Vandermonde矩阵及其变形矩阵的快速求逆格式_叶贻才

福建师范大学学报(自然科学版)JOURNAL OF FUJIAN TEACHERS UNIVERSITY13(2):15～20(NATURAL SCIENCE )1997Vandermonde 矩阵及其变形矩阵的快速求逆格式叶贻才(计算机科学系)摘　要　导出在实算中颇具实用的关于V -阵及其变形矩阵的一种快速求逆格式.算术运算量为O (n 2),算法格式紧凑、简便,并给出具体算例.关键词　V -阵,变形矩阵,逆阵,反递推关系Vandermo nde 矩阵(简称V-阵)以及它的变形矩阵是实际计算中一类结构特殊的著名的常见矩阵.关于V-阵求逆问题的探讨,早为人们所关注.50年代以来,有关这方面的研究文章相继出现(如文[1～3]等).某些算法,其运算量可从O (n 3)降至O (n 2),甚至更小.诚然,运算量小,对于节省机时,减少舍入误差的影响,改善算法的有效性等无疑是重要的.但是运算量小,程序不一定相应地化简,而程序复杂(即使运算量小)的算法在某些场合下是不可取的.因此,从实算的角度,考虑一种运算量尽量小,程序不复杂的手算格式有一定的意义.本文借助于V -阵与多项式之间的密切联系,直观地导出V-阵及其变形矩阵的一种简易快速求逆算式.其运算量为12n (n -1)(7M +5A )(这里记号M 和A 分别代表一次乘(除)法和一次加(减)法[2]),较通常求逆算法所需运算量O (n 3)[4]低了一个数量级.此外,该算法有效地使用递推过程,无论用于人工手算或编程机算都很简便.1　算法的构成任取一组互异实数{x 1,x 2,…,x n },可构造一个实系数首1多项式:f n (x )=∑nj =0aj +1x j=∏ni =1(x-x i ),　(a n +1=1).(1)将a j +1(j =0,1,…,n )视为实变量x 1,x 2,…,x n 的函数,并记其偏导数为a js =a jx s,　(j ,s =1,2,…,n ),有∑nj =0aj +1,sx j=-∏ni =1i ≠s(x -x i ),　(s =1,2,…,n ).(2)注意到a n +1=1,有收稿日期:1996-04-08.∑nj =1ajsxj -1l=　0, l ≠s ,-∏ni =1i ≠l(xl-x i ), l =s .(3)其中s ,l =1,2,…,n .引入记号J n =a 11a 21…a n 1a12a22…an 2…………a 1n a 2n …a nn, V =11…1x 1x 2…x n x 21x 22…x 2n …………x n -11x n -12…x n -1n,(4)及D n =diag (-k ′(x 1),-k ′(x 2),…,-k ′(x n )).(4)′这里k ′(x i )=∏nj =1j ≠i(xi-x j ),　(i =1,2,…,n )是k (x )=∏nj =1(x-x j )在x i 处的导数.可将(3)式写成J n V =D n .按已知算式det(V )=∏0≤j <i ≤n(x i -x j ),当x i ≠x j (i ≠j )时,D n ,V 阵皆可逆,且V-1=D -1n J n .(5) 下面给出如何计算矩阵J n (它是一个转置的Jacobi 矩阵)的各元素的途径.对任取的一组互异实数{x 1,x 2,…,x n },再构造一组相关多项式如下:f i (x )=∑ij =0a(i )j +1x j=∏ik =1(x-x k ),　(a (i )i +1=1,i =1,2,…,n )(1)′当i =n 时即多项式(1).比较(1)′两边系数,可得以下递推关系式:a (i -1)i =1,　a (i -1)0=0,　a (1)1=-x 1,a (i )k =a (i -1)k -1-a (i -1)kx i (i =2,3,…,n ;k =i ,i -1,…,1).(6) 注:(6)是Viete 定理的递推形式.引理1　a (i )j +1(i =2,3,…,n ;j =i ,i -1,…,0)关于每个x S (S =1,2,…,n )是对称的(即交换任意两个x _和x g ,a (i )j +1值不变).证　因交换任意两个x _和x g (_≠g ),其结果只是改变(1)′中右边两乘积因子的顺序,积不变,a (i )j +1值也不变.得证.记S a (n -1)k 为由{x 1,x 2,...,x S -1,x S +1,...,x n }(S =n ,n -1,...,1)递推算得的结果.于是,按引理1,递推式(6)可改写成为: S =n ,n -1, (1)S a (i -1)i=1,　S a (i -1)=1,　S a (1)1=-x 1,S a(i )k=S a (i -1)k -1-S a (i -1)k x i ,　(x i ≠x S ),(i =2,3,...,n -1;k =i ,i -1, (1)(7)16 福建师范大学学报(自然科学版) 1997年6月　S a(n -1)n=1,　S a (n -1)0=0,a k =S a (n )k =S a (n -1)k -1-S a (n -1)k x S ,　(k =n ,n -1,…,1).(7)′ 引理2　设S a (n -1)k (k =n ,n -1,…,1)为由数组{x 1,x 2,…,x S -1,x S +1,…,x n },(S =n ,n -1,…,1)按递推式(7)算得的值,则J n 阵可以写成:J n =-1a (n -1)1-1a (n -1)2…-1a (n -1)n -1-1-2a (n -1)1-2a (n -1)2…-2a (n -1)n -1-1……………-na (n -1)1-na (n -1)2…-na (n -1)n -1-1=(记)-J .(8) 证　由递推关系(7)′,求a k 关于x S 的偏导数,有a k S =-S a (n -1)k ,　(S ,k =n ,n -1,…,1),代入(4)的J n 阵,立得(8).证毕.定理1　对任取的一组互异实数{x 1,x 2,…,x n },V andermonde 矩阵的逆矩阵可以表示为V -1=-D -1n (-J n )=D J 的形式.即11…1x 1x 2…x n …………x n -11x n -12…x n -1n-1=diag (1k ′(x 1),1k ′(x 2),…,1k ′(x n ))　1a (n -1)1-1a (n -1)2…　1a (n -1)n -11　2a (n -1)1　2a (n -1)2…　2a (n -1)n -11……………　n a (n -1)1　n a (n -1)2…　n a (n -1)n -11.(9)其中k ′(x i )=∏nj =1,j ≠i(x i -x j )(i =1,2,…,n ),而Sa (n -1)k(S =n ,n -1,…,1;k =n -1,n -2,…,1)为先对整组{x 1,x 2,…,x n },从递推式(6),即a (i -1)i=1,　a (i -1)=0,　a (1)1=-x 1,a (i )k =a (i -1)k -1-a (i -1)k x i ,　(i =2,3,…,n ;k =i ,i -1,…,1).(6)求得a (n )k ,即a k (k =n ,n -1,…,1).然后对数组{x 1,…,x S -1,x S +1,…,x n }(S =n ,n -1,…,1)从以下反递推关系求出数据:S a (n -1)n=1,S a(n -1)k -1=a k +Sa (n -1)kx s ,　(S =n ,n -1,…,1;k =n ,n -1,…,2).(10) 证　综合(4)′、(8)及(5)三式,就有(9)式成立.证毕.注:使用与定理1相同的条件和递推关系,可得求算V 阵的变形矩阵的类似算式,即下述3个推论.推论1　(V T )-1=J T D ,即17　第2期 叶贻才:V andermo nde 矩阵及其变形矩阵的快速求逆格式1x1x21…x n-111x2x22…x n-12……………1x n x2n…x n-1n -1=　1a(n-1)1　2a(n-1)1…　n a(n-1)1　1a(n-1)2　2a(n-1)2…　n a(n-1)2…………　1a(n-1)n-1　2a(n-1)n-1…　n a(n-1)n-111 (1) diag(1k′(x1),1k′(x2),…,1k′(x n)). 推论2　V-1=D J,即x n-11x n-12…x n-1nx n-21xn-22 (x)n-2n…………x1x2…x n11 (1)-1=diag(1k′(x1),1k′(x2),…,1k′(x n)). 1　1a(n-1)n-1…　1a(n-1)2　1a(n-1)11　2a(n-1)n-1…　2a(n-1)2　2a(n-1)n-1……………1　n a(n-1)n-1…　n a(n-1)2　n a(n-1)1 推论3　(V T)-1=J T D,即x n-11x n-21 (x11)x n-12x n-22 (x21)……………x n-1n x n-2n…x n1-1=11 (1)　1a(n-1)n-1　2a(n-1)n-1…　n a(n-1)n-1…………　1a(n-1)1　2a(n-1)1…　1a(n-1)1　diag(1k′(x1),1k′(x2),…,1k′(x n)).2　求逆算法的运算量和算例将递推关系(6)的计算过程列表如下:表1　多项式(1)各系数推算表 下面统计该求逆算法的全部算术运算次数.18 福建师范大学学报(自然科学版) 1997年6月　为了计算J 中各元,并节省运算量,作者采用下述步骤.①先对整组{x 1,x 1,…,x n }按(6)或表1算出a (n )j ,即a j (j =n ,n -1,…,1),这时用去 乘(除)法次数:　_1=∑n -1j =1j =n (n -1)/2, 加(减)法次数:　T 1=_1=n (n -1)/2.②对每缺x S 的数组{x 1,…,x S -1,x S +1,…,x n }(S =n ,…,1)计算S a (n -1)k (k =n -1,n -2,…,1),则利用已算出的a j (j =n ,n -1,…,2)及(7)′的反递推关系:a (n -1)n=1,S a (n -1)n -1=a n +x S ,S a (n -1)n -2=a n -1+Sa (n -1)n -1x S ,S a (n -1)n -3=a n -2+S a (n -1)n -2x S ,S a (n -1)2=a 3+S a (n -1)3x S ,S a(n -1)1=a 2+S a (n -1)2x S .　(S =n ,n -1, (1)(10)只需再用乘(除)法次数:_2=n (n -2);　加(减)法次数:T 2=n (n -1),就能算出J 中所有元素.③形成对角阵D ,并将它与矩阵J 相乘,需乘(除)法次数:_3=n (n -1)+n 2;　加(减)法次数:T3=n (n -1).累计上述各步,共需运算量乘(除)法次数:_总= 3.5n (n -1);加(减)法次数:T 总= 2.5n (n -1). 例　给定数组{2,3,-5,7,-10},求由它构成的V 阵的逆阵V -1.解　形成D 中各对角元:算出1k ′(x i )(i =1,2,…,5).其中 k ′(2)=420,k ′(3)=-416,k ′(-5)=-3360,k ′(7)=4080,k ′(-10)=13260.形成J 中各元:先算(按(6)或表1)a (5)5=3,a (5)4=-89,a (5)3=-27,a (5)2=1420,a (5)1=-2100;然后按(10)式算出J 中各元(参见下式在J 阵旁标出的箭头、数据,它们示意按(10)逐行推算各元的顺序、规则).最后得到逆阵V -1的表示式:V -1=1111123-57-102232(-5)272(-10)22333(-5)373(-10)32434(-5)474(-10)4-119　第2期 叶贻才:V andermo nde 矩阵及其变形矩阵的快速求逆格式 =ding (1420,-1416,-13360,14080,113260)参　考　文　献1　M acon N ,Spit zbar t A .Inv er ses of V ande rmo nde ma trices .Amer .M ath .M onthly ,1958(65):95～1002　Bj o ¨rck A ,Perey ra V.So lution of V ande rmo nde sy stems o f equations.Ma th.Co mp.,1970(24):893～9033　Pan V .On computatio ns w ith dense structured matrices .M ath .Comp .,1990(55):179～1904　游兆永.线性代数与多项式的快速算法.上海:上海科技出版社,1980.A Fast Scheme for Finding the Inverses of VandermondeMatrix and Its Deformed MatricesYe Yicai(Departm ent of Computer Science )Abstract　Intro duces a fast scheme w hich is co nsiderably functio nal for finding the inv erses of Vandermo nde matrix and its deformed ma trices .The algo rithm operand re-quired is O (n 2).The schem e is quite compact and ha ndy.M o reov er ,a co ncrete ex ample illustra ting the present alg orithm procedure is giv en.Keywords V -m atrix ,defo rmed matrix ,inv erse ma trix ,inv erse recursiv e relation20 福建师范大学学报(自然科学版) 1997年6月　。