第二章 双曲型方程
2-双曲型方程的差分方法
其截断误差是
n 1 n 1 n n u u u u a j 1 j 1 j 1 j 1 0 2 2 h 2 h
T O( h )
2 2
其增长因子是
1 1 2 ia sin kh G 1 1 2 ia sin kh
2 2 2 1 1 a sin kh 4 G 1 2 1 2 2 1 4 a sin kh 2
),
a0 a0
1 n n n un u a ( u u j j j 1 j ),
也可写成统一形式
1 n n n n n n 1 1 un u a ( u u ) a ( u 2 u u j j j 1 j 1 j 1 j j 1 ) 2 2
u ( P) u (Q) u (C ) a u (C ) u ( B) 1 a (1 a ) u ( B) 2u (C ) u ( D) 2
对应差分格式即为Lax-Wendroff格式
2 2 a a n 1 n n n n n n uj uj u j 1 u j 1 u j 1 2u j u j 1 2 2
代入前面的表达式有
u
n 1 j
u
n j
a
u
n j 1
u
n j 1
2h
u u a x t j
n
2h 2
n n n 2 2 2 a2 u 2 u u O ( h h ) j j 1 j 1
得到二阶精度的显式格式，即Lax-Wendroff格式
隐式格式
u u
n j
n 1 j
双曲型方程求解方法及其应用
双曲型方程求解方法及其应用一、双曲型方程简介双曲型方程是一类二阶偏微分方程，其基本形式为:$$\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0$$双曲型方程的特点是存在两个独立的传播方向，解的形式通常是由两个波的叠加而成。
由于双曲型方程与空间和时间的关系有关，因此在物理、工程和科学领域中有着广泛的应用。
其中，双曲型方程的求解方法是求解偏微分方程的重要研究内容之一。
二、双曲型方程的求解方法对于双曲型方程，我们需要采取适当的数学工具来解决。
下面介绍几种常用的双曲型方程求解方法。
1. 分离变量法分离变量法是求解偏微分方程的常用方法之一，对于双曲型方程也可以采用分离变量法求解。
例如，我们可以假设$u(x,t)=X(x)T(t)$，将偏微分方程代入得到：$$\dfrac{T''}{T}=\dfrac{X''}{X}=-k^2$$这是两个常微分方程，可以通过求解得到$T(t)$和$X(x)$的通解，再合并得到$u(x,t)$的通解。
其中，使用的边界条件和初值条件对应具体问题的不同而有所不同。
2. 特征线法特征线法是一种求解双曲型偏微分方程的有效方法。
其基本思想是沿着方程组的特征线进行积分，将原方程转化为一维常微分方程。
例如，对于双曲型方程$\dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2}-\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0$，经过变换得到：$$\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=0$$将$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=1$和$\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}u}=1$代入得到方程:$$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u}=\dfrac{1}{2},\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{ d}u}=-\dfrac{1}{2}$$由此可以得到$x=t+c_1,u=c_2$为特征线，设$u=f(x-t)$，则原方程变成$\dfrac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d} x^2}=0$，通解为$f(x-t)=k_1 x+k_2$，因此原方程的通解为$u(x,t)=k_1 x+k_2$。
人教版选修21第二章双曲线双曲线的标准方程讲义
案例（二）——精析精练课堂 合作 探究重点难点突破知识点一 双曲线的定义平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于常数(小于21F F 且不等于零)的点 的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
注意 （1）在此定义中“常数要大于0且小于21F F ”这一限制条件十分重要,不可去 掉。
（2）如果定义中常数改为等于21F F ,此时动点轨迹是以1F 、2F 为端点的两条射线(包 括端点)。
（3）如果定义中常数为0,此时动点轨迹为线段1F 2F 的垂直平分线。
(4)如果定义中常数改为大于21F F ,此时动点轨迹不存在。
(5)若定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,点的轨迹成为双面线的一支。
(6)设()y x M ,为双曲线上的任意一点,若M 点在双曲线右支上,则()02,2121>=->a a MF MF MF MF ；若M 在双曲线的左支上,则a MF MF MF MF 2,2121-=-<,因此得a MF MF 221±=-,这是与椭圆不同的地方。
知识点二 双曲线的标准方程1.如何正确理解双曲线的标准方程的两种形式（1）通过比较两种不同类型的双曲线方程()0,12222>>=-b a by a x (焦点在x 轴上)和()0,12222>>=-b a b x a y (焦点在y 轴上),可以看出,如果2x 项的系数是正的,那么焦点就在 x 轴上；如果2y 项的系数是正的,那么焦点就在y 轴上。
对于双曲线，a 不一定大于b ,因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条 坐标轴上。
焦点在x 轴上的方程，只要将y x ,互换就能得到 焦点在y 轴上的方程。
(2)无论双曲线的焦点在哪个坐标轴上，标准方程中的c b a ,,三个量都满足222b ac +=所以c b a ,,恰好构成一个直角三角形的三边,且c 为斜边,如图所示。
算流体力学中科院力学所第讲双曲型方程组-PPT文档资料
M
（2）
5 4
（4）
பைடு நூலகம்
（ 1）
x
3
2 2 u5 1c5 u3 1c3 u 2 c u 2 c 5 2 1 5 1 2
12
简单波
Copyright by Li Xinliang
3. 双曲型方程的间断解
双曲方程的特点： 扰动波传播速度有限 可能产生间断
弱间断： 函数连续，但导数间断 （如稀疏波的波头、波尾） 强间断： 函数本身间断 （如激波、接触间断） 流体力学控制方程： 积分型 （假设函数连续、光滑） 微分型 间断处虽然无法满足微分型方程， 但积分型方程（三大守恒律）仍然满足
u
-0.01
1D Euler with initial disturbance u=0.01sin(x)
-0.015 -5
0
5
10
x
不同时刻的速度分布（A=0.01） u ( x , t ) 0 . 005 sin x ct ) 0 ( . 005 sin x c )
9 Copyright by Li Xinliang
一维等均熵运动例如膨胀波0??????xubtu???????uu????????ucub??2cu??21?矩阵b的特征值??????????ccs??????????????????????????????????00xucutuxcutcxucutuxcutc??????0??????ddcdducudtdx??沿特征线1
变系数方程组的情况
令：
3.2 双曲线方程及几何性质
3.2 双曲线【知识点】 1、双曲线的概念平面内与两个定点12,F F 的距离的差的绝对值等于非零常数（小于12||F F ）的点的轨迹叫做双曲线。
集合12{|||||||2}P M MF MF a =−=，12||2F F c =，其中0,0a c >>，且,a c 为常数，当22a c <时，点M 的轨迹是双曲线。
2、双曲线的标准方程（1）标准方程222222221(0,0),1(0,0)x y y x a b a b a b a b−=>>−=>>。
（2）一般方程：221(0)Ax By AB +=<。
3、双曲线的简单几何性质4、三个问题①为什么不能把定义中的“绝对值”去掉？②怎样理解双曲线的渐近线的含义？怎么求渐近线方程？ ③当双曲线离心率变化时，双曲线的形状如何变化？【典型例题】例1、已知双曲线的两个焦点分别为12(5,0),(5,0)F F −，双曲线上一点P 与12,F F 的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。
例2、已知,A B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2秒，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程。
例3、求双曲线22916144y x −=的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
例4、动点(,)M x y 与定点(4,0)F 的距离和它到定直线9:4l x =的距离的比是常数43，求动点M 的轨迹。
例5、过双曲线22136x y −=的右焦点2F ，倾斜角为30︒的直线交双曲线于,A B 两点，求弦长||AB 。
【课堂练习】题型1双曲线定义的理解1、已知双曲线2213664x y −=的左右焦点分别是12,F F ，P 是双曲线上一点。
若1||15PF =，则2||PF = 。
2、对于常数,a b ，"0"ab <是“方程221ax by +=对应的曲线是双曲线”的（）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件.D 既不充分也不必要条件3、（多选）已知方程221()169x y k R k k−=∈+−，则下列说法中正确的是（ ）.A 方程可表示圆.B 当9k >时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆 .C 当169k −<<时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线 .D 当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为10题型2 双曲线方程的求解4、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的左右焦点分别是12(13,0),(13,0)F F −，点P 在双曲线上，且12||||10PF PF −=，则双曲线的方程是 。
数学物理方程——3 波动方程的建立
∂ 2u ∂t 2
x = x0
mg
cosθ1 ≈ cosθ 2 ≈ 1
sin θ1 ≈ tanθ1 = − ∂u1 ∂x
x = x0 − ε
sin θ 2 ≈ tanθ 2 =
∂u2 ∂x
x = x0 + ε
数学物理方法
双曲型方程的建立
因此有：
T1 = T2 ≡ T
⎛ ∂u T⎜ 2 ⎜ ∂x ⎝
数学物理方法
双曲型方程的建立
定义 初始条件——完全描述物理问题的研究对象在初始时刻时， 其内部及边界上任意一点的状况。 边界条件——完全描述物理问题的研究对象的边界上各点 在任一时刻的状况。
第一类边界条件：边界上各点的函数值—— u S
∂u 第二类边界条件：边界上各点函数的法向导数值—— ∂n S 第三类边界条件： u S 与 ∂u 的线性关系 ∂n S
可知： u1 ( x0 , t ) = u2 ( x0 , t ) 受力分析后，由牛顿定律可知，x0 处： 纵向：T1 cos θ 1 − T2 cos θ 2 = 0 设小球引起的 θ1 、θ2 很小： 横向：T1 sin θ 1 + T2 sin θ 2 − mg = m
y
o
θ1
x0
θ2
x
T1
T2
第二章 典型方程的建立
2.1 双曲型方程的建立
数学物理方法
双曲型方程的建立
数学物理方法
双曲型方程的建立
数学物理方法
双曲型方程的建立
数学物理方法
双曲型方程的建立
数学物理方法
双曲型方程的建立
数学物理方法
双曲型方程的建立
数学物理方法
双曲型方程的建立
高中数学第2章平面解析几何2.6双曲线及其方程2.6.2双曲线的几何性质课件新人教B版选择性必修第一
知识点三 对双曲线的几何性质的五点认识
ห้องสมุดไป่ตู้
(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置．
(2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方 程ax22－by22＝1(a>0，b>0)，得ax22＝1＋by22≥1，所以 x2≥a2，所以|x|≥a，即 x≤
－a 或 x≥a.
(3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，因为 c>a>0，
[跟踪训练 1] 求双曲线 9y2－16x2＝144 的半实轴长和半虚轴长、焦点 坐标、离心率、渐近线方程．
解 把方程 9y2－16x2＝144 化为标准方程为4y22－3x22＝1.由此可知，半实 轴长 a＝4，半虚轴长 b＝3，c＝ a2＋b2＝ 42＋32＝5，所以焦点坐标为(0， －5)，(0,5)，离心率 e＝ac＝45，渐近线方程为 y＝±43x.
13 ______e_＝__ac_(_e_>_1_)_______
知识点二 等轴双曲线 01 ____实__轴__长__与__虚__轴__长__相__等_______的双曲线称为等轴双曲线．等轴双曲 线具有以下性质： (1)方程形式为 02 __x_2_－__y_2＝__λ____________ (λ≠0)； (2)渐近线方程为 03 ____y_＝__±_x__________，它们互相垂直，并且平分双 曲线实轴和虚轴所成的角； (3)实轴长和虚轴长都等于 04 ___2_a____，离心率 e＝ 05 ___2___.
图 形
标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
焦点在 y 轴上 ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
焦点位置 焦点 焦距
偏微分课程课件5_双曲型方程的差分方法(II)
uvn j
uv t
n j
2
2
2uv t 2
n j
O(
3
)
uv n1 j
uv
n j
A
uv x
n j
2
2
A2
2uv n
x
2
j
O(
3)
用中心差商代替偏导数
uvn j
A
uvn uvn
j1
j1
2h
2
2
A2
2
x
uv n j
h2
O(
3
2h2
h2 )
舍去截断误差, 有LW差分格式.
1 2
a
nj （（u
n ）2
j 1
（u
n ）2）
j1
21
（unj 1）2
1 2
(unj 1 )2
（unj1）2 )
1 2
anj
( unj 1 )2
(
un j 1
)2
(4)用h乘上式两边并对 j 求和，记离散模
un
2
h
（unj）2h
||
un1
||h2 ||
un
||h2
1 2
a
n j
((unj 1
t
x
2u t 2
（ t
a(x)
u ） x
a(x)
x
(u ) t
= a(x) (a(x) u ) a(x) (a(x) u )
x
x
x x
25
代入Taylor展开式,于是有
u(
x
j
,
tn 1 )
u(x
j
,
【数学】2.2.1 双曲线及其标准方程 课件2(人教A版选修1-1)
2
2
16
9
1、双曲线的定义
小 结
2、双曲线的标准方程及应用 3、求解双曲线的方程
第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 双曲线及其标准方程
一 、 复 习 与 回 顾
1、椭圆的定义
F 平面内与两个定点 F1， 2 的距离之和等 | 于常数（大于| F1 F2 ）的点轨迹叫做椭 圆
2、椭圆的标准方程
x y 2 1 2 a b
2
2
或
y x 2 1 2 a b
2
2
二 平面内与两个定点F1，F2的距离的差 、 的绝对值 等于常数 2a （小于︱F1F2︱）的 双 点的轨迹叫做双曲线. 曲 M 线 ① 两个定点F1、F2—— 的 双曲线的焦点; o F F 定 1 2 义 ② |F1F2|=2c ——焦距.
例、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距 五 离的差的绝对值等于8，求双曲线的 、 标准方程. 解:根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为 典
型 例 题
x y 2 1 (a 0, b 0) 2 a b
∵ 2a = 8, c=5 ∴ a = 4, c = 5
y
P
1
o
F2
x
三 、 双 y 3.列式． 曲 线 o F |PF1 - PF2|= 2a 的 标 准 即 | (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 | = 2a 方 程 4.代点化简.
1
P
F2
x
三 、 双 曲 线 的 标 准 方 程
移项两边平方后整理得：
10.10.11高二数学(理)《双曲线的简单几何性质(2)》(课件)
离 心 率
关于 坐标 x ≤ −a 轴和 y ≥ a 原点 都对 或 称 y ≤ −a
复习
性质 双 曲线
x2 y2 − 2 =1 2 a b (a > 0, b > 0) y2 x2 − 2 =1 2 a b (a > 0, b > 0)
图 象
范 围
x≥a 或
对 称 性
顶 点
渐 近 线
离 心 率
关于 (±a, 0) 坐标 x ≤ −a 轴和 y ≥ a 原点 都对 或 称 y ≤ −a
复习
性质 双 曲线
x2 y2 − 2 =1 2 a b (a > 0, b > 0) y2 x2 − 2 =1 2 a b (a > 0, b > 0)
图 象
范 围
x≥a 或
对 称 性
顶 点
渐 近 线
离 心 率
b 关于 (±a, 0) y = ± x 坐标 a x ≤ −a 轴和 y ≥ a 原点 a 都对 或 (0, ± a) y = ± x 称 b y ≤ −a
M 动点 ( x, y)与定点F(c,0)(c > 0) a l 的距离和它到定直线 : x = 的距离 c c c M 的比是常数 ( > 1), 求点 的轨迹方 a a 程.
2
[例3] 如图，过双曲线 例 如图， 线于A， 两点 两点， 线于 ，B两点，求|AB|。 。
的右焦点F 倾斜角为30° 的右焦点 2倾斜角为 °的直线交双曲 分析:求弦长问题有两种方法 分析 求弦长问题有两种方法: 求弦长问题有两种方法
[例2] 点 ( x, y)与定点 (5,0)的 例 M F
16 l 距离和它到定直线 : x = 的比是 5 5 M . 常数 ,求点 的轨迹 4
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u v 1 v , t t 4
[a a a ] d a[ ] d SM
at
1 4 (at) 2
M M S a t 所围球体为 Da t : Gauss公式： 记
(3)D’Alembert公式的物理解释：
①行波（传播波） 1 ( ) ( )d ，则(2.1.7)可写成 若记 a x0
1 1 u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] [ ( x at ) ( x at )] 2 2
u u
x at
f1 (2 x) f 2 (0) ( x), f1 (0) f 2 (2 x) ( x).
X f1 ( X ) ( ) f 2 (0), 2 Y f 2 (Y ) ( ) f1 (0). 2
——“函数方程组”
泛定方程的两条特征线所夹成（如图2.2）．
ⅱ>△ ABC 内任一点的依赖区间完全落在区间 内每一点的值，因此，把△ 图2.3）．
BC 内，亦即线段 BC
上的初值函数的值完全决定了初值问题(2.1.1)的解
u ( x, t ) 在△ ABC
的决定区域（见
ABC （域I）叫做线段 BC
ⅲ>.如图2.4,区域II内每一点处解u ( x, t ) 的值，都要受到初值函数在点
于是
u ( x, y ) f1 ( x 2 y ) f 2 ( x 2 y ).
X f1 ( X ) 1 ( 2 ) f 2 (0), f1 (2 x) f 2 (0) 1 ( x), f 2 (Y ) 2 (Y ) f1 (Y ) 由定解条件： f1 ( x) f 2 ( x) 2 ( x). Y 2 (Y ) [1 ( ) f 2 (0)]. 2
记 为单位球面： 2 2 2 1,并注意到 d at S (at ) 2 d, 便知
(2.2.4)’
定理1 函数
（2.2.5） 满足初值问题(2.2.3).
t 证明 ( x, y , z ) u 4
( x, y, z ) ( x at, y at, z at )d
[ ( , , ) ddd ] t D M
at
d dd
( , , )
§2.2 高维波动方程初值问题 —— Poisson的球面平均值法与Hadamard的降维法
1．Poisson公式与解的存在性：
以下就三维齐次波动方程初值问题
(2.2.1)
来求解. (1)预处理：(2.2.1)的解可表为 其中 (2.2.2)
u[ ] 是初值问题
(2.2.3)
的解.
因而关键是求问题(2.2.3)的解
x at
故
u ( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at ) x at x at ( ) ( ) [ f1 (0) f 2 (0)]. 2 2
(0) (0)
1 u xx yu yy 2 u y 0, ( y 0), （如图2.9）其中 例2 求解第三问题 u x 2 y 1 ( x), ( x 0), 1 (0) 2 (0). u y 0 2 ( x), ( x 0). x 2 y 解令 可将方程化成 u 0, 从而 u f1 ( ) f 2 ( ). x 2 y
( x0 ,0) 处的值的影响，因此，把区域 II 叫做点 ( x0 ,0) 的影响区域.而
区间 [ x1 , x2 ] 的影响区域则是由过此两点的特征线与该区间所围成的倒梯形 区域III(见图2.5).
附注
a.无界弦自由振动是左右行进波的叠加，因此，这种方法也叫行波法； b.从依赖区间、决定区域、影响区域看到，解决无界弦自由振动问题， 特征线是至关重要的，因而这种方法也叫特征线法.
第二章 双曲型方程
内 容 要 求
§2.1 弦振动方程的初值问题—— 决定任意函数法 §2.2 高维波动方程初值问题—— Poisson平均值法与降维法 习题课二 §2.3 波动方程混合问题—— 分离变量法 §2.4 能量积分——唯一性与稳 定性 习题课三
①理解决定任意函数法; ②掌握降维法与分离变量法； ③明确有关的物理解释； ④理解能量积分讨论唯一性与稳定 性的思想.
u tt a 2 u xx 0, (t 0), （如图2.6）其中 (0) (0), 例1 求解特征问题 u x at ( x), （相容性条件） u x at ( x). 解 u( x, t ) f1 ( x at ) f 2 ( x at ). 由定解条件
第三问题（达布问题）——在一条特征线和一条非特征线上给定未知数 的值的定解问题. 例如：
u
第四问题——在同一特征角（指由两条不同族的特征线所组成的角）内的 两条非特征线上给定未知函数 的值的定解问题.例如：
u
特征线族：
x 常数，y 常数
可以证明：双曲型方程的如上四种定解问题都是适定的（即问题的提法都是 正确的）．
由于 a
x2 at2 x1 at1 , 即 x2 x1 a(t2 t1 ),
0，因而函数 f ( x at )
即表示以速度
a
向右传播的波．
同理，函数
f ( x at ) 表示以速度
a
向左传播的波.
因此，无界弦的自由振动是左右行进波的叠加，因而所述方法也称行波法. ②依赖区间、决定区域、影响区域： 从D’Alembert公式看出：
ⅰ>初值问题(2.1.1)的解
u ( x, t ) 在 x t上半平面内任一点 A( x0 , t 0 )的值
BC u ( x0 , t 0 ) 仅仅依赖于初值函数在 t 0( x 轴)上的区间（或线段） 上的值. 把 BC 或 [ x0 at0 , x0 at0 ] 叫做点 A( x0 , t 0 )的依赖区间， 它由过点A( x0 , t 0 )
称为D’Alembert公式.
(2)适定性考查：
①存在性——若
( x) C 2 , ( x) C 1 ，则可直接验证(2.1.7)确实是
初值问题(2.1.1)的解.（自做之）
②唯一性与稳定性（ⅰ>能量模估计：姜礼尚《数学物理方程讲义》 PP47-53;ⅱ>或西北大学《偏微分方程》P34; ⅲ>本章§2.4统一处理）．
x
积分(2.1.5),得
由(2.1.4),(2.1.6)得
1 1 c g ( x) ( x) ( )d 2. 2 2 a x0
x
故问题(2.1.1)的形式解为
u ( x, t ) f ( x at ) g ( x at )
1 1 ( x at ) 2 2a
形如
f ( x at )
t2
的函数在物理上称为行波， 波速为 则在时刻
a. 以 f ( x at )为例：
f ( x1 at1 )
，
设给定波形 到了时刻
f (x),
t1
，点
x1
处的波形为
，我们说 时刻
t1 ，点 x1
，则应有
处的波形传到了
x2
，即
f ( x2 at 2 ) f ( x1 at1 )
故 u ( x, y)
f1 ( x 2 y ) f 2 ( x 2 y )
x2 y x2 y 1 ( ) f 2 (0) 2 ( x 2 y ) 1 ( ) f 2 (0) 2 2 x2 y x2 y 1 ( ) 2 ( x 2 y ) 1 ( ). 2 2
( x) 2 ( y) 2 ( z ) 2 (at ) 2 a d dd 2 ( , , ) 4 (at ) D M
at
u 1 ( , , ) d dd , t 4 at D M
at
(2.2.6)
2u 1 u 1 1 2 u 2 t t t t 4 at 2
由初始条件，得
u t 0 f ( x) g ( x) ( x), ut t 0 a[ f ( x) g ( x)] ( x),
1 f ( x) g ( x) ( )d c, a x0 x 1 1 c f ( x) ( x) ( )d 2 , 2 2 a x0
u[ ].
(2)求(2.2.3)的解：
( x, y, z ) C 2，考虑 ( x, y, z ) 在以 M ( x, y, z )为心，at M 上的平均值 为半径的球面 S at
设 (2.2.4) 其中
M ( , , ) 是球面 S at 上的点.
若
S
M at 的外法线方向（也就是半径的）方向余弦为 ( , , ) ，则
最后给出无界弦强迫振动
的解的表达式为
u tt a 2 u xx f ( x, t ), (t 0) u t 0 ( x), u t t 0 ( x)
x at t x a ( t )
1 1 1 u ( x, t ) [ ( x at ) ( x at )] at ( )d 2a d xat f )( , )d . 2 2a x 0 (
2.其它定解问题：
一般的，对双曲型方程而言，可用“决定任意函数法”求解的定解问题 大 体上归结为如下四种：
第一问题（特征问题或Goursat问题）——在两条不同族的特征线上
给定未知函数