2017年高考一轮复习教案—第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数教学设计 (1)
高三数学一轮复习教学案：三角函数
三角函数1．了解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切．2．掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式）及运用．3．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明．4．掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和)(sin ϕω+=x A y 的简图，理解ϕω、A 、的物理意义．5．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx ，arccosx ，arctanx 表示角．6．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．三角部分的知识是每年高考中必考的内容，近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点：1．降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数图象和性质的考查．尤其是三角函数的最大值与最小值、周期．2．以小题为主．一般以选择题、填空题的形式出现，多数为基础题，难度属中档偏易．其次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形，如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等．3．更加强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其它知识的综合，如在解三角形、立体几何、平面解析几何中考查三角函数的知识．第1课时 任意角的三角函数一、角的概念的推广1．与角α终边相同的角的集合为 ．2．与角α终边互为反向延长线的角的集合为 ．3．轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在x 轴上的角的集合为 ，终边在y 轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 ．4．象限角是指： ．5．区间角是指： ．6．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．7．弧度与角度互化：180º＝ 弧度，1º＝ 弧度，1弧度＝ ≈ º．8．弧长公式：l ＝ ；扇形面积公式：S ＝ .二、任意角的三角函数9．定义：设P(x, y)是角α终边上任意一点，且 |PO| ＝r ，则sin α＝ ； cos α＝ ；tan α＝ ；10．三角函数的符号与角所在象限的关系：1213的正弦线、余弦线、正切线．－ ＋ －+cos x , ＋ ＋ －－sin x ,－ ＋ ＋－tan x ,x y O xy O x y O2α,2α ,3α的终边所在位置.解： ∵α是第二象限的角，∴k·360°+90°＜α＜k·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°（k ∈Z ），∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上.（2）∵k·180°+45°＜2α＜k·180°+90°（k ∈Z ），当k=2n （n ∈Z ）时，n·360°+45°＜2α＜n·360°+90°；当k=2n+1（n ∈Z ）时，n·360°+225°＜2α＜n·360°+270°.∴2α是第一或第三象限的角.（3）∵k·120°+30°＜3α＜k·120°+60°（k ∈Z ），当k=3n （n ∈Z ）时，n·360°+30°＜3α＜n·360°+60°；当k=3n+1（n ∈Z ）时，n·360°+150°＜3α＜n·360°+180°；当k=3n+2（n ∈Z ）时，n·360°+270°＜3α＜n·360°+300°.∴3α是第一或第二或第四象限的角.变式训练1：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角？解： ∵α是第三象限角，∴180°+k·360°＜α＜270°+k·360°（k ∈Z ），60°+k·120°＜3α＜90°+k·120°.①当k=3m(m ∈Z )时，可得60°+m·360°＜3α＜90°+m·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第一象限.②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得180°+m·360°＜3α＜210°+m·360°（m ∈Z ).故3α的终边在第三象限.③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得300°+m·360°＜3α＜330°+m·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第四象限.综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 例2. 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:(1)sin α≥23;(2)cos α≤21-.解：（1）作直线y=23交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α|2k π+3π≤α≤2k π+32π，k ∈Z .（2）作直线x=21-交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k k ,342322|ππαππα.变式训练2：求下列函数的定义域：（1）y=1cos 2-x ；（2）y=lg(3-4sin 2x ）.解：（1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥21.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).∴x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-32,32ππππk k （k ∈Z ）.（2）∵3-4sin 2x ＞0,∴sin 2x ＜43,∴-23＜sinx ＜23.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如右图阴影),∴x ∈（k π-3π,k π+3π）（k ∈Z ).例3. 已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求sin α,cos α,tan α的值.解：∵角α的终边在直线3x+4y=0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0),则x=4t,y=-3t,r=5)3()4(2222=-+=+t t y x |t|,当t ＞0时，r=5t, sin α=5353-=-=t t r y ,cos α=5454==t t r x , tan α=4343-=-=t t x y ; 当t ＜0时，r=-5t,sin α=5353=--=t t r y , cos α=5454-=-=t t rx , tan α=4343-=-=t t x y . 综上可知，t ＞0时，sin α=53-,cos α=54,tan α=43-; t ＜0时，sin α=53,cos α=-54,tan α=43-.变式训练3：已知角θ的终边经过点P ()(0),sin m m m θ≠=且，试判断角θ所在的象限，并求cos tan θθ和的值．解：由题意，得0,4r m m ==≠∴= 故角θ是第二或第三象限角．当m =,r =P 的坐标为(，cos tan x y r x θθ∴======当m =,r =P 的坐标为(，cos tan x y r x θθ∴======例4. 已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R ． (1) 若α3π=，R ＝2cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积；(2) 若扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值．解：（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓。
《3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数》教案
适用学科适用区域知识点教学目标任意角和弧度制及任意角的三角函数数学适用年级高三新课标课时时长（分钟）60任意角的概念；象限角的概念及表示；同终边角的概念及表示弧度的概念；角度与弧度的互化；扇形的弧长和面积公式任意角的三角函数的定义；任意角的三角函数的的求法三角函数值在各个象限的符号；诱导公式一（同终边角）；有向线段与三角函数线1.了解任意角的概念．2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．教学重点教学难点三角函数的定义及应用，三角函数值符号的确定三角函数的定义及应用教学过程一、课堂导入在花样滑冰比赛中，运动员的动作是那么优美！尤其是原地转身和空中翻转动作都让我们叹为观止．运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险．我们利用以前学的角的范围是0°≤α≤180°，你还能算出他们在一次原地转身三圈的动作中转过的角度吗？二、复习预习1．初中我们已经学习过角，那么初中对角的定义是什么呢？所谓角就是________________．2．角按大小进行分类，可分为锐角、钝角和直角．锐角的范围为________，钝角的范围为 ________，直角的度数为________．三、知识讲解考点 1角的有关概念角的特点角的分类从运动的角度看角可分为正角、负角和零角从终边位置来看可分为象限角和轴线角β＝α＋k·360°(k∈Z ) (或β＝α＋ k· 2，πk∈α与β角的终边相同Z )考点 2弧度的概念与公式在半径为 r 的圆中分类1 弧度的角角α的弧度数公式角度与弧度的换算弧长公式扇形的面积公式定义 (公式 )把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示l|α|＝r (弧长用 l 表示 )π180①1°＝180rad② 1 rad＝π°弧长 l＝ |α|r112S＝2lr ＝2|α| r·考点 3任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么定义y 叫做α的正弦，记x 叫做α的余yx叫做α的正切，记作作 sin α弦，记作 cos αtan αⅠ正正正Ⅱ正负负各象限负负正Ⅲ符号负正负Ⅳ口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数线有向线段 MP 为正弦有向线段 OM有向线段 AT 为正切线为余弦线线四、例题精析【例题 1】【题干】(1)已知角α＝ 2kπ－π，若角θ与角α的终边相同，则＝sin θ＋|cos θ|tan θ∈Z )＋的值为() 5(k y|sin θ|cos θ|tan θ|A ．1B．－ 1C．3D．－ 3(2)已知点 P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在()A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限π【解析】 (1)选 B由α＝2kπ－5(k∈Z)及终边相同角的概念知，α的终边在第四象限，又θ与α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.因此， y＝－ 1＋1－1＝－ 1.(2)选 B∵点P(tanα，cosα)在第三象限，tan α＜0，∴∴α是第二象限角 .cos α＜0，【例题 2】【题干】已知角α的终边在直线 3x＋4y＝0 上，求 sin α，cos α，tan α的值．【解析】 ∵角 α的终边在直线 3x ＋4y ＝ 0 上，∴在角 α的终边上任取一点 P(4t ，－ 3t)(t ≠ 0)，则 x ＝ 4t ，y ＝－ 3t ， r ＝ x 2＋y 2＝ 4t 2＋ －3t 2＝5|t|.当 t ＞ 0 时，即 x>0 时， r ＝5t ， sin α＝ y＝ －3t ＝－3，cos α＝ x ＝4t ＝ 4， tan α＝ y＝ －3t ＝－ 3； r5t5 r 5t 5 x 4t 4 y －3t3 x 4t 4y －3t 3 当 t ＜ 0 时，即 x<0 时， r ＝－ 5t ，sin α＝ r ＝－5t ＝5，cos α＝ r ＝－ 5t ＝－ 5，tan α＝x ＝ 4t ＝－ 4.综上可知，当角 α的终边在直线3x ＋4y ＝0 的 x>0 部分时， sin α＝－ 3，cos α＝4，tan α＝－ 3；5 5 4 3 4 3 当角 α的终边在直线 3x ＋4y ＝0 的 x<0 部分时， sin α＝5，cos α＝－5， tan α＝－ 4.【例题 3】【题干】已知在半径为10 的圆 O 中，弦 AB 的长为 10，(1)求弦 AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S.【解析】(1)如图所示，过 O 作 OC ⊥AB 于点 C ，则 AC ＝ 5，在 Rt △ACO 中，AC 5 1sin ∠AOC ＝AO ＝10＝ 2，∴∠ AOC ＝ 30°，∴α＝2∠AOC ＝60°.π(2)∵60°＝3，10π∴ l ＝|α|r ＝3 .1 1 10π 50πS 扇 ＝ 2lr ＝2× 3 ×10＝ 3 . 1 π又 S △AOB ＝2×10× 10sin 3＝25 3，∴S ＝S －S AOB ＝ 50π 3＝50 π3弓形 扇3 － 253－ 2 .△【例题 4】【题干】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在 (0,1)，此时圆上一点 P 的位置在 (0,0)，圆在 x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于 (2,1)时，OP的坐标为 ________．【答案】 (2－sin 2,1－ cos 2)π π【解析】因为圆心移动的距离为 2，所以劣弧 PA ＝2，即∠ PCA ＝2，则∠ PCB ＝2－2，所以 PB ＝sin 2－2 ＝－ cos 2，CB ＝ cos 2－ π2 ＝sin 2，所以 x P ＝2－CB ＝2－sin 2，y P ＝ 1＋ PB ＝1－cos 2，所以 OP ＝ (2－sin 2，1－ cos 2)．五、课堂运用【基础】1．若α＝ k·180°＋ 45°(k∈Z )，则α在()A ．第一或第三象限B．在第一或第二象限C．第二或第四象限D．在第三或第四象限解析：选 A当k为偶数时，α的终边与45°角的终边相同，是第一象限角平分线；当k 为奇数时，α的终边与45 °角的终边在同一条直线上，是第三象限角平分线．2．已知角α的终边经过点 (3a－ 9，a＋2)，且 cos α≤0， sin α＞ 0，则实数 a 的取值范围是 () A．(－2,3]B．(－2,3)C．[－2,3)D．[－2,3]3a－ 9≤0，解析：选 A由cosα≤0，sinα＞0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有a＋2＞0，即－ 2＜ a≤ 3.2π3．点 P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动3弧长到达 Q 点，则 Q 点的坐标为 () 1331A. －2，2B.－2，－21331C. －2，－2D.－2，22π12πx＝cos 3 ＝－ 2，y＝sin 3 ＝3 2 .解析：选A由三角函数定义可知Q 点的坐标(x，y)满足【巩固】y4．若点 P(x，y)是 300°角终边上异于原点的一点，则x的值为________．y解析： x＝tan 300 ＝ tan(360°－°60 °)＝－ tan 60＝－° 3.答案：－345．已知角α的终边过点 P(－8m，－ 6sin 30 )，°且 cos α＝－5，则 m 的值为 ________．解析： ∵r ＝ 64m 2＋ 9， ∴cos α＝－8m 4 2 ＝－ 5， 64m ＋9∴m ＞ 0， ∴ 4m 2 1 1 ＝ ， ∴m ＝± .64m 2＋9 25 21 ∵m ＞ 0，∴m ＝2. 答案： 12【拔高】6．已知一扇形的圆心角为α(α＞0)，所在圆的半径为R.若扇形的周长是一定值C(C＞ 0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解：∵扇形周长 C＝2R＋ l＝2R＋αR，∴R＝C，2＋α∴S 扇1α·21α·C2＝2R＝22＋αC2α·1C21C2＝22＝2·≤ 4 16，4＋4α＋α4＋α＋α2C2当且仅当α＝4，即α＝ 2 时，扇形面积有最大值16.7．角α终边上的点 P 与 A(a,2a)关于 x 轴对称 (a＞ 0)，角β终边上的点 Q 与 A 关于直线 y＝x 对称，求 sin α·cos α＋sin β·cos β＋ tan α·tan β的值．解：由题意得，点P 的坐标为 (a，－ 2a)，点 Q 的坐标为 (2a，a)．所以， sin α＝－ 2a＝－2，2－2a25a ＋cos α＝a＝1，5a2＋－ 2a2tan α＝－2a＝－，a2sin β＝a＝1，a2＋a25cos β＝2a＝2，a2＋a25a 1tan β＝2a＝2，故有 sinα·cosα＋sinβ·cosβ＋tanα·tanβ－ 21121＝· ＋·＋(－2) ×＝－ 1.55552课程小结1.对任意角的理解(1)“小于90°的角”不等同于“ 锐角”“ 0°～90°的角” 不等同于“ 第一象限的角” ．其实锐角的集合是{ α|0 °<α<90°}，第一象限角的集合为 { α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z } ．(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．2．三角函数定义的理解三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sinα＝ y， cos α＝ x， tanyα＝ x，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则y x y sin α＝r ， cos α＝ r ， tan α＝x.这就像我们身处喧嚣的闹市，却在渴望山清水秀的僻静之地。
任意角、弧度制、任意角的三角函数教学设计
高三复习课《任意角、弧度制、任意角的三角函数》教学设计一．教学内容解析：这一节的内容主要有任意角的概念，包括正角、负角、零角，终边相同的角，象限角；弧度制，包括1弧度交的定义，角与弧长、半径的关系，角度与弧度的互换，扇形的面积公式；任意角的三角函数，这是这一节的重点，包括任意角的三角函数的定义，诱导公式一，角的三角函数在象限的符号，三角函数线等。
二. 教学目标设置：1．知识目标：（1）了解任意角的概念，掌握终边相同角的关系以及象限角的范围；（2）了解弧度制的概念，能进行角度与弧度的互化，掌握扇形的弧长公式与面积公式；（3）掌握任意角的三角函数的定义，会判断角的三角函数在象限的符号，理解三角函数线的定义，并能简单的运用等。
2．能力目标：（1）培养学生整理知识的能力；（2）培养学生的分析能力、观察能力、理解能力。
（3）培养学生的类比能力、探索能力。
（4）培养学生运用运用数学思想思考问题的能力。
三．学生学情分析：高三学生已经掌握了一定的知识，但知识网络不够完整；能解一些题，但解题方法还有所欠缺。
四．教学策略分析：通过思维导图的形式，展现知识点之间的内在联系；通过对问题的剖析，结合数学思想（化归与转化、数形结合、分类讨论、函数与方程等）探讨如何解题。
五．教学过程：1.知识的整理：画一个直角三角形，引导学生回忆初中三角函数的定义，举出两个特殊的直角三角形（用途：记住特殊的三角函数值）。
再从特殊到一般，让学生挖掘斜三角形的性质（学生课后整理）。
然后类比到扇形，找出相似点，引出1弧度角的定义，弧长、半径与圆心角的关系，弧度与角度的互化。
再把锐角推广的任意角，坐标角，引出象限角，半角的范围，角与角终边的关系。
再类比直角三角形中角的三角函数的定义，推广任意角的三角函数的定义，利用角与角终边的关系，得到诱导公式。
然后根据任意角的三角函数的定义，得到角的三角函数在象限的符号。
再得到三角函数线的定义及应用。
【设计意图】首先培养建立知识体系的能力。
《任意角和弧度制》教案
《任意角和弧度制》教案篇一：人教A版高中数学必修四教案教案教学目标 1.理解任意角的概念.2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写.3.了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.4.认识弧长公式，能进行简单应用.对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.5.了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题. 导入新课复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系提出问题：1．初中所学角的概念.2．实际生活中出现一系列关于角的问题. 3.初中的角是如何度量的？度量单位是什么？°的角是如何定义的？弧长公式是什么？5.角的范围是什么？如何分类的？新授课阶段一、角的定义与范围的扩大1．角的定义：一条射线绕着它的端点O，从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成一个角?，点O是角的顶点，射线OA,OB分别是角?的终边、始边. 说明：在不引起混淆的前提下，“角?”或“??”可以简记为?． 2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角. 说明：零角的始边和终边重合. 3．象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负轴重合，则（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 例如：30?,390?,?330?都是第一象限角；300?,?60?是第四象限角.（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.例如：90?,180?,270?等等.说明：角的始边“与x轴的非负半轴重合”不能说成是“与x 轴的正半轴重合”.因为x轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线.4．终边相同的角的集合：由特殊角30看出：所有与30角终边相同的角，连同30角自身在内，都可以写成30?k?360??????k?Z?的形式；反之，所有形如30??k?360??k?Z?的角都与30?角的终边相同.从而得出一般规律：所有与角?终边相同的角，连同角?在内，可构成一个集合S|?k?360?,k?Z?，即：任一与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和. 说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同.例1在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？（1）?120；（2）640；（3）?95012?.?????解：（1）?120?240?360，所以，与?120角终边相同的角是240，它是第三象限角；（2）640?280?360，所以，与640角终边相同的角是280角，它是第四象限角；（3）?95012??12948??3?360，??????????所以，?95012?角终边相同的角是12948?角，它是第二象限角.??例 2 若??k?360??1575?,k?Z，试判断角?所在象限. 解：∵??k?360??1575?(k?5)?360??225?, (k?5)?Z ∴?与225终边相同，所以，?在第三象限.?例 3 写出下列各边相同的角的集合S，并把S中适合不等式?360720?的元素? 写出来：（1）60；（2）?21；（3）36314?．?????解：（1）S??|??60?k?360,k?Z，??S中适合?360720?的元素是60??1?360300?,60??0?360??60?,?60??1?360??420.??（2）S??|21?k?360,k?Z，??S中适合?360720?的元素是?21??0?36021?,?21??1?360??339?,?21??2?260??699???（3）S??|??36314??k?360,k?Z??S中适合?360720?的元素是363?14??2?360356?46?, 363?14??1?360??3?14?,?363?14??0?360??363?14.例4 写出第一象限角的集合M．分析：（1）在360内第一象限角可表示为090；（2）与0,90终边相同的角分别为0?k?360,90?k?360,(k?Z)；（3）第一象限角的集合就是夹在这两个终边相同的角中间的角的集合，我们表示为：????????M|k?360?90??k?360?,k?Z?．学生讨论，归纳出第二、三、四象限角的集合的表示法：P|90??k?360?180??k?360?,k?Z?；N|90??k?360?180??k?360?,k?Z?；Q|270??k?360?360??k?360?,k?Z?．说明：区间角的集合的表示不唯一.例5写出y??x(x?0)所夹区域内的角的集合.??解：当?终边落在y?x(x?0)上时，角的集合为?|??45?k?360,k?Z；????当?终边落在y??x(x?0)上时，角的集合为?|45?k?360,k?Z；??所以，按逆时针方向旋转有集合：S??|?45?k?36045?k?360,k?Z．二、弧度制与弧长公式 1.角度制与弧度制的换算：∵360?=2?（rad），∴180?=? rad. ∴ 1?=?180rad???180 1rad??5718’.oSl2．弧长公式：l?r?. 由公式：?ln?r?l?r??.比公式l?简单. r1801lR，其中l是扇形弧长，R是圆的半径. 2弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积3．扇形面积公式 S?注意几点：1．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略，如：3表示3rad ， sin?表示?rad角的正弦；2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：3．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系.任意角的集合实数集R例6 把下列各角从度化为弧度：(1)252?；（2）1115；(3) 30；(4)67?30’. 解：(1)/71? （2）? (3) ? (4) ? 56变式练习：把下列各角从度化为弧度：(1)22o30′；（2）-210o；(3)1200o. 解：(1) ?；（2）?18720?；(3)?. 63例7 把下列各角从弧度化为度：（1）?；(2) ；(3) 2；(4)35?. 4解：（1）108 o；(2)；(3)；(4)45o. 变式练习：把下列各角从弧度化为度：（1）?4?3?；（2）-；（3）.12310解：（1）15 o；（2）-240o；（3）54o.例8 知扇形的周长为8cm，圆心角?为2rad，，求该扇形的面积. 解：因为2R+2R=8,所以R=2,S=4. 课堂小结1．弧度制的定义；2．弧度制与角度制的转换与区别；3．牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；篇二：(教案3)任意角和弧度制任意角教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
任意角和弧度制》优秀教学教案教学设计
5.1.2 弧度制本节课是普通高中教科书人教A版必修第一册第五章第一节第二课，本节课起着承上启下的作用:在前面学生在初中已经学过角的度量单位“度”，并且上节课学了任意角的概念,将角的概念推广到了任意角;本节课作为三角函数的第二课时,该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备,因此本节课还起着启下的作用。
通过本节弧度制的学习,我们知道实数与角之间一一对应的关系，而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式。
另外弧度制为今后学习三角函数带很大方便。
A.理解角集与实数集的一一对应，熟练掌握角度制与弧度制间的互相转化；B.能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题；C.找出弧度与角度换算的方法，领悟从特殊到一般的思想方法。
1.教学重点：角度制与弧度制间的互相转化，弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明；2.教学难点：能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题。
多媒体任意角的集合 实数集R例3.利用弧度制证明下列扇形的公式：（1）2R 21S 2αα==）（R l lR 21S 3=）（。
（其中R 是扇形的半径，l 是弧长，为圆心角（)20παα<<，S 是扇形的面积）。
三、达标检测由于弧度制是一个新的角单位制的概念,主要是让学生理解弧度制的意义,重点是让学生能正确进行弧度制与角度制的换算,并理解任意角的集合与实数集之间建立一一对应的关系,关键是让学生学会类比思想,并让学生学会在弧度制下的弧长公式,及扇形的面积公式。
学生在学习弧度制的时候主要是对弧度制理解的不够透彻,可能是因为新的概念,所以有大部分学生还不够熟悉,在讲解习题的时候我就逐层深入的讲解,所以学生反映还是不错。
只是学生的作业还是做得不太好。
所以在讲解作业的时候要继续加强弧度制的定义的理解。
任意角的三角函数及弧度制教案及练习(含答案)
第一章：三角函数第一课时教材：角的概念的推广目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
过程：一、提出课题：“三角函数”回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。
相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。
二、角的概念的推广1.回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”2.讲解：“旋转”形成角突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x轴正半轴3.“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。
记法：角α或α∠可以简记成α4.由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。
1︒角有正负之分如：α=210︒β=-150︒γ=-660︒2︒角可以任意大实例：体操动作：旋转2周（360︒³2=720︒） 3周（360︒³3=1080︒）3︒还有零角一条射线，没有旋转三、关于“象限角”为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：30︒ 390︒-330︒是第Ⅰ象限角， 300︒-60︒是第Ⅳ象限角585︒ 1180︒是第Ⅲ象限角，-2000︒是第Ⅱ象限角等四、关于终边相同的角1．观察：390︒，-330︒角，它们的终边都与30︒角的终边相同2．终边相同的角都可以表示成一个0︒到360︒的角与)k∈个周角的和(Zk390︒=30︒+360︒)1k(=-330︒=30︒-360︒ )1(-=k 30︒=30︒+0³360︒ )0(=k 1470︒=30︒+4³360︒ )4(=k -1770︒=30︒-5³360︒ )5(-=k3．所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合 {}Z k k S ∈⋅+==,360| αββ即：任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 五、小结： 1︒ 角的概念的推广， 用“旋转”定义角，角的范围的扩大 2︒“象限角”与“终边相同的角”第二课时教材：弧度制目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集R 一一对应关系的概念。
高三数学一轮复习精品教案4：任意角、弧度制及任意角的三角函数教学设计
4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数『教学目标』1．考查三角函数的定义及应用． 2．考查三角函数值符号的确定．『复习指导』从近几年的高考试题看，这部分的高考试题大多为教材例题或习题的变形与创新，因此学习中要立足基础，抓好对部分概念的理解．『基础梳理』 1．任意角 (1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为 、 、 ． ②按终边位置不同分为 和 ． (2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k ·360°(k ∈Z )． (3)弧度制①1弧度的角： 叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为 ，负角的弧度数为 ，零角的弧度数为 ，|α|＝lr ，l 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值lr 与所取的r 的大小 ，仅与角的大小有关．④弧度与角度的换算：360°＝ 弧度；180°＝ 弧度． ⑤弧长公式： ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr ＝12|α|r 2.2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P (x ，y )，它与原点的距离为r (r ＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx ，它们都是以角为 ，以比值为 的函数． 3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的 ．由三角函数的定义知，点P 的坐标为 ，即P ，其中cos α＝ ，sin α＝ ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tan α＝ .我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的 、 、 ．三角函数线有向线段 为正弦线有向线段为余弦线有向线段 为正切线考向分析考向一 角的集合表示及象限角的判定『例1』►(1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合；(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在『0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、α2所在的象限．『训练1』 角α与角β的终边互为反向延长线，则( )． A ．α＝－β B ．α＝180°＋β C ．α＝k ·360°＋β(k ∈Z ) D ．α＝k ·360°±180°＋β(k ∈Z )考向二 三角函数的定义『例2』►已知角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．『训练2』已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )．A ．－45B ．－35 C.35 D.45考向三 弧度制的应用『例3』►已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .『训练3』 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？考向四 三角函数线及其应用『例4』►在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合： (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.『训练4』 求下列函数的定义域： (1)y ＝2cos x －1； (2)y ＝lg(3－4sin 2x )．提升演练1．下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )．A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )2．若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z )，则α在( )． A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )． A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角 4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )． A ．－55 B.255 C ．－255 D ．－125．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.答案『基础梳理』 1．(1)①正角、负角、零角 ②象限角和轴线角． (3)弧度制①把长度等于半径长的弧所对的圆心角 ②正数 负数 零 ③无关 ④2π π ⑤ l ＝|α|r2．自变量 函数值3．正射影 (cos α，sin α) P (cos α，sin α) OM MP AT 余弦线、正弦线、正切线．MPOMAT『例1』►『审题视点』 利用终边相同的角进行表示及判断． 解： (1)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝π3＋k π，k ∈Z .(2)∵θ＝6π7＋2k π(k ∈Z )，∴θ3＝2π7＋2k π3(k ∈Z )．依题意0≤2π7＋2k π3＜2π⇒－37≤k ＜187，k ∈Z .∴k ＝0,1,2，即在『0,2π)内终边与θ3相同的角为2π7，20π21，34π21.(3)∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°＜α＜k ·360°＋180°，k ∈Z . ∴2k ·360°＋180°＜2α＜2k ·360°＋360°，k ∈Z .∴2α是第三、第四象限角或角的终边在y 轴非正半轴上． ∵k ·180°＋45°＜α2＜k ·180°＋90°，k ∈Z ，当k ＝2m (m ∈Z )时，m ·360°＋45°＜α2＜m ·360°＋90°；当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，m ·360°＋225°＜α2＜m ·360°＋270°；∴α2为第一或第三象限角． 方法总结： (1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．(2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y 轴非正半轴上的角的集合可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝2k π－π2，k ∈Z ，也可以表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .『训练1』『解析』对于角α与角β的终边互为反向延长线，则α－β＝k ·360°±180°(k ∈Z )． ∴α＝k ·360°±180°＋β(k ∈Z )． 『答案』D『例2』► 『审题视点』 根据三角函数定义求m ，再求cos θ和tan θ. 解 由题意得，r ＝3＋m 2，∴m 3＋m 2＝24m ，∵m ≠0， ∴m ＝±5，故角θ是第二或第三象限角．当m ＝5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角， ∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan θ＝y x ＝5－3＝－153.当m ＝－5时，r ＝22，点P 的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角． ∴cos θ＝x r ＝－322＝－64，tan ＝y x ＝－5－3＝153.方法总结： 任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关．若角α已经给出，则无论点P 选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的． 『训练2』『解析』 取终边上一点(a,2a )，a ≠0，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35.『答案』 B 『例3』►『审题视点』 (1)由已知条件可得△AOB 是等边三角形，可得圆心角α的值；(2)利用弧长公式可求得弧长，再利用扇形面积公式可得扇形面积，从而可求弓形的面积． 解： (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形， ∴α＝∠AOB ＝60°＝π3.(2)由(1)可知α＝π3，r ＝10，∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3，∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·1032＝12×10×1032＝5032，∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝⎛⎭⎫π3－32.方法总结： 弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式． 『训练3』解： 设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40， S ＝12lr ＝12r (40－2r )＝r (20－r )≤⎝⎛⎭⎫2022＝100. 当且仅当r ＝20－r ，即r ＝10时，S max ＝100.∴当r ＝10，θ＝2时，扇形面积最大，即半径为10，圆心角为2弧度时，扇形面积最大． 『例4』►『审题视点』 作出满足sin α＝32，cos α＝－12的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围． 解：(1)作直线y ＝32交单位圆于A 、B 两点，连接OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋23π，k ∈Z .(2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连接OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .方法总结： 利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是： (1)用边界值定出角的终边位置； (2)根据不等式(组)定出角的范围； (3)求交集，找单位圆中公共的部分； (4)写出角的表达式． 『训练4』解 (1)∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴定义域为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )． (2)∵3－4sin 2x ＞0， ∴sin 2x ＜34，∴－32＜sin x ＜32. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴定义域为⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．提升演练 1．『解析』与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋94π(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确． 『答案』C 2．『解析』当k ＝2m ＋1(m ∈Z )时，α＝2m ·180°＋225°＝m ·360°＋225°，故α为第三象限角； 当k ＝2m (m ∈Z )时，α＝m ·360°＋45°，故α为第一象限角． 『答案』A 3．『解析』由sin α＜0知α是第三、四象限或y 轴非正半轴上的角，由tan α＞0知α是第一、三象限角．∴α是第三象限角． 『答案』C 4．『解析』由三角函数的定义可知，r ＝5，cos α＝－15＝－55.『答案』A 5．『解析』根据正弦值为负数且不为－1，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，∴y ＜0，sin θ＝y 16＋y 2＝－255⇒y ＝－8.『答案』－8。
高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数学案 文
3．1 任意角和弧度制及任意角的三角函数[知识梳理]1．任意角的概念(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．(4)相关结论①象限角②轴线角2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)公式3．任意角的三角函数[诊断自测] 1．概念思辨(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( )(2)一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位．( )(3)α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α>α>sin α.( )(4)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 2．教材衍化(1)(必修A4P 9T 5)直径为4的圆中，36°的圆心角所对的弧长是( ) A.4π5 B.2π5 C.π3 D.π2答案 B解析 ∵36°＝36×π180 rad ＝π5 rad ，∴36°的圆心角所对的弧长为l ＝π5×2＝2π5.故选B.(2)(必修A4P 21T 9)设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案 B解析 由θ在第三象限，所以2k π＋π<θ<2k π＋3π2(k ∈Z )，所以k π＋π2<θ2<k π＋3π4(k ∈Z )．又cos θ2≤0，故选B. 3．小题热身(1)(2017·石家庄模拟)已知角α的终边在直线y ＝－x 上，且cos α＜0，则tan α＝________.答案 －1解析 如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P (x ，y )，则y ＝－x ，由三角函数的定义得tan α＝y x ＝－xx＝－1.(2)(2018·黄浦模拟)如图，已知扇形OAB 和OA 1B 1，A 1为OA 的中点，若扇形OA 1B 1的面积为1，则扇形OAB 的面积为________．答案 4解析 设∠AOB ＝α，则S 扇形OA 1B 1＝12OA 21·α＝1，S 扇形OAB ＝12OA 2·α，OA ＝2OA 1，∴S 扇形OAB ＝12·(2OA 1)2·α＝4.题型1 象限角及终边相同的角典例1设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z，判断两集合的关系( ) A ．M ＝N B ．M N C ．N MD ．M ∩N ＝∅将描述法表示的集合变为列举法表示．答案 B解析 由于M ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z } ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M N .典例2 已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋|cos θ|cos θ＋tan θ|tan θ|的值为________．找α的终边，利用终边定号法．答案 －1解析 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同角的概念知，α的终边在第四象限，又θ与α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.因此，y ＝－1＋1－1＝－1.方法技巧象限角的两种判断方法1．图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．2．转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．提醒：注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k ·180°(k ∈Z )表示终边落在角α的终边所在直线上的角．冲关针对训练1．(2017·潍坊模拟)集合{|αk π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2， 此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样．故选C.2．若sin θ2＝45，且sin θ<0，则θ所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 C解析 ∵sin θ<0，∴2sin θ2cos θ2<0.又∵sin θ2＝45，∴cos θ2<0.故θ2在第二象限，且2k π＋π2<θ2<2k π＋34π(k ∈Z )． ∴4k π＋π<θ<4k π＋32π，∴θ在第三象限．故选C.题型2 弧度制及扇形面积公式的应用典例 已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；(2)已知扇形的周长为10 cm ，面积是4 cm 2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？利用方程组法、二次函数求最值．解 (1)α＝60°＝π3 rad ，∴l ＝α ·R ＝π3×10＝10π3 (cm)．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2R ＋R α＝10，12α·R 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝1，α＝8(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4，α＝12.故扇形圆心角为12.(3)由已知得，l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10，α＝2.[条件探究] 将典例中的第(3)问推广为“若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？”解 扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ， ∴R ＝C2＋α，∴S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2＝C 2α2·14＋4α＋α2＝C 22·14α＋4＋α≤C 216. 当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216.方法技巧应用弧度制解决问题的方法1．利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．见典例(1)． 2．求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．见典例(3)．3．在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 提醒：弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．在角度制下，弧长l ＝n πr180，扇形面积S ＝n πr 2360，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系．冲关针对训练(2018·大连模拟)一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积是( )A.R 22B.12R 2sin1·cos1 C.12R 2(2－sin1·cos1) D ．R 2(1－sin1·cos1)答案 D解析 设圆心角为θ，由题知2R ＋R ·θ＝4R ，得θ＝2， 所以S 弓＝S 扇－S三角形＝12×2R ·R －12R 2·sin2＝R 2－12R 2·sin2＝R 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12sin2＝R 2(1－sin1·cos1)．故选D.题型3 任意角三角函数的定义及应用角度1 利用三角函数定义求值典例 已知角α的顶点在原点，始边为x 轴的非负半轴．若角α终边经过点P (－3，y )，且sin α＝34y (y ≠0)，则判断角α所在的象限，并求cos α和tan α的值．定义法．解 依题意，P 到原点O 的距离为 |PO |＝ (－3)2＋y 2，∴sin α＝y r＝y3＋y2＝34y . ∵y ≠0，∴9＋3y 2＝16，∴y 2＝73，∴y ＝±213.∴点P 在第二或第三象限． 当P 在第二象限时，y ＝213，cos α＝x r ＝－34，tan α＝－73. 当P 在第三象限时，y ＝－213，cos α＝x r ＝－34，tan α＝73. 角度2 利用三角函数线比较大小，解不等式典例 sin1，cos1，tan1的大小关系是( ) A ．sin1>cos1>tan1 B ．sin1>tan1>cos1 C ．tan1>sin1>cos1D ．tan1>cos1>sin1单位圆定义法．答案 C解析 作单位圆，作出锐角1弧度的正弦线BP ，余弦线OB ，正切线AT ，可得tan1>sin1>cos1.故选C.方法技巧三角函数定义问题的常见类型及解题策略1．已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．2．利用单位圆解三角不等式的步骤 (1)确定区域的边界(注意边界的虚实)； (2)确定区域； (3)写出解集．3．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．提醒：若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)．冲关针对训练1．设π2<x <3π4，a ＝sin x ，b ＝cos x ，c ＝tan x ，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <c <aD ．b <a <c 答案 B解析 ∵π2<x <3π4，∴22<sin x <1，－22<cos x <0，tan x <－1. ∴c <b <a .故选B.2．(2017·兴庆区校级期中)已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x >0)，且cos α＝36x, 求sin α＋1tan α的值． 解 角α的终边经过点P (x ，－2)(x >0) ∵r ＝x 2＋2，∵cos α＝x r ＝36x ， 可得x ＝10. 则r ＝2 3.sin α＝y r ＝－223＝－66，tan α＝y x ＝－210＝－55.那么sin α＋1tan α＝－66－5＝－6＋656.1．(2017·商丘期末)已知点P (－3，y )为角β的终边上的一点，且sin β＝1313，则y 的值为( )A ．±12 B.12 C ．－12 D ．±2答案 B解析 由题意可得：|OP |＝y 2＋3，所以sin β＝y y 2＋3＝1313，所以y ＝±12，又因为sin β＝1313，所以y >0，所以y ＝12.故选B. 2．(2018·东莞月考)角β的终边上有一点P (－m ，m )，其中m ≠0，则sin β＋cos β的值为( )A. 2 B ．－ 2 C ．0 D.2或－ 2 答案 C解析 角β的终边上有一点P (－m ，m )，其中m ≠0， ∴r ＝|OP |＝2|m |， 当m >0时，cos β＝－m2|m |＝－22，sin β＝m2|m |＝22，∴sin β＋cos β＝0； 当m <0时，cos β＝－m2|m |＝22，sin β＝m 2|m |＝－22，∴sin β＋cos β＝0.综上，sin β＋cos β的值为0.故选C.3．(2017·连云港质检)已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6 B.2π3 C.5π4 D.11π6答案 D解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴角α为第四象限角，且sin α＝－12，cos α＝32.∴角α的最小正值为11π6.故选D. 4．(2017·河南八市联考)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，点P (－4m,3m )(m >0)是角α终边上的一点，则2sin α＋cos α＝________.答案 25解析 ∵|OP |＝ (－4m )2＋(3m )2＝5|m |＝5m (m >0)， ∴sin α＝3m 5m ＝35，cos α＝－4m 5m ＝－45，∴2sin α＋cos α＝2×35－45＝25.[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 ①中－3π4是第三象限角，故①错．②中4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确．③中－400°＝－360°－40°，从而③正确．④中－315°＝－360°＋45°，从而④正确．故选C.2．sin2·cos3·tan4的值( ) A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在答案 A解析 ∵π2<2<3<π<4<3π2，∴sin2>0，cos3<0，tan4>0.∴sin2·cos3·tan4<0.故选A.3．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4答案 C解析 设此扇形的半径为r ，弧长是l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.故选C.4．若π4<θ<π2，则下列不等式成立的是( )A ．sin θ>cos θ>tan θB ．cos θ>tan θ>sin θC ．sin θ>tan θ>cos θD ．tan θ>sin θ>cos θ答案 D解析 ∵π4<θ<π2，∴tan θ>1，sin θ－cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.∵π4<θ<π2，∴0<θ－π4<π4，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4>0，∴sin θ>cos θ.故选D.5．在△ABC 中，若sin A ·cos B ·tan C <0，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定答案 B解析 ∵△ABC 中每个角都在(0，π)内，∴sin A >0. ∵sin A ·cos B ·tan C <0，∴cos B ·tan C <0. 若B ，C 同为锐角，则cos B ·tan C >0. ∴B ，C 中必定有一个钝角． ∴△ABC 是钝角三角形．故选B.6．(2018·永昌县期末)已知角α的终边经过点(3a,4a )(a ≠0)，则sin α＋cos α的值为( )A.75 B ．－75 C ．±75 D ．±34 答案 C解析 ∵角α的终边经过点(3a,4a )(a ≠0)，当a >0时，r ＝5a ，sin α＝y r ＝45，cos α＝x r ＝35，sin α＋cos α＝75； 当a <0时，r ＝|5a |＝－5a ，sin α＝y r ＝－45，cos α＝x r ＝－35，sin α＋cos α＝－75.综上可得，sin α＋cos α＝±75.故选C.7．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( ) A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos β B ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan βC ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos βD ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β 答案 D解析 由三角函数线可知，选D.8．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin2 C.2sin1 D ．2sin1答案 C解析 如图，∠AOB ＝2弧度，过O 点作OC ⊥AB 于C ，并延长OC 交弧AB 于D .则∠AOD ＝∠BOD ＝1弧度，且AC ＝12AB ＝1，在Rt △AOC 中，AO ＝ACsin ∠AOC ＝1sin1，即r ＝1sin1，从而弧AB 的长为l ＝|α|·r ＝2sin1.故选C. 9．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( ) A ．sin α＋cos α<0 B ．tan α－sin α<0 C ．cos α－tan α<0 D ．tan αsin α<0 答案 B解析 ∵α是第三象限角，∴sin α<0，cos α<0，tan α>0，则可排除A ，C ，D.故选B.10．(2018·江西模拟)已知角α的终边经过点(m ，3m )，若α＝ 7π3，则m 的值为( ) A ．27 B.127 C ．9 D.19答案 B解析 角α的终边经过点(m ，3m )，若α＝7π3，则tan 7π3＝tan π3＝3＝3mm＝m－ 16，则m ＝127.故选B.二、填空题11．(2017·广州模拟)若角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且 sin θ＝24m ，则cos θ的值为________． 答案 －64解析 点P (－3，m )是角θ终边上一点，由三角函数定义可知sin θ＝m3＋m2.又sin θ＝24m ， ∴m3＋m2＝24m . 又m ≠0，∴m 2＝5，∴cos θ＝－33＋m2＝－64. 12．(2018·济南校级期末)已知1|sin α|＝－1sin α，且lg cos α有意义，则α所在象限为第________象限．答案 四解析 由1|sin α|＝－1sin α可知，sin α<0，∴α是第三或第四象限角或终边在y 轴的非正半轴上的角． 由lg cos α有意义可知cos α>0，∴α是第一或第四象限角或终边在x 轴的非负半轴上的角，综上可知角α是第四象限角．13．若角α的终边在直线y ＝－3x 上，则10sin α＋3cos α＝________.答案 0解析 设角α终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)，则r ＝x 2＋y 2＝k 2＋(－3k 2)＝10|k |.当k >0时，r ＝10k . ∴sin α＝－3k 10k ＝－310，1cos α＝10kk ＝10.∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0.当k <0时，r ＝－10k .∴sin α＝－3k －10k ＝310，1cos α＝－10kk ＝－10.∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0.综上，10sin α＋3cos α＝0.14．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正方向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．答案 (2－sin2,1－cos2)解析 因为圆心由(0,1)平移到了(2,1)，所以在此过程中P 点所经过的弧长为2，其所对圆心角为2.如图所示，过P 点作x 轴的垂线，垂足为A ，圆心为C ，与x 轴相切于点B ，过C 作PA 的垂线，垂足为D ，则∠PCD ＝2－π2，|PD |＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝－cos2，|CD |＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2＝sin2，所以P 点坐标为(2－sin2,1－cos2)， 即OP →的坐标为(2－sin2,1－cos2)．三、解答题15．已知扇形AOB 的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB . 解 设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr＝6.(2)∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr＝2时，扇形面积取得最大值4. ∴弦长AB ＝2sin1×2＝4sin1. 16．已知sin α<0，tan α>0. (1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．解 (1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α>0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为{α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0，sin α2<0，cos α2>0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．。
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第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数教学设计
教师:蓝春艳 最新考纲要求
(1)了解任意角、弧度制的概念，能正确进行弧度与角度的互化． (2)会判断三角函数值的符号．
(3)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 知识点一 角的有关概念
(1)从运动的角度看，可分为正角、 和 . (2)从终边位置来看，可分为 和轴线角．
(3)若α与β角的终边相同，则β用α表示为 ．
易误提醒 (1)不少同学往往容易把“小于90°的角”等同于“锐角”，把“0°～90°的角”等同于“第一象限的角”．其实锐角的集合是{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|2k π<α<2k π＋π
2
，k ∈Z }．(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．
知识点二 弧度的概念与公式 在半径为r 的圆中
易误提醒 角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.
知识点三 任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x ≠0)．
三角函数 正 弦 余 弦 正 切
定 义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么
叫作α的正弦，记作sin α 叫作α的余弦，记作cos α
叫作α的正切，
记作tan α
各象限符号
Ⅰ 正
Ⅱ
负 负 Ⅲ Ⅳ
正
负
口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦
三角函数线
有向线段 为正弦线
有向线段 为余弦线
有向线段 为正切线
易误提醒 三角函数的定义中，当P (u ，ν)是单位圆上的点时有sin α＝ν，cos α＝u ，tan α＝νu ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝νr ，cos α＝u r ，tan α＝ν
u .
考点一 角的集合表示及象限角的判断 例1.给出下列四个命题：
①－3π4是第二象限角；②4π
3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限
角．其中正确的命题有 ( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
练习．设集合M ＝⎩
⎨⎧
x ⎪⎪⎭
⎬⎫
x ＝k 2
·180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪
x ＝k
4
·180°＋45°，k ∈Z ，那么 ( ) A ．M ＝N B ．M ⊆N C ．N ⊆M D ．M ∩N ＝∅
解决终边相同的角的集合的两个方法
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角．
(2)利用终边相同的角的集合S ＝{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α所在的象限．
考点二 三角函数的定义|
[典例](1)已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π
3，则角α的最小正值为 ( ) A.5π
6
B.2π3
C.5π3
D.11π
6
练习 (2013·临川期末)已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝2
4
x ，则sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π
2＝________. 用定义法求三角函数值的两种情况
(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题． 考点三 扇形的弧长及面积公式
[典例]已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．
练习.已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？
弧度制应用的两个关注点
(1)弧度制下l ＝|α|·r ，S ＝12lr ，此时α为弧度．在角度制下，弧长l ＝n πr 180，扇形面积S
＝n πr 2
360
，此时n 为角度，它们之间有着必然的联系． (2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．
小结：今天你都学了什么？ 作业
1．已知MP 、OM 、AT 分别为角θ⎝⎛⎭⎫π4<θ<π
2的正弦线、余弦线、正切线，则一定有( ) A ．MP <OM <AT B ．OM <AT <MP C ．AT <OM <MP
D ．OM <MP <AT
2．已知sin α<0，cos α<0，则角α的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )
A ．2
B ．sin 2 C.2
sin 1
D ．2sin 1
4．若x ∈(0,2π)，则sin x >1
2的必要不充分条件是( )
A.π6<x <5π6
B.π
6<x <π C.π6<x <π2 D.π3<x <5π6
5．点P 从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动7π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为( )
A.⎝⎛⎭⎫－12，32
B.⎝
⎛⎭⎫
－32，－12 C.⎝⎛⎭⎫－12，－32
D.⎝
⎛⎭
⎫－
32，12
6．如果角θ的终边经过点⎝
⎛⎭
⎫
－
32，12，那么tan θ的值是________．
7．已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6， (1)求AB 的长；
(2)求AB 所在弓形的面积．
8．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值．。