高中数学第二章平面向量2.4向量的数量积第1课时数量积的定义课件苏教版必修4
＝7 －2×7×8cos 150° ＋8 ＝49＋56 3＋64＝113＋56 3，
2 2
→ |AC|＝ 113＋56 3，
所以 AC 的长为 113＋56 3.
解析答案
类型三 向量的夹角及垂直问题 例3 已知单位向量 e1，e2的夹角为60°，设a＝2e1＋e2，b＝2e2－3e1， 求a与b的夹角．
零向量与任一向量的数量积为0
答案
知识点二 思考1
平面向量数量积的性质
向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？
答
向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量．
非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由
思考2
什么来决定的？
答 由两非零向量的夹角决定的．
当0°≤θ＜90°，非零向量的数量积为正数． 当θ＝90°，非零向量的数量积为零． 当90°＜θ≤180°，非零向量的数量积为负数．
第2章 §2.4 向量的数量积
第1课时 数量积的定义
学习目标
1.了解向量的夹角、向量垂直、向量的投影等概念. 2.理解平面向量数量积的含义及其几何意义. 3.能运用数量的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、Байду номын сангаас行、垂
直的几何问题．
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 平面向量数量积的定义 一个物体在力F的作用下产生位移s，如图．
重点难点 个个击破
(3)(2a－b)· (a＋3b)． 解 (2a－b)· (a＋3b)＝2a2＋5a· b －3 b 2
＝2|a|2＋5|a||b|cos 120°－3|b|2
＝8－15－27＝－34.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练1
(1)本例中条件不变，如何求(2a＋3b)· (3a－2b)?
→ → → → (2)已知△ABC 中，| BC |＝5，|CA|＝8，∠C＝60° ，求BC· CA.
2.结合律：(λa)· b＝a· ( λb ) ＝ λ( a · b ) ＝λ a · b.
3.(a＋b)· c＝a· c＋b· c.
返回
题型探究
类型一 向量数量积的运算 例1 已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，求： (1)a· b； (2)a2－b2； 解 a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.
1 解 ∵e1· e2＝|e1||e2|cos 60° ＝2， 7 2 2 ∴a· b＝(2e1＋e2)· (2e2－3e1)＝－6e1＋e1· e2＋2e2＝－2. 2 又 a2＝(2e1＋e2)2＝4e2 ＋ 4 e · e ＋ e 1 1 2 2＝7，
2 b2＝(2e2－3e1)2＝4e2 － 12 e · e ＋ 9 e 2 1 2 1＝7，
即4|a|2＋4|a|· |b|cos 45°＋|b|2＝10，
则|b|2＋2 2|b|－6＝0，解得|b|＝ 2或－3 2(舍去)，
∴|b|＝ 2.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练2
解
(1)已知|a|＝7，|b|＝4，|a＋b|＝9，求|a－b|.
∵|a＋b|＝9，∴|a＋b|2＝a2＋2a· b＋b2＝81，
新知探究 点点落实
思考1 答 思考2 答
如何计算这个力所做的功？ W＝|F||s|cos θ. 力做功的大小与哪些量有关？ 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关．
答案
条件 结论 记法 规定
非零向量a与b，a与b的夹角为θ 数量 |a||b|cos θ 叫做向量a与b的数量积(或内积)
a· b＝|a||b|cos θ b ，即______________ 向量a与b的数量积记作 a·
解析 ∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，
2 2 ∴(e1＋ke2)· (ke1＋e2)＝ke2 ＋ k e ＋ ( k ＋1)e1· e2＝2k>0，∴k>0. 1 2
但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去．
综上，k的取值范围为k>0且k≠1.
解析答案
返回
→ → → → 解 因为|BC|＝5，|CA|＝8， 〈BC，CA〉＝180° －∠C＝120° ，
→ → → → → → 所以BC· CA＝|BC|· |CA|cos〈BC，CA〉
＝5×8×cos 120°＝－20.
解析答案
类型二 向量模的问题
10 例2 (1)已知向量a，b满足a· b＝0，|a|＝1，|b|＝1，则|a－3b|＝______.
解析 |a－3b|＝ a－3b2＝ a2－6a· b＋9b2
＝ |a|2－6×0＋9|b|2＝ 10.
2 (2)已知向量 a 与 b 夹角为 45° ，且|a|＝1，|2a＋b|＝ 10，则|b|＝_____.
解析 |2a＋b|＝ 10，∴|2a＋b|2＝10，
(2a＋b)2＝10得4a2＋4a· b＋b2＝10，
7 －2 a· b 1 ∴|a|＝|b|＝ 7，则 cos θ＝ ＝ ＝－2. |a||b| 7× 7
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练3
(1)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，
2 且b⊥c，则t＝____.
解析答案
(2)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角 k＞0且k≠1 ． 为锐角， 则k的取值范围为___________
∴a· b ＝8 ，
∴|a－b|＝ a－b2＝ a2－2a· b＋b2 ＝ 49＋16－2×8＝7.
解析答案
(2)在△ABC中，已知AB＝8，BC＝7，∠ABC＝150°，求AC的长．
解 → → → → 由题意知，|BA|＝8，|BC|＝7，BA，BC的夹角为 150° ，
→ → → 而AC＝ BC － BA ， →2 → → 2 → 2 → → →2 ∴| AC | ＝(BC－BA) ＝|BC| －2BC· BA＋|BA|
答案
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，
(1)a⊥b⇔a· b＝0.
(2)当 a∥b 时，a· b＝
，当a，b同向时， ，当a，b反向时.
(3)a· a＝ |a|2或|a|＝
.
(4)cos θ＝
(5)|a· b|
.
|a||b|.
答案
知识点三
平面向量数量积的运算律
1.交换律：a· b＝b· a.
达标检测
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苏教版高中数学必修四课件2.4向量的数量积
规定0与任一向量的数量积为0。 即：0·a=0
探究：两个向量的数量积与向量数乘有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos的符号所决定。 （2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；符号“·”在 向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；在数量积中， 若a0，且ab=0，能不能推出b=0？为什么？ （4）由ab=bc能否推出a=c？
性质 运算律
a·a=|a|2
或
|
a
|
（ 简写a2=|a|2）
aa
(2()1)aa·bb=b·aa b(交换(律a )b)
(3)(a＋b)·c= a·c＋b·c (分配律)
2
2a b
b2
(√)
| a |2 | b |2 2a b
（2）(a
b)
(a
b)
a
2
b
2
(√)
| a |2 | b |2
（3） a b a b (×)
知识回顾:
夹角的范围 数量积
0
a
b
|
a
||
b
|
cos
分析 :原式 | a |2 6 | b |2 a b
(4)|a+b|
分析 : 原式 | a |2 | b |2 2a b 分析: 先求(a b)2,再开方.
性质
或a·a| =a||a|2
（简写a2=|a|2）
aa
探究:下列等式成立吗?
（1）(a
b)2
a
探究：两个向量的数量积与向量数乘有很大区别
（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由 cos的符号所决定。 （2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；符号“·”在 向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；在数量积中， 若a0，且ab=0，能不能推出b=0？为什么？ （4）由ab=bc能否推出a=c？
性质 运算律
a·a=|a|2
或
|
a
|
（ 简写a2=|a|2）
aa
(2()1)aa·bb=b·aa b(交换(律a )b)
(3)(a＋b)·c= a·c＋b·c (分配律)
2
2a b
b2
(√)
| a |2 | b |2 2a b
（2）(a
b)
(a
b)
a
2
b
2
(√)
| a |2 | b |2
（3） a b a b (×)
知识回顾:
夹角的范围 数量积
0
a
b
|
a
||
b
|
cos
分析 :原式 | a |2 6 | b |2 a b
(4)|a+b|
分析 : 原式 | a |2 | b |2 2a b 分析: 先求(a b)2,再开方.
性质
或a·a| =a||a|2
（简写a2=|a|2）
aa
探究:下列等式成立吗?
（1）(a
b)2
a
苏教版必修4高中数学2.4《向量的数量积(一)》ppt课件1
记为a⊥b.
A
B
OB
B
b Oa A
知识点1：向量“数量积”的概念 一个物体在力F的作用下产生位移S（如 图）
F
θ
S
那么力F所做的功W为： W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角. 从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。
典型例题
已知 | a | 6，| b | 4，a与b夹角为60，求： （1）（a 2b）（ a - 3b）（2）| a 2b |
注 （1）两向量的数量积是一个数量， 意 （2） a ·b不能写成a×b ，‘·’不能
省.
探究点4 运算率
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ① λ(μa)=(λμ) a ② (λ+μ) a=λa+μa ③ λ(a+b)=λa+λb
课堂练习
例：已知a 1, b 2 (1)a // b,求a b; (2) 3 ,求a b
-72
2 37
典型例题
证明 :
2
2
(a b) (a b) a b
(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b ＝a·a＋b·△ABC中, AB=a, AC=b, 当 a·b <0, a·b =0时, △ ABC各是什么三角 形当？a ·b＜0时， cos <0，为钝角三角形 当a · b=0时，为直角三角形
探究点2
投影的概念
B b
ab | a || b | cos
O
a B1 A
| b | cos 叫做向量b在向量a的方向上的投影，即有向线段OB1的数量
数量积 a ·b 等于a 的模| a |与 b 在 a 的方向上的投影 | b |cos 的乘积.
A
B
OB
B
b Oa A
知识点1：向量“数量积”的概念 一个物体在力F的作用下产生位移S（如 图）
F
θ
S
那么力F所做的功W为： W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角. 从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。
典型例题
已知 | a | 6，| b | 4，a与b夹角为60，求： （1）（a 2b）（ a - 3b）（2）| a 2b |
注 （1）两向量的数量积是一个数量， 意 （2） a ·b不能写成a×b ，‘·’不能
省.
探究点4 运算率
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ① λ(μa)=(λμ) a ② (λ+μ) a=λa+μa ③ λ(a+b)=λa+λb
课堂练习
例：已知a 1, b 2 (1)a // b,求a b; (2) 3 ,求a b
-72
2 37
典型例题
证明 :
2
2
(a b) (a b) a b
(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b ＝a·a＋b·△ABC中, AB=a, AC=b, 当 a·b <0, a·b =0时, △ ABC各是什么三角 形当？a ·b＜0时， cos <0，为钝角三角形 当a · b=0时，为直角三角形
探究点2
投影的概念
B b
ab | a || b | cos
O
a B1 A
| b | cos 叫做向量b在向量a的方向上的投影，即有向线段OB1的数量
数量积 a ·b 等于a 的模| a |与 b 在 a 的方向上的投影 | b |cos 的乘积.
高中数学第二章平面向量2.4向量的数量积(1)课件苏教版必修4
第十四页，共31页。
方法归纳 (1)此类求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联 系要灵活应用 a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2 或|a|＝ a2，此性质可用来求向量的模，可 以实现实数运算与向量运算的相互转化． (3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋ b)·(a－b)＝a2－b2 等．
第十五页，共31页。
2.若向量(xiàngliàng)a与向量(xiàngliàng)b的夹角为60°，|b|＝4，(a ＋2b)·(a－3b)＝－72.求： (1)|a|；(2)|a＋b|；(3)|a－b|.
解：(1)∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72， ∴a2－a·3b＋2b·a－6b2＝－72， ∴a2－|a||b|cos 60°－6b2＝－72， ∴|a|2－|a|×4×12－6×42＝－72， ∴|a|2－2|a|－24＝0，∴(|a|＋4)(|a|－6)＝0， ∴|a|＝6.
方法归纳 (1)求向量a，b夹角的流程图：
(2)由于|a|，|b|及a·b都是实数，因此在涉及有关|a|，|b|及 a·b的相应等式(děngshì)中,可用方程的思想求解(或表示)未 知量.
第二十页，共31页。
3.已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直(chuízhí)，a－4b 与7a－2b垂直(chuízhí)，求a与b的夹角．
4.四边形 ABCD 中，A→B＝a，B→C＝b，C→D＝c，D→A＝d，且
a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形 ABCD 是什么图形？ 解：四边形 ABCD 是矩形，这是因为： 一方面：∵a＋b＋c＋d＝0， ∴a＋b＝－(c＋d)，∴(a＋b)2＝(c＋d)2， 即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2＋2c·d＋|d|2， 由于 a·b＝c·d， ∴|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d|2，① 同理有|a|2＋|d|2＝|c|2＋|b|2, ②
方法归纳 (1)此类求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联 系要灵活应用 a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2 或|a|＝ a2，此性质可用来求向量的模，可 以实现实数运算与向量运算的相互转化． (3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋ b)·(a－b)＝a2－b2 等．
第十五页，共31页。
2.若向量(xiàngliàng)a与向量(xiàngliàng)b的夹角为60°，|b|＝4，(a ＋2b)·(a－3b)＝－72.求： (1)|a|；(2)|a＋b|；(3)|a－b|.
解：(1)∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72， ∴a2－a·3b＋2b·a－6b2＝－72， ∴a2－|a||b|cos 60°－6b2＝－72， ∴|a|2－|a|×4×12－6×42＝－72， ∴|a|2－2|a|－24＝0，∴(|a|＋4)(|a|－6)＝0， ∴|a|＝6.
方法归纳 (1)求向量a，b夹角的流程图：
(2)由于|a|，|b|及a·b都是实数，因此在涉及有关|a|，|b|及 a·b的相应等式(děngshì)中,可用方程的思想求解(或表示)未 知量.
第二十页，共31页。
3.已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直(chuízhí)，a－4b 与7a－2b垂直(chuízhí)，求a与b的夹角．
4.四边形 ABCD 中，A→B＝a，B→C＝b，C→D＝c，D→A＝d，且
a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形 ABCD 是什么图形？ 解：四边形 ABCD 是矩形，这是因为： 一方面：∵a＋b＋c＋d＝0， ∴a＋b＝－(c＋d)，∴(a＋b)2＝(c＋d)2， 即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2＋2c·d＋|d|2， 由于 a·b＝c·d， ∴|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d|2，① 同理有|a|2＋|d|2＝|c|2＋|b|2, ②
高中数学 第二章 平面向量 2.4.1 数量积的定义课件 苏教版必修4
阶
阶
段
段
一
三
2.4 向量的数量积
第 1 课时 数量积的定义
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念．(易错点) 2．理解平面向量数量积的含义及其几何意义．(重点) 3．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂 直的几何问题．(难点)
[基础·初探] 教材整理 1 向量的数量积 阅读教材 P83 的有关内容，完成下列问题． 已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角是 θ，我们把数量__|_a_||b_|_c_o_s_θ___叫做 向量 a 和 b 的数量积(或_内__积__)，记作 a·b，即 a·b＝__|_a_||b_|_c_o_s_θ__. 规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.
1．求平面向量数量积的步骤：①求 a 与 b 的夹角 θ，θ∈[0， π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即 a·b＝|a||b|cos θ.要特别注 意书写时，a 与 b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接， 也不能省去．
2．较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律 或相关公式进行化简．
[再练一题] 1．已知正三角形 ABC 的边长为 1，求： (1)A→B·A→C；(2)A→B·B→C； (3)B→C·A→C. 【解】 (1)∵A→B与A→C的夹角为 60°， ∴A→B·A→C＝|A→B||A→C|cos 60°＝1×1×12＝12.
(2)∵A→B与B→C的夹角为 120°， ∴A→B·B→C＝|A→B||B→C|cos 120° ＝1×1×－12＝－12. (3)∵B→C与A→C的夹角为 60°， ∴B→C·A→C＝|B→C||A→C|cos 60°＝1×1×12＝12.
阶
段
段
一
三
2.4 向量的数量积
第 1 课时 数量积的定义
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．了解向量的夹角、向量垂直、向量投影等概念．(易错点) 2．理解平面向量数量积的含义及其几何意义．(重点) 3．能运用数量积的运算性质和运算律解决涉及长度、夹角、平行、垂 直的几何问题．(难点)
[基础·初探] 教材整理 1 向量的数量积 阅读教材 P83 的有关内容，完成下列问题． 已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角是 θ，我们把数量__|_a_||b_|_c_o_s_θ___叫做 向量 a 和 b 的数量积(或_内__积__)，记作 a·b，即 a·b＝__|_a_||b_|_c_o_s_θ__. 规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.
1．求平面向量数量积的步骤：①求 a 与 b 的夹角 θ，θ∈[0， π]；②分别求|a|和|b|；③求数量积，即 a·b＝|a||b|cos θ.要特别注 意书写时，a 与 b 之间用实心圆点“·”连接，而不能用“×”连接， 也不能省去．
2．较复杂的数量积的运算，需先利用向量数量积的运算律 或相关公式进行化简．
[再练一题] 1．已知正三角形 ABC 的边长为 1，求： (1)A→B·A→C；(2)A→B·B→C； (3)B→C·A→C. 【解】 (1)∵A→B与A→C的夹角为 60°， ∴A→B·A→C＝|A→B||A→C|cos 60°＝1×1×12＝12.
(2)∵A→B与B→C的夹角为 120°， ∴A→B·B→C＝|A→B||B→C|cos 120° ＝1×1×－12＝－12. (3)∵B→C与A→C的夹角为 60°， ∴B→C·A→C＝|B→C||A→C|cos 60°＝1×1×12＝12.
高中数学 2.4向量的数量积课件 苏教版必修4
c 而言，(a·b)c＝a(b·c)未必成立．这是因为(a·b)c 表示一个与
栏 目
链
c 共线的向量，而 a(b·c)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一 接
定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)未必成立．
第十四页，共28页。
知识点3 向量(xiàngliàng)的模
设 a＝(x，y)，|a|2＝a·a＝(x，y)·(x，y)＝x2＋y2，故|a|＝
(2)a⊥b⇔a·b＝0；
链 接
(3)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a|·|b|；
当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a|·|b|；
特别地，a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a＝ a2，a·a 也可记作 a2.
(4)|a·b|≤|a|·|b|.
第十一页，共28页。
2．数量积的运算律．
已知 a，b，c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
θ的乘积．这个投影值可正可负也可为零，
栏 目
链
所以我们说向量的数量积的结果是一个实数．
接
第十页，共28页。
知识点2 数量(shùliàng)积的性质及运 算律 1．数量积的重要性质．
设 a 与 b 都是非零向量，e 是单位向量，θ是 a 与 e 的夹角．
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；
栏
目
答案：120°
栏 目
◎规律总结：本题涉及向量的加法、向量的模、向量垂直的等 链
接
价条件、向量的夹角和向量的数量积等基础知识．法一是通常方法； 法二将数学符号语言转化为图形语言，由平面几何知识快速得到答 案．无图考图，体现了数形结合思想的灵活运用．
第二十一页，共28页。
变式
高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积1课件
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
利用数量积求向量的模
【例3】 (1)已知向量a,b满足|a|=|b|=5,且a与b的夹角为60°,则
|2a+b|=
.
(2)已知向量 a,b 满足|a|= 2,a 与 b 的夹角为 135°,|a+b|= 5,
则|b|=
.
解析(1)∵|2a+b|2=(2a+b)2=4a2+4a·b+b2
(2)当 a∥b 时,a·b=
||||,当,同向时,
-||||,当,反向时.
(3)a·a=|a|2 或|a|= ·.
·
.
||||
(4)cos θ=
(5)|a·b|≤|a||b|.
2021/12/8
第十一页，共三十三页。
思维(sīwéi)
辨析
一
二
四
三
思维(sīwéi)
辨析
4-6 + 9 = 7.
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
求向量的数量积时,需明确两个关键点:相关向量的模和夹角.若相关向量
是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律及多项式
乘法的相关公式进行化简.
2021/12/8
第十五页，共三十三页。
探究(tànjiū)
答案(1)5 7 (2)3
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第二十页，共三十三页。
2
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
根据数量积的定义a·a=|a||a|cos 0°=|a|2,得
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
利用数量积求向量的模
【例3】 (1)已知向量a,b满足|a|=|b|=5,且a与b的夹角为60°,则
|2a+b|=
.
(2)已知向量 a,b 满足|a|= 2,a 与 b 的夹角为 135°,|a+b|= 5,
则|b|=
.
解析(1)∵|2a+b|2=(2a+b)2=4a2+4a·b+b2
(2)当 a∥b 时,a·b=
||||,当,同向时,
-||||,当,反向时.
(3)a·a=|a|2 或|a|= ·.
·
.
||||
(4)cos θ=
(5)|a·b|≤|a||b|.
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思维(sīwéi)
辨析
一
二
四
三
思维(sīwéi)
辨析
4-6 + 9 = 7.
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
求向量的数量积时,需明确两个关键点:相关向量的模和夹角.若相关向量
是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律及多项式
乘法的相关公式进行化简.
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探究(tànjiū)
答案(1)5 7 (2)3
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2
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
根据数量积的定义a·a=|a||a|cos 0°=|a|2,得
2.4.1平面向量的数量积》(第一课时)
平面向量的数量积的物理背景 及其含义
问题提出
1.向量的模和夹角分别是什么概念？ 1.向量的模和夹角分别是什么概念？ 向量的模和夹角分别是什么概念
, 注意: 两向量的夹角定义两向量必须 是同起点的范围是 ≤θ ≤ π. , 0
向量的夹角 两个非零向量a 两个非零向量 和b ，作OA = a ，OB = b ，则 ∠AOB = θ
数量积a·b等于 的模与 数量积 等于a的模与 在a方向上的 等于 的模与b在 方向上的 投影︱ ︱ θ的乘积，或等于b的模与 投影︱b︱cosθ的乘积，或等于 的模与 a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积. 方向上的投影︱ ︱ θ的乘积. 在 方向上的投影
平面向量的数量积的运算性质 问题5 都是非零向量， 等于多少？ 问题5：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？ 与 都是非零向量 ⊥ ， 等于多少 反之成立吗？ 反之成立吗？
数量积的运算律： 数量积的运算律： 交换律： 交换律： r r r r r r r 分配律： 分配律：(a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c
r r r r a ⋅b = b ⋅ a
数乘结合律： 数乘结合律：
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) ＝ 关于向量的数量积运算： 关于向量的数量积运算： 数量积运算不满足结合律。 数量积运算不满足结合律。 思考４：对于实数λ,(λa)·b表示什么意义?它可以转化为哪
Байду номын сангаас
F
S
W＝︱F︱︱s︱cosθ ＝
问题2：你能用文字语言来表述功的计算公式吗 如果 问题 ：你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果 我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该 我们将公式中的力与位移推广到一般向量， 如何表述？ 如何表述？ 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。
问题提出
1.向量的模和夹角分别是什么概念？ 1.向量的模和夹角分别是什么概念？ 向量的模和夹角分别是什么概念
, 注意: 两向量的夹角定义两向量必须 是同起点的范围是 ≤θ ≤ π. , 0
向量的夹角 两个非零向量a 两个非零向量 和b ，作OA = a ，OB = b ，则 ∠AOB = θ
数量积a·b等于 的模与 数量积 等于a的模与 在a方向上的 等于 的模与b在 方向上的 投影︱ ︱ θ的乘积，或等于b的模与 投影︱b︱cosθ的乘积，或等于 的模与 a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积. 方向上的投影︱ ︱ θ的乘积. 在 方向上的投影
平面向量的数量积的运算性质 问题5 都是非零向量， 等于多少？ 问题5：设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？ 与 都是非零向量 ⊥ ， 等于多少 反之成立吗？ 反之成立吗？
数量积的运算律： 数量积的运算律： 交换律： 交换律： r r r r r r r 分配律： 分配律：(a + b) ⋅ c = a ⋅ c + b ⋅ c
r r r r a ⋅b = b ⋅ a
数乘结合律： 数乘结合律：
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) ＝ 关于向量的数量积运算： 关于向量的数量积运算： 数量积运算不满足结合律。 数量积运算不满足结合律。 思考４：对于实数λ,(λa)·b表示什么意义?它可以转化为哪
Байду номын сангаас
F
S
W＝︱F︱︱s︱cosθ ＝
问题2：你能用文字语言来表述功的计算公式吗 如果 问题 ：你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果 我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该 我们将公式中的力与位移推广到一般向量， 如何表述？ 如何表述？ 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积； 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。 两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。
高一数学苏教版必修4课件：2.4 向量的数量积(一)
求|a－b|.
解 ∵|a＋b|＝4，∴|a＋b|2＝42，
∴a2＋2a·b＋b2＝16.①
∵|a|＝2，|b|＝3，∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9，
代入①式得4＋2a·b＋9＝16，得2a·b＝3.
又∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10，
∴|a－b|＝ 10.
2.4 向量的数量积(一)
2.4 向量的数量积(一)
19
方法二 ∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)，
a＋b＋c2－a2＋b2＋c2
∴a·b＋b·c＋c·a＝
2
0－32＋12＋42
＝
2
＝－13.
2.4 向量的数量积(一)
20
要点三 与向量的模有关的问题 例3 已知|a|＝3，|b|＝4，求|a－b|的取值范围. 解 方法一 ∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|， ∴1≤|a－b|≤7，即|a－b|的取值范围是[1,7]. 方法二 ∵|a－b|2＝a2＋b2－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cos θ＝25－24cos θ， θ为两向量a、b的夹角，∴θ∈[0，π]， ∴|a－b|2∈[1,49]，∴|a－b|∈[1,7].
2.4 向量的数量积(一)
27
代入①②中任一式得a2＝b2. 设 a，b 夹角为 θ，则 cos θ＝|aa|·|bb|＝21|bb|22＝12.
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
2.4 向量的数量积(一)
28
当堂检测
当堂训练，体验成功
1234
1.已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向 上的投影为___－_2____. 解析 b在a方向上的投影为|b|cos〈a，b〉＝4×cos 120°＝ －2.
高中数学必修四[苏教版]2.4《向量的数量积》ppt课件2
l1
:
x
2
y
0和l2:
:
x
3y
0,
求直线
l1和l
的夹角。
2
归纳整理，整体认识：
1．平面向量数量积的坐标公式；向量垂直的坐标表示的条件， 复习向量平行的坐标表示的条件；
2．向量长度（模）的公式及两点间的距离公式和夹角公式．
(1)设a,bc是任意的非零向量，且相互不共线，有下列命题： （1）（a b)c (c a)b 0
高中数学 必修4
复习回顾：
(1) 平面向量的坐标表示？ （2）平面向量的坐标运算？ （3）向量平行的坐标表示？
创设情景，揭示课题：
提出问题：向量的数量积 能否用坐标表示？
学生活动：
提出问题：设
j
a(
是y
x1, y1), b (x2 , y2 ) ，设 i 轴上的单位向量，试用
是
x轴上的单 位向 量，
i ，j 表示 a 和 b ．
a x1i y1 j,b x2i y2 j
2
2
a
b
(x1i
y1
j)(x2
i
y2
j)
又 i i 1，j
j
x1x2
i
1 ，i
j
x1
y2
i
j
j i 0
y1x2
j
i
y1 y2
j
从而得向量数量积的坐标表示公式： a b x1x2 y1 y2
建构数学：
例题讲解：
例2 在△ABC中，设 AB (2,3) ，AC (1, k) ，且△ABC是直角三角形，
求k的值.
变式：已知 A(1, 2), B(2,3),C(2,5) ，求证 ABC 是直角三角形．
向量的数量积课件(苏教版必修4)
当θ为锐角时，数量积表示两向量在夹 角方向上的投影长度之积；当θ为钝角 时，数量积的绝对值表示两向量在夹角 方向上的投影长度之积。
02
向量数量积的计算方法
定义法
定$overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = a_1b_1 + a_2b_2$。
注意事项
分解方式不唯一，但分解 后的向量必须是正交的。
03
向量数量积的应用
在三角形中的应用
判断三角形的形状
通过向量的数量积，可以判断三角形的形状 ，例如，当两个向量的数量积为0时，这两 个向量垂直，对应的三角形为直角三角形。
解决三角形中的角度问题
通过向量的数量积，可以计算出三角形中 的角度，例如，当两个向量的数量积为1 时，这两个向量之间的夹角为60度。
02
其中，|a|和|b|分别表示向量a和b 的模，θ表示向量a和b的夹角。
性质
01
非负性
向量的数量积大于等于0，当 且仅当两向量同向或反向时取
等号。
02
交换律
a·b=b·a。
03
04
分配律
(a+b)·c=a·c+b·c。
正交性质
当两向量正交（即夹角为90°） 时，它们的数量积为0。
几何意义
向量数量积的几何意义是表示两个向 量在夹角θ方向上的投影长度之积再乘 以cosθ。
04
向量数量积的注意事项
特殊情况的处理
零向量与任意向量的数量积为0。
任意向量与自身的数量积为该 向量的模的平方。
平行向量（共线向量）的数量 积可能为0，也可能不为0，具 体情况取决于两向量的方向是 否相同。
02
向量数量积的计算方法
定义法
定$overset{longrightarrow}{a} cdot overset{longrightarrow}{b} = a_1b_1 + a_2b_2$。
注意事项
分解方式不唯一，但分解 后的向量必须是正交的。
03
向量数量积的应用
在三角形中的应用
判断三角形的形状
通过向量的数量积，可以判断三角形的形状 ，例如，当两个向量的数量积为0时，这两 个向量垂直，对应的三角形为直角三角形。
解决三角形中的角度问题
通过向量的数量积，可以计算出三角形中 的角度，例如，当两个向量的数量积为1 时，这两个向量之间的夹角为60度。
02
其中，|a|和|b|分别表示向量a和b 的模，θ表示向量a和b的夹角。
性质
01
非负性
向量的数量积大于等于0，当 且仅当两向量同向或反向时取
等号。
02
交换律
a·b=b·a。
03
04
分配律
(a+b)·c=a·c+b·c。
正交性质
当两向量正交（即夹角为90°） 时，它们的数量积为0。
几何意义
向量数量积的几何意义是表示两个向 量在夹角θ方向上的投影长度之积再乘 以cosθ。
04
向量数量积的注意事项
特殊情况的处理
零向量与任意向量的数量积为0。
任意向量与自身的数量积为该 向量的模的平方。
平行向量（共线向量）的数量 积可能为0，也可能不为0，具 体情况取决于两向量的方向是 否相同。