2二元函数极限
§2二元函数极限
2222
1x y (1)x y →+(x,y)(0,0)、试求下列极限lim
分析：对趋近于原点且含有22x y +类的极限问题，采用极坐标变换较为简单。
22222222
222
22
()x r cos ,y r sin (x,y)(0,0)r 0
x y f (x,y)0r sin cos r
x y >0f (x,y)0r x y lim 0x y →=θ=θ→?→-==θθ≤+?εδδ-≤≤ε∴=+(x,y)(0,0)解：1对函数自变量作极坐标变换：这时由于因此，对，取时，就有
22
22
(x,y)(0,0)1x y (2)lim
x y →+++ 222
222(x,y)(0,0)r 0x r cos ,y r sin 1x y 1r lim =lim x y r
→→=θ=θ
+++=+∞+解：令
22(x,y)(3)
lim
→
分析：可以先分母有理化，再使用极坐标变化。
22(x,y)(x,y)(0,0)
r 0
x r cos ,y r sin lim
lim
=1)2
→→→=θ=θ
=解：令
44
(x,y)(0,0)44224444444
(x,y)(0,0)xy 1
(4)
lim
x y x r cos ,y r sin ,(x,y)0r 00
sin cos (3cos 4)
4
xy 1r sin cos 142r sin 22M x y r (cos sin )r (3cos 4)4r xy 1
lim →→++=θ=θ→?→?θ+θ=+θ+θθ++θ∴==>≥+θ+θ+θ+∴解：令不妨限制的，则，当0时44
x y =+∞+ (x,y)(1,2)1
(5)lim
2x y
→-
(x,y)(0,0)11M>0x 1,y 24M 2M
111
M
2x-y 2(x 1)(2y)2x 12y 1
lim 2x y →?-<
-<≠=≥>-++-+-∴=∞
-解：对，当且(x,y)(1,2)时有 22
(x,y)(0,0)2222
(x,y)(0,0)
1
(6)
lim (x y)sin
x y >01
sin x y x y 1
lim (x y)sin
0x y
→→++εε
?ε≤+<ε
+∴+=+解：对，当x <,y <时有
22
(x+y)
2222
(x,y)(0,0)222222(x,y)(0,0)r 0sin(x y )
(7)lim x y x r cos ,y r sin ,(x,y)0r 0sin(x y )sin r lim = lim 1
x y r
→→→++=θ=θ→?→+=+解：令令 2、讨论下列函数在点(0,0)处的重极限与累次极限
2
2
2
y (1)f (x,y)x y =+
2222222(x,y)(0,0)r 0r 02
2
2
22222
x 0y 0x 0y 0x 0y 0y r sin lim lim limsin ,x y r y y y
limlim
lim00,limlim lim 1
x y x y y →→→→→→→→→θ
==θ+====++解：重极限不存在而
(x,y)(0,0)x 0y 0y 0x 011(2)f (x,y)(x y)sin sin
x y >0=211
(x y)sin sin x y 2x y
11
lim (x y)sin sin 0x y
1111
limlim(x y)sin sin limlim(x y)sin sin x y x y →→→→→=+ε
?ε?δδδ≠+≤+<δ=ε
∴+=++解：对，，当x =,y <,(x,y)0时
而与均不存在
2222
2
2222
222222
x 0x 0y kx 2222
222222x 0y 0x 0y 0x 0y 0x y (3)f (x,y)x y (x y)1k 1x y k x lim lim 0k 1x y (x y)k x (1k)x y x y lim lim lim 00,lim lim lim 00x y (x y)x y (x y)→→=→→→→→→=+-=?==?
≠+-+-?====+-+-解：所以重极限不存在
而
2
32
332
3336
222
x 0x 0y x
3339876
23x 0x 0y x x
333322x 0y 0x 0y 0x 0y 0
x y (4)f (x,y)x y
x y x x lim lim 0
x y x x x y x x 3x 3x x lim lim 1x y x x y x y lim lim lim lim lim(x y)lim x y x y →→=→→=-→→→→→→+=+++==++++-+-==++++++2解：所以重极限不存在
而=x=0,=y =0
x 0y 0x 0y 0x 01
(5)f (x,y)ysin
x
11
lim lim ysin =lim =lim lim ysin x x →→→→→=解：00，不存在
(x,y)(0,0)>=1y lim ysin 0
x
→?εδεδδ≠≤<δ=η?=对0取，当x <,y <(x,y)(0,0)时有
1 ysin x 2
22
3
3
224
333x 0x 0y x
2224323336543x 0x 0y x x
22223333x 0y 0x 0y 0x 0y 0
x y (6)f (x,y)x y x y x lim lim 0
x y 2x x y x (x 2x x )1lim lim x y x (x 3x 3x x )3x y x y lim lim lim lim lim lim 0x y x y →→=→→=-→→→→→→=+==+-+==++-+-=++解：所以重极限不存在
而=0=0，=0
2
2
x y x y 2x 0x 0y x
x y x x 2
2323x 0x 0x 0y x x
x y x y x 0y 0y 0x 0e e (7)f (x,y)sin xy
e e 0
lim lim 0
sin xy sin x e e e [1e ]x lim lim lim 1sin xy sin(x x )x x e e e e lim lim lim lim(x y)sin xy sin xy
→→=-→→→=-→→→→-=
-==--===----+解：所以重极限不存在
而与均不存在
(x,y)(a,b)
x a
y b x a
1x a
'(x,y)(a,b)
1
lim A 2
lim lim lim >0lim lim
→→→→→→??δδ???ε?δδ≤δ?ε?δ'111123、证明：若f(x,y)存在且等于；y在b的某领域内有f(x,y)=(y)则f(x,y)=A
证：由题设，当y-b <时,有f(x,y)=(y)对>0,>0
当0 又因为f(x,y)=A,所以2'112y b x a ,,f (x,y)A (y)A (y)A f (x,y)A 2lim lim →→→δ≤δ≠<ε δδδδεδ≤δ≠-=?-≤?-+-<ε ?2x a >0,当0 lim f(x,y)=A 22 (x,y)(0,0)y 4-lim x y →εδ+2x 、试用定义证明=0 2222 222 (x,y)(0,0)x y r sin cos r x y x y lim 0x y →?εδεθθδρδ==θθ≤<δ=ε+?=+00证法1：对>0,取=,令x=rcos ,y=rsin ,当时即(P,P 时,(P(x,y),P(0,0))有f(x,y) 证法2：由于2222 y y 1 x x x y x y 2 =≤++2x x ，所以对?ε>0，取δε=，{} (,)(,),,(,)(0,0)x y x y x y x y δδ?∈<<≠，有2222y y 1 x x x y x y 2 =≤<ε++2x x ，所 以22 (x,y)(0,0)y lim x y →+2x =0。 5、叙述并证明：二元函数的唯一性定理，局部有界性定理与局部保号定理. 000(1)U U U →→→??ε?δδ∈δε∈δεδδδ∈δ(x,y)(a,b) (x,y)(a,b) (x,y)(a,b) 1200102120二元函数极限的唯一性定理：若lim f(x,y)存在， 则此极限是唯一的. 证：设有lim f(x,y)=A,lim f(x,y)=B 对>0,,>0,记P(a,b),当P (P ,)时,f(x,y)-A <,当P (P ,)时,f(x,y)-B <, 取=min{,},则当P (P ,)时A f (x,y)?≤-，上两式同时成立A-B +f(x,y)-B 由的任意性，推得这就证明了唯一性. 2)f =A =1>P →→ε?δ?∈δ?≤?δ(x,y)(a,b) 00 000(x,y)(a,b) 00(二元函数的局部有界性定理：若lim f(x,y)存在， 则在P(a,b)的某个空心领域U (P )内有界.证：设lim f(x,y)，取，则0，对U (P ，)，有f(x,y)-A <1f(x,y)f(x,y)-A +A <1+A f(x,y)在U (P ，)内有界. (3)=A>(<0)(),P P →?∈δ?∈ε?δ?∈δε(x,y)(a,b) 00000 0二元函数的局部保号定理：若lim f(x,y)0或，则对 任何正数rr>0(或f(x,y)<-r<0) 证：设A>0,对r (0,A),取=A-r,则>0.使得对U (P ，)有f(x,y)>A-=r 对A<0的情形可类似地证明，所以结论成立. (x,y)(+,+) 6(1) f (x,y)A →∞∞=、试写出下列类型极限的精确定义lim >M>f (x,y)A A f (x,y →∞→∞?ε?ε→∞∞=?ε?δδε →∞(x,y)(0,+) (x,y)(0,+) 解：若对0，0，当x>M,y>M时,有 f(x,y)-A <则称(x,y)(+,+),f(x,y)=A (2)lim 解：若对>0,,M>0,当0 = 2244 (x,y)(,)7x y (1)lim x y →+∞+∞++、试求下列极限 提示：采用极坐标变换再放不等式。 2244244222222 2244 (x,y)(,)>0x y 144221 x y r (cos sin )r (3cos 4)2r x y 2M M x y lim 0x y →+∞+∞?ε?δθθ+==≤=<==ε+θ+θ+θ++?=+解：对，x>M,y>M 时,记x=rcos ,y=rsin 22(x y) (x,y)(,) ) 2 2 (x y) 4 )4 r (2) lim (x y )e (x,y)(,)(x y )e 4e -+→+∞+∞π θ+-+θθπ+θ→∞+θθ→+∞+∞π θ→∞+ππππθ+?θ≤≤=2-r(sin +cos ) 2 22 22r 解：令x=rcos ,y=rsin ,则等价于 0<<,r +. 2因为=r e =r e 3而<<+)14424 r r r e <. r 但是lim li r ) 22(x y) 2 4 (x,y)(,) r 02 e lim (x y )e lim r e →∞π θ+-+→+∞+∞→+∞ π<θ< =? +==2 r r m xsin y (x,y)(,) 1(3) lim (1)xy →+∞+∞+ 分析：变形利用重要极限的结论。 x sin y (x ,y)(,)xsin y xsin y (x,y)(,)(x,y)(,)1 lim ln(1)xsin y 0xy (x,y)(,)1(1)xy (x,y)(,)1lim ln(1)lim 0.10xy 1lim (1)e e 1 xy →+∞+∞→+∞+∞→+∞+∞+→+∞+∞+ →+∞+∞→∞+===?+===xy xy siny 1解：ln =ln(1+)y xy 当时,xy +,所以 siny 1ln(1+)y xy 2 x x y (x,y)(,0)1 (4) lim (1) x +→+∞+ 分析：变形利用重要极限的结论。 2x x x y (x ,y)(,0) (x,y)(,0)x 1lim (1)1x y x (x,y)(,0)x lim x y 1 lim (1)e e e x +→+∞→+∞++→+∞++===解：因为 =1推得 2 2 2 2 22x y x y x x x 8(1)y x y y lim lim lim lim lim lim x y lim →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→∞→∞+-+-+22、试作一函数f(x,y)使当x +,y +时两个累次极限存在而重极限不存在x 解：取f(x,y)=x 则=(-1)=-11=1由定理16.6推论2知重极限不存在 (2)两个累次极限不存在，而重极限存在. 11 解：取f(x,y)=()sinxsiny x y 1因为y x x y y x (x,y)(,)lim lim lim lim lim 2 M 2 M lim →+∞→+∞→+∞ →+∞→+∞ →+∞+∞??ε?=ε=+≤+<=ε ?+1 sinxsiny 不存在,但sinxsiny=0 x f(x,y)不存在,同理f(x,y)也不存在. 但对>0,,当x>M,y>M时,有 1111f(x,y)()sinxsiny x y x y 11 ()sinxsiny=0x y (3)重极限与累次极限均不存在.解：取f(x,y)x ,y →+∞→+∞2222=(x +y )sin(x +y ) 则设函数当时,重极限与累次极限均不存在. (4)(x,y)(,) x y x y x lim lim lim lim lim lim →+∞+∞→+∞→+∞→+∞ →+∞→+∞ 重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在.11解：取f(x,y)= sinx,则sinx=0y y 1 1 sinx=但sinx不存在. y y 0=0, 9、证明定理16.5及其推论3. P D P E (1)f(P)=A D E P E f(P)=A. →∈→∈0 0P P 0P P 定理16.5：lim 的充要条件是：对于的任一子集 ，只要是的聚点，就有lim 分析：必要性显然，充分性采用反证法。 P D 0000P E P E P f(P)=A U U U U f(P)=A. E P E f(P)=A. →∈→∈→∈→∈???ε?δ∈δε δ≠φ?δ?δ<ε?00000P P 0000P P 0P P P P 证：“必要性”，若lim 且E D,P 是E 的聚点 对>0,>0 当P (P ,)D,就有f(p)-A <而(P ,)E (P ,)E (P ,)D 故也有f(x,y)-A lim “充分性”，若对D 的任一子集，只要是的聚点，就有lim 采用反证法，假如lim D 00n n 0n n P E P D f(P)A,U U (P ,P )=0. P E f(P)=f(P)=→∞ →→∞ ∈→∈≠?ε?δ?∈δ≥εδ∈δ≥ε?ρ00000n n 0n n 0n 0n P P P P 即>0,对>0, 都P (P ,)D,使f(P)-A , 1 取=,n=1,2,,则相应得P (P ,)D n 使(i)P 互不相同,(ii)f(P )-A .由此得到E={P }D,因lim 所以是的聚点，但这与应有lim lim f(P )矛盾， 所以必有lim A. P D n 0n 0n n n (2)3f(P)D P P P =P {P }{f(P )}→∈→∞ ≠0P P 推论：极限lim 存在的充要条件是：对于中任意一满足条件 且lim 的点列它所对应的函数列都收敛. 分析：必要性可由定理16.5得，充分性先证明极限是唯一的，这可用反证法，也可以用“构造法”，再仿照证明定理16.5的充分性的证法证明0 P P P D f (P)A →∈=lim 。 0n n n P D P E P D n n P {P } E={P lim p p E f(P)=A f(P)=A f(P)=A {f(P )}→∞ →→∈∈∈→→∞ ∈????0 0000P P P P n P P 证：（必要性）若记}D,则由=知p 是的聚点。 则由定理16.5：lim lim 知lim lim f(P )=A 函数列收敛。 n {f(P )}（充分性）若任意这样的函数列都收敛，先证这样的极限是唯一的。 n n '0n n n n 'n 0,n n n n n n {f(P )}{P }D {P }D P A n 2k 1 n 2k 2 z P A f (P )f (z )f (→∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ ??==+??=+?====''n n n n n k+1 n n k+1事实上，若各函数列有点列不收敛于同一数，设，，lim P =lim P 且lim f(P )=，lim f(P )=B P 则记点列{z }:z =k=0,1,2, P 则易知lim 且lim lim lim 0 'n P P P D P )B f (P)A (1)16.5→∈==，矛盾。 其次证明这时必有lim ，证法与中定理“充分性”所使用的证法相同 求多元函数极限的方法 【摘要】对于大部分学生，尤其是初接触高等数学的同学而言,极限是一道很难过的关,因为那种“无限逼近”却又“无法达到”的抽象对于刚刚结束中学数学学习,习惯于具体图形分析、函数计算的同学来说,在思维上有了更高的要求。而对于高等数学来讲，极限又是相当重要的基础,不管是函数连续性的验证,亦或是单侧导数的求解，极限都是很重要的一个环节,它就相当于一条线惯于始终,所以说学好极限,是学好高等数学的一个起点。【1】 【关键词】多元函数;求极限多种方法；求极限常出现的错误 【引言】之前学过如连续、导数微分和积分等都要用极和秋极限的方法,例如：利用定义来求极限、用柯西收敛准则、利用两边夹定理等等。这些方法虽然简便易于理解和掌握,但对 于一些特殊的极限题目很难解决，例如：设0a >，10a >，2 12(3) 3n n n n a a a a a a ++=+求lim n n a →∞的问题题目尽给出了第n 项和第n +１项的关系若用利用定义来求极限、用柯西收敛准则 1 ! lim ! n k n k n =→∞ ∑及求一些复合函数极限的问题本文将探讨一些特殊的求极限的方法，对某些用常 见方法不易求解的题目运用此方法可以容易地解出。【2】本文将从多个方面，通过利用极限的性质及相关概念和几个典型例题对常用求极限的方法进行解析，并列出容易出错的地方。 1 利用极限定义的思想观察函数的极限 例1、讨论当x → 12时函数y =21 x x +的极限。我们列出了当x →12 时某些函数值,考察 从列表可以看出,当x 趋向于2时，y 就趋向于0.7,即x →2 时,y =21 x x +的极限是0．75。 2、利用四则运算法则求极限 例2(1)求2 3 32 1 lim(4)x x x →-+ （2）221 lim 21 x x x →-+ 解(2）2 21lim 21x x x →-+=2 2 2 lim(1)3lim(21)5 x x x x →→-=+ 3、利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小量的性质求极限 例3求0 1 lim sin x x x → 精彩文档 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法 2.1 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以 12 212 2lim (,) lim(2) 12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+??= 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→． 解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21 lim y x y x +→=3 1． 精彩文档 2.2 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 00 x y →→= 00 x y →→= 00 1. 4 x y →→==-例4 ()() 2 2 220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解： 原式()() ( ) ) () () ,0,02 211lim 231x y x y →+= ++ ()( 22 ,0,0lim x y →= + 11022 = +=． 第二节 二元函数的极限 1、试求下列极限（包括非正常极限）： （1）(,)(0,0)lim x y x 2y 2x 2+y 2 ； （2）(,)(0,0)lim x y 1+x 2+y 2x 2+y 2 ； （3） (,)(0,0) lim x y x 2+y 21+x 2+y 2 -1 ； （4）(,)(0,0)lim x y xy+1 x 4+y 4 ； （5）(,) (1,2)lim x y 12x-y ； （6）(,)(0,0)lim x y (x+y)sin 1 x 2+y 2 ； （7）(,)(0,0)lim x y sin(x 2+y 2)x 2+y 2 x 2+y 2 . 2、讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限： （1）f(x,y)=y 2x 2+y 2 ； （2）f(x,y)=(x+y)sin 1x sin 1y ； （3）f(x,y)=x 2y 2x 2y 2+(x-y)2 ； （4）f(x,y)=x 3+y 3 x 2+y ； （5）f(x,y)=ysin 1x ； （6）f(x,y)=x 2y 2 x 3+y 3 ； （7）f(x,y)=e x -e y sinxy . 3、证明：若1 。 (a,b) lim （x,y ）f(x,y)存在且等于A ；2。 y 在b 的某邻域内，有 lim x a f(x,y)= (y)则 y b lim a lim x f(x,y)=A. 4、试应用ε—δ定义证明 (x,y)(0,0)lim x 2y x 2+y 2 =0. 5、叙述并证明：二元函数极限的唯一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理. 6、试写出下列类型极限的精确定义： （1） (x,y) ( ,) lim f(x,y)=A ； （2） (x,y) (0, ) lim f(x,y)=A. 7、试求下列极限： （1） (x,y) ( , )lim x 2+y 2 x 4+y 4 ； （2）(x,y)(, ) lim (x 2+y 2)e -(x+y)； 二元函数极限的求法 数学与统计学院、数学与应用数学、0701班，湖北，黄石，435002 1.引言 多元函数的极限在高等数学中非常重要，但由于多元函数的自变量多,因此对于判断其极限存在与否及其求法，比起一元函数的极限就显得比较困难.求极限和证明极限的方法很多，一般我们常用定义法，初等变形法，两边夹准则，阶的估计等.在这几种方法中，定义法是基础，但是比较繁琐,其他方法有的较易，有的较难，让人不知道从何下手.因此，我们有必要总结探讨出比较容易好的方法去求多元函数的极限.多元函数极限在现在的生活中也有很大的用处，比如工程计算方面.从以上来看，研究归纳总结多元函数极限的求法问题是有意义和必要的.本文主要研究二元函数极限的定义以及二元函数极限求解的几种方法，并以实例加以说明. 2.二元函数极限的定义 定义1 设E 是2R 的一个子集，R 是实数集,f 是一个规律，如果对E 中的每一点(,)x y ,通过规律f ,在R 中有唯一的一个u 与此对应,则称f 是定义在E 上的一个二元函数,它在点(,)x y 的函数值是u ,并记此值为(,)f x y ，即(,)u f x y =. 有时,二元函数可以用空间的一块曲面表示出来,这为研究问题提供了直观想象.例如，二元函数222y x R x --=就是一个上半球面，球心在原点，半径为R ，此函数定义域为满足关系式222R y x ≤+的x ,y 全体,即 }|),{(222R y x y x D ≤+=.又如,xy Z =是马鞍面. 知道多元函数的定义之后,在我们求多元函数极限之前我们必须知道多 元函数极限的定义. 定义2 设E 是2R 的一个开集，A 是一个常数，二元函数()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>?ε,0>?δ,当()00,r M M δ<<时,有()f M A ε-<,就称A 是二元函数在0M 点的极限.记为()0 lim M M f M A →=或 ()()0f M A M M →→. 定义的等价叙述 1 ：设E 是2R 的一个开集,A 是一个常数,二元函数 ()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>?ε，0>?δ，当()() 22 000x x y y δ< -+-<时，有(,)f x y A ε-<，就称A 是二元函数在0 M 点的极限。记为()0 lim M M f M A →=或()()0f M A M M →→. 定义的等价叙述2： 设E 是2R 的一个开集,A 是一个常数,二元函数 ()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>?ε，0>?δ，当 000,0x x y y δδ<-<<-<且()()00,,x y x y ≠时， 有(,)f x y A ε-<，就称A 是二元函数在0M 点的极限.记为 ()0 l i m M M f M A →=或 ()()0f M A M M →→. 注：（1）和一元函数的情形一样，如果0 lim ()M M f M A →=,则当M 以任何 点列及任何方式趋于0M 时,()f M 的极限是A ；反之,M 以任何方式及任何点列趋于0M 时，()f M 的极限是A .但若M 在某一点列或沿某一曲线0M →时，()f M 的极限为A ，还不能肯定()f M 在0M 的极限是A . 二元函数的极限较之一元函数的极限而言，要复杂得多,特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂. 第二节二元函数的极限 1、试求下列极限（包括非正常极限）： （1）；（2）； （3）；（4）； （5）；（6）(x+y)sin； （7）x2+y2. 2、讨论下列函数在点(0,0)的重极限与累次极限： （1）f(x,y)=；（2）f(x,y)=(x+y)sinsin； （3）f(x,y)=；（4）f(x,y)= ； （5）f(x,y)=ysin；（6）f(x,y)=； （7）f(x,y)=. 。f(x,y)存在且等于A；2。y在b的某邻域内，有f(x,y)= 3、证明：若1 (y)则 f(x,y)=A. 4、试应用ε—δ定义证明 =0. 5、叙述并证明：二元函数极限的唯一性定理、局部有界性定理与局部保号性定理. 6、试写出下列类型极限的精确定义： （1） f(x,y)=A；（2）f(x,y)=A. 7、试求下列极限： （1）；（2）(x2+y2)e-(x+y)； （3）(1+)xsiny；（4）. 8、试作一函数f(x,y)使当x+,y+时， （1）两个累次极限存在而重极限不存在； （2）两个累次极限不存在而重极限存在； （3）重极限与累次极限都不存在； （4）重极限与一个累次极限存在，另一个累次极限不存在. 9、证明定理16.5及其推论3. 10、设f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域U。()上有定义，且满足： （i）在U。()上，对每个y≠y0，存在极限f(x,y)=ψ(y)； （ii）在U。()上，关于x一致地存在极限f(x,y)=(x)(即对任意ε>0，存在δ>0，当0<|y-y0|<δ时，对所有的x，只要(x,y)∈U。()，都有|f(x,y)-(x)|<成立). 试证明 f(x,y)=f(x,y). 二元函数的极限 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 §2 二元函数的极限 (一) 教学目的： 掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联 系． (二) 教学内容：二元函数的极限的定义；累次极限． 基本要求： (1)掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联 系，熟悉判别极限存在性的基本方法． (2) 较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题． (三) 教学建议： (1) 要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会 他们求多元函数极限的方法． (2) 对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍 判别极限存在性的较完整的方法． 一 二元函数的极限 先回忆一下一元函数的极限： A x f x x =→)(lim 0 的“δε-” 定义(c31)： 设函数)(x f 在0x 的某一空心邻域),(100δx U 内由定义，如果对 1,0,0δδδε≤>?>?，当 ),(0δx U x ∈，即 δ<-||0x x 时，都有 ε<-|)(|A x f ，则称0x x →时，函数)(x f 的极限是 A. 类似的，我们也可以定义二元函数的极限如下： 设二元函数),(y x f 为定义在2R D ?上的二元函数，在点),(000y x P 为D 的一个聚点，A 是一个确定的常数，如果对 0,0>?>?δε，使得当 D P U y x P ),(),(00δ∈ 时，都有 ε<-|)(|A P f ，则称f 在D 上当 0P P →时，以A 为极限。记作 11 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以 12 212 2lim (,) lim(2) 12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+??= 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→． 解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 ． 22 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 00 x y →→= 00 x y →→= 00 1. 4 x y →→==-例4 ()() 2 2220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解： 原式()() ( )) () () ,0,02 211lim 231x y x y →+= + ()( 22 ,0,0lim x y →= + 11022 = +=． 1 / 15 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义,0P 是D 的聚点,A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时,都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限,记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限． ２.二元函数极限的求法 2.1 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=． 例１ 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续,所以 12 212 2lim (,) lim(2) 12125. x y x y f x y x xy →→→→=+=+??= 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→. 解: 因函数在()1,1点的邻域内连续,故可直接代入求极限,即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 . 2 / 15 2．2 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形,例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解 : 00 x y →→ 00 x y →→= 0x y →→= 00 1. 4 x y →→==-例4 ()() 2 2 220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解 : 原式 ()() ( ) )() () ,0,02 211lim 231x y x y →= + ()( 22 ,0,0lim x y →= + 11022 = +=． 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈I 时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法 2.1 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求 在点(1,2)的极限. 解： 因为在点(1,2)处连续，所以 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→． 解： 因函数在()1,1点的邻域连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 ． 2.2 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 00 x y →→= 0x y →→= 00 1. 4 x y →→==-例4 ()() 2 2 220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解： 原式()() ( ) ) ( ) () ,0,02 211lim 231x y x y →= + ()( 22 ,0,0lim x y →= + 11022 = +=． 2.3 利用等价无穷小代换 一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数.在二元函数中常见的 等价无穷小((,)0)u x y →，有 sin (,)(,)u x y u x y :； 2(,) 1cos (,)2 u x y u x y -:； 多元函数的定义域，极限 1，设函数Z=arcsin （x+y ），则定义域是 ； 答：?≤+≤-11y x 定义域为： {};11,),(≤+≤-y x y x 2，设函数Z=) ln(1y x y +，则定义域是 ； 解：由{}0/),(1 11φy y x D y z =?= 所以 {}0,0/,(21φφY y x y y x D D D +== （图 形讲义） 3，设函数Z= y x y x --2 4，则定义域是 ； {}0/,).(2 φπy x y y x 且 解：由04000422 φπφy x y x y y y x y x ≤???? ???? ???≥-≥- （图 形讲义） 4，求2 21)ln(y x x x y z --+ -=的定义域。 解：由 ?? ? ??+≥??????--≥-1001002222πφφφy x x x y y x x x y （图 形讲义） 5，设 xy e y x y x f xy ++= 2 2 3sin ),(π，求) ,(lim 2 1 y x f y x →→。 解：因为),(y x f 是初等函数，且D ∈)2,1( 所以),(y x f 在（1，2）处连续， 故 2322sin )2,1(),(lim 2 22 2 32 1 +=++==→→e e f y x f y x π 6，设2 22lim x y x y x xy ???? ??+∞ →∞→的极限。 解： 因为 2 2 21022x x y x xy ?? ? ??≤??? ? ? ?+≤ （ xy y x y x 2,0,02 2≥+φφΘ） 而 0)(lim ,021lim 2 2 22=+?=? ?? ??∞ →∞→∞ →∞→x y x x y x y x xy 7，求x xy a y x sin lim →→； 求多元函数极限的方法 【摘要】对于大部分学生,尤其是初接触高等数学的同学而言,极限是一道很难过的关,因为那种“无限逼近”却又“无法达到”的抽象对于刚刚结束中学数学学习,习惯于具体图形分析、函数计算的同学来说,在思维上有了更高的要求。而对于高等数学来讲,极限又是相当重要的基础,不管是函数连续性的验证,亦或是单侧导数的求解,极限都是很重要的一个环节,它就相当于一条线惯于始终,所以说学好极限,是学好高等数学的一个起点。【1】 【关键词】多元函数；求极限多种方法；求极限常出现的错误 【引言】之前学过如连续、导数微分和积分等都要用极和秋极限的方法，例如：利用定义来求极限、用柯西收敛准则、利用两边夹定理等等。这些方法虽然简便易于理解和掌握，但对 于一些特殊的极限题目很难解决，例如：设0a >，10a >，2 12(3) 3n n n n a a a a a a ++=+求lim n n a →∞的问题题目尽给出了第n 项和第n +1项的关系若用利用定义来求极限、用柯西收敛准则 1 ! lim ! n k n k n =→∞ ∑及求一些复合函数极限的问题本文将探讨一些特殊的求极限的方法，对某些用常 见方法不易求解的题目运用此方法可以容易地解出。【2】本文将从多个方面,通过利用极限的性质及相关概念和几个典型例题对常用求极限的方法进行解析，并列出容易出错的地方。 1 利用极限定义的思想观察函数的极限 例1、讨论当x → 12时函数y =21 x x +的极限。我们列出了当x →12 时某些函数值，考察 从列表可以看出，当x 趋向于2时，y 就趋向于0.7，即x →2 时，y =21 x x +的极限是0.75。 2、利用四则运算法则求极限 例2（1）求2 332 1 lim(4)x x x →-+ （2）221 lim 21 x x x →-+ 解（2）221lim 21x x x →-+=222 lim( 1)3lim(21)5 x x x x →→-=+ 3、利用无穷小量与无穷大量的关系及无穷小量的性质求极限 例3求0 1 lim sin x x x → 解因为0 lim x x →=0，且1sin 1x ≤即1sin x 有界，所以01lim sin x x x →=0 §2.3 二元函数的极限与连续 定义设二元函数在点的某邻域内有意义, 若存在 常数A,,当（即）时，都有 则称A是函数当点趋于点时的极限,记作 或 或或。必须注意这个极限值与点趋于点的方式无关,即不论P 以什么方 向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向。只要P与充分接近, 就能 使与A 接近到预先任意指定的程度。注意：点P趋于点点方式可有无穷多 种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。 图8-7 同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点时,极限 存在,但不相等, 则可以判定在该点极限不存在。这是判断多元函数极限不 存在的重要方法之一。 一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二 元函数极 限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。 例如若有, 其中 求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用夹逼定理 来计算。例4 求。解由于 而,根据夹逼定理知 ,所以 例5求（a≠0)。解。例6求。解由于且 ,所以根据夹逼定理知 . 例7 研究函数在点处极限是否存在。解当x2+y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于 （0，0）的极限，有,。很显然，对于不同的k值，可得到不同的极 限值,所以极限不存在,但 。注意：的区别, 前面两个求极限方式的 本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是求二元函数的 极限,我们称为求二重极限。 例8 设函数。它关于原点的两个累次极限都不存在,因 为对任何,当时,的第二项不存在极限；同理对任何 时,的第 一项也不存在极限,但是, 由于, 因此 由例7知, 两次累次极限存在, 但二重极限不存在。由例8可知,二重极限存 在,但二个累次极限不存在。我们有下面的结果: 定理1若累次极限和二重极限 都存在,则 三者相等（证明略）。推论若存在但 §2二元函数极限 2222 1x y (1)x y →+(x,y)(0,0)、试求下列极限lim 分析：对趋近于原点且含有22x y +类的极限问题，采用极坐标变换较为简单。 22222222 222 22 ()x r cos ,y r sin (x,y)(0,0)r 0 x y f (x,y)0r sin cos r x y >0f (x,y)0r x y lim 0x y →=θ=θ→?→-==θθ≤+?εδδ-≤≤ε∴=+(x,y)(0,0)解：1对函数自变量作极坐标变换：这时由于因此，对，取时，就有 22 22 (x,y)(0,0)1x y (2)lim x y →+++ 222 222(x,y)(0,0)r 0x r cos ,y r sin 1x y 1r lim =lim x y r →→=θ=θ +++=+∞+解：令 22(x,y)(3) lim → 分析：可以先分母有理化，再使用极坐标变化。 22(x,y)(x,y)(0,0) r 0 x r cos ,y r sin lim lim =1)2 →→→=θ=θ =解：令 44 (x,y)(0,0)44224444444 (x,y)(0,0)xy 1 (4) lim x y x r cos ,y r sin ,(x,y)0r 00 1 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法 2.1 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以 12 212 2lim (,) lim(2) 12125. x y x y f x y x xy →→→→=+=+??= 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→． 解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 ． 2 2.2 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 0x y →→= 0x y →→= 00 1. 4 x y →→==- 例4 ()() 2 2 220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解： 原式()() ( )) ( ) () ,0,02 211lim 231x y x y →+= + ()( 22 ,0,0lim x y →= 11022 = +=． §2 二元函数的极限 (一) 教学目的： 掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系． (二) 教学内容：二元函数的极限的定义；累次极限． 基本要求： (1)掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系，熟悉判别极限 存在性的基本方法． (2) 较高要求：掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题． (三) 教学建议： (1) 要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极 限的方法． (2) 对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法． 一 二元函数的极限 先回忆一下一元函数的极限： A x f x x =→)(lim 0 的“δε-” 定义(c31)： 设函数)(x f 在0x 的某一空心邻域),(100 δx U 内由定义，如果对 1,0, 0δδδε≤>?>?， 当 ),(0δx U x ∈，即 δ<-||0x x 时，都有 ε<-|)(|A x f ，则称0x x →时，函数)(x f 的极限是 A. 类似的，我们也可以定义二元函数的极限如下： 设二元函数),(y x f 为定义在2R D ?上的二元函数，在点),(000y x P 为D 的一个聚点，A 是一个确定的常数，如果对 0, 0>?>?δε，使得当 D P U y x P ),(),(00 δ∈ 时， 都有 ε<-|)(|A P f ，则称f 在D 上当 0P P →时，以A 为极限。记作 A P f D P P P =∈→)(lim 0 也可简写为 A P f P P =→)(lim 0 或 A y x f y x y x =→),(lim ) ,(),(00 例1 用定义验证 7)(lim 2 2 )1,2(),(=++→y xy x y x 证明: |16||7|2 2 2 2 -+-+-+≤-++y x xy x x y xy x 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 【关键字】情况、方法、条件、领域、问题、准则、方式、检验、分析、推广、满足、保证、方向 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法 2.1 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→． 解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 ． 2.2 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 2文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 例4 ()() 2 2220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解： 原式()() ( )) ( ) () ,0,02 211lim 231x y x y →= + 11 022 = +=． 2.3 利用等价无穷小代换 一元函数中的等价无穷小概念可以推广到二元函数.在二元函数中常见的 等价无穷小((,)0)u x y →，有 sin (,)(,)u x y u x y ； 2(,) 1cos (,)2 u x y u x y -； []ln 1(,)(,)u x y u x y +；tan (,)(,)u x y u x y ；arcsin (,)(,)u x y u x y ； arctan ( ,) (,)u x y u x y (,) 1 u x y n ；(,)1(,)u x y e u x y -；同一元函数一样，等价无穷小代换只能在乘法和除法中应用. 例5 求 00 x y →→ 解： 当 0x →，0y →时，有0x y +→1 1 ()2 x y +，所以 . 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈I 时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法 2.1 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以 12 212 2lim (,) lim(2) 12125. x y x y f x y x xy →→→→=+=+??= 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→． 解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 ． . 2.2 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 00 x y →→= 0x y →→= 00 1. 4 x y →→==-例4 ()() 2 2220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解： 原式()() ( ) ) () () ,0,02 211lim 231x y x y →= + ()( 22 ,0,0lim x y →= + 11022 = +=． 11 / 15 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以 12 212 2lim (,) lim(2) 12125. x y x y f x y x xy →→→→=+=+??= 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→． 解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 ． 22 / 15 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 00 x y →→= 0x y →→= 00 1. 4 x y →→==-例4 ()() 2 2220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解： 原式()() ( ) ) ( ) () ,0,02 211lim 231x y x y →= + ()( 22 ,0,0lim x y →= + 11022 = +=． 第十六章 多元函数的极限与连续习题课 一 概念叙述题 1.叙述0 lim ()P P f P A →=，其中0,P P 的坐标为00(,),(,)x y x y ． lim ()0,0,P P f P A εδ→=??>?>当00(;)P U P D ∈I δ时，有()f P A ε-< （方形邻域）0,0,εδ??>?>当0x x δ-<，0y y δ-<， 00(,)(,)x y x y ≠，有(,)f x y A ε-< （圆形邻域）0,0,εδ??>?>当0δ<，有(,)f x y A ε-<． 2. 叙述 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →=+∞，00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →=-∞， 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →=∞的定义． 000000(,)(,) lim (,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=+∞??>?>-<-<≠>当时，有 0,0,0(,)G f x y G δδ??>?>< <>当时，有000000(,)(,) lim (,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=-∞??>?>-<-<≠<-当时，有 000000(,)(,) lim (,)0,0,,,(,)(,)(,)x y x y f x y G x x y y x y x y f x y G δδδ→=∞??>?>-<-<≠>当时，有． 3.叙述 0(,)(,) lim (,)x y y f x y A →+∞=的定义． 00(,)(,) lim (,)0,0,0,,(,)x y y f x y A M x M y y f x y A εδδε→+∞=??>?>?>>-<-<当时，有 4.叙述 0(,)(,) lim (,)x y x f x y →-∞=+∞的定义． 00(,)(,) lim (,)0,0,0,,(,)x y x f x y G M x x y M f x y G δδ→-∞=+∞??>?>?>-<<->当时，有 5. 叙述 (,)(,) lim (,)x y f x y →-∞+∞=-∞的定义． (,)(,) lim (,)0,0,,(,)x y f x y G M x M y M f x y G →-∞+∞=-∞??>?><-><-当时，有． 注：类似写出(,)(,) lim (,)x y f x y →=VW d 的定义，其中d 取,,,A ∞+∞-∞，?取0,,,x ∞+∞-∞， W 取0,,,y ∞+∞-∞． 6.叙述f 在点0P 连续的定义． f 在点0P 连续?ε?， 0δ?>，只要0(;)P U P D δ∈I ，就有0()()f P f P ε-< ?ε?， 0δ?>，当0x x δ-<，0y y δ-<，就有00(,)(,)f x y f x y ε-< ?ε?， 0δ?>，δ，就有00(,)(,)f x y f x y ε-<． 二元函数的极限及其连续性 在一元函数中，我们曾学习过当自变量趋向于有限值时函数的极限。对于二元函数z=f(x,y)我们同样可以学习当自变量x与y趋向于有限值ξ与η时，函数z的变化状态。 在平面xOy上，(x,y)趋向(ξ,η)的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。如果当点(x,y)以任意方式趋向点(ξ,η)时，f(x,y)总是趋向于一个确定的常数A， 那末就称A是二元函数f(x,y)当(x,y)→(ξ,η)时的极限。 这种极限通常称为二重极限。 下面我们用ε-δ语言给出二重极限的严格定义： 二重极限的定义 如果定义于(ξ,η)的某一去心邻域的一个二元函数f(x,y)跟一个确定的常数A有如下关系：对于任意给定的正数ε，无论怎样小，相应的必有另一个正数δ，凡是满足 的一切(x,y)都使不等式 成立， 那末常数A称为函数f(x,y)当(x,y)→(ξ,η)时的二重极限。 正像一元函数的极限一样，二重极限也有类似的运算法则： 二重极限的运算法则 如果当（x,y)→(ξ,η)时，f(x,y)→A，g(x,y)→B. 那末(1)：f(x,y)±g(x,y)→A±B； (2)：f(x,y).g(x,y)→A.B； (3)：f(x,y)/g(x,y)→A/B；其中B≠0 像一元函数一样，我们可以利用二重极限来给出二元函数连续的定义： 二元函数的连续性 如果当点(x,y)趋向点(x0,y0)时，函数f(x,y)的二重极限等于f(x,y)在点(x0,y0)处 的函数值f(x0,y0)，那末称函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续.如果f(x,y)在区域D的每一点都连续，那末称它在区域D连续。 如果函数z=f(x,y)在(x0,y0)不满足连续的定义，那末我们就称(x0,y0)是f(x,y)的一个间断点。 关于二元函数间断的问题 二元函数间断点的产生与一元函数的情形类似，但是二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了有间断点，还有间断线。 二元连续函数的和，差，积，商(分母不为零）和复合函数仍是连续函数。 例题：求下面函数的间断线 解答：x=0与y=0都是函数的间断线。求多元函数极限的方法
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