数字图像处理 第七章
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精品课件-数字图像处理-第7章
6
④对i≠j，有P(Ri∪Rj)＝FALSE； ⑤对i＝1，2，…，n，Ri是连通的区域。 定义中，条件①指出对一幅图像的分割结果中全部区域 的总和(并集)应能包括图像的所有像素(即原图像)；条件② 指出分割结果中各个区域是互不重叠的，或者说在分割结果 中一个像素不能同时属于两个区域；条件③指出属于同一个 区域的像素应该具有某些相同特性；条件④指出分割结果中 属于不同区域的像素应该具有一些不同的特性；条件⑤要求 分割结果中同一个区域内的任意两个像素在该区域内互相连 通，或者说分割得到的区域是一个连通成分。
11 图7.2.1 边缘及其导数
12
可用一阶导数的幅度值来检测边缘的存在，幅度峰值一 般对应边缘位置。可用二阶导数的过零点检测边缘位置，而 用二阶导数在过零点附近的符号确定边缘像素在图像边缘的 暗区或明区。
利用边缘灰度变化的一阶或二阶导数特点，可以将边缘 点检测出来。
自1965年L.G.Robert提出边缘检测算子以来，边缘检测 算子常分为经典算子、最优算子、多尺度方法及自适应平滑 滤波方法。近年来又提出了将模糊数学、神经元网络和数学 形态学应用于边缘检测的思想。经典的梯度算子模板包括 Roberts模板、Sobel模板、Kirsch模板、Laplacian模板等。
据此，对数字图2像f 的每x个f2 像 素yf计2 算关于x和y的(二7.阶2.偏2)导
数之和，以差分方式表示，得到
27
2f(x，y)＝f(x＋1，y)＋f(x－1，y)＋f(x，y＋1)＋ f(x，y－1)－4f(x，y)
(7.2.3) 上式中的 2就是著名的Laplacian算子。
28 图7.2.8 Laplacian算子模板
31
所以平滑函数应能反映不同远近的周围点对给定像素具有不 同的平滑作用，因此，平滑函数采用正态分布的高斯函数， 即
数字图像处理 第七章
5．冗余性
（ 1 ）由连续小波变换恢复信号的重构公式不是唯一的。也就是说， 信号的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而Fourier 变换与反 Fourier变换是一一对应的。 （ 2 ）小波变换的核函数即函数存在许多可能的选择（例如，非正交 小波、正交小波、双正交小波,甚至允许是彼此线性相关的）。
（4）Biorthogonal（biorNr.Nd）双正交小波系
得重构算法:
c n (k 1) p n2l cl (k ) q n2l d l (k )
l l
小波重建示意图
33
7.5 Matlab中常用小波基介绍
34
常用小波函数介绍
（1）Harr小波
1 H ( x) 1 0 尺度函数
1 H ( x) 0
改变a和b的大小，以使小波变换具有“变焦距”的功能。
18
离散小波变换
定义 令：a0=2，b0=1时，尺度为2 j ，而位移为2 j k
即：尺度为2 j ，而位移为2 j k 则：二进离散小波：
j ,k ( x) 2 j / 2 2 j x k
相应的小波变换记：
(W f )( j, k ) f , j ,k
j jJ
22
框架理论
对偶框架算子
设
~ ~ T T (T *T ) 1 对偶框架 { j } jJ 的框架算子
则：
~ ~ T *T I T *T
可以得到：
~ f f , ~ f , j j j j
jJ jJ
23
7.4
多分辨率分析和Mallat算法
分解 由于
f k ( x) Vk g k Wk , { (2 k x j )},{ (2 k x j )} 分别是
(完整版)数字图像处理每章课后题参考答案
数字图像处理每章课后题参考答案第一章和第二章作业：1.简述数字图像处理的研究内容。
2.什么是图像工程？根据抽象程度和研究方法等的不同，图像工程可分为哪几个层次？每个层次包含哪些研究内容？3.列举并简述常用表色系。
1.简述数字图像处理的研究内容？答：数字图像处理的主要研究内容，根据其主要的处理流程与处理目标大致可以分为图像信息的描述、图像信息的处理、图像信息的分析、图像信息的编码以及图像信息的显示等几个方面，将这几个方面展开，具体有以下的研究方向：1.图像数字化，2.图像增强，3.图像几何变换，4.图像恢复，5.图像重建，6.图像隐藏，7.图像变换，8.图像编码，9.图像识别与理解。
2.什么是图像工程？根据抽象程度和研究方法等的不同，图像工程可分为哪几个层次？每个层次包含哪些研究内容？答：图像工程是一门系统地研究各种图像理论、技术和应用的新的交叉科学。
根据抽象程度、研究方法、操作对象和数据量等的不同，图像工程可分为三个层次：图像处理、图像分析、图像理解。
图像处理着重强调在图像之间进行的变换。
比较狭义的图像处理主要满足对图像进行各种加工以改善图像的视觉效果。
图像处理主要在图像的像素级上进行处理，处理的数据量非常大。
图像分析则主要是对图像中感兴趣的目标进行检测和测量，以获得它们的客观信息从而建立对图像的描述。
图像分析处于中层，分割和特征提取把原来以像素描述的图像转变成比较简洁的非图形式描述。
图像理解的重点是进一步研究图像中各目标的性质和它们之间的相互联系，并得出对图像内容含义的理解以及对原来客观场景的解释，从而指导和规划行为。
图像理解主要描述高层的操作，基本上根据较抽象地描述进行解析、判断、决策，其处理过程与方法与人类的思维推理有许多相似之处。
第三章图像基本概念1.图像量化时，如果量化级比较小时会出现什么现象？为什么？答：当实际场景中存在如天空、白色墙面、人脸等灰度变化比较平缓的区域时，采用比较低的量化级数，则这类图像会在画面上产生伪轮廓（即原始场景中不存在的轮廓）。
胡学龙《数字图像处理(第二版)》课后习题解答
3ຫໍສະໝຸດ 第 2 章 图像的数字化与显示
2.1 设有大小为 32×32 的图标，图标的每个像素有 8 种颜色，共有多少种不同的图标？
如果每 100 万个可能的图标中有一个有意义，识别一个有意义的图标需要 0.1 s，则选出所
有有意义的图标需要多长时间？
解：图标数为
832×32 = 10925 种
有意义的图标数 10925/106 = 10919 种
第 1 章 概述
1.1 连续图像和数字图像如何相互转换？ 答：数字图像将图像看成是许多大小相同、形状一致的像素组成。这样，数字图像可以 用二维矩阵表示。将自然界的图像通过光学系统成像并由电子器件或系统转化为模拟图像 （连续图像）信号，再由模拟/数字转化器（ADC）得到原始的数字图像信号。图像的数字 化包括离散和量化两个主要步骤。在空间将连续坐标过程称为离散化，而进一步将图像的幅 度值（可能是灰度或色彩）整数化的过程称为量化。
2
1．PHOTOSHOP：当今世界上一流的图像设计与制作工具，其优越性能令其产品望尘 莫及。PHOTOSHOP 已成为出版界中图像处理的专业标准。高版本的 PHOTOSHOP 支持多 达 20 多种图像格式和 TWAIN 接口，接受一般扫描仪、数码相机等图像输入设备采集的图 像。PHOTOSHOP 支持多图层的工作方式，只是 PHOTOSHOP 的最大特色。使用图层功能 可以很方便地编辑和修改图像，使平面设计充满创意。利用 PHOTOSHOP 还可以方便地对 图像进行各种平面处理、绘制简单的几何图形、对文字进行艺术加工、进行图像格式和颜色 模式的转换、改变图像的尺寸和分辨率、制作网页图像等。
4
110 106 129 129 127 122 117 88 84 112 111 131 130 128 118 111 97 97 133 127 138 131 124 111 102 100 97 166 151 144 126 124 111 99 96 93 158 143 139 130 120 100 96 97 100 128 121 126 122 88 62 65 68 79 106 92 107 114 82 52 42 41 56
2.1 设有大小为 32×32 的图标，图标的每个像素有 8 种颜色，共有多少种不同的图标？
如果每 100 万个可能的图标中有一个有意义，识别一个有意义的图标需要 0.1 s，则选出所
有有意义的图标需要多长时间？
解：图标数为
832×32 = 10925 种
有意义的图标数 10925/106 = 10919 种
第 1 章 概述
1.1 连续图像和数字图像如何相互转换？ 答：数字图像将图像看成是许多大小相同、形状一致的像素组成。这样，数字图像可以 用二维矩阵表示。将自然界的图像通过光学系统成像并由电子器件或系统转化为模拟图像 （连续图像）信号，再由模拟/数字转化器（ADC）得到原始的数字图像信号。图像的数字 化包括离散和量化两个主要步骤。在空间将连续坐标过程称为离散化，而进一步将图像的幅 度值（可能是灰度或色彩）整数化的过程称为量化。
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1．PHOTOSHOP：当今世界上一流的图像设计与制作工具，其优越性能令其产品望尘 莫及。PHOTOSHOP 已成为出版界中图像处理的专业标准。高版本的 PHOTOSHOP 支持多 达 20 多种图像格式和 TWAIN 接口，接受一般扫描仪、数码相机等图像输入设备采集的图 像。PHOTOSHOP 支持多图层的工作方式，只是 PHOTOSHOP 的最大特色。使用图层功能 可以很方便地编辑和修改图像，使平面设计充满创意。利用 PHOTOSHOP 还可以方便地对 图像进行各种平面处理、绘制简单的几何图形、对文字进行艺术加工、进行图像格式和颜色 模式的转换、改变图像的尺寸和分辨率、制作网页图像等。
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110 106 129 129 127 122 117 88 84 112 111 131 130 128 118 111 97 97 133 127 138 131 124 111 102 100 97 166 151 144 126 124 111 99 96 93 158 143 139 130 120 100 96 97 100 128 121 126 122 88 62 65 68 79 106 92 107 114 82 52 42 41 56
数字图像处理图像压缩ppt课件
图像熵值
6
H Pxi log2 Pxi i 1 0.4log2 0.4 0.3log2 0.3 2 0.1log2 0.1
0.06log2 0.06 0.04log2 0.04
2.14bit
平均码长 N与H接近，N H
第七章 图像压缩
7.2 基础知识 7.2.1 数据冗余
• 数据冗余旳概念
数据是用来表达信息旳。假如不同旳措施为表 达给定量旳信息使用了不同旳数据量，那么使用 较多数据量旳措施中，有些数据必然是代表了无 用旳信息，或者是反复地表达了其他数据已表达 旳信息，这就是数据冗余旳概念。
第七章 图像压缩
7.2.1 数据冗余
元素
xi
x1
x2 x3 x4
x5
x6
概率 P(xi) 0.4 0.3 0.1 0.1 0.06 0.04
编码 wi 1 00 011 0100 01010 01011
第七章 图像压缩
x1 0.4
0.4
x2 0.3
0.3
x3 0.1
0.1
x4 0.1
0.1 (0100)
x5 0.06 (01010) 0.1(0101)
例如：原图像数据：234 223 231 238 235 压缩后数据：234 -11 8 7 -3
第七章 图像压缩
7.2.1 数据冗余
• 什么是心理视觉冗余？
这是因为眼睛对全部视觉信息感受旳敏捷度 不同。在正常视觉处理过程中多种信息旳相对主 要程度不同。 有些信息在一般旳视觉过程中与另 外某些信息相比并不那么主要，这些信息被以为 是心理视觉冗余旳，清除这些信息并不会明显降 低图像质量。
• 三种基本旳数据冗余
编码冗余 像素间冗余 心理视觉冗余
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H Pxi log2 Pxi i 1 0.4log2 0.4 0.3log2 0.3 2 0.1log2 0.1
0.06log2 0.06 0.04log2 0.04
2.14bit
平均码长 N与H接近，N H
第七章 图像压缩
7.2 基础知识 7.2.1 数据冗余
• 数据冗余旳概念
数据是用来表达信息旳。假如不同旳措施为表 达给定量旳信息使用了不同旳数据量，那么使用 较多数据量旳措施中，有些数据必然是代表了无 用旳信息，或者是反复地表达了其他数据已表达 旳信息，这就是数据冗余旳概念。
第七章 图像压缩
7.2.1 数据冗余
元素
xi
x1
x2 x3 x4
x5
x6
概率 P(xi) 0.4 0.3 0.1 0.1 0.06 0.04
编码 wi 1 00 011 0100 01010 01011
第七章 图像压缩
x1 0.4
0.4
x2 0.3
0.3
x3 0.1
0.1
x4 0.1
0.1 (0100)
x5 0.06 (01010) 0.1(0101)
例如：原图像数据：234 223 231 238 235 压缩后数据：234 -11 8 7 -3
第七章 图像压缩
7.2.1 数据冗余
• 什么是心理视觉冗余？
这是因为眼睛对全部视觉信息感受旳敏捷度 不同。在正常视觉处理过程中多种信息旳相对主 要程度不同。 有些信息在一般旳视觉过程中与另 外某些信息相比并不那么主要，这些信息被以为 是心理视觉冗余旳，清除这些信息并不会明显降 低图像质量。
• 三种基本旳数据冗余
编码冗余 像素间冗余 心理视觉冗余
图像分割与特征提取 ppt课件
ppt课件
5
7.1 图像分割的概念
2. 图像分割的依据和方法
◆图像分割的依据是各区域具有不同的特性，这些 特性可以是灰度、颜色、纹理等。而灰度图像分割的 依据是基于相邻像素灰度值的不连续性和相似性。也 即，子区域内部的像素一般具有灰度相似性，而在区 域之间的边界上一般具有灰度不连续性。
◆灰度图像分割是图像分割研究中最主要的内容，其 本质是按照图像中不同区域的特性，将图像划分成不 同的区域。
7.2.1 图像边缘
图像
剖面
一阶导数
二阶导数
上升阶跃边缘 （a）
下降阶跃边缘 （b）
脉冲状边缘 （c）
屋顶边缘 （d）
图7.1 图像边缘及其导数曲线规律示例
ppt课件
11
7.2 基于边缘检测的图像分割
7.2.1 图像边缘
综上所述，图像中的边缘可以通过对它们求导数 来确定，而导数可利用微分算子来计算。对于数字图 像来说，通常是利用差分来近似微分。
方向：
f (x, y) = arctan(Gx / Gy )
（7.5）
ppt课件
14
7.2.2 梯度边缘检测
(1) Roberts算子
是一个交叉算子，其在点(i,j)的梯度幅值表示为：
G(i, j) = f (i, j) f (i 1, j 1) f (i 1, j) f (i, j 1) （7.6）
ppt课件
2
7.1 图像分割的概念
◆目标或前景 ◆背景 ◆目标一般对应于图像中特定的、具有独特性质的 区域。
ppt课件
3
7.1 图像分割的概念
1. 图像分割
图像分割就是依据图像的灰度、颜色、纹理、边 缘等特征，把图像分成各自满足某种相似性准则或具 有某种同质特征的连通区域的集合的过程。
遥感数字图像处理-第7章 图像去噪声
从噪声的概率密度函数来看，图像噪声主要有高斯噪声、 瑞利噪声、伽玛噪声、指数分布噪声、均匀分布噪声、脉 冲噪声等。
3
二、空间域去噪声
由于噪声像元的灰度值常与周边像元的灰度值不协调， 表现为极高或极低，因此可利用局部窗口的灰度值统计 特性（如均值、中值）来去除噪声。
空间域去噪声是利用待处理像元邻域窗口内的像元进行 均值、中值或其他运算得到新的灰度值，并将其赋给待 处理像元，通过对整幅图中值滤波、边缘保持平滑滤波和数学形态学去噪声等。
6
三、变换域去噪声
3.其他变换
主成分变换、最小噪声分离变换和独立成分变换去噪声主要用 于多波段数据，其去噪声的原理基本相同，即图像通过变换，噪 声主要集中在后面几个分量，选择前面噪声较少的分量进行反向 变换即可实现对图像的去噪声处理。
这里只简单介绍一下主成分变换去噪声的过程，最小噪声 分离变换和独立成分变换去噪声的过程类似。
第7章
图像去噪声
图像去噪声
一、常见噪声类型及其识别 二、空间域去噪声 三、变换域去噪声 难点：傅里叶变换和小波变换去噪声原理 重点：空间域和变换域去噪声方法
2
一、常见噪声类型及其识别
遥感数字图像成像过程中，受到外部环境和内部系统等因 素干扰会产生噪声，我们将其分为内部噪声和外部噪声。
噪声具有随机性，可以被认为是由概率密度函数（PDF） 表示的随机变量，通常采用噪声分量灰度值的统计特性（ 如均值、方差等）进行描述。
7
4
三、变换域去噪声
1.傅里叶变换
中心化的频谱图像
5
三、变换域去噪声
2.小波变换 利用傅里叶变换去噪声，带宽选得过宽，达不到去噪的目
的；选得过窄，噪声虽然滤去得多，但同时信号的高频部 分也损失了，不但带宽内的信噪比得不到改善，某些突变 点的信息也可能被模糊掉了。 在信号的低频部分，小波对频率的分辨率较高，而对时间 的分辨率较低；在高频部分，则恰好相反。它能自适应地 依据信号的变化而自行变化。 小波变换去噪的基本思路就是利用小波变换把含噪信号分 解到多尺度中，然后在每一尺度下把属于噪声的小波系数 抑制或去除，保留并增强属于信号的小波系数，最后重构 出小波消噪后的信号。
3
二、空间域去噪声
由于噪声像元的灰度值常与周边像元的灰度值不协调， 表现为极高或极低，因此可利用局部窗口的灰度值统计 特性（如均值、中值）来去除噪声。
空间域去噪声是利用待处理像元邻域窗口内的像元进行 均值、中值或其他运算得到新的灰度值，并将其赋给待 处理像元，通过对整幅图中值滤波、边缘保持平滑滤波和数学形态学去噪声等。
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三、变换域去噪声
3.其他变换
主成分变换、最小噪声分离变换和独立成分变换去噪声主要用 于多波段数据，其去噪声的原理基本相同，即图像通过变换，噪 声主要集中在后面几个分量，选择前面噪声较少的分量进行反向 变换即可实现对图像的去噪声处理。
这里只简单介绍一下主成分变换去噪声的过程，最小噪声 分离变换和独立成分变换去噪声的过程类似。
第7章
图像去噪声
图像去噪声
一、常见噪声类型及其识别 二、空间域去噪声 三、变换域去噪声 难点：傅里叶变换和小波变换去噪声原理 重点：空间域和变换域去噪声方法
2
一、常见噪声类型及其识别
遥感数字图像成像过程中，受到外部环境和内部系统等因 素干扰会产生噪声，我们将其分为内部噪声和外部噪声。
噪声具有随机性，可以被认为是由概率密度函数（PDF） 表示的随机变量，通常采用噪声分量灰度值的统计特性（ 如均值、方差等）进行描述。
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4
三、变换域去噪声
1.傅里叶变换
中心化的频谱图像
5
三、变换域去噪声
2.小波变换 利用傅里叶变换去噪声，带宽选得过宽，达不到去噪的目
的；选得过窄，噪声虽然滤去得多，但同时信号的高频部 分也损失了，不但带宽内的信噪比得不到改善，某些突变 点的信息也可能被模糊掉了。 在信号的低频部分，小波对频率的分辨率较高，而对时间 的分辨率较低；在高频部分，则恰好相反。它能自适应地 依据信号的变化而自行变化。 小波变换去噪的基本思路就是利用小波变换把含噪信号分 解到多尺度中，然后在每一尺度下把属于噪声的小波系数 抑制或去除，保留并增强属于信号的小波系数，最后重构 出小波消噪后的信号。
数字图像处理第7章
1 0 1
1
Wh 2
2
2
1
0 0
2
1
1
Wv
1 2
2
0 1
2 1
0 0
2
1
▓图7.2.5给出了上述五种梯度算子的边缘点检测实例。
Digital Image Processing
7.2 边缘点检测
(a)原图像
(b)梯度算子检测
(c) Roberts检测
(d) Prewitt检测
(e) Sobel检测
感。形成的方向梯度模板集就称为方向匹配检测模板，或方向梯
度响应数组。用其中的每一个方向的模板分别与图像卷积，其最
大模值就是边缘点的强度，最大模值对应的模板方向就是边缘点
的方向，这种检测边缘点并确定其方向的方法就称为方向梯度法
或方向匹配模板法。边缘梯度的定义式为：
N 1
G(m,
n)
MAX i0
{
Gi
(m,
Digital Image Processing
7.2 边缘点检测
（2） Sobel算子法（加权平均差分法） ▓Sobel算子就是对当前行或列对应的值加权后，再进行平
均和差分，也称为加权平均差分。水平和垂直梯度模板分别为：
1 0 1
Wh
1 4
2
0
2
1 0 1
1 2 1
Wv
1 4
0
0
0
1 2 1
(f)各向同性Sobel检测
图7.2-5 五种梯度算子的边缘点检测实例
Digital Image Processing
7.2 边缘点检测
◘方向梯度法（方向匹配模板法)
▓若事先并不知道哪个方向有边缘，但需要检测边缘，并确定 边缘的方向时。我们可设计一系列对应不同方向边缘的方向梯度
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对 f (x) L2 R
f (x) g k (x) g 1 (x) g 0 (x) g1 (x) kZ
(W
f )a,b
a
1 2
R
f (x) x b dx
a
|a|-1/2规范化因子，可使 || a,b ||2 || ||2
记 (W f )a,b f , a,b
7
基小波或允许小波
定义
设 (x) L2 (R) 是连续小波且满足容许性条件：
ˆ () 2
C R d
则 (x) 为一个基小波或允许小波。
即：尺度为2 j ，而位移为2 j k
则：二进离散小波：
j,k (x) 2 j / 2 2 j x k
相应的小波变换记：
(W f )( j, k) f , j,k
定义
19
框架理论
定义
设 { j } jJ H 存在 0 A B ，对 f (x) H 有：
A f 2
f , j
数字图像处理
Digital Image Processing
1
第七章 小波图像编码
2
7.1 概述
3
主要内容
小波变换 离散小波变换 多分辨率分析和Mallat算法 Matlab中常用小波基介绍 小波变换在图像编码中的应用
4
7.2 小波变换
5
一维连续小波
定义
给定
(x) L2 (R)
(4)尺度性: f (x) Vj f (2 j x) V0
(5)Riesz基存在性:
V0 且 x k , k z 构成V0的Riesz基
则空间集合称为依尺度函数 的多分辨率分析
25
小波分解和重建
分解
{Vk}一个多分辨分析, {Wk} 是{Vk}关于{Vk+1}的补空间
则：
L2 (R) Wk W1 W0 W1 kz
令： ~j (T *T )1 j , j J
对偶框架定义
则
{~
j
}
也是框架，且其框架界为B-1和A-1
jJ
称
{~ j
}
是
jJ
{
j } jJ
的对偶框架
22
框架理论
对偶框架算子
设 T~ T (T *T ) 1 对偶框架 {~ j } jJ 的框架算子
则： T~ *T I T *T~
可以得到：
12
小波变换的性质
2．平移不变性
如果 f (x) (W f )(a, b) 则 f (x x0 ) (W f )(a, b x0 )
13
小波变换的性质
3．伸缩共变性
如果 f (x) (W f )(a, b)
则
f(x)
(W
f
)(a
,
b ),
0
14
小波变换的性质
4．自相似性
对应不同尺度参数和不同平移参数的连续小波变换之间是自相似的。
越大越好，即
x p (x)dx 0
R
p 1,2,, n
p=1可直接由允许性条件验证，至于其他情况，能使上式
成立的n越大越好.
11
小波变换的性质
1．线性性
如果 f (x) (W f )(a, b), g(x) (W g)(a, b) 则 k1 f (x) k 2 g(x) k1 (W f )(a, b) k2 (W f )(a, b)
a,b (x)
a
1/ 2
(
xb a
)
a,b R, a 0
称为连续小波或分析小波(Analyzing Wavelet)
叫基本小波或母小波（Mother Wavelet）。
其中a是伸缩因子，b为平移因子。
6
一维连续小波变换CWT
定义
设 a,b 是连续小波
则函数 f (x) L2 R的连续小波变换：
2．能量比例性
令 (x)是允许小波，对所有 f (x) L2 (R)有：
R f (x) 2 dx f , f C1
1
2
R2 a 2 (W f )(a, b) dadb
上式为能量公式，在允许性条件下，小波变换幅度的平方 的积分与信号能量成正比。
10
允许小波的性质
3．正则性
令 (x) 是允许小波，要求其前 n 阶原点矩为零，且 n
2
B
f
2
jJ
则 { j } jJ 称为一个框架
如果A=B，则框架为紧框架有：
f , j 2 A f 2
jJ
20
框架理论
如果 { j } jJ 是框架
框架算子定义
有线性算子：
T : f (Tf ) j j , f
称 T 为框架算子
I恒等算子
AI T *T BI
21
框架理论
设{ j } jJ 是框架
f , j ~j f f ,~j j
jJ
jJ
23
7.4 多分辨率分析和Mallat算法
24
多分辨率分析
定义
L2 (R) 中一系列嵌套函数子空间序列 V j , j 2, Nhomakorabea,0,1,2
若下列条件成立：
(1)嵌套性： V j V j1
(2)稠密性：
U
jz
V
j
L2 R
(3)分立性: V j 0 jz
k, j Z
17
离散小波变换
定义 离散小波变换：
(W f )(a0j , kb0 ) f , a0j ,kb0 R f (x) a0j ,kb0 (x)dx
k, j Z
改变a和b的大小，以使小波变换具有“变焦距”的功能。
18
离散小波变换
令：a0=2，b0=1时，尺度为2 j ，而位移为2 j k
16
离散小波
定义
尺度离散化：取一个合理的值a0，使尺度因子只取a0的
整数幂，即
a
0 0
1,
a
1 0
,
a
2 0
,
,
a
j 0
,
位移离散化：当尺度取a0时，取位移b=b0，各位移为k·b0。
当
a
a
j 0
时，取 b ka0jb0
， 其中 a0 1, b0 0 固定的。
离散小波函数:
a0j ,kb0 (x) a0 j / 2 a0 j x kb0
5．冗余性
（1）由连续小波变换恢复信号的重构公式不是唯一的。也就是说， 信号的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而Fourier变换与反 Fourier变换是一一对应的。
（2）小波变换的核函数即函数存在许多可能的选择（例如，非正交 小波、正交小波、双正交小波,甚至允许是彼此线性相关的）。
15
7.3 离散小波变换
8
允许小波的性质
1．小波逆变换存在性
令 (x)是允许小波，对所有 f (x), g(x) L2 (R) 有：
da
R2 [(W f )(a,b)(W g)(a,b)] a2 db C f , g
且有
f (x) 1
C
R2
1 | a |2
[(W
f
)(a, b)] a,b (x)dadb
9
允许小波的性质
f (x) g k (x) g 1 (x) g 0 (x) g1 (x) kZ
(W
f )a,b
a
1 2
R
f (x) x b dx
a
|a|-1/2规范化因子，可使 || a,b ||2 || ||2
记 (W f )a,b f , a,b
7
基小波或允许小波
定义
设 (x) L2 (R) 是连续小波且满足容许性条件：
ˆ () 2
C R d
则 (x) 为一个基小波或允许小波。
即：尺度为2 j ，而位移为2 j k
则：二进离散小波：
j,k (x) 2 j / 2 2 j x k
相应的小波变换记：
(W f )( j, k) f , j,k
定义
19
框架理论
定义
设 { j } jJ H 存在 0 A B ，对 f (x) H 有：
A f 2
f , j
数字图像处理
Digital Image Processing
1
第七章 小波图像编码
2
7.1 概述
3
主要内容
小波变换 离散小波变换 多分辨率分析和Mallat算法 Matlab中常用小波基介绍 小波变换在图像编码中的应用
4
7.2 小波变换
5
一维连续小波
定义
给定
(x) L2 (R)
(4)尺度性: f (x) Vj f (2 j x) V0
(5)Riesz基存在性:
V0 且 x k , k z 构成V0的Riesz基
则空间集合称为依尺度函数 的多分辨率分析
25
小波分解和重建
分解
{Vk}一个多分辨分析, {Wk} 是{Vk}关于{Vk+1}的补空间
则：
L2 (R) Wk W1 W0 W1 kz
令： ~j (T *T )1 j , j J
对偶框架定义
则
{~
j
}
也是框架，且其框架界为B-1和A-1
jJ
称
{~ j
}
是
jJ
{
j } jJ
的对偶框架
22
框架理论
对偶框架算子
设 T~ T (T *T ) 1 对偶框架 {~ j } jJ 的框架算子
则： T~ *T I T *T~
可以得到：
12
小波变换的性质
2．平移不变性
如果 f (x) (W f )(a, b) 则 f (x x0 ) (W f )(a, b x0 )
13
小波变换的性质
3．伸缩共变性
如果 f (x) (W f )(a, b)
则
f(x)
(W
f
)(a
,
b ),
0
14
小波变换的性质
4．自相似性
对应不同尺度参数和不同平移参数的连续小波变换之间是自相似的。
越大越好，即
x p (x)dx 0
R
p 1,2,, n
p=1可直接由允许性条件验证，至于其他情况，能使上式
成立的n越大越好.
11
小波变换的性质
1．线性性
如果 f (x) (W f )(a, b), g(x) (W g)(a, b) 则 k1 f (x) k 2 g(x) k1 (W f )(a, b) k2 (W f )(a, b)
a,b (x)
a
1/ 2
(
xb a
)
a,b R, a 0
称为连续小波或分析小波(Analyzing Wavelet)
叫基本小波或母小波（Mother Wavelet）。
其中a是伸缩因子，b为平移因子。
6
一维连续小波变换CWT
定义
设 a,b 是连续小波
则函数 f (x) L2 R的连续小波变换：
2．能量比例性
令 (x)是允许小波，对所有 f (x) L2 (R)有：
R f (x) 2 dx f , f C1
1
2
R2 a 2 (W f )(a, b) dadb
上式为能量公式，在允许性条件下，小波变换幅度的平方 的积分与信号能量成正比。
10
允许小波的性质
3．正则性
令 (x) 是允许小波，要求其前 n 阶原点矩为零，且 n
2
B
f
2
jJ
则 { j } jJ 称为一个框架
如果A=B，则框架为紧框架有：
f , j 2 A f 2
jJ
20
框架理论
如果 { j } jJ 是框架
框架算子定义
有线性算子：
T : f (Tf ) j j , f
称 T 为框架算子
I恒等算子
AI T *T BI
21
框架理论
设{ j } jJ 是框架
f , j ~j f f ,~j j
jJ
jJ
23
7.4 多分辨率分析和Mallat算法
24
多分辨率分析
定义
L2 (R) 中一系列嵌套函数子空间序列 V j , j 2, Nhomakorabea,0,1,2
若下列条件成立：
(1)嵌套性： V j V j1
(2)稠密性：
U
jz
V
j
L2 R
(3)分立性: V j 0 jz
k, j Z
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离散小波变换
定义 离散小波变换：
(W f )(a0j , kb0 ) f , a0j ,kb0 R f (x) a0j ,kb0 (x)dx
k, j Z
改变a和b的大小，以使小波变换具有“变焦距”的功能。
18
离散小波变换
令：a0=2，b0=1时，尺度为2 j ，而位移为2 j k
16
离散小波
定义
尺度离散化：取一个合理的值a0，使尺度因子只取a0的
整数幂，即
a
0 0
1,
a
1 0
,
a
2 0
,
,
a
j 0
,
位移离散化：当尺度取a0时，取位移b=b0，各位移为k·b0。
当
a
a
j 0
时，取 b ka0jb0
， 其中 a0 1, b0 0 固定的。
离散小波函数:
a0j ,kb0 (x) a0 j / 2 a0 j x kb0
5．冗余性
（1）由连续小波变换恢复信号的重构公式不是唯一的。也就是说， 信号的小波变换与小波重构不存在一一对应关系，而Fourier变换与反 Fourier变换是一一对应的。
（2）小波变换的核函数即函数存在许多可能的选择（例如，非正交 小波、正交小波、双正交小波,甚至允许是彼此线性相关的）。
15
7.3 离散小波变换
8
允许小波的性质
1．小波逆变换存在性
令 (x)是允许小波，对所有 f (x), g(x) L2 (R) 有：
da
R2 [(W f )(a,b)(W g)(a,b)] a2 db C f , g
且有
f (x) 1
C
R2
1 | a |2
[(W
f
)(a, b)] a,b (x)dadb
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允许小波的性质