聚合风险模型
可以证明，方法（1）下得到索赔的方差大约
等于方法（2）的方差的80 % ．
如果我们没有用正确的方法，而是用上述前一
种方法来计算停止损失保费，那么对于那些比期望
理赔大的自留额来说，其停止损失保费就会大约少 20 %。
2 下面将对 N , 分布来检验经验法则 3 . 10 . 1 ，记： 2 2 （1） d ; , 为服从 N , 分布的随机变量的停止损失保费，
自留损失的矩 的计算：注意到下面的等式
由此可得：
由此可以计算停止损失赔付下自留损失S S d 的矩
如何算啊？
例3 . 9 . 4 （停止损失保费的NP 近似）对于某些随机 变量， X>y 的概率用NP 法来近似的效果会相当．那 么可否对X 的停止损失保费也给出一个近似呢？
效果会非常好．
对 u 1 和
y 1，定义如下一个辅助函数
则有： （ 1） （ 2）
q u u
和
q w y y
.
q .
和
w .
都是单调增的，并且
q u y w y u.
设 Z 是一个具有均值 0 ，标准差 1 和偏度 0 的随机变量．
例 3. 9 . 5 ( CLT 和 NP 停止损失近似的比较)求满足到
E[ X ] 0, Var[ X ] 2 1 ,
1 1
以 及 偏 度 分 别 为
0, , ,1, 2, 4 的随机变量 X 的停止损失保费的近似值， 自留 4 2
额分别取为 d = 0 ，1，… ，4 .
（2） . .; 0,1 ， （3）记到 . 为 N ( O , l ）的分布函数， . . 为相应的概率 密度函数．
则停止损失保费可如下计算：
其中 d
*
d
．
2 固定时函数 d ; , 2 为了研究当 改变而
NP 近似为
，随机变量 V 定义如下：V q max U ,1 V=q U U 1 当 时， ；否则，V 1 ．于是 设
U N 0， 1
因而
Z 当d > 1 时的停止损失保费可以通过V 的停止损失保 费来近似．
为了计算该积分，利用
d 2 u u 1 u u du
的变
化趋势，对 求偏导得
2
于是，如果我们用来替代 2 2 ，其中 为较小的量
第一项恰好是经验法则刻画的那个比值． 第二项在 d [ , ) 上积分值等于 0 ，该项在 d 接近于为 负时，在 d 0.745 时为 0 ，而在 d 取大值时为正．
3 由此可得出当自留额大约为 时的停止损失保费）设
X
N , 2
分布，那么X 的取自留额d 的停止损失保费等于多
少？
因为 u u u ，我们有
立即得到
从而
例3 . 9 . 1 （正态分布的停止损失保费）设 X
N , 2
分布，那么X 的取自留额d 的停止损失保费等于多少？
经验法则：当自留额t大于期望值 E U E W 风险U和W的停止损失保费满足：
时，
例3 . 10 . 2 ( “不明确配偶情况”）如果保险人不 知道究竟哪一位被保险人死后会留下一个寡妇， 需要赔付该寡妇的保险抚恤金．假设被保险人中 已婚的频率为80 % ，则有二种方法去计算 （1）把所有的风险额乘上0 . 8 而保持一年内死亡 的概率不变， （2）把死亡概率乘上0 . 8 而保持赔付额不变．
当偏度为0时，使用公式正态逼近，否则使用NP方法
方差不等情形下的停止损失保费比较
以概率1 有 U 0，那么
这个方程里的被积函数总是非负的．如果U 和W是两 个具有相同期望值的风险变量，那么
通过使用区间宽度为1 的梯形公式近似上面的积分，
我们得到下面的近似结果 。
假设两个被积函数的比值近似等于其对应积分的 比值。在此假设下，给出了近似公式
风险理论第1章效用理论与保险
实
布
概微
务
、
率积
风
论分
、、
02
Ⅰ
01
试准 科 第一章 效用理论与保险 2 第二章 个体风险模型 3 第三章 聚合风险模型 4 第四章 破产理论 5 第五章 保费原理
本章主要内容 本章从效用理论出发，研究风险决策的基本原
理以及在第保费一设章计中效的应用用理，并论分析与了保不同风险 险 态度的决策人的风险决策结果，最后应用期望效
上述不等式意味着保险人选用的效益函数是 个凸函数。
如果上面的不等号成立，那么他的期望效用将会提高。 如果用 P 表示保险人要求的最小保费，可从反映保险人
状况的效用均衡方程中解出：
如果U (x)是一个非减的连续函数，则有 P P 。
如果 P P，那么达成交易会同时增加被保险人与
保险人双方的期望效用。
相同的决策，即
等价于
效用函数的 确定
人们在做某个决策时，不自觉地使用这 效益函数，因此效用函数是客观存在的， 但却很难给出一个明确的解析式。
可以向决策人提出大量的问题，通过他 们对这些问题的回答来决定该决策人的 效用函数。
如“为了避免以概率q损失1个单位货 币，你愿意支付多少保费P？”
例 1.2.2（偏好风险与厌恶风险） 假设一个拥有资
如果上面的不等号成立，意味着他的期望效用将会提高。
如果用 P 代表被保险人愿意支付的最大保费，它是以下效 用均衡方程的解
E u w X u W P ， （1.10）
由于 u 是一个非减的连续函数，则有 P P 。
设保险人的效用函数为U ，原始本金为 W。
如费果P 承E 保U（损W失2）XP 。保X 险 U人W 方，那面么保：险人将以保
两相依聚合索赔风险模型的生存概率分析
营过程的稳定性分析，预测经营者在有限
时间内和最终破产可能性大小 ，从 而对 经 营策略起到指导性作用 ，为决策者提供早 期 的风 险预 警手 段 。在 传统 的保 险模 型
中 ， 立性扮演 着重要 的角色 。 立性假 独 独
．
，
．
（ ＝
（ ４） Ｘ
内 容 摘 要 ：本 文 研 究 了具 有 相 依 关 系 聚 舍 索 赔 过 程 的 风 险 模 型 ，得 到 了 生 存 概 率 满 足 的 积 分 一 微 分 方 程 ，并 运 用 更 新 定 理 求 出 了破 产 概 率 的 渐 进 表
达式 。
为： （＝ ＋ｌ ∑ 一 ｆ “ ｃ ∑ ） （ １）
的随机变量 ，即 Ｌ＝ ． Ｌ ，Ｌ 与 Ｌ ．Ｌ ＋ ， ． 是独 立且服从参数 为 Ｂ－ 的指数分布 的随机序 ．
歹， 止（ ＋ ） 和 ｐｕ ０ 因Ｅ ｕ ÷ 是Ｋ２口 币
Ｇｕ ｎ ｏａ ｄＷｕ研究 了 Ｋ （ ，Ｋ（ 是 Ｐｓ ｏ ，） ， ） ｉｓ ｎ １ ｔ
过 程 ， （是 Ｅｌｎ ２） 程 的 风 险 模 型 ， Ｋ１ ） ｒ ｇ（ 过 ａ
程，且与 Ｋ（ ，Ｋ（相互独立 ，那么盈余过 ） 。） １ ｔ
程 Ｕｔ （ 即成为参数是 ＝ ＋ 。 ｐ的一 ） ＋
关 键 词 ：相 依 聚 合 索 赔
Ｅｒ ｎ ｌ ｇ过 程 ａ
生存 概 率
究理 赔相 关的风险模型 ， ｕ ｎａ ｄＧｕ 研 Ｙ ｅ ｎ ｏ 究 了 Ｋ （ ，Ｋ （ ，Ｋ ｔ 是 Ｐｓ ｏ ｔ 。 ） （都 ） ｔ ） ｉ ｎ过程的 ｓ
风险模型 ，通过 Ｐｓ ｏ ｉ ｎ过程 的可加性 ，把 ｓ
中国精算师《精算模型》过关必做1000题(含历年真题)(短期聚合风险模型)【圣才出品】
第 6 章 短期聚合风险模型
单项选择题（以下各小题所给出的 5 个选项中，只有 1 项最符合题目要求，请将正确
选项的代码填入括号内）
1．损失服从均值为 2 的泊松分布，已知 E(Id ) 0.7 1.9e2 ，求 d=（ ）。[2014
年春季真题]
A．1.3 B．1.4 C．1.5 D．1.6 E．1.7
【答案】A
d
【解析】由递推公式 E(Id ) E(S) [1 Fs (x)]dx ， 而 E(S) 2 ， 0
d
则 [1 Fs (x)]dx E(S) E(Id ) 2 （0.7 1.9 e2 ) 1.3 1.9e2 ，当 1<d<2 时， 0
C． 3 4
D． 5 6
E． 6 7
【答案】A
【解析】由已知，有
P(N n)
ne 0 n!
e d
2 n1
0
e n11 2 (n 1)
2 (n1)
பைடு நூலகம்
d
2 (n1)
故
P(N k) 1 P(N k 1) 2
6～7 题的条件如下：
4 / 161
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（2）
M
x
2
f
( x)dx
；
（3） [ M x2 f (x)dx M 2P( X M )] 。 0
A．（1） B．（2） C．（1）（2） D．（3） E．（2）（3）
【答案】D
k 1
E(Xk
E( X k ))3
国外关于风险计算的书籍
国外关于风险计算的书籍国外关于风险计算的书籍有很多，以下是一些值得推荐的书籍：1. "Risk Analysis: A Quantitative Guide" by David Vose：这本书是风险分析的权威指南，涵盖了风险分析的基本概念、方法和实用技能。
它提供了对风险分析的全面概述，包括风险识别、风险评估、风险预测和风险管理等方面的内容。
2. "Modern Actuarial Risk Theory" by Kaas, Rob: 这本书是精算风险理论的经典教材，涵盖了精算科学的核心概念和方法。
它包括期望效用模型、个体风险模型、聚合风险模型、保费原理、奖惩系统、信度理论等方面的内容。
这本书被广泛用于精算科学和风险管理的教育和研究。
3. "Introduction to Risk Management" by Sampford, Charles：这本书是风险管理的基础教材，涵盖了风险管理的各个方面。
它包括风险识别、风险评估、风险预测和风险管理等方面的内容，同时也介绍了风险偏好和不确定性方面的知识。
这本书适合对风险管理感兴趣的读者。
4. "Risk Measurement and Management" by Gupta, Punit：这本书是风险测量和管理的权威指南，涵盖了风险测量和管理的基本概念、方法和实用技能。
它提供了对风险测量和管理的全面概述，包括风险评估、风险预测、资本管理和风险管理等方面的内容。
这本书适合对风险测量和管理感兴趣的读者。
以上书籍都是关于风险计算的经典之作，适合不同层次和需求的读者。
读者可以根据自己的兴趣和需求选择适合自己的书籍进行阅读和学习。
风险理论
4理赔额和理赔次数的分布
4．1损失额分布
理赔额与损失额
常见的损失额分布
4.2理赔额分布
带有免赔额的理赔额分布
带有免赔额、保单限额和比例赔偿的理赔额分布
通货膨胀对理赔额分布的影响
4.3理赔次数的分布
单个保单的理赔次数分布：泊松分布；负二项分布；二项分布；泊松分布与负二项分布的关系；（a,b,0）分布类和（a,b,1）分布类
保单组合的理赔次数分布
相关性保单组合的理赔次数分布
免赔额对理赔次数的影响
5短期个体风险模型
5.1引言
5.2个体保单的理赔分布
5．3总理赔额的分布——卷积法
两项的卷积
多项卷积
5.4总理配额的分布——矩母函数法
5.5总理配额分布的正态近似
6短期聚合风险模型
6.1引言
6.2理赔总量模型
S的概率分布
S的均值、方差或高阶矩
6.3复合泊松模型
复合泊松模型的定义和基本性质
复合泊松模型的特殊性质
6.4聚合理赔量的近似模型
正态分布近似
平移伽马分布近似
6.5个体风险模型与复合泊松模型的关系
7破产模型
7.1盈余过程与破产概率
盈余过程
破产概率
7.2总理赔过程
理赔次数过程——泊松过程
理赔总量过程——复合泊松过程
7.3连续时间终极破产概率的计算
微分方程式与破产概率
最大总损失与破产概率
7.4破产概率与调节系数
调节系数的概念与性质
用调节系数表达破产概率7.5离散时间破产模型
7.6最优再保险与调节系数再保险附加费率与调节系数自留额与调节系数
7.7布朗运动与盈余过程
布朗运动与净现金流入过程盈余过程的破产概率。
现代精算风险理论 第3章 聚合风险模型
E[etX ] exp( et 1)
P(N
k)
r
k k
1 pr
(1
p)k
,
E[etX
]
1
p (1
p)et
r
E[ X
]
r (1 p
p)
,Var[ X
]
r (1 p2
p)
,
例 3.3. l（泊松分布，参数的不确定性） 设某个汽车驾驶员
3.1 引 言
本章我们要引入聚合风险模型.同第2章那样，我们要 计算在某个时间段内理赔总额的分布函数，但是现在 要把风险组合理解为在随机时间点上产生的理赔全体. 记
其中N 表示理赔次数， X i 表示第i个理赔额． 此外，按习惯约定当N = 0 时S = 0.
这样的模型称为聚合风险模型！
• 在聚合模型中我们要求理赔次数和理赔额之间 相互独立，即（N与X1， X2，… Xn）
例3.4.3（应用：稀疏向量算法） 如果理赔额X 是
非负整值随机变量，可以用一种有效的方式来计
算复合泊松分布F．
设
4
,
Pr X
1, 2,3
1,1,1. 424
S 1N1 2N2 3N3
采用卷积来计算S 的分布。
1
4
1 4
1, 2
4 1 2
2, 3
故S是一个复合泊松随机变量.
(1)m个独立复合泊松保单组合的总和仍然服从复合泊松 分布. (2)对同一个复合泊松保单观测m年且假设逐年的结果相 互独立，则m年结果的总和也仍然服从复合泊松分布．
当每一个Si 有非随机的理赔额xi 时，我们有Si xi Ni ，
AoAD与AAD混合免赔保单
每次事故免赔(AoAD)与年度累计免赔(AAD)混合免赔保单免赔方式（免赔额或者免赔率）的设定有多种方式，常见的有每次事故绝对免赔额、每次事故相对免赔额、每次事故递减免赔额和年度累计免赔额。
一般地，针对一张保单仅仅约定一种免赔方式，但是，也有例外，那就是美国的劳工补偿保险（Workers Compensation，WC），这种保单除了应用每次事故绝对免赔额（Any One Accident Deductible，AOAD）的概念外，同时使用年度累计免赔额（Annual Aggregate Deductible，AAD）。
同时使用AoAD和AAD，给这种保单的估价带来的一定的困难。
首先，我们来看一下这种保单的理赔过程。
设某企业购买了一张WC保单，保单没有最高责任限额，保单约定AoAD为20万元，约定ADD为80万元。
这种无限额的保单在美国很普遍，这主要是因为美国的WC法规定劳工补偿责任是无限额的，这种无限额的特性使得这种保单无法使用增长限额因子（ILF）表来估价，其超赔业务也是如此，无法依靠ILF来估价，而是依靠与此相类似的超额责任因子（ELF）表来估价。
如果该企业在保险期间内发生了6比赔案，企业向劳工的赔款金额如下：＃1，15万元＃2，20万元＃3，60万元＃4，40万元＃5，80万元＃6，70万元首先来考虑AoAD对赔案的影响。
保单在应用AoAD后，初步的保险赔款是：＃1，0＃2，0＃3，40万元＃4，20万元＃5，60万元＃6，50万元保单在先应用AoAD后在又应用AAD条款时，略微有点复杂。
我们先看看企业对这6比赔案的自留赔款：＃1，15万＃2，20万＃3，20万元＃4，20万元＃5，20万元＃6，20万元在应用完AoAD后企业总的自留赔款是以上6个数值相加，即115万元。
这时，由于保单设定的AAD是80万元，企业现在自留的总赔款为115万，高于AAD，因此保险公司在＃5赔案中应支付保险赔款75万元，而在＃6赔案中支付保险赔款70万元（全部损失）。
风险理论——精选推荐
第一章风险与风险决策理论第一节风险的含义一、风险的含义▪在不同的领域关于风险的定义不同。
▪在保险学中，风险通常被定义为“潜在损失的概率”或“不确定后果之间的差异程度”等等。
▪在投资分析中，由于损失与盈利总是相互关联的，风险常被分为纯粹风险和投资风险两种。
▪有人主张风险是客观存在的，因而应该被客观的度量，也有人强调风险是因人而异的主观概念。
▪对风险附加各种特殊的含义以适应其在不同领域中的应用，如社会风险、政治风险和自然风险等等。
▪等等▪风险是自然状态的不确定性（Uncertainty）与人的行为相结合而蕴含的某种后果；是相对于面临着某种不确定性状态的某个人或某些人而言的。
▪与风险直接有关的三要素：（1）自然状态的不确定性；（2）人的主观行为；（3）自然与人结合所蕴含的潜在后果。
▪最常见的三种情况：（1）从当事人或决策者的角度出发讨论潜在后果以及其所对应的不确定性，而且往往是关心不利的潜在后果；（通常的风险理论，我们主要讨论的内容）（2）从某个决策问题出发，讨论一个决策者面对某种风险的反应或态度，常称之为风险态度（Risk Attitude），或者比较一群人各自风险态度之间的差异；（度量和比较决策这个对风险的态度是风险研究的重要组成部分）（3）参照某个决策者的问题和目标来讨论每项备选方案的风险大小。
（投资分析和管理决策的核心内容）二、保险精算问题保险业务通常分成寿险和非寿险；寿险以被保险人的生命为标的，以生死为事故；非寿险是指除了寿险外的一切保险业务。
二者关系：虽然二者在本质上都是保险，但人寿保险的保修期相对较长，损失分布规律也相对比较稳定；而非寿险则多为短期保险，标的的损失情况也五花八门，损失情况较为复杂。
无论是人寿保险还是非寿险，在其经营和管理的过程中都需要在各个环节和各种层次上作一系列的管理决策，这就是保险公司内控系统中的核心问题，也称为精算问题：即如何制定合理的保费；如何提留适当的准备金；如何确定自留风险和安排再保险，等等。
商业银行零售资产业务的聚合信用风险模型
Ｍｅｒ ｓ 型瞳 、 Ｐ 模 型 ］ 多 风 险 因 素模 型Ｈ 等 ｔｃ模 ｉ 】Ｃ Ｖ 、 都侧重 于分析 产生 违 约 的原 因 ， 约被 视 为可 以预 违
测 的内生事件 ， 以 ， 类模 型统称 为 内生模 型 。与 所 此 此相对应 ， 外生 类模 型不 对 违 约产 生 的原 因做 任 何 假设 ， 不分析违 约 的 原 因 ， 在统 计 意 义 上 ， 务 人 是 债
第３ Ｏ卷 第 １ ８期 ５ ２０ ０ ９年 ３月
财 经 理 论 与 实践 （ 月刊 ） 双
ＴＨＥ ＴＨＥｏＲＹ ＡＮＤ ＰＲＡＣＴＩ ＮＡＮＣＥ ＣＥ ０Ｆ ＦＩ ＡＮＤ ＥＣＯＮ０Ｍ Ｉ （Ｓ
Ｖ０ ． ３ Ｎｏ １ ８ Ｉ Ｏ ． ５ Ｍａ ． ２ ０ ｒ ０ ９
公 司资产业 务 由于 企 业 问法 人 和 股东 的关 联 、 产业
收 是 Ｕ Ａ 的子 集 。 。
由假设 （ ） １ 和假 设 （ ）可知 ： ｒ ｎ 。 ）＝ （ ３ Ｐ （ Ａ： １
作者简介： 梁
凌 （ ９ ５ ） 男 ， 南 长 沙 人 ， 南 大 学 金 融 学 院博 士 研 究 生 ， 究 方 向 ： 融 管理 与金 融 工 程 。 １６ 一 ， 湖 湖 研 金
性 和零售 资产业 务 的海 量性 ， 据统 计 学 的外 生 模 依 型来描述 其信用 风 险 更 符 合其 业 务 特 点 ， 文 将证 本 明其违约 所遵循 的随 机 过程 ， 使 用 特 征 函数 来 描 并 述 信用风 险 。
二、 商业银 行零 售 资产 业 务的特 征
令 Ｗ ＝ ∑ Ｙ， 因为在整个时间间隔内发生
《风险理论》教学大纲
《风险理论》教学大纲英文名称：Risk Theory课程编号：91134059学分/总学时：3/54（其中课堂：36学时；课内实验：18学时）先修课程：高等数学、线性代数、概率统计等授课对象：应用统计学专业学生一、教学性质与目的：本课程是统计学专业（保险与精算方向）的专业课，是数学方法应用于金融保险所形成的一套理论体系，在金融保险领域发挥着越来越重要的作用。
通过本课程的学习，使学生掌握风险理论的基本概念、经典风险度量模型模，掌握构建模型常用的经验法和参数估计法，能够利用模拟技术方法来模拟模型，从而使学生初步掌握处理随机风险的基本思想方法，培养学生运用基本理论分析和解决问题的能力。
二、教学内容与要求：第一章风险理论基础（2学时）【基本内容】第一节风险与风险理论概述第二节随机变量1.2.1随机变量的概率分布1.2.2随机变量的数字特征第三节条件期望1.3.1条件分布与条件期望1.3.2条件期望的性质1.3.3条件方差第四节矩母函数1.4.1矩母函数的概念1.4.2矩母函数的性质1.4.3多元矩母函数及其性质【基本要求】1.了解风险和风险理论的含义，2. 熟悉随机变量的概率分布、随机变量的数字特征；条件分布与条件期望、条件期望的性质和条件方差；熟悉矩母函数的概念、矩母函数的性质、多元矩母函数及其性质。
【重点及难点】重点：条件期望和方差、常见分布的矩母函数难点：矩母函数【教学活动与教学方式】要求学生回顾概率论中关于条件分布的性质和常见的分布函数；本章主要以讲授和自学为主。
第二章个体保单的理赔额与理赔次数模型（6学时）【基本内容】第一节理赔额的分布2.1.1 保单限额2.1.2 免赔额2.1.3 保单限额+免赔额2.1.4 相对免赔额2.1.5 比例分担免赔第二节理赔次数的分布2.2.1（a，b，0）分布族2.2.2（a，b，1）分布族2.2.3 理赔次数分布的混合模型2.2.4 免赔额对理赔次数的影响【基本要求】1.理解损失与理赔额、免赔额、保单限额的概念；2.掌握常见的损失额分布以及不同赔偿方式下理赔额的分布；3.掌握单个保单理赔次数的分布以及(a，b，0)分布类和(a，b，1)分布类。