平面任意力系知识小结
第四章平面任意力系详解
同样，有且只有三个独立的平衡方程
例1： 简支梁受力如图，已知F＝300N, q=100N/m,
求A, B处的约束反力。
∑ 解：简支梁受力如图所示：
Fx = 0 ⇒ FAx = 0
F q
FAx A
CD
FAy 2m 2m
4m
∑ Fy = 0
FAy + FB − F − q ⋅ 4 = 0 (1)
B
∑MA =0
M
力的平移定理: 可以将作用于刚体上A点上的
力 F 平行移动到任一点O ，但必须附加一个力偶,
附加力偶的力偶矩等于原力 F 对 O 点之矩。
力的平移的逆过程
M
－F
F
F
r F
图中：
d = MO F
一个力偶矩和一个作用于同一平面的
力 F，可以进一步简化为一个力 。
二、平面任意力系向作用面内一点简化
y
刚体系平衡
系统满足刚体的平衡条件
3. 注意一些临界的力学条件：
刚好拉过台阶FNA = 0
FNA
F
翻倒的临界条件：FN 集中于角点。
FN
§4.3 刚体系的平衡
一、刚化原理
变形体在某一力系作用下处于平衡，若将处于平衡状
态时的变形体换成刚体（刚化），则平衡状态不变。
F
F
（a）
F
F
（b）
刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件
二、刚体系的平衡问题
y
F1 O F3
F1/ M1 M2 F2/
= F2
O M3 F3/
x=
Mo FR/
O
x
( ) ( ) ( ) r
r
r
M1 = M o F1 M 2 = M o F2 M 3 = M o F3
平面任意力系
M F 0 ∑
B i
例2：如图所示支架，其中Q=Q'，求A、B处的约束力。
F
A
Q
r
r
B
解：1）以AB为研究对象
2）列平衡方程
a
FAy
Q
l
2Qr
∑M
A
=0
FB cosα l - Fa - 2Qr 0
F
FAx
B
FB
A
B
F l a 2Qr FAy l 0
3.4 平面任意力系的平衡条件与平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件是：力系的主 矢和力系对任一点的主矩都等于零，即
RO ∑ Fi 0
MO ∑ M O Fi 0
2 R ∑X 2 ∑ Yi 0 O i M o M o Fi 0
O O
b） R 0, M 0 力系简化为一个力偶，其力偶矩等于主矩Mo。
O O
c） RO 0, M O 0 力系可以简化为一个合力R，其大小和方向均与
Ro相同，而作用线与简化中心点 O 的距离为: d M O RO 。
R 0, M 0 原力系为平衡力系， 其简化结果与简化中心的 d）
例2：水平外伸梁AB，若均布载荷q=20kN/m，P=20kN，力
偶矩m =16kN· m，a =0.8m。求支座A、B处的约束力。
FA
FB
解：（1）选梁AB为研究对象，画受力图。
（2）属于平面平行力系，列平衡方程求解未知量。
M M
A
0 0
B
a m qa p 2 a FB a 0 2 3a m qa p a FA a 0 2
平面任意力系(有汇交力偶总结)
此时原力系为一平衡力系。
由上可知，平面任意力系简化的最后结果有三种 可能性，即：可能为一个力、可能为一个力偶、或者 可能平衡。
综上所述，求解平面任意力系合成的步骤可总结为： ① 任选一简化中心； ② 计算力系的主矢和对简化中心的主矩； ③ 对简化结果进行分析而得到最终的合成结果。
三、平面任意力系的平衡条件及平衡方程
3、主矢和主矩的解析表达式
F1x F2 x Fnx Fx FRx
F1 y F2 y Fny Fy FRy
所以，主矢的大小和方向可分别 由以下两式确定：
y
’ F F 34 F m m3 R F1 2 m1 O O F4’ m4 F1’ MO O F5 ’ m F 5 F3 5
Fi FR
mi mO Fi
M O mi mO Fi
结论：平面任意力系向已知点简化的结果为一力和一 力偶。将该力称为主矢；该力偶称为主矩。
F2 F1
O
F4 m2 F3 F5 m1 F1’
F2’
F3’ m3
F R
O
O
m5
F4’ m4 F5’
MO
1、主矢
该力等于汇交力系的矢量和，即：
FAy 固定支座所产生的约束 反力可用水平、铅垂两个方 向分力及一个约束反力偶共 三个约束反力构成。 MA A
FA FAx
4、简化结果分析
(1) 当主矢FR 0，主矩 M O 0时 FR’
O
由力的平移定理的逆过程 可知，原力系最后可以简化为 一个合力。
合力作用线到点O的距离d， 可由下式计算：
平面任意力系平衡的必要和充分条件是：其主矢和对简 化中心的主矩同时为零，即
平面任意力系
且其作用线互相平行的力系。
∑ ∑
Yi 0 or
Xi 0
∑
M o Fi 0
A、B两点
∑
M A Fi 0
∑
M B Fi 0
的连线不 能与各力 的作用线 平行
例1：图示吊车，起吊物 重W=30kN，横梁单位长 度重q =4.2N/cm，l=5m， x=l /4。求A、B约束力。
R R2 R2 42kN
O
Ox
Oy
arctg ROy 52.4
ROx
2）求力系的主矩 M A 1 25 2 20 sin60 - 3 18 sin30 32.6kN m
3）求合力作用线到A点的距离 d M A 32.6 0.777
RO 42
个固定矢量。与简化中心密切相关，简化中心不同 其主矩一般也不相同，简化中心就是其作用点。
力系的合力：为主矢和主矩的合力，是一个固定矢量。与
原力系互为等效力系，不仅仅取决于主矢和主矩的 大小、方向及转向，还必须指出其作用线。
例1：正三角形ABC边长为a，受力如图，且F1=F2=F3=F。
求力系的主矢、对A点的主矩及力系合力作用线的位置。
解：1）求力系的主矢
ROx F1 F2 cos 60 F3 cos 60 2F ROy F2 sin60 F3 sin60 0
F3
CC
RO
R2 Ox
R2 Oy
4F2 0 2F
2）求对A点的主矩
2F
A
BB
F1
MA C
M A aF2 sin60 0.87aF
平面任意力系的合成与平衡条件(建筑力学)
平面汇交力系 合成 FR=Fi 平面力偶系 合成 M=Mi
平面任意力系的平衡方程及应用
平面任意力系平衡的充要条件为：
力系的主矢 FR 和主矩 MO 都等于零 FR =0 为力平衡
MO =0 为力偶也平衡
FR' ( Fx )2 ( Fy )2 0
MO MO (Fi ) 0
平面任意力系 的平衡方程
Fx 0
Fy 0 MO(Fi ) 0
平面任意力系的平衡方程及应用
平面任意力系平衡方程的基本式
● 几点说明：
（1）三个方程只能求解三个未知量 （2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可 （3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直 （4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点
平面任意力系的平衡方程及应用
平面任意力系的合 成与平衡条件
平面任意力系的合成与平衡条件
平面任意力系
平面任意力系 1、力系的简化 2、平面任意力系的平衡方程及应用
平面任意力系的合成与平衡条件
平面任意力系：各力的作用线在同一平面 内，既不汇交为一点又不相互平行的力系。 研究方法：
（平面任意力系） 未知力系
力系向一点简化
已知力系 （平面汇交力系和平面力偶系）
平面任意力系的简化
F Bd
A
F′
F Bd
A F′ ′
F′ M
B A
M=±F. d=MB(F)
定理：可以把作用于刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同 时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。
平面任意力系的简化
为什么钉子有
时会折弯？ F ′ F
M
两圆盘运动形式 是否一样？
空载时，为使起重机不绕点A翻倒，力系满足平衡方程 MA(F ) 0 。
第3章平面任意力系
主矢 R
大小：R' R'x2 R'y2 ( X )2 (Y )2
方向：
tg1
Ry Rx
tg1
Y X
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
主矩MO
大小： M O mO (Fi )
方向： 方向规定 + —
简化中心： (与简化中心有关) （主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）
B
30o
18kN
R Rx2 Ry2 25.592 32.32 42.01 kN
arccosRx arccos25.59 52.480
R
42.01
力直接画在整体结构
的原图上）
解除约束
由 mA (Fi )
0 P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0 XA 0
Y 0 YB NB P0,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
YA
P 3
例题3.2图示力系有合力.试求合力的大小,方向及作
用线到A点的距离.
25kN
20kN
A
60o
1m
1m
1m
解:求力系的主矢
Rx= 20cos60o + 18cos30o = 25.59 kN Ry= 25+ 20sin60o- 18sin30o = 33.32 kN
3.3 平面任意力系的平衡方程及其应用
R 0为力平衡
所以:
M 0为力偶平衡 O
平面任意力系平衡的必要和充分条件是：
主失和住矩均为零。
R' 0
X 0
M 0 O
Y 0 m (F) 0
知识点2：平面力系
知识点2：平面力系一、平面汇交力系的合成与平衡的几何法(1)平面汇交力系的合成用力多边形法则，合力的大小和方向由力多边形的封闭边来表示，其作用线通过各力的汇交点，即合力等于力系中各力的矢量和，即∑=+++=F F F F F n R 21(2)平面汇交力系的平衡平面汇交力系平衡的必要和充分的几何条件是力多边形自行封闭。
即0==∑F F R二、平面汇交力系的合成与平衡的解析法1．力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影等于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦，如图2-1所示，它是一标量，即θcos F F x =； θβs i n c o s F F y == （2-1）图2-1 图2-22．力沿坐标轴的分解力沿坐标轴的分力是一矢量，其合力与分力之间应满足力的平行四边形公理。
如图2-2所示。
力沿坐标轴分解的分力的大小为xyxyx)sin(sin βθβ+=F F x ； )s i n (s i nβθθ+=F F y（2-2）由此可见，在一般情况下，力沿坐标轴分解的分力的大小不等于力在坐标轴上投影的大小。
当2πβθ=+时，在同一坐标上分力的大小和投影相等，如图2-3所示。
（a ）（b ）图2-33．合力投影定理合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和，即∑=x Rx F F ； ∑=y Ry F F（2-3）当投影轴x 与y 垂直时，其合力的大小与方向为22RyRx R F F F +=，R RxR F F =),cos(i F ，RRy R F F =),cos(j F （2-4）4．平面汇交力系的合成当两坐标轴间的夹角为2π时有2222)()(∑∑+=+=y x Ry Rx R F F F F F（2-5）RxR F F∑=),cos(i F ，RyR F F∑=),cos(j F5．平面汇交力系的平衡 由几何法知0=R F代入前面的代数表达式有0)()(2222=+=+=∑∑y x Ry Rx R F F F F Fx F y即0=∑xF；0=∑yF（2-6）平面汇交力系平衡的解析条件是力系中各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和均等于零。
工程力学_ 平面任意力系_本周课件、知识点小结_
式中，A、B 两点连线不垂直于 x 轴
3. 三矩式
M A Fi 0 M B Fi 0
MC Fi 0
式中，A、B、C 三点不共线
二、平面平行力系的平衡方程
1. 基本形式·一投影一矩式
Fiy 0
MO Fi 0
2. 两矩式
y F2
F1
Fi
Fn
O
x
M A Fi 0
O
x
FR
MO
第二节 平面任意力系的平衡方程
一、平面任意力系的平衡方程 1. 基本形式·两投影一矩式
Fix 0 Fiy 0
MO Fi 0
说明： 1）可解 3 个未知量 2）投影轴与矩心位置均可任意选择
2. 一投影两矩式
Fix 0 M A Fi 0
M B Fi 0
不计构架自重，试求支座 A 处的约束力以及杆 BC 所受的力。
C
A
D
r
B
P
2m 1m
3m
FT
FAx A
D
FAy
FB
B
P
解： 1）选取滑轮、杆 AB 与物块组成的系统为研究对象 2）受力分析
一个力偶。该力矢等于原力系中各力的矢量和，称为原力系的主
矢； 该力偶的矩等于原力系中各力对简化中心 O 的矩的代数和，
称为原力系的主矩。
主矢：
FR Fi
主矩：
M O M O Fi
说明： 1）主矢与简化中心无关；
2）主矩与简化中心有关。
F1
F2
Fn
FR MO
O
三、平面任意力系简化结果的讨论
FRy Fiy F2 sin 30 F3 sin 60 F4 sin 45 20.20 N
平面任意力系的主矩与简化中心的位置
平面任意力系的主矩与简化中心的位置1. 概述在静力学中，平面任意力系的主矩与简化中心的位置是一个重要的研究课题。
主矩是指力系对某一点产生的合力矩，简化中心是指力系对某一点的合力矩为零的特殊点。
研究主矩与简化中心的位置可以帮助我们更好地理解力系的性质和相互作用。
2. 平面任意力系的主矩平面任意力系是指作用在同一平面上的多个力所组成的力系。
在这样的力系中，力的方向和大小都是任意的，主矩则是力系对某一点产生的合力矩。
主矩可由力的大小、方向和作用点到参考点的距离等因素决定。
在计算主矩时，通常可以使用矢量法或解析法，根据具体情况选择合适的方法进行计算。
3. 主矩的计算方法计算主矩时，可以先将力系分解为多个力的矢量和，然后分别计算每个力对参考点产生的单个力矩，最终将所有力矩相加得到主矩。
另一种方法是使用解析法，通过数学方程式求解主矩的数值。
在实际问题中，可以根据具体情况选择适当的计算方法，以便高效地求解主矩。
4. 简化中心的定义简化中心是指力系对某一点的合力矩为零的特殊点。
在平面任意力系中，简化中心的位置可以通过数学方法求解。
对于简化中心，有以下几个重要特点：（1）简化中心的存在性：对于任意平面力系，都存在一个简化中心；（2）力系对简化中心的主矩为零：力系对简化中心的主矩等于零；（3）简化中心的独立性：简化中心的位置与力系的具体情况无关，只与力系的几何形状和作用点位置有关。
5. 简化中心的计算方法计算简化中心的位置可以采用矢量法或解析法，具体计算方法取决于力系的具体情况。
在应用矢量法时，可以将力系分解为多个力的矢量和，通过平衡条件求解简化中心的位置。
在应用解析法时，可以通过坐标系和数学方程式求解简化中心的位置。
选择合适的计算方法进行求解简化中心是十分重要的。
6. 主矩与简化中心的关系主矩与简化中心是密切相关的，它们相互依存、相辅相成。
在力系的平衡分析中，主矩和简化中心的计算是必不可少的环节。
通过计算主矩和简化中心的位置，可以更清晰地理解力系的平衡特性和作用规律。
平面任意力系与平面汇交力系的区别
平面任意力系与平面汇交力系的区别
【原创实用版】
目录
一、什么是平面任意力系和平面汇交力系
二、平面任意力系和平面汇交力系的区别
三、平面汇交力系的简化方法
四、总结
正文
一、什么是平面任意力系和平面汇交力系
平面任意力系是指各力作用线在同一平面内的力系，而平面汇交力系是指各力作用线在同一平面内且汇交于一点的力系。
平面汇交力系是最简单、最基本的力系。
二、平面任意力系和平面汇交力系的区别
1.平面任意力系中的构件受到多个力的作用，因此有两个平衡方程，分别是合力为零和合力矩为零。
而平面汇交力系中的构件只受到一个合力的作用，因此只有一个平衡方程，即合力为零。
2.平面任意力系中的力可以不平行，而平面汇交力系中的力必须平行。
因为平面汇交力系中的力作用线都汇交于一点，所以它们必然是平行的。
三、平面汇交力系的简化方法
在理论力学中，平面汇交力系的解题方法有两种：一种是几何法，另一种是解析法。
几何法指的是通过作力多边形来求解合力。
具体操作是：首尾相接地作各力的力多边形，从第一个力的起点到最后一个力的终点作力多边形的封闭边。
合力的作用线通过汇交点，合力的大小和方向由力多边形的封闭
边表示，即等于各分力的矢量和。
解析法是通过解析几何中的向量加法来求解合力。
具体操作是：将各力的向量表示在同一平面直角坐标系中，合力向量就是各力向量的和。
四、总结
平面任意力系和平面汇交力系都是力学中的基本概念。
平面任意力系包含多个力，有两个平衡方程；而平面汇交力系只有一个力，有一个平衡方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平面任意力系知识小结
01
力的平移定理
定理表明，在不改变力的大小和方向的前提下，力的作用线可平行移动到刚体内任一指定点，但必须附加一个力偶、该力偶的力偶矩等于原力对指定点的矩。
02
平面一般力系的简化
平面一般力系向任一点简化得到一个主矢和一个主矩。
力系的主矢是原力系中各力的矢量和，力系对简化中心的主矩是原力系中各力对简化中心的矩的代数和。
主矢与简化中心的位置无关，主矩—般与简化中心的位置有关。
根据力系的主矢和主矩可能出现的四种情况，得到平面一般力系简化的最后结果(即力系的合成结果)：或者是一个合力偶，或者是一个合力，或者力系平衡。
03
平面一般力系的平衡条件和平衡方程
平面一般力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢和主矩都等于零。
由这个条件得出的平衡方程有三种形式：一矩式、二矩式和三矩式。
虽然形式不同，独立的平衡方程都只有三个，所以只能求解三个未知量。
04
平衡方程的应用
求解在平面一般力系作用下的单个物体的平衡问题，其基本方法和步骤，与平面汇交力系的平衡问题是一样的，这里只是多了一个力矩方程。
在应用力矩方程时，应注意两点：
•第一，矩心应尽可能选在两个未知力作用线的交点上，使方程中不出现这两个未知力，而只含有待求的另外的一个未知量，达到一个方程求解一个未知量的目的；但也应注意不要因此而使力矩的计算过于繁杂，所以在选择矩心时要全面考虑。
•第二，计算力矩要善于应用合力矩定理，尤其当力臂不容易求得时更应如此
分析物体系统的平衡问题的方法与分析单个物体的平衡问题的方法基本上一样，但也有差别。
•第一，物体系统的平衡问题，通常要将该物体系统在内部的约束处“拆开”，才能全部解决问题，所以应根据问题的条件和要求选择恰当的研究对象（或取物体系统、或取一部分物体、或取单个物体），
并尽量使平衡方程中所包含的未知量为最少，避免求解联立方程。
•第二，正确地受力分析是解决问题的关键。
一是分清“施力物体”与“受力物体”，尤其在内部约束处，要根据作用与反作用定律确定内力之间的关系；二是内部的约束反力对物体系统来说是内力，而对单个物体或一部分物体来说则是外力。
当考察物体系统平衡时，内力总是成对出现的，它们在任一轴上投影的代数和为零，对任一点的矩的代数和也为零，在平衡方程中相互抵消，所以内力不画在物体系统的受力图上。
但是，当物体系统“拆开”研究时，则内力转化为外力，必须将它画在研究对象的受力图上；三是在整个物体系统、一部分物体、单个物体的受力图上，同一处的外约束反力应相同。