随机利率下的寿险精算模型的建立与分析
随机利率下寿险定价分析
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随机利率下寿险定价分析
作者：张倩
来源：《对外经贸》2013年第02期
[摘要]利率作为一项重要的货币政策工具，越来越频繁地被各国央行所使用。
利率的频繁变动导致许多行业基于利率的系统风险越来越大，而且这种系统风险是外生变量，很难通过自身的业务予以化解，保险业是受利率影响非常大的行业。
在传统的寿险保费计算过程中，保险公司会预先设定一固定的预定利率，然后在此预定利率下计算被保险人应缴纳的保费，预定利率一经确定，往往也确定了一个保单长时间的利率水平，当利率波动加剧，偏离预定利率较大时，就会给保险人或者被保险人带来损失。
利用维纳对利息率函数建模，并将模型应用到保费计算中，代替传统的保费精算模型，可有效地降低保险公司基于利率的风险。
[关键词]随机利率；维纳过程；定价
随机利率模型指在一段时间内，为了研究利率的随机波动而建立的模型。
主要分为均衡利率模型和无套利利率模型。
随机利率寿险模型_吴金文
随机利率寿险模型吴金文(中国保险管理干部学院,长沙,410114)杨静平 周 俊(北京大学金融数学系,北京,100871)摘 要 本文针对随机利率寿险模型,考虑一保单组的平均给付额的性质.通过对模型的结果分析,可以看出投保人数的增加,并未降低随机利率的风险.本文针对一特殊的随机利率模型,给出了随机利率与常数利率的平均给付成本的比较.关键词 随机利率,寿险模型,精算现值1.引 言保险产品的价格是与保险公司投资收益的高低密切相关.保险人在进行费率厘定时,需对未来的投资收益有一个较准确的预测,而后采取恰当的利率模型,来计算保费.如果采用的定价利率过低,则保费偏高.虽然保险人会获得更多的利润,但较高的保费不利于吸引更多的顾客;反之,保险人的投资收入难以平衡保险人的对被保险人的给付;而保险公司经营亏损,不利于保险人的经营稳定性.因此,研究保险公司未来的投资的不确定性对保险公司费率厘定的影响,有利于保险公司规避投资的不确定性给费率厘定及准备金提取带来的风险,采取较稳妥的定价利率.同时,又有利于保险公司获得较好的市场份额.传统的费率厘定,是采用确定性利率.对于精算模型,主要可根据死亡保险金给付时刻的不同分为两类:模型1 死亡的保险金额在死亡后立即给付;模型2 死亡的保险金额在死亡的保单年度末给付.模型1比较符合实际的情况.在保险理赔过程中,死亡是相对比较容易界定的.收益人很快便可得到死亡保险金.但在定价过程中,需要对分数年龄段上的死亡的规律做一定的假设,根据定价的利率与保险公司的生命表,才能计算保险人的给付成本.模型2和实际的保险实务有些差别.但可利用生命表和给定的利率水平得出给付额的成本,不需要对分数年龄段的生存分布做假定.近年来,对随机利率的精算模型的讨论,在国际精算界已引起特别的重视.北美精算协会的经典之作[2]的第二版增加了一章讨论随机利率下的寿险模型.这方面已发表了一些文章,见[6],[7],[11]和[12].这些文章,主要是针对模型2讨论.本文针对模型1,以定期寿险为例,对寿险的保单组建立随机模型,通过对保险人的平均第18卷第3期2001年9月 经 济 数 学M AT HEM A T ICS IN ECON O M ICS V o l.18 N o.3Sep.2001中国教育基金会资助项目(1999-2001)收稿日期:2001-06-22给付额的讨论,研究随机利率与确定性利率下的保险成本差异,并针对一特殊的随机利率模型来讨论.我们不考虑保险费用的影响,假设保额为一个单位.本文分下面几个部分:第2部分介绍寿险中的基本的模型及一些表示;第3部分介绍常数利率下的给付额的精算现值,这部分主要是介绍现有的一些结果;第4部分研究随机利率下的平均给付额;第5部分是在一特殊的利率模型下讨论.一些主要结论的证明在附录中给出.2.基本的模型我们用 s ,s >0来表示未来的利息力过程.即在时刻s ,一个单位资金的瞬时收益率为 s .在保险公司运做过程中,这一过程,可由保险公司的未来的投资收益过程所确定.当 s = ,s >0时,即是常数利息力的情况.令y t =∫t0 s ds 则对于一个单位的资金,在未来时刻t 的累计资金为e y t .从另一个方面看,未来在时刻t 的一个单位的资金,折现到现在时刻的现值为e -y t .y t 和 t 是从不同的角度来刻画收益过程.本文针对n 年期死亡险来进行讨论,其他的险种,可类似的考虑,设死亡的保险金额为一个货币单位.签单的年龄为x ,共有C 个同质的保单,即每个保单的未来的寿命服从相同的分布.假设个体相互独立.记第m 个个体的寿命为X m ,T m (x )为第m 个个体的未来生存时间,即T m (x )=X m -x .K m (x )为T m (x )的整数部分,S m (x )为T m (x )的小数部分.亦即T m (x )=K m (x )+S m (x )K m (x )的生存分布可由生命表得到,而分数年龄段的生存时间S m (x )的分布,无法由生命表得到.精算中使用的处理方法是对分数年龄段上的生存函数做某种假定,常用的是假设每一年龄年死亡均匀分布,我们在此不对其做详细的介绍.只给出在这一假设下得到的性质:K m (x )与S m (x )相互独立,且S m (x )服从(0,1)上的均匀分布(2.1)关于对分数年龄段的详细的讨论,可参考[1]和[2].为表达方便,我们省略K m (x ),S m (x )中的x ,简单的记为K m ,S m .一个年龄为x 的个体在年龄段(x +j ,x +j +1]死亡的概率P (K 1(x )=j )记为j q x对于C 个保单,保险人未来的总的给付额的现值为S-C =Cm =1I {T m ≤n }e-yTm(2.2)每个被保险人的平均得到的额度为S -CC.这一平均的额度,是保险人确定这一险种的价格的基础.在精算学中,记A -1x :n - @ =e-1 n -1m =0m q x e -(m +1) 其中,@ 表示计算采用的利息力为 .A -1x :n - 称为给付额的精算现值,是常数利息力下保险人的给付成本.—2— 经 济 数 学 第18卷另外,记-1x:n- = n-1m=0 m q x∫m+1m e-y u du由前面的定义可知,当利息力是常数时,s= , s>0(2.3)有-1x:n- =A-1x:n- @因此, -1x:n- 是传统的给付额的精算现值的推广.在第4节将给出其实际的含义.3.常数利率下的精算现值为了比较随机利率与确定利率的差异,在本部分介绍一些基本的结果.常数利率下,即(2.3)成立,利用(2.2),有S-C= C m=1I{T m≤n}e- T m有下面的结果.定理3.1 设(2.3)成立,在每一年龄年死亡均匀分布的假设下,有 limC→∞S-CC=A-1x:n- @ ,a.s.(3.1)E(I{T1≤n}e-y T1)=A-1x:n- @ ,a.s.(3.2)lim C→∞VarS CC=0(3.3)结论3.1的证明,可以利用独立随机变量列的极限定理得到,也可以从下一节的随机利率的结果推出.我们略去证明.(3.1)和(3.3)说明,当投保的人数增多时,平均给付额趋于常量,平均给付的不确定性降低.(3.2)说明A-1x:n- @ 是保险人对一被保险人的给付成本的期望.在实际保险定价中,A-1x:n- 是保险人确定保费的基础.实际的保费,是在A-1x:n- 的基础上,附加保险经营中的费用和保险公司的预定的利润部分.4.随机利率模型对随机利率模型,有下面结果定理4.1 设每一年龄年死亡均匀分布,并且sup s≤n Ee-y s<∞, sups≤nE(e-2y s)<∞.则lim C→∞S-CC= -1x:n- ,a.s.(4.1)E[I{T1≤n}e-y T1 y s,s>0]=-1x:n- ,a.s.(4.2)E[I{T1≤n}e-y T1]=E(-1x:n- )=n-1m=0 mq x∫m+1m E(e-y u)du(4.3)—3—第3期 吴金文 杨静平 周俊:随机利率寿险模型 V ar(I{T1≤n}e-y T1)=n-1m=0 mq x∫m+1m E(e-2y u)du-(E -1x:n- )2(4.4)lim C→m V arS CC=V ar( -1x:n- )(4.5)E( -1x:nl)2= n-1m=0 n-1j=0 m q x j q x E∫j+1j e-y u du∫m+1m e-y u du(4.6) 定理4.1的证明在附录中给出.(4.1)说明,当投保人充分多时,每个被保险人平均得到的给付额为 -1x:n- ,与利率相关.因此,在不同的利率结构下对 -1x:n- 的性质进行探讨,对了解确定性模型与随机模型的差异,有很重要的作用.(4.2)说明在未来不确定的投资环境的条件下,其对每个被保险人的给付额的条件期望,是 -1x:n- .(4.1)是从总体平均的角度来看,而(4.2)则是从个体的条件期望的角度看.(4.5)的结果说明,如果每个被保险人按E( -1x:n- )来缴纳趸缴净保费,当被保险人的人数趋于无穷时,则以方差来度量的平均给付额与缴纳的净保费的偏差为V ar( -1x:n- ),在常数利率的情况下,V ar( -1x:n- )=0,不确定性最终消失;在随机利率的情况下,V ar( -1x:n- )>0.因此,投保人数的增加,降低了生存模型的不确定性,但随机利率带来的给付的不确定性依然存在.这说明,在随机利率下,如果只使用期望来进行费率厘定,会低估了随机利率的变化带来的风险.定理4.1说明了在人数充分多时,在确定性模型中,平均给付的不确定性降低.而在随机利率的模型下,人数的增加,生存的不确定性降低,但利率的不确定性仍然存在.这一点,是随机利率模型与确定性的利率模型的重要区别.5.一利率模型的性质本节我们就一个特殊的利率模型.讨论确定性与随机性的模型的量的差别.我们假设利率过程为y s= s+ W s,(5.1)其中 ≥0,W s,s≥0为标准Br ow n运动.y s过程包括两个部分:前一部分 s,是确定性的部分,瞬时的收益率为 ;后一部分 W s,其期望值为0,方差为 2s.即时间越长,波动性越大.这一模型,是对确定性模型(2.3)的推广.模型(2.3)是模型(5.1)的 =0的情况.因此,使用模型(5.1),更有利于说明确定性与随机性假设的区别.定理5.1 在(5.1)假设下,有E( -1x:n- )= -1x:n- @( - 2/2)(5.1)E( -1x:n- )2= n-1m=0 n-1j=0 m q x j q x E∫j+1j e-y u du∫m+1m e-y u du(5.2) (5.2)中的各项可由下面的式子算出:E∫m+1m e-y u du2=∫m+1m∫m+1m e-(u+v) +(3min{u,v}+max{u,v}) 22dudv(5.3)对j>m,有E—4— 经 济 数 学 第18卷×e - 2/2-1 - 2/2e -3 2/2-1-3 2/2(5.4)证明见附录.表一是根据中国人寿保险业经验生命表(1990-1993)(男)计算的结果.其中,选取年龄是30的男性个体.死亡的保险金额为一个单位. =0.025,参数 =0.01,0.015,0.02.下面是不同的保险期限,A -130:n - @( - 2/2)的计算结果. =0对应确定利率模型的结果.由结果可以看出,在我们的假设下,随机利率模型与确定利率模型,精算现值差异很小.在随机利率下,利率带来的不确定性由方差来反映.表1 确定性利率与随机利率模型的精算现值的结果保险期限确定利率( =0)随机利率( =0.01)随机利率( =0.015)随机利率( =0.02)12345678910111213141516171819200.000950.001920.002920.003960.005040.006190.007400.008690.010060.011520.013070.014730.016510.018410.020430.022600.024920.027390.030030.032850.000950.001920.002920.003960.005040.006190.007400.008690.010060.011520.013080.014740.016520.018410.020440.022610.024930.027410.030050.032870.000950.001920.002920.003960.005040.006190.007400.008690.010060.011520.013080.014740.016520.018420.020450.022630.024950.027420.030070.032900.000950.001920.002920.003960.005040.006190.007410.008690.010070.011530.013090.014750.016530.018440.020470.022640.024970.027450.030100.03293附 录定理4.1的证明:我们先证明(4.2)成立.E [(I {T 1≤n }e-yT 1y s ,s ≤n ]=E [I {K 1<n }e-yK 1+S1y s ,s ≤n ]=n -1m =0P (K 1=m )E [e -y m +S 1 y s ,s ≤n ,K 1=m ](1) 根据在每一年龄年死亡均匀分布的假设,由(2.1),K 1(x )与S 1(x )独立,且S 1(x )服从(0,1)上的均匀分布.所以有(1)式为—5—第3期 吴金文 杨静平 周俊:随机利率寿险模型 n -1m =0P (K 1=m )E [e-ym +S 1y s ,s ≤n ]=n -1m =1 mq x ∫1e -y m +u du = -1x :n - ,(2)由(1)和(2),知(4.2)成立.由于I {T m (x )≤n }e -y T m ,m ≥1为可交换序列,利用[4]的第7.3节的关于可交换随机变量列的大数定律,及(4.2),有lim C →∞S -C C=E [I {T 1≤n }e -yT 1 y s ,s ≤n ]=n -1m =0 mq x ∫10e-ym +udu = -1x :n -故(4.1)成立.对(4.2)取数学期望,便得(4.3).又VarS C C =E V ar S CCy s ,s >0+V ar ES CCy s ,s ≤0=E (Var [I {T 1≤n }e -y T 1 y s ,s ≤n ])C+V ar ( -1x :n - )Var (-1x :n - )所以,(4.5)成立. Var (I {T 1(x )≤n }e -y T 1)=V ar (E [I {T 1(x )≤n }e-yT1y s ,s >0])+E (Var [I {T 1(x )≤n }e-yT1y s ,s >0]) =V ar ( -1x :n - )+n -1m =0 mq x∫m +1mE (e -2y u )du -E ( -1x :n - )2=n -1m =0 mq x∫m +1mE (e -2y u )du -(E -1x :n - )2(4.4)成立.(4.6)易证.定理4.1成立.定理5.1的证明:由定理4.1的(4.3)成立,有-1x :n - =n -1m =0 mq x ∫m +1m E (e -yudu = n -1m =0 mq x∫m +1me- u +2u /2du = n -1m =0 mq x∫m +1me-( -2/2)u du =n -1m =0 mq x e-( -2/2)(m +1)e - 2/2-1- 2/2=A -1x :n - @( - 2/2)(5.1)成立.(5.2)式在定理4.1中已证明.所以,我们只需证明(5.3),(5.4)两式.对j >m ,当u ∈(j ,j +1),s ∈(m ,m +1)时,y u -y m +1,y m +1-y s ,y s 相互独立,所以,—6— 经 济 数 学 第18卷 E∫j +1je-yudu∫m +1me -y s ds=E ∫j +1je -(y u-ym +1)du ∫m +1me -(ym +1-y s)-2ysds=∫j +1jE (e -(y u-ym +1))d u ∫m +1mE e -(ym +1-y s)E (e -2ys)ds=∫j +1je -(u -m -1)( - 2/2)du ∫m +1me-(m +1-s )( - 2/2)e -2s +2s 2d s=e -(j +1)( - 2/2)-(m +1)-322×e - 2/2-1 - 2/2e -3 2/2-1 -3 2/2所以,(5.4)成立.下面我们采用[5]的方法来证明结论(5.3).由E∫m +1me yu du 2=lim n →∞1n2En -1j =0eym +j /n2=lim n →∞1n 2n -1j =0Ee 2y m +j /n +i ,j ≤nE (e 2y m +j /n e 2y m +j /n=lim n →∞1n 2n -1j =0e -2( - 2)(m +j /n ) +i ,j ≤ne(2m +i /n +j /n )-0.52(3max{j ,i }/n +min{j ,i }/n )=lim n →∞1n 2 i ,j ≤ne - (2m +i /n +j /n )-0.52(3max{j ,i }/n +min{j ,i }/n )=∫m +1m∫m +1me- (u +v )-0.52(3max{u ,v }+min{u ,v })dudv(5.3)成立.参 考 文 献[1] 雷宇,寿险精算学,北京大学出版社,1998.[2] Bo wer s,N.L.Jr ,Ger ber ,H.U.,Hickman,J.C.,Jones, D.A.and N esbitt ,C.J.,A ctuar ial M ath -ematics ,2nd,T he So ciety o f A atuaries,1997.[3] Cairns ,A .J .G .and Par ker ,G ,Sto chastic pension fund mo delling ,I M E ,21(1997),43-79.[4] Chow ,Y.S.and T eicher ,H.,Pr obability T heory ,2nd,Spr ing er-Ver lag,1989.[5] Bor o wiak ,D .,Insur ance and annuity in t he pr esent s of st ochastic int erest r ates ,A RCH ,1999,445-451.[6] D eelstr a,G.and Delbaen, F.,L ong -ter m ret ur ns in st ochast ic inter est rate models,I M E ,17(1995),163-169.[7] F rees, E. 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寿险随机精算模型的研究
立项背景
随着现代社会与经济的不断发展，人类在社会生活中随时面临着各种风 险。为了减少风险所带来的损失，保险业也在随着社会和经济的发展而 发展,精算学在保险业中的应用己经受到重视。 寿险是一项长期性的业务,利率是保费和准备金中的一个重要因素。传统 精算理论中,主要采用固定利率来进行保费、准备金以及风险的计算与预 测。但在金融业发展如此迅速时代,利率随着市场、政策等因素发生变化, 因此我们有必要考虑寿险精算中利率的随机性。
265.82 265.95 266.33 266.97 267.86 278.88 253.60 254.07 256.58 265.82 282.27 242.13 244.93 253.60 269.01 292.81 231.38 234.00 242.13 256.58 278.88 221.28 223.75 231.38 244.93 265.82 296.44
) 精算现值表
n-x=30
0.1
0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0
表6 n-x=30， 变化的 E(a
n x|i
E(an x|i ) =29.0314
27.4749 27.2958 27.1576 27.0594 27.0007 26.9812
) 精算现值表
n-x=40
量的前三阶矩。
• 何文炯、蒋庆荣(1998)对随机利率采用Gauss 过程建模，得到了一类即时给付的增额寿险的给付现值的各阶矩，并在死亡均匀分布的
假设下得到了矩的简洁表达式。
• 刘凌云、汪荣明(2001)则对随机利率采用Gauss 过程与Poisson 过程联合建模，也给出了即时给付的增额寿险的给付现值的各阶矩，
基于随机利率的变额寿险精算研究
险人 在第 年末 仍 生 存 ， 保 险 公 司不 必 给 付 则 受益 人保 险金 ； 被保 险人 在此 年 中死亡 ， 若 则 保 险公 司立 即 给付 保 险人 相 应 的保 险金 ． 保 投 金额 随投保 时 间变 化 ， ｔ 函 数 ， ｃ ￡ 为 的 用 （）表
分类 号 Ｆ ４ ８０
人 身 保 险产 品 的经 营风 险 由 于利 率 、 剩余
寿命 、 费用 的不确 定性 而产 生 ， 其不 确定性 影 响
发展 ， 对利 率随 机性 的研 究也 Ｅ益 受到 重视． ｌ
本 文假 定利 率 随 机变 化 ， 此 条 件 下 讨 论 在
了纯保 费 的精 确计 算 ［ ． 统 的精 算 理论 假 定 】传 ］ 利 率不 变 ， 是事 实 上利 率 的变 化 是具 有 随机 但 性的， 随着 外界 环 境 ， 如政 策 、 济 形 势 的变 诸 经
余 寿命 ， 称 为 （ ）的未 来 寿 命． ｚ 简 ｚ Ｔ（ ）的 概 率
密 度为 ＿ （） 厂 ￡ 一一 （ ） 巾 ， 中 是 Ｔ 一Ｐ 其 Ｐ 关 于 Ｔ（ ） ｚ 的生存 函数 ， 表示 （ ） ｚ 将在 ｚ＋ｔ 岁时
资 金供 求 为基 础 ， 以央行 的基准 利 率 为调 控 核 心 的市 场 利率 管 理体 系． 率市 场 化是 金 融体 利 制改 革 中尤为关 键 的问题 ． ０ ３年 以来 的近八 ２０ 年 是我 国利率 水 平最 低 的一 段 时 间 ， 款 的 实 存 际负利 率 加剧 了居 民 的投 资 冲动 ， 这在 需 求 端 加剧 了泡 沫 的 出现． 这也 是 我 国利 率市 场 化需
随机利率下的人寿保险精算模型研究的开题报告
随机利率下的人寿保险精算模型研究的开题报告尊敬的评审专家，我想提交一篇关于随机利率下的人寿保险精算模型研究的开题报告。
以下是我拟提交的内容：一、研究背景及意义随着我国社会经济的不断发展和人民生活水平的提高，保险业已逐步成为社会经济中不可或缺的组成部分。
人寿保险是保险业中的一大类，其作用是为保险人的身故或退休提供财务支持。
随着保险业和金融市场变化的不断发展，人寿保险的精算模型也不断演变。
随机利率是指在保险合同期限内，利率存在不确定性的现象。
在这种情况下，保险公司需要根据未来利率的概率分布来评估其经营业绩，提高风险控制能力，进而优化公司的财务表现。
因此，通过建立针对随机利率下人寿保险的精算模型，将有助于保险公司实现风险控制和财务管理。
二、研究内容和方法本研究将从以下两个方面出发进行研究：1. 研究随机利率下人寿保险的风险评估和管理方法。
首先，根据已有的保险和金融证券市场数据，分析影响到随机利率下人寿保险精算模型的因素，包括利率、通胀、市场波动性和金融市场变化等。
其次，建立针对随机利率的人寿保险的风险评估和管理模型，并探究该模型在实际业务中的应用。
2. 研究利用随机利率建立人寿保险的定价模型。
对于保险公司的个人年金、整个生命、年金债务等保险产品，本研究将构建混合效用定价模型，通过建立合适的随机利率模型，以实现精算的效率和风险控制的能力。
本研究将采用数理统计模型、风险管理模型以及经济模型等方法，研究随机利率下人寿保险的精算模型与应用。
三、研究的创新点本研究的创新点主要体现在以下两个方面：1. 从风险控制和管理的角度出发，探究随机利率下人寿保险的风险评估和管理方法，是对过去研究中较为薄弱的领域进行了深入的研究。
2. 本研究将建立针对随机利率下人寿保险的定价模型，实现了对人寿保险在随机利率影响下的合理定价，提高了保险公司的风险控制和盈利能力。
四、预期成果本研究最终目的是将建立的随机利率下人寿保险的精算模型与风险管理模型，以及定价模型应用于实际保险业务中，通过研究提高保险公司的经营盈利和风险控制能力。
一种利率双随机条件下的有序状态寿险精算模型
态 ． ｑ： 示（） 表 Ｘ死于 （） Ｙ之前 ，且在 ｎ 内死亡的概率 ． ｑ： 年 ： 表示 （） 死于 （） 之后 ，且 在礼 年内死亡 的概率，同理 三 和 ：分别表示 （） ｑ： Ｘ 死于 （） ｌ （ ，且在ｎ 内死亡的 Ｙ之前 后） 年 Ｉ
’
当假定在每个个体在保单年度 内死亡是均匀发生 时，
由于保险契约的规定 ，要求考虑到状态 中的死亡顺序 ，这种考虑到生命死亡顺序 的有序状态也 称 为条件状态 ． 针对联合寿 险精算模型而 言， 由于人 的死亡具有不 确定性 ，以及 利息会不 断调整 ，精算 函 数一般都是 随机 变量 ．１ ７ 年 ，Ｂ ｙｌ ９６ ｏ ｅ考虑 了寿险与年金 中死 亡率与利率均 为随机的情况 ，即 所谓 的 “ 随机 性 ”，随后又有 不少 学者做 过这方面 的研究 ，对于 随机利率 他们都 是 以时间 双 序列方法 建模的 ，２ 世纪 ９ 年代 ，一些学者利 用摄动方 法建模 ，得 到 了具有 “ 随机性 ”的 ０ ０ 双 确定年 金及寿 险的一 系列结 果．Ｂ ｅ ｅＫｍａ ｎ等于 １ ９ 年 、１ ９ 年 分别 由 Ｏ Ｕ过程 和 Ｗｉｎ ｒ ９０ ９１ — ｅ ｅ 过 程建模 ，得 到 了某 些年金现 值 的前 二 阶矩 ．何 文炯等 对 随机 利率采 用 Ｇａ ｓ 过程建模 ，得 到 ｕｓ 了一类 即时给付 增额寿 险 的给付 现值 的各阶矩 ，并在 死亡均 匀分布假 设下 ，得到 了矩 的简 洁 表 达式 ．刘 凌云 等则 将息 力采 用 Ｇ ｕ ｓ 程和 Ｐ ｓ ｏ ａ ｓ过 ｏｓ ｎ过程 联合 建模 ，也 给 出 了一类 即 时给 ｉ 付 的增额 寿 险 的给付 现值 的各 阶矩 …．对 于联 合保 险 ，文 献 ｆ 将 随机 利 率采 用息 力 累积 函 １ １ １ 数 （ ｔ Ｉ Ｉ Ｚ 建模 ，其 中 是 Ｂ ｏ ｉｎ 动 ， 是 Ｐ ｓｉｎ ｔ ）＝ ＋ ＋７ ， ｒｗｎａ 运 ｏｓ 过程 ，给 出 了一种 ｏ 家庭联 合保 险的精 算模型 ．文 献 『 提 出 了固定 利率下夫妻 联合两全养 老金保 险的 问题 ．在 该 ２ １ 文 中养老 金是在夫 妻双方 中只要有一方 生存至 ６ 周岁 时开始 给付 的，直至这一方 死亡 为止 ． ５
人寿保险的精算模型及应用
人寿保险的精算模型及应用人寿保险的精算模型及应用人寿保险精算模型是保险公司用来评估和管理风险的工具，它帮助保险公司确定保险费率、保单赔付金额以及其他相关事项。
下面将介绍人寿保险精算模型的应用步骤。
第一步：数据收集人寿保险精算模型的建立需要大量的数据支持。
保险公司会收集各类与保险相关的数据，包括被保险人的年龄、性别、健康状况、职业等信息，以及历史的理赔数据和保单数据。
这些数据将作为模型的输入，用于进行风险评估和预测。
第二步：建立概率模型在收集到数据后，保险公司会使用概率模型来计算不同风险事件的概率。
这些事件可以包括被保险人的死亡、疾病或意外事故等。
概率模型通常使用各类统计方法和数学公式来估计事件发生的概率，以及事件发生后的理赔金额。
第三步：模型验证与调整建立概率模型后，保险公司会使用历史数据对模型进行验证。
他们会将模型预测的结果与实际情况进行比较，评估模型的准确性和可靠性。
如果发现模型存在偏差或误差，保险公司会进行相应的调整和改进，以提高模型的预测能力。
第四步：风险评估与定价通过建立概率模型，保险公司可以对不同风险事件的概率进行评估，并据此确定保险费率和理赔金额。
根据模型预测的结果，保险公司可以制定具有竞争力的保险产品，并确保公司在面临风险时能够获得适当的收益。
第五步：风险管理和监控人寿保险精算模型的应用不仅用于确定保险费率和理赔金额，也用于风险管理和监控。
保险公司可以使用模型来评估和监控风险的变化，及时采取相应的措施进行风险管理。
模型还可以帮助保险公司确定资本需求和盈利能力，以支持公司的可持续发展。
总结：人寿保险精算模型是保险公司进行风险评估和管理的重要工具。
通过数据收集、建立概率模型、模型验证与调整、风险评估与定价以及风险管理和监控这一系列步骤，保险公司可以更好地理解和管理风险，同时提供具有竞争力的保险产品。
保险精算模型的应用对于保险行业的可持续发展至关重要。
【开题报告】随机利率下的寿险精算模型
开题报告数学与应用数学随机利率下的寿险精算模型一、选题的背景与意义二战结束以来，随着保险精算行业的迅速发展，各式各样的风险也逐渐显露。
其中，利率波动带来的风险对寿险行业的负面影响极大。
现实生活中为计算简便，通常采用固定利率的做法，计算保险的各项费用。
然而，大多数情况下利率并不是一层不变的，利率随着经济周期、国家宏观政策等的变动而变动，这就不可避免地对保险行业造成冲击，从而导致寿险业在经营上困难重重。
以美国为例，从1989年开始就有大量保险公司倒闭，其中不乏财力雄厚的公司。
这些公司破产的原因固然很多，但都或多或少与利率风险有关。
就中国的寿险业状况看，自改革开放以来，我国寿险业也取得了巨大的发展空间。
但我国由于寿险行业起步较晚，各项政策措施都不是很完善，更容易受到来自利率的冲击。
中国寿险公司的资金一直以来主要存放在银行，适用的是普通银行相应的基准利率。
从1985年开始，由于我国面临着越来越严重的通货膨胀，导致银行利率不断攀升，在传统寿险精算固定利率的情况下，中国寿险公司损失日趋严重，利差严重成了寿险业的心腹大患。
如何解决这个问题，显得至关重要，故此，对影响利差的因素——利率波动的研究迫在眉睫。
传统精算理论中，预定利率是确定的，它往往决定了一个保单十几年甚至几十年的评估利率水平。
当实际利率与预定利率之间只有很小的出入时，经过一二十年的利滚利之后就会产生巨额差别。
通常情况下，保期越长，保费越高，付费期越短。
则利率风险的影响越大。
预定利率越高，保费越低，反之则越高。
在寿险实务中，利率具有随机性，由利率波动产生的风险较之保险公司面临的死亡风险更为危险。
因而，随机利率下的寿险研究逐步受到重视。
越来越多的专家、学者投入到寿险中的随机利率波动性研究，以期解决利率风险给保险行业带来的毁灭性灾难。
基于寿险行业面临的利率风险的现状，本文选择对随机利率下的寿险精算模型进行了构建，使寿险行业能够更好的应对利率波动带来的风险，保持保险行业的稳定增长。
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STOCHASTIC INTEREST
摘要
精算学是运用数学、统计学、金融学、保险学及人口学等学科的知识和原理，对保险业经营管理中的各个环节进行量化分析，为提高保险公司的管理水平、做出决策提供科学依据和工具的一门学科。随着保险的发展，精算学在保险业务中的应用己经受到广泛的重视。
硕士研究生：李沃源
导师：胡泓教授
申请学位：理学硕士学科：应用数学
所在单位：深圳研究生院答辩日期：2010年6月授予学位单位：哈尔滨工业大学
ClassifiedIndex:O29U.D.C: 519.2
Dissertation for the Master Degree of Science
THE ESTABLISHE AND ANALYSIS OF ACTUARIAL
本文重点考虑利率的随机性，采用利息力建模的方法，分别建立了利息力由Wiener单一随机过程建模下的连续型和半连续型的人寿保险模型。并考虑到突发事件的影响，建立利息力由Wiener与Poisson联合随机过程建模下的连续型及半连续型人寿保险模型，然后根据人寿保险精算的基本原理推导了两类随机利率下的生存年金、均衡纯保费、责任准备金及责任准备金风险的模型。同时进行了数值模拟，分析了随机利率模型的合理性。并且在常数利息力、利息力由Wiener随机过程建模、利息力由Wiener与Poisson联合随机过程建模三种情形下，比较了保费、责任准备金及责任准备金风险，指出了随机利率模型在防范利率中的重要性，为保险业务的经营提供理论上的支持。
Thisarticlefocusedonpresentingstochasticprocessformodelingtheforceof interest,First,continuouslifeinsurancemodelandsemi-continuouslifeinsurancemodel wereestablishedrespectivelybyWienerProcessformodelingtheforceofinterest.Then consideringabruptevent’seffectoninterest，continuouslifeinsurancemodeland semi-continuouslifeinsurancemodelwereestablishedrespectivelybyBrownProcess andPoissonProcessjointlyformodelingtheforceofinterest.Then,accordingtothe basicprincipleoflifeinsurance,derivedsurvivalannuity,thebalancedpureinsurance premiumandthelossvariableunderthesetwokindsofstochasticinterestmodels.We tewe comparethecalculatingofpremiumandreservesandlossvariableunderconstantrates,WienerProcessmodel,WienerProcessandPoissonProcessjointlymodel,whichreflect thepracticabilityofstochasticinterestrateandalsoprovidetheoreticalsupporttothe operationofinsurancecompanies.
人寿保险是一项长期性的业务，保险期间长达几十年，利率是保险期间内保费计算和准备金计提中的一个重要因素。传统的保险精算理论中，为了简化计算，主要采用固定利率对保费、准备金及风险进行计算与预测。但由于保险是一种长期的经济行为，投保期间的政府政策、经济周期等因素都会造成利率的不确定性，从而随机利率下的寿险精算研究逐渐成为保险精算学研究的重点与热点问题之〇
关键词：利率风险；随机利率；责任准备金
Abstract
Actuarialscienceappliestheknowledgeandprinciplesofmathematics,statistics,finance,insuranceanddemographyinthequantitativeanalysisofallaspectswiththe managementoftheinsuranceindustry,providingscientificbasisandtoolsforraising thelevelofmanagementandmakingstrategies.Withthedevelopmentofinsurance,actuarialscienceismoreandmoreimportant.
随机利率下的寿险精算模型的建立与分析
TIAL MODEL OF LIFE
INSURANCE UNDER THE STOCHASTIC
INTEREST
国内图书分类号：O29国际图书分类号：519.2
硕士学位论文
随机利率下的寿险精算模型的建立与分析
Lifeinsuranceisalong-termbusiness,interestrateisanimportantfactorin calculatingofpremiumandreserves.Thetraditionalactuarialtheorymainlyusesdeterministicinterestrate.However,becauseguaranteecontractisalong-termeconomic behavior,manyfactorssuchasgovernmentpolicyandeconomycyclewillbringabout theuncertaintyofinterestrate,thestudyoninsurancepremium,reserveunderstochastic interestrategraduallybecomesoneofhotspotsinactuarytheory.