给定下述系统的差分方程

第四套

1. 给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果、稳定系统，并说明理

由。 (1) 1

1()()N k y n x n k N

-==

-∑

(2) ()()(1)y n x n x n =++ (3) ()

()x n y n e =

解：

（1）只要N ≥1，该系统就是因果系统，因为输出只与n 时刻的和n 时刻以前的输入有关。如果|()|x n M ≤，则|()|y n M ≤，因此系统是稳定系统。

（2）该系统是非因果系统，因为n 时刻的输出还和n 时刻以后（（n+1）时间）的输入有关。如果|()|x n M ≤，则|()||()||(1)|2y n x n x n M ≤++≤，因此系统是稳定的。

（3）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。如果

|()|x n M

≤，则()

|()|

|()|||x n x n M

y n e

e

e =≤≤，因此系统是稳定的。

2. 工程实际中，经常采用数字滤波器对模拟信号进行滤波处理，处理系统框

图如图所示。图中T 为采样周期，假设T 满足采样定理（无频率混叠失真）。把从()a x t 到y(t)的整个系统等效成一个模拟滤波器。

(a)如果数字滤波器h(n)的截止频率为8

c w ra d

π

=

，

1T

=10 kHz ，求整个等

效系统的截止频率c Ω。 (b)对于1T

=20 kHz ，重复(a)。

解：

(a) 对采样数字滤波器，w T =Ω，所以

8

c c w T π

=Ω= 8c c w T T

π

Ω=

=

最后一级理想低通滤波器的截止频率为T

π

rad/s ，因此整个系统截止频

率由8c T

π

Ω=

rad/s 确定。

110000625

21616

c c f T

πΩ=

=

== Hz

(b) 当1/T=20 Hz 时，与(a)同样道理得： 1200001250

1616

c f T

=

== Hz

3. 求以下序列x(n)的频谱()jw X e

(1)1()()|1jw

jw a

jw

z e X e X z e e

--===

-

(2) ()an e u n - 解：

（1）0

0()[()][()]n X z Z x n Z n n z δ-==-=

()()|jw

jn w jw z e X e X z e -===

（2）1

1()[()]1an a

X z Z e u n e

z

---==- 1()()|1jw

jw a

jw

z e X e X z e e

--===

-

4. 设h(n)为一个LSI 系统的单位采样响应，h(n)= 21

()(2)3

n u n +-,求其频

率响应。

解：其频率响应为：

2

2

1

()()()

3n jw jnw

jnw

n H e h n e

e

+∞

∞

--=-∞

=

=

∑

∑

改变这个和的下限以使其开始于n=0，得：

4

(2)4

20

1

1

1

()()

()()

33

3n n

jw j n w

jw

jw

n n H e e

e

e

+∞

∞

-+--====∑∑

利用几何级数，得

24

1

()()

13

13

jw

jw

jw

e H e e

--=-

5. 已知X(k) ,2,

20,j j N e k m N

e k N m k

θθ-?=???==-?????

其它，其中，m 为正整数，02

N m <<

，N

为变换区间长度，求x(n)=IDFT[X(k)]。 解：

1

1()[()]()N kn

N

k x n ID FT X k X k W N

--===

∑

22()1[]2

2

j m n

j N m n

j j N

N

N N e e

e

e

N ππθ

θ

--=+

22()

(

)

1[]2j m n j m n N

N

e

e

ππθθ+-+=+

2cos(

)m n N

πθ=+ n=0,1,1N -

6. 已知两个有限长序列为1,03()0,

46

n n x n n +≤≤?=?

≤≤?，1,04()1,

56

n y n n -≤≤?=?

≤≤?，试

用作图表示想x(n),y(n)以及f(n),f(n)为x(n)与y(n)的七点圆周卷积。 解：

利用圆周卷积公式求解得：

7. 已知调幅信号的载波频率1c f kH z =，调制信号频率100m f H z =，用FFT 对

其进行谱分析，试问：

（1）最小记录时间m in p T =？ （2）最低采样频率m in s f =？ （3）最少采样点数m in N =？

解：由已知条件得知，已调AM 信号的最高频率m ax 1.1f kH z =，频率分辨率

100F H z

≤。所以，

（1）m in 110.0110100

p T s m s

F =

=

==

（2）min max 2 2.2s f f kH z == （3）3

3

m in m in m ax

1010

2.21022

p p s T N T f T -=

==???=

8. N ＝16时，画出基2按频率抽取法的FFT 流图（采用输入自然顺序，输出

倒位序）

解：图略，课本上有。

9. 已知X （k ）,Y(k)是两个N 点实序列x(n),y(n)的DFT 值，今需要从X （k ）,Y(k)

求x(n),y(n)的值，为了提高运算效率，试用一个N 点IFFT 运算一次完成。 解：依据题意

x(n) ()X k ?，()()y n Y k ? 取序列

()()()Z k X k jY k =+

对()Z k 作N 点的IFFT 可得序列z(n). 又根据DFT 性质

x(n) y(n) z -1

-0.59

0.9 z

-4

()()()()IDFT X K jIDFT Y k x n jy n +=+????????

由原题可知，x(n),y(n)都是实序列。再根据z （n ）=x(n)+jy(n),可得

x(n)=Re[z(n)] y(n)=Im[z(n)]

10. 已知滤波器的单位脉冲响应5()0.9()n h n R n =,求出该滤波器的系统函数，并

画出期直接型结构。 解：

5()0.9()n h n R n =

4

50

()0.9()0.9

n n

n

n

n n H z R n z

z

∞

--=-∞

==

=

∑

∑5

1

10.5904910.9z z

---=

-

画出其直接型结构图。

11. 设计一模拟滤波器 2

1()1

a H s s s =

++

抽样周期T ＝2，试用双线性变换法将它转换成数字系统函数H （z ）。 解： 由变换公式

1

1

11z s c z

---=+ 及2c T

=

,T=2,可得

11

11z s z

---=+

所以

11

11()()|

a z s z

H z H s ---=

+=

112

11

1

2

2

1

11()(

)1

11(1)3z z z

z

z z

------=

--+++++=

+

12. 设计第一类线性相位FIR 高通数字滤波器，3dB 截止频率c ω＝

34

16

rad

ππ

±

，

阻带最小衰减50s dB α=，过渡带宽度/16ωπ?=。用窗函数法设计。 解：根据设计要求，N 必须取奇数。按照设计流程进行设计。 （1）确定逼近理想高通频响函数()jw d H e : ,||()0,0||j j c d c

e H e

ωαω

ωωπωω-?≤≤=?≤≤? （2）求()d h n ： ()d h n =1()2jw

j n

d

H

e

e

d π

ωπω

π

-

?

=

1[]2c c

jw j n

jw j n

e

e

d e

e

d ωπ

α

ωα

ωπ

ω

ωωπ

----+

?

?

= ()[]{}

1

sin sin ()()

c

n n n παω

απα---????-

其中1

2

N α-=

。

（3） 选择窗函数类型，估计窗函数长度N ，根据阻带最小衰减50s dB α=，

查表，可选择汉明窗。表中给出汉明窗设计的滤波器过渡带宽度为8π/N ，本题要求过渡带宽度/16ωπ?=，所以应满足π/16＝8π/N ，N ＝128。但N 必须取奇数，故取N ＝129。

（4） 加窗设计()()()d h n h n n ω= ：汉明窗的表达式为 ()()20.540.46cos 1H m N n n R n N πω?

?

??=-

???-????

代入N ＝129，12

N α-=＝64，c ω＝

34

π，得到

()h n ＝

()1

3sin 64sin (64)(64)4n n n πππ??

??---????????-????

()12820.540.46cos 128n R n π?

?

??-

??????

?