
2
,
4 2 1
x1
x
x2
x3
试用正交变换化二次型
e2
2 2
( 1 ,0, 2
1 ) 2
e3
3 3
( 2,2 2, 2) 63 6
2
3
1 2
2
6
作正交变换
Pe1
e2
e3
1
3
2
3
0
2
2
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) P (y 1 ,y 2 ,y 3 )
设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A 1 (B B)
显然A是对称矩阵，xRn xAx1(xBx2xBx) 2
xBx(xBx) xBx xAx1(xBxxBx)xBx
线性代数—二次型(课件)
称 为 由 变 量 x 1 , x 2 , , x n 到 y 1 , y 2 , , y n 的 一 个 线 性 变 换 。
记
x 1
X
x2
,
x n
y 1
Y
y2
,
y n
c11
C
c21
cn1
c12 c22
cn2
c1n
c2n
,
cnn
则上述线性变换可以写成矩阵形式： XCY. 11
的矩阵A和二次型的秩，其 中 a 1,a 2,a 3不 全 为 零 。
解 f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) ( a 1 x 1 a 2 x 2 a 3 x 3 ) 2
a1 2
a1
x1
( x1 , x2 , x3 ) a2 (x1, x2, x3)a2(a1,a2,a3)x2,
a3
x1 c11y1 c12y2 c1n yn x2 c2 1y1 c22y2 c2n yn , xn cn1 y1 cn2 y2 cnnxn
C 称为该线性变换的矩阵。
XCY.
若 C 0 ， 则 此 线 性 变 换 称 为 可 逆 线 性 变 换 。
如果C 为正交矩阵，则此线性变换称为正交变换。
a 2x 2 2 2 2 a 2x 3 2 x 3 2 a 2 n x 2 x n
称为一个(n元)二次型.
ann xn2
本书只讨论实二次型，即系数全是实数的二次型。
3
f(x1,x2,,xn) a 1 x 1 2 1 2 a 1 x 1 2 x 2 2 a 1 x 1 3 x 3 2 a 1 n x 1 x n
6
f(x1,x2, ,xn)XTA,X
线性代数课件456二次型与标准形xg
2
解之 x1 2x2 2x3 其基础解系 1 1
0
先将1,2 正交化。
2
2 0
1
1 1,
2
2
2 , 1,
1 1
1
2 0 1
4 5
2 1 0
1 5
2 4 5
1 5
2
单位化
p1
1
2 1 ,
5 0
2
p2
1 35
4, 5
24
当 1 7 时解 7E AX 0
为标准形, 并求出所作的可逆线性变换.
解 x1 y1 y2
令
x2 y1 y2
x3
y3
f (x1, x2, x3) 2 y12 2 y22 4 y1y3 4 y2 y3
2( y12 2y1y3 y32 ) 2y22 4y2 y3 2y32
2( y1 y3)2 2( y2 y3)2
2 1
0 2
0 2 0
(2) 求出A 的全部特征值及其对应的标准正交的
特征向量。
2 2 0
E A 2 1 2 2 1 4
0 2
1 2 2 1 3 4
17
而它们所对应的标准正交的特征向量为
2
1
P1
3
1 2
2
1
P2
3
2 1
1
P3
1 3
2 2
(3) 写出正交变换
为 x1, x2,, xn 的标准二次型（二次型的标准形）
可见 f 为对角形。
注：由（1）可见，每一项中变量的方次之和均为2。
如：
f
x12
x1x2
3x2 3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y T Q T Q y T y y y ,y y 2
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1.将二次型表成 f 矩 xTA阵 ,x求 形出 A;式
2 .求 A 的 出所 有 1,2, 特 ,n ; 征值
3.求出对应征 于向 特 1,2量 征 ,,n值 ;
4 .将特 1,征 2, ,n 向 正量 ,交 单,化 位 得化 1,2, ,n ,记 C 1,2, ,n;
都为二次型；而
f x 1 ,x 2 ,x 3 x 1 2 4 x 2 2 4 x 3 2
为二次型的标准形.
取ajiaij,
f a 1 x 1 2 1 a 1 x 1 x 2 2 a 1 n x 1 x n a 2 x 2 x 1 1 a 2 x 2 2 2 a 2 n x 2 x n
由于对任意的实 阵A对 ,总称 有矩 正交P矩 , 阵
P P 使 1AP,即 TAP.因此把这个结论
用于二次 ,即型 有
n
定理1 任给二 f次ai型 jxixj aijaji,总有
i,j1
正交x变 P,换 y 使f化为标准形
f 1 y 1 2 2 y 2 2 n y n 2 ,
五 、 小 结 、 思 考 题
一、二次型及其标准形的概念
定 1含 义 n 个 有x 变 1 ,x 2, 量 ,x n 的二次
fx 1 ,x 2 , ,x n a 1x 1 1 2 a 2x 2 2 2 a nx n n 2
2 a 1x 2 1 x 2 2 a 1x 3 1 x 3 2 a n 1 ,n x n 1 x n 称为二次型.
实对称 A叫 矩 做 阵 二 f的 次 矩 ;型 阵 f叫做实对称 A的 矩二 阵次 ; 型
实对称A的 矩秩 阵叫做f二 的次 秩 . 型
例１ 写出二次型 fx122x223x324x1x26x2x3
的矩 . 阵
解 a 1 1 1 ,a 2 2 2 ,a 3 3 3 , a12a212, a13a310, a23 a32 3.
二次型
第一节 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向的量概念 二、特征值与特征向的量求法 三、特征值与特征向的量性质
四 、 小 结 、 思 考 题
特征值问题与二次型
第六章 二次型及其标准形
一、二次型及其标准的形概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 四、化二次型为的 标正 准交 形变换法
a n 1 x n x 1 a n 2 x n x 2 a n x n 2 n
n
aij xi xj .
i, j1
二、二次型的表示方法
2．用矩阵表示
f a 1 x 1 2 1 a 1 x 1 x 2 2 a 1 n x 1 x n a 2 x 2 x 1 1 a 2 x 2 2 2 a 2 n x 2 x n a n 1 x n x 1 a n 2 x n x 2 a n x n 2 n
f x1,x2,x31 1 5x2
0 2 0x3
的矩阵 A.
解 由于二次型的矩
2 1
0
2
1 3 2 1
52 2
1 0
2 5
2
0
2
2
1
1
2
1 1 72
1 2
7
2
0
四、化二次型为标准形
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形．
5.作正交 xC 变 ,则 y换 f得 的标准形
f 1y1 2nyn 2.
例4 将二次型
其 1 ,2 , 中 ,n 是 f 的 A a 矩 i的 j . 阵 特
说明
1、f xTAx经过正交变换准 化形 成的 系数一A 定 的是 特征 . 值
2、对正交 x变 Q而 y换言，正交变换 持向量的长度在 不 x变 Q时 y，， 即必有
x2 y2 事实上，
x 2 x ,x Q ,Q y ( y Q ) T ( Q y ) y
当 ai是 j 复 ,f称 数 复为 二时 次型 ; 当 ai是 j 实 ,f称 数 实为 二时 次型 . 说明 本书只考虑实二次 型
只含有平方项的二次型 f k 1 y 1 2 k 2 y 2 2 k n y n 2
称为二次型的标准形． 例如
f x 1 , x 2 , x 3 2 x 1 2 4 x 2 2 5 x 3 2 4 x 1 x 3 f x 1 , x 2 , x 3 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3
设有可逆 线性变换
x1 c11y1 c12y2 c1nyn, x2 c21y1c22y2 c2nyn,
xn cn1y1 cn2y2 cnnyn
c 若记C 矩 (阵 ),则上述可逆线性变换记可作 ij xCy
将其f代 xTA 入 ,有 x
f xTAxCyTACyy TC T Ay C .
y C kk k T T A C y 1 y 1 2 2 y 2 2 L n y n 2
a11 a12 a1nx1
x1,x2,,xna21
a22
a2nx2
an1 an2 annxn
则二次f型 xT可 A,其 x记 A 中 为 作实对 . 称
三、二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
定0理 任给可 C ,令 B 逆 C TA 矩 ,如 CA 阵 为 果对
矩,则 阵 B 也为对 ,且 rB 称 rA 矩 . 阵
定义2 对 n 阶方 A 和 B ,若 针存 n 阶在 满 P , 秩 使成立 BPTAP则A 称 与 B合同.
于是，化二次型 形为 的标 问准 题就转变
使实对称矩阵对 合角 同矩 于阵 实.的问题
1 2 0 A2 2 3.
0 3 3
例2 试写出二次型 f ( x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ) 3 x 1 2 2 x 2 2 4 x 1 x 3
的矩阵 A. 解 依题意，该二次型的阵矩应为
3 0 2 0
A
0
2
0
0
2 0 0 0
0 0 0 0
例3 试写出二次型
2 3 1x1
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1.将二次型表成 f 矩 xTA阵 ,x求 形出 A;式
2 .求 A 的 出所 有 1,2, 特 ,n ; 征值
3.求出对应征 于向 特 1,2量 征 ,,n值 ;
4 .将特 1,征 2, ,n 向 正量 ,交 单,化 位 得化 1,2, ,n ,记 C 1,2, ,n;
都为二次型；而
f x 1 ,x 2 ,x 3 x 1 2 4 x 2 2 4 x 3 2
为二次型的标准形.
取ajiaij,
f a 1 x 1 2 1 a 1 x 1 x 2 2 a 1 n x 1 x n a 2 x 2 x 1 1 a 2 x 2 2 2 a 2 n x 2 x n
由于对任意的实 阵A对 ,总称 有矩 正交P矩 , 阵
P P 使 1AP,即 TAP.因此把这个结论
用于二次 ,即型 有
n
定理1 任给二 f次ai型 jxixj aijaji,总有
i,j1
正交x变 P,换 y 使f化为标准形
f 1 y 1 2 2 y 2 2 n y n 2 ,
五 、 小 结 、 思 考 题
一、二次型及其标准形的概念
定 1含 义 n 个 有x 变 1 ,x 2, 量 ,x n 的二次
fx 1 ,x 2 , ,x n a 1x 1 1 2 a 2x 2 2 2 a nx n n 2
2 a 1x 2 1 x 2 2 a 1x 3 1 x 3 2 a n 1 ,n x n 1 x n 称为二次型.
实对称 A叫 矩 做 阵 二 f的 次 矩 ;型 阵 f叫做实对称 A的 矩二 阵次 ; 型
实对称A的 矩秩 阵叫做f二 的次 秩 . 型
例１ 写出二次型 fx122x223x324x1x26x2x3
的矩 . 阵
解 a 1 1 1 ,a 2 2 2 ,a 3 3 3 , a12a212, a13a310, a23 a32 3.
二次型
第一节 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向的量概念 二、特征值与特征向的量求法 三、特征值与特征向的量性质
四 、 小 结 、 思 考 题
特征值问题与二次型
第六章 二次型及其标准形
一、二次型及其标准的形概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 四、化二次型为的 标正 准交 形变换法
a n 1 x n x 1 a n 2 x n x 2 a n x n 2 n
n
aij xi xj .
i, j1
二、二次型的表示方法
2．用矩阵表示
f a 1 x 1 2 1 a 1 x 1 x 2 2 a 1 n x 1 x n a 2 x 2 x 1 1 a 2 x 2 2 2 a 2 n x 2 x n a n 1 x n x 1 a n 2 x n x 2 a n x n 2 n
f x1,x2,x31 1 5x2
0 2 0x3
的矩阵 A.
解 由于二次型的矩
2 1
0
2
1 3 2 1
52 2
1 0
2 5
2
0
2
2
1
1
2
1 1 72
1 2
7
2
0
四、化二次型为标准形
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形．
5.作正交 xC 变 ,则 y换 f得 的标准形
f 1y1 2nyn 2.
例4 将二次型
其 1 ,2 , 中 ,n 是 f 的 A a 矩 i的 j . 阵 特
说明
1、f xTAx经过正交变换准 化形 成的 系数一A 定 的是 特征 . 值
2、对正交 x变 Q而 y换言，正交变换 持向量的长度在 不 x变 Q时 y，， 即必有
x2 y2 事实上，
x 2 x ,x Q ,Q y ( y Q ) T ( Q y ) y
当 ai是 j 复 ,f称 数 复为 二时 次型 ; 当 ai是 j 实 ,f称 数 实为 二时 次型 . 说明 本书只考虑实二次 型
只含有平方项的二次型 f k 1 y 1 2 k 2 y 2 2 k n y n 2
称为二次型的标准形． 例如
f x 1 , x 2 , x 3 2 x 1 2 4 x 2 2 5 x 3 2 4 x 1 x 3 f x 1 , x 2 , x 3 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3
设有可逆 线性变换
x1 c11y1 c12y2 c1nyn, x2 c21y1c22y2 c2nyn,
xn cn1y1 cn2y2 cnnyn
c 若记C 矩 (阵 ),则上述可逆线性变换记可作 ij xCy
将其f代 xTA 入 ,有 x
f xTAxCyTACyy TC T Ay C .
y C kk k T T A C y 1 y 1 2 2 y 2 2 L n y n 2
a11 a12 a1nx1
x1,x2,,xna21
a22
a2nx2
an1 an2 annxn
则二次f型 xT可 A,其 x记 A 中 为 作实对 . 称
三、二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
定0理 任给可 C ,令 B 逆 C TA 矩 ,如 CA 阵 为 果对
矩,则 阵 B 也为对 ,且 rB 称 rA 矩 . 阵
定义2 对 n 阶方 A 和 B ,若 针存 n 阶在 满 P , 秩 使成立 BPTAP则A 称 与 B合同.
于是，化二次型 形为 的标 问准 题就转变
使实对称矩阵对 合角 同矩 于阵 实.的问题
1 2 0 A2 2 3.
0 3 3
例2 试写出二次型 f ( x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ) 3 x 1 2 2 x 2 2 4 x 1 x 3
的矩阵 A. 解 依题意，该二次型的阵矩应为
3 0 2 0
A
0
2
0
0
2 0 0 0
0 0 0 0
例3 试写出二次型
2 3 1x1