垂径定理应用的练习题
垂径定理练习题汇总
一.选择题（共7小题） 1. （2014?凉山州）已知。
O 的直径CD=10cm , AB 是。
O 的弦，AB=8cm ,且AB ± CD ,垂足为M,则AC 的长为( )A - 2V5cm B- 4V5cmC- 2V 5cm j2. (2014?舟山)如图，O O 的直径CD 垂直弦AB 于点E,且CE=2 ,C D或4市cm D . 卬3cm 或4«cmDE=8,贝U AB 的长为（）3. （2014?毕节地区）如图，已知。
O 的半径为13,弦AB 长为24,则点O 到AB 的距离是（O B. 5 C. 4 D. 3AB 是。
O 的直径，弦 CDXAB 于点E,则下列结论正确的是（A . OE=BE B. '：= l'C. △ BOC 是等边三角形D. 四边形ODBC 是菱形5. （2014?南宁）在直径为200cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图.若油面的宽 大深度为（ AB=160cm ,则油的最A B160 - 200 O A . 40cm B. 60cm C. 80cm D. 100cm6. （2014?安顺）如图，MN 是半径为1的。
O 的直径，点 A 在OO ±, / AMN=30。
，点B 为劣弧 AN 的中点.P 是直径MN 上一动点，则 PA+PB 的最小值为（7. (2014?沛县模拟)如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，O A 与x 轴交于B (2, 0)、C (8,与y 轴相切于点D,则点A 的坐标是()A. (5, 4)B. (4, 5) C, (5, 3) D, (3, 5)二.解答题(共7小题)8. (2014?佛山)如图，O 。
的直径为10cm,弦AB=8cm , P 是弦AB 上的一个动点，求 OP 的长度范围.9. (2014?盘锦三模)如图， CD 为。
的直径，CDXAB ,垂足为点F, AO ± BC ,垂足为E, BC =2泥,C. 2D. 2m两点,10. (2009?长宁区二模)如图，点 F.(1)求证：OC=OF; (2)求证：AB=DE .C 在O O 的弦AB 上，COXAO,延长 CO 交。
垂径定理的应用
垂径定理一．选择题（共10小题）1．如图所示，在半径为10cm的⊙O中，弦AB＝16cm，OC⊥AB于点C，则OC等于（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm2．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，AB＝8，则⊙O的半径为（）A．2 B．5 C．6 D．83．如图，⊙O的半径为5，OC垂直弦AB于点C，OC＝3，则弦AB的长为（）A．4 B．5 C．6 D．84．如图，在⊙O中，半径为5，弦AB＝6，点C在AB上移动，连接OC，则OC的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1cm，CD＝6cm，则AE为（）cm．A．4 B．9 C．5 D．86．如图，⊙O的直径AB＝20，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为E，且BE：AE＝1：4，则CD的长为（）A．10 B．12 C．16 D．187．一根水平放置的圆柱形输水管横截面如图所示，其中有水部分水面宽8米，最深处水深2米，则此输水管道的半径是（）A．8米B．6米C．5米D．4米8．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（）cm．A．6 B．C．D．9．如图，OA是⊙O的半径，B为OA上一点（且不与点O、A重合），过点B作OA的垂线交⊙O于点C．以OB、BC为边作矩形OBCD，连结BD．若BD＝10，BC＝8，则AB的长为（）A．8 B．6 C．4 D．210．如图，⊙O的半径OA＝10cm，弦AB＝16cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm二．填空题（共3小题）11．如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥OB于点E，交⊙O于点D，已知OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝cm．12．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为．13．如图，⊙O的弦AB＝8，半径ON交AB于点M，M是AB的中点，且OM＝3，则MN的长为．三．解答题（共2小题）14．如图，⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，求AB和CD间的距离．15．如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝60°，求弦CD的长．1．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，配方后所得的方程是（）A．（x﹣2）2＝3B．（x+2）2＝3C．（x﹣2）2＝﹣3D．（x+2）2＝﹣32．方程x2﹣2x+3＝0根的情况（）A．有两个不相等的实数根B．有一个实数根C．无实数根D．有两个相等的实数根3．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1＝y2C．y1＞y2＞y3D．y1＝y2＞y34．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝bx+a的图象可能是（）A．B．C．D．5．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③ax2+bx+c ＝0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0，其中正确的命题是（）A．①②③B．①③C．①④D．①③④6．函数y＝（m+2）x|m|+1是关于x的二次函数，则m＝．7．已知x＝﹣1是一元二次方程x2+2x+n＝0的一个根，则n的值为．8．某人感染了某种病毒，经过两轮传染共感染了121人．设该病毒一人平均每轮传染x人，则关于x的方程为．9．将抛物线y＝x2﹣2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是．10．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．11．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点，若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为．三．解答题（共1小题）12．因疫情防控需要，消毒用品需求量增加．某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y （桶）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝销售价﹣进价）。
部编数学九年级上册专题24.2垂径定理的应用(重点题专项讲练)(人教版)(解析版)含答案
专题24.2 垂径定理的应用【典例1】如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．（1）求拱桥的半径；（2）有一艘宽为5m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3.4m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥，并说明理由．（1）根据垂径定理和勾股定理求解；（2）连接ON，OB，根据勾股定理即可得到结论．解：（1）如图，连接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝12m，∴BD=12AB＝6m．又∵CD＝4m，设OB＝OC＝ON＝r，则OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+62，解得r＝6.5．∴拱桥的半径为6.5m．（2）∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3.4m，∴CE＝4﹣3.4＝0.6（m），∴OE＝r﹣CE＝6.5﹣0.6＝5.9（m），在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝6.52﹣5.92＝7.44，∴EN m）．∴MN＝2EN＝2×≈5.4m＞5m．∴此货船能顺利通过这座拱桥．1．（2022•南海区校级一模）如图，武汉晴川桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根为（ ）A．50m B．45m C．40m D．60m【思路点拨】设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交AB于D，连接OA，先由垂径定理得AC＝BC=12AB＝150，再由勾股定理求出OC＝200，然后求出CD的长即可．【解题过程】解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交AB于D，连接OA，如图所示：则OA＝OD＝250，AC＝BC=12AB＝150，∴OC=200，∴CD＝OD﹣OC＝250﹣200＝50（m），即这些钢索中最长的一根为50m ，故选：A ．2．（2022•旌阳区二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O 为圆心的圆，如图2，已知圆心O 在水面上方，且⊙O 被水面截得弦AB 长为4米，⊙O 半径长为3米．若点C 为运行轨道的最低点，则点C 到弦AB 所在直线的距离是（ ）A ．1米B ．2米C ．米D ．(3+米【思路点拨】连接OC ，OC 交AB 于D ，由垂径定理得AD ＝BD =12AB ＝2（米），再由勾股定理得OD 后求出CD 的长即可．【解题过程】解：连接OC ，OC 交AB 于D ，由题意得：OA ＝OC ＝3米，OC ⊥AB ，∴AD ＝BD =12AB ＝2（米），∠ADO ＝90°，∴OD ==∴CD＝OC﹣OD＝（3即点C到弦AB所在直线的距离是（3故选：C．3．（2022•宣州区二模）如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，则该拱门的半径为（ ）A．53m B．2m C．83m D．3m【思路点拨】取圆心为O，连接OA，由垂径定理设⊙O的半径为rm，则OC＝OA＝rm，由拱高CD＝3m，OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，由垂径定理得出AD＝1m，由勾股定理得出方程r2＝12+（3﹣r）2，解得：r=53，得出该拱门的半径为53m，即可得出答案．【解题过程】解：如图，取圆心为O，连接OA，设⊙O的半径为rm，则OC＝OA＝rm，∵拱高CD＝3m，∴OD＝（3﹣r）m，OD⊥AB，∵AB＝2m，∴AD＝BD=12AB＝1m，∵OA2＝AD2+OD2，∴r2＝12+（3﹣r）2，解得：r=5 3，∴该拱门的半径为53 m，故选：A．4．（2021秋•海淀区校级期中）数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小的解决方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，连接AB，再作出AB的垂直平分线，交AB于点C，交AB于点D，测出AB，CD的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出AB＝40cm，CD＝10cm，则轮子的半径为（ ）A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm【思路点拨】由垂径定理，可得出BC的长；连接OB，在Rt△OBC中，可用半径OB表示出OC的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．【解题过程】解：设圆心为O，连接OB．Rt△OBC中，BC=12AB＝20cm，根据勾股定理得：OC2+BC2＝OB2，即：（OB﹣10）2+202＝OB2，解得：OB＝25；故轮子的半径为25cm．故选：C．5．（2021秋•曾都区期中）在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米．截面如图，油面宽AB 为6分米，如果再注入一些油后，当油面宽变为8分米，油面AB上升（ ）A．1分米B．4分米C．3分米D．1分米或7分米【思路点拨】实质是求两条平行弦之间的距离．根据勾股定理求弦心距，作和或差分别求解．【解题过程】解：连接OA．作OG⊥AB于G，则在直角△OAG中，AG＝3分米，因为OA＝5cm，根据勾股定理得到：OG＝4分米，即弦AB的弦心距是4分米，同理当油面宽AB为8分米时，弦心距是3分米，当油面没超过圆心O时，油上升了1分米；当油面超过圆心O时，油上升了7分米．因而油上升了1分米或7分米．故选：D．6．（2021秋•宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝6cm，则球的半径为（ ）A．3cm B．134cm C．154cm D．174cm【思路点拨】设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，由垂径定理得：NF＝EN=12EF＝3（cm），设OF＝xcm，则OM＝（4﹣x）cm，再在Rt△MOF中由勾股定理求得OF的长即可．【解题过程】解：设球的平面投影圆心为O，过点O作ON⊥AD于点N，延长NO交BC于点M，连接OF，如图所示：则NF＝EN=12EF＝3（cm），∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDNM是矩形，∴MN＝CD＝6cm，设OF＝xcm，则OM＝OF，∴ON＝MN﹣OM＝（6﹣x）cm，在Rt△ONF中，由勾股定理得：ON2+NF2＝OF2，即：（6﹣x）2+32＝x2，解得：x=15 4，即球的半径长是154cm，故选：C．7．（2022•鄂州）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（ ）A ．10cmB ．15cmC ．20cmD ．24cm【思路点拨】连接OE ，交AB 于点F ，连接OA ，∵AC ⊥CD 、BD ⊥CD ，由矩形的判断方法得出四边形ACDB 是矩形，得出AB ∥CD ，AB ＝CD ＝16cm ，由切线的性质得出OE ⊥CD ，得出OE ⊥AB ，得出四边形EFBD 是矩形，AF =12AB =12×16＝8（cm ），进而得出EF ＝BD ＝4cm ，设⊙O 的半径为rcm ，则OA ＝rcm ，OF ＝OE ﹣EF ＝（r ﹣4）cm ，由勾股定理得出方程r 2＝82+（r ﹣4）2，解方程即可求出半径，继而求出这种铁球的直径．【解题过程】解：如图，连接OE ，交AB 于点F ，连接OA ，∵AC ⊥CD 、BD ⊥CD ，∴AC ∥BD ，∵AC ＝BD ＝4cm ，∴四边形ACDB 是平行四边形，∴四边形ACDB 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ＝16cm ，∵CD 切⊙O 于点E ，∴OE ⊥CD ，∴OE ⊥AB ，∴四边形EFBD 是矩形，AF =12AB =12×16＝8（cm ），∴EF ＝BD ＝4cm ，设⊙O 的半径为rcm ，则OA ＝rcm ，OF ＝OE ﹣EF ＝（r ﹣4）cm ，在Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2，∴r2＝82+（r﹣4）2，解得：r＝10，∴这种铁球的直径为20cm，故选：C．8．（2022•上海）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，则这个花坛的面积为 400π .（结果保留π）【思路点拨】根据垂径定理，勾股定理求出OB2，再根据圆面积的计算方法进行计算即可．【解题过程】解：如图，连接OB，过点O作OD⊥AB于D，∵OD⊥AB，OD过圆心，AB是弦，∴AD＝BD=12AB=12（AC+BC）=12×（11+21）＝16，∴CD＝BC﹣BD＝21﹣16＝5，在Rt△COD中，OD2＝OC2﹣CD2＝132﹣52＝144，在Rt△BOD中，OB2＝OD2+BD2＝144+256＝400，∴S⊙O＝π×OB2＝400π，故答案为：400π．9．（2021秋•溧水区期末）在一个残缺的圆形工件上量得弦BC＝8cm，BC的中点D到弦BC的距离DE＝2cm，则这个圆形工件的半径是 5 cm．【思路点拨】由垂径定理的推论得圆心在直线DE上，设圆心为0，连接OB，半径为R，再由垂径定理得BE＝CE=12 BC＝4（cm），然后由勾股定理得出方程，解方程即可．【解题过程】解：∵DE⊥BC，DE平分弧BC，∴圆心在直线DE上，设圆心为O，半径为Rcm，如图，连接OB，则OD⊥BC，OE＝R﹣DE＝（R﹣2）cm，∴BE＝CE=12BC＝4（cm），在Rt△OEB中，OB2＝BE2+OE2，即R2＝42+（R﹣2）2，解得：R＝5，即这个圆形工件的半径是5cm，故答案为：5．10．（2022•柯桥区一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为 26 寸．【思路点拨】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC ＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB 的长．【解题过程】解：连接OC，∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝10寸，∴CE＝DE=12CD＝5寸，设OC＝OA＝x寸，则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2，即（x﹣1）2+52＝x2，解得x＝13，∴AB＝26寸，即直径AB的长为26寸，故答案为：26．11．（2021秋•瑞安市期末）某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为O，隧道的水平宽AB为24m，AB离地面的高度AE＝10 m，拱顶最高处C离地面的高度CD为18m，在拱顶的M，N处安装照明灯，且M，N离地面的高度相等都等于17m，则MN＝ 10 m．【思路点拨】根据题意和垂径定理得到CG＝8m，AG＝12m，CH＝1m，根据勾股定理求得半径，进而利用勾股定理求得MH，即可求得MN．【解题过程】解：设CD于AB交于G，与MN交于H，∵CD＝18m，AE＝10m，AB＝24m，HD＝17m，∴CG＝8m，AG＝12m，CH＝1m，设圆拱的半径为r，在Rt△AOG中，OA2＝OG2+AG2，∴r2＝（r﹣8）2+122，解得r＝13，∴OC＝13m，∴OH＝13﹣1＝12m，在Rt△MOH中，OM2＝OH2+MH2，∴132＝122+MH2，解得MH2＝25，∴MH＝5m，∴MN＝10m，故答案为10．12．（2022•荆州）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为 7.5 cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．【思路点拨】设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为rcm，由垂径定理得AM＝DM=12AD＝6（cm）然后在Rt△OAM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解题过程】解：如图，设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，设球的半径为rcm，由题意得：AD＝12cm，OM＝32﹣20﹣r＝（12﹣r）（cm），由垂径定理得：AM＝DM=12AD＝6（cm），在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM2+OM2＝OA2，即62+（12﹣r）2＝r2，解得：r＝7.5，即球的半径为7.5cm，故答案为：7.5．13．（2021秋•温州校级月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示．已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为 26 米．【思路点拨】过O作ON⊥AB于N，过D作DM⊥ON于M，由垂径定理得AN＝BN=12AB＝10（米），再证四边形DCNM是矩形，则MN＝CD＝14米，DM＝CN＝BC+BN＝24（米），设该圆的半径长为r米，然后由题意列出方程组，解方程组即可．【解题过程】解：过O作ON⊥AB于N，过D作DM⊥ON于M，如图所示：则AN＝BN=12AB＝10（米），∠ONC＝∠DMN＝90°，∵DC⊥AB，∴∠DCN＝90°，∴四边形DCNM是矩形，∴MN＝CD＝14米，DM＝CN＝BC+BN＝24（米），设该圆的半径长为r米，由题意得：ON2=r2−102 OM2=r2−242 OM=ON−14，解得：r=26ON=24 OM=10，即该圆的半径长为26米，故答案为：26．14．（2021秋•金安区校级期末）往直径为680mm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面宽AB＝600mm，求油的最大深度．【思路点拨】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD 的长，进而可得出CD的长．【解题过程】解：过点O作OC⊥AB于点D，交弧AB于点C．∵OC⊥AB于点D∴BD=12AB=12×600＝300mm，∵⊙O的直径为680mm∴OB＝340mm…（5分）∵在Rt△ODB中，OD=160（mm），∴DC＝OC﹣OD＝340﹣160＝180（mm）；答：油的最大深度为180mm．15．（2021秋•惠城区校级期中）如图，⊙O为水管横截面，水面宽AB＝24cm，水的最大深度为18cm，求⊙O的半径．【思路点拨】由垂径定理可知AD＝12cm，设⊙O的半径为rcm，则OD＝（18﹣r）cm，在Rt△AOd中，再利用勾股定理即可求出r的值．【解题过程】解：作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，∴AD=12AB=12×24＝12cm，设⊙O的半径为rcm，则OD＝ED﹣OE＝（18﹣r）cm，在Rt△AOD中，由勾股定理得：OA2＝OD2+AD2，即r2＝（18﹣r）2+122，解得：r＝13，即⊙O的半径为13cm.16．（2021秋•奈曼旗期中）如图所示，测得AB是8mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，求这个圆的直径．【思路点拨】过O作OC⊥AB于C，交优弧AB于D，连接AO，由垂径定理得AC＝BC=12AB＝4（mm），设⊙O的半径为rmm，则OC＝CD﹣OD＝（8﹣r）mm，然后在Rt△AOC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解题过程】解：如图，过O作OC⊥AB于C，交优弧AB于D，连接AO，则AC＝BC=12AB＝4（mm），CD＝8mm，设⊙O的半径为rmm，则OC＝CD﹣OD＝（8﹣r）mm，在Rt△AOC中，由勾股定理得：42+（8﹣r）2＝r2，解得：r＝5，即⊙O的半径为5mm，∴⊙O的直径为10mm．17．（2021秋•阜阳月考）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED＝1寸），锯道长1尺（AB＝1尺＝10寸）．问这块圆形木材的直径（AC）是多少？”如图所示，请根据所学的知识解答上述问题．【思路点拨】设⊙O的半径为x寸．在Rt△ADO中，AD＝5寸，OD＝（x﹣1）寸，OA＝x寸，则有x2＝（x﹣1）2+52，解方程即可．【解题过程】解：设⊙O的半径为x寸，∵OE⊥AB，AB＝10寸，∴AD＝BD=12AB＝5寸，在Rt△AOD中，OA＝x，OD＝x﹣1，由勾股定理得x2＝（x﹣1）2+52，解得x＝13，∴⊙O的直径AC＝2x＝26（寸），答：这块圆形木材的直径（AC）是26寸．18．（2021秋•高新区期中）某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）请你补全这个输水管道的圆形截面图；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝32cm，水最深处的地方高度为8cm，求这个圆形截面的半径．【思路点拨】（1）根据尺规作图的步骤和方法做出图即可；（2）先过圆心O作半径OD⊥AB，交AB于点D，设半径为r，得出AD、OD的长，在Rt△AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径．【解题过程】解：（1）如图所示；（2）作OD⊥AB于D，并延长交⊙O于C，则D为AB的中点，∵AB＝32cm，∴AD=12AB＝16．设这个圆形截面的半径为xcm，又∵CD＝8cm，∴OC＝x﹣8，在Rt△OAD中，∵OD2+AD2＝OA2，即（x﹣8）2+162＝x2，解得，x＝20．∴圆形截面的半径为20cm．19．（2021秋•黔西南州期末）如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．【思路点拨】由垂径定理可知AM＝BM、A′N＝B′N，利用AB＝60，PM＝18，可先求得圆弧所在圆的半径，再计算当PN ＝4时A′B′的长度，与30米进行比较大小即可．【解题过程】解：设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米，则OA＝OA′＝OP，由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，∵AB＝60米，∴AM＝30米，且OM＝OP﹣PM＝（x﹣18）米，在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2＝OM2+AM2，即x2＝（x﹣18）2+302，解得x＝34，∴ON＝OP﹣PN＝34﹣4＝30（米），在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N=16（米），∴A′B′＝32米＞30米，∴不需要采取紧急措施．20．（2021秋•余干县期中）如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．【思路点拨】（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC至O点，设⊙O的半径为R，利用勾股定理求出即可；（2）利用垂径定理以及勾股定理得出HF的长，再求出EF的长即可．【解题过程】解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，则BC=12AB＝1.6（米），设⊙O的半径为R，在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，∴R2＝（R﹣0.8）2+1.62，解得R＝2，即该圆弧所在圆的半径为2米；（2）过O作OH⊥FE于H，则OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2=65（米），OF＝2米，在Rt△OHF中，HF== 1.6（米），∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），即支撑杆EF的高度为0.4米．21．如图①，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，彰显出中国元素的韵味．图②是一款拱门的示意图，其中C为AB中点，D为拱门最高点，线段CD经过圆心，已知拱门的半径为1.5m，拱门最下端AB＝1.8m．（1）求拱门最高点D到地面的距离；（2）现需要给房间内搬进一个长和宽为2m，高为1.2m的桌子，已知搬桌子的两名工人在搬运时所抬高度相同，且高度为0.5m 2.236）【思路点拨】（1）如图②中，连接AO．利用勾股定理求出OC即可；（2）如图②﹣1，弦EF＝2m，且EF⊥CD，连接OE．求出CJ即可．【解题过程】解：（1）如图②中，连接AO．∵CD⊥AB，CD经过圆心O，∴AC＝CB＝0.9m，∴OC= 1.2（m），∴CD＝OD+PC＝1.5+1.2＝2.7（m），∴拱门最高点D到地面的距离为2.7m；（2）如图②﹣1，弦EF＝2m，且EF⊥CD，连接OE．∵CD⊥EF，CD经过圆心，∴EJ＝JF＝1m，≈1.118，∴OJ=2∴CJ＝1.2﹣1.118＝0.082（m），∵0.5＞0.082，∴搬运该桌子时能够通过拱门．22．（2021秋•姑苏区校级月考）诗句“君到姑苏见，人家尽枕河”所描绘的就是有东方威尼斯之称的水城苏州．小勇要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m．（1）请你帮助小勇求此圆弧形拱桥的半径；（2）小勇在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？说说你的理由．【思路点拨】（1）根据垂径定理和勾股定理求解；（2）连接ON，利用勾股定理求出EN，得出MN的长，即可得到结论．【解题过程】解：（1）如图，连接OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝16m，∴BD=12AB＝8（m），又∵CD＝4m，设OB＝OC＝r，则OD＝（r﹣4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+82，解得r＝10．答：此圆弧形拱桥的半径为10m．（2）此货船不能顺利通过这座拱桥，理由如下：连接ON，∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3m，∴CE＝4﹣3＝1（m），∴OE＝r﹣CE＝10﹣1＝9（m），在Rt△OEN中，由勾股定理得：EN∴MN＝2EN＝＜12m．∴此货船B不能顺利通过这座拱桥．。
垂径定理及其应用(必考)
证明略
或
3.（人教九上P81图24改编）如图， 是 的直径，弦 ，垂足为点 ，连接 ， .
第3题图
（1）若 <m></m> ，则 <m></m> _____ <m></m> ， <m></m> ____ <m></m> ；
（2）若 <m></m> ，则 <m></m> ___ <m></m> ；
（3）若 <m></m> ， <m></m> ，则 <m></m> ___, <m></m> ___， <m></m> _ _；
（4）若 <m></m> ， <m></m> ,则 <m></m> ____.
4.如图，已知 是 的直径，弦 于点 ，与弦 交于点 ， ， ， ，求证： .
第六章 圆
命题点2 垂径定理及其应用（必考）
2023年安徽数学
2022版课标要求探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
1.定理：垂直于弦的直径______弦，并且______这条弦所对的两条弧.
平分
平分
注：垂径定理使用时必须具备两个条件：一是直径；二是垂直，二者缺一不可.
（5） 是 的直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即知二推三.
4. 应用：过圆心作弦的垂线，连接圆心和弦的一个端点（即半径），构造直角三角形，运用勾股定理或锐角三角函数进行相关计算.例：如上图，设 为 , （弦心距）为 , 为 ,由 得 ,从而在 中,满足 ,利用勾股定理可以对半径、弦、弦心距“知二求一”.
圆垂径定理综合应用六十道经典题(答案解析)
（1）这条公路上的车辆形成的噪音是否会对学校造成影响？
（2）若车辆形成的噪音会对学校造成影响，为消除噪音，计划在公路边修筑一段消音墙，请你计算消音墙的长度.（只考虑声音的直线传播）
37．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC、BC，若∠BAC＝30º，CD＝6cm．
（1）求∠BCD的度数；
（2）求⊙O的直径．
38．如图，AC为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，BE⊥CD于点E， ＝ ．
（1）求证：BE的⊙O切线．Fra bibliotek（2）若AD＝4，EC＝1，求BD的长．
39．如图，A，B，C是⊙O上的点，其中 ，过点B画BD⊥OC于点D．
C．若△BCD是等腰三角形，则△ACD也是等腰三角形
D．若PB=4PA，则CD=PB
3．如图，在 中， ， 为互相垂直且相等的两条弦， ， ，垂足分别为 ， ，若 ，则 的半径是（）
A． B． C． D．
4．如图， 的直径为10，弦 ， 是 上一个动点，则 的最小值为（）
A．2B．3C．4D．5
5．如图是一个圆弧形门拱，拱高 ，跨度 ，那么这个门拱的半径为（）
A． B． C． D．
11．平面直角坐标系中，在以（2，1）为圆心，5为半径的圆上的点的坐标是（）
A．（4，7）B．（－1，－2）C．（5，4）D．（2，－4）
12．如图，⊙O的半径OA＝8，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B，C点，则BC＝（ ）
A． B． C． D．
13．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，AC＝4，则OD的长为（ ）
圆的垂径定理练习题
圆的垂径定理练习题圆的垂径定理是几何学中的重要定理之一，它给出了圆上的垂径之间的关系。
在这篇文章中，我们将通过一些练习题来加深对这个定理的理解和应用。
练习题一：给定一个半径为5的圆，其中一条垂径的长度为12。
求另一条垂径的长度。
解析：根据圆的垂径定理，垂径的乘积等于半径的平方。
设另一条垂径的长度为x，则有12 * x = 5 * 5。
解这个方程可以得到x的值，进而求出另一条垂径的长度。
练习题二：在一个半径为8的圆中，一条垂径的长度为15。
求另一条垂径的长度。
解析：同样地，根据圆的垂径定理，垂径的乘积等于半径的平方。
设另一条垂径的长度为y，则有15 * y = 8 * 8。
解这个方程可以得到y的值，进而求出另一条垂径的长度。
练习题三：在一个半径为10的圆中，一条垂径的长度为24。
求另一条垂径的长度。
解析：同样地，根据圆的垂径定理，垂径的乘积等于半径的平方。
设另一条垂径的长度为z，则有24 * z = 10 * 10。
解这个方程可以得到z的值，进而求出另一条垂径的长度。
通过以上三个练习题，我们可以看到圆的垂径定理的应用。
它告诉我们，对于一个圆来说，任意两条垂径的乘积都等于半径的平方。
这个定理在解决一些几何问题中非常有用。
除了上述练习题，我们还可以通过一些实际问题来应用圆的垂径定理。
例如，假设有一个圆形花坛，我们想在花坛中心种一棵树。
为了确保树能够均匀地分布在花坛中，我们可以利用垂径定理来确定每棵树之间的最佳位置。
另一个实际应用的例子是在建筑设计中。
如果我们想在一个圆形庭院中建造一个喷泉，我们可以利用垂径定理来确定喷泉的位置，以确保水能够均匀地喷射到庭院的各个角落。
综上所述，圆的垂径定理是一个重要的几何定理，它给出了圆上的垂径之间的关系。
通过练习题和实际应用，我们可以更好地理解和应用这个定理。
无论是解决几何问题还是在实际生活中应用，垂径定理都发挥着重要的作用。
圆中垂径定理综合应用(3大类题型)(含解析)
圆中垂径定理综合应用(3大类题型)重难点题型归纳【题型1直接运用勾股定理求线段】【题型2勾股定理与方程综合求线段】【题型3垂径定理在实际中应用】满分必练【题型1直接运用勾股定理求线段】1(2023•大连模拟)如图所示，在⊙O中，直径AB=10，弦DE⊥AB于点C，连接DO．若OC：OB =3：5，则DE的长为()A.3B.4C.6D.82(2023•杭州模拟)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE= ( )cm．A.8B.5C.3D.23(2023•宜昌)如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD=CD=8，OD=6，则BD的长为()A.5B.4C.3D.24(2023•金寨县校级模拟)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，AB=10，则AE 的长为()A.1B.2C.3D.45(2023•亳州三模)如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点H．若AB=10，CD=8，则BH的长为()A.5B.4C.3D.26(2023•容县一模)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，CD=8cm，AB=10cm，则AE=．7(2023•衡南县三模)在⊙O中，直径AB=4，弦CD⊥AB于P，OP=3，则弦CD的长为．8(2023•东台市校级模拟)如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，若OA=5，AB= 8，则线段CD的长为=．9(2023•望城区模拟)如图，AB是⊙O的直径，且AB=10cm，弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，连接OC，则BE=cm．10(2023•长沙县二模)如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，点C是AB的中点，连接OC，则OC的长为．【题型2勾股定理与方程综合求线段】11(2023•邯郸模拟)如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB=16，CM=16．则MD 的长为()A.4B.6C.8D.1012(2022秋•南开区校级期末)如图，在⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB=8，CD=2，则EC的长度为()A.215B.8C.210D.21313(2022秋•文登区期末)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE=CD=8，则⊙O的半径为()D.5A.3B.4C.9214(2022秋•西湖区校级期末)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若BE=10，CD= 8，则⊙O的半径为()A.3B.4.2C.5.8D.615(2022秋•泰山区校级期末)一块圆形宣传标志牌简图如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．现测得AB=16dm，DC=4dm，则圆形标志牌的半径为()A.6dmB.5dmC.10dmD.3dm16(2022秋•任城区校级期末)如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=2寸，AB=16寸，直径CD的长是()A.28寸B.30寸C.36寸D.34寸17(2023•汉阳区校级一模)如图，CD为⊙O直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=6，则CD长为()A.10B.9C.8D.518(2023•汇川区三模)在半径为r的圆中，弦BC垂直平分OA，若BC=6，则r的值是()A.3B.33C.23D.23219(2023春•仪征市期末)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CE=3，BE=1，则OC=．20(2023•大冶市一模)如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD=1，AB=4，则⊙O的半径是 52 ．【题型3垂径定理在实际中应用】21(2022秋•海淀区校级月考)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是弧AB的圆心，C为弧AB上一点，OC⊥AB，垂足为D．已知AB=60m，CD=10m，求这段弯路的半径．22(2022秋•郾城区期中)如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽AB 为0.6米，污水的最大深度为0.1米．(1)求此下水管横截面的半径；(2)随着污水量的增加，水位又被抬升0.7米，求此时水面的宽度增加了多少？23(2022秋•沭阳县期中)如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB=3.2米，拱高CD=0.8米(C为AB的中点，D为弧AB的中点)．(1)求该圆弧所在圆的半径；(2)在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．24如图，有一拱桥是圆弧形，它的跨度(所对弦长)为60m，拱高18m，当水面涨至其跨度只有30m时，就要采取紧急措施．某次洪水来到时，拱顶离水面只有4m，问是否需要采取紧急措施？25如图，残缺轮片上弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，已知AB=24cm，CD=8cm．(1)找出此残缺轮片所在圆的圆心(写出找到圆心的方法)；(2)求此圆的半径．26某地有一座圆弧形拱桥，所在圆的圆心为点O，桥下水面宽度AB为7.2m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD=2.4m(如图)．现有一艘宽3m、船舱顶部高出水面AB2m的货船要经过这座拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？27我国古算书《九章算术》中有“圆材埋壁”一题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径(直径)几何？”(注：如图，⊙O表示圆材截面，CE是⊙O的直径，AB表示“锯道”，CD表示“锯深”，1尺=10寸，求圆材的直径长就是求CE的长．)28如图，半圆拱桥的圆心为O，圆的半径为5m，一只8m宽的船装载一集装箱，箱顶宽6m，离水面AB高3.8m，这条船能过桥洞吗？请说明理由．29(2022秋•沭阳县校级月考)如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD=5：24(1)求CD的长；(2)现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？30(2022秋•东台市期中)如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m．请求出路面CD的宽度．(精确到0.1m)圆中垂径定理综合应用(3大类题型)重难点题型归纳【题型1直接运用勾股定理求线段】【题型2勾股定理与方程综合求线段】【题型3垂径定理在实际中应用】满分必练【题型1直接运用勾股定理求线段】1(2023•大连模拟)如图所示，在⊙O中，直径AB=10，弦DE⊥AB于点C，连接DO．若OC：OB =3：5，则DE的长为()A.3B.4C.6D.8【答案】D【解答】解：∵AB=10，∴OA=OB=5，∵OC：OB=3：5，∴OC=3，在Rt△OCD中，CD=OD2-OC2=52-32=4，∵DE⊥AB，∴DE=2CD=8，故选：D．2(2023•杭州模拟)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE= ( )cm．A.8B.5C.3D.2【答案】A【解答】解：∵AB⊥CD，AB是直径，∴CE=ED=4cm，在Rt△OEC中，OE=OC2-EC2=52-42=3(cm)，∴AE=OA+OE=5+3=8(cm)，故选：A．3(2023•宜昌)如图，OA ，OB ，OC 都是⊙O 的半径，AC ，OB 交于点D ．若AD =CD =8，OD =6，则BD 的长为()A.5B.4C.3D.2【答案】B 【解答】解：∵AD =CD =8，∴OB ⊥AC ，在Rt △AOD 中，OA =AD 2+OD 2=82+62=10，∴OB =10，∴BD =10-6=4．故选：B ．4(2023•金寨县校级模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若CD =6，AB =10，则AE 的长为()A.1B.2C.3D.4【答案】A 【解答】解：连接OC ，∵直径AB ⊥CD ，∴EC =12CD =12×6=3，∵AB =10，∴OC =OA =5，∴OE =OC 2-CE 2=4，∴AE =OA -OE =1．故选：A ．5(2023•亳州三模)如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点H．若AB=10，CD=8，则BH的长为()A.5B.4C.3D.2【答案】D【解答】解：连接OC，∵AB⊥CD，CD=8，∴CH=DH=12CD=4，∠OHC=90°，∵AB=10，∴OB=OC=5，∴OH=OC2-CH2=52-42=3，∴BH=OB-OH=2，故选：D．6(2023•容县一模)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，CD=8cm，AB=10cm，则AE=2cm．【答案】2cm．【解答】解：由题意可知，AB垂直平分CD，OC=OA=12AB=5cm，∴CE=12CD=4cm，在Rt△CEO中，OE=OC2-CE2=52-42=3(cm)，∴AE=OA-OE=2cm．故答案为：2cm．7(2023•衡南县三模)在⊙O中，直径AB=4，弦CD⊥AB于P，OP=3，则弦CD的长为2．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OC，∵在⊙O中，直径AB=4，AB=2，∴OA=OC=12∴弦CD⊥AB于P，OP=3，∴CP=OC2-OP2=1，∴CD=2CP=2．故答案为：2．8(2023•东台市校级模拟)如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，若OA=5，AB= 8，则线段CD的长为=2．【答案】2．【解答】解：∵OC⊥AB，AB=4，∴AD=BD=12在Rt△OAD中，OD=OA2-OD2=52-42=3，∴CD=OC-OD=5-3=2．故答案为：2．9(2023•望城区模拟)如图，AB是⊙O的直径，且AB=10cm，弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，连接OC，则BE=2cm．【答案】2．【解答】解：∵弦CD ⊥AB ，CD =8cm ，∴CE =12CD =4cm ，在Rt △OEC 中，OC =12AB =5cm ，∴OE =OC 2-CE 2=3cm ，∴BE =OB -OE =2(cm )，故答案为：2．10(2023•长沙县二模)如图，⊙O 的半径为5，弦AB =8，点C 是AB 的中点，连接OC ，则OC 的长为3．【答案】3．【解答】解：∵B 是AC 的中点，∴AC =12AB =4，OC ⊥AB ，在Rt △OAC 中，OC =OA 2-AC 2=52-42=3．故答案为：3．【题型2勾股定理与方程综合求线段】11(2023•邯郸模拟)如图，以CD 为直径的⊙O 中，弦AB ⊥CD 于M ．AB =16，CM =16．则MD 的长为()A.4B.6C.8D.10【答案】A【解答】解：连接OA ，如图，设⊙O 的半径为r ，则OA =r ，OM =16-r ，∵AB ⊥CD ，∴AM =BM =12AB =8，在Rt △AOM 中，82+(16-r )2=r 2，解得r =10，∴MD =CD -CM =20-16=4．故选：A ．12(2022秋•南开区校级期末)如图，在⊙O 中，半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接EC ，若AB =8，CD =2，则EC 的长度为()A.215B.8C.210D.213【答案】D【解答】解：如图，连接BE ，设⊙O 的半径为R ，∵OD ⊥AB ，∴AC =BC =12AB =12×8=4，在Rt △AOC 中，OA =r ，OC =r -CD =r -2，由勾股定理，得OC 2+AC 2=OA 2，∴42+(r -2)2=r 2，解得r =5，∴OC =5-2=3，∵O 是AE 的中点，C 是AB 的中点，∴OC 是三角形ABE 的中位线，∴BE =2OC =6，∵AE 为⊙O 的直径，∴∠ABE =90°，在Rt △BCE 中，CE =BC 2+BE 2=213．故选：D ．13(2022秋•文登区期末)如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若AE =CD =8，则⊙O 的半径为()A.3B.4C.9D.52【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE=CD=8，CD=4，∴CE=DE=12设OC=r，则OE=8-r，在Rt△OCE中，OE2+CE2=OC2，即(8-r)2+42=r2，解得r=5．故选：D．14(2022秋•西湖区校级期末)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若BE=10，CD= 8，则⊙O的半径为()A.3B.4.2C.5.8D.6【答案】C【解答】解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OE=10-R，∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD=8，∴∠OEC=90°，CE=DE=4，由勾股定理得：OC2=CE2+OE2，R2=42+(10-R)2，解得：R=5.8，即⊙O的半径长是5.8，故选：C．15(2022秋•泰山区校级期末)一块圆形宣传标志牌简图如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．现测得AB=16dm，DC=4dm，则圆形标志牌的半径为()A.6dmB.5dmC.10dmD.3dm【答案】C【解答】解：连接OA，OD，∵点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D，AB=16dm，DC=4dm，∴AD=8dm，设圆形标志牌的半径为r，可得：r2=82+(r-4)2，解得：r=10，故选：C．16(2022秋•任城区校级期末)如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=2寸，AB=16寸，直径CD的长是()A.28寸B.30寸C.36寸D.34寸【答案】D【解答】解：如图，连接OA，∵CD⊥AB，CD过圆心O，AB=16寸，∴∠AEO=90°，AE=BE=8寸，设圆的半径是r寸，在直角△OAE中，OA=r寸，OE=(r-2)寸，由勾股定理得：OA2=OE2+AE2，r2=(r-2)2+82，解得：r=17．则CD=2×17=34(寸)．故选：D．17(2023•汉阳区校级一模)如图，CD为⊙O直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=6，则CD长为()A.10B.9C.8D.5【答案】A【解答】解：设⊙O的半径为R，则OE=R-1，∵AB⊥CD，AB=6，∴AE=BE=3，∠AEO=90°，在Rt△AEO中，由勾股定理得：AO2=AE2+OE2，R2=(R-1)2+32，解得：R=5，即CD =10，故选：A ．18(2023•汇川区三模)在半径为r 的圆中，弦BC 垂直平分OA ，若BC =6，则r 的值是()A.3B.33C.23D.232【答案】C 【解答】解：设OA 交BC 于点D ，如图，∵BC 垂直平分OA ，∴OD =12r ，BD =CD =12BC =3，在Rt △OBD 中，(12r )2+32=r 2，解得r 1=23，r 2=-23(舍去)，即r 的值为23．故选：C ．19(2023春•仪征市期末)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，CE =3，BE =1，则OC =2．【答案】2．【解答】解：设OC =x ，则OE =x -1，在Rt △COE 中由勾股定理得，OC 2=CE 2+OE 2，即x 2=(3)2+(x -1)2，解得x =2，即OC =2，故答案为：2．20(2023•大冶市一模)如图，AB 是⊙O 的弦，C 是AB 的中点，连接OC 并延长交⊙O 于点D ．若CD =1，AB =4，则⊙O 的半径是 52 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OA ，∵C 是AB 的中点，∴AC =12AB =2，OC ⊥AB ，∴OA 2=OC 2+AC 2，即OA 2=(OA -1)2+22，解得，OA =52，故答案为：52．【题型3垂径定理在实际中应用】21(2022秋•海淀区校级月考)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB ，点O 是弧AB 的圆心，C 为弧AB 上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ．已知AB =60m ，CD =10m ，求这段弯路的半径．【答案】这段弯路的半径为50m ．【解答】解：连接OB ，∵OC ⊥AB ，∴AD =BD =12AB =30m ，设半径为r ，则OD =r -10，在Rt △OBD 中，OD 2+BD 2=OB 2，即(r -10)2+302=r 2，解得r =50m ，答：这段弯路的半径为50m ．22(2022秋•郾城区期中)如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽AB 为0.6米，污水的最大深度为0.1米．(1)求此下水管横截面的半径；(2)随着污水量的增加，水位又被抬升0.7米，求此时水面的宽度增加了多少？【答案】(1)下水管半径为0.5米；(2)水位又被抬升0.7米，水面的宽度增加了0.2米．【解答】解：(1)作半径OD ⊥AB 于C ，连接OB ，则CD =0.1米，由垂径定理得：BC =12AB =0.3米，在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2+BC 2，∴OB 2=(OB -0.1)2+0.09，∴BO =0.5，即下水管半径为0.5米；(2)如图，过点O 作OH ⊥MN 于H ，∴NH =MH ，∵水位又被抬升0.7米，∴OH =0.1+0.7-0.5=0.3米，∴NH =ON 2-OH 2=0.25-0.09=0.4米，∴MN =0.8米，∴增加了0.2米，∴水位又被抬升0.7米，水面的宽度增加了0.2米．23(2022秋•沭阳县期中)如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB =3.2米，拱高CD =0.8米(C 为AB 的中点，D 为弧AB 的中点)．(1)求该圆弧所在圆的半径；(2)在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF ，求支撑杆EF 的高度．【答案】0.4米．【解答】解：(1)设弧AB 所在的圆心为O ，D 为弧AB 的中点，CD ⊥AB 于C ，延长DC 经过O 点，则BC =12AB =1.6(米)，设⊙O 的半径为R ，在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2+CB 2，∴R 2=(R -0.8)2+1.62，解得R =2，即该圆弧所在圆的半径为2米；(2)过O 作OH ⊥FE 于H ，则OH =CE =1.6-0.4=1.2=65(米)，OF =2米，在Rt △OHF 中，HF =OF 2-OH 2=22-652=1.6(米)，∵HE =OC =OD -CD =2-0.8=1.2(米)，∴EF =HF -HE =1.6-1.2=0.4(米)，即支撑杆EF 的高度为0.4米．24如图，有一拱桥是圆弧形，它的跨度(所对弦长)为60m ，拱高18m ，当水面涨至其跨度只有30m 时，就要采取紧急措施．某次洪水来到时，拱顶离水面只有4m ，问是否需要采取紧急措施？【答案】不需要．【解答】解：∵AB =60米，MP =18米，OP ⊥AB ，∴AM =12AB =30(米)，OM =OP -MP =(x -18)米，在Rt △OAM 中，由勾股定理得OA 2=AM 2+OM 2，∴x 2=302+(x -18)2，∴x =34(米)．当PN =4时，∵PN =4，OP =x ，∴ON =34-4=30(米)，设A ′N =y 米，在Rt △OA ′N 中，∵OA ′=34，A ′N =y ，ON =30，∴342=y 2+302，∴y =16或y =-16(舍去)，∴A ′N =16，∴A ′B ′=16×2=32(米)>30米，∴不需要采取紧急措施．25如图，残缺轮片上弦AB 的垂直平分线交弧AB 于点C ，交弦AB 于点D ，已知AB =24cm ，CD =8cm ．(1)找出此残缺轮片所在圆的圆心(写出找到圆心的方法)；(2)求此圆的半径．【答案】(1)圆的圆心如图所示；(2)13．【解答】解：(1)连接AC，作线段AC的垂直平分线交直线CD为O，则点O为此残缺轮片所在圆的圆心；(2)连接OA，设此圆的半径为rcm，则OD=(r-8)cm，∵CD是弦AB的垂直平分线，AB=24cm，∴AD=12cm，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=(r-8)2+122，解得：r=13．26某地有一座圆弧形拱桥，所在圆的圆心为点O，桥下水面宽度AB为7.2m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD=2.4m(如图)．现有一艘宽3m、船舱顶部高出水面AB2m的货船要经过这座拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？【答案】此货船能顺利通过这座拱桥．【解答】解：如图，连接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB=7.2m，AB=3.6m．∴BD=12又∵CD=2.4m，设OB=OC=ON=rm，则OD=(r-2.4)m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2=(r-2.4)2+3.62，解得r=3.9．∵CD=2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面AB2m，∴CE=2.4-2=0.4m，∴OE=r-CE=3.9-0.4=3.5m，在Rt△OEN中，EN2=ON2-OE2=3.92-3.52=2.96(m2)，∴EN= 2.96(m)．∴MN=2EN=2× 2.96≈3.44m>3m．∴此货船能顺利通过这座拱桥．27我国古算书《九章算术》中有“圆材埋壁”一题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径(直径)几何？”(注：如图，⊙O 表示圆材截面，CE 是⊙O 的直径，AB 表示“锯道”，CD 表示“锯深”，1尺=10寸，求圆材的直径长就是求CE 的长．)【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OA ，如图所示：∵AB ⊥CE ，∴AD =BD ，∵AB =10，∴AD =5，在Rt △AOE 中，∵OA 2=OD 2+AD 2，∴OA 2=(OA -1)2+52，解得：OA =13，∴CD =2A 0=26；即直径为26寸．28如图，半圆拱桥的圆心为O ，圆的半径为5m ，一只8m 宽的船装载一集装箱，箱顶宽6m ，离水面AB 高3.8m ，这条船能过桥洞吗？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，过点O 作OF ⊥DE 于点F ，则EF =DF =12DE ，假设DE =6m ，则DF =3m ，∵圆的半径为5m ，∴OD =5m ，∴OF =OD 2-DF 2=52-32=4>3.8，∴这条船能过桥洞．29(2022秋•沭阳县校级月考)如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且AB =26m ，OE ⊥CD 于点E ．水位正常时测得OE ：CD =5：24(1)求CD 的长；(2)现汛期来临，水面要以每小时4m 的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？【答案】见试题解答内容【解答】解：(1)∵直径AB=26m，∴OD=12AB=12×26=13m，∵OE⊥CD，∴DE=12CD，∵OE：CD=5：24，∴OE：ED=5：12，∴设OE=5x，ED=12x，∴在Rt△ODE中(5x)2+(12x)2=132，解得x=1，∴CD=2DE=2×12×1=24m；(2)由(1)得OE=1×5=5m，延长OE交圆O于点F，∴EF=OF-OE=13-5=8m，∴84=2(小时)，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．30(2022秋•东台市期中)如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m．请求出路面CD的宽度．(精确到0.1m)【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接OC，AB交CD于E，由题意知：AB=1.6+6.4+4=12，所以OC=OB=6，OE=OB-BE=6-4=2，由题意可知：AB⊥CD，∵AB过O，∴CD=2CE，在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE=OC2-OE3=62-22=42，∴CD=2CE=82≈11.3m，所以路面CD的宽度为11.3m．。
2022年中考数学复习：垂径定理的实际应用训练题
2022年中考数学复习:垂径定理的实际应用训练题一、单选题1．如图，O 的半径为2，弦AB =O 到弦AB 的距离为（ ）A ．1 BC D ．2 2．如图，O 的半径OB 长为8，OC AB ⊥于点D ，30BAC ∠=︒，则AB 的长为（ ）A ．B ．12C ．D ．3．在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O 半径为5cm ，油面宽AB 为6cm ，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm ，则油面AB 上升了（ ）cmA ．1B ．3C ．3或4D ．1或7 4．如图，MN 所在的直线垂直平分线段AB ，利用这样的工具，最少使用（ ）次，就可以找到圆形工件的圆心．A ．1B ．2C ．3D ．45．如图，石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为（）A．5米B．8米C．7米D．6．如图，在半径为3的O中，B是劣弧AC的中点，连接AB并延长到D.使BD AB=，连接AC、BC、CD，如果2AB=，那么CD等于（）A．2B．1C．23D．437．《九章算术》是一本中国乃至东方世界最伟大的一本综合性数学著作，标志着中国古代数学形成了完整的体系.“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”朱老师根据原文题意，画出了圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道1PQ=尺（1尺=10寸），则该圆材的直径长为（）A．26寸B．25寸C．13寸D．1012寸8．如图是一个圆弧形门拱，拱高1m=AB，跨度4mCD=，那么这个门拱的半径为（）A．2m B．2.5m C．3m D．5m9．如图，AB是O的弦，OC AB⊥交O于点C，点D是O上一点，30ADC∠=︒，则BOC∠的度数为（）．A．30°B．40°C．50°D．60°10．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”（单位：cm），那么该圆的半径为（）A B．25cm16C．3cm D．13cm4二、填空题11．如图，某圆弧形拱桥的跨度AB=20m，拱高CD=5m，则该拱桥的半径为_______m．12．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为6米，⊙O半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是________米．13．秋千吊绳的长度为4m，当秋千摆动时，吊绳摆动的角度为90°．则秋千摆动的最高位置与最低位置的高度差为______m．（结果保留根号）14．如图，某花园小区一圆形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，水面到管道顶部距离为20cm ，则修理工应准备内直径是_______cm 的管道．15．如图，已知矩形ABCD 中8AB =，以AB 的中点为圆心，以2AB 长为半径画圆弧，交矩形的DC 边于点E F 、，若4EF =，则图中阴影部分的面积为_________（结果保留π）16．如图，⊙O 与直角△AOB 的斜边交于C ，D 两点，C ，D 恰好是AB 的三等分点，若⊙O 的半径为1，则AB ＝_____．17．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB )，点O 是这段弧的圆心，C 是 AB 上一点，OC ⊙AB ，垂足为D ，AB =300m ，CD =50m ，则这段弯路的半径是___m ．18．如图是一个高速公路隧道的横截面,若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分,路面AB=8米,净高CD=8米,则此圆的半径OA 为______．三、解答题19．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（1ED=寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）．问这块圆形木材的直径（AC）是多少？”如图所示，请根据所学的知识解答上述问题．20．如图所示，某地欲搭建一座圆弧型拱桥，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距离桥的一端4米处欲立一桥墩EF支撑，求桥墩的高度．21．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．（1）求该圆的半径；（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？22．如图1所示，圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断，既美观又实用，AB=分米，C 彰显出中国元素的韵味．图2是一款拱门的示意图，其中拱门最下端18CD=分米，求拱门所在圆的为AB中点，D为拱门最高点，圆心О在线段CD上，27半径．。
垂径定理的应用专项练习60题(有答案)ok
垂径定理的应用专项练习60题（有答案）1．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，则中间柱CD的高度为多少m？2．赵州桥建于1400多年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性的桥梁，桥拱是圆弧形（如图）．经测量，桥拱下的水面距拱顶6m时，水面宽34.64m，已知桥拱跨度是37.4m，运用你所学的知识计算出赵州桥的大致拱高．（注意：运算时取37.4=14，34.64=20）3．有一圆弧形拱桥，水面AB的宽32米，当水面上升4米时，水面宽24米，当上游洪水来到时，水面每小时上升0.25米，问再过几小时，洪水会漫过桥面？4．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如下图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱项距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时，高度为5m的船是否能通过该桥？请说明理由．5．一个半圆形桥洞截面如图所示，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD=16m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE=．（1）求半径OD；（2）根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？6．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．7．某处一个圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面，量得AB的长为16cm，截面最深处为4cm，请你帮助维修人员确定管道圆形截面的半径长．8．已知排水管的截面为如图所示的圆O，半径为10，圆心O到水面的距离是6，求水面宽AB．9．如图是小方在十一黄金周某旅游景点看到的圆弧形门，小方同学很想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20cm，BD=200cm，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助小方同学计算出这个圆弧形门的半径是多少？10．某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，修理工人应准备内径多大的管道？11．在直径为650mm的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．12．小明想知道一个大理石球的半径，于是找了两块厚10cm的砖塞在球的两侧（如图），并量的两砖之间的距离是60cm，请你在图中利用所学的几何知识，求出大理石球的半径（要写计算过程）．13．如图，水平放置的圆柱形排水管的截面为⊙O，有水部分弓形的高为2，弦AB=（1）求⊙O的半径；（2）求截面中有水部分弓形的面积．（保留根号及π）14．一种花边是由如图的弓形组成，弧ACB的半径为5，弦AB=8．求弓形的高．15．有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽度8m，拱顶高出水面2m．现有一货船载一货箱欲从桥下经过，已知货箱宽6m，高1.5m（货箱底与水面持平），问该货船能否顺利通过该桥？16．我们在园林游玩时，常见到如图所示的圆弧形的门，若圆弧所在圆与地面BC相切于E点，四边形ABCD是一个矩形．已知AB=米，BC=1米．（1）求圆弧形门最高点到地面的距离；（2）求弧AMD的长．17．一辆卡车装满货物后，高4米，宽2.8米．（1）这辆卡车能通过横截面如图所示（上方是一个半圆）的隧道吗？请说明你的理由；（2）若将此隧道的上部（从边AB、CD的中点起）装上彩灯，请计算彩灯线的总长度L．（结果保留整数）18．如图，是一块残破的圆轮片，A、B、C是圆弧上的三点．（1）作出弧ACB所在的⊙O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）如果AC=BC=60cm，∠ACB=120°，求该残破圆轮片的半径．19．某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚10cm的砖塞在球的两侧（如图所示），他量了下两砖之间的距离刚好是60cm，聪明的你也能算出这个大石球的半径了吗？请你建立一个用于求大理石球的几何模型，并写出你的计算过程．20．如图，有一座石拱桥的桥拱是以O为圆心，OA为半径的一段圆弧．（1）请你确定弧AB的中点；（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）如果已知石拱桥的桥拱的跨度（即弧所对的弦长）为24米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为8米，求桥拱所在圆的半径．21．如图1是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分；图2是车棚顶部截面的示意图．（1）用尺规在图2中作出弧AB所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法与证明）；（2）车棚顶部是用一种帆布覆盖的，由图1中给出数据求覆盖棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留π）．22．如图，一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB=80米，桥拱到水面的最大高度为20米．求：（1）桥拱的半径．（2）现有一轮船宽60米，船舱顶部为长方形并高出水面9米要经过这里，这艘轮船能顺利通过吗？23．如图是有一部分埋藏在地下的圆形水管截面的示意图，小明量得这个圆形水管的弦AB=160cm，露出地面部分的高为40cm，求圆形水管的半径．24．小明家在进行新房装修时准备在阳台中间位置做一个圆弧形的观景台．已知阳台的宽为80cm，廊道的宽为60cm，观景台的跨度AB为120cm，观景台的外端到墙壁EF的最近距离为40cm．求设计的圆弧形的观景台的半径应为多少cm？25．如图，一条公路的转变处是一段圆弧（图中的弧AB），点O是这段弧的圆心，C弧AB是上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB=300m，CD=50m，求这段弯路的半径．26．一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明你的理由．27．如图是某公园新建的圆形人工湖．为测量该湖的半径，小强和小丽沿湖边选取A、B、C三根木桩，使得A、B 之间的距离与B、C之间的距离相等，并测得B到AC的距离为3米，AC的长为60米，请你帮他们求出人工湖的半径．28．如图所示，有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=30m，拱形的半径R=30m，则拱形的弧长为多少？29．某地方有座弧形的拱桥，如图，桥下的水面宽为7.2米，拱顶高出水面2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱形桥吗？30．如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交AB于C，交弦AB于D．（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）若AB=24cm，CD=8cm，求（1）中所作圆的半径．31．如图是无为中学某景点内的一个拱门，它是⊙O的一部分．已知拱门的地面宽度CD=2m，它的最大高度EM=3m，求构成该拱门的⊙O的半径．32．如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面宽16cm，最深地方的高度是4cm，求这个圆形切面的半径．33．一辆汽车装满货物的卡车，2.5m的高，1.6m的宽，要进厂门形状如图某工厂，问这辆卡车能否通过门？请说明理由．34．在半径为13cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图．若油面宽AB=24cm，求油的最大深度．35．如图，水平放置的一个油管的截面半径为13cm，其中有油部分油面宽AB为24cm，求截面上有油部分油面高CD（单位：cm）．36．一条排水管的截面如右图所示，截面中有水部分弓形的弦AB为cm，弓形的高为6cm．（1）求截面⊙O的半径．（2）求截面中的劣弧AB的长．37．工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，如图所示，则这个小孔的直径AB是多少毫米？38．如图，是一个直径为650㎜的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600㎜，求油面的最大深度．39．如图，半径是13cm圆柱形油槽，装入油后，油深CD为8cm，求油面宽度AB．40．①白云商厦服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“六•一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？②如图，有一圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一竹排运送一货箱从桥下经过，已知货箱长10m，宽3m，高2m（竹排与水面持平）．问：该货箱能否顺利通过该桥？41．（1）试找出如图3所示的破残轮片的圆心的位置；（不写作法，保留作图痕迹）（2）如图4，在等边△ABC外接圆劣弧上任取一点P，连接PA、PB、PC，判断结论“PB+PC＞PA”是否正确，若正确请证明，若不正确，请举反例．42．如图为桥洞的形状，其正视图是由圆弧和矩形ABCD构成．O点为所在⊙O的圆心，点O又恰好在AB 为水面处．若桥洞跨度CD为8米，拱高（OE⊥弦CD于点F ）EF为2米．（1）求所在⊙O的半径DO；（2）若河里行驶来一艘正视图为矩形的船，其宽6米，露出水面AB的高度为h米，求船能通过桥洞时的最大高度h．43．如图是团风某座石拱桥的设计图，设计数据如图所示，桥拱是圆弧形，则桥拱的半径为？44．当宽为3cm的刻度尺的一边与⊙O相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm），那么该圆的半径为多少cm？45．如图所示，一种花边是由如图弧ACB组成的，弧ACB所在圆的半径为5，弦AB=8，则弓形的高CD为多少？46．如图直径为26cm的圆柱形的油槽内装入一些油以后截面如图所示，若油面宽AB=24cm，求油的最大深度．47．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB=300m，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD=45m，求这段公路的半径．48．某地有一座圆弧形拱桥，圆心为O，桥下水面宽度为7.2m，过O作OC⊥AB于D，交圆弧于C，CD=2.4m（如图所示）．现有一艘宽3m、船舱顶部为正方形并高出水面AB，2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？49．如图，在直径为100mm的半圆铁片上切去一块高为20mm的弓形铁片，求弓形的弦AB的长．50．高速公路上一个隧道的横截面的形状是以O为圆心的圆的一部分（弓形ACB），如图，若路面AB=10米，隧道顶端与路面的最大距离（弓形高）CD=7米，求⊙O的半径．51．小明家位于六朝古都西安，一个星期天的早晨，小明吃过早饭，像往常一样来到菜地，帮助妈妈锄草，“铛”的一声，引起小明的注意，好奇的小明发现草丛下面的土里，有一个圆形的破损的古镜，爱动脑筋的小明想知道这个古镜的半径大小，他在古镜上随意找到了三个点A、B、C．若构成的△ABC恰好是等腰三角形，底边BC=8cm，腰AB=5cm，你能帮忙计算镜子的半径吗？52．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A、B、C，（1）画出该轮子的圆心；（用直尺与圆规）（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC=10cm，腰AB=6cm，求圆片的半径R．53．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，公路PQ上A处距离O点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处是否会受到噪音影响？若受到影响，求出影响的时间，若不受到影响，请说明理由．54．如图，要把破残的圆形模具复制完整，已知弧上的三点A、B、C；（1）用尺规作图法，找出B、A、C所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ABC是等腰直角三角形，腰AB=5cm，求圆形模具中弧AC的长．55．如图是一个装有水的水管的截面，已知水管的直径是100cm，装有水的液面宽度为AB=60cm，则水管中水的最大深度为多少？56．如图，某排水管模截面，已知原有积水的水平面宽CD=0.8m时最大水深0.2m，当水面上升0.2m时水面宽多少？57．如图是一个弓形零件的截面图．已知弓形高为9cm，弦长为6cm，求弓形所在圆的半径．58．如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°．点A处有一所中学，AP=160m，一辆拖拉机从P 沿公路MN前行，假设拖拉机行驶时周围100m以内会受到噪声影响，那么该所中学是否会受到噪声影响，请说明理由，若受影响已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多长？59．如图，两条公路EF和PQ在点O外交汇，∠QOF=30°，在点A处有一栋居民楼，AO=200米，如果公路上的汽车行驶时，周围200米以内会受噪音影响，那么一汽车在公路EF上沿OF的方向行驶时，居民楼是否会受影响？如果这辆汽车的速度是每小时72千米，居民楼受影响的时间约为多少秒？（≈1.732，精确到0.1秒）60．如图所示，某城区的过境公路MN和城区马路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，现计划在点A（马路PQ边）处建一所中学，AP=160m，假设汽车行驶时，周围100m以内会受到噪声的影响．（1）那么汽车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校A是否会受到噪声的影响？请说明理由；（2）如果受到影响，已知汽车的速度限为60km/小时，那么学校受到影响的时间为多少秒？参考答案：1．如图所示：已知AB=16m，半径OA=10m，AB为弦，∴OC垂直平分AB∴AD=AB=8m在Rt△AOD中，由勾股定理可得：OD2=AO2﹣AD2∴OD=6m∴CD=OC﹣OD=4m答：中间柱CD的高度为4m．2．如图，设圆弧所在圆的圆心为O，AB=37.4=14m，CD=34.6=20m，GE=6m．在Rt△OCE中，OE=OC﹣6，CE=10．∵OC2=CE2+OE2，∴OC2=（10）2+（OC﹣6）2．∴OC=28（m）．∴OA=28．在Rt△OAF中，AF=7，∴．∴拱高GF=28﹣21=7（m）．3．如图，AE=AB=16m，CF=CD=12m设OE=x，OF=4+x根据勾股定理R2=AE2+OE2=CF2+OF2即162+x2=122+（4+x）2解得x=12∴R==2020﹣（12+4）=44÷0.25=16∴时间为16小时4．不能通过．设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，CD=18，R2=302+（R﹣18）2，R2=900+R2﹣36R+324解得R=34m连接OM，在Rt△MOE中，ME=16，OE2=OM2﹣ME2即OE2=342﹣162=900，∴OE=30，∴DE=34﹣30=4，∴不能通过．5．（1）∵OE⊥CD于E，CD=16，∴ED=CD=8．在Rt△DOE中，∵sin∠DOE==，∴OD=10（m）；（2）在Rt△DOE中，OE==（m），根据题意知：水面要以每小时0.5m的速度下降，即时间t=6÷0.5=12（小时），故将水排干需12小时．6．过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，∵OC⊥AB∴BD=AB=×16=8cm由题意可知，CD=4cm∴设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm在Rt△BOD中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2（x﹣4）2+82=x2解得：x=10．答：这个圆形截面的半径为10cm．7．设圆形截面的圆心过O作OC⊥AB于D，交弧AB于C，连接AO，（1分）∵OC⊥AB，∴cm．（3分）由题意可知：CD=4cm，设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD2+AD2=OA2，∴（x﹣4）2+82=x2．∴x=10．（5分）答：这个圆形截面的半径为10cm．8．过O点作OC⊥AB，连接OB，∴AB=2BC，在Rt△OBC中，BC2+OC2=OB2，∵OB=10，OC=6，∴BC=8，∴AB=16．答：水面宽AB为16．9．∵AB⊥BD，CD⊥BD∴AB∥CD∵AB=CD∴ABCD为矩形∴AC=BD=200cm，GN=AB=CD=20cm∴AG=GC=100cm （3分）设⊙O的半径为R，得R2=（R﹣20）2+1002，解得R=260cm答：这个圆弧形门的半径是260cm10．过O作OD⊥AB于D，设内径为R，则有：AD2=DO2+AO2，故R2=（R﹣10）2+302，解得：R=50．答：修理工人应准备内径为50cm的管道．11．过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，连接OA，由垂径定理得：AC=AB=×600=300（mm），在Rt△ACO中，AC2+OC2=AO2，∴3002+OC2=3252，解得：OC=125mm，∴CD=OD﹣OC=325﹣125=200（mm）．答：油的最大深度是200mm12．连接AC，OA，OB，设⊙O的半径为r，∵AC=60cm，BD=10cm，OB⊥AC，∴AD=AC=×60=30cm，在Rt△ADO中，AD2+OD2=OA2，即302+（r﹣10）2=r2，解得r=50cm．答；大理石球的半径为50cm13．（1）过点O作OC⊥AB于点D ，交于点C，连接OB，设⊙O的半径为r，则OD=r﹣2，∵OC⊥AB，∴BD=AB=×4=2，在Rt△BOD中，∵OD2+BD2=OB2，即（r﹣2）2+（2）2=r2，解得r=4；（2）∵由（1）可知，BD=2，OB=4，∴sin∠BOD===，∴∠BOD=60°，∴∠AOB=2∠BOD=120°，∴S弓形=S扇形AOB﹣S△AOB =﹣×2×2=﹣214．如右图，连接OC、OA，设OC与AB的交点为D点．在Rt△OAD中，OA=5，OD=5﹣CD，AD=AB=4；由勾股定理得：52=（5﹣CD）2+42，解得CD=2．故弓形的高为2．15．作出弧AB所在圆的圆心O，连接OA、ON，则NH=MN=6=3，设OA=r，则OD=OC﹣CD=r﹣2，AD=AB=4，在Rt△AOD中，∵OA2=AD2+OD2，∴r2=42+（r﹣2）2，∴r=5（m）在Rt△ONH中，OH2=ON2﹣NH2∴，∴FN=DH=OH﹣OD=4﹣3=1（m），∵1＜1.5，∴货船不可以顺利通过这座拱桥．16．（1）设圆弧所在圆的圆心为O，连接OE交AD于F，连接OA，如图所示：设⊙O半径为x，则OF=x ﹣米，AF=米在Rt△AOF中x2=（）2+（x ﹣）2解得：x=1 圆弧门最高点到地面的距离为2米．（2）∵OA=1，OF=1﹣=∴∠AOF=30°∴∠AOD=60°（8分）弧AMD的长==米．17．（1）如图，设半圆O的半径为R，则R=2，作弦EF∥AD，且EF=2.8，OH⊥EF于H，连接OF，由OH⊥EF，得HF=1.4，（3分）又OH=，∴此时隧道的高AB+OH＞2.6+1.4=4（米），∴这辆卡车能通过此隧道；（2）L=（AB+CD）+AD=2.6+2π=8.88≈9（米）．18．①如图1所示：②如图2，∵AC=BC=60cm，∠ACB=120°∴∠AOC=∠BOC，又∵AO=CO，CO=BO，∴△AOC≌△COB，∴∠CBO=∠ACO=60°，∵BO=CO，∴∠OBC=∠BCO=60°，∴△OBC是等边三角形，∴半径为60cm．19．根据题意可以建立圆中垂径定理的模型如图：AC=60cm，BD=10cm，设半径为r，∵OB⊥AC，∴，在Rt△ADO中，AD2+OD2=OA2，可得：302+（r﹣10）2=r2，解得r=50cm．答：大理石球的半径为50cm．20．（1）如图：点E即为所求（2）设和AB的交点是D，在直角三角形AOD中，AB=24m，DE=8m，：r2=122+（r﹣8）2解得：r=13cm．答：桥拱所在圆的半径为13cm．21．（1）如图所示：；（2）如（1）中的图，根据垂径定理，得AD=2．设圆的半径是r．在直角三角形AOD中，根据勾股定理，得r2=（r﹣2）2+（2）2，解得r=4．则OD=2．∴∠AOD=60°，∴∠AOB=2∠AOD=120°，则弧AB 的长是=，则覆盖棚顶的帆布的面积是×60=160π（m2）．22．（1）如图，点E是拱桥所在的圆的圆心，作EF⊥AB 于F，延长EF交圆于点D，则由垂径定理知，点F是AB的中点，AF=FB=AB=40，EF=ED﹣FD=AE﹣DF，由勾股定理知，AE2=AF2+EF2=AF2+（AE﹣DF）2，设圆的半径是r，则：r2=402+（r﹣20）2，解得：r=50；（2）货船能顺利通过这座拱桥．理由：连接EM，设MD=30米．∵DE⊥MN，EF=50﹣20=30（m），在Rt△DEM中，DE==40（米），∵DF=DF﹣EF=40﹣30=10（米）∵10米＞9米，∴货船能顺利通过这座拱桥．23．设圆心为O，作OD⊥AB于点D，交圆于点C．∵OC⊥AB，∴BD=AB=×160=80cm，设圆形水管的半径是rcm，则在直角△ODB中，OB=rcm，OD=r﹣40cm．根据勾股定理可以得到：r2=802+（r﹣40）2．解得：r=100cm．24．找AB中点D，作OC垂直AB于D，连OB．OC为⊙O半径，设⊙O半径为x．由图可知，CD=80﹣40=40cm∵D是AB的中点，AB=120cm，∴BD==60cm，∵△BOD是直角三角形，∴OB2=OD2+BD2，即x2=（x﹣40）2+602，x2=x2﹣80x+1600+3600，80x=5200，解得，x=65cm．答：设计的圆弧型的观井台的半径应为65cm．25．∵OC⊥AB，∴BD=AB=×300=150m，∵设这段弯路的半径长是r，则在直角△OBD中，OB=r，OD=r﹣50m，OB2=OD2+BD2，∴r2=1502+（r﹣50）2，解得：r=250m26．这辆卡车能通过厂门．理由如下：如图M，N为卡车的宽度，过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，则CD=MN=1.6m，AB=2m，由作法得，CE=DE=0.8m，又∵OC=OA=1m，在Rt△OCE中，OE===0.6（m），∴CM=2.3+0.6=2.9m＞2.5m．所以这辆卡车能通过厂门．27．设点O为圆心，连接半径OA、OB、OC，设OB交AC 于点D．∵AB=BC，∴=，∴OB⊥AC，∴∠AOB=∠COB，∵OA=OC，∴AD=CD=30米．设OA=x米，则有x2﹣（x﹣3）2=302，解得x=151.5（米）．故人工湖的半径为151.5米28．过O作OD⊥AB，交AB于点C ，交于点D，如图所示，∴C为AB的中点，即AC=BC=AB=15m，在Rt△AOC中，sin∠AOC===，∴∠AOC=60°，∴∠AOB=2∠AOC=120°，则拱形的弧长l==2π．29．假设圆心在O处，连接OA，OC，过O作OK⊥AB于K，交CD于H，交圆O于G点．设圆O的半径为r，则OA=OG=r，GK=2.4，OK=OG﹣GK=r﹣2.4，又∵AB为7.2米，所以AK=3.6米，在直角三角形AOK中，根据勾股定理得：（r﹣2.4）2+3.62=r2解得：r=3.9，∴OK=3.9﹣2.4=1.5（米），当CD=3米时，HC=1.5米，则OH2=3.92﹣1.52，解得OH=3.6，∴HK=OH﹣OK=3.6﹣1.5=2.1米＞2米．∴此货船能顺利通过这座拱形桥．30．（1）如图：⊙O即为所求；（2）∵AB⊥CD，∴AD=AB=12cm，设OA=x，OD=（x﹣8）cm，∵OA2=OD2+AD2，即x2=144+（x﹣8）2，解得：x=13．∴圆的半径为13．31．连接OC．设⊙O的半径为xm，∵EM⊥CD，∴CM=CD=1m．在Rt△OCM中，由OM2+CM2=OC2，得（3﹣x）2+1=x2．解得：x=．答：构成该拱门的⊙O 的半径为m32．设圆形切面的半径，过点O作OD⊥AB于点D，交⊙O于点E，则AD=BD=AB=×16=8cm，∵最深地方的高度是4cm，∴OD=r=4，在Rt△OBD中，OB2=BD2+OD2，即r2=82+（r﹣4）2，解得r=10（cm）．答：这个圆形切面的半径是10cm．33．这辆卡车能通过厂门．理由如下：如图M，N为卡车的宽度，过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，则CD=MN=1.6m，AB=2m，由作法得，CE=DE=0.8m，又∵OC=OA=1m，∴OE==0.6m∴CM=0.6+2.3=2.9m＞2.5m∴卡车能通过大门．34．过O作OC⊥AB于C，交优弧AB于D，连OA，如图，∵OA=OD=13cm，AB=24cm，∴AC=BC=12cm，在Rt△AOC中，OA=13，AC=12，∴OC=5，∴CD=5+12=17（cm）．所以油的最大深度为17cm．35．如图；连接OA；根据垂径定理，得AC=BC=12cm；Rt△OAC中，OA=13cm，AC=12cm；根据勾股定理，得：OC==5cm；∴CD=OD﹣OC=8cm；∴油面高为8cm．36．（1）设⊙O半径为r，作OC⊥AB于C点，交弧AB于D点∵AB=12，∴AC=BC=AB=6，∵CD=6，∴，解得：r=12（cm）答：截面⊙O的半径为12cm．（2）连接AD，∵∴AD=OA=OD∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD=60°同理∠BOD=60°∴∠AOB=120°∴弧长．答：截面中有水部分弓形的弧AB的长为8πcm．37．如图，设钢珠的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交优弧AB于D，连OC，则OA=12÷2=6mm，CD=9mm，OC=9mm﹣6mm=3mm，∵OC⊥AB，∴CA=CB，在Rt△AOC中，AC===3，∴AB=6mm．所以这个小孔的直径AB是6毫米．38．过点O作OD⊥AB于点D ，交于点F，连接OA，∵AB=600mm，∴AD=300mm，∵底面直径为650mm，∴OA=×650=325mm，∴OD===125mm，∴DF=OF﹣OD=×650﹣125=200mm．答：油面的最大深度为200mm．39．连接OA，故OC⊥AB于点D，由垂径定理知，点D为AB的中点，AB=2AD，∵OA=13cm，∴OD=OC﹣CD=13﹣8=5（cm），由勾股定理知，AD===12（cm），故油面宽度AB=24cm．40．①∵如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，∴如果每件童装每降价1元，那么平均每天就可多售出2件，设每件童装应降价x元，根据题意列方程得，（40﹣x）（20+2x）=1200，解得x1=20，x2=10（舍去），答：每件童装应降价20元；②连接OA，OM，设OA=r，ME=2，则OM=r，DG=2，∵AB=7.2，∴AD=3.6，∵CD=2.4，∴OD=r﹣2.4，在Rt△AOD中，∵OA2=AD2+OD2，∴r2=3.62+（r﹣2.4）2，∴r=3.9，OD=3.9﹣2.4=1.5，∴OG=OD+DG=1.5+2=3.5，在Rt△OMG中，MG2=OM2﹣OG2=3.92﹣3.52=2.96，∴MG==，∴MN=2MG=≈3.44＞3，∴该货箱能顺利通过该桥．41．（1）点O就是所求的圆心．（2）在PA上截取PE=PC，连接CE，∵△ABC是等边三角形，∴∠APC=∠ABC=60°，∴△PCE是等边三角形，∴PC=CE，∠PCE=∠ACB=60°，∴∠PCB=∠ACE，∵BC=AC，∠PBC=∠CAE，∴△ACE≌△PBC，∴PB=AE，∴PA=PB+PC．故结论“PB+PC＞PA”不正确42．（1）∵OE⊥弦CD于点F，CD为8米，EF为2米，∴EO垂直平分CD，DF=4m，FO=DO﹣2（m），在Rt△DFO中，DO2=FO2+DF2，则DO2=（DO﹣2）2+42，解得：DO=5；答：所在⊙O的半径DO为5m；（2）如图所示：假设矩形的船为矩形MQRN，船沿中点O为中心通过，连接MO，∵MN=6m，∴MY=YN=3m，在Rt△MOY中，MO2=YO2+NY2，则52=YO2+32，解得：YO=4，答：船能通过桥洞时的最大高度为4m．43．如图，桥拱所在圆心为E，作EF⊥AB，垂足为F，并延长交圆于点H．由垂径定理知，点F是AB的中点．由题意知，FH=10﹣2=8m，则AE=EH，EF=EH﹣HF．由勾股定理知，AE2=AF2+EF2=AF2+（AE﹣HF）2，即AE2=122+（AE﹣8）2，解得：AE=13m．答：桥拱的半径为13m．44．连接OC，交AB于点D，连接OA，由图可得：AB=9﹣1=8（cm），∵刻度尺的一边与⊙O相切，∴OC⊥CE，∵AB∥CE，∴OD⊥AB，∴AD=AB=4cm，设OA=xcm，则OD=（x﹣3）cm，在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2，∴x2=（x﹣3）2+42，解得：x=．∴该圆的半径为cm．45．找出圆心O，连接OA，OC，D必然在OC上，∴OA=OC=5，∵OC⊥AB，AB=8，∴AD=BD=4，在Rt△AOD中，OA=5，AD=4，根据勾股定理得：OD==3，则弓形的高CD=OC﹣OD=5﹣3=2．46．连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，∵AB=24cm，∴BD=AB=×24=12cm，∵⊙O的直径为26cm，∴OB=OC=12cm，在Rt△OBD中，OD===5cm，∴CD=OC﹣OD=13﹣5=8cm．答；油的最大深度为8cm．47．如图，设半径为r，则OD=r﹣CD=r﹣45，∵OC⊥AB，∴AD=BD=AB，∴在Rt△AOD中，AO2=AD2+OD2，即r2=（×300）2+（r﹣45）2=22500+r2﹣90r+2025，90r=24525，解得，r=272.5m．答：这段弯路的半径是272.5m．48．如图，连接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB=7.2m，∴BD=AB=3.6m．又∵CD=2.4m，设OB=OC=ON=r，则OD=（r﹣2.4）m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2=（r﹣2.4）2+3.62，解得r=3.9．∵CD=2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面AB，2m，∴CE=2.4﹣2=0.4m，∴OE=r﹣CE=3.9﹣0.4=3.5m，在Rt△OEN中，EN2=ON2﹣OE2=3.92﹣3.52=2.96（m2），∴EN=（m）．∴MN=2EN=2×≈3.44m＞3m．∴此货船能顺利通过这座拱桥．49．OA=50mm，CD=20mm∴OD=OC﹣CD=30mm在Rt△AOD中AD==40（mm）∴AB=2AD=80mm．50．∵CD⊥AB且过圆心O，∴AD=AB=×10=5m，设半径为rm，∴OA=OC=rm，∴OD=CD﹣OC=（7﹣r）m，∴在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，∴r2=（7﹣r）2+52，解得：r=，⊙O 的半径为．51．连接AO，OB，∵△ABC恰好是等腰三角形，∴AB=AC ，∴=，∴AO⊥BC，∵BC=8cm，∴BD=4cm，∵AB=5cm，∴AD==3（cm），设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD=（R﹣3）cm，∴R2=52+（R﹣3）2，解得：R=8.5（cm），答：圆片的半径R为8.5cm52．（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；（2）连接AO，OB，∵BC=10cm，∴BD=5cm，垂径定理的应用----21∵AB=6cm，∴AD==cm，设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD=（R ﹣）cm，∴R2=52+（R ﹣）2，解得：R=cm，∴圆片的半径R 为cm．53．如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，∵∠QON=30°，OA=240米，∴AC=120米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，∵AB=200米，AC=120米，∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，∵72千米/小时=20米/秒，∴影响时间应是：320÷20=16（秒）．54．（1）如图所示：（2）连接AO，∵△ABC是等腰直角三角形，腰AB=5cm，∴AC=5，BC==5，∴AO⊥BC，∴∠AOC=90°，∴圆的半径为：，∴弧AC 的长为：=π．55．连接OA，根据题意得：CD⊥AB，∴AD=AB=×60=30（cm），∵水管的直径是100cm，∴OA=50cm，在Rt△AOD中，OD==40（cm），∴CD=OC+OD=90（cm）．∴水管中水的最大深度为90cm．56．如图，AB为水面上升0.2m时水面宽，CD=0.8m，过O作OH⊥AB于H，交CD于F，交⊙O于E，则EF=0.2m，FH=0.2m，连OA，OC，∵OH⊥AB，∴OF⊥CD，∴CF=DF=0.4m，AH=BH，设⊙O的半径为R，在Rt△OCF中，OF=R﹣0.2，∴R2=（R﹣0.2）2+0.42，解得R=0.5，在Rt△OAH中，OH=R﹣0.4=0.1，∴AH==，∴AB=m．即当水面上升0.2m 时水面宽为m．57．连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，∵OE⊥AB，AB=6cm，∴AE=3cm，设弓形所在圆的半径OA=r，则OE=9﹣r，在Rt△AOE中，OA2=OE2+AE2，即r2=（9﹣r）2+32，解得r=5cm．垂径定理的应用----22故弓形所在圆的半径为5cm58．过点A作AB⊥MN于B，∵∠QPN=30°，AP=160m，∴AB=AP=×160=80（m），∵80＜100，∴该所中学会受到噪声影响；以A为圆心，100m为半径作圆，交MN于点C与D，则AC=AD=100m，在Rt△ABC中，BC==60（m），∵AC=AD，AB⊥MN，∴BD=BC=60m，∴CD=BC+BD=120m，∵18km/h=5m/s，∴学校受影响的时间为：120÷5=24（秒）．59．过点A作AD⊥EF，∵∠QOF=30°，AO=200米，∴AD=AO•sin30°=200×=100米＜200米，∴居民楼会受到影响；连接AB，∵OA=200米，AD⊥OB，∴OB=2DO，∵在Rt△AOD中，AO=200米，AD=100米，∴OD===100米，∴OB=200米，∵这辆汽车的速度是每小时72千米=20米/秒，∴=10≈17.3秒．答：居民楼受影响的时间约为17.3秒．60．（1）汽车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校A会受到噪声的影响．理由是：过A作AE⊥PN于E，∵∠QPN=30°，AP=160，∴AE=80＜100，∴汽车在公路MN上沿PN方向行驶时，学校A会受到噪声的影响．（2）以A为圆心，以100m为半径作圆，交PN与C、D，连接AC、AD，AC=AD=100，∵AE⊥CD，∴CE=DE==60，∴CD=120m，60KM/小时=m/秒，∴120÷=7.2（秒），答：学校受到影响的时间为7.2秒．垂径定理的应用----23。
垂径定理练习题答案
垂径定理练习题答案垂径定理练习题答案垂径定理是解决几何问题的重要定理之一，它在许多几何证明和计算中起着重要的作用。
本文将通过几个垂径定理的练习题来探讨其应用。
练习题一：在一个直角三角形ABC中，AB = 5 cm，BC = 12 cm。
点D是AC 边上的一个点，使得BD是三角形ABC的高。
求BD的长度。
解答：根据垂径定理，如果一条线段与另一条线段垂直且过其中点，那么这条线段就是另一条线段的垂径。
在这个问题中，BD是三角形ABC的高，所以BD 与AC垂直。
又因为BD过AC的中点，所以BD是AC的垂径。
根据垂径定理，AC的长度等于BD的两倍。
所以AC = 2BD。
根据勾股定理，可以得到AC的长度：AC² = AB² + BC²AC² = 5² + 12²AC² = 25 + 144AC² = 169AC = √169AC = 13 cm将AC的长度代入前面的等式中，可以得到：13 = 2BDBD = 13 / 2BD = 6.5 cm所以BD的长度为6.5 cm。
练习题二：在一个平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O。
已知AB = 8 cm，AD = 6 cm，求AC的长度。
解答：根据垂径定理，如果一条线段与另一条线段垂直且过其中点，那么这条线段就是另一条线段的垂径。
在这个问题中，对角线AC与BD相交于点O，所以AC与BD垂直。
又因为AC过BD的中点，所以AC是BD的垂径。
根据垂径定理，BD的长度等于AC的两倍。
所以BD = 2AC。
根据平行四边形的性质，对角线互相平分。
所以AO = OC，BO = OD。
根据勾股定理，可以得到AO和BO的长度：AO² = AB² + BO²AO² = 8² + (AC/2)²AO² = 64 + (AC/2)²BO² = AD² + BD²BO² = 6² + (2AC)²BO² = 36 + 4AC²由于AO = OC，所以AO² = OC²。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
垂径定理应用的练习题
2．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点
E，且CE=2，DE=8，则AB的长为
3．如图，已知⊙O的半径为
13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是
4．如图，AB
是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是 5．在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为
6．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为
7．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A 与x轴交于B、C两点，与y轴相切于点D，则点A的坐标是二．解答题
8．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB 上的一个动点，求OP的长度范围．
9．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，
求AB的长；
求⊙O的半径．，
10．如图，点C在⊙O的弦AB上，CO⊥AO，延长CO
交⊙O于D．弦DE⊥AB，交AO于F．
求证：OC=OF；
求证：AB=DE．
11．一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水，此时的水面宽AB为0.6米．
求此时的水深；
当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度． 12．如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O过点B、C，且交边AB、AC于点E、F，已知∠A=∠ABO，连接OE、OF、OB．求证：四边形AEOF为菱形；
若BO平分∠ABC，求证：BE=BC．
13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，求⊙O的半径．
14．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O是这段弧的圆心，点C是弧AB上的一点，OC⊥AB，垂足为D，如AB=60m，CD=10m，求这段弯路的半径．
参考答案与试题解析
一．选择题
2．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为
3．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O 到AB的距离是
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是
垂径定理的应用专题试题精选附答案
一．选择题
1．将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面
上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径是8cm，水的最大深度是2cm，
则杯底有水部分的面积是
A．cm B．cm C．cm D．cm
2．当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交
点处的读数如图所示那么该圆的半径为
A．8cm B．9cm C．cm D．10cm
3．在截面为半圆形的水槽内装有一些水，如图．水面宽AB为6分米，
如果再注入一些水后，水面AB上升1分米，水面宽变为8分米，则该水槽截面直径为
A．5分米 B．6分米 C．8分米 D．10分米
4．某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两
块厚20cm的砖塞在球的两侧，他量了下两砖之间的距
离刚好是80cm，聪明的
你，请你算出大石头的半径是
第1页
A．40cm B．30cm C．20cm D．50cm
5．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，
将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计
容器厚度，则球的半径为
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
6．在某岛A的正东方向有台风，且台风中心B距离小岛Akm，
台风中心正以30km/h的速度向西北方向移动，距离中心50公里以内圆形区域
都受影响，则小岛A受到台风影响的时间为
A．不受影响 B．1小时 D．3小时
7．如图，有一圆弧形门拱，拱高AB=1m，跨度CD=4m，那么这个门拱
的半径为
C．2小时
A．2m B．2.5m C．3m D．5m
8．在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，
截面如图．若油面的宽
AB=160cm，则油的最大深度为
第2页
A．40cm B．60cm C．80cm D．100cm
9．已知如图，圆柱OO1的底面半径为13cm，高为10cm，一平面平行于
圆柱OO1的轴OO1，且与轴OO1的距离为5cm，截圆柱得矩形ABB1A1，则截面ABB1A1
的面积是
A．240cm B．240πcm C．260cm D．260πcm
二．填空题
10．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2m，
某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于m．
2222
11．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连接外圆上的两点
A、B，并使AB与车轮内圆相切于点D，半径为OC⊥AB 交外圆于点C．测得CD=10cm，
AB=60cm，则这个车轮的外圆半径是．
12．赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400
年，历经无数次洪
水冲击和8次地震却安然无恙．如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥
弧AB所在圆的半径R=米．
第3页
13．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB
为0.8m，则排水管内水的深度为m．
14．为了节省空间，时尚装修的设计师设计出一款餐桌，餐桌的两边翻开
后会成圆形桌面．餐桌两边AB和CD平行且相等，小华用皮带尺量出
AC=1.6米，AB=0.8米，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加平方米．
15．如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度
相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与最低价位置时的高度之差为
16．一副量角器与一块含30°锐角的三角板如图所示放置，三角板的直
角顶点C落在量角器的直径MN上，顶点A，B恰好都落在量角器的圆弧上，且AB∥MN．若
AB=8cm，则量角器的直径MN=cm．
第4页
17．一破损光盘如图所示，测得所剩圆弧两端点间的距离AB长为
8厘米，弧的中点到弧所对弦的距离为2厘米，则这个光盘的半径是
18．如图，某公园的一角有一块草坪，实线部分是沿草坪
外围的一条小路，小路由两条相等的线段AC、BD和圆弧CD组成，其中AC、BD分别与
圆弧CD相切于点C、D．经过测量，线段CD与半径OD 都为60米，则这条小路的长度为米．
19．为了测量某小球的直径，技术人员将小球放到透明烧杯上，如
图是过球心O作为截面图，已知烧杯的高度是13cm，测得l=8cm，h=11cm，则小球的直径
为cm．
20．如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点A、
B，并使AB与车轮内圆相切于点D，做CD⊥AB交外圆于点C．测得CD=10cm，AB=60cm，
则这个车轮的外圆半径为cm．
第5页
垂径定理的应用专项练习60题
1．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB=16m，半径OA=10m，则中间柱CD的高度为多少m？ 2．赵州桥建于1400多年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性的桥梁，桥拱是圆弧形．经测量，桥拱下的水面距拱顶6m时，水面宽34.64m，已知桥拱跨度是37.4m，运用你所学的知识计算出赵州桥的大致拱高．
3．有一圆弧形拱桥，水面AB的宽32米，当水面上升4米时，水面宽24米，当上游洪水来到时，水面每小时上升0.25米，问再过几小时，洪水会漫过桥面？
4．有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如下图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱项距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时，高度为5m的船是否能通过该桥？请说明理由．
5．一个半圆形桥洞截面如图所示，圆心为O，直径AB 是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD=16m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE=．
求半径OD；
根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？
6．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人
员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
垂径定理的应用---- 1
7．某处一个圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面，量得AB的长为16cm，截面最深处为4cm，请你帮助维修人员确定管道圆形截面的半径长．
8．已知排水管的截面为如图所示的圆O，半径为10，圆心O到水面的距离是6，求水面宽AB．
9．如图是小方在十一黄金周某旅游景点看到的圆弧形门，小方同学很想知道这扇门的相关数据．于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=20cm，BD=200cm，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮助小方同学计算出这个圆弧形门的半径是多少？
10．某居民区一处圆形地下水管道破裂，修理工人准备更换一段新管道，经测量得到如图所示的数据，修理工人应准备内径多大的管道？
11．在直径为650mm的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．垂径定理的应用----。