高考求函数值域及最值得方法及例题_训练题
高中数学求函数值域最值的10种经典例题和方法
高中数学求函数值域最值的10种经典例题和方法
函数的值域在函数的应用中占有非常重要的地位.因此,准确选择恰当的方法显得十分重要.本文结合具体的经典例题说明了求函数值域和最值方法.
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高中数学求函数值域最值的几种经典例题和方法
方法一观察法
方法二分离常数法
方法三配方法
方法四反函数法
方法五换元法
方法六判别式法
方法七基本不等式法
方法八单调性法
方法九数形结合法
方法十导数法。
求值域的方法大全及习题
求值域方法常用求值域方法(1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域对于一些比较简单的函数,如正比例，反比例，一次函数,指数函数，对数函数，等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数1,[1,2]y x x =∈的值域.例2、 求函数x 3y -=的值域。
【同步练习1】函数221xy +=的值域.（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数225,y x x x R =-+∈的值域.例2、求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
例3、求()()22log 26log 62log 222222-+=++=x x x y .(配方法、换元法)例4、设02x ≤≤，求函数1()4321x x f x +=-+的值域．例5、求函数13432-+-=x x y 的值域。
（配方法、换元法）例6、求函数x x y 422+--=的值域。
（配方法) 【同步练习2】1、求二次函数242y x x =-+-([]1,4x ∈)的值域。
2、求函数342-+-=x x e y 的值域.3、求函数421,[3,2]xx y x --=-+∈-的最大值与最小值。
4、求函数])8,1[(4log 2log 22∈⋅=x xx y 的最大值和最小值。
5、已知[]0,2x ∈，求函数12()4325x x f x -=-⋅+的值域。
6、若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。
（3)、换元法：(三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系,我们常常引进一个(几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质,发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域．例1、求()f x x =+【同步练习3】求函数x x y 21--=的值域。
常见函数值域或最值的经典求法-学会解题之高三数学多题一解【解析版】
常见函数值域或最值的经典求法【高考地位】函数值域是函数概念中三要素之一,是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单函数的值域求解的基本方法.方法一 观察法万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 观察函数中的特殊函数；第二步 利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.例1（2022·全国·高一课时练习）（多选）下列函数中，值域为[1,)+∞的是（ ） A ．1y x =-B ．1y x =+ C ．21y x =+D ．1y x =- 【答案】BC【分析】可以求出选项A 函数的值域为[0,)+∞，选项D 函数的值域为(0,)+∞，选项BC 函数的值域为[1,)+∞，即得解.【详解】解：A. 函数的值域为[0,)+∞，所以该选项不符合题意；B.因为||0,||11x x ≥∴+≥，所以函数的值域为[1,)+∞，所以该选项符合题意； C.因为2220,11,11x x x ≥∴+≥∴+≥，所以函数的值域为[1,)+∞，所以该选项符合题意； D. 函数的值域为(0,)+∞，所以该选项不符合题意. 故选：BC【变式演练1】（2023·全国·高三专题练习）函数()()21{5x f x x +=-+，，2113x x -≤<≤≤的值域是______________（用区间表示） 【答案】[0,4]【分析】根据二次函数、一次函数的性质，分别求解21x 时和13x ≤≤时，函数的值域，综合即可得答案. 【详解】当21x 时，2()(1)f x x =+，为开口向上，对称轴为1x =-的抛物线，所以()[0,4)f x ∈，当13x ≤≤时，()5f x x =-+，为单调递减函数， 所以()[2,4]f x ∈，综上：()[0,4]f x ∈，即()f x 的值域为[0,4]. 故答案为：[0,4]方法二 分离常数法万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 观察函数类型，型如； 第二步 对函数变形成形式；第三步 求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域.例2 求函数2)(-=x x f 的值域.【解析】第一步，观察函数类型，型如；第二步，变形：函数35361111()3222x x f x x x x +-+===+---， 第三步，求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域：根据反比例函数的性质可知：1102x ≠-，所以3y ≠，所以函数的值域为}3|{≠y y . 【变式演练2】函数212x y x -=+； ①[]5,10x ∈的值域是__________； ②()()3,22,1x ∈---的值域是__________．【答案】 919,712⎡⎤⎢⎥⎣⎦()1,7,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】215222x y x x -==-++，然后画出其图像，结合图像可得答案. 【详解】()2252152222x x y x x x +--===-+++， 其图像可由反比例函数5y x-=的图像先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，如下： ()f x ()ax bf x cx d +=+()f x ()a ef x c cx d=++ey cx d=+()f x ()f x ()f x ()ax b f x cx d +=+ey cx d=+()f x当5x =时97y =，当10x =时1912y =，所以[]5,10x ∈的值域是919,712⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为当3x =-时7y =，当1x =时13y =，所以()()3,22,1x ∈---的值域是()1,7,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，故答案为：919,712⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ；()1,7,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭方法三 配方法万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 将二次函数配方成；第二步 根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域.例3 定义在R 上的函数()()()()()1234f x x x x x =++++的值域是__________． 【解析】第一步，将函数配方成：由()()()()()()()()()12341423f x x x x x x x x x =++++=++++2()y a x b c =-+2()y a x b c =-+()()225456x x x x =++++()225x x =++10()25x x ++24()2255x x =++-1第二步，根据二次函数的图像和性质即可求出函数的值域：因为2255555244x x x ⎛⎫++=+-≥- ⎪⎝⎭,()22550x x ⇒++≥所以()2255x x ++-11≥-即函数()()()()()1234f x x x x x =++++的值域是[)1-+∞， 【变式演练3】（2022·全国·高一课时练习）函数212y x x =-++的值域为________.【答案】4(,0)[,)9-∞+∞【分析】先求出x 的取值范围，再求出2924x x -++≤，且220x x -++≠，即得解. 【详解】解：由题得220,1x x x -++≠∴≠-且2x ≠.因为221992()244x x x -++=--+≤, 且220x x -++≠.所以原函数的值域为4(,0)[,)9-∞+∞.故答案为：4(,0)[,)9-∞+∞方法四 反函数法万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 求已知函数的反函数； 第二步 求反函数的定义域；第三步 利用反函数的定义域是原函数的值域的关系即可求出原函数的值域例4 设为，的反函数，则的最大值为． 【答案】【解析】第一步，先判定函数()222xx f x +=-在区间[]20，上是单调递增的；()1fx -()222x f x -=+[]0,2x ∈()()1y f x f x -=+4第二步，求出函数()222x x f x +=-的值域⎥⎦⎤⎢⎣⎡241，； 第三步，根据反函数的性质得出反函数()x fy 1-=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡241，为增函数； 所以在⎥⎦⎤⎢⎣⎡241，为增函数； 所以的最大值为()()221-+f f 4=【变式演练4】求函数的值域.方法五 换元法万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联；第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域.例5 求函数()1423xx f x +=--， []1,1x ∈-的值域..【解析】第一步，变化函数为二次函数的形式：()1423x x f x +=--∴()()32222-•-=x x x f ，设2x t =，∴()()222314f t t t t =--=--第二步，求出换元后函数的定义域： ∵[]1,1x ∈-，∵[]0,2t ∈，第三步，结合二次函数的性质得出函数的值域：可得 ()[]4,3f t ∈--， 综上所述：函数的值域为[]4,3--.()()1y f x f x -=+()()1y f x fx -=+34()56x f x x +=+【变式演练5】【2021新高考高考最后一卷数学第二模拟】函数22sin sin 21sin x xy x+=+的值域为______. 【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】由题可得，22222sin 2sin cos tan 2tan cos 2sin 12tan x x x x x y x x x ++==++，令tan x t =，则22221t ty t +=+， 即()21y -220t t y -+=，当210y -=，即12y =时，14t =； 当210y -≠，即12y ≠时，要使方程有解，则需()44210y y ∆=--≥，得111,,1222y ⎡⎫⎛⎤∈-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦. 综上，1,12y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦例6 求函数12y x x =+-.【解析】第一步，换元（注意换元后的变量的取值范围）：令21120,2t t x x -=-=，所以原函数可化为()211022y t t t =-++≥ 第二步，根据函数解析式判定单调性： 因为其开口向下，并且对称轴是1t =，故当1t =时取得最大值为1，没有最小值，故值域为(,1]-∞.【变式演练6】 求函数，的值域.方法六 判别式法)1x )(cos 1x(sin y ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 观察函数解析式的形式，型如的函数； 第二步 将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数的取值范围，即得函数的值域.例7 求函数的值域.【解析】第一步，将函数式化成关于的方程的形式：因为所以()()0732222=++-+-y x y x y第二步，根据判别式得出函数值的取值范围：2≠y 时，上式可以看成关于x 的二次方程，该方程的x 范围应该满足()0322≠++=x x x f 即R x ∈此时方程有实数根即0≥∆，=∆()[]()()07324222≥+---y y y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⇒2,29y当2=y 时，方程化为7=0，显然不能成立，所以2≠y ， 将2=y ，29-=y 分别代入检验的2=y 不符合方程，所以⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈⇒2,29y 【变式演练7】（2022·全国·高一专题练习）求函数231xy x x =-+的值域.【答案】(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】将函数式转化为方程()2310yx y x y ++=-，即该方程在x ∈R 上有解，讨论0y =、0y ≠，结合判别式法即可求值域. 【详解】因为231xy x x =-+，所以当0x =时，0y =；当0y ≠时，原函数化为()2310yx y x y ++=-，22dx ex fy ax bx c++=++x y 3274222++-+=x x x x y x 3274222++-+=x x x x y所以22(31)40y y ∆=+-≥，整理得25610y y ++≥， 解得即1y ≤-或15y ≥-，∴综上，函数231xy x x =-+的值域为(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃-+∞⎪⎢⎣⎭. 方法七 基本不等式法万能模板 内 容使用场景 函数值域求解解题模板第一步 观察函数解析式的形式，型如或的函数；第二步 对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域.例8 已知，求函数 的最小值.【解析】第一步，将函数解析式化成()xax x f +=的形式： 因为25≥x ，所以02>-x ； 所以()()()()2212222425422-+-=-+=-+-=x x x x x x x f ； 第二步，利用基本不等式求函数最小值：()()()()()122122222122=-⨯-≥-+-=x x x x x f ，当且仅当()()22122-=-x x ，即3=x 时等号成立。
函数求值域的方法例题及解析
函数求值域的方法例题及解析一、函数求值域的方法那可真是个有趣又重要的事儿呢！咱先来说说观察法。
1、观察法就是直接通过对函数表达式的观察来确定值域。
比如说最简单的一次函数y = 2x+1，x可以取任意实数，那y也就能取任意实数啦。
因为x不管咋变，y就随着x按照2倍再加1的规律变化，没有啥特殊限制。
就像我们走路一样，只要路是通的（x取值范围是全体实数），那我们能走到的地方（y的取值范围）也就是无限的。
再比如y = 1/x ，这里x不能等于0，那我们一看就知道y也不能等于0啦，因为分母不能为0嘛，这就像一个规则，破坏这个规则游戏就玩不下去了。
二、配方法也很常用哦。
1、对于二次函数特别管用。
比如说y = x²+2x +3，我们可以把它配方成y=(x + 1)²+2。
因为(x + 1)²肯定是大于等于0的，再加上2呢，那y就大于等于2了。
这就好比是给一个东西加包装，我们知道这个包装本身有一定的基础价值（(x + 1)²大于等于0），再加上里面本身的东西（这里的2），就得到了整个东西的价值范围（y的值域）。
2、还有像y = -x²+4x - 1，配方后是y = -(x - 2)²+3。
由于-(x - 2)²是小于等于0的，所以y就小于等于3。
这就像是给一个正数前面加个负号，性质就完全变了，值域也就跟着变了。
三、换元法也很有意思呢。
1、比如说函数y = 2x + √(x - 1)，这里我们设t = √(x - 1)（t≥0），那x = t²+1。
于是函数就变成了y = 2(t²+1)+t = 2t²+t + 2。
这时候我们就把原来复杂的函数转化成了一个关于t 的二次函数，再根据二次函数求值域的方法来做就容易多了。
这就像是给一个复杂的东西换了个简单的外壳，然后我们就能更好地处理它了。
2、再比如y = x + √(1 - x²)，我们可以设x = sinθ（-π/2≤θ≤π/2），因为sinθ的值域刚好符合x的取值范围。
高考求函数值域及最值得方法及例题_训练题之欧阳育创编
函数专题之值域与最值问题一．观察法:通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域.例1:求函数)=的值域.y-+3x2(3点拨：根据算术平方根的性质，先求出)-的值域.2(x3解：由算术平方根的性质，知)3-≥3。
2(x-≥0，故3+)2(x3∴函数的值域为),3[+∞ .点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法:当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域.例2:求函数y=(x+1)/(x+2)的值域.点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域.例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域.点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四.判别式法:若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
函数值域求解十法,分方法举例附练习题含参考答案
函数值域求解十法及练习题含参考答案函数值域是函数值的集合，值域是函数考查时最重要的考点之一.在高考数学中，通常以选择题和填空题的形式。
一般求函数的值域时要明确两点，一是值域的概念，二是函数的定义域和对应关系。
常用的方法有：观察法、换元法、配方法、判别式法、数形结合法、分离常数法、反函数法、中间变量值域法、三角函数有界性、基本不等式求函数值域、导数法等.本文重点对以上进行举例分析，同时对抽象函数的值域问题进行举例分析，帮助同学们学习和提升.方法1.直接观察法:通过是基本的初等函数，能够直接判断函数的单调区间或图像，可直接求值域.例1：求函数211y x=+的值域. 解：20x ≥，210x +≥，故0<y 1≤方法2.换元法：将复杂的函数通过整体代换的方式转化为常见函数，从而求得原函数的值域.形如y ax b =+.例2：求函数y x =-.解：令t =则0,t ≥且212t t -=，故211(1)122y t =-++≤，所以函数的值域为1(,]2-∞. 方法3.配方法:若函数是二次函数形式，即可通过配方再结合二次函数的性质求值域.例3：求函数221x x y x x -=-+的值域. 解：2111y x x =--+，而22331(1)44x x x -+=-+≥，故214013x x <≤-+，所以函数的值域为4[,1)3-. 方法4.判别式法：求形如22ax bx c y dx ex f++=++的值域，常利用去分母的形式，把函数转化为一元二次方程，通过方程有实数根，判别式0∆≥求出值域.例4：求函数225851x x y x ++=+的值域. 解：由已知得2(5)850y x x y --+-=，,x R ∈得5y ≠时，2644(5)0y ∆=--≥ 得19y ≤≤，而5y =时，0x =;故函数的值域为[1,9].方法5.数形结合法：函数图像的可以简单画出来，或者通过基本初等函数图像变换可得，则常常通过数形结合法求值域.例5：求函数2||2y x x =--在区间[1,3]-的值域.解：函数2||||2y x x =--的图像是由函数22y x x =--的图像沿y 轴向左翻折即可.如图：可知当12x =-时取最小值， 3x =时取最大值；故函数的值域为9[,4]4-. 方法6.分离常数法：形如cx d y ax b +=+的函数，经常采用分离常数法，将cx d ax b++变形为()c bc bc ax b d d c aa a axb a ax b+---=+++,从而确定函数的值域. 例6：求函数211x y x -=+的值域. 解：2(1)312,11x y x x +-==-++且301x ≠+，故函数的值域为2y ≠. 方法7.反函数数:求函数的反函数，求值域,前提是要学会反向用含y 的代数式表示x .例7：求函数12x y x -=+的值域. 解：反向求得211y x y+=-，故函数的值域为1y ≠. 方法8.中间变量值域法，中间变量一般大小范围确定.例8：求函数2241x y x +=-的值域. 解：易得241y x y +=-，而20x ≥，故40,1y y +≥-得4y ≤-或1y ≥故函数的值域为(,4](1,)-∞-⋃+∞方法9.利用三角函数的有界性求值域，1sin 1x -≤≤，1cos 1x -≤≤例9：求函数sin 1sin x y x=+的值域. 解：由已知得sin sin ,y y x x +=(1)sin ,y x y -=即有sin [1,1]1y x y =∈-- 所以函数的值域是12y ≤方法10.基本不等式求值域,对常见的不等式要非常熟悉,才能快速正确求得函数的值域.例10:求函数y =的最大值.解：由不等式2a b +≤≤≤练习题1. 函数2y =的值域为_________;2. 函数y x =+_________;3. 函数211y x =+的值域为_________; 4. 函数21ax b y x +=+(0)a >的最大值为4，最小值为-1，则b a +=_________; 5. 函数3121x y x +=-的值域为_________; 6. 若224x y +=，那x y -的最大值是_________;7. 函数24813(1)6(1)x x y x x ++=>-+的最小值为_________; 8. 函数||x y e =的值域为_________;9. 函数3sin 1cos x y x-=+的值域为_________； 10.函数x y xe =的最小值为_________;参考答案1. [2,)-+∞2.[1,)-+∞3.(0,1]4.75.32y ≠ 6.7.2 8.[1,)+∞ 9.(,2][1,)-∞-⋃+∞ 10.1e -。
求值域的方法,带例题
F o r p e s n a u s e o n y s u d y a n d r e s a c h n o f r c m me r c a u s e 1．直接观察法：利用常见函数的值域来求值域或者通过对函数定义域、性质或者图像的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ，当a>0时，值域为{a b ac y y 44|2-≥}；当a<0时，值域为{ab ac y y 44|2-≤}. 练习1．求下列函数的值域① y=3x+2 (-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1+=x xy2.分离常数法：分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围。
练习2.求函数11)(+-=x xe e xf 的值域。
3．有解判别法：有解判别法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，并且分子、分母，没有公因式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论例1．求函数y=1122+++-x x x x 值域解：原式可化为1)1(22+-=++x x x x y , 整理得2(1)(1)10y x y x y -+++-=， 若y=1,即2x=0,则x=0；若y ≠1,由题∆≥0， 即0)14(-)1(22≥+y-y ,解得331≤≤y 且 y ≠1.综上：值域{y|331≤≤y }.例2．求函数66522-++-=x x x x y 的值域（注意此题分子、分母有公因式，怎么求解呢？）解：把已知函数化为(2)(3)361(2)(3)33x x x y x x x x ---===--+++ (x ≠2且 x ≠-3) 由此可得 y ≠1∵ x=2时 51-=y ∴ 51-≠y∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠51-}练习3（1）31(1)2x y x x +=≤- （2）221x xy x x -=-+4．二次函数在给定区间上的值域。
高中求值域练习题及讲解
高中求值域练习题及讲解高中数学：求值域练习题及讲解在高中数学中，函数的值域是一个重要的概念，它描述了函数输出的所有可能值的集合。
掌握求值域的方法对于理解函数的性质至关重要。
以下是一些常见的求值域练习题，以及解题思路的详细讲解。
练习题1：已知函数 \( f(x) = \sqrt{x + 2} \)，求其值域。
解题思路：- 首先确定函数的定义域，即 \( x \) 的取值范围使得 \( \sqrt{x+ 2} \) 有意义。
- 由于根号内的值必须非负，因此 \( x + 2 \geq 0 \)，解得 \( x\geq -2 \)。
- 接下来，考虑 \( f(x) \) 的最小值。
当 \( x = -2 \) 时，\( f(x) = \sqrt{0} = 0 \)。
- 随着 \( x \) 的增加，\( f(x) \) 会无限增大，因此值域为\( [0, +\infty) \)。
练习题2：若函数 \( g(x) = \frac{1}{x} \)，求其值域。
解题思路：- 确定函数的定义域，由于分母不能为零，所以 \( x \neq 0 \)。
- 分析函数的单调性，当 \( x > 0 \) 时，\( g(x) \) 随着 \( x \)的增大而减小；当 \( x < 0 \) 时，\( g(x) \) 随着 \( x \) 的减小而减小。
- 因此，\( g(x) \) 没有最大值，但有最小值，当 \( x \) 趋向于正无穷或负无穷时，\( g(x) \) 趋向于 0。
- 值域为 \( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \)。
练习题3：给定函数 \( h(x) = x^3 - 3x \)，求其值域。
解题思路：- 首先求导数 \( h'(x) = 3x^2 - 3 \)，以确定函数的增减性。
- 解 \( h'(x) = 0 \) 得到 \( x = \pm 1 \)，这两个点可能是极值点。
求函数值域的8种方法带例题
求函数值域的8种方法带例题在数学的世界里，函数就像是画家的调色板，每个数字都是一块颜色，它们组合起来描绘出一个个美妙的世界。
而我们的任务，就是找到那些能让我们眼前一亮的颜色——函数值域。
想象一下，你走进一个神秘的画展，每一幅画都有它独特的色彩和主题。
同样地，每个函数也有它自己的色彩，这些色彩就是它的值域。
要找到这些色彩，我们可以采取8种不同的方法。
就像探险家寻找宝藏一样，我们一步步揭开函数值域的秘密。
我们可以用“试错法”。
就像孩子第一次尝试骑自行车时那样，我们用直觉去猜测，然后不断调整，直到找到正确的路径。
比如，如果函数是y=x^2+1，那么它的值域就是所有非负数，因为任何正数的平方都大于1。
我们可以使用“代入法”。
就像侦探分析线索一样，我们把可能的数值一个个代入到函数中，看看会发生什么。
例如，如果我们想知道函数y=x^35x+6的值域，我们可以把x从0到无穷大代入进去，看看结果是什么。
我们还可以利用“图像法”。
想象一下，函数就像是一幅画，它的值域就像是这幅画的色彩范围。
比如，函数y=2x+1在区间(∞,0)内是红色的，在(0,∞)内是蓝色的。
通过画出这个函数的图像，我们就可以直观地看到它的值域。
我们可以借助“对数法”。
就像数学家们用对数来探索未知数一样，我们也可以用对数来探索函数的值域。
比如，函数y=log_2(x)的值为域是所有正数，因为任何正数的对数都是正数。
这四种方法各有千秋，就像是四种不同的工具，帮助我们揭开函数值域的秘密。
但是，别忘了，最重要的还是直觉。
我们的直觉就像是一把钥匙，能够打开函数值域的大门。
所以，不要害怕犯错，大胆地尝试吧！我想说的是，函数值域就像是一场奇妙的冒险，充满了未知和惊喜。
只要我们有勇气、有智慧，就能像探险家一样，找到属于自己的宝藏。
所以，让我们一起踏上这场冒险之旅吧！。
高中数学：求函数值域的10种常见方法
求函数的值域（常用）一、用非负数的性质例1：求下列函数的值域：（1）y=-3x 2+2;（2）≥-1).练1：函数2()1f x x x =+-的最小值是_________________．练2：求函数y =练3：求函数的值域。
练4：（1）232+-=x x y （2）]8,5[,452∈+-=x x x y（3）2234x x y -+-=]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=二、分离常数法对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域．例1：求下列函数的值域：（1）y=21x x ++（2）y=2211x x -+.练1：求下列函数的值域：（1）13222++=x x y （2）3214222++++=x x x x y三、利用函数单调性已知函数在某区间上具有单调性，那么利用单调性求值域是一种简单的方法． 例1：求函数y=3x+x 3的值域.练1：求函数122+-=xx y ()0>x 的值域.练2：求函数x x y 213--=的值域.四、利用判别式特殊地，对于可以化为关于x 的二次方程a(y)x 2+b(y)x+c(y)=0的函数y=f(x)，可利用0()0,a y y x ∆≥≠且求出的最值后,要检验这个最值在定义域是否具有相应的值． 例1：求函数y =234x x +的最值．练1：利用判别式方法求函数222231x x y x x -+=-+的值域．五、利用换元法求值域有时直接求函数值域有困难，我们可通过换元法转化为容易求值域的问题考虑． 例1：求函数的值域。
练1：求()6log 62log 2222++=x x y 的值域.1x x y -+=练2：设02x ≤≤，求函数1()4321x x f x +=-+的值域.练3：求函数的值域．练4：求函数x x y 213--=的值域.六：判别式法例1：求函数的值域。
七、利用数形结合数形结合是解数学问题的重要思想方法之一，求函数值域时其运用也不例外． 例1：若62--=x x y ,求y 的最大、最小值．练1：求函数342+-=x x y 的值域．22x 1x x 1y +++=练2：求函数186122+-++=x x x y 的值域．练3：若（求x-y 的最大、最小值．八、利用已知函数的有界性． 例1：求函数y=25243x x -+的值域.练1：求函数的值域。
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一．观察法:通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域.例1:求函数)+=的值域.y-3x32(点拨：根据算术平方根的性质，先求出)-的值域.32(x解：由算术平方根的性质，知)2(x-≥3。
∴函数的值域为)3-≥0，故3+)2(x3,3[+∞ .点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。
（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法:当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域.例2:求函数y=(x+1)/(x+2)的值域.点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数, 故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。
（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）三．配方法:当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域. 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域.点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。
此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3})四.判别式法:若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
例4:求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域.点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。
解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊）当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。
∴函数的值域为2＜y≤10/3。
点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。
常适应于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数。
练习：求函数y=1/(2x2－3x+1)的值域。
（答案：值域为y≤－8或y>0）。
五．最值法:对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。
例5:已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且满足x+y=1,求函数z=xy+3x的值域.点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。
解：∵3x2+x+1＞0上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解，解之得－1≤x≤3/2，又x+y=1，将y=1-x代入z=xy+3x中，得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2), ∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续，故只需比较边界的大小。
当x=-1时，z=－5；当x=3/2时，z=15/4。
∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。
点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。
对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。
练习：若√x为实数，则函数y=x2+3x-5的值域为（）A．（－∞，＋∞） B．[－7，＋∞] C．[0，＋∞） D．[－5，＋∞）（答案：D）。
六．图象法:通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域.例6求函数y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域.点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。
解：原函数化为－2x+1(x≤1)y=3(-1<x≤2) 2x-1(x>2)它的图象如图所示。
显然函数值y≥3,所以，函数值域[3，＋∞]。
点评：分段函数应注意函数的端点。
利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。
是解决问题的重要方法。
求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。
七．单调法:利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域.例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域.点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x)，其定义域为x≤1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。
解：设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数，从而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x 在定义域为x≤1/3上也为增函数，而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。
点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。
练习：求函数y=3+√4-x 的值域。
(答案：｛y|y≥3｝)八．换元法:以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。
例2求函数y=x-3+√2x+1 的值域。
点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。
解：设t=√2x+1 （t≥0）,则x=1/2(t2-1)。
于是 y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2. 所以，原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。
点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。
这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。
它的应用十分广泛。
练习：求函数y=√x-1 –x的值域。
（答案：｛y|y≤－3/4｝九．构造法:根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合.例3求函数y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域.点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
解：原函数变形为f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。
设HK=x,则ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,KC=√(x+2)2+1 。
由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。
当A、K、C三点共线时取等号。
∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。
点评：对于形如函数y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均为正数)，均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。
这是数形结合思想的体现。
练习：求函数y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域。
（答案：｛y|y≥5√2｝）十．比例法:对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域.例4已知x,y∈R，且3x-4y-5=0,求函数z=x2+y2的值域.点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式，设置参数，代入原函数。
解：由3x-4y-5=0变形得(x3)/4=(y-1)/3=k(k 为参数)∴x=3+4k,y=1+3k,∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1。
当k=－3/5时，x=3/5,y=－4/5时，zmin=1。
函数的值域为｛z|z≥1｝.点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。
练习：已知x,y ∈R ，且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y 的值域。
（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝） 十一．利用多项式的除法例5求函数y=(3x+2)/(x+1)的值域.点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。
解：y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1)。
∵1/(x+1)≠0，故y≠3。
∴函数y 的值域为y≠3的一切实数。
点评：对于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函数均可利用这种方法。
练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。
（答案：y≠2） 十二．不等式法.例6求函数Y=3x/(3x+1)的值域.点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。
解：易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)], 由对数函数的定义知x/(1-x)＞0 1-x≠0 解得，0＜x<1。
∴函数的值域（0，1）。
点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。
不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。
是数学解题的方法之一。
以下供练习选用：求下列函数的值域 1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝） 2.Y=2x/(2x －1)。
（y>1或y<0） 训练例题例1．求下列函数的值域（1）222y x =+（2）31(1)2x y x x +=≤-（3）2y x =+4） 4y x =+例2．已知,0,26x y x y ≥+=，求224363Z x xy y x y =++--的最值。
例3．求下列函数的值域（1）221425x x y +=--+（2）221x x y x x -=-+（3）sin 2cos x y x=-例4.如何求函数23(1)1x y x x +=>-+的最值？21(1)3x y x x +=>-+呢？例5．求下列函数的值域（1）21()(2)x f x x x +=≥（2）2y x =-3）|1||4|y x x =-++（4）1sin 2cos x y x-=-课后练习题 选择题1. 已知函数()f x =⎩⎨⎧≤>)0(3)0(log 2x x x x ，则f ［f （41）］的值是( )A.9B.91C. -9D. -912. 若集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈-⎪⎭⎫⎝⎛==R x y y S x,121|,{}2|log (1),1T y y x x ==+>-，则T S I 等于( )A ．{0}B ．{|0}y y ≥C ．SD ．T..3. 下列函数中值域是（0，+∞）的函数是( ) A.125xy -= B.11()2x y -=C.y =D. y =4. 定义在R 上的函数()y f x =的值域为［a ，b ］,则(1)f x +的值域为( ) A.［a ,b ］ B.［a +1,b +1］ C.［a －1,b －1］ D.无法确定5. 函数y =12-x 的定义域是(-∞，1)Y [2,5]，则其值域是( ) A.(-∞,0)Y [21,2] B.(-∞,2) C.(-∞,21)Y [2,+∞] D.(0,+∞)6. 函数]4)3(lg[2+++=x k x y 的值域为R ，则实数k 的取值范围是( ) A ．17≤≤-k B ．7-≤k 或1≥k C ．71≤≤-k D ．7-<k 或1>k7. 已知函数)(,||1)1()(2)(x f x x f x f x f 则满足=-的最小值是( ) A ．2 B ．22 C ．32D ．3228. 函数|3||1|y x x =--+( )A.最小值为0，最大值为4B.最小值为-4，最大值为0C.最小值为-4，最大值为4D.没有最大值，也没有最小值9. 已知)12(+x f 的最大值为2，)14(+x f 的最大值为a ，则a 的取值范围是( ) A ．2<a B ．2>a C ．2=a D ．以上三种均有可能10.已知a b a ,0,0>>、b 的等差中项是βαβα++=+=则且,1,1,21b b a a 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．611. 已知()12g x x =-,221[()](0)x f g x x x -=≠,则f ()21=( )A ．15B ．1C ．3D ．3012. 设函数f x x x ()()()=-><⎧⎨⎩1010，则()()()()a b a b f a b a b ++-⋅-≠2的值为( ) A.aB. bC.a 、b 中较小的数D.a 、b 中较大的数13．函数191()n f x x n ==-∑的最小值为( )A ．190B ．171C ．90D ．45 二、填空题：14. 定义在R 上的函数)(x f 满足关系式:2)21()21(=-++x f x f ,则+)81(f )82(f )87(f ++Λ的值等于________15. 已知函数()f x 对一切实数a b ，,均满足()()()f a b f a f b +=⋅，且(1)2f =．则(2)(3)(4)(2007)(1)(2)(3)(2006)f f f f f f f f ++++=L 16. 设1)(2++=x bax x f （a >0）的值域为[-1，4]，则a ,b 的值为_________ 函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<+≤+=15103032x x x x x x y 的最大值是18．已知a,b 为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++则5a b -= 三、解答题：19. 求下列函数的值域（1）5442--=x x y ； （2）x x y 21-+-=； （3）xx y 12-=20． 已知函数222()(0)1x bx cf x b x ++=<+的值域为［1，3］，求实数b 、c 的值。