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106560逻辑代数逻辑代数是一种描述客观事物逻辑关系的数学方法，是英国数学家乔治.布尔（George Boole）于1847年首先提出来的，所以又称布尔代数。

由于逻辑代数中的变量和常量都只有“0”和“1”两个取值，又可以称为二值代数。

逻辑代数是研究数字电路的数学工具，是分析和设计逻辑电路的理论基础。

逻辑代数研究的内容是逻辑函数与逻辑变量之间的关系。

1.3.1逻辑代数中的三种基本逻辑关系1．逻辑代数中的几个问题（1）逻辑代数中的变量和常量逻辑代数与普通代数相似，有变量也有常量。

逻辑代数中的变量用大写英文字母A、B、C…表示，称为逻辑变量。

每个逻辑变量的取值只有“0”和“1”两种。

逻辑代数中的常量，只有两个“0”和“1”。

与普通代数不同的是这里的“0”和“1”不再表示数值的大小，而是代表两种不同的逻辑状态。

例如可以用“1”和“0”表示开关的“闭合”与“断开”；信号的“有”和“无”；“高电平”与“低电平”；“是”与“非”等。

究竟代表什么意义，要视具体情况而定。

（2）正逻辑和负逻辑的规定脉冲信号的高、低电平可以用“1”和“0”来表示。

规定：如果高电平用“1”表示，低电平用“0”表示，则称这种表示方法为正逻辑。

如果高电平用“0”表示，低电平用“1”表示，则称这种表示方法为负逻辑。

以后如果无特殊声明，均采用正逻辑2．基本逻辑关系逻辑代数中有与、或、非三种基本逻辑关系，分别对应着与、或、非三种基本逻辑运算。

（1）“与”逻辑如图1-5（a）所示的串联开关电路中，把“开关闭合”作为条件，把“灯亮”这件事情作为结果，那么图1-5（a）说明：只有决定某件事情的所有条件都具备时，结果才会发生。

这种结果与条件之间的关系称为“与”逻辑关系，简称“与”逻辑。

图1-5（b）是“与”逻辑的逻辑符号。

图1-5 “与”逻辑与运算符号为“?”，与逻辑用表达式可以表示为Y = A·B或写成 Y＝AB（省略运算符号）。

与运算又称逻辑乘。

（2）“或”逻辑当决定事物结果的几个条件中，有一个或一个以上的条件得到满足时，结果就会发生，这种逻辑关系称为或逻辑。

或逻辑电路模型如图1-6（a）所示，图1-6（b）是“或”逻辑的逻辑符号。

图1-6 “或”逻辑或逻辑运算符号为“＋”。

或逻辑用表达式可以表示为：Y＝A＋B，“或”运算，又称为逻辑加。

（3）“非”逻辑非逻辑也称为逻辑求“反”。

非逻辑电路模型如图1-7（a）所示。

图1-7（b）为“非”逻辑的逻辑符号图1-7 “非”逻辑在图1-7（a）所示的电路中，开关断开时，灯亮；开关闭合时，灯不亮。

同样把“开关闭合”作为条件，把“灯亮” 这件事情作为结果。

图1-7（a）说明：条件具备时结果不发生，条件不具备时结果才发生。

这种结果与条件之间的关系称为“非”逻辑关系，简称非逻辑。

“非”逻辑用变量上的“—”表示。

非逻辑用表达式可以表示为：在上面的三种基本逻辑关系中，如果用逻辑变量A、B表示两个开关，并且用“1”表示开关“闭合”，用“0”表示开关“断开”；用Y表示灯的状态，并且用“1”表示灯“亮”，用“0”表示灯“不亮”，则可以列出如表1-2所示的三个表格，这些表格称为真值表。

表1-2 三种基本逻辑关系真值表可以分别得出：“与”逻辑输出变量与输入变量的关系为：有“0”出“0”，全“1”出“1”；“或”逻辑输出变量与输入变量的关系为：有“1”出“1”，全“0”出“0”；“非”逻辑输出变量与输入变量的关系为：见“1”出“0”，见“0”出“1”；3．几种常用的逻辑运算三种基本逻辑关系都可以由具体电路来实现。

通常把实现“与”逻辑运算的单元电路称为“与门”；把实现“或”逻辑运算的单元电路称为“或门”；把实现“非”逻辑运算的单元电路称为“非门”（或称为反相器）。

三种基本逻辑运算简单，容易实现。

但是实际的逻辑问题要比基本逻辑运算复杂得多。

有时实现基本逻辑运算的门电路（如二极管与门电路）也不是太理想。

所以常把与、或、非三种基本逻辑运算合理的组合起来使用，这就是复合逻辑运算。

与之对应的门电路称为复合逻辑门电路。

常用的复合逻辑运算有与非运算、或非运算、与或非运算、异或运算、同或运算等。

（1）“与非”逻辑“与非”逻辑是把与逻辑和非逻辑组合起来实现的。

先进行“与”运算，把“与”运算的结果再进行“非”运算。

“与非”逻辑的真值表（以二变量为例）如表1-3所示，表1-3 二变量“与非”逻辑真值表图1-8 “与非”逻辑的逻辑符号，“与非”逻辑的逻辑符号如图1-8所示。

图1-9 “与非”逻辑的逻辑符号，“与非”逻辑的表达式可以写成：表1-4 三变量“或非”逻辑真值表图1-9 “或非”逻辑的逻辑符号“或非”逻辑的逻辑符号如图1-9所示。

“或非”逻辑的表达式可以写成：（3）“与或非”逻辑“与或非”逻辑是把“与”逻辑、“或”逻辑和“非”逻辑组合起来实现的。

先进行“与”运算，把“与”运算的结果进行“或”运算，最后进行“非”运算。

“与或非”逻辑符号如图1-10所示。

表1-5 四变量“与或非”逻辑真值表图1-10 “与或非”逻辑的逻辑符号“与或非”逻辑的表达式可以写成：与或非”逻辑的真值表（以四变量为例）如表1-5所示（4）“异或”逻辑“异或”逻辑的逻辑关系是：当A、B两个变量取值不相同时，输出Y为1；而A、B两个变量取值相同时，输出Y为0。

“异或”逻辑的真值表如表1-6所示。

“异或”逻辑的逻辑符号如图1-11所示。

表1-6“异或”逻辑真值表图1-11 “异或”逻辑的逻辑符号“异或”逻辑的表达式可以写成：异或”逻辑表达式也可以用与、或的形式表示，即写成：在化简逻辑函数时，必须把“异或”逻辑表达式写成，才能进行化简。

（5）“同或”逻辑“同或”逻辑的逻辑关系是：当A、B两个变量取值相同时，输出Y为1；而A、B两个变量取值不相同时，输出Y为0。

“同或”逻辑的真值表如表1-7所示。

“同或”逻辑的逻辑符号如图1-12所示。

“同或”逻辑的表达式可以写成：“同或”逻辑表达式也可以用与、或的形式表示，即写成。

在化简逻辑函数时，必须把“同或”逻辑表达式写成，才能进行化简。

1-7“同或”逻辑真值表图1-12 “同或”逻辑的逻辑符号1.3.2 基本公式和常用公式1．基本公式根据逻辑与、或、非3种基本运算，可推导出逻辑运算的一些基本公式。

表1-8中，给出了逻辑代数中的基本公式，公式10是“0”和“1”求反运算时的运算规则。

因为逻辑代数中只有“0”和“1”两个数码，所以说“0”和“1”是互为求反运算的结果。

公式1、11；2、12中只有一个变量，它们是变量与常量之间的运算规则，统称为“01”律。

式3、13是同一个变量的运算规则，称为重叠律。

公式4、14是变量与它的反变量之间的运算规则，称为互补律。

公式9称为非_非律。

这些公式的正确与否，可以把变量的所有可能的取值分别代入等式的两边，如果完全相等则等式成立，否则等式不成立。

公式5、15称为交换律。

公式6、16称为结合律。

公式7、17称为分配律。

公式8、18称为反演律。

对于多个变量的恒等式，要证明它的正确性，可以应用真值表来证明。

具体方法是，分别列出等式左边的真值表和等式右边的真值表，如果每一组变量的取值下两个真值表都相同，则等式成立。

表1-8 逻辑代数中的基本公式表1-8中，列出了左右两列公式，左边与右边同行中的等式互为对偶式（后面将介绍对偶规则）。

根据对偶规则知道，如果逻辑等式成立则其对偶式也成立。

对这些公式只要我们证明一半（左边或右边）的等式成立，另一半不用证明也成立。

【例1-3】用真值表证明公式（18）是否正确.解：列出真值表如下：由真值表可见，每一组变量的取值下，Y1与Y2的函数完全相同，所以等式成立。

公式（18）正确。

2．常用公式灵活应用基本公式，可以推导出一些常用公式。

可以直接利用这些常用公式对逻辑函数进行化简。

(1)对合律：证明：（分配律）（互补律）等式成立；对偶式也成立。

（2）吸收律一：A+AB＝A证明：A+AB＝A（1+B）（分配律）＝A·1 （0 1律）＝A等式成立；对偶式A（A+B）＝A 也成立。

等式成立；对偶式也成立。

1.3.3 逻辑代数中的基本规则逻辑代数中有三个基本规则，充分应用这些规则，可以扩大公式的应用范围，还可以减少一些公式的证明。

1．代入规则任何一个含有变量A的等式，若将所有出现A的位置都用另一个逻辑函数代替，则该等式仍然成立，这个规则称为代入规则。

应用代入规则，可以扩大基本公式和常用公式的使用范围。

因为变量A只有“0”和“1”两种取值，将A＝0和A=1代入等式，等式一定成立。

而对于任何一个逻辑函数也和逻辑变量一样，也只有“0”和“1”两种取值，因此用它取代等式中的变量A时，等式自然会成立。

因此代入规则不需证明，即可以认为是正确的。

2．反演规则对于任何一个逻辑函数表达式Y，如果将式中的所有“?”换成“＋”，“＋”换成“?”；“0”换成“1”，“1”换成“0”；“原变量”换成“反变量”，“反变量”换成“原变量”；就可以得到原逻辑函数Y的反函数，即 ,这个规则称为反演规则。

反演规则用于求一个已知逻辑函数Y的反函数。

应用反演规则时应该注意以下两点：（1）反演运算前后，函数式中运算的优先顺序（先“与”后“或”）应该保持不变。

（2）多个变量上的“非”号应该保持不变。

注意：上面两个非号应保持不变3．对偶规则对于任何一个逻辑表达式Y，如果把Y中的所有的“?”换成“＋”，“＋”换成“?”；“0”换成“1”，“1” 换成“0”，就可以得到一个新的逻辑表达式Yˊ。

Yˊ与Y互为对偶式。

当某个逻辑恒等式成立时，则它的对偶式也成立，这个规则称为对偶规则。

应用对偶规则可以减少公式的证明范围。

在【18-3】中我们证明了公式（18）是成立的，公式（8）就是公式（18）的对偶式，根据对偶规则公式（8）也成立。

注意：对偶前后运算的优先顺序保持不变。

原变量和反变量不互换，多个变量上的非号不变。

【例1-6】已知Y＝AB+AC+BC，求其对偶式Yˊ。

解：根据对偶规则直接写出Yˊ＝（A+B）（A+C）（B+C）。

1.3.4逻辑函数及其表示方法1、逻辑函数的概念如果将逻辑变量作为输入，将运算结果作为输出，那么当输入变量的取值确定之后，输出的值便被惟一的确定下来。

这种输出与输入之间的关系就称为逻辑函数关系，简称为逻辑函数。

用公式表示为：Y= F(A，B，C，D…) 。

这里的A、B、C、D为逻辑变量，Y为逻辑函数，F为某种对应的逻辑关系。

任何一件具有因果关系的事情都可以用一个逻辑函数来表示。

例如：在举重比赛中有三个裁判员，规定只要两个或两个以上的裁判员认为成功，试举成功；否则试举失败。

可以将三个裁判员作为三个输入变量，分别用A、B、C来表示，并且“1”表示该裁判员认为成功，“0”表示该裁判员认为不成功。