高中数学第一课时 不等关系
不等关系与作差比较大小【课时教学设计】高中数学新教材必修第一册
2.1 等式性质与不等式性质第1课时不等关系与作差比较大小一.教学内容1.用不等式(组)表示实际问题中的不等关系.2.作差法比较两实数的大小．二．教学目标1.通过实例，能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系；初步学会作差法比较两实数的大小．发展学生解决问题你能力。
2. 通过从教材中的“赵爽弦图”得出证明的一般思路:从结论出发，结合已知条件，寻求使当前命题成立的充分条件，提升逻辑思维和数形结合的能力.3.通过不等模型，数学建模的能力，把不等关系“翻译”成为不等式；提升逻辑推理的数学核心素养.三．教学重点与难点1. 重点：不等关系与不等式2.难点：两个式子比较大小方法的掌握四．教学过程设计引导语：在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示.问题1通过实例，你能表示出数量中的不等关系，不等就是不相等，有大小之分。
我们比较两个数量的大小可以用什么方法呢？例1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？（1）某路段限速40 km/h;(2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量P应不少于2.3%;(3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；(4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.师生活动：1.学生思考，动笔写出不等关系2.教师投影学生的答案3.师生归纳：（1）不等关系强调的是关系，可用文字语言描述，也可用符号语言描述，常用符号有“>”“<”“≥”“≤”“≠”．(2)将不等关系表示成不等式(组)的思路①读懂题意，找准不等式所联系的量．②用适当的不等号连接．③多个不等关系用不等式组表示．【设计意图】通过探究，引导学生发现生活中的相等关系与不等关系，并能用数学式子表示出来，提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。
人教A版高中数学必修第一册第二章《等式性质与不等式性质》第一课时课件
文字表述 符号表示
身高在 1.2～1.5 米学.科.网 Z.X.X.K]
1.2≤h≤1.5
身高超过 1.5 米
h>1.5
身高不足 1.2 米
h<1.2
学习新知——不等关系与不等式
文字表述 身高在 1.2～1.5 米[来源: 身高超过 1.5 米 身高不足 1.2 米
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
符号表示
人教A（2019版）高一上
2.1.1 不等关系与不等式
学习目标
1.能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系. 2.初步学会用作差法比较两实数的大小．
情景引入
《铁路旅行常识》规定：随同成人旅行，身高在1.2～1.5米的儿童享受半价客票（以下 称儿童票），超过1.5米的应买全价票，每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.2米的儿童， 超过一名时，超过的人数应买儿童票．
（1）某路段限速40km/h；
方法一： 1 2a 2b 2c 2ab bc ca a b c ab bc ca 由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用2 数轴上2点的位2置关系来规定实数的大小关系：如图，设a，2b是两个实2数，它们在2 数轴上所对应的点分别是A，B.
（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 2 学习新知——实数大小关系的基本事实
（4）如图，设C是直线AB外的任意一点，CD垂直于AB，垂足为D，E是直线AB上不
同于D的任意一点，则CD<CE.
学习新知——实数大小关系的基本事实
由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规 定实数的大小关系：如图，设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分 别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，a<b；当点A在点B的右边时，a>b.
人教高中数学必修一2.1.等式性质与不等式性质课件
B,C
新课引入
练习：用不等式表示下面的不等关系：
1、a与b的和是非负数；
2、某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”
想一想,你还能举出哪些类似的例子?
a+b≥0
H≤4
学习新知
例题讲授
例1、某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
4．作差比较法 步骤：作差，变形，定号
3、a是一个非负实数。
在数学中，我们怎样来表示这些不等关系？
7℃≤t≤13℃
AB+AC>BC或……
a≥0
新课引入
4、右图是限速40km/h的路标，指导司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h ，写成不等式是：_________
40
5、某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%，用不等式可以表示为：( )
练习巩固
变式1：若a>b,结果会怎样？
变式2：若没有a<b这个条件呢？
完成课本第40页第2题
课堂小结
1．不等关系是普遍存在的
2．用不等式（组）来表示不等关系
3．不等式基本原理 a - b > 0 <=> a > b a - b = 0 <=> a = b a - b < 0 <=> a < b
变式：
例题讲授
例2、某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种规格。按照生产的要求，600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍。怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
最新人教A版高中数学必修一 第二章 第1节等式性质与不等式性质 第1课时不等关系与不等式
2．1 等式性质与不等式性质第1课时 不等关系与不等式教材要点要点一 不等式与不等关系1．不等式的定义所含的两个要点(1)不等符号________________或________． (2)所表示的关系是________________．(1)不等式a ≥b 含义是指“a ＞b, 或者a ＝b\”，等价于“a 不小于b\”，即若a ＞b 或a ＝b 中有一个正确，则a ≥b 正确．(2)不等式a ≤b 含义是指“a ＜b ，或者a ＝b\”，等价于“a 不大于b\”，即若a ＜b 或a ＝b 中有一个正确，则a ≤b 正确．要点二 比较两个实数a ，b 大小的依据 1．文字叙述如果a －b 是________，那么a ＞b ； 如果a －b ________，那么a ＝b ；如果a －b 是________，那么a ＜b ，反之也成立． 2．符号表示a －b ＞0⇔a ________b ； a －b ＝0⇔a ________b ； a －b ＜0⇔a ________b .状元随笔 比较两实数a ，b 的大小，只需确定它们的差a －b 与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a ，b 的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a －b 的符号，变形的常用方法有配方、分解因式、通分等．要点三重要不等式∀a，b∈R，有a2＋b2________2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．基础自测1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种．()(2)若ab ＞1，则a＞b.()(3)a与b的差是非负实数，可表示为a－b＞0.()(4)因为∀a，b∈R，(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab.()2．某路段竖立的的警示牌，是指示司机通过该路段时，车速v km/h应满足的关系式为()A．v＜60 B．v＞60C．v≤60 D．v≥363．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是()A．M＞N B．M＝NC．M＜N D．与x有关4．已知x＜1，则x2＋2与3x的大小关系是________．题型1用不等式(组)表示不等关系例1(1)某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？求解此问题需要构建的不等关系为________．(2)某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm的两种钢管．按照生产的要求，600 mm的钢管数量不能超过500 mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组呢？方法归纳用不等式(组)表示不等关系的步骤(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等．(2)适当的设未知数表示变量．(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围．跟踪训练1(1) 中国“神舟七号\”宇宙飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9 km/s，且小于第二宇宙速度11.2 km/s.表示为____________．(2)已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B.试用不等式表示x ，y 所满足的不等关系．题型2 实数(式)的比较大小例2 已知a ＞0，试比较a 与1a 的大小．方法归纳用作差法比较两个实数大小的四步曲跟踪训练2 (1)已知a ∈R ，p ＝(a －1)(a －3)，q ＝(a －2)2，则p 与q 的大小关系为( ) A ．p ＞q B ．p ≥q C ．p ＜q D ．p ≤q(2)已知b ＞a ＞0，m ＞0，比较b+ma+m 与ba 的大小．题型3比较大小在实际问题中的应用例32021年5月1日某单位职工去瞻仰毛泽东纪念馆需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠\”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．方法归纳现实生活中的许多问题能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题．跟踪训练3甲、乙两家饭馆的老板一同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进100千克大米，而乙每次用去100元钱．问：谁的购买方式更合算？课堂十分钟1．(多选)下列说法正确的是()A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000\”B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x＞y\”C．某变量x至少为a可表示为“x≥a”D．某变量y不超过a可表示为“y≤a”2．若m＝x2－1，n＝2(x＋1)2－4(x＋1)＋1，则m与n的大小关系是()A．m＜n B．m＞nC．m≥n D．m≤n3．某学校为高一3班男生分配宿舍，如果每个宿舍安排3人，就会有6名男生没有宿舍住，如果每个宿舍安排5人，有一间宿舍不到5名男生，那么该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是()A. 3或4B. 4或5C. 3或5D. 4或64．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是____________．5．糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水．下列关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？(1)如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了；(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡．2．1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式要点一1．(1)＜、≤、＞、≥≠(2)不等关系要点二1．正数等于0负数2．>＝<要点三≥[基础自测]1．(1)√(2)×(3)×(4)√2．答案：C3．答案：A4．答案：x2＋2＞3x题型探究·课堂解透例1 解析：(1)设该车工3天后平均每天需加工x 个零件，加工(15－3)天共加工12x 个零件，15天里共加工(3×24＋12x )个零件，则3×24＋12x ＞408.故不等关系表示为72＋12x ＞408.(2)设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根．根据题意，应有如下的不等关系：①截得两种钢管的总长度不超过4 000mm.②截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍．③截得两种钢管的数量都不能为负．要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：{500x +600y ≤4 000，3x ≥y ，x ≥0，y ≥0，x ∈N +，y ∈N +.答案：(1)72＋12x ＞408 (2)见解析跟踪训练1 解析：(1)“不小于”即大于或等于，故用不等式表示为：7.9≤v ＜11.2. (2)x kg 甲种食物含有维生素A 600x 单位，含有维生素B 800x 单位，y kg 乙种食物含有维生素A 700y 单位，含有维生素B 400y 单位，则x kg 甲种食物与y kg 乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x ＋700y )单位，含有维生素B(800x ＋400y )单位，则有{600x +700y ≥56 000，800x +400y ≥63 000，x ≥0，y ≥0，即{6x +7y ≥560，4x +2y ≥315，x ≥0，y ≥0.答案：(1)7.9≤v ＜11.2 (2)见解析 例2 解析：因为a －1a ＝a 2−1a＝(a−1)(a+1)a ，a ＞0所以当a ＞1时，(a−1)(a+1)a＞0，有a ＞1a ； 当a ＝1时，(a−1)(a+1)a＝0，有a ＝1a ； 当a ＜a ＜1时，(a−1)(a+1)a＜0，有a ＜1a .综上，当a ＞1时，a ＞1a ； 当a ＝1时，a ＝1a ；当0＜a ＜1时，a ＜1a .跟踪训练2 解析：(1)由题意，p ＝(a －1)(a －3)，q ＝(a －2)2，则p －q ＝(a －1)(a －3)－(a －2)2＝a 2－4a ＋3－(a 2－4a ＋4)＝－1<0，所以p －q <0，即p <q .故选C.(2)作差：b+ma+m −ba ＝ab+am−ab−bm a (a+m )＝m (a−b )a (a+m ).∵b >a >0，m >0，∴a －b <0，a ＋m >0，∴m (a−b )a (a+m )＜0，∴b+m a+m ＜ba.答案：(1)C (2)见解析例3 解析：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车队的车需花y 1元，坐乙车队的车需花y 2元．由题意，得y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx . 因为y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x (1−n5)， 当n ＝5时，y 1＝y 2； 当n ＞5时，y 1＜y 2； 当n ＜5时，y 1＞y 2，所以，当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．跟踪训练3 解析：设两次大米的价格分别为a 元/千克，b 元/千克(a ＞0，b ＞0，a ≠b ，) 则甲两次购买大米的平均价格(元/千克)是：100(a+b )200＝a+b2.乙两次购买大米的平均价格(元/千克)是：200100a +100b＝21a +1b＝2aba+b ，因为a+b 2−2aba+b ＝(a+b )2−4ab 2(a+b )＝(a−b )22(a+b )＞0，所以a+b 2＞2aba+b .所以乙饭馆的老板购买大米的方式更合算．[课堂十分钟]1．答案：CD 2．答案：D 3．答案：B 4．答案：x <y5．解析：(1)设糖水b 克，含糖a 克，易知糖水浓度为a b ，加入m 克糖后的糖水浓度为a+mb+m，则提炼出的不等式为：若b ＞a ＞0，m ＞0，则a b ＜a+mb+m .(2)设淡糖水b 1，含糖a 1克，浓糖水b 2克，含糖a 2克， 易知淡糖水浓度为a 1b 1，浓糖水浓度为a2b 2，则混合后的糖水浓度为a 1+a 2b 1+b 2，则提炼出的不等式为：若b 1＞a 1＞0，b 2＞a 2＞0，且a1b 1＜a2b 2，则a1b 1＜a 1+a 2b 1+b 2＜a2b 2.。
人教A版高中数学必修五课件3-1第1课时不等关系与比较大小
◎设 x∈R 且 x≠－1，比较1＋1 x与 1－x 的大小． 【错解】 ∵1＋1 x－(1－x)＝1－1＋1－x x2＝1＋x2 x， 而 x2≥0. ∴当 x>－1 时，x＋1>0，1＋x2 x≥0，即1＋1 x≥1－x. 当 x<－1 时，x＋1<0，1＋x2 x≤0，即1＋1 x≤1－x.
1.某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装 磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁 盘至少买2盒．问：软件数与磁盘数应满足什么条件？
解析： 设买软件 x 片，磁盘 y 盒，根据题意可得软件
数 与 磁 盘 数 应 满 足 的 条 件 是 6x0≥x＋ 3且7x0∈y≤N500 y≥2且y∈N
，即
x6≥x＋3且7y≤x∈5N0 . y≥2且y∈N
已知x＜－1，比较x3＋1与－2x2－2x的大小．
由题目可获取以下主要信息： ①x<－1； ②比较x3＋1与－2x2－2x的大小． 解答本题可先作差，再因式分解进行变形．
[解题过程] x3＋1－(－2x2－2x) ＝x3＋2x2＋2x＋1 ＝(x3＋x2)＋(x2＋2x＋1)
解析： a3＋b3－(a2b＋ab2) ＝a2(a－b)－b2(a－b) ＝(a－b)(a2－b2) ＝(a－b)2(a＋b) ∵a＞0，b＞0且a≠b ∴(a－b)2＞0，a＋b＞0 ∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0 即a3＋b3＞a2b＋ab2
《铁路旅行常识》规定： “一、随同成人旅行身高1.1～1.5米的儿童，享受半价客票 (以下称儿童票)，超过1.5米时，应买全价票．每一成人旅客可免 费带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买 儿童票． ……
高中数学课件
高中数学 不等关系与不等式说课素材 浙教版
课题： 3．1 不等关系与不等式(1)说课稿教材：人教A版必修（5）各位评委、各位老师:大家好！我叫钱月萍,来自湖州新世纪外国语学校。
今天我说课的内容是《不等关系与不等式》（第一课时）。
下面我将围绕本节课“教什么？”、“怎样教？”以及“为什么这样教？”三个问题，从教材分析、学情分析、教法学法、教学过程和教学评价五个方面逐一加以分析和说明。
一、教材分析1、教材所处地位、作用不等式与方程、函数、三角等内容有着密切的联系.在高考题中不等式常与其他知识交汇呈现，因此不等式在高考中占有比较重要的地位。
而本节课是本章的起始课，学好本节课是学习本章的基础。
通过学习有助于学生认识到学习不等关系及不等式的必要性和重要性,在具体情境中感受并由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望,并且为进一步学习后面的内容起了良好的铺垫作用.2、教学目标根据教学大纲要求、高考考试大纲说明、新课程标准精神和学生心理认知特征，我确定了三个层面的教学目标：知识与技能：使学生感受现实世界中存在大量的不等关系；理解不等式（组）的实际背景；掌握作差比较法。
过程与方法：经历从实际情景的不等关系中抽象出不等式模型的过程,学会从实际问题分析问题、解决问题的方法情感态度与价值观：则是让学生感受数学源于生活，用于生活，并培养严谨的思维习惯. 3、重点与难点根据上述教学目标，我认为本节课的重点应该是：教学重点：用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值，并初步掌握作差比较法。
而考虑到学生实际应用能力上的欠缺，那么用不等式或不等式组准确地表示出不等关系，就成为本节课的一个难点，并且在两式作差变形上的灵活度学生也难以把握，所以作差比较法的应用则是另一个难点。
二、学情分析教学应走在发展的前面，教学创造着最近发展区，我认为对学生现有发展水平的充分了解对我们的教学至关重要。
所以我对学生的学情作了如下分析第一，初中已学简单的不等式；第二，会比较两数的大小；第三，具备“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有一定的抽象概括能力、数学建模能力和合情推理能力．三、教法与学法根据《新课标》中“坚持启发式，反对注入式”的教学要求，及基于本节课不等式的教学要着眼于与实际问题的联系. 在教学中我将建立“教师引导、自主探究、合作学习”的教学模式,在引导学生经历观察、思考、探究的过程中，重视让学生从问题中尝试、提炼、总结、运用，从而培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力.而且在鼓励学生主动参与的同时，也不忽视教师的主导作用，主要教会学生清晰的思维和严谨的推理。
湘教版高中数学必修第一册第2章2-1-1第1课时不等关系与不等式课件
辑推理素养．
必备知识·情境导学探新知
你见过图中的高速公路指示牌吗？左边的指示牌是指对应的车 道只能供小客车行驶，而且小客车的行驶速度v1(单位：km/h，下同) 应该满足100≤v1≤120；右边的指示牌是指对应的车道可供客车和 货车行驶，而且车的行驶速度
v2应该满足60≤v2≤100．
知识点 基本事实 如果a－b>0，那么a>b； 如果a－b＝0，那么a＝b； 如果a－b<0，那么a<b．反过来也成立．
题号
1
B．v≤120 km/h或d≥10 m
2
C．v≤120 km/h或d<10 m
3
D．v<m/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于
5
10 m，即d≥10 m，故选A．]
4．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5 倍还要 题号
依据 a>b⇔__a_－__b_>_0____；a＝b⇔__a_－__b_＝__0__；a<b⇔__a_－__b_<_0__ 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差__与_0的
结论 大小
体验1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式a≥b等价于“a不小于b”．
(√ )
(2)若x－2≤0，则x<2．
反思领悟 作差法比较两个实数大小的基本步骤
[跟进训练] 2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小．
类型3 不等关系的实际应用 【例3】 某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说： “如领队买全票一张，其余人可享受 7.5 折优惠”．乙车队说： “你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是 一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．
2.1等式性质与不等式性质(第一课时)-【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
立德树人 和谐发展
三国时期吴国的数学家赵爽，用来证明勾股定理。
证明：4（ 1 ab) (b a)2 c2 2
2ab (b2 2ab a2 ) c2 a2 b2 c2
探究新知
立德树人 和谐发展
（1）大正方形边长为____a_2___b_2__，
b
面积S为___a_2___b__2 _____
a
（2）四个直角三角形___全__等___，
面积和S’为____2_a_b_________
（3）S与S’的大小关系是___S____S_'_，故有__a_2___b_2 2ab
（4）S与S’可能相等吗？满足什么条件时相等？
探究新知
立德树人 和谐发展
b
a
上述结论可描述为：
当a 0, b 0时，a2 b2 2ab
x 2 x 3 x 1 x 4
x2 5x 6x2 5x 4
20
• 所以 x 2 x 3 x 1 x 4
练习
立德树人 和谐发展
立德树人 和谐发展
2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标
思考1：这图案中含有怎样的几何图形？ 思考2：你能发现图案中的相等关系或不等关系吗？
用不等式表示不等关系立德树人 和谐发展
文字语言 大于 小于
大于等于 小于等于
数学符号 > < ≥ ≤
文字语言 至多 至少 不少于 不多于
数学符号 ≤ ≥ ≥ ≤
比较实数的大小
立德树人 和谐发展
两个实数的大小比较
例1
立德树人 和谐发展
• 比较 x 2 x 3和 x 1 x 4 的大小 • 解：因为
立德树人 和谐发展
问题 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
新教材高中数学一元二次函数方程和不等式 第1课时不等关系与不等式学案含解析新人教A版必修1
第二章一元二次函数、方程和不等式2．1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式[目标] 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系；2.理解不等号的意义和不等式的概念,会用不等式和不等式组表示各种不等关系；3.理解实数大小与实数运算的关系,会用作差比较法比较两个实数的大小．[重点] 会用作差比较法比较两个实数的大小．[难点] 用不等式或不等式组表示各种不等关系．知识点一不等式与不等关系[填一填]1．不等式的定义所含的两个要点：(1)不等符号<,≤,>,≥或≠.(2)所表示的关系是不等关系．2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换[答一答]1．不等关系通过什么样的形式表现出来？提示：通过不等式来表现不等关系．2．在日常生活中,我们经常看到下列标志：(1)你知道各图中的标志有何作用？其含义是什么吗？ (2)你能用一个数学式子表示上述关系吗？如何表示？提示：(1)①最低限速：限制行驶时速v 不得低于50公里； ②限制质量：装载总质量G 不得超过10 t ； ③限制高度：装载高度h 不得超过3.5米； ④限制宽度：装载宽度a 不得超过3米； ⑤时间范围：t ∈{t |7.5≤t ≤10}．(2)①v ≥50；②G ≤10；③h ≤3.5；④a ≤3；⑤7.5≤t ≤10. 知识点二 比较两实数a,b 大小的依据[填一填][答一答]3．用作差法比较两个实数的大小时,对差式应如何变形？ 提示：一般地,对差式分解因式或配方． 4．比较x 2＋3与3x 的大小(其中x ∈R )．提示：因为(x 2＋3)－3x ＝x 2－3x ＋3＝[x 2－3x ＋⎝⎛⎭⎫322]＋3－⎝⎛⎭⎫322＝⎝⎛⎭⎫x －322＋34≥34>0,所以x 2＋3>3x .类型一 用不等式(组)表示不等关系[例1] 已知甲、乙两种食物的维生素A,B 含量如下表：食物甲 乙 维生素A/(单位/kg) 600 700 维生素B/(单位/kg)800400设用甲、乙两种食物各x kg,y kg 配成混合食物,并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B.试用不等式组表示x ,y 所满足的不等关系．[分析] 根据维生素A 和B 分别至少为56 000单位和63 000单位列不等式．[解] x kg 甲种食物含有维生素A 600x 单位,含有维生素B 800x 单位,y kg 乙种食物含有维生素A 700y 单位,含有维生素B 400y 单位,则x kg 甲种食物与y kg 乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x ＋700y )单位,含有维生素B(800x ＋400y )单位,则有⎩⎪⎨⎪⎧ 600x ＋700y ≥56 000，800x ＋400y ≥63 000，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋7y ≥560，4x ＋2y ≥315，x ≥0，y ≥0.1.用不等式(组)表示不等关系的步骤： (1)审清题意,明确条件中的不等关系的个数； (2)适当设未知数表示变量；(3)用不等式表示每一个不等关系,并写成不等式组的形式． 2．常见的文字语言与符号语言之间的转换[变式训练1]《铁路旅行常识》规定：一、随同成人旅行,身高在1.1～1.4米的儿童享受半价客票(以下称儿童票),超过1.4米的应买全价票,每一名成人旅客可免费带一名身高不足1.1米的儿童,超过一名时,超过的人数应买儿童票．……十、旅客免费携带物品的体积和重量是每件物品的外部长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米,杆状物品不得超过200厘米,重量不得超过20千克……设身高为h(米),物品外部长、宽、高尺寸之和为P(厘米),请用不等式表示下表中的不等关系.解：由题意可获取以下主要信息：(1)身高用h(米)表示,物体长、宽、高尺寸之和为P(厘米)；(2)题中要求用不等式表示不等关系．解答本题应先理解题中所提供的不等关系,再用不等式表示．身高在1.1～1.4米可表示为1.1≤h≤1.4,身高超过1.4米可表示为h>1.4,身高不足1.1米可表示为h<1.1,物体长、宽、高尺寸之和不得超过160厘米可表示为P≤160.如下表所示：类型二 比较大小[例2] (1)设m ∈R ,x ∈R ,比较x 2－x ＋1与－2m 2－2mx 的大小．(2)甲、乙是同班同学,且住在同一小区,两人同时从小区出发去学校,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,且跑步速度大于步行速度,试判断两人谁先到学校．[分析] (1)将两个代数式作差,判断它们差的符号．(2)依据题意求出甲、乙所用时间,作差法进行比较．[解] (1)∵x ∈R ,m ∈R ,∴(x 2－x ＋1)－(－2m 2－2mx )＝x 2＋(2m －1)x ＋(2m 2＋1)＝x 2＋(2m －1)x ＋⎝⎛⎭⎫2m －122－⎝⎛⎭⎫2m －122＋2m 2＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋2m －122＋m 2＋m ＋34＝⎝⎛⎭⎫x ＋2m －122＋⎝⎛⎭⎫m ＋122＋12>0.∴x 2－x ＋1>－2m 2－2mx .(2)设步行速度与跑步速度分别为v 1,v 2,其中0<v 1<v 2,总路程为2s .则甲用的时间为s v 1＋sv 2,乙有的时间为4s v 1＋v 2.因为s v 1＋s v 2－4s v 1＋v 2＝s (v 1＋v 2)2－4s v 1v 2v 1v 2(v 1＋v 2)＝s (v 1－v 2)2v 1v 2(v 1＋v 2)>0,所以sv 1＋s v 2>4sv 1＋v 2,故乙同学先到学校．1.作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论.(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类讨论. 2.作商法比较大小的步骤,①作商变形；②与1比较大小；③得出结论.[变式训练2] 设x ∈R ,且x ≠－1,比较11＋x 与1－x 的大小．解：∵11＋x －(1－x )＝x 21＋x ,而x 2≥0,(1)当x ＝0时,x 21＋x ＝0,∴11＋x ＝1－x .(2)当1＋x <0,即x <－1时,x 21＋x <0,∴11＋x<1－x . (3)当1＋x >0,且x ≠0,即－1<x <0或x >0时,x 21＋x >0,∴11＋x >1－x .综上可知：当x ＝0时,11＋x ＝1－x ；当x <－1时,11＋x <1－x ；当－1<x <0或x >0时,11＋x>1－x .类型三 不等式的实际应用[例3] 某单位组织职工去某地参观学习,需包车前往．甲车队说：“如领队买全票一张,其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票,按原价的8折优惠．”这两车队的收费标准、车型都是一样的,试根据此单位去的人数,比较两车队的收费哪家更优惠．[分析] 依据题意表示出两车队的收费,然后比较大小．[解] 设该单位职工有n 人(n ∈N *),全票价为x 元,坐甲车需花y 1元,坐乙车需花y 2元,则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ,y 2＝45xn ,y 1－y 2＝14x ＋34xn －45xn ＝14x －120xn ＝14x ⎝⎛⎭⎫1－n 5. 当n ＝5时,y 1＝y 2； 当n >5时,y 1<y 2； 当n <5时,y 1>y 2.因此,当此单位去的人数为5人时,两车队收费相同；多于5人时,选甲车队更优惠；少于5人时,选乙车队更优惠．(1)“最优方案”问题,首先要设出未知量,搞清楚比较的对象,然后把这个未知量用其他的已知量表示出来,通过比较即可得出结论.(2)这是一道与不等式有关的实际应用问题,解答时要有设有答,步骤完整.[变式训练3] 某蛋糕师制作A ,B 两种蛋糕,原材料中面粉、黄油、牛奶的需求量如下：制作一个A 种蛋糕需要面粉150 g,黄油100 g,牛奶50 mL ；制作一个B 种蛋糕需要面粉200 g,黄油140 g,牛奶70 mL.现有面粉1 000 g,黄油600 g,牛奶350 mL.若分别制作x 个A 种蛋糕,y 个B 种蛋糕．试列出x ,y 满足的不等式组．解：①制作A ,B 两种蛋糕需要的面粉不超过1 000 g,用不等式表示为150x ＋200y ≤1 000； ②制作A ,B 两种蛋糕需要的黄油不超过600 g,用不等式表示为100x ＋140y ≤600； ③制作A ,B 两种蛋糕需要的牛奶不超过350 mL,用不等式表示为50x ＋70y ≤350； ④A ,B 两种蛋糕的制作量都应不少于0,且为整数个,故x ∈N ,y ∈N . 所以x ,y 满足的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧150x ＋200y ≤1 000100x ＋140y ≤60050x ＋70y ≤350x ∈N ，y ∈N .1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机,他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元,直到他至少有400元,设x 个月后他至少有400元,则关于月数x 的不等式是( B )A ．30x －60≥400B ．30x ＋60≥400C ．30x －60≤400D ．30x ＋60≤400解析：x 月后他至少有400元,可表示成30x ＋60≥400.2．若x ≠－2且y ≠1,则M ＝x 2＋y 2＋4x －2y 的值与－5的大小关系是( A ) A ．M >－5 B ．M <－5 C ．M ≥－5D ．M ≤－5解析：M －(－5)＝x 2＋y 2＋4x －2y ＋5 ＝(x ＋2)2＋(y －1)2, ∵x ≠－2,y ≠1, ∴(x ＋2)2>0,(y －1)2>0, 因此(x ＋2)2＋(y －1)2>0. 故M >－5.3．设a ≥0,b ≥0,A ＝a ＋b ,B ＝a ＋b ,则A ,B 的大小关系是( B ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <BD ．A >B 解析：由题意得,B 2－A 2＝－2ab ≤0,因为A ≥0,B ≥0,所以A ≥B .4．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0),若再添上m 克糖(m >0),则糖水就变甜了,试根据这个事实提炼一个不等式a ＋m b ＋m >ab(b >a >0,m >0)．解析：由题意ab的比值越大,糖水越甜,若再添上m 克糖(m >0),则糖水就变甜了,说明a ＋mb ＋m >ab. 5．已知a ,b 为正实数,试比较a b ＋ba与a ＋b 的大小． 解：方法1(作差法)：(a b ＋b a )－(a ＋b )＝(a b －b )＋(ba －a )＝a －b b ＋b －a a＝(a －b )(a －b )ab＝(a －b )2(a ＋b )ab.∵a ,b 为正实数,∴a ＋b >0,ab >0,(a －b )2≥0, ∴(a －b )2(a ＋b )ab ≥0,∴a b ＋b a ≥a ＋b .方法2(作商法)：b a ＋ab a ＋b ＝(b )3＋(a )3ab (a ＋b )＝(a ＋b )(a ＋b －ab )ab (a ＋b )＝a ＋b －abab＝(a －b )2＋ab ab ＝1＋(a －b )2ab ≥1.∵b a ＋a b >0,a ＋b >0,∴b a ＋ab≥a ＋b . 方法3(平方后作差)：∵(a b ＋b a )2＝a 2b ＋b 2a ＋2ab ,(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ,∴(a b ＋b a )2－(a ＋b )2＝(a ＋b )(a －b )2ab .∵a >0,b >0,∴(a ＋b )(a －b )2ab ≥0,又a b ＋ba >0,a ＋b >0, 故a b ＋ba≥a ＋b .——本课须掌握的三大问题1．不等关系强调的是关系,可用符号“>”“<”“≠”“≥”“≤”表示,而不等式则是表示两者的不等关系,可用“a >b ”“a <b ”“a ≠b ”“a ≥b ”“a ≤b ”等式子表示,不等关系是可以通过不等式来体现的．2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换 文字大于,高于,超过小于,低于,少于大于或等于,至少,小于或等于,至多,不(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；(2)变形：对差进行变形；(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；(4)作出结论．这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论,其中变形是判断符号的前提．。
高中数学不等关系教案
高中数学不等关系教案
一、教学内容分析：
不等关系是数学中常见的一种关系，包括大于、小于、大于等于、小于等于等不等关系。
本课程将介绍不等关系的定义、性质和应用，帮助学生掌握不等关系的相关知识和解题技巧。
二、教学目标：
1. 了解不等关系的定义和表示方法。
2. 掌握不等关系的性质和性质。
3. 能够灵活运用不等关系解决实际问题。
三、教学重点与难点：
重点：不等关系的定义和性质。
难点：不等关系在解决实际问题中的应用。
四、教学过程：
1. 导入：通过一个生活中的案例引导学生了解不等关系的概念，并讨论大于、小于、大于等于、小于等于等关系的表示方法。
2. 讲解：介绍不等关系的定义和性质，包括传递性、反对称性和反对称性等。
3. 练习：让学生做一些简单的不等关系的练习题，加深对不等关系的理解。
4. 拓展：引导学生探讨不等关系在不同领域的应用，如经济学、生活中的消费选择等。
5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调不等关系的重要性和应用价值。
五、作业布置：
1. 完成课堂练习题。
2. 思考生活中的实际问题，尝试用不等关系来解决。
六、教学反思：
在教学中应该注重引导学生理解不等关系的概念和性质，同时培养他们灵活运用不等关系解决实际问题的能力。
同时，可以通过丰富多样的教学活动，提高学生的学习兴趣和课堂参与度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
复习目标：
了解二元一次不等式（组）表示平面区域。
典型例题：
1． 某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1kg 要用煤9吨，电力4kw ，劳力（按工
作日计算）3个；制造乙产品1kg 要用煤4吨，电力5kw ，劳力10个，又知制成甲产品lkg 可获利7万元，制成乙产品lkg 可获利12万元，现在此工厂只有煤360吨，电力200kw ，劳力300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少千克，才能获得最大经济效益？
解：设此工厂应生产甲、乙两种产品x kg 、y kg ，则依题意可得约束条件：
⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋4y ≤3604x ＋5y ≤2003x ＋10y ≤300x ≥0y ≥0
2．某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌6个。
现有两种规格原料，甲种规格每张3m 2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2m 2
，可做文字标牌2个，绘画标牌1个。
求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小？
解：设用甲种规格的原料x 张，乙种规格的原料y 张，则可做文字标牌x ＋2y 个，绘画标 牌2x ＋y 个。
由题意得：
⎩⎨⎧x
＋2y ≥42x ＋y ≥6x ＞0y ＞0
所用原料总面积为z ＝3x ＋2y
3．某工厂加工零件，要在长度为400cm 的圆钢上截取长度为67cm 和51cm 的甲、乙两种规格的圆钢，问怎样截取才能使圆钢的余料最少？
解：设截取甲规格的圆钢为x 根、截取乙规格圆钢为y 根，由此得不等式组：
1．某工厂制造甲、乙两种产品，已知制造甲产品1kg要用煤9吨，电力4kw，劳力（按工作日计算）3个；制造乙产品1kg要用煤4吨，电力5kw，劳力10个，又知制成甲产品lkg可获利7万元，制成乙产品lkg可获利12万元，现在此工厂只有煤360吨，电力200kw，劳力300个，在这种条件下应生产甲、乙两种产品各多少千克，才能获得最大经济效益？
2．某人承揽一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌6个。
现有两种规格原料，甲种规格每张3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个；乙种规格每张2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个。
求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小？
3．某工厂加工零件，要在长度为400cm的圆钢上截取长度为67cm和51cm的甲、乙两种规格的圆钢，问怎样截取才能使圆钢的余料最少？。