空间力系的受力分析
材料力学 空间任意力系分析
作用线位于不同平面的力系称为空间力系。
z
x
y
2
第五章 空间力系
§5–1 力在空间坐标轴上的投影
§5–2 力对轴的矩 · 力对点的矩
§5–3 空间汇交力系的合成与平衡
§5–4 空间力偶理论
§5–5 空间任意力系
§5–6 空间平行力系的中心 · 物体的重心
习题课
§5-1
力在空间坐标轴上的投影
F X 2 Y 2 Z 2
X Y Z cos ,cos ,cos F F F
Fx
Fz
Fy
6
[例1]已知：F=100N， 30, 60 ，计算图示力 在各坐标轴上的投影。
解：
Y F cos 50 3N
X F sin cos 25N Z F sin sin
的平面，方向用右手螺旋来确定 （右手握住平面的法线，卷曲四
指表示旋转方向，拇指的指向即
为力矩矢的方向）。 力矩矢的大小：
r
O
A
x
h
y
mo ( F ) F h 2AOB
13
空间力对点的矩可用矢积表示：
mO ( F ) F h F r sin rF
mO ( F ) r F i x X j k y z Y Z
z
mo ( F )
F
B
r
A
x
O
b y
a Fxy
力对点的矩矢在过该点的任一轴上的投影等于力对该 轴的矩。
[mo (F )]z mz (F )
15
利用力对点之矩与对通过该点的轴之矩的关系计算力
对点的矩。
mo ( F ) [mo ( F )]x i [mo ( F )]y j [mo ( F )]z k mx ( F )i m y ( F ) j mz ( F )k
空间力系的简化
z 主矢，主矩
z
F1 M2
y x
F1
F2
M1
附加力偶 F'
R
A2
F2
0 An
M0 0 y
A1
0
y
Mn
Fn
x
x
Fn
O：简化中心
Fi 主矢： FR 主矩： M M M ( F ) 0 i 0 i
主矢是力系的第一不变量。
二、力系进一步简化的各种可能结果 1、 F 0 平衡力系，以后讨论 M 0 O R 与简化中心无关 合力偶 2、 FR 0 MO 0 合力 3 FR 0 MO 0 、 4 FR 0 MO 0 、 （1） F 合力 MO R FR FR
(MO rOA FR ) FR MO FR M A FR
主矢与主矩的点积也与简化中心的选择无关，称之为力 系的第二不变量 由主矢与主矩的点积是否为零，就可判定出简化的最终 是合力还是力螺旋。
特例：平面任意力系的简化
F1 A1 A2
FR
FR
o
MO
o
FR
d
o’
o
d
o’
MO 平移距离： d FR
平移方向： FR M O 的方向
（2）
FR
MO
M0
力螺旋
FR
FR 与 M O FR 与 M O
方向一致 右手力螺旋 方向相反
左手力螺旋
(3) FR 0, MO 0, FR MO
MO1
Fj 合力大小和方向： FR FR
1.133F a / F 1.133a 合力作用点D至A点距离：d M A / FR
工程力学课后习题答案
工程力学练习册学校学院专业学号教师姓名第一章静力学基础1-1 画出下列各图中物体A，构件AB，BC或ABC的受力图，未标重力的物体的重量不计，所有接触处均为光滑接触。
（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）1-2 试画出图示各题中AC杆（带销钉）和BC杆的受力图（a）（b）（c）（a）1-3 画出图中指定物体的受力图。
所有摩擦均不计，各物自重除图中已画出的外均不计。
（a）（b）（c）（d）（e）（f）（g）第二章 平面力系2-1 电动机重P=5000N ，放在水平梁AC 的中央，如图所示。
梁的A 端以铰链固定，另一端以撑杆BC 支持，撑杆与水平梁的夹角为30 0。
如忽略撑杆与梁的重量，求绞支座A 、B 处的约束反力。
题2-1图∑∑=︒+︒==︒-︒=PF F FF F F B A yA B x 30sin 30sin ,0030cos 30cos ,0解得: N P F F B A 5000===2-2 物体重P=20kN，用绳子挂在支架的滑轮B上，绳子的另一端接在绞车D上，如图所示。
转动绞车，物体便能升起。
设滑轮的大小及轴承的摩擦略去不计，杆重不计，A 、B 、C 三处均为铰链连接。
当物体处于平衡状态时，求拉杆AB 和支杆BC 所受的力。
题2-2图∑∑=-︒-︒-==︒-︒--=030cos 30sin ,0030sin 30cos ,0P P F FP F F F BC yBC AB x解得: PF P F AB BC 732.2732.3=-=2-3 如图所示，输电线ACB 架在两电线杆之间，形成一下垂线，下垂距离CD =f =1m ，两电线杆间距离AB =40m 。
电线ACB 段重P=400N ，可近视认为沿AB 直线均匀分布，求电线的中点和两端的拉力。
题2-3图以AC 段电线为研究对象，三力汇交NF N F F F FF F F C A GA yC A x 200020110/1tan sin ,0,cos ,0=======∑∑解得：ααα2-4 图示为一拔桩装置。
理论力学__受力分析
y
F
x
h
Fxy
mo F x mx F mo F y m y F mo F z mz F
Fxy
§1-4 力 偶 力偶：等值、反向、不共线的一对力 Z 1、力偶矩矢： F
大小、作用面方位、转向
m
m
F2 o
x
F1
1
c F2
a
y
F d
F
b
右手螺旋：
mF , F m Fd
2、力偶矩的性质： （1）、力偶无合力： （2）、力偶中的两个力对任意点之矩 的和等于力偶矩。
§1-4 物体的受力分析
（画受力图）： 一、受力分析：
1、取分离体： （选取研究对象）： 将物体从周围的约束中分离出来。 （画受力简图）： 2、画所受力： （1）、画主动力。 （2）、解除约束、画约束力。
二、注意：只画外力、不画内力。
C
FCy
FCx
D
E
B
A
FNA
F
FCy FCx P F
Fy
o a
F F x b
Fx Fcos Fy Fsin
F asin bcos
3、力对轴之矩：
mz F mo Fxy Fxy h
z
力对轴之矩为零的条件： o （1）Fxy 0 力与轴平行 （2） h 0 力与轴相交 力与轴共面
4、力对点之矩与力对轴之矩的关系：
m x F yZ zY m y F zX xZ m z F xY yX
928结构力学考试大纲
928结构力学考试大纲一、预备知识1. 向量、向量代数及其运算2. 立体几何及坐标系3. 线性代数及矩阵运算4. 微积分、微分方程及变分法二、平面受力系统的力学分析1. 平面力系及其平衡条件2. 力的合成与分解3. 静摩擦力、动摩擦力、支反力及其计算方法4. 等效力系统的概念及其应用三、空间受力系统的力学分析1. 空间力系及其平衡条件2. 三维力的合成与分解3. 轴力、弯矩、剪力、正应力、切应力等基本力学概念及其计算方法4. 等效力系统的概念及其应用四、杆件的内力计算1. 杆件的基本概念及其分类2. 内力的概念及其计算方法3. 内力图的绘制及其应用4. 杆件内力的计算应用五、应变与材料本构关系1. 应变的概念及其计算方法2. 应变状态的表示方法及其应用3. 弹性体的本构关系及其表达方式4. 可塑性材料的本构关系及其表达方式六、梁的静力学分析1. 梁的基本概念及其分类2. 内力图的绘制方法及其应用3. 弯矩与切力图的绘制方法及其应用4. 预应力梁的基本概念及其分析方法七、框架的静力学分析1. 框架的基本概念及其分类2. 框架的受力分析方法3. 剪力与弯矩的计算方法4. 建立框架模型及其应用八、曲杆的基本概念及其力学分析1. 曲杆的基本概念及其分类2. 内力计算方法及其应用3. 逆向解曲杆的内力和受力状态4. 曲杆的应力分析及其设计方法九、简化模型与计算方法1. 简化模型的概念及其应用2. 线性静力学模型的基本原理3. 单自由度体系的简谐振动分析4. 模型简化与计算方法的应用十、数值分析与计算机模拟1. 数值分析的基本原理及其应用2. 数值模拟与计算机实现的方法3. 程序设计思路及其常用语言4. 计算机模拟与应用实例。
空间任意力系
FC
最大载重Pmax是多少。
Q FB
P
D
解: 取起重机为研究对象
A
B,C
My(F)0, FAaco3s0Qa3co3s0Pclos0
MC'x(F)0,
a FA2
FBaQa2P(a2lsin)0
y C
x’
Fz 0, FAFBFCPQ0
A
ED
x
解得: FA=19.3kN， FB=57.3kN， FC=43.4kN
d O1
O
MO MO cos MO MO sin
d MO MO sin
FR
FR
一般情形下空间任意力系可合成为力螺旋
(4) 空间任意力系平衡的情形
● F′R=0，MO=0
2019/11/15
原力系平衡
内容回顾
空间力系的简化与合成
主矢
主矩
最后结果
说
明
FR′ = 0
MO = 0 MO≠0
§5-5 空间任意力系的平衡条件及其应用
1、平衡条件及平衡方程：
平衡条件：
由平衡力系定理可知，空间一般力系平衡的充要条件：力 系的主矢和对任一点的主矩都等于零，即：
平衡方程：
FR Fi 0
M O M O i 0
由主矢与主矩的计算式，有
F R (F x F x i )0 2 i, (F F yy ) i2 i0 ,(F F zz i )i2 0
② 空间任意力系的平衡条件及其应用；
2019/11/15
§5-4 空间任意力系的简化
1. 空间力线平移定理
作用于刚体的力 F 可等效地平移到刚体上的任一点O， 但须附加一力偶，此附加力偶矩 矢M 等于原力对平移点O 的力矩矢MO（F）。
工程力学：第三章 空间问题的受力分析
。CDB平面与水平
面间的夹角
，物重
。如起重杆的重量不计，试求
起重杆所受的压力和绳子的拉力。
解：取起重杆AB与 重物为研究对象。
取坐标轴如图所示。 由已知条件知：
列平衡方程 解得
§3-3 力对轴的矩 力F对z轴的矩就是分力Fxy 对点O的矩， 即
力对轴的矩是力使刚体绕该 轴转动效果的度量、是一个 代数量。
空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力偶矩等 于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零，即
由上式，有 欲使上式成立，必须同时满足
空间力偶系未知量）
空间力偶系平衡的必要和充分条件为：该力偶系中所有各力偶 矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。
§3-5 空间任意力系的平衡方程
可将上述条件写成空间任意力系的平衡方程
注：1.与平面力系相同，空间力系的平衡方程也有其它的形式。 2.六个独立的平衡方程，求解六个未知量。 3.可以从空间任意力系的普遍平衡规律中导出特殊情况的 平衡规律，例如空间平行力系、空间汇交力系和平面任意 力系等平衡方程。
例：设物体受一空间平行力系作用。 令z轴与这些力平行，则
绝对值： 该力在垂直于该轴的平面上的投影对于 这个平面与该轴的交点的矩的大小。
正负号： 从z轴正端来看，若力的这个投影使物体绕该轴 按逆时针转向转动，则取正号，反之取负号。
也可按右手螺旋规则来确定其正负号，如图所 示，姆指指向与z轴一致为正，反之为负。
当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零：
(1)当力与轴相交时 (此时h＝0)；
（三个方程，可 求解三个未知量）
空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系中所有各力 在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。
理论力学3—空间力系
r r ur
uur uur r
i jk
M O (F ) r Fuur = x y z
z MO(F)
kr Oj
ih x
Fx Fy Fz
r
r
ur
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
B F
A(x,y,z) y
3.2.1 力对点的矩以矢量表示－力矩矢
力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投
偶系，如图。
z F1
z M2
z
Fn O
x F2
＝ M1
y
O
x F'n
F'1
＝ MO
Mn y
O
F'2
x
F'R y
uur uur
uFuri Fuiur uur
M i M O (Fi ) (i 1, 2,L , n)
3.4.1 空间力系向一点的简化
空间汇交力系可合成一合力F'R：
uur uur uur FR Fi Fi
如图所示，长方体棱长为a、b、c，力F沿BD，求力F对AC之矩。
解：
uur uur uur M AC (F ) M C (F ) AC
uur uur
M C (F ) F cos a
Fba
a2 b2
B
C
F
D
c
A
a
b
uur uur uur
M AC (F ) M C (F ) cos
Fabc a2 b2 a2 b2 c2
(F ) uur
[M O (F )]y M y (F )
uur uur
uur
[M O (F )]z M z (F )
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（2）力矩矢通过O点
MOF
（3）力矩矢的方向：垂直于OAB平面，指向由右 手螺旋法则决定之。
由矢量分析理论可知：
M OFrF
r h O
x
B
F A
y
力矩矢量的方向
MO
F
按右手定则
r
MOrF
力对点之矩的矢量运算
由高等数学知：
Fz F
i
M OFrF= x
Fx
jk yz Fy Fz
空间汇交力系的平衡条件：
Fx 0 Fy 0 Fz 0
例题：已知：
C E E B E, D 30 ,0 F 1k0N 求：起重杆AB及绳子的拉力.
z D
E α
C B
α F
A
y
x
解：取起重杆AB为研究对象 建坐标系如图，
z D
E
C
α F2
B
F1 α
P
AБайду номын сангаас
y
x
FA
列平衡方程：
Fx 0
F 1 si 4 n 0 5 F 2si 4 n 0 5 0
z
Fz
βF
α
Fx
γ Fy
y
x
2、二次投影法 已知力 F 与 z 轴的夹角 γ
第一次投影：
Fxy F sin Fz F cos
若再知道 Fxy 与x轴的夹角φ
第二次投影
z
FZ
F
γ
Fx Fxy cos
φ
Fy y
Fy Fxy sin
Fx
最后得：
x
Fx F s in cos
F xy
Fy F s in s in
F2 si n600
1000
3 866N 2
Fy2 F2 cos600 500N
Fz2 0
2. 5m
y 3m
对F3 应采用直接投影法
Fx F s in cos
Fy F s in s in
A
Fz F cos
F1
sin BC
42 32
0.8944
AB 42 32 2.52
cos 0.4472
M z FM OF x y
方法一 :
将力向垂直于该轴的平面投影 , 力对轴的矩等于力的投影与投影 至轴的垂直距离的乘积.
Mz (F) = Fxyd = 2(OAB)
力对轴之矩的计算
方法二:
将力向三个坐标轴方向分解,分别求三个分力对 轴之矩，然后将三个分力对轴之矩的代数值相加。
Mz FMz FxMz Fy
n
F Rx
F xi
i1
n
F Ry
F yi
i1
n
F Rz
F zi
i1
根据空间合力投影定理，合力的大小和方向可 按照以下公式进行计算。
F R F R ix F Rjy F R k z
合力的大小： 合力的方向：
F RF R2 xF R2 yF R2 z
F x2 i F y2 i F zi 2
F2
B P
y
空间汇交力系在任一平面上的投影 →平面汇交力系
z D
E
空间汇交 力系平衡，投影得到的平面汇交 力系也必然平衡。
C
α F2
B
F1 α
P
z
Fy 0,
FA si n300 F1cos450 cos300 F2 cos450 cos300 0
A x
FA
Fz 0,
F1co4s50sin 300 F2co4s50sin 300 FAco3s00 P0
C
sin CD
4
0.8
x
BC
42 32
cos BD
3
0.6
BC
42 32
z 4m
60 0 F2
2. 5m F3
γ
B
φ
y
3m
D
F x F si c n o 1 s 5 0 . 8 0 9 0 . 0 6 4 8N 4 0
F y F sis n i n 1 5 0 .8 0 9 0 .8 4 1 4 N 0
yE
2 2
F1
F2
B
α P
A
y
FA
§3-2 力对轴的矩 一、空间力对点的矩
空间力对点的矩取决于： （1）力矩的大小 （2）力矩作用面的方位 （3）力矩在作用面内的转向
这三个因素可以用一个矢量来表示，记为：
MOF
z
MOF
B
F
r
A
O
y
x
空间力对点的矩的计算
（1）力矩的大小为：
M OFF h2 OAB z
空间力系的受力分析
空间力系：力的作用线不位于同一平面内。
空间力系包括：
空间汇交力系 空间力偶系
空间任意力系
§3-1 力在空间直角坐标轴上的投影
一、空间力沿直角坐标轴的投影和分解 1、直接投影法
已知力 F 与三个坐标轴的夹角，则该力在三 个轴上的投影为
F x F cos F y F cos F z F cos
Fz F cos
例题
已知：F1 =500N，F2=1000N，F3=1500N，
求：各力在坐标轴上的投影
z
解： F1 、F2 可用直接投影法
4m
F x F cos
F y F cos
F z F cos
F1
Fx1 0
Fy1 0 Fz1 F1 500N x
60 0 F2
F3
Fx2
F z F co 1 s5 0 .4 04 0 6 7 N 7 2 1
二、空间汇交力系的合成和平衡
1、合成 空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力作用点（线）通过汇交点。
n
F RF 1F 2 F n F i
i 1
空间合力投影定理：合力在某一轴上的投影等于力系中各分力在同一轴上投影的代数和。
Fx
r
Fy
y z z F yi F z x F x z j F x y y F xk F
二、力对轴之矩 1、定义: 力使物体绕某一轴转动效应的量度,称为力 对该轴之矩.
2、力对轴之矩实例
F
Fz
Fy Fx
F xy
3、力对轴之矩的计算 力F对z轴的矩等于该力在通过O点垂直于z轴的平 面上的分量 对于O点的矩。
C
Fy 0
FAsi3 n0 0F1co4s5 0co3s0 0 F2co4s5 0co3s0 0 0
Fz 0 x
F 1co4s0 5si3 n0 0F 2co4s0 5si3 n0 0
F Aco 3s0 0P0
解得：
F1
F2
10 2
3.54kN 2
FA 6F1 8.66kN
z E
α
F1 α
A
FA
D
Mz Fz
空间力对轴的矩等于零的条件
1、力通过轴线 2、力与轴线平行
F
Fz
Fy Fx
力对轴之矩代数量的正负号 （按照右手螺旋法则决定之）
三、力对轴之矩与力对点之矩的关系
结论:
力对点之矩的矢量在某一轴上的投影,等于该力 对该轴之矩 。
COS
( F R ,i )
F Rx FR
COS
( FR , j )
F Ry FR
COS
( F R ,k )
F Rz FR
2、空间汇交力系的平衡 空间汇交力系平衡的充要条件为：合力 = 0。
n
FR
Fi 0
i1
由于
F R F x2 i F y2 i F z2 i