一道2006年高考数学题的别解与启示
这样的环境 时就 更容易 出错． ， 如 有些 考生 在第 １问 中通过解方程求 出 ｃ有 ３ 和 两个 解时 ， 竟然不 知道或没有办法 舍去 ； 当在第 Ⅱ问 中用 到 Ｂ Ｃ的 长 时 。 致了错 误 的 进一 步 发展． 如 ， 已知 Ｂ ＝ 导 再 在
１
ＤＣ ＝
造图形 、 举特例等方法 提高 解决 问题 的能 力； 三是要 熟练地进行数学 图形 、 符号 、 文字 三种语言 之间 的相
息， 筛选 出关键 或有 用 的信息 ， 找准解题 的切入点，
一
道 ２０ 年高考数学题 的别解与 启示 ０６
党得 时
（ 肃省兰州市兰飞 中学 甘 ７０７ ） ３ ：０ ０
该 问题 的 常 见 别 解 还 有 ：
Ａ 由正 弦定 理 １／ ＝丽Ｃ 得 ８ １ １１ ８ ｎ廿 ， １ ８ １ｔ １
肌
① 在△Ｂ Ｃ和 ＡＡ Ｃ中可 以分别应用 余弦定理 Ｄ Ｄ
解得 ｃ Ｄ的长． 当然 ， ＡＡ Ｃ中就存在 求解 ｃｓ 在 Ｄ ｏＡ的
问题 ， 使问题有些复 杂化．
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３ ８
数 学 教 学 研 究
２０ ０ ６年 第 ８ 期
合情推理判 断． 于用 一些 非常 规 的数 学方法 如构 善
互转换 ， 深刻理解 数学知识 内在 的本质属性 ． 注意观
察 、 析 题 目 的 结 构 特 征 ， 掘 题 目 中 的 每 一 条 信 分 挖
角 函数定义 的试题 ， 作为主观 计算题 的第 一题 。 难易
程度适中 ， 几乎 所有 的学 生 能够不 同程 度 地对该 题 进行作答和思考 ， 而且灵活性强 ， 以按照多种解 法 可
（ ） １问 的参考解 法为 ： ２第 Ｉ
由正 弦定 理
ｓ ｎ ｉ Ｌ
＝— 得 Ａ Ｃ ８ｉ ｎ ，
高考题对 中学数学教学 的引导作用 是巨大 的和 直接 的． 本题 目充分体 现了新 课标 的精神 ， 中学 素 对 质教育有较好 的弓 导作用． ｌ 同时 ， 有以下启示 ：
（ ） 重 基 础 是 永 恒 的 主 题 ． 题 用 三 角 函数 的 １注 本 定 义 、 弦 定 理 、 弦 定 理 及 勾 股 定 理 和 三 角 函数 的 正 余 基 本 公 式 就 可 以 方 便 的 得 出 答 案 ， 至 用 初 中 的 数 甚 学 知 识 就 可 以 解 决 问题 ， 不 需 要 高 深 的 技 巧 和 复 并 杂 的变 换 。 再 次 提 示 要 抓 基 础 、 课 本 ， 有 必 要 这 抓 没
现。 因为文字误写 、 公式 变形 和图形 字母 的错位等 原 因造成解题 错误 的现象 屡见不鲜 ．
该 问题 的 常见 别 解 还 有 ： 出曰 Ｃ的长 ． ’
①先 由正 弦定 理求 出Ａ Ｂ的长 ， 再由余弦定理 求 ② 因 为 已 知 ｃｓ ｏＣ
和 ｅｓ 故 可 写 出 两 个 ｏＢ，
余弦定 理 公 式 ， 立 解 联
方程 组 之 后 ， 可得 Ａ Ｂ和
Ｂ Ｃ的 长． ’ 图１
＝
＝
．
也可作 Ａ Ｂ上 的高线 Ｃ 如 图 ３所 示 ， Ｂ＝ Ｈ， 由
４ 。Ｂ ５ ，Ｃ＝３ ， 得 Ｃ ＝３ 日 ＝Ｂ — Ｂ ＝１ Ｄ ＝ 可 Ｈ ， Ｈ Ａ ，Ｈ
４ ，ｏｔ＝ ５ ｃｓ ｏ
Ｊ
的前 提下 ， 断不 出 Ａ是锐角 还是 判
２， 而 ｃ ＝ 丽 叼 从 Ｄ ２ 对教 与 学 的 启 示
２０ ０ ６年普通 高考文科数学卷 （ 第 （７ 题 ： Ⅱ） １ ） 已知 ＡＡ Ｃ 中， Ｊ Ｂ Ｂ＝４ 。 Ａ ５ ， Ｃ＝ｖ而 ， ｏＣ＝ 厂 ｃｓ
２ √
５ ’
助线 ， 便可以仅仅 由三角 函数 的定 义 和勾股 定理 解
出Ａ Ｂ和 Ｂ Ｃ的 长． 作 Ａ 即 Ｅ上Ｂ 于 Ｅ， 图 １所 示 。 Ｃ 如 由 ｃ８ Ｅ 。ｃ＝Ｃ
・ 一ｚ．
进行作答 ， 下面给出几种最常见而且简 洁的方法．
１ 解 法
．ｓｎ ｊｃ＝
（ ） １问的参考解法 为 ： １第
由 嘲 ｃ： 。 得 ｉｃ一 ５ ， ｎ
曰 Ｄ＝Ａ Ｄ＝÷ 以 Ｂ＝１ ．
由余 弦 定 理
Ｃ ＝√ Ｉ Ｄ Ｊ ， Ｄ ＋ＢＣ 一２ ＢＤ ・ＢＣ ・ｃ ｓ ｏＢ
ｓ Ａ＝ｓ （８ 。 ４ 。 ）＝ｓ （ ５ ＋Ｃ ｉ ｎ ｉ １０ － ５ 一Ｃ ｎ ｉ ４。 ） ｎ
＝
孚ｃ ｎ＝ ． ｃｃ ｃ ｏ ， ｓ
．ｓ ｊ ＝ ・ ：ｓ
厂 ————一
Ｙ
— — — ——
厶
＝／ ＋８ ２ １ ３ ・ ＝ ． ＾ １ １— ・ ・ 竿
＝
．
钝角等． （ ） 图解题应 大力 提 倡． 解题 时 ， 出正 确 ３作 在 作 的判 断 。 画出基 本 的图 形 ， 路会 豁 然 开 朗 ， 思 往往 会
起到事半功倍 的效果． （ ） 范 表述要反 复强调． 论是文 字 、 式 ， ４规 无 公 还 是 图 形 ， 范 表 述 是 非 常 重 要 的 ， 过 调 查 统 计 发 规 通
，
得ＥＡ ｃ ・ ２， Ｃ Ｃｃ ＝ 竽＝ ＝・ ｏ ｓ
（Ｉ） 求 Ｃ边 的长 ；
从 而得出 Ｂ Ａ √ ， Ｅ＝ Ｅ＝ 于是 曰 曰 ｃ ３ ｃ＝ Ｅ＋ Ｅ＝
同时 ， 由三角 函数 的定义 或勾 股定 理 自然得 可
出Ａ ２ Ｂ＝ ．
（Ｉ） Ｉ 记 曰的 中为 Ｄ， 中线 ｃ 求 Ｄ的长． 本题 目考察 三角 函数 正 弦定 理、 弦定理 及三 余
图２ 图３
③作 出较 自然 的辅
②作辅 助线 ． Ｄ 作 Ｅ上曰 ｃ于 ， 如 图 ２所 示 ， ， 由
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２０ ０６年第 ８ 期
数 学 教 学 研 究
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￣Ｂ ＝５， ＝ Ｂ １ Ｆ ＝．于是 ＡＣ ４。 ＋Ａ ＝ ， Ｄ 得Ｄ ＝ Ｆ ｖ， ＿
2006年全国高考数学试题评述(全国理科卷Ⅰ)
菊 奄 誊 鲡 ０
誊 。 ０。
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本 刊编 辑部
１ 设 集 合 Ｍ 一 ｛ Ｉ 一 ＜ Ｏ ， 一 ｛ ｌ ｌ ． ｝Ｎ ｌ
＜ ２｝ 贝Ｕ ， Ａ． ｎ Ｎ 一 击 Ｍ Ｃ． Ｕ Ｎ — Ｍ Ｍ Ｂ．Ｍ Ｕ Ｎ — Ｍ Ｄ． Ｕ Ｎ — Ｒ Ｍ
目， 与方 程 、 等式 交 汇为常 见题 型． 它 不
答案 ：． Ｂ
总 结 ： 曲 线 作 为 圆 锥 曲 线 的 一 种 ， 几 双 其 何 性 质 常 作 为 高 考 命 题 的 热 点 问 题 ． 难 度 一 但 般 不 大 ， 握 其 实 轴 、 轴 、 距 之 间 的 关 系 是 掌 虚 焦
意 图 ： 要 考 查 复 数 的 有 关 概 念 及 复 数 的 主 简单运 算 ．
思 路 ： 。４ ）（１４ （ －ｉ －ｍｉ ）一 （ 一 ）４ －
算． 思 路 ： 求 函 数 — ｅ 的 反 函 数 ｆ （ ）一 先
ｌ ｘ（ ｎ ＞ Ｏ ， 后 再 求 ｆ（ ｘ） Ｉ ２ 一 ｌ ｘ＋ ）然 ２ 一 ｎ（ ｘ） ｎ
（ － 。 （ Ｅ Ｒ ）， １４ ｍ ） ｉ
。 ． ．
１４－ｍ 。 ０ ，． 一 。 ．ｍ 一 一
１．
Ｉ ２ ＞ Ｏ ， 反 函 数 时 ， 注 意 其 定 义 域 ， 反 ｎ（ ）求 要 而 函 数 的 定 义 域 即 是 原 函 数 的 值 域 ， 注 意 它 们 要
之 间 的对应 关 系． 一
ｍ
｛ Ｊ ＜ ＜ １ ， 一 ｛ Ｊ ２ ０ ）Ｎ 一 ＜ ＜ ２ ， 进 行 集 ）再
．
．
２＝ ２ Ｘ ２
√ ． 一 ４ 一 ・ 一． ． ｍ
合 的 运 算 ， 可 得 出答 案 ． 即 答案 ： Ｂ． 总 结 ： 合 问 题 每 年 必 考 ， 多 为 中 档 题 集 大
2006年江苏高考数学解析版
2006年普通高等学校招生全国统一考试数 学（江苏卷）参考公式： 一组数据的方差])()()[(1222212x x x x x x n S n -++-+-=Λ其中x 为这组数据的平均数一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，恰．有一项．．．是符合题目要求的。
（1）已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±1 （2）圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是（A ）x －y ＝0 （B ）x ＋y ＝0 （C ）x ＝0 （D ）y ＝0（3）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则｜x －y ｜的值为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（4）为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）（C ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（D ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）（5）10)31(xx -的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是（A ）0 （B ）2 （C ）4 （D ）6（6）已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足||||MN MP MN NP ⋅+⋅u u u u r u u u r u u u u r u u u r＝0，则动点P （x ，y ）的轨迹方程为（A ）x y 82= （B ）x y 82-= （C ）x y 42= （D ）x y 42-= （7）若A 、B 、C 为三个集合，C B B A ⋂=⋃，则一定有（A ）C A ⊆ （B ）A C ⊆ （C ）C A ≠ （D ）φ=A （8）设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是 （A ）||||||c b c a b a -+-≤- （B ）aa a a 1122+≥+ （C ）21||≥-+-ba b a （D ）a a a a -+≤+-+213 （9）两相同的正四棱锥组成如图1为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD 某一个平面平行，且各顶点．．．的几何体体积的可能值有（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）无穷多个（10）右图中有一个信号源和五个接收器。
从2006年高考数学(四川卷)谈高三数学
从2006年高考数学（四川卷）谈高三数学复习与建议一、2006年高考数学（四川卷）给我们的启示1．对试卷的总体评析⑴试卷立足于平稳过渡，在稳定中求创新。
试卷注意了知识点的覆盖（这一点较05全国卷有所进步），无偏题、怪题，并注入了一些具有新意的试题，如填空题理科第16题及解答题中的理科数列题（第20题）都具有新意（这一点估计仍会坚持），对中学数学教育具有良好的导向作用。
⑵重点知识重点考查今年数学试题所考查知识点分布如下表试题涵盖了高中数学的主要内容，但又不刻意追求知识点的平均分布，做到了重点知识重点考查。
例如，文理科试题都加大了对新教材中新增的向量、概率、导数等知识点的考查力度。
今年文理科试卷中分别有一个小题、一个大题考概率统计知识，同时保持前两年全国高考格局再次将概率内容作为应用题考查；向量在解题中的作用明显增加，用导数做工具研究函数的单调性、极值、最值，解决不等式的证明问题显示出比初等数学解决问题的优势。
此外，函数内容随处可见，函数思想和函数方法贯穿全卷。
对全卷进行粗略估计高一内容约占50—55分，高二、三内容约占95—100分。
⑶试题重视基础，发挥了正确导向的功能。
试题重视基础，大量的题目来源于教材，不少题目可以在教材上找到原型。
这些题目考查的都是现行高中教材上最基本、最重要的数学知识，所用到的方法也是通性通法，体现了高考的公平公正，另一方面也是对中学数学的复习中回归教材，重视对基础知识的掌握起到良好的导向作用。
⑷试题突出能力立意。
难度设计较为合理。
今年的试题突出能力立意，重在考查学生的思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力和创新意识，同时对重要的数学思想：如函数与方程的思想、数形结合的思想、分类与整合的思想、必然与或然的思想都进行了一定的考查。
要做好全卷，必须有较强的运算能力，还应有严谨的思维和准确的表达能力，这样可以有效地避免高分低能现象，有利于高校选拔优秀考生。
⑸创设新题，力求稳中求新。
2006年高考理科数学(全国卷)21题别解与探讨
（０ ６年全 国卷 Ⅱ， ２ ）已知抛 物 线 ２０ 理 １
＝
４ ｙ的焦 点 为 Ｆ， Ｂ 是抛 物 线 上 的两 Ａ、
（ 半
４ｋ，
， ） （，１ 竽 ：２ 一） ｋ ．
＝ ４，
点， 商
： 商 ． Ａ Ｂ两点分别作抛物 过 、
为定值；
因为 ： 商， 所以ｚ ＝一 ， 。 代人
解 出 两 条 切 线 交 点 的 坐 标 为
２＋ ２ ２
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中学数学杂志 （ 高中） ２０ 年第 ４ ０６ 期
６ １
：
Ｌ ２＝ ± ４． ； ＿ ＝
Ａ
＋ ： ｋ＋ ： ２ ４ ４ ２
上
所 以 ｋ ａ ｔ ｚ ２＝一１ 所 以 ＭＡ Ｍ ｋａ ｅ ３＝ ｌ７ ３ ． ，
（） １
．
（ 设 Ⅱ）
＝（ １＋ ａ ） １＋ａ ） １＋ １（ ２ …（
ａ ）求 及 数列 ｛ ｝ ， ａ 的通 项 ；
三 形 Ｂ ， ＝Ｅ ＋ ， ＝ 角 Ｃ Ｃ Ｃ＝ 号Ｂ Ｍ Ｂ Ｍ 号 所 ＝Ｃ ，以 Ｍ＝ ＝
／／ Ｐ 。
／ ／
Ｅ ｘ 三
√ 号 一号 ＝ （＋ ） （）
图５
．
图４
２０ ０ ６年高考理科数学 （ 国卷 ） １ 别解与探讨 全 ２题
山 东省 沂水县 第二 中学 ２ ６０ ７ ４０ 杨 登玲 林 立 晔
２ ２
Ｆ， Ｆ的直线 与抛 物线 交 于Ａ、 过 Ｂ两点 ， 过点 Ａ、 的抛 物 线 的 两切 线 交 于点 Ｍ ， 点 Ｍ Ｂ 则 在抛 物线 的准线 上 ， Ｍ 与 Ａ 中点 的连 线 点 Ｂ 垂 直 于 ｚ轴 ， ＭＡ 上 ＭＢ． 结论 ２ 设抛 物 线 ｚ ＝ ２ ｙ的 焦点 为 ｐ Ｆ， 准线 为 ， 过 上 任 一点 Ｍ 作 抛物 线 的两 条 切线 ＭＡ、 ＭＢ， 、 分 别 为 切 点 ， ＭＡ Ａ Ｂ 则 上 ， 且直 线 ＡＢ 过焦点 Ｆ．（ 明略 ） 证
剖析考题 体会思想——2006年一道高考试题的研究
广 东工业 贸 易职 业技 术 学校 （ ２ ２ ７ 严 ５８ ３ ）
２０ ０ ６年 高 考 数 学 试 题 全 国 卷 文 科 第 ２ 题 ２ 是 一 道 值 得 研 究 的 好 题 ， 题 以 三 次 函 数 为 背 该
蓉
ｆ ）一 ３ 一 ２ ＋ ｎ （ ｎ 一 １在 区 间 （一 。 ０） 。， 和
当 ≥ｏ ） 詈 ，（ 的最小 ｆ 值为－（） ｎ一 ，ｏ一 １
≥ ０， 得 ｎ １ 解 ≥ ．
・ ． ．
１ 函数思 想 ．
题 目 中 的 条 件 是 函 数 ｆ（ ）一 。 ｎ ＋ 一 。
ｎ 一 ≤
， ｎ １ 或 ≥ ．
（ １ 在 （ 一 ， 和 （ ， ｏ ） 是 增 函 数 ， ｎ一 ） 一 ０） １＋ 。都 通 过 求 导 转 化 为 ｆ （ ） ０在 （ 一 ， ） （ ， ≥ 一 ０ 和 １ ＋ 一 ） 恒 成 立 的 问 题 ． 此 ， 将 问 题 看 作 求 上 因 可
厂 ）（ ｚ３等对 轴 一 （一 ＋ ） 一 ，称 一 ． ＋
２ 牟 ∞６
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题
从 函 数 方 面 思 考 这 个 问 题 ， 本 质 就 是 求 其 二 次 函 数 在 给 定 区 间 上 的 最 值 问 题 ． 由 二 次 它
‘ ．
．
２ ｂ＋ ７一 Ｉ，‘ｂ一 ３（ ） ． ． 舍 ．
，
ｌ ２ 一 一１． 厂（ ） ６
‘ ． ．
Ｉ ：１． ｄ ＝ ２ ：
（ ） 一 ∈ （一 １ ２ 当 ｂ
２） 一 ４＜ ６＜ ２ 时 ， ，
ｒ（ ）一 。－ ４ －３ｘ
２ ｘ＋ １ 单 调 减 区 间 ４ ２，
为 （ ４， ） 一 ２ ．
抓纲务本才是真——2006年全国高考湖北卷数学理科19题答题启示
数学通报
２ ０ ０ ７ 年 第４ ６ 卷 第４ 期
抓纲务本才是真
— ２ ０ ０ ６ 年全国高考湖北卷数学理科（ １ ９ ） 题答题启示
高慧明
（ 湖北省襄樊市田家炳中学 ４ ４ １ １ ０ ４ ）
纵观 ２ ０ ０ ６ 年全国高考湖北省文、 理两卷， 体现 能力考查新方式的有四处： １ ． 理科选择题第（ （ ８ ） 题利用教材中阅读材料的 有关内容考查逻辑推理能力， 平时不重视阅读教材 的考生解题时感觉吃力． ２ ． 文、 理卷填空题第（ １ ５ ） 题利用一题两空的新 题型， 考查考生迁移、 类比探究的数学素质、 创新意
１ ． ３０ ． ９ １ ７ ７ ． ９ １ １ ５０ ． ９ １ ３ １ ０ ． ９ １ ４ ７ ０ ． ９ １ ６ ２０
１ ． ４０ ． ９ ３ １ ９ ． ９ ２ ６ ５ ０ ． ９ ２ ７ ８ ０ ． ９ ２ ９ ２０ ． ９ ３ ０ ６ ０ ． ９ ７ ６ ７ １ ． ９０ ． ９ ７ ４ ４ ０ ． ９ ７ ５ ０ ０ ． ９ ７ ５ ６ ０ ． ９ ７ ６ ２ ０ ２ ． ００ ． ９ ８ ０ ８ ０ ． ９ ８ １ ２ ０ ． ９ ８ １ ７ ． ９ ７ ９ ８ ０ ． ９ ８ ０ ３ ０ ２ ． １０ ． ９ ８ ４ ２ ０ ． ９ ８ ４ ６ ０ ． ９ ８ ５ ７ ． ９ ８ ５ ０ ０ ． ９ ８ ５ ４ ０
２ ０ ０ ７ 年 第４ ６ 卷 第４ 期
解析
数 学通报 专家评说
（ 工 ） 设参赛学生的分数为 右 ， 因为泞 一
Ｎ（ ７ ０ ， １ ０ ０ ） ， 由条件知，
湖北省暨武汉市数学学会理事长、 武汉大学数 学与统计学院院长陈化教授看过今年的湖北省高
Ｐ 佗） ９ ０ ） ＝１ 一Ｐ 佗＜ ９ ０ ） ＝１ 一Ｆ （ ９ ０ ） ＝１
2006年高考数学试题分析及启示
2006年高考数学试题分析及启示
李再湘;张志阳
【期刊名称】《当代教育论坛》
【年(卷),期】2006(000)024
【摘要】@@ 一、试题的特征rn2006年湖南省文理高考数学仍实行了自主命题,这是我省自主命题的第三个年头,两份试卷皆保持了优化的格局,呈现了"稳中求变,变中创新"的理念,完全遵循了<考试说明>和<补充说明>,整体上符合数学的学科特点.试卷在对数学基础知识全面考查的同时,并未刻意去追求知识的全面,特别强调了"少考一点算,多考一点想"的命题理念,突出了对支撑数学学科知识体系的重点知识进行重点考查.
【总页数】2页(P115-116)
【作者】李再湘;张志阳
【作者单位】湖南省长沙市教育科学研究院;湖南省长沙市教育科学研究院
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.立足双基突出能力体现课改启示教学——2006年江苏高考物理试题分析及其对今后教学的启示
2.2000年广东高考数学试题分析及启示
3.稳中求新新中求活活中凸显能力——2006年浙江省高考数学试题评析及启示
4.剖析试题特点引导教学实践：——2000年高考数学试题分析及启示
5.2006年高考数学试题分析及启示
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一道引领高三学生回归课本的好题——评析2006年高考福建卷理第22题
3借助在平行四边行A BCD 中如图(6)有22222()A B BC A C BD +=+,∴22221()()()222A C BD AB BC =+,即三角形中第三边为定长时,两边的平方和22()A B BC +与第三边上的中线同时取最大(小)值,因此,容易看出符合条件的位置为D 点(达到最小值),E 点(达到最大值),4,6OD OE ==,可得所求最大、最小值分别为80、40.从以上题例可以看出,线性规划是我们解题过程中进行数形结合的一种好的有效的方法.它直观.明了,容易让学生接受,而应用此方法解题,往往能起到事半功倍的效果,并能很好地开拓学生的思维视野,培养学生的发散思维能力和创造性思维能力.一道引领高三学生回归课本的好题——评析2006年高考福建卷(理)第22题福建福清第三中学李云杰1问题提出人教版高一上课本复习参考题三P136的第14题为:已知数列{}n a 是等差数列.1a =1,设211222n c =++++",求证:121144a a "14(1)nna a c =+.通过改编成为,2006年高考福建卷(理)第22题.已知数列{}n a 满足*111,21()n n a a a n N +==+∈.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足12111444nbb b ="(1)nb n a +,证明{}n b 是等差数列;(3)证明:*122311()232n n a a a n nn N a a a +<++<∈".本试题主要考查数列、不等式基本知识,考查化归的数学思想方法,考查代数推理等综合解题能力.下面我们从试题的命制、背景、思想方法、知识延伸和反思启示来剖析这一道题.2考题探源2006年福建省高考数学考试说明指出:命题应认真研究教材,挖掘教材中相关知识的教育价值与功能.本题题干条件,数列{}n a 满足111,2n n a a a +==*1()n N +∈,有深厚的数学文化背景.2.1河内塔(梵塔)问题河内塔问题是印度的一个古老的传说.开天辟地的神勃拉玛在一个庙里留下了三根金刚石的棒,第一根上面套着64个圆的金片,最大的一个在底下,其余一个比一个小,依次叠上去,庙里的众僧不倦地把它们一个个地从这根棒搬到另一根棒上,规定可利用中间的一根棒作为帮助,但每次只能搬一个,而且大的不能放在小的上面.显然,众僧们耗尽毕生精力也不可能完成金片的移动.(1)河内塔问题的情境性设有n 个银片,大小不同,从大到小排列在三根金棒中的一根.这些银片要搬到另一根金棒上,每次搬一个.第三根金棒作为银片暂时摆放用.在搬动过程中,仍要保持大片在下,小片在上,问要搬动多少次,才能将所有银片从一根棒搬到另一根,且搬完后银片相对位置不变？评注:改编成一道解答题,体现结论的一般化与推广的过程,培养学生数学的归纳能力和阅读能力,并在解题中体会数学的化归思想.(2)河内塔问题的求解主要有两个思路,一是采用“归纳——猜想——证明”的方法;二是寻找n a 与前面各项之间的关系,由题设条件列出等式.显然,“归纳——猜想——证明”法较常见,但递推方法更实用.解法一令用n a 表所求的搬动次数,显然121,3a a ==,由操作易知347,15a a ==,于是可猜想21n n a =,再用数学归纳法证明.解法二令用表所求的搬动次数,把第4n a35一棒n 个银片的1n 个搬到第三棒,再将最大一个银片搬到第二棒,然后又将第三棒上的1n 个片搬到第二棒上,如此继续,可完成这次搬动任务.因为搬1n 个银片从一棒到另一棒需1n a 次,故可得递推式121n n a a =+,11a =.对递推式121n n a a =+,11a =的求解.最后,可得21n n a =,就是2006年高考试题第一小题,数列{}n a 的通项公式.3化归思想数列这一章,教材重点是介绍了等差数列和等比数列,其它递推数列一般均可以化归为这两个基本数列.河内塔问题渗透的是一种化归的思想,递推式121n n a a =+,11a =的求解方法较多.比如,迭代法、转化为等比数列、直接使用待定系数法、转化为二阶常系数齐次递推数列等.下面,我们将问题一般化为:1n n a pa +=+q (,p q 为常数,0,1pq p ≠≠).要探究这个递推数列通项问题,我们先给出两个常用数列模型的结论:(1)1()n n a a f n +=+,通项公式为1111()n n k a a f k +==+∑.(2)1(),(()0)n n a f n a f n +=≠,通项公式为1111()n n k a a f k +==∏.则我们可以将递推问题1n n a pa q +=+化归为以上两个数列模型.3.1方法点拨将递推问题1n n a pa q +=+(1)p ≠去掉p 可转化为类型(1),去掉q 可转化为(2),有如下思路.思路1两边同除以1n p +得11n nn na a p p ++=+1n q p +.数列{}nna p 即为类型(1);思路211()n n n n a a pa q pa q +=++1()nn p a a =.数列1{}n n a a +即为类型(2);思路3引入待定参数λ,使λ+=()()n n p a p a λλ=,数列{}n a λ即为类型(2).要定出λ,只需把所构造递推式与原递推式比较得(1),1qp q pλλ==.应用(1)或(2)通项公式,不难得到此类型通项公式为:111(1)1n n n q p a a p p =+.3.2回归课本,知识变式延伸为了体现高考命题的公平性,通常都会依据课本,所以不少高考数学试题都能在课本上找到“影子”,不少高考题就是对课本原题的变型、改造及综合.因而高三复习,应该引导学生回归课本,对着课本目录回忆和梳理知识,把重点放在掌握例题涵盖的知识及解题方法上,选择一些针对性极强的题目进行强化训练,复习才有实效.下面对*111,21()n n a a a n N +==+∈继续进行研究.变式1数列{}n a 中,121/2,1,n a a a ===241(2)na n +>,求{}n a 的通项公式;变式1告诉我们,数列的奇数项、偶数项都加1/3后,各自成等比数列.即利用隔项数列解题,这与2004年全国卷1的22题,(已知数列{}n a 中11a =,且221(1)k k k a a =+,21k a +=2k a 3k +,其中k 1,2,3,=",求{}n a 的通项公式)解题思路完全一致.拓展变式2把1n n a pa q +=+进行加工,可以得到如下问题,求它们的通项公式.变式2.111(0)n n n n a a pa pa p +=+≠;变式2.211(,0)n n n a pa qa p q +=+≠,此类型称为二阶线性递归关系;变式2.311(0)n n n a pa qa A pqA +=++≠,此类型称为二阶线性非齐次递归关系;变式2.4110(n n n n pa a qa ra pr ++++=≠0,n a 0)≠;变式2.5110n n n n A a a Ba ca d +++++=(0)A d ≠.这五个变式都有一定的研究价值,是高三数学开展研究性学习的好素材.分析历年高考试题,细心的一线教师会意识到这五个变式在理科数列试题当中的作用.高三复习1n a36中,对课本题目进行小题大做,变式深化,最终与高考试题衔接.这样既能使学生发挥潜能,探索创新,亲历课本题目演变成高考试题的过程,有利于减少学生对高考试题的害怕心理;又能充分发挥课本的基础作用,丰富课本的内涵,创造性的使用课本.当然,回归课本,不是强记题型、死背结论,而是要抓纲悟本,体会方法与思想.课本中的题目具有紧扣教材,简明扼要、难度适中,方法典型,符合“通性通法”的特点,是知识和能力的重要载体.4反思与启示扎实的基础知识、基本技能的掌握和熟练的基本数学思想和方法的运用,是灵活运用知识分析问题和解决问题的前提和保障.因此,复习时一定要狠抓基础知识的复习、基本技能的训练和基本方法的熟练运用.这就需要我们回归课本,夯实基础,才能提高数学复习的整体效益.那如何运用课本呢？不是简单的重复,可以指导学生做到以下4点:(1)在复习每一课题时,必须联系课本中的相应部分,不仅要弄懂课本提供的知识和方法,还要弄清定理、公式的推导过程和例题的求解过程,揭示例、习题之间的联系及其变换.如重温《等差数列的前n 项和》时,要深入对公式进行多种推导,在推导中让学生体会丰富多彩的数学方法,叠加法、迭代法等.(2)在解高考训练题时如果遇到障碍,应有查阅课本的习惯,通过课本查明我们在知识和方法上的缺陷,尽可能把问题回归为课本中的例题和习题.(3)在复习的训练过程中,我们会积累很多解题经验和方法,其中不乏一些规律性的东西,要注意从课本中探寻这些经验、方法和规律的依据.注重对知识过程的分析,让知识上升为方法,进而方法上升为思想.(4)注意通过课本题目的知识背景、来源等方面加以思考,改变设问方式、增加或减少变动因素和必要的引申、推广来扩大题目的训练功能.近几年来,特别是实行分省命题以来,许多试题设计独具匠心,令人回味无穷,但有一个共同点,各省命题都很注重对课本的开发、利用.这种导向作用,要求我们无论复习哪部分内容,我们都应该认真地对照课本,应有查阅课本的习惯.通过课本查明我们在知识和方法上的缺陷,尽可能把问题回归为课本中的例题和习题.要让学生学会灵活运用课本知识,自主探究深化课本内容的思想方法,以此来培养学生的创新意识和探究能力,提高学生的数学素养,摆脱题海的束缚,为高考成功打下坚实的基础.在学生学习及其有限的时间内,让学生做大量练习,势必剥夺学生思考的时间、空间.学生只会学到僵化的题型,数学能力低下,失去了做题的真正价值,更何况做大量的习题也未必能够押到宝.我们应该发挥课本的基础和示范作用,注重基础,用好课本,因为课本是知识和方法的重要载体,是高考试题的主要来源.省内部分重点校的高三数学备课组,要求各成员采取按专题,对课本各章节习题进行改编,我想这也是回归课本的一个途径.在探究课本知识中见能力,在研讨课本例题方法中见思想,应成为我们高三课堂解题教学的基础.编辑：《福建中学数学》编辑部（福建师大数学系350007fjzxsx@ ）（月刊）印刷：福建师范大学印刷厂2006年第11期发行：福州市邮政局（总第179期）订购：全国各地邮局（所）邮发代号3－二O O 六年十一月二十日出版国内统一刊号：N35－O 定价元福建中学数学49C 1084/1:2.00。
2006年全国高考数学山东卷试卷分析
2006年全国高考数学山东卷试卷分析山东省高考数学阅卷点领导小组一．试卷的整体评价2006年山东省高考数学试卷坚持平稳过渡的命题指导思想，基本遵循了《考试说明》的要求．侧重考查中学数学的通性通法；突出了文理科对应试题难度的差异及搭配；热点数学内容在试卷中占有较大比例；注意在知识的交汇点命题，加强对考生数学能力的综合考查；试卷具有较高的区分度和信度．有利于为高校选拔优秀学生，有利于稳定中学数学教学秩序以及我省新课程改革的顺利进行．1．保持稳定，加强考查主干知识1．1试卷长度、题型比例配置保持不变，与“考前说明”一致．全卷共22题，其中选择题12个，共60分，占总分的40%；填空题4个，共16分，约占总分的10%；解答题6个，共74分，约占总分的50%，全卷合计150分．1．2重点考查中学数学主干知识和方法(见表1)．侧重于中学数学学科的基础知识和基本方法的考查；侧重于知识交汇点的考查．表1：考查知识点分布表*：各占一部分内容．2．支持课改，重视热点课程内容从表1不难发现，导数、概率统计、平面向量等教材热点内容在试卷中约占35分，约占整个卷面分数的四分之一，虽然比去年低了10分左右，仍远远高出其在教学大纲中的课时比例（见表2，还未考虑空间向量在立体几何中的应用所占有的分值）．这个调整变化是比较科学合理的，既反映了高考命题的取向，体现“高考支持课程改革”的命题思路，又照顾到试卷涵盖的各部分内容的平衡．同时可以看到对这些内容的考查具有一定的广度和深度，尤其是在一些常见的数学问题中取代传统的数学方法，发挥这部分内容在解决传统数学问题过程中的优越性．如用导数求函数的单调区间和驻点；利用概率考查学生应用数学的意识；用向量的方法表示共线，计算长度、角度和距离等问题．表2：热点数学内容课时数与在试卷中占分数比例对比3．体现差异，文理科试题有区别命题注意到文理科学生在数学学习上的差异，对文理科学生提出不同的考查要求．与05年高考题相比，在姊妹题占有比例基本不变的情况下（见表3），增加了不同题、减少了相同题的个数和分数．由此可以看出命题者有意识的降低文科试题难度，这样处理符合当前中学数学教学以及学生的实际学习状况．如文（2）理（3）题都是分段函数问题，但文科是求函数值，而理科需要解不等式．显然文科较理科要求有所降低；理（5）文（4）都是向量的运算问题，显然文科的要容易一些；再如文理（22）题都是数列题，但是给出的递推关系不同，求解的问题也有很大差异，两者化简和运算的难度拉开了档次；又如文（12）理（11）的线性规划姊妹题，理科的约束条件明显地要比文科的更难一些；再如文科(19)题是古典概型的应用题，对应理科的姊妹题(20)题题设条件有差异，而且理科增加了有关离散型随机变量分布列的问题，体现了文理科学生的不同要求；还有文（16）理（15）题，虽然都是相同的几何体，但是理科求线面角，而文科是求点面距．不同题更是体现了文理科考生的不同要求，如文（17）和对应的理（18）都是求函数的单调区间，函数不相同，而且对分类讨论的能力要求也不一样，明显地提高了对理科学生数学能力的考查．表3：文理科试题对照表4．鼓励创新，适当增加创新题型今年高考题文理科均出现一大一小两个应用题（见表4）．应用题的数量和分值与去年相比略微有所减少，但难度变化不大．通过设置应用题来考查考生在新的情景中实现知识迁移的能力，应用数学知识解决实际问题，可以体现考生的基本数学素养，更好地实现高考的选拔功能，真正考查出考生的学习潜力．今年试卷中理（11）题是一个线性规划应用题，文（13）是一个统计抽样应用题．文（19）和理（20）分别是用概率统计的方法分析盒中取卡片和袋中取球的问题．这些应用题涉及到的实际问题，背景公平，学生熟悉，难度适中．由此可以让学生去关心周围的社会和生活的世界．同时可以更好的实现“新课标”中倡导的学生创新意识和实践能力的培养，无疑会对中学数学教学改革起到良好的导向作用．另外，文理科的第（1）题，借集合为载体，重新定义一种运算，考查学生在新的问题情境中，分析问题和解决问题的能力，有一定的新意．理科第（16）题是一个拼盘式的多选题，有一定的综合性和难度，这些变化较05年自主命题进了一步．应该说这和当前课改的教学要求、中学的教学实际以及学生学习的实际情况是吻合的． 表4：应用题分布表注：分值和百分比两栏括号中为05年数据． 5．适度综合，关注知识交汇点本次数学试卷的小综合的题目明显增多（见表1打星号的题目）．如：理（8）和文（9）是充要条件与不等式的综合；理（9）和文（11）是集合、空间坐标系与排列组合的综合；理（10）二项展开式与复数的综合；理（11）是线性规划在实际问题中的应用；理（16）是函数图象、平面向量、解析几何、三角函数以及立体几何的综合；理（21）是平面向量与解析几何的综合．通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高地要求，也体现了高考的选拔功能．二．试题分析1．重视“双基”落实，侧重通性通法今年数学试卷与往年相同的一个特点就是“大路题”仍占多数，学生比较容易上手，特别是选择题和填空题整体难度不大．重点考查中学数学的“双基”和通性通法．例1：（理（4）文（6））在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知1,3,3===b a A π，则c =（A ）1 （B ）2 （C ）13- （D ）3解析：此题主要考查三角形的边角关系，通过观察不难发现，这是一个含︒30角的直角三角形．故答案为（B ）．例2：（1）（理（5））设向量a =(1，–3)，b =(–2，4)，c =(–1，–2)，若表示向量4a 、4b –2c 、2(a –c )、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为（A ） （2，6） （B ） （–2，6） （C ） （2，–6） （D ） （–2，–6）解析：此题主要考查向量加法、减法以及数乘的运算法则和运算能力．答案为（D ）． （2）（文（4））设向量a =(1，–3)，b =(–2，4)，若表示向量4a 、3b –2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为（A ） （1，–1） （B ） （–1，1） （C ） （–4，6） （D ） （4，–6）解析：此题主要考查向量加法、减法以及数乘的运算法则和运算能力．类似于（1）可得答案为（D ）．例3：（理（8）文（9））设021:,020:22<-->--x x q x x p ，则p 是q 的(A) 充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件解析：此题考查充分必要条件的概念和基本不等式的解法．答案为（A ）．例4：（理（9）、文（11））已知集合}4,3,1{},2,1{},5{===C B A ，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为 （A ）33 (B)34 (C)35 (D) 36解析：此题主要考查集合和空间直角坐标的概念与排列组合的方法．设所构成的点的坐标为},,{C B A ，由乘法原理，得共有36!3)321(=⨯⨯⨯个点，其中重复的有}1,1,{},1,,1{},,1,1{A A A 三个点．故答案为（A ）．例5：（文（13））某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本．已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 ．解析：此题主要考查分层抽样的方法，教师的人数=150160102400=⨯． 例6：（文（14））设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，30,147104=-=S S S ，则=9S ．解析：此题主要考查等差数列前n 项和公式和基本的运算能力．答案为54． 2．渗透数学思想，重视数学能力今年数学试卷的一个亮点是，增加了创新题和多选题．考查学生创新意识和综合运用知识的能力．同时，还侧重于考查学生正确地运用数学思想方法，分析问题和解决问题的能力，在使多数考生得到基础分的同时，保证整张试卷具有适当的难度和区分度．2．1数形结合的思想 例7：（1）（理（11））某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则y x z 1010+=的最大值是 （A ）80 (B) 85 (C) 90 (D) 95解析：此题主要考查应用线性规划的方法解决实际问题，考查数形结合的数学思想．由于研究最优解的过程中要先画出可行域，因而要用到数形结合的数学思想．其中边界点的坐标是)29,211(，因此要注意最优解是整数解．如果此题设置选择支有100的选项，更容易造成学生的误答．正确答案为（C ）．（2）（文（12））已知x 和y 是正整数，且满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+.72,2,10x y x y x 则y x z 32+=的最小值是（A ）24 (B) 14 (C)13 (D) 11.5解析：此题主要考查线性规划的方法．类似于（1）可得答案为（B ）．抽样发现一半以上的考生选了（D ）．2．2函数与方程的思想例8：（1）（理（7））在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 （A ）2 （B ）22 （C ）21 （D ）42解析：此题主要考查椭圆的基本性质和运算，考查方程的思想．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.1,2222c ca ab 得，22=ac ，故答案为（B ）．（2）（文（7））在给定的双曲线中，过焦点且垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为21，则该双曲线的离心率为 （A ）22（B ）2 （C ）2 （D ）22 解析：此题主要考查双曲线的基本性质和运算，考查方程的思想．类似于（1）可得答案为（C ）．2．3有限与无限的思想例9：（理（13））若1)(1lim=-+∞→n a n n n ，则常数a = ．解析：此题主要考查数列极限的运算和代数式基本变形技能．但是此题有超纲嫌疑． 左边an a a nna n n n 2)]11(1[lim lim=++=++=∞→∞→，所以 2=a ． 2.4特殊与一般的思想例10：（理（14）文（15））已知抛物线x y 42=，过点P （4，0）的直线与抛物线相交于),(),,(2211y x B y x A 两点，则2221y y +的最小值是 .解析：此题主要考查直线与抛物线的位置关系以及特殊与一般的数学思想．观察直线与抛物线相交的变化情况不难判断，2221y y +的最小值应在一个特殊位置取到，即当直线垂直于x 轴时，2221y y +取最小值．此时，2221y y +=32．2．5转化与化归的思想例11： （理（1）文（1））定义集合运算：},),({B y A x y x xy z z B A ∈∈+==⊗，设集合}3,2{},1,0{==B A ，则集合B A ⊗的所有元素之和为（A ）0 （B ）6 （C ）12 （D ） 18解析：此题主要借集合为载体，定义一种新的集合运算．考查学生接受新知识、运用新知识的能力以及转化与化归的思想．显然0=x 时，0=z ，对求和的结果没有影响．只需计算1=x 时，相应z 的值即可．可求得答案为（D ）．例12：（理（12））在等腰梯形ABCD 中，E DAB DC AB ,60,22︒=∠==为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P -DCE 的外接球的体积是（A ）2734π （B ）26π （C ）86π （D ） 246π解析：此题主要考查学生的空间想象能力，特别是平面图形（二维空间）与空间图形（三维空间）之间的相互转化能力．首先按要求折起后得到的是一个棱长为1的正四面体，下面就是求一个正四面体的外接球半径的问题，比较简单的方法是把这个正四面体放到一个相应的正方体中，很容易得到正四面体的外接球半径是46，故答案为（C ）． 还有分类与整合、或然与必然的思想方法等，在这里不一一列举．三．抽样分析为了了解今年山东省716575名考生的答卷情况，我们从全省382869名普通理科考生、189552名普通文科考生、25883名艺术理科考生、106674名艺术文科考生和11597名体育考生的试卷中，各分别抽取了卷一普理50000份、普文50000份、艺术理10000份、艺术文10000份，卷二普理97754份、普文50209份、艺术理5686份、艺术文29087份，进行了抽样分析．抽样结果如下（见表5~表16）：表5：卷一解答情况统计表 (样本容量 ：普理50000份，普文50000份)表9：卷二解答情况统计表（样本容量：普理97754份，普文50209份）表10：卷二解答情况统计表（样本容量：艺术理5686份，艺术文29087份）表11：卷二成绩分段统计表（样本容量：普理97754份，普文50209份）表12：卷二成绩分段统计表（样本容量：艺术理5686份，艺术文29087份）际人数或比例，后一个表示从高分段到本分数段的累计数．表9、10中，13~16题样本数分别为：普文790、普理1262、艺术文390、艺术理82）表13：试题难度分布表表14：试题难度分布表0.20.40.60.811.2123456789101112表15：卷一难度分布表数据分析：1.从表5、6可以看出，客观题以中低档题为主．2.从表13、14可以看出文科试卷的难度较大，艺术理和艺术文考生的得分普遍较低．3.从表14可以看出普理抽样均分比05年约低11分，普文比05年约低5分．4．从表15、16可以看出艺术理和艺术文分别比相应的理、文科考生成绩低且变化趋势基本上是相同的。
2006新疆卷高考数学应用题真题解析
2006新疆卷高考数学应用题真题解析2006年的新疆卷高考数学应用题，是许多考生关注的热门题目。
本文将对该年的数学应用题进行详细解析，帮助考生更好地理解和应对这些题目。
第一部分：选择题1. 题目描述：设f(x)=∫[0,x²]sin(t²)dt，其中x∈[0,π/2]，则f(x)在[0,π/2]上递增的区间有：选项A：(0,1/2) B：(1/2,π/4) C：(π/4,π/6) D：(π/6,π/2)解析：根据题意，我们可以利用函数的导数来判断f(x)的增减性。
首先求出f(x)的导函数f'(x)，然后判断f'(x)在[0,π/2]上的正负性。
最后确定递增的区间。
解答过程：先求函数f(x)的导函数f'(x)。
根据换元法，∫sin(t²)dt = ∫（1/2）sin(t²)^2dt，令u=t²，du = 2tdt，所以∫（1/2）sin(t²)^2dt=∫（1/4）sin^2(u)du = （1/4）∫(1-cos(2u))du = （1/4）[u-（1/2）sin2u]+C = （1/4）[t²-(1/2)sin(t²)cos(t²)]+C。
所以f(x)的导函数为f'(x) = x-（1/2）sin(x²)cos(x²)。
我们只需要在[0,π/2]上判断f'(x)的正负性即可。
经过计算，可得f'(x)在(π/6,π/2)上为正，故选项D为正确答案。
答案：D2. 题目描述：已知函数f(x)=x³-3x²+mx+n的图像经过点P(1, -1)，则m和n的值分别为：选项A：-1、-3 B：1、-3 C：-1、1 D：1、3解析：根据题目中给出的点P(1, -1)，我们可以将该点的横纵坐标代入函数f(x)中，得到一个方程式，再通过方程式解得m和n的值。