第三章 空间力系分解
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03第三章 空间力系
m (F) = m (F ) z O xy = m (F ) +m (F ) O x O y
即
m (F) = xY − yX z
同理可得其余两式，即有：
m (F) = yZ − zY x my (F) = zX − xZ m (F) = xY − yX z
力对轴的矩的解析式
三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系 ⒈ 定理 力对点的矩矢在通过该点的 任意轴上的投影等于这力对于该 轴的矩。 轴的矩。这就是力对点之矩与对 通过该点轴之矩的关系。 通过该点轴之矩的关系。 ⒉ 证明
第3章 章 空 间 力 系
本章重点、 本章重点、难点
⒈重点
力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。 力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。 空间力系平衡方程的应用。 空间力系平衡方程的应用。 常见的空间约束及约束反力。 常见的空间约束及约束反力。
⒉难点
空间矢量的运算， 空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体 图。
四、空间力偶系的合成与平衡 ⒈ 合成 由于空间力偶系各力偶是自由矢量，只要不改变各分力偶 矩矢方向，将它们都滑移至某汇交点，它们的合成符合矢量合 成法则。 即：合力偶矩 = 分力偶矩的矢量和。
n i= 1
即： m = m +m +m +L m = ∑m + n 1 2 3 i
2 2 大小： m = mx ห้องสมุดไป่ตู้m2 +mz ; y
四、力对点的矩的解析求法 又由于
m (F) = r ×F O =[m (F)]xi +[m (F)]y j +[m (F)]z k O O O
=mx (F)i +my (F) j+mz (F)k
3空间力系正式解析
∑my(F)=0
上式表明空间平行力系平衡的必要和充分条件
图4.1
本章内容
4.1 力沿空间直角坐标轴的投影
4.2 力对轴之矩 4.3 空间力系的平衡方程 4.4 重心
4.1 力沿空间直角坐标轴的投影 4.1.1 一次投影法
设有一力F和空间直角坐标系Oxyz(图4.2)。
图4.2
如果力F与x、y、z轴所夹的锐角分别为α、β、γ，
则 Fx=±Fcosα Fy=±Fcosβ （4-1） Fz=±Fcosγ
Fy=±Fsinγsinφ
Fz=±Fcosγ
（4-2）
【例4.1】在一立方体上作用有三个力P1、P2、P3，如图 4.4所示。已知P1=2kN，P2=1kN,P3=5kN，试分别计算这 三个力在坐标轴x、y、z上的投影。 【解】力P1的作用线与轴x平行，与坐标面yOz垂直，与 轴y、z也垂直，根据力在轴上的投影的定义可得 P1x=-P1=-2kN P1y=0 P1z=0 力P2的作用线与坐标面yOz平行，与轴x垂直，先将 此力投影在x轴和yOz面上，在x轴上投影为零，在yOz面 上投影P2yz就等于此力本身；然后再将P2yz投影到y、z轴 上。
mz(F)=mO(F)=±Fd 在一般情况下，力F可能既不平行于z轴，又不 与z轴相交，也不在垂直于z轴的平面内，如图4.5(c) 所示。
力F使门绕z轴转动的效应完全由分力Fxy来确定。 分力Fxy使门转动的效应可用力Fxy对O点之矩来度量， 因此可得 mz(F)=mz(Fxy)=mO(Fxy)=±Fxyd （4-5）
4.1.2 二次投影法
如图4.3所示，如果已知力F与z轴的夹角γ及F和z 轴所形成的平面与x轴的夹角φ，为求出力F在三个坐 标轴上的投影，可先将力F投影到z轴及坐标平面xOy 上，在xOy平面上的投影为矢量Fxy，其大小为
上式表明空间平行力系平衡的必要和充分条件
图4.1
本章内容
4.1 力沿空间直角坐标轴的投影
4.2 力对轴之矩 4.3 空间力系的平衡方程 4.4 重心
4.1 力沿空间直角坐标轴的投影 4.1.1 一次投影法
设有一力F和空间直角坐标系Oxyz(图4.2)。
图4.2
如果力F与x、y、z轴所夹的锐角分别为α、β、γ，
则 Fx=±Fcosα Fy=±Fcosβ （4-1） Fz=±Fcosγ
Fy=±Fsinγsinφ
Fz=±Fcosγ
（4-2）
【例4.1】在一立方体上作用有三个力P1、P2、P3，如图 4.4所示。已知P1=2kN，P2=1kN,P3=5kN，试分别计算这 三个力在坐标轴x、y、z上的投影。 【解】力P1的作用线与轴x平行，与坐标面yOz垂直，与 轴y、z也垂直，根据力在轴上的投影的定义可得 P1x=-P1=-2kN P1y=0 P1z=0 力P2的作用线与坐标面yOz平行，与轴x垂直，先将 此力投影在x轴和yOz面上，在x轴上投影为零，在yOz面 上投影P2yz就等于此力本身；然后再将P2yz投影到y、z轴 上。
mz(F)=mO(F)=±Fd 在一般情况下，力F可能既不平行于z轴，又不 与z轴相交，也不在垂直于z轴的平面内，如图4.5(c) 所示。
力F使门绕z轴转动的效应完全由分力Fxy来确定。 分力Fxy使门转动的效应可用力Fxy对O点之矩来度量， 因此可得 mz(F)=mz(Fxy)=mO(Fxy)=±Fxyd （4-5）
4.1.2 二次投影法
如图4.3所示，如果已知力F与z轴的夹角γ及F和z 轴所形成的平面与x轴的夹角φ，为求出力F在三个坐 标轴上的投影，可先将力F投影到z轴及坐标平面xOy 上，在xOy平面上的投影为矢量Fxy，其大小为
第三章 第一节 空间力的分解与投影
3 cosa cos b cosg 3
O b
F
g a
y
3 Fx F cosa F 3 3 F y F cos b F 3 3 Fz F cosg F 3
x
方法二(二次投影法) z
sing cosg 2a 3a a 3a 2 3 3 3
F
O
b
Fx = Fcosa Fy = Fcosb Fz = Fcosg
Fy
x F = Fx + Fy + Fz
Fx =Fx i y Fy =Fy j iO j Fx Fz =Fz k x 力在轴上投影为代; Fz k
2.二次投影法 z Fz
g
Fz = Fcosg Fxy = Fsing 注意:力在平面上的投影Fxy为矢量 y Fx = Fxycosj = Fsing cosj Fy = Fxysinj = Fsing sinj
第三章 空间力系
空间力系：各力的作用线不在同一平面内的力系。 方法：采用力系向一点简化的方法进行研究。
本章我们将要学习的内容 空间力系的基本概念 空间力系的简化 空间力系平衡问题 重心
第一节 空间力的分解与投影
一、空间力的分解 z Fz O Fx F Fy y
a
二、空间力的投影 1. 直接投影法 z Fz k g F
F Fy Fxy
O
Fxj x
已知力在的投影，则可以确定该力的大小和方向。
F Fx2 F y2 Fz2 Fx cos a F cos b Fy F Fz cos g F
例(P71例3-1)在边长为a的正六面体的对角线上作用一力F。 试求该力分别在x、y、z轴上的投影。
z 解 方法一(直接投影法)
O b
F
g a
y
3 Fx F cosa F 3 3 F y F cos b F 3 3 Fz F cosg F 3
x
方法二(二次投影法) z
sing cosg 2a 3a a 3a 2 3 3 3
F
O
b
Fx = Fcosa Fy = Fcosb Fz = Fcosg
Fy
x F = Fx + Fy + Fz
Fx =Fx i y Fy =Fy j iO j Fx Fz =Fz k x 力在轴上投影为代; Fz k
2.二次投影法 z Fz
g
Fz = Fcosg Fxy = Fsing 注意:力在平面上的投影Fxy为矢量 y Fx = Fxycosj = Fsing cosj Fy = Fxysinj = Fsing sinj
第三章 空间力系
空间力系：各力的作用线不在同一平面内的力系。 方法：采用力系向一点简化的方法进行研究。
本章我们将要学习的内容 空间力系的基本概念 空间力系的简化 空间力系平衡问题 重心
第一节 空间力的分解与投影
一、空间力的分解 z Fz O Fx F Fy y
a
二、空间力的投影 1. 直接投影法 z Fz k g F
F Fy Fxy
O
Fxj x
已知力在的投影，则可以确定该力的大小和方向。
F Fx2 F y2 Fz2 Fx cos a F cos b Fy F Fz cos g F
例(P71例3-1)在边长为a的正六面体的对角线上作用一力F。 试求该力分别在x、y、z轴上的投影。
z 解 方法一(直接投影法)
武汉理工大学理论力学课件 第三章 空间力系(第二版)资料
应该注意：力在轴上的投影是代数量， 而力在平面上的投影是矢量。
5
力沿直角坐标轴的分解
z
Fz F
F Fx Fy Fz Fx i Fy j Fz k
k
力F 在坐标轴上的投影和力F 沿坐
oj
标轴的正交分量间的关系为：
Fx i
Fy y
x
图4.3
Fx Fx i Fy Fy j Fz Fz k
cos(M,i)
M ix M
cos(M, j)
M iy M
cos(M,k)
M iz
M
25
空间力偶系的平衡条件 空间力偶系平衡的必要与充分条件是：合力偶
矩矢等于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零。
Mi 0
M ( Mix )2 ( Miy )2 ( Miz )2 0
欲使上式成立，必须同时满足：
一、力对点之矩以矢量表示－－力矩矢
三要素：
实例
(1) 大小:力F与力臂的乘积
F
(2) 方向:转动方向
(3) 作用面：力矩作用面。
9
力对点之矩的定义
MO(F) r F
力矩矢MO(F) 的 始端必须在矩心，
为定位矢量
MO F
大小： MO (F) r F F h 2AΔOAB
r
矩矢方向：按右手螺旋法则确定
Fy3 1500 cos sin 1073 N
Fz3 1500 sin 671N
7
例3.2 已知力沿直角坐标轴的解析式为F=3i+4j-5k(kN), 试求这个力的大小和方向。
解：Fx=3kN，Fy=4kN，Fz=-5kN
F ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2 5 2kN
第3章 空间力系
４７第3章 空间力系本章要点● 理解力在空间直角坐标轴上的投影● 理解力对轴之矩● 掌握空间力系的平衡方程及其应用● 掌握重心及其计算前面我们讨论了平面力系，平面力系中各力的作用线分布在同一平面内，这是物体受力的特殊情况，现在将讨论物体受力的最一般的情况——空间力系。
当力系中各力的作用线不在同一平面，而呈空间分布时，称为空间力系。
本章主要介绍空间力系的简化与平衡问题。
在工程实际中，有许多问题都属于这种情况。
如图3-1所示车床主轴，受有切削力F x 、F y 、F z 和齿轮上的圆周力F t 、径向力F n 以及轴承A 、B 处的约束反力，这些力构成一组空间力系。
与平面力系一样，空间力系可分为空间汇交力系、空间平行力系及空间一般力系。
图3-1 车床主轴3.1 力在空间直角坐标轴上的投影在平面力系中，常将作用于物体上某点的力向坐标轴x 、y 上投影。
同理，在空间力系中，也可将作用于空间某一点的力向坐标轴x 、y 、z 上投影。
具体作法如下：1.直接投影法若一力F 的作用线与x 、y 、z 轴对应的夹角已经给定，如图3-2a 所示，则可直接将力F 向三个坐标轴投影，得⎪⎭⎪⎬⎫=== cos cos cos γβαF F F F F F z y x （3-1）４８其中，α、β、γ分别为力F 与x 、y 、z 三坐标轴间的夹角。
2.二次投影法当力F 与x 、y 坐标轴间的夹角不易确定时，可先将力F 投影到坐标平面xoy 上，得一力F xy ，进一步再将F xy 向x 、y 轴上投影。
如图3-2b 所示。
若γ为力F 与z 轴间的夹角，φ为F xy 与x 轴间的夹角，则力F 在三个坐标轴上的投影为⎪⎭⎪⎬⎫===== cos sin sin sin cos sin cos γϕγϕϕγϕF F F F F F F F z xy y xy x （3-2）图3-2 二次投影法具体计算时，可根据问题的实际情况选择一种适当的投影方法。
第三章 空间力系
Ft tan Fa Ft tan Fr cos
第三章 空间力系
【课堂练习】图示力F作用在A点，此力在x轴、y轴、z轴 上的投影分别是多少？
第三章 空间力系
三、交于一点且互相垂直的三力的合成
力直角平行六面体法则
F＝
Fx2 Fy2 Fz2
Fx cosα＝ F
Fy cosβ＝ F
第三章 空间力系
（2）力F对各坐标轴之矩为： Mz(F )= Mz(Fx)+Mz(Fy)= -Fx· y+Fy· x= -10.98 N· m Mx(F )=Mx(Fy)+Mx(Fz)= -Fy· z-Fz· y= -105 N· m My(F)=My(Fx)+My(Fz)=Fx· z+Fz· x=53.3 N· m。
解：
（1）确定车刀刀尖为研究对象，以工件主轴为水平轴空间 直角坐标系。
第三章 空间力系
（ 2）刀尖受力分析
刀尖受到径向力Fx（沿x轴方向）、轴向力Fy（沿y轴方 向）、圆周力Fz（沿z轴方向）的作用。 （3）用力直角平行六面体法则求合力F 以三力Fx、Fy、Fz为棱边作一直角平行六面体，则此六面 体的对角线即为三力的合力F＝19.6 kN
第三章 空间力系 三、空间力系的平衡条件和平衡方程
力矢的主矢和力系对空间任意一点的主矩都等于零。
FR' 0
，
Mo 0
Fy =0 Fy=0 Fz=0 Fz =0 Mx(F )=0 Mz(F )=0
• 空间汇交力系力系 Fx =0 • 空间平行力系力系 Fy=0 • 空间任意力系力系 Fx=0 • 空间力偶系力系
第三章 空间力系 四、空间力系平衡的平面解法
1．确定研究对象，画出受力图。
第三章 空间力系
①力偶矩的大小= m 等于力偶的力与力偶臂的乘积。
②力偶矩的方位——垂直于力偶所在的平面
③指向——遵循右手螺旋规则。
空间力偶的等效定理 作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相 同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。 由此可见：空间力偶矩是自由矢量
21
例3-4 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受切削 力偶矩均为80N· m. 求：工件所受合力偶矩在 x, y , z 轴上的投影
1、若FR' 0, MO , 0 则该力系平衡（后面专门讨论）。 2、若 FR' 0, MO 0 则力系可合成一个合力偶，其矩等于原
力系对于简化中心的主矩MO。此时主矩与简化中心的位置无 关。
3、若 FR' 0, MO 0 则力系可合成为一个合力，主矢 F ' R 等于原力系合力矢 FR ，合力 FR 通过简化中心O点。
My
F Fl cos
M z F F l a sin
18
19
五、空间力偶矩用矢量表示：
由于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面， 所以空间力偶矩必须用矢量表示。 力偶的转向为右手螺旋定则。
从力偶矢末端看去，逆时针转动
为正。
20
空间力偶矩是自由矢量，它有三个要素：
力系向点简化.avi
26
若取简化中心O点为坐标原点，则：
2 2 2 Fix FR Fiy Fiz FRy FRx FRz 主矢方向 cos , cos b , cosg FR FR FR 根据力对点之矩与力对轴之矩的关系: [ mO ( Fi ) ] x m x ( Fi ) mOx ; mOy [ mO ( F ) ] y m y ( F ); mOz [ mO ( F ) ] z m z ( F )
第三章 空间力系
M y (F) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) Fx z Fz x Mz (F) Fy x Fx y
MO (F)x yFz zFy M x (F ) MO (F ) y zFx xFz M y (F )
MO (F)z xFy yFx M z (F)
1)力 F 的大小为 F Fx2 Fy2 Fz2 5 2 kN
2)力 F 的方向余弦以及与坐标轴的夹角为
cos F ,i 3 0.424; F ,i θ 64.9 52
cos F , j 4 0.566 ; F , j β 55.55 52
cos F ,k 5 0.707 ; F ,k γ 180 45 135 52
Fx F cos , Fy F cos , Fz F cos (3 1)
5
第三章 空间力系
§3-1 空间汇交力系 2）二次投影法（间接投影法）
当力与轴Ox，Oy正向夹角不易确定 时，可先将 F 投影到坐标平面xy上，得 Fxy，再将Fxy投影到x,y轴上，于是投影 的大小为：
Fx Fxy cos F sing cos Fy Fxy sin F sing sin
x
解：由题知：
Fx 4.5kN ;Fy 6.3kN ;Fz 18kN
y Fy
β γ
\力F 的大小
Fz
F Fx2 Fy2 Fz2 19.6 kN
zF
力F 的方向余弦，及与坐标轴的夹角为
cos Fx 4.5 0.220， 76.7
F 19.6
cos Fy 6.3 0.322, 71.1
侧面 风力
b
(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系 (b)图中去了风力为空间平行力系。
MO (F)x yFz zFy M x (F ) MO (F ) y zFx xFz M y (F )
MO (F)z xFy yFx M z (F)
1)力 F 的大小为 F Fx2 Fy2 Fz2 5 2 kN
2)力 F 的方向余弦以及与坐标轴的夹角为
cos F ,i 3 0.424; F ,i θ 64.9 52
cos F , j 4 0.566 ; F , j β 55.55 52
cos F ,k 5 0.707 ; F ,k γ 180 45 135 52
Fx F cos , Fy F cos , Fz F cos (3 1)
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第三章 空间力系
§3-1 空间汇交力系 2）二次投影法（间接投影法）
当力与轴Ox，Oy正向夹角不易确定 时，可先将 F 投影到坐标平面xy上，得 Fxy，再将Fxy投影到x,y轴上，于是投影 的大小为：
Fx Fxy cos F sing cos Fy Fxy sin F sing sin
x
解：由题知：
Fx 4.5kN ;Fy 6.3kN ;Fz 18kN
y Fy
β γ
\力F 的大小
Fz
F Fx2 Fy2 Fz2 19.6 kN
zF
力F 的方向余弦，及与坐标轴的夹角为
cos Fx 4.5 0.220， 76.7
F 19.6
cos Fy 6.3 0.322, 71.1
侧面 风力
b
(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系 (b)图中去了风力为空间平行力系。
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问题：如果已知： 如何求力F 对 z 轴之矩 F Fx i Fy j Fz k z Fz
F k i x
Fy Fxy
力对轴之矩计算公式
Fx
j y Fx
z x
M x ( F ) yFz zFy Fy y M y ( F ) zFx xFz
F F1 F2
F1
F2
r
M1 M2
F1'
F2'
F
'
F ' F1' F2'
M R {F , F ' }
M R r F ' r (F1 'F2 ' ) r F1 'r F2 ' M1 M2
rDC
C
F2
F1 '
M1 rBA F1
F2 '
M 2 rDC F2
rBA F1 M1 M 2 rDC F2
基本量的计算
二、力偶的性质
性质一 力偶不能与一个力等效 {F , F '} {FR } 性质二 力偶可在其作用面内任意移动（或移到另一平行平 面),而不改变对刚体的作用效应
Fxy
M z ( F ) xFy yFx
问题：力对轴之矩与力对点之矩有什么关系？
基本量的计算
力对轴之矩
MO
O
z F
M x ( F ) yFz zFy M y ( F ) zFx xFz M z ( F ) xFy yFx
力对点之矩在各坐标轴上的投影
x
y r
M Ox yFz zFy M Oy zFx xFz M Oz xFy yFx
M x ( F ) M Ox M y ( F ) M Oy M z ( F ) M Oz
结论:力对轴之矩等于力对轴上任意一点之矩在该轴上的投影
2.2力对轴之矩
物体绕轴转动效果的度量。 以门绕Z轴的转动为例来讨论。 显然有：Mz(F1)=0； Mz(F2)=0 将力F分解成Fz和Fxy，可见 Mz(Fz)=0; Mz(Fxy)=MO(Fxy)
O
z
Fz
h
F Fxy
y
x
力与轴相交或平行，对轴之矩为零
F1
F2
故力F对轴z之矩可写为：Mz(F)=MO(Fxy)=Fxyh 力F对轴z之矩Mz(F)等于力在垂直于z轴之平面 内的分量Fxy对轴z与该平面交点O之矩。 正负用右手螺旋法确定，（图中为正）。
Fz
B F Fy Fxy D y A
Fxy Fx、Fy；
显然有： F=Fx+Fy+Fz；
Fx
z x
K
′ 且各分力为： Fx F cos cos F cosBAE Fx 由定义知后者正是力 在各轴上的投影。故 Fy F cos sin F cos BAK Fy 正交坐标系中，投影 Fz F sin F cos F cosBAC Fz 和分力大小相等。
4、空间一般力系:若作用于物体上所有的力（包括力偶） 都不在同一平面内，则力系称为空间一般（任意）力系。
基本量的计算
基本量的计算包括：
(1) 力在轴上的投影； (2) 力对点之矩与力对轴之矩；
(3) 力偶。
基本量的计算
1. 力在空间坐标轴上的投影 力F 为Fz、Fxy；
z E y x C A o
利用合力矩定理，进一步有：
Mz(F)=Mz(Fx)+Mz(Fy)+Mz(Fz)=Fyx－ Fxy
例: 试写出图中力F在轴上的投影及对力轴之矩。
Fx=0
Fy=(4/5)F=40 N FZ=(3/5)F=30 N Mx(F)=-Fyz+Fzy =-40+36=-4 N.m
z a=0.6m a
b=0.8m B
F F
x
F
a a
F F
a a a
a
A
B
F
a
x
F F
A
F F
B
基本量的计算
性质三 只要力偶矩矢量的方向和大小不变（F，d 可变）， 则力偶对刚体的作用效应就不变。
FF 2
A
F
a a a
B
F
F 2
基本量的计算
三、力偶系的合成
设作用于刚体上的两个力偶 M1 , M 2
M1 {F1 , F1' } M 2 {F2 , F2' }
a
O A
FZ
F=50N
z=1m Fy C x=0.2m
y
My(F)=-FZx=-6 N.m
Mz(F)=Fyx=8 N.m
A' x y=1.2m
3、力偶的矢量表示
3.1 力偶矩矢：
空间力偶对刚体的作用效果取决于 力偶矩的大小； 力偶作用平面； 力偶的转动方向。
y
x
F
M
F'
z
力偶矩矢 M：矢的长度--力偶矩的大小； 矢的指向--力偶作用平面的法向； 转向--由右手螺旋规则确定。
故：力偶对刚体的作用完全由力偶矩矢所确定。 力偶矩矢是自由矢，可平行移动。 空间力偶系的合成可按力偶矩矢量求和进行。
基本量的计算
3.2、力偶的等效条件和性质
一、力偶的等效条件(定理）
{F1 , F1'} {F2 , F2' }
•两个力偶等效的条件是它们的力偶矩相等 M1 M2 B
rBA
A
F1
D
第三章 空间力系
3.1
3.2 3.3 3.4
基本量的计算
空间力系简化 平衡条件和平衡方程
空间力系平衡问题
空间力系实例
车 床 主 轴
手摇钻
飞行的飞机
空间力系的分类
空间力系
-各力作用线不共面的力系
1、空间汇交力系:各力作用线汇交于同一点(不含力偶)。 2、空间力偶系:若物体上仅仅有力偶的作用，并且它们都 不在同一平面内。 3、空间平行力系:各力作用线相互平行(可包含力偶)。
z F
d
y
r
基本量的计算
(2) 解析表示式
r xi yj zk F Fx i Fy j Fz k
MO r F
z
Fz
F
k
k z Fz
r j y
z
Fy
x
y
i x Fx
j y Fy
x
i
Fx
M oxi M oy j M oz k
力对点之矩在轴上的投影：
M Ox yFz zFy M Oy zFx xFz M xF yF y x Oz
二次投影法：先投影到坐标面，再投影到轴上。
基本量的计算
2.1、力对点之矩
1、力对点之矩的数学描述 (1) 矢量表示式
MO r F
M O Fd
力对点之矩三要素: (1) 大小: 力F与力臂的乘积 (2) 方向: 转动方向(逆为正,顺为负) (3) 作用面: 力矢与矩心构成的平面
MO
O x
F k i x
Fy Fxy
力对轴之矩计算公式
Fx
j y Fx
z x
M x ( F ) yFz zFy Fy y M y ( F ) zFx xFz
F F1 F2
F1
F2
r
M1 M2
F1'
F2'
F
'
F ' F1' F2'
M R {F , F ' }
M R r F ' r (F1 'F2 ' ) r F1 'r F2 ' M1 M2
rDC
C
F2
F1 '
M1 rBA F1
F2 '
M 2 rDC F2
rBA F1 M1 M 2 rDC F2
基本量的计算
二、力偶的性质
性质一 力偶不能与一个力等效 {F , F '} {FR } 性质二 力偶可在其作用面内任意移动（或移到另一平行平 面),而不改变对刚体的作用效应
Fxy
M z ( F ) xFy yFx
问题：力对轴之矩与力对点之矩有什么关系？
基本量的计算
力对轴之矩
MO
O
z F
M x ( F ) yFz zFy M y ( F ) zFx xFz M z ( F ) xFy yFx
力对点之矩在各坐标轴上的投影
x
y r
M Ox yFz zFy M Oy zFx xFz M Oz xFy yFx
M x ( F ) M Ox M y ( F ) M Oy M z ( F ) M Oz
结论:力对轴之矩等于力对轴上任意一点之矩在该轴上的投影
2.2力对轴之矩
物体绕轴转动效果的度量。 以门绕Z轴的转动为例来讨论。 显然有：Mz(F1)=0； Mz(F2)=0 将力F分解成Fz和Fxy，可见 Mz(Fz)=0; Mz(Fxy)=MO(Fxy)
O
z
Fz
h
F Fxy
y
x
力与轴相交或平行，对轴之矩为零
F1
F2
故力F对轴z之矩可写为：Mz(F)=MO(Fxy)=Fxyh 力F对轴z之矩Mz(F)等于力在垂直于z轴之平面 内的分量Fxy对轴z与该平面交点O之矩。 正负用右手螺旋法确定，（图中为正）。
Fz
B F Fy Fxy D y A
Fxy Fx、Fy；
显然有： F=Fx+Fy+Fz；
Fx
z x
K
′ 且各分力为： Fx F cos cos F cosBAE Fx 由定义知后者正是力 在各轴上的投影。故 Fy F cos sin F cos BAK Fy 正交坐标系中，投影 Fz F sin F cos F cosBAC Fz 和分力大小相等。
4、空间一般力系:若作用于物体上所有的力（包括力偶） 都不在同一平面内，则力系称为空间一般（任意）力系。
基本量的计算
基本量的计算包括：
(1) 力在轴上的投影； (2) 力对点之矩与力对轴之矩；
(3) 力偶。
基本量的计算
1. 力在空间坐标轴上的投影 力F 为Fz、Fxy；
z E y x C A o
利用合力矩定理，进一步有：
Mz(F)=Mz(Fx)+Mz(Fy)+Mz(Fz)=Fyx－ Fxy
例: 试写出图中力F在轴上的投影及对力轴之矩。
Fx=0
Fy=(4/5)F=40 N FZ=(3/5)F=30 N Mx(F)=-Fyz+Fzy =-40+36=-4 N.m
z a=0.6m a
b=0.8m B
F F
x
F
a a
F F
a a a
a
A
B
F
a
x
F F
A
F F
B
基本量的计算
性质三 只要力偶矩矢量的方向和大小不变（F，d 可变）， 则力偶对刚体的作用效应就不变。
FF 2
A
F
a a a
B
F
F 2
基本量的计算
三、力偶系的合成
设作用于刚体上的两个力偶 M1 , M 2
M1 {F1 , F1' } M 2 {F2 , F2' }
a
O A
FZ
F=50N
z=1m Fy C x=0.2m
y
My(F)=-FZx=-6 N.m
Mz(F)=Fyx=8 N.m
A' x y=1.2m
3、力偶的矢量表示
3.1 力偶矩矢：
空间力偶对刚体的作用效果取决于 力偶矩的大小； 力偶作用平面； 力偶的转动方向。
y
x
F
M
F'
z
力偶矩矢 M：矢的长度--力偶矩的大小； 矢的指向--力偶作用平面的法向； 转向--由右手螺旋规则确定。
故：力偶对刚体的作用完全由力偶矩矢所确定。 力偶矩矢是自由矢，可平行移动。 空间力偶系的合成可按力偶矩矢量求和进行。
基本量的计算
3.2、力偶的等效条件和性质
一、力偶的等效条件(定理）
{F1 , F1'} {F2 , F2' }
•两个力偶等效的条件是它们的力偶矩相等 M1 M2 B
rBA
A
F1
D
第三章 空间力系
3.1
3.2 3.3 3.4
基本量的计算
空间力系简化 平衡条件和平衡方程
空间力系平衡问题
空间力系实例
车 床 主 轴
手摇钻
飞行的飞机
空间力系的分类
空间力系
-各力作用线不共面的力系
1、空间汇交力系:各力作用线汇交于同一点(不含力偶)。 2、空间力偶系:若物体上仅仅有力偶的作用，并且它们都 不在同一平面内。 3、空间平行力系:各力作用线相互平行(可包含力偶)。
z F
d
y
r
基本量的计算
(2) 解析表示式
r xi yj zk F Fx i Fy j Fz k
MO r F
z
Fz
F
k
k z Fz
r j y
z
Fy
x
y
i x Fx
j y Fy
x
i
Fx
M oxi M oy j M oz k
力对点之矩在轴上的投影：
M Ox yFz zFy M Oy zFx xFz M xF yF y x Oz
二次投影法：先投影到坐标面，再投影到轴上。
基本量的计算
2.1、力对点之矩
1、力对点之矩的数学描述 (1) 矢量表示式
MO r F
M O Fd
力对点之矩三要素: (1) 大小: 力F与力臂的乘积 (2) 方向: 转动方向(逆为正,顺为负) (3) 作用面: 力矢与矩心构成的平面
MO
O x