《有理数的乘方》知识点解读
《有理数的乘方》 讲义
《有理数的乘方》讲义一、引入同学们，在数学的世界里，我们经常会遇到各种各样的运算，加法、减法、乘法、除法，而今天我们要一起学习一种新的运算——有理数的乘方。
想象一下，你有一张非常薄的纸，假设它的厚度只有 01 毫米。
如果把这张纸对折 1 次，它的厚度会变成 02 毫米；对折 2 次，厚度变成04 毫米；对折 3 次，厚度变成 08 毫米……那么对折 10 次、20 次甚至更多次，这张纸的厚度会是多少呢？要解决这个问题，就需要用到有理数的乘方知识。
二、乘方的概念乘方是指同一个数相乘若干次的简便运算形式。
比如，2×2×2 可以写成 2³，读作“2 的 3 次方”或者“2 的 3 次幂”。
其中，2 叫做底数，3 叫做指数，而乘方的结果叫做幂。
再举几个例子，3×3×3×3 可以写成 3⁴，底数是 3，指数是 4；（－5)×（－5)×（－5)可以写成(－5)³，底数是-5，指数是 3。
需要注意的是，指数为 1 时，通常省略不写，比如 5×5 可以写成 5²，但 5×1 就直接写成 5。
三、乘方的运算1、正数的乘方正数的任何次幂都是正数。
例如，2²＝ 4，2³＝ 8，2⁴＝ 16 等等。
2、负数的乘方负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
比如，（－2)³＝－8，因为 3 是奇数；（－2)⁴＝ 16，因为 4 是偶数。
3、 0 的乘方0 的任何正整数次幂都是 0。
但 0 的 0 次幂没有意义。
四、乘方的规律1、底数为 10 的乘方10 的 n 次幂，在 1 后面就有 n 个 0。
例如，10³＝ 1000，10⁵＝100000 。
2、底数为-10 的乘方－10 的偶次幂是正数，在 1 后面有偶数个 0；－10 的奇次幂是负数，在 1 后面有奇数个 0。
七年级有理数乘方知识点
七年级有理数乘方知识点在初中数学中，有理数乘方是一个很重要的知识点，它广泛应用于代数运算和几何学。
本文将详细介绍七年级有理数乘方的相关知识点。
一、有理数的乘方有理数的乘方指一个数自乘若干次的结果。
假设a为有理数，n为正整数，则a的n次方可以表示为a^n。
例如，2的3次方可以表示为2^3，结果为8。
我们可以将有理数的乘方分为两类：正数的乘方和负数的乘方。
1. 正数的乘方当a为正数时，a的n次方为正数。
例如，3的4次方可以表示为3^4，结果为81。
2. 负数的乘方当a为负数时，a的n次方具有不同的奇偶性。
当n为偶数时，a的n次方为正数；当n为奇数时，a的n次方为负数。
例如，-2的3次方可以表示为(-2)^3，结果为-8。
二、有理数乘方的运算规律有理数乘方遵守一些运算规律，这些规律对于解决乘方运算问题非常有用。
1. 幂的乘法法则当a为有理数，m、n为正整数时，(a^m)^(n) = a^(m×n)。
例如，(2^3)^(2) = 2^(3×2)，结果为64。
2. 幂的除法法则当a为有理数，m、n为正整数时，a^m÷a^n = a^(m-n)。
例如，2^7÷2^3 = 2^(7-3)，结果为32。
3. 幂的负指数当a为有理数，m为正整数时，a的-m次方可以表示为1÷a^m。
例如，(-3)^-2 = 1÷(-3)^2，结果为1/9。
三、有理数乘方在数轴上的表示有理数乘方的运算可以通过数轴上的表示来更好地理解。
当有理数a为正数时，a的n次方表示为沿数轴上原点方向移动n个单位。
例如，2的3次方表示为在数轴上从原点开始，向右移动3个单位。
当有理数a为负数时，a的n次方表示为沿数轴上原点相反的方向移动n个单位。
例如，-2的3次方表示为在数轴上从原点开始，向左移动3个单位。
四、习题解析1. 计算：(1.4)^2÷0.7^3解：(1.4)^2÷0.7^3 = (1.4×1.4)÷(0.7×0.7×0.7) = 1.96÷0.343 = 5.7122. 化简：(-2a^3b^2)^2解：(-2a^3b^2)^2 = (-2)^2(a^3)^2(b^2)^2 = 4a^6b^4三年级有理数乘方知识点就讲到这里，相信大家对有理数乘方有了更深刻的认识。
有理数的乘方运算
有理数的乘方运算有理数（rational numbers）是能表示为两个整数的比的数，包括正整数、负整数、零、分数和小数。
在数学运算中，有理数的乘方运算是其中一种重要的运算。
本文将详细介绍有理数的乘方运算及其规则。
一、有理数的乘方定义有理数的乘方是指将某一个有理数乘以自身若干次的运算。
具体表达形式为 a^n，其中 a 为有理数，n 为整数。
乘方运算中，指数 n 决定了乘方的次数，而基数 a 表示被乘方的有理数。
有理数的乘方运算可以应用于各种数学问题和实际计算中。
二、有理数的乘方规则1. 有理数的零次幂规则任何非零有理数的零次幂均等于 1。
即 a^0 = 1（其中a ≠ 0）。
这一规则是乘方运算的基本性质之一。
2. 有理数的正整数次幂规则a 的正整数次幂可用连乘表示，即 a^n = a * a * ... * a（n 个 a 相乘）。
例如，2 的 3 次幂：2^3 = 2 * 2 * 2 = 8。
3. 有理数的负整数次幂规则a 的负整数次幂可用连除表示，即 a^(-n) = 1 / (a^n)。
例如，2 的 -3次幂：2^(-3) = 1 / (2^3) = 1 / 8 = 0.125。
4. 有理数的分数次幂规则a 的 m/n 次幂可等价转化为 a 的 m 次根号 n，即 a^(m/n) =(a^m)^(1/n)。
例如，27 的 2/3 次幂：27^(2/3) = (27^2)^(1/3) = 729^(1/3) = 9。
5. 有理数的乘方计算顺序规则在多个乘方同时出现时，按照先算括号内的乘方、再算外层乘方的顺序进行计算。
例如，(2^3)^2 = 2^(3*2) = 2^6 = 64。
三、实例分析1. 有理数的零次幂实例对于非零有理数 2，其零次幂为：2^0 = 1。
2. 有理数的正整数次幂实例对于有理数 3，其 5 次幂为：3^5 = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 243。
3. 有理数的负整数次幂实例对于有理数 -4，其 -2 次幂为：(-4)^(-2) = 1 / ((-4)^2) = 1 / 16 =0.0625。
有理数的乘方ppt课件
根式与乘方的关系
根式与乘方的转换
根式可以看作是幂运算的另一种 形式，它表示某个数被开方多次 的结果。因此，根式与乘方之间 存在一定的转换关系。
根式与乘方的性质
根式具有相同的性质，如根式的 加减法、乘除法等都与乘方具有 相同的性质。
负整数乘方的数学表示为：a^-n，其 中a是底数，n是指数。
零乘方的定义
零乘方是指将0与任何正整数相 乘。例如，0的4次方是0 × 0 × 0 × 0，表示4个0相乘。
零乘方的数学表示为：0^n， 其中n是指数。
根据乘方的定义，我们可以得 出以下结论
零乘方的定义
01
02
03
04
正整数的任何正整数次幂都是 正数；
负整数的偶数次幂是正数，奇 数次幂是负数；
任何非0数的0次幂都是1；
0的任何正整数次幂都是0。
03
有理数乘方的性质
正整数乘方的性质
正整数乘方始终为正 数
正整数的n次方的值 ，在n为正整数时， 可以表示为无限个更 小的正整数的和
正整数的n次方，其 值随着指数n的增大 而增大
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负整数乘方的性质
负整数乘方的值始终为负数
负整数的n次方，其值随着指数n的增大而减小
负整数的n次方的值，在n为正整数时，可以表示为无限个更小的正整数 的积
零乘方的性质
零的任何次方都等于零 任何非零数的0次方都等于1
04
有理数乘方的运算规则
正整数乘方的运算规则
正整数乘方运算结果为正数 正整数乘方运算结果为偶数
例如：2的3次方=8 例如：2的偶次方，4，6，8，10等
有理数乘方知识点总结
七年级数学有理数乘方知识点总结
1、乘方的意义：乘方是一种运算方式，表示将一个底数与指定的指数相乘。
2、乘方的符号法则：正数的任何次方都是正数，负数的偶次方是正数，负数的奇次方是负数。
3、乘方的运算性质：
(1)乘方的运算性质可以表示为am ×an = am+n。
(2)乘方的运算性质还可以表示为am+n = am ×an。
(3)乘方的运算性质也可以表示为am-n = am/an。
乘方运算的特殊情况：
(1)当底数为0.指数为偶数时，结果为1.
(2)当底数为0.指数为奇数时，结果为0.
(3)当底数为1.指数为任何数时，结果都为1.
(4)当底数为-1.指数为偶数时，结果为1.
(5)当底数为-1.指数为奇数时，结果为-1.
重难点解析：
1、重点掌握乘方的意义和符号法则，能够正确进行乘方运算。
2、难点在于理解乘方的运算性质和特殊情况的处理，例如负数的奇次方、0的特殊情况等。
3、在实际应用中，需要能够利用乘方的运算性质进行简化计算，例如am+n = am ×an等。
总之，学生需要熟练掌握有理数乘方的概念和运算方法，理解其算理，能够在实际问题中灵活运用。
对于难点问题，需要通过多练习来加深理解。
《有理数的乘方》 讲义
《有理数的乘方》讲义一、有理数乘方的定义在数学中，乘方是一种运算，表示几个相同因数的积。
比如，2×2×2 可以写成 2³，其中 2 叫做底数，3 叫做指数，2³读作“2 的 3 次方”或“2 的 3 次幂”。
一般地，n 个相同的因数 a 相乘，即 a×a×······×a（n 个 a），记作aⁿ，读作“a 的 n 次方”。
乘方的结果叫做幂。
当指数为 2 时，通常读作“平方”；当指数为 3 时，通常读作“立方”。
二、有理数乘方的运算（一）正数的乘方正数的任何次幂都是正数。
例如，3²＝ 9，3³＝ 27 。
（二）负数的乘方负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
比如，（－2)³＝－8 ，（－2)²＝ 4 。
（三）零的乘方零的任何正整数次幂都是零。
即0ⁿ ＝ 0（n 为正整数）。
三、有理数乘方的运算规则（一）先确定幂的符号根据底数的正负以及指数的奇偶性来确定幂的符号。
（二）计算幂的绝对值将底数的绝对值相乘 n 次，得到幂的绝对值。
例如，计算（－3)⁴，先确定符号为正，然后计算 3×3×3×3 ＝ 81 ，所以（－3)⁴＝ 81 。
再比如，计算（－5)³，符号为负，5×5×5 ＝ 125 ，所以（－5)³＝－125 。
四、有理数乘方的应用（一）科学记数法把一个大于 10 的数表示成a×10ⁿ 的形式，其中1≤｜a|＜10，n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。
例如，567000000 可以写成 567×10⁸。
（二）实际问题中的应用在很多实际问题中，如计算面积、体积、人口增长、细菌繁殖等，都会用到有理数的乘方。
比如，一个正方形的边长为 2 厘米，它的面积是 2×2 ＝ 2²＝ 4 平方厘米。
有理数的乘方
有理数的乘方有理数是指可以表示为两个整数的比例形式的数，包括正整数、负整数、零和分数。
有理数乘方是指将有理数进行乘方运算，即将一个有理数自己连乘若干次。
乘方的定义乘方是数学中的运算符，用来表示一个数自己连乘若干次的结果。
乘方运算的一般形式是a n，其中a称为底数，n称为指数。
a n表示将底数a连乘n次得到的结果。
对于有理数的乘方，有以下几种情况：1.正整数指数：a n表示将底数a连乘n次得到的结果。
例如，23表示将2连乘3次，即2 * 2 * 2 = 8。
2.负整数指数：a(-n)表示将底数a连乘n次的倒数。
例如，2(-3)表示将2连乘3次得到的倒数，即1 / (2 * 2 * 2) = 1/8。
3.零指数：a^0 = 1，其中a ≠ 0。
任何非零数的零次方都等于1。
4.分数指数：a(m/n)表示将底数a连乘m次后，再开根号n次。
例如，4(2/3)表示将4连乘2次，然后开方3次，即(4 * 4)^(1/3) = 16^(1/3) = 2。
乘方的性质有理数的乘方具有以下几个重要的性质：1.乘方与乘法的关系：a^n * a^m = a^(n+m)。
即相同底数的乘方，指数相加后得到新的指数。
2.乘方中的负指数：a^(-n) = 1 / a^n。
即一个数的负指数等于该数的倒数的正指数。
3.乘方中的零指数：a^0 = 1，其中a ≠ 0。
任何非零数的零次方都等于1。
4.乘方中的分数指数：a^(m/n) = (a m)(1/n) = n√(a^m)。
即一个数的分数指数等于该数的指数的分数根。
有理数乘方的计算对于有理数的乘方，可以利用乘方的性质和乘法运算来计算。
例如，计算2^3 * 2^(-2)：首先，利用乘法的性质，可以将指数相加，得到2^(3+(-2)) = 2^1 = 2。
因此，2^3 * 2^(-2) = 2。
对于分数指数的乘方，可以先计算底数的指数方，然后再开根号。
例如，计算8^(2/3)：首先，将8连乘2次，得到8^2 = 64。
《有理数的乘方》教学
设计一些需要灵活运用乘方运算规则的问题，培养学生的思维灵 活性和解题能力。
高级思考题
结合其他数学知识，设计综合性强、难度较大的问题，挑战学生 的数学思维和解题技巧。
答案解析及思路点拨
答案解析
提供练习题和思考题的详细答案，并对解题 过程进行解析，帮助学生理解并掌握解题方 法。
思路点拨
针对一些难度较大或思路较为独特的问题， 给出思路点拨，引导学生找到正确的解题方 向。
02 有理数乘方运算方法
正整数指数幂运算方法
底数不变，指数相乘
01
对于同底数的幂相乘，底数保持不变，指数相加。
幂的乘方，底数不变，指数相乘
02
幂的乘方是指数的乘法运算，底数保持不变。
积的乘方，等于各因式乘方的积
03
对于多个因式相乘后再整体取幂，可以分别对每个因式取幂后
再相乘。
零指数幂和负整数指数幂处理技巧
幂都等 于1，即$a^0=1(a≠0)$。
负整数指数幂
负整数指数表示倒数，即 $a^{n}=frac{1}{a^n}(a≠0)$。
特殊处理
对于底数为0或负数的情 况，需要特别注意定义域 和值域的限制。
分数指数幂转换与计算方法
分数指数幂的定义
分数指数幂可以表示为根 式形式，即 $a^{frac{m}{n}}=sqrt[n]{ a^m}$。
物理学中单位换算问题处理
单位换算基本方法
在物理学中，经常需要进行单位换算，如有理数的乘方可以用于长度、面积、体积等单位的换算。
乘方在单位换算中的应用
例如，将平方米转换为平方厘米时，需要进行有理数的平方运算；将立方米转换为立方厘米时，则需 要进行有理数的立方运算。
其他领域应用拓展
有理数的乘方(4种题型)(解析版)
有理数的乘方（4种题型）【知识梳理】一、有理数的乘方1、求n 个相同因数a 的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂。
a 叫底数，n 叫指数，na 读作：a 的n 次幂(a 的n 次方)。
2、乘方的意义：n a 表示n 个a 相乘。
n a n a a a a a =⨯⨯⨯⨯ 个 3、写法的注意：当底数是负数或分数时，底数一定要打括号，不然意义就全变了．4、n a 与－na 的区别．(1)n a 表示n 个a 相乘，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方．如：3)2(−底数是2−，指数是3，读作(－2)的3次方，表示3个(－2)相乘． 3)2(−＝(－2)×(－2)×(－2)＝－8．32−底数是2，指数是3，读作2的3次方的相反数．32−＝－(2×2×2)＝－8． 注：3)2(−与32−的结果虽然都是－8，但表示的含义并不同。
5、乘方运算的符号规律． (1)正数的任何次幂都是正数．(2)负数的奇次幂是负数．(3)负数的偶次幂是正数．(4)0的奇数次幂，偶次幂都是0．所以，任何数的偶次幂都是正数或0。
二、有理数的混合运算1、有理数的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号里面的，再算括号外面的。
2、括号前带负号，去掉括号后括号内各项要变号，即a+−b−)(a−=+bab(，ba−−)=−三．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．【考点剖析】一．有理数的乘方（共11小题）1．（2022秋•南浔区期末）下列各组数中，运算结果相等的是（）A．（﹣5）3与﹣53B．23与32C．﹣22与（﹣2）2D．与【分析】利用乘方运算法则计算后判断即可．【解答】解：A、（﹣5）3＝﹣125，﹣53＝﹣125，故相等，符合题意；B、23＝8，32＝9，故不相等，不符合题意；C、﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，故不相等，不符合题意；D、，，故不相等，不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了有理数的乘方，关键是掌握有理数的乘方的意义．2．（2022秋•苍南县期中）把写成幂的形式是．【分析】根据有理数的乘方得出结论即可．【解答】解：＝（）5，故答案为：（）5．【点评】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方计算是解题的关键．3．（2022秋•柯桥区月考）如果a，b，c是整数，且a c＝b，那么我们规定一种记号（a，b）＝c，例如32＝9，那么记作（3，9）＝2，根据以上规定，求（﹣3，﹣27）＝．【分析】利用规定记号的意义将式子表示出乘方的形式，利用有理数乘方的意义解答即可．【解答】解：设（﹣3，﹣27）＝x，∵ac＝b，那么我们规定一种记号（a，b）＝c，∴（﹣3）x＝﹣27．∵（﹣3）3＝﹣27，∴x＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查了有理数的乘方，本题是新定义型题目，理解题干中的新规定并列出算式是解题的关键．4．（2023•西湖区校级二模）﹣33＝（）A．﹣9B．9C．﹣27D．27【分析】运用乘方知识进行计算、求解．【解答】解：﹣33＝﹣27，故选：C．【点评】此题考查了实数的立方运算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行计算．5．（2022秋•青田县期末）一张纸的厚度为0.09mm，假设连续对折始终都是可能的，那么至少对折n次后，所得的厚度可以超过厚度为0.9cm的数学课本．则n的值为（）A．5B．6C．7D．8【分析】一张纸的厚度为0.09mm，对折1次后纸的厚度为0.09×2mm；对折2次后纸的厚度为0.09×2×2＝0.09×22mm；对折3次后纸的厚度为0.09×23mm；对折n次后纸的厚度为0.09×2nmm，据此列出不等式，求出n的取值范围即可．【解答】解：∵折一次厚度变成这张纸的2倍，折两次厚度变成这张纸的22倍，折三次厚度变成这张纸的23倍，折n次厚度变成这张纸的2n倍，设对折n次后纸的厚度超过9mm，则0.09×2n＞9，解得2n＞100．而26＜100＜27．∴n为7．故选：C．【点评】本题考查从实际中寻找规律的能力，乘方是乘法的特征，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行，乘方的意义就是多少个某个数字的乘积．6．（2022秋•文成县期中）下面的计算错在哪里？指出错误步骤的序号，并给出正确的解答过程．﹣3＝……①＝9÷1……②＝9……③错误步骤的序号：；正确解答：；【分析】根据有理的乘除法则及运算顺序进行判断，并计算便可．【解答】解：∵﹣32＝﹣9，∴步骤①错误；正确的解答如下：﹣3＝﹣9÷（﹣8）×＝﹣9×＝﹣．故答案为：①；﹣．【点评】本题考查了有理数的乘除法，关键是熟记运算法则与运算顺序．7．（2019秋•萧山区期中）计算：23＝．【分析】根据有理数的乘方计算即可【解答】解：23＝8．故答案为：8．【点评】本题主要考查有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的乘方的定义．8．（2020秋•义乌市校级月考）定义：如果10b＝n，那么称b为n的劳格数，记为b＝d（n）．（1）根据劳格数的定义，可知：d（10）＝1，d（102）＝2，那么：d（103）＝．（2）劳格数有如下运算性质：若m，n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n）；d（）＝d（m）﹣d（n）．若d（3）＝0.48，d（4）＝0.6，根据运算性质，填空：d（12）＝，d（）＝，d（）＝．【分析】（1）根据劳格数的定义，可知：d（103）求得是10b＝103中的b值；（2）由劳格数的运算性质可知，两数积的劳格数等于这两个数的劳格数的和；两数商的劳格数等于这两个数的劳格数的差，据此可解．【解答】解：（1）根据劳格数的定义，可知：d（103）＝3；故答案为：3．（2）由劳格数的运算性质：若d（3）＝0.48，d（4）＝0.6，则d（12）＝d（3）+d（4）＝0.48+0.6＝1.08，则d（）＝d（3）﹣d（4）＝0.48﹣0.6＝﹣0.12，∵d（4）＝d（2×2）＝d（2）+d（2）＝0.6，∴d（2）＝0.3，d（）＝d（9）﹣d（2）＝d（3×3）﹣d（2）＝d（3）+d（3）﹣d（2）＝0.48+0.48−0.3＝0.66，故答案为：1.08，﹣0.12，0.66．【点评】本题考查了有理数的乘方，定义新运算，读懂题中的定义及运算法则是解题的关键．9．（2021秋•吴兴区期中）已知三个互不相等有理数a，b，c，既可以表示为1，a，a+b的形式，又可以表示为0，，b的形式，则a2020b2021值是．【分析】由有意义，则a≠0，则应有a+b＝0，＝﹣1，故只能b＝1，a＝﹣1了，再代入代数式求解．【解答】解：因为三个互不相等的有理数1，a，a+b分别与0，，b对应相等，为有理数，∴a≠0，a+b＝0，∴＝﹣1，b＝1，∴a＝﹣1，∴a2020b2021＝（﹣1）2020×12021＝1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了实数的运算，属于探索性题目，关键是根据已知条件求出未知数的值再计算．10．（2020秋•吴兴区校级期中）请你研究以下分析过程，并尝试完成下列问题．13＝1213+23＝9＝32＝（1+2）213+23+33＝36＝62＝（1+2+3）213+23+33+43＝100＝102＝（1+2+3+4）2（1）13+23+33+ (103)（2）13+23+33+ (203)（3）13+23+33+…+n3＝（4）计算：113+123+133+…3的值．【分析】根据已知一系列等式，得出一般性规律，计算即可得到结果．【解答】解：（1）13+23+33+…+103＝3025；（2）13+23+33+…+203＝44100；（3）13+23+33+…+n3＝；（4）113+123+133+…+203＝44100﹣3025＝41075．故答案为：（1）3025；（2）44100；（3）；（4）41075．【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．11．（2020秋•萧山区期中）阅读下列各式：（a•b）2＝a2b2，（a•b）3＝a3b3，（a•b）4＝a4b4…．回答下列三个问题：①验证：（2×）100＝，2100×（）100＝；②通过上述验证，归纳得出：（a•b）n＝；（a•b•c）n＝；③请应用上述性质计算：（﹣0.125）2019×22018×42017．【分析】①根据有理数的乘法法则、有理数的乘方解决此题．②通过猜想归纳解决此题．③根据积的乘方、有理数的乘法法则、有理数的乘方解决此题．【解答】解：①＝1100＝1，＝＝1．故答案为：1，1．②（a•b）n＝anbn，（a•b•c）n＝anbncn．故答案为：anbn，anbncn．③（﹣0.125）2019×22018×42017＝×22018×42017＝＝＝＝．【点评】本题主要考查有理数的乘法、积的乘方，熟练掌握有理数的乘法法则、积的乘方是解决本题的关键．二．非负数的性质：偶次方（共5小题）12．（2022秋•丽水期中）已知a，b满足|a+3|+（b﹣2）2＝0，则a+b的值为（）A．1B．5C．﹣1D．﹣5【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵|a+3|+（b﹣2）2＝0，∴a+3＝0，b﹣2＝0，解得：a＝﹣3，b＝2，故a+b＝﹣3+2＝﹣1．故选：C．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．13．（2022秋•青田县期中）若|m+1|+（n﹣3）2＝0，则m n的值为（）A．1B．﹣1C．3D．﹣3【分析】利用非负数的性质求出m与n的值，代入所求式子计算即可得到结果．【解答】解：∵|m+1|+（n﹣3）2＝0，|m+1|≥0，（n﹣3）2≥0，∴m+1＝0，n﹣3＝0，即m＝﹣1，n＝3，则mn＝（﹣1）3＝﹣1．故选：B．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出m，n的值是解题关键．14．（2021秋•兰山区校级月考）若|x﹣2|+（y+3）2＝0，则y x＝．【分析】根据非负数的性质可求出x、y的值，再将它们代入yx中求解即可．【解答】解：∵x、y满足|x﹣2|+（y+3）2＝0，∴x﹣2＝0，x＝2；y+3＝0，y＝﹣3；则yx＝（﹣3）2＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．15．（2022秋•兰溪市期中）已知（a﹣2）2与|b+1|互为相反数，求（a﹣b）a+b的值．【分析】根据偶次方的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方解决此题．【解答】解：由题意得：（a﹣2）2+|b+1|＝0．∵（a﹣2）2≥0，|b+1|≥0，∴a﹣2＝0，b+1＝0．∴a＝2，b＝﹣1．∴（a﹣b）a+b＝[2﹣（﹣1）]2+（﹣1）＝31＝3．【点评】本题主要考查偶次方的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方，熟练掌握偶次方的非负性、绝对值的非负性、有理数的乘方是解决本题的关键．16．（2022秋•衢州期中）已知，则（ab）2022＝．【分析】根据绝对值和偶次方是非负数的性质列式求出a、b的值然后代入代数式计算即可．【解答】解：∵，∴，b+2＝0，∴，b＝﹣2，∴，故答案为：1．【点评】本题考查了非负数的性质：根据几个非负数的和等于零，则每一个算式都等于零求出a、b的值是解此类题的关键．三．科学记数法—表示较大的数（共9小题）17．（2022秋•临海市期末）我国倡议的“一带一路”惠及约为4400000000人，用科学记数法表示该数为．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解答】解：4400000000＝4.4×109，故答案为：4.4×109．【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定a和n的值．18．（2023•杭州）杭州奥体中心体育场又称“大莲花”，里面有80800个座位．数据80800用科学记数法表示为（）A．8.8×104B．8.08×104C．8.8×105D．8.08×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：80800＝8.08×104，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．19．（2023•路桥区校级二模）2022年12月28日，台州市域铁路S1线开通运营，标志着台州城市发展迈入轨道时代台州市域铁路S1线全长约52.4公里，总投资约228.19亿元，是连接椒江区、路桥区及温岭市之间重要的城市快速通道．其中数据228.19亿用科学记数法表示为（）A．0.22819×1010B．0.22819×1011C．2.2819×1010D．2.2819×1011【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：228.19亿＝22819000000＝2.2819×1010．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．20．（2023•郧阳区模拟）2022年5月10日凌晨，长征7号火箭托举着天舟四号货运飞船发射升空，在距地面390000米的高度，与空间站完成自主交会对接任务．390000用科学记数法表示为．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：390000＝3.9×105．故答案为：3.9×105．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a n的值．21．（2022秋•拱墅区月考）北京冬奥会标志性场馆国家速滑馆“冰丝带”近12000平方米的冰面采用分模块控制技术．可根据不同项目分区域、分标准制冰．将数据12000用科学记数法表示为．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：12000＝1.2×104．故答案为：1.2×104．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．22．（2023•余姚市二模）中国空间站2022年建成，轨道高度为400～450千米．“450千米”用科学记数法表示是（）A．4.5×105米B．0.45×107米C．45×105米D．4.5×107米【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：“450千米”等于“450000米”，用科学记数法表示是4.5×105米．故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．23．（2021秋•越城区校级月考）一次自然灾害导致大约20万人受困，急需准备一批帐篷和粮食进行援助．估计每顶帐篷可以住10人，平均每人每天需要粮食0.4千克，共维持15天，那么有关部门需要筹集多少顶帐篷？多少吨粮食？（结果用科学记数法表示）【分析】根据题意列式计算，并用科学记数法表示结果即可．【解答】解：根据题意得：20万＝200000，所以有关部门需要筹集200000÷10＝20000（顶）帐篷，即2×104顶帐篷；需要筹集200000×0.4×15＝1200000（千克）粮食，1200000千克＝1200吨即1200＝1.2×103吨粮食．a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．24．（2022秋•慈溪市期中）在宇宙之中，光速是目前知道的最快的速度，可以达到3×108m/s，如果我们用光速行驶3.6×103s，请问我们行驶的路程为多少m？【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：3×108×3.6×103＝3×3.6×108×103＝10.8×1011＝1.08×1012（m）．答：行驶的路程为1.08×1012m．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．25．（2022秋•永嘉县校级月考）已知一个U盘的名义内存为10GB，平均每个视频的内存为512MB，平均每首音乐的内存为10.24MB，平均每篇文章的内存为10.24KB．现该U盘已存16个视频，50首音乐．若该U盘的内存的实际利用率为90%，求还可以存文章的最多篇数（用科学记数法表示）．（注：已知1GB ＝1024MB，1MB＝1024KB）【分析】根据题意列式求解，最后化成科学记数法．【解答】解：（10×1024×1024×0.9﹣512×1024×16﹣10.24×50×1024）÷10.24＝5.12×104，答：还可以存文章的最多篇数是5.12×104．【点评】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的形式是解题的关键．四．科学记数法—原数（共1小题）26．（2021秋•平阳县期中）用科学记数法表示的数为4.315×103，这个数原来是（）A．4315B．431.5C．43.15D．4.315【分析】将小数点向右移动3位即可得出原数．【解答】解：用科学记数法表示的数为4.315×103，这个数原来是4315，故选：A．【点评】本题主要考查科学记数法—原数，科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．若科学记数法表示较小的数a×10﹣n，还原为原来的数，需要把a的小数点向左移动n位得到原数．【过关检测】一、单选题1．（2023·浙江·七年级假期作业）()23−的相反数为（）A．3−B．3C．9−D．9【答案】C【分析】根据乘方运算以及相反数的定义进行计算即可得到答案．【详解】解：()239−=，根据相反数的定义可知：9的相反数是9−．故选：C．【点睛】本题考查了乘方运算以及相反数的定义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号；正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0．2．（2022秋·浙江·七年级期末）32的意义是（ ） A ．2×3 B ．2＋3 C ．2＋2＋2 D ．2×2×2【答案】D【分析】根据幂的意义即可得出答案．【详解】解：，32222=⨯⨯故选：D ．【点睛】本题考查了有理数的乘方，掌握na 表示n 个a 相乘是解题的关键． 3．（2023·浙江·七年级假期作业）代数式22222n ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯个可以表示为（ ）A ．2n +B ．2nC ．2nD ．n2【答案】C【分析】根据有理数乘方的意义解答即可得.【详解】解：代数式22222n ⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯个可以表示为2n； 故选：C.【点睛】本题考查了有理数的乘方，理解乘方的意义是关键.【答案】C【分析】由相反数的定义和非负数的性质求出a 、b 的值，代入计算即可． 【详解】解：∵5a +与6b −互为相反数，560a b ∴++−=，50a ∴+=，60b −=，解得5a =−，6b =，202120212021()(56)11a b ∴+=−+==．故选C ．【点睛】本题考查了相反数的定义和非负数的性质，解题的关键是求出a 、b 的值．5．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）下列对于式子()23−的说法，错误的是（ ） A ．指数是2 B ．底数是3− C ．幂为3− D ．表示2个3−相乘【答案】C【分析】根据乘方的定义解答即可． 【详解】A ．指数是2，正确； B ．底数是3−，正确； C ．幂为9，故错误；D ．表示2个3−相乘，正确；． 故选C ．【点睛】此题考查了乘方的意义，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．乘方的定义为：求n 个相同因数a 的积的运算叫做乘方，乘方运算的结果叫做幂．在na 中，它表示n 个a 相乘，其中a 叫做底数，n 叫做指数．6．（2023·浙江·七年级假期作业）观察下列等式：071=，177=，2749=，37343=，472401=，5716807=，…，根据其中的规律可得30122027777++++的结果的个位数字是（ ）A ．0B ．1C ．7D ．8【答案】A【分析】由已知可得尾数1，7，9，3的规律是4个数一循环，则30122027777++++的结果的个位数字与01237777+++的个位数字相同，即可求解．【详解】解：∵071=，177=，2749=，37343=，472401=，5716807=，…，∴尾数1，7，9，3的规律是4个数一循环， ∵179320+++=，∴01237777+++的个位数字是0，又∵20244506÷=，∴30122027777++++的结果的个位数字与01237777+++的个位数字相同， ∴30122027777++++的结果的个位数字是0．故选：A ．【点睛】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键． 7．（2022秋·浙江绍兴·七年级校联考期中）某种细胞每过15秒便由1个分裂成2个．经过3分钟，这种细胞由2个分裂成（ ）个． A ．102 B ．112 C ．122 D ．132【答案】C【分析】根据题意可得3分钟有12个15秒，进而根据有理数乘方的意义即可求解． 【详解】解：∵3分钟3601215=⨯=⨯秒， ∴经过3分钟，这种细胞由2个分裂成122个， 故选：C ．【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，理解题意是解题的关键． 8．（2023·浙江·七年级假期作业）已知n 为正整数，计算()()22111nn +−−−的结果是（ ）A ．1B ．-1C ．0D ．2【答案】D【分析】根据有理数乘方运算法则进行计算即可．【详解】解：()()22111112nn +−−−=+=，故选：D ．【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则以及乘方的符号规律是解本题的关键． 9．（2023·浙江·七年级假期作业）已知28.6274.3044=，若20.743044x =，则x 的值（ ） A ．86.2 B ．0.862 C ．0.862± D ．86.2±【答案】C【分析】根据两式结果相差2位小数点，利用乘方的意义即可求出x 的值．【详解】解：∵28.6273.96=，20.7396x =，∴220.862x =，则0.862x =±． 故选C ．【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解题的关键．二、填空题10．（2022秋·浙江·七年级专题练习）计算：()3232−⨯−=_____． 【答案】72【分析】直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：()()32329872−⨯−=−⨯−=．故答案为：72．【点睛】此题主要考查了有理数的乘方运算，正确化简各数是解题关键．11．（2022秋·浙江绍兴·七年级校考期中）把22222⨯⨯⨯⨯写成幂的形式是____________. 【答案】52【分析】根据有理数的乘方的定义及幂的定义解答即可． 【详解】解：22222⨯⨯⨯⨯写成幂的形式为：52． 故答案为：52．【点睛】本题考查了有理数的乘方及幂的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．【分析】先根据()2320a b −++=求出a 和b 的值，再把a 和b 的值代入()2022a b +即可求解．【详解】解：∵()2320a b −++=，∴,a b −=+=3020，解得：3,2a b ==−，∴()()a b =−=+20222022132，故答案为：1．【点睛】本题主要考查了绝对值与偶次幂的非负性，幂的运算，熟练掌握绝对值与偶次幂的非负性是解题的关键．【答案】 34 3 ﹣2764【分析】根据有理数的乘方的定义和意义，在na 中，a 叫做底数，n 叫做指数；na 表示n 个a 相乘，即可．【详解】∵在na 中，a 叫做底数，n 叫做指数∴334⎛⎫− ⎪⎝⎭的底数是34，指数是3∵na 表示n 个a 相乘∴3332744464⎛⎫−⨯⨯=−⎪⎝⎭故答案为：34；3；﹣2764．【点睛】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数的乘方的定义和意义． 14．（2023·浙江·七年级假期作业）已知24m =，则m =______________． 【答案】2【分析】把4写成22即可求出m 的值．【详解】解：∵24m =且24=2，∴222m =，∴2m =， 故答案为：2．【点睛】本题主要考查了乘方的意义，正确把4写成22是解答本题的关键．【答案】243【分析】根据题意可求出第一次截去全长的13，剩下213⨯米，第二次截去余下的13，剩下2123⨯，从而即可得出第五次截去余下的13，剩下532133224⨯=米．【详解】解：第一次截去全长的13，剩下1111332⎛⎫⨯−=⨯⎪⎝⎭米，第二次截去余下的13，剩下2911111133432⎛⎫⎛⎫⨯−⨯−=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭米，…第五次截去余下的13，剩下532133224⨯=米．故答案为：32 243．【点睛】本题考查有理数乘方的应用，数字类规律探索．理解乘方的定义是解题关键．三、解答题【答案】(1)正(2)负(3)负(4)负【分析】根据有理数乘方的符号规律解答即可．【详解】（1）解：∵12(6)−的指数是12，为偶数，负数的偶次幂是正数，∴12(6)−的结果为正；（2）解：∵9(0.0033)−的指数是9，为奇数，负数的奇次幂是负数，∴9(0.0033)−的结果为负；（3）解：∵85−表示的是85的相反数，正数的任何次幂都是正数， 85的结果为正，所以85−的结果为负；（4）解：∵1125⎛⎫− ⎪⎝⎭的指数是11，为奇数，负数的奇次幂是负数， ∴1125⎛⎫− ⎪⎝⎭的结果为负．【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握负数的偶次幂为正、奇次幂为负成为解答本题的关键．【答案】(1)625(2)85−(3)0.027【分析】（1）4(5)−表示4个5−相乘，即可得出答案； （2）先计算2的立方，即可得出答案；（3）根据在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数，乘方是几个相同因数的简便运算，可得答案．【详解】（1）4(5)(5)(5)(5)(5)625−=−⨯−⨯−⨯−=；（2）322228555⨯⨯−=−=−； （3）[]3(0.3)(0.3)(0.3)(0.3)(0.027)0.027−−=−−⨯−⨯−=−−=．【点睛】本题考查了乘方的定义，理解乘方的意义是解题的关键． 18．（2023·浙江·七年级假期作业）（1）计算下面两组算式： ①2(35)⨯与2235⨯；②2[(2)3]−⨯与222)3⨯(-；（2）根据以上计算结果想开去：3()ab 等于什么?（直接写出结果）（3）猜想与验证：当n 为正整数时， ()n ab 等于什么? 请你利用乘方的意义说明理由． （4）利用上述结论，求20202021(4)0.25−⨯的值． 【答案】（1）①225，225,2(35)⨯=2235⨯;②36，36，2[(2)3]−⨯=222)3⨯(-，（2）33a b（3）见详解 （4）0.25．【分析】（1）①先算括号内的数，再算平方；先算平方，再计算乘法即可，比较计算结果， ②先算括号内的数，再算平方；先算平方，再计算乘法即可，比较计算结果， （2）直接按（1）写结果即可，（3）利用乘方()nab 的意义写成n 个数相乘，利用交换律转化为n a aa 个与n b bb个乘积即可．（4）利用积的乘方的逆运算把202120200.250.250.25=⨯，然后20202021(4)0.25−⨯=()202040.250.25−⨯⨯，再简便运算即可．【详解】（1）①2(35)⨯=152=225，2235⨯=9×25=225，2(35)⨯=2235⨯，②2[(2)3]−⨯=(-6)2=36， 222)3⨯(-=4×9=36， 2[(2)3]−⨯=222)3⨯(-，（2）333()ab a b =（3）()()()()=n n n n n n ab ab ab ab a a a b b b a b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭个个个．（4）20202021(4)0.25−⨯=()202040.250.2510.250.25−⨯⨯=⨯=．【点睛】本题考查有理数乘法法则问题，先通过不同形式的计算，验证结果相同，达到初步认证，再次认证结果，通过证明先算计积再算乘法，与先算每个数的乘方再算积，验证结论成立，会逆用积的乘方运算来简便运算是解题关键．【答案】(1)1，1；(2)ab ，anbn ，abc ，anbncn ；(3)﹣0.125【分析】（1）先算括号内的，再算乘方；先乘方，再算乘法．（2）根据有理数乘方的定义求出即可；（3）根据根据阅读材料可得（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125），再计算，即可得出答案．【详解】（1）解：（4×0.25）100＝1100＝1；4100×0.25100＝1，故答案为：1，1． （2）解：（ab ）n ＝anbn ，（abc ）n ＝anbncn ，故答案为：ab ，anbn ，abc ，（3）解：原式＝（﹣0.125）2014×22014×42014×（﹣0.125）＝（﹣0.125×2×4）2014×（﹣0.125）＝（﹣1）2014×（﹣0.125）＝1×（﹣0.125）＝﹣0.125【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，主要考查学生的计算能力，理解阅读材料是解题的关键． 20．（2022秋·浙江·七年级专题练习）先阅读下列材料，再解答后面的问题材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘n a a a ⋅个，记为an ． 如322228⨯⨯==，此时，3叫做以2为底8的对数，记为2log 8(即2log 83=)．一般地，若n a b =(0a >且10a b ≠>，)，则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b (即log a b n =)． 如4381=，则4叫做以3为底81的对数，记为3log 81(即3log 814=)．问题：(1)计算以下各对数的值：2log 4=_________，2log 16=_________，2log 64=_________．(2)通过观察（1），思考：2log 4、2log 16、2log 64之间满足怎样的关系式？(3)由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log log a a M N +＝______（0a >且100a M N ≠>>，，）．(4)利用（3）的结论计算44log 2log 32+＝______．【答案】(1)2，4，6(2)222log 4log 16log 64+=(3)()log a MN(4)3【分析】（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，即可找到规律：41664⨯=，222log 4log 16log 64+=； （3）由特殊到一般，得出结论：()log log log a a a M N MN +=（4）根据（3【详解】（1）解：(1)∵24624216264===，， ∴222log 42log 164log 646===，，，故答案为：2，4，6；（2）∵41664⨯=，2log 42=，2log 164=，2log 646=， ∴222log 4log 16log 64+=， 故答案为：222log 4log 16log 64+=；（3）观察（2）的结果，我们发现，底数不变，后面两个数相乘．则()log log log a a a M N MN +=， 故答案为：()log a MN ．（4）44log 2log 32+()4log 232=⨯4log 64=3=． 故答案为：3．【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，对数，类比、归纳，推测出对数应有的性质是解题的关键．【答案】(1)710，8a(2)m n a +(3)2023x ，31n y +(4)18【分析】（1）根据题目中给出的信息进行运算即可；（2）总结题目信息得出同底数幂的运算法则；（3）根据同底数幂的运算法则进行运算即可；（4）逆用同底数的乘法公式进行运算即可．【详解】（1）257101010⨯=，358a a a ⨯=，故答案为710，8a ；（2）m n mn a a a ⨯=（m 、n 都是正整数），故答案为m n a +；（3）220201*********x x xx x ++=⋅=⋅，212131n n n n n y y y y ++++⋅==， 故答案为2023x ，31n y +；（4）∵3,6a b x x ==，∴3618a b a b x x x +=⋅=⨯=，故答案为18．【点睛】本题主要考查了乘方的定义和意义，得到同底数幂的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键． ，一般地，把n a a a aa a ÷÷÷个（a ≠02⎝⎭深入思考【答案】(1)12，8− (2)213，415，82 (3)21n a −(4)1−【分析】（1）（2）根据新定义内容列出算式，然后将除法转化为乘法，再根据乘法和乘方的运算法则进行化简计算；（3）根据（1）（2）得出规律21n a a −=ⓝ；（4）根据（3）的规律求解即可．【详解】（1）解：122222=÷÷=③， 1111118222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−÷−÷−÷−÷−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⑤， 故答案为：12，8−；（2）解：(3)−=④21(3)(3)(3)(3)3−÷−÷−÷−=， 4155555555÷÷÷=÷÷=⑥， 1111111111122222222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−−−−−−−−−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝=÷⎭÷÷÷÷÷÷÷÷⎭⎝⎭⎭⎝⎝⎭⎝⎭⑩82=； 故答案为：213，415，82；（3）解：21n a a a a a a −=÷÷⋯⋯÷=ⓝ， 故答案为：21n a −；（4）解：3242(16)2÷+−⨯④21248(16)2=÷+−⨯ 13(16)4=+−⨯34=−1=−．【点睛】本题属于新定义题型，考查有理数乘除运算法则及对有理数乘方运算的理解，理解新定义内容，掌握有理数乘除法和有理数乘方的运算法则是解题关键．。
《乘方》有理数PPT课件(第2课时)
对值两方面考虑，可发现排列的规律.
4
，.
解：（1）第①行数是 2，（ 2）2，（ 2）3，（ 2）
探究新知
（2）第②③行数与第①行数分别有什么关系？
解：（2）第②行数是第①行相应的数加2，即
4
2+ 2，（ 2）2 + 2，（ 2）3 + 2，（ 2）
+ 2， .
第③行数是第①行相应的数除以2，即探究新知知识点 1有理数的混合运算
某公园里花坛的花朵枯萎了，现在需要重新栽种，
我们一起去看看有什么数学问题吧！
探究新知
圆形花坛的半径为3m，中间雕塑的底面是边长为1m的正方形。
请同学们估计一下若每平方米种9株花，我要买几株花呀？
3m
1m
探究新知
第二级运算
乘除运算
(π 3 －1 ) 9
2
4
2
0
–6
课堂检测
拓广探索题
一个长方体的长、宽都是a，高是b，它的体积和表
面积怎样计算？当a=2 cm，b=5 cm时，它的体积和
表面积是多少？
解：体积V=a2b=22×5=20 cm3.
表面积S=2a2+4ab=2×22+4×2×5=48 cm2.
课堂小结
有理
数混
合运
算的
顺序
1
先乘方，再乘除，最后加减
人教版 数学 七年级 上册
1.5 有理数的乘方
1.5.1 乘方
第2课时
导入新知
【思考】
（1）我们学习了哪些运算？
（2）在2+32×(–6)这个式子中，存在着哪些运
算？这些运算如何进行呢？
素养目标
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n 7 （ 为 ( )2 ，而不能写成 ，－1 的平方为 (-1)2 ，而不能写成 -12 . （ 《有理数的乘方》知识点解读
知识点 1
乘方的意义（重点）
（1）乘方的定义：求 n 个相同因数 a 的积的运算叫做乘方. 6 4 个a 4 8
（2）乘方的形式： a ⨯ a ⨯ ... ⨯ a = a n .
（3） a n 的读法与理解： a n 读作 a 的 n 次幂（或 a 的 n 次方），a 、n 与 a n 的理解
如图.
底数
a n 指数
幂
难点：对乘方意义的理解： 1
）乘方与加减乘除意义，也是一种运算，但它是一
种特殊的运算（相同因数的乘法运算）.注意：幂是乘方运算的结果；
（2）加减运算是一级运算，乘除是二级运算，乘方、开方（今后将学到）是三
级运算；
（3）一个数可以看作它本身的一次方；
（4）当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再写指数，如 2 3 的平方 2 2 2 3 3
【例 1】把下列各式写成乘方的形式：
3 3 3 3 1 (1) ⨯ ⨯ ⨯ ;(2) ⨯ 3 ⨯ 3 ⨯ 3 ⨯ 3; 5 5 5 5 4
(3)(-3) ⨯ (-3) ⨯ (-3);(4) - 2 ⨯ 2 ⨯ 2 ⨯ 2.
解析：本题旨在强化对乘方的意义的理解，要分清底数和指数.
答案：
3 3 3 3 3 (1) ⨯ ⨯ ⨯ = ( )
4 ;
5 5 5 5 5
1 1 33 (2) ⨯ 3 ⨯ 3 ⨯ 3 ⨯ 3 = ⨯ 33 = ; 4 4 4
(3)(-3) ⨯ (-3) ⨯ (-3) = (-3)3 ;
(4) - 2 ⨯ 2 ⨯ 2 ⨯ 2 = -24.
规律总结： 1）底数是分数和负数时，一定要用括号把底数括起来，指数写在括
号的外面.
（4）读作： 的 8 次方，底数是 ，指数是 8. .
（2）相同的因数为底数，而相同因数的个数为指数.
【类型突破】读出下列各数，并指出其中的底数和指数.
5 (1)(-9)7 ;(2)8 3;(3) - 24 ;(4)( )8. 6
答案：（1）读作：－9 的 7 次方，底数是－9，指数是 7；
（2）读作：8 的 3 次方，底数是 8，指数是 3；
（3）读作：2 的 4 次方的相反数，底数是 2，指数是 4；
5 5
6 6
知识点 2 乘方的符号法则（难点）
（1）正数的任何次幂都是正数.
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
说明：①任何数的偶次幂都是非负数；
②有理数的乘方运算与有理数的加减乘除一样，首先要确定幂的符号，然后再计
算幂的绝对值；
③由有理数的乘法法则可知：0 的任何非零次幂等于 0；10 的几次幂等于 1 后面
加几个 0；1 的任何次幂都得 1.
【例 2 】计算：
1 2
2 (1)(-3)4 ;(2) - 34 ;(3)( - )3;(4) - . 2 3
解析：根据乘方的运算的符号法则，确定幂的符号，再用乘法求幂的绝对值.
答案：
(1)(-3)4 = +(3 ⨯ 3 ⨯ 3 ⨯ 3) = 81;
(2) - 34 = -(3 ⨯ 3 ⨯ 3 ⨯ 3) = -81;
1 1 1 1 1 (3)(- )3 = -( ⨯ ⨯ ) = - ;
2 2 2 2 8
22 2 ⨯ 2 4 (4) - =- =- . 3 3 3
错因分析：乘方中的指数表示相同因数的个数，不能把底数与指数相乘. 【类型突破】计算：
(1)(-1)2n ;(2)( -1)2n +1 (n 为正整数）
答案：（1）1 （2）－1。