垂径定理的应用
垂径定理及其应用
垂径定理应用举例垂径定理是圆中最基本和最重要的定理之一，利用垂径定理，可以解决许多数学问题，如证明圆中线段相等，角相等，线段垂直，证明弧相等，也是后面学习圆的其他性质的重要依据，利用它可以综合运用勾股定理和三角函数，使解决问题的思路更宽。
在运用垂径定理的时候，必须掌握常见的辅助线的作法，那就是作过圆心的直线或直径、弦心距。
从而构造直角三角形来处理问题。
在垂径定理部分共涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h它们之间存在重要的关系式：r = h+d ; r2 = d2 + (a/2)2下面介绍一下垂径定理在解题中的应用。
1、应用公式r2 = d2 + (a/2)2 解决问题。
例1、已知：⊙O的半径为5 ，弦AB∥CD ，AB = 6 ，CD =8 .求：AB与CD间的距离.解：分两种情况：（1）当弦AB、CD在圆心O的两侧过点O作EF⊥AB于E，连结OA、OC，又∵AB∥CD，∴EF⊥CD．（注意：作辅助线是难点，学生往往作OE⊥AB，OF⊥AB，就得EF=OE+OF，错误的结论）由EF过圆心O，EF⊥AB，AB = 6，得AE=3，在Rt△OEA中，由勾股定理，得，∴同理可得：∴EF=OE+OF=4+3=7．（2）当弦AB、CD在圆心O的同侧同（1）的方法可得：OE=4，OF=3．∴．评析：①此题主要是渗透分类思想，培养学生的严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；②培养学生作辅助线的方法和能力．例2、已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC∥AB ，AB=24 ，OC = 15 .求：BC的长.解：过O作OE⊥AB于E ，则AE=BE=12，过B作BF⊥OC于F ，连结OB.在Rt△OEB中，由勾股定理，得OE=9。
由已知条件可得四边形OEBF是矩形，则BF=OE=9，OF=BE=12。
在Rt△FCB中，由勾股定理，得BC =评析：通过添加辅助线，构造直角三角形，并把已知与所求线段之间建立关系.2、在实际问题中的应用例1、在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后．截面如图所示，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．分析：要求油的最大深度，就是求有油的弓形的高，弓形的高是半径与圆心O到弦的距离差，从而不难看出它与半径和弦的一半可以构造直角三角形，然后垂径定理和勾股定理来解决．解：过O点作OC┷AB于E，交弧AB于D点，Rt△OBC中，由勾股定理可求OC=125，所以CD=OD-OC=200。
初中数学 垂径定理的应用有哪些
初中数学垂径定理的应用有哪些
垂径定理是初中数学中一个重要的定理，它有着广泛的应用。
下面我将介绍垂径定理的几个常见应用。
1. 判断垂直关系：
垂径定理可以用于判断两条线段或弦之间是否垂直。
当一条线段垂直于圆的直径，并且与直径的两个端点相交时，根据垂径定理，与这条线段所得的弦所连接的两个交点连线一定垂直于这条直径。
因此，我们可以通过观察线段和弦的几何关系，利用垂径定理判断它们是否垂直。
2. 求解问题：
垂径定理可以帮助我们求解与垂直关系相关的问题。
例如，已知一条线段垂直于圆的直径，并且与直径的两个端点相交，我们可以利用垂径定理得到与这条线段所得的弦垂直的弦。
这样，我们可以利用已知的线段和求得的弦，进一步解决几何问题，如计算长度、角度等。
3. 证明几何定理：
垂径定理也可以作为证明其他几何定理的基础。
例如，当我们需要证明某个弦与圆的直径垂直时，可以先证明这条弦与圆的直径的一个端点连线是垂直的，然后应用垂径定理得出结论。
垂径定理的应用可以简化证明过程，使证明更加简洁和直观。
4. 解决实际问题：
垂径定理的应用不仅局限于理论推导，还可以帮助我们解决实际问题。
例如，在建筑设计中，我们需要确定某个角度的垂线位置，可以利用垂径定理判断垂线与圆的直径的关系。
在地理测量中，我们需要确定某个位置的垂直高度，也可以运用垂径定理来计算。
以上是垂径定理的几个常见应用。
垂径定理通过垂直关系的判断和问题的求解，帮助我们理解和应用几何知识，解决实际问题。
希望以上内容能够满足你对垂径定理应用的了解。
第24章圆-第九讲圆的垂径定理及运用(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆的垂径定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这个定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
最后，我认识到，教学不仅仅是传授知识，更重要的是引导学生学会思考、学会学习。在今后的教学中，我将更加关注学生的个体差异，尽量满足不同学生的学习需求，帮助他们建立自信，培养解决问题的能力。
五、教学反思
在上完这节课之后，我思考了很多。首先，关于圆的垂径定理的教学，我发现学生们对于定理的理解和掌握程度超出了我的预期。他们能够通过直观的图形和简单的例子，快速抓住定理的核心。特别是在实践活动中，学生们通过分组讨论和实验操作，将理论知识与实际应也注意到，在定理的证明部分，有一部分学生还是感到有些困惑。我意识到，几何证明对于他们来说是一个难点，需要更多的引导和练习。在接下来的教学中，我打算多花一些时间，通过逐步引导和反复练习，帮助学生克服这个难题。
-举例：在圆中，若AB为弦，O为圆心，OD垂直于AB，则OD平分AB，并且AD=BD，同时弧AC和弧BC相等。
2.教学难点
-理解并证明垂径定理：学生需要理解定理背后的几何逻辑，并能够通过作图和逻辑推理来证明定理的正确性。
-定理在实际问题中的灵活应用：学生在面对具体问题时，可能会难以找到合适的入手点，不知道如何将定理应用到解题过程中。
针对这些教学难点和重点，教师应采用以下策略：
-使用直观的动画或实物模型来展示垂径定理的证明过程，帮助学生理解。
-通过典型例题的讲解，展示定理在实际问题中的应用方法，并指导学生进行步骤分解。
人教版初中数学垂径定理知识点总结
人教版初中数学垂径定理知识点总结一、垂径定理的定义垂径定理是关于直径和过该直径的直线（或圆）交于圆内两点之间的线段长度和关系的重要定理。
如果一个直径和一条过该直径的直线交于圆内两点，那么这条直径平分过这两点的线段，并且这条直径垂直于过这两点的直线。
二、垂径定理的表述1.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
2.垂直于弦的直径平分弦（不是直径），并且平分弦所对的两条弧。
3.垂直于弦的直径平分过弦的两条直线，并且平分弦所对的两条弧。
三、垂径定理的应用垂径定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与圆和直径相关的问题时。
例如，可以利用垂径定理来证明圆的性质，如圆的对称性、圆的周长和面积等。
此外，垂径定理还可以用于解决与圆和直线相关的问题，如求圆的半径、确定圆的中心等。
四、垂径定理的推论1.从圆心到弦的垂线是弦的中垂线。
2.圆内一条弦的两端到圆心的距离相等。
3.圆内一条过圆心的弦最短，其长度为圆的直径。
4.圆内一条不过圆心的弦最短，其长度等于从圆心到弦中点的线段长。
五、垂径定理的证明垂径定理可以通过以下两种方法证明：1.直接证明法：通过作图和推理，直接证明垂径定理。
这种方法比较直观和简洁，但需要一定的几何知识和推理能力。
2.代数法：利用圆的性质和代数运算，证明垂径定理。
这种方法比较抽象，但具有普适性，可以用于证明其他类似的定理。
六、注意事项1.在使用垂径定理时，要注意区分直径和其他弦的区别，避免混淆。
2.在作图时，要确保所作的线段是垂直于弦的直径，否则将无法使用垂径定理。
3.在解决实际问题时，要根据具体情况选择合适的方法来应用垂径定理。
七、垂径定理的应用场景1.确定圆的形状和大小：垂径定理可以用于确定圆的形状和大小。
例如，通过测量圆的直径或半径，可以确定圆的大小；通过观察垂径定理的各种表现，可以判断圆的状态和形状。
2.计算圆的周长和面积：垂径定理可以用于计算圆的周长和面积。
例如，通过已知的直径或半径，可以计算出圆的周长和面积。
垂径定理的应用
CDABOE C ADOOABM 垂径定理的应用一、圆是轴对称（有无数条对称轴，过圆心的任一条直线都是对称轴）；又是中心对称，对称中心是圆心. 二、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.符号语言：∵CD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，且CD ⊥AB ，垂足为E ，∴ AE ＝BE,推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.∵CD 为⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦（不是直径），且AE ＝BE.弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE ） 考点分析：垂径定理及推论的应用，证明. 典型例题分析类型1. 垂径定理及推论概念1．下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2. 如图1-2，如果AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的是……（ ）A ．DE CE =B ．C ．BAD BAC ∠=∠D ．AD AC >3. 如图1－3在⊙O 中，弦CD 垂直平分半径OA ，且CD ＝6cm ， 则半径OA 的长为………（ ）A. cm 34B. cm 54C. cm 32D. cm 8图1－2 图1－3 图1－4 图2－14. 如图1－4，⊙O 的直径CD 与弦AB 交于点M ，添加条件：_____________（写出一个即可），就可得到M 是AB 的中点.类型2. 垂径定理的运用在垂径定理的运用中，通常的是要利用定理构建直角三角形，利用勾股定理进行运算.5.过⊙O 内一点M 的最长的弦长为cm 10，最短的弦长为cm 8，那么⊙O 的半径等于___cm ，OM 的长为___cm类型2. 垂径定理分类讨论1. 如图2－1，⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ） A. 5OM 3≤≤ B. 5OM 4≤≤ C. 5OM 3<< D. 5OM 4<<2.已知：AB 、CD 为⊙O 的两条弦，且AB ∥CD ，⊙O 的半径为5cm ，AB =8cm ，CD =6cm ，求AB 、CD 之间的距离.3. 已知：△ABC 内接于⊙O ，AB =AC ，半径OB =5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．类型3. 利用垂径定理求线段长度，角度ACBDABD C E.O1.如图3－1，在圆O中，直径AB垂直于弦CD，并且交CD于E，直径MN交CD于F，且OEFDFO2==，求COD∠.2.如图3－2，AB为⊙O的直径，且AB⊥弦CD于E，CD＝16，AE＝4，求OE的长.图3－23.如图3－3，在ABCRt∆中，∠C=900，AC=5cm，BC=12cm，以C为圆心、AC为半径的圆交斜边于D，求AD的长.图3－34.如图3－4，已知：AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝300，求CD的长.5. 如图3－5，O 是两个同心圆的圆心，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 两点，OE ⊥CD 于E ，若AB =2CD =4OE 求：大圆半径R 与小圆半径r 之比.类型4. 垂径定理相关证明1.如图4－1，BF ，CE 是⊙O 的直径，．求证：OCM OBN ∠=∠．图4－12．如图4－2，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D.求证：.21BF AD =图4－23．已知：如图4－3，⊙O 的弦AB ，CD 相交于点P ，PO 是APC ∠的平分线，点M ,N 分别是，的中点，MN 分别交AB ，CD 于点E ，F ．求证：PO MN ⊥．图4－3类型5. 垂径定理的综合应用 1. 一水平放置的圆柱型水管的横截面如图5－1所示，如果水管横截面的半径是13cm ，水面宽24=AB cm ，则水管中水深是_______cm. 图5－1 2. 如图5－2，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为2.7米，拱顶高出水面4.2米，现有一艘宽3米，船仓顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里．问货船能否顺利通过这座拱桥？图5－2 3. 如图5－3，在某养殖场A 处发现高致病性禽流感，为防止禽流感蔓延，政府规定离疫点3千米范围内为捕杀区；离疫点3至5千米范围内为免疫区.现有一条笔直的公路EB 通疫区，若在捕杀区内CD ＝4千米，问这条公路在改免疫区内多少千米？图5－3【拓展提升】1. 如图6－1，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥ 于F .（1）求证：OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦图6－12.如图6－2，AB 是⊙O 的直径,P 是AB 上一动点，C 、D 是⊙O 的两点，有∠CPB ＝∠DPB.求证：PC ＝PD.COABE F D3. 已知：如图6－3，A,是半圆O 上的两点，CD 是⊙O 的直径，∠AOD ＝800，B 是中点.（1）在CD 上求作一点P ，使得AP+PB 最短；（2）若CD ＝4cm ，求AP+PB 的最小值.图6－34. 如图6－4，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F .求证： CE ＝DF ；OE ＝OF.图6－4 变式1. 如图6－5，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点M ，CD AE ⊥，CD BF ⊥，垂足分别是E ，F ．(1)求证：DF CE =．(2)若26=AB ，24=CD ，求BF AE -的值．图6－52：如果弦CD 是动弦，与直径AB 不相交，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，此时是否有： CE ＝DF ；OE ＝OF.如果有请证明，如果不成立，请说明.。
怎样利用垂径定理
怎样利用垂径定理垂径定理是一个被广泛应用于几何学的定理，它指出，任何一条垂线到直线的距离，都等于该直线到它的垂足的距离。
也就是说，任意一条垂线都将其垂足与它与直线相交的点连接起来，而且两个距离也将会相等。
垂径定理在几何图形中是非常有用的。
它能够帮助我们更加准确地分析各种形状。
例如，用垂径定理，我们可以得出三角形的两个棱边长度之和和斜边长度的平方和之间的关系。
通过利用垂径定理，我们可以计算出三角形的斜边长度，从而得出整个三角形的形状大小。
此外，垂径定理还可以用来求解锐角三角形中各边的长度。
根据垂线定理，设有一个锐角三角形，它的一条边长为a，另一条边长为b，两个角分别为α和β，那么a^2 + b^2 = c^2，其中c为斜边的长度。
根据此公式，我们可以得出三角形的三边长度之和以及斜边的长度。
垂径定理还可以用来求解圆的半径，即它的斜线长度。
垂线定理指出，若a为圆的圆心至圆上一点的距离，b为圆的圆心至该点的垂足的距离，那么a^2 + b^2 = r^2，其中r为所求的圆的半径。
也就是说，通过求解圆心至圆上一点的距离以及圆心至圆上一点的垂足的距离，就可以得出所求圆的半径。
另外，垂径定理也可以应用在构造正方形，正方形中若有一条边，它的其他三条边也可以通过垂径定理求出。
比如说，设有一个正方形，它的一条边长为a，它的垂足距离其相交点的距离为b，那么a^2 + b^2= c^2，该公式描述的就是垂径定理。
通过这个公式，我们就可以求出其他三条边的长度。
以上就是垂径定理的应用了。
垂径定理的优点在于，它可以用来很方便地分析各种几何图形的形状和尺寸，这一点是非常实用的。
它还可以用来求解圆或正方形等形状中各边长度之间的关系。
因此，垂径定理是几何学中一个非常有用的定理。
垂径定理课件
性质：垂线与平行线互相垂直，即当两条直线相交时，其中一条为垂线时，另一条即为平行线。
垂心和比例点的概念
垂心：三角形内的垂线交点称为垂心，是三角形内心的一种特殊情况。 比例点：三角形内的垂线与对边的交点称为比例点，可以在相似三角形中使用。
如何求垂直线的长度
方法：根据垂径定理，可以使用勾股定理或相似三角形的比例关系求解垂直 线的长度。
垂径定理课件PPT
欢迎来到本次垂径定理课件PPT！今天我们将介绍垂径定理的定义、特点、 应用以及与其他几何知识的关系。让我们开始探索这个有趣且实用的几何原 理吧！
垂径定理的定义
垂径定理：在一个平面内，通过三角形的一个内角的三垂线的交点共线。 示意图：（图片示意图）
直角三角形的特点
直角三角形：一个角为90度的三角形，特点是拥有一个直角和两个锐角。 性质：勾股定理成立，垂径定理可用于求解各边的长度。
垂径定理的应用
应用举例：垂径定理可用于解决三角形面积、边长、角度等问题，也可以在多边形的证明和相似三角形 的研究中应用。
证明垂径定理的方法
一种证明方法：通过构造垂线、平行线和相似三角形，可以从不同角度证明垂径定理的正确性。
如何画垂径
步骤：确定要画垂线的三角形，找到该三角形的某个角，通过该角的顶点作垂线，使其与对边垂直相交。 图片示意：（图片示意图）
垂径定理的应用课件
垂线、垂足与垂径
垂线是指从一个点到一条直线的垂直线段。垂足是指垂线与直线的交点。 垂径是指从直角三角形的顶点到斜边上的垂线。垂径具有许多有趣的定义和 性质，我们将在本节中深入研究。
垂径定理的基本应用
垂径定理可以帮助我们求解直角三角形中的未知量，例如找到三角形的边长或角度。 此外，垂径定理还可以帮助我们判断一个三角形是否为直角三角形。
垂径定理的应用
本课程将介绍垂径定理及其应用。通过深入探讨这个定理，您将能够解决各 种三角形相关问题，并了解该定理在实际生活中的应用。
什么是垂径定理
垂径定理是指在一个直角三角形中，垂足到斜边上的垂线与斜边构成的垂径 的乘积等于斜边两边上的垂径分别与其对边的乘积。 在垂径定理中，我们还将探讨不同类型的直角三角形以及它们的特征。
垂径定理的进阶应用
通过应用垂径定理证明定理，我们将能够深入理解几何问题的本质，并且能 够解决更复杂的几何问题。
我们还将探索如何利用垂径定理解决各种几何问题，包括找到缺失的边长或 角度。
垂径定理Байду номын сангаас见误区
在学习垂径定理时，有些概念容易混淆，我们将澄清这些概念，帮助您更好 地理解垂径定理。 此外，我们将介绍一些常见的错误解答以及它们产生的原因。
垂径定理的实际应用
垂径定理不仅在数学中有重要意义，还在实际生活中有广泛的应用。 我们将探讨垂径定理在建筑设计和机械制造等领域中的实际应用。
结语
垂径定理是几何学中一个重要且实用的定理，它能够帮助我们解决各种与直角三角形相关的问题。 通过学习垂径定理，您将能够感受到这个定理带来的不同几何世界。
垂径定理的应用课件
若一条直线过圆心且垂直于给定 直径，则该直线被直径分为两段 ，其中一段长度是另一段长度的 两倍。
定理的证明
证明方法一
利用圆的性质和勾股定理进行证 明。
证明方法二
利用相似三角形的性质进行证明。
证明方法三
利用三角形的中线性质进行证明。
定理的重要性
01
在几何学中，垂径定理是基础且 重要的定理之一，广泛应用于解 决与圆和直线相关的问题。
在椭圆中的应用
总结词：推广应用
详细描述：在椭圆中，垂径定理也有其应用。我们可以利用垂径定理找到椭圆的中心和长轴、短轴。这对于解决与椭圆相关 的几何问题非常有帮助，如求面积、周长等。
在其他图形中的应用
总结词：拓展应用
详细描述：除了圆和椭圆，垂径定理还可以应用于其他一些图形中。例如，在抛物线、双曲线等中， 垂径定理可以帮助我们找到与图形中心相关的信息，从而解决一些复杂的几何问题。此外，在一些更 复杂的组合图形中，垂径定理也可以发挥重要作用。
案例三：机械制造中的垂径定理应用
总结词
机械零件的精确性与垂径定理
详细描述
在机械制造中，垂径定理被广泛应用于确定机械零件 的位置和尺寸，以确保机械零件的精确性和稳定性。 通过应用垂径定理，可以计算出零件的最佳位置和尺 寸，从而提高机械设备的效率和精度。
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详细描述
在解决与圆相关的几何问题时，垂径定理与 三角函数经常一起使用。垂径定理可以确定 直径与弦的关系，而三角函数则可以用于计 算角度和弧长等几何量。通过结合这两个知 识点，可以方便地计算出圆上任意两点之间 的角度、弧长等几何量。
与解析几何的结合应用
总结词
解析几何提供了一种用代数方法研究几何的 方法，垂径定理与解析几何的结合，使得几 何问题可以通过代数方法求解。
人教版九年级数学上册24.-垂径定理的应用(用)1课件(共39张)
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根
AD 据由1垂题A径设B定得 理1A,BD7是.2A7.B2的3,C.6中D, 点,2C.是4, HANB的中12点M,CND就1.是5.拱高.
2
2
OD OC DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 , 即R2 3.62 (R 2.4)2.
中点，EF过圆心O，CDAB为什么？
C F D 分析： CD AB
.O
CFE= BEF
A
E
B CFE=90
BEF=90
OFCD
OE AB
OF过圆心
OE过圆心
点F是CD中点 点E是AB中点
2. 在我们生活中处处存在数学问题，比如：
某村在村口建一个如图形状的门楼，半圆拱 的圆心距地面２米，半径１.５米。现有一辆 高２.９米，宽２.５米的集装箱卡车，问能通 过这个门楼吗？要解决这个问题，必须运用 圆的有关知识，
你是第一 个告知同 学们解题 方法和结 果的吗？
随堂练习P92 4
赵州石拱桥
驶向胜利 的彼岸
解：如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 AB 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是AB 的中点，CD就是拱高.
由题设 AB 37.4,CD 7.2,
圆的线段问题转化
O
为直角三角形问题
变式1：如上图，若以O为圆心再画一 个圆交弦AB于C，D，则AC与BD间可 能存在什么关系?
A C E DB O
（1）
AC
DB
O
（2）
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（3）平分弦；
（4）平分优弧；
知二得三
A
O E B D
（5）平分劣弧； *平行弦所夹的弧相等
1、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，
OC AB
C
于D，AB = 8cm ，OD = 3cm. 求⊙O 的半径OA. ( 5cm )
2、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦， OC交 AB 于D 且D为AB 的中点，AB = 8cm ，OA = 5cm. 求CD. ( 2cm ) 3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为 ⌒ AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ， CD = 2cm. 求 ⊙O的半径OA .
1 ED = CE = CD A 2 在Rt OED中，依题意知：
2 2
C
E O
D
B
OD＝ 米，OE＝2.5 - 2＝2.5米 1.3 ED ＝ （ ）（0.5）＝7.2米 1.3 CD＝2ED ＝2.4米 2.3米 这辆卡车能通过通道。
1、初步懂得用数学模型把实际问题转变成一个数学问题来解决. 2、熟练地运用垂径定理及其推论、勾股定理，并用方程的思想 来解决问题. 3、对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形 高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另 外两个量，如图有：
A D O
B
C
3、解：设OA= x cm ,则OD=（x-2)cm, A C为 AB中点，且OC过圆心 OC AB 1 1 AD＝BD＝ AB＝ ×8＝4 cm
D O
B
2
2
在 RtAOD 中 OA 2 = OD 2 + AD 2 x 2 = ( x - 2) 2 + 4 2 2 = x 2 - 4 x + 16 x x = 5 cm
跨 度3 7 . 4 m
解：如图，用 AB 表示桥拱，AB 所在圆的圆心为O，半径为R米， 经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根
AB
据垂径定理，D是AB的中点，C是
由题设
AB
的中点，CD就是拱高.
37.4
C
AB = 37.4, CD = 7.2, 1 1 AD = AB = 37.4 = 18.7, 2 2 OD = OC - DC = R - 7.2.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
7.2
A
D
B
R
OA2 = AD2 + OD 2 , 即R 2 = 18.7 2 + ( R - 7.2) 2 .
解得 R≈27.9（米）. 答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9米.
O
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所 示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. （200mm）
⊙O的半径 OA为5 cm
4、如图，在弓形ACB中，AB＝16cm，弓形的高CD 为4cm，求弓形所在的圆的半径。
解：设弓形的圆心为O，则O在CD的延长线上 连结OA，设OA= x cm
C
2
OA 在 RtAOD 中， 2 = OD 2 + AD 2
∴ x = ( x - 4) + 8
2 2
A
D
B
x 2 = x 2 - 8 x + 16 + 64
∴ x = 10 (cm) ∴ 弓形所在的圆的半径为10cm O
小结：对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、 弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求 出另外两个量，如图有：
⑴d+h=r
⑵
a 2 r = d +( ) 2
2 2
A
O · D C
B
例3 1300多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）的桥拱 是圆弧形，它的跨度（弧所对是弦的长）为 37.4 米，拱高（弧 的中点到弦的距离，也叫弓形高）为7.2米，求桥拱的半径（精 确到0.1米）.
赵 州 桥
赵州桥的历史 赵州桥位于石家庄东南约40多公里的赵县境内，当地俗称为大 石桥。该桥建于隋代大业元年至十一年（605~616），是工匠李 春设计建造的，距今已有1400年，是中国现存最著名的一座古 代石拱桥。 赵州桥以历史悠久而闻名于世，被誉为“华北四宝之一”。 在桥两端的石拱上，辟有两个券洞，这种结构叫“敞肩拱”， 是世界桥梁中的首创。
⑴d + h = r
⑵
a 2 2 2 r = d +( ) 2
A
O · D C
B
1.课本：P69 15、16
2.课堂5分钟练习：垂径定理（3）
赵州桥的主要特点： 1、全长64.4米，全桥只有一个大拱，像一张弓；跨度为 37.4 米， 拱高为7.2米;
2、大拱的两肩上各有两个小拱，增加过水量，减轻桥身重量；
3、拼成大拱的二十八道拱圈都能独立支撑重量； 4、全桥形式优美，结构坚固，历史悠久，雕刻古朴美观，。
拱顶
拱 7 . 2m 高 拱 脚水 平 线
A
O ø650 ┌ E
D
600
B
如图，某城市住宅社区，在相邻两楼之间修建一个上面是半 圆，下面是矩形的仿古通道，其中半圆拱的圆心距地面2米， 半径为1.3米，现有一辆高2.5米，宽2.3米的送家具的卡车，问 这辆卡车能否通过通道，请说明理由。
解：如图，用半圆O表示通道上面的 半圆，AB为直径，弦CD平行AB， 过O作于E，连结OD，据垂径定理 知：