有限差分法的原理与计算步骤[精选.]

一、有限差分法的原理与计算步骤

1.原理

基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点;把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似;把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。2. 计算步骤

在采用数值计算方法求解偏微分方程时，若将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。有限差分法求解偏微分方程的步骤如下：

（1）区域离散化，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格；

（2）近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数；

（3）逼近求解。换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程

二、有限差分法的程序流程图

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有限差分法及其应用

有限差分法及其应用 1有限差分法简介有限差分法（FDM）是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方程将解域划分为差分网格，用有限个网络节点代替连续的求解域。有限差分法通过泰勒级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值得差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。 2有限差分法的数学基础有限差分法的数学基础是用差分代替微分，用差商代替微商而用差商代替微商的意义是用函数在某区域内的平均变化率来代替函数的真是变化率。而根据泰勒级数展开可以看出，用差商代替微商必然会带来阶段误差，相应的用差分方程代替微分方程也会带来误差，因此，在应用有限差分法进行计算的时候，必须注意差分方程的形式，建立方法及由此产生的误差。 3有限差分解题基本步骤有限差分法的主要解题步骤如下： 1）建立微分方程根据问题的性质选择计算区域，建立微分方程式，写出初始条件和边界条件。 2）构建差分格式首先对求解域进行离散化，确定计算节点，选择网格布局，差分形式和步长；然后以有限差分代替无线微分，以差商代替微商，以差分方程代替微分方程及边界条件。 3）求解差分方程差分方程通常是一组数量较多的线性代数方程，其求解方法主要包括两种:精确法和近似法。其中精确法又称直接发，主要包括矩阵法，高斯消元法及主元素消元法等；近似法又称间接法，以迭代法为主，主要包括直接迭代法，间接迭代法以及超松弛迭代法。4）精度分析和检验对所得到的数值进行精度与收敛性分析和检验。 4商用有限差分软件简介商用有限差分软件主要包括FLAC、UDEC/3DEC和PFC程序，其中，FLAC是一个基于显式有限差分法的连续介质程序，主要用来进行土质、岩石和其他材料的三维结构受力特性模拟和塑性流动分析；UDEC/3DEC是针对岩体不连续问题开发，用于模拟非连续介质在静，动态载荷作用下的反应；PFC是利用显式差分算法和离散元理论开发的微、细观力学程序，它是从介质的基本粒子结构的角度考虑介质的基本力学特性，并认为给定介质在不同应力条件下的基本特征主要取决于粒子之间接粗状态的变化，适用于研究粒状集合体的破裂和破裂发展问题，以及颗粒的流动(大位移）问题。

《有限差分法在微分方程中的应用》课程论文

课程论文

有限差分法在微分方程中的应用本学期学习了《微分方程数值解》，本书中有限差分法给我留下的印象比较深刻，下边说说自己在方面的一点理解，请老师指正。 1.有限差分法的基本思想：当系统的数学模型建立后，我们面对的主要问题就是微分积分方程的求解。基本思想是用离散的只含有限个未知量的差分方程组去近似地代替连续变量的微分方程和定解条件，并把差分方程组的解作为微分方程定解问题的近似解。将原方程及边界条件中的微分用差分来近似，对于方程中的积分用求和或及机械求积公式来近似代替，从而把原微分积分方程和边界条件转化成差分方程组。 2.有限差分法求解偏微分方程的步骤：区域离散，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格，这些离散点称作网格的节点；近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数。逼近求解，换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程。从原则上说，这种方法仍然可以达到任意满意的计算精度。因为方程的连续数值解可以通过减小独立变量离散取值的间格，或者通过离散点上的函数值进行插值计算来近似得到。理论上，当网格步长趋近于零时，差分方程组的解应该收敛于精确解，但由于机器字节的限制，网格步长不可能也没有必要取得无限小，那么差分法的收敛性或者说算法的稳定性就显得至关重要。因此，在运用有限差分法时，除了要保证精度外，还必须要保证其收敛性。 3.构造差分法的几种形式：主要草用的是泰勒级数展开的方法。其基本差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等。其中前两种形式为一阶计算精度，后一种为二阶计算精度。

有限差分法

利用有限差分法分析电磁场边界问题在一个电磁系统中，电场和磁场的计算对于完成该系统的有效设计师极端重要的。例如，在系统中，用一种绝缘材料是导体相互隔离是，就要保证电场强度低于绝缘介质的击穿强度。在磁力开关中，所要求的磁场强弱，应能产生足够大的力来驱动开关。在发射系统中进行天线的有效设计时，关于天线周围介质中电磁场分布的知识显然有实质性的意义。为了分析电磁场，我们可以从问题所涉及的数学公式入手。依据电磁系统的特性，拉普拉斯方程和泊松方程只能适合于描述静态和准静态（低频）运行条件下的情况。但是，在高频应用中，则必须在时域或频域中求解波动方程，以做到准确地预测电场和磁场，在任何情况下，满足边界条件的一个或多个偏微分方程的解，因此，计算电池系统内部和周围的电场和磁场都是必要的。对电磁场理论而言，计算电磁场可以为其研究提供进行复杂的数值及解析运算的方法，手段和计算结果；而电磁场理论则为计算电磁场问题提供了电磁规律，数学方程，进而验证计算结果。常用的计算电磁场边值问题的方法主要有两大类，其每一类又包含若干种方法，第一类是解析法；第二类是数值法。对于那些具有最简单的边界条件和几何形状规则的（如矩形、圆形等）问题，可用分离变量法和镜像法求电磁场边值问题的解析解（精确解），但是在许多实际问题中往往由于边界条件过于复杂而无法求得解析解。在这种情况下，一般借助于数值法求解电磁场的数值解。有限差分法，微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网络来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。差分运算的基本概念：有限差分法是指用差分来近似取代微分，从而将微分方程离散成为差分方程组。于是求解边值问题即转换成为求解矩阵方程[5]。对单元函数 ()x f而言，取变量x的一个增量x?=h，则函数()x f的增量可以表示为 ()x f? = ()h x f+-()x f 称为函数()x f 的差分或一阶差分。函数增量还经常表示为 ()x f? = ? ? ? ? ? + 2 h x f - ? ? ? ? ? - 2 h x f

有限差分法

班级：通信13-4 姓名：学号：指导教师：徐维成绩：电子与信息工程学院信息与通信工程系

求解金属槽的电位分布 1.实验原理利用有限差分法和matlab软件解决电位在金属槽中的分布。有限差分法基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替,这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似,积分用积分和来近似,于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组,即有限差分方程组,解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解.然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解.在采用数值计算方法求解偏微分方程时,若将每一处导数由有限差分近似公式替代,从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题。 2.有限差分法方程的定解问题就是在满足某些定解条件下求微分方程的解。在空间区域的边界上要满足的定解条件称为边值条件。如果问题与时间有关，在初始时刻所要满足的定解条件，称为初值条件。不含时间而只带边值条件的定解问题，称为边值问题。与时间有关而只带初值条件的定解问题，称为初值问题。同时带有两种定解条件的问题，称为初值边值混合问题。定解问题往往不具有解析解，或者其解析解不易计算。所以要采用可行的数值解法。有限差分方法就是一种数值解法，它的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上，按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。此外，还要研究差分格式的解的存在性和唯一性、解的求法、解法的数值稳定性、差分格式的解与原定解问题的真解的误差估计、差分格式的解当网格大小趋于零时是否趋于真解（即收敛性），等等。有限差分方法具有简单、灵活以及通用性强等特点，容易在计算机上实现。 2.1有限差分法原理

第二章计算流体力学的基本知识

第二章计算流体力学的基本知识流体流动现象大量存在于自然界及多种工程领域中，所有这些工程都受质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理定律的支配。这章将首先介绍流体动力学的发展和流体力学中几个重要守恒定律及其数学表达式，最后介绍几种常用的商业软件。 2.1计算流体力学简介 2.1.1计算流体力学的发展流体力学的基本方程组非常复杂，在考虑粘性作用时更是如此，如果不靠计算机，就只能对比较简单的情形或简化后的欧拉方程或N-S方程进行计算。20 世纪30～40 年代，对于复杂而又特别重要的流体力学问题，曾组织过人力用几个月甚至几年的时间做数值计算，比如圆锥做超声速飞行时周围的无粘流场就从1943 年一直算到1947 年。数学的发展，计算机的不断进步，以及流体力学各种计算方法的发明，使许多原来无法用理论分析求解的复杂流体力学问题有了求得数值解的可能性，这又促进了流体力学计算方法的发展，并形成了"计算流体力学" 。从20 世纪60 年代起，在飞行器和其他涉及流体运动的课题中，经常采用电子计算机做数值模拟，这可以和物理实验相辅相成。数值模拟和实验模拟相互配合，使科学技术的研究和工程设计的速度加快，并节省开支。数值计算方法最近发展很快，其重要性与日俱增。自然界存在着大量复杂的流动现象，随着人类认识的深入，人们开始利用流动规律来改造自然界。最典型的例子是人类利用空气对运动中的机翼产生升力的机理发明了飞机。航空技术的发展强烈推动了流体力学的迅速发展。流体运动的规律由一组控制方程描述。计算机没有发明前，流体力学家们在对方程经过大量简化后能够得到一些线形问题解读解。但实际的流动问题大都是复杂的强非线形问题，无法求得精确的解读解。计算机的出现以及计算技术的迅速发展使人们直接求解控制方程组的梦想逐步得到实现，从而催生了计算流体力

有限差分法

有限差分法有限差分法（Finite Differential Method, FDM ）什么是有限差分法有限差分法是指用泰勒技术展开式将变量的导数写成变量，在不同时间或空间点值的差分形式的方法。按时间步长和空间步长将时间和空间区域剖分成若干网格，用未知函数在网格结(节)点上的值所构成的差分近似代替所用偏微分方程中出现的各阶导数，从而把表示变量连续变化关系的偏微分方程离散为有限个代数方程，然后解此线性代数方程组，以求出溶质在各网格结(节)点上不同时刻的浓度。有限差分法的基本步骤（1）剖分渗流区，确定离散点。将所研究的水动力弥散区域按某种几何形状(如矩形、任意多边形等)剖分成网络系统。（2）建立水动力弥散问题的差分方程组。（3）求解差分方程组。采用各种迭代法，如点逐次超松驰方法(SOR)、线逐次超松驰方法(LSOR)、迭代的交替方向隐式方法(IADI)及强隐式方法(SID)等。 (1) 现在分别对时间（从0时刻到到期日）和股票价格（S max )为可达到的足够高的股票价格）进行分割，即\triangle S=S_{max}/M,\triangle T/N,这样就分别有N+1个时间段和M+1个股票价格，建立如图(所示的坐标方格，将定解区域网格化，坐标方格上的点（i,j ）对应时刻和股票价格，用变量f i ,j 表示（i,j ）点的期权价格。 2.建立差分格式（1）内含的有限差分方法其步骤可分为以下几步：

(1)求前向差分近似:(2) 后向差分格式：(3) 将(2),(3)式平均可更加对称地求出的近似，即 (4) (2)求用前向差分近似： (5) (3)求 (6) (4)将(4),(5),(6)式代入(1)式可得到内含有限差分公式： + b j f i,j?c j f i,j + 1 = f i + 1,j(7) a j f i,j? 1 其中： i=0,1,…，N-1。j=0,1…，M-1 针对看跌期权和看涨期权可分别求出方程的边界条件：看跌期权：看涨期权： (5)利用边界条件和(7)式可以给出M-1个联立方程组： + b j f N? 1,j + c j f N? 1,j + 1j=1,2…，M-1 a j f N? 1,j? 1

有限元法与有限差分法的主要区别

有限元法与有限差分法的主要区别有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。在河道数值模拟中，常见的有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来的里兹法和伽辽金法、最小二乘法等。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有La grange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为(1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。(2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。(3)确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度的要求，选择满足一定插

有限差分法

有限差分法有限差分法有限差分法 finite difference method 微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。有限差分法的主要内容包括：如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。关于差分格式的构造一般有以下3种方法。最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor 级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。

金融工程期末复习题知识讲解

金融工程期末复习题

一、简述题（30分） 1.金融工程包括哪些主要内容？答：产品与解决方案设计，准确定价与风险管理是金融工程的主要内容 P3 2.金融工程的工具都有哪些？答：基础证券（主要包括股票和债券）和金融衍生产品（远期，期货，互换和期权）P4 3.无套利定价方法有哪些主要特征？答：a.套利活动在无风险的状态下进行 b.无套利的关键技术是“复制”技术 c.无风险的套利活动从初始现金流看是零投资组合，即开始时套利者不需要任何资金的投入，在投资期间也不需要任何的维持成本。P16 4.衍生证券定价的基本假设为何？答：（1）市场不存在摩擦（2）市场参与者不承担对手风险（3）市场是完全竞争的（4）市场参与者厌恶风险，且希望财富越多越好（5）市场不存在无风险套利机会 P20 5.请解释远期与期货的基本区别。答：a.交易场所不同 b.标准化程度不同 c.违约风险不同 d.合约双方关系不同 e.价格确定方式不同 f.结算方式不同 g.结清方式不同 P44 6.金融互换的主要有哪些种类？答：利率互换与货币互换和其它互换（交叉货币利率互换、基点互换、零息互换、后期确定互换、差额互换、远期互换、股票互换等等）P104 7.二叉树定价方法的基本原理是什么？答：二叉树图方法用离散的模型模拟资产价格的连续运动，利用均值和方差匹配来确定相关参数，然后从二叉树图的末端开始倒推可以计算出期权价格。P214 8.简要说明股票期权与权证的差别。答：股本权证与备兑权证的差别主要在于：（1）有无发行环节；（2）有无数量限制；（3）是否影响总股本。股票期权与股本权证的区别主要在于：（1）有无发行环节（2）有无数量限制。P162 9.影响期权价格的因素主要有哪些？它们对欧式看涨期权有何影响？答： 1)标的资产的市场价格（+） 2)期权的协议价格（—） 3)期权的有效期（？） 4)标的资产价格的波动率（+） 5)无风险利率（+） 6)标的资产收益（—）

有限差分法

有限差分法有限差分法 finite difference method 微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。有限差分法的主要内容包括：如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。此外为了保证计算过程的可行和计算结果的正确，还需从理论上分析差分方程组的性态，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、收敛性和稳定性。对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就是相容性要求。另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。因为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n＋1层的近似值时要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。前面各层若有舍入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大，以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。只有在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差分方程的精确解。关于差分格式的构造一般有以下3种方法。最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。另一方法叫积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。此外还可以用待定系数法构造一些精度较高的差分格式。有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛

FLAC3D基础知识介绍解析

FLAC 3D基础知识介绍一、概述 FLAC（Fast Lagrangian Analysis of Continua）由美国Itasca公司开发的。目前，FLAC有二维和三维计算程序两个版本，二维计算程序V3.0以前的为DOS版本，V2.5版本仅仅能够使用计算机的基本内存64K），所以，程序求解的最大结点数仅限于2000个以内。1995年，FLAC2D已升级为V3.3的版本，其程序能够使用护展内存。因此，大大发护展了计算规模。FLAC3D是一个三维有限差分程序，目前已发展到V3.0版本。 FLAC3D的输入和一般的数值分析程序不同，它可以用交互的方式，从键盘输入各种命令，也可以写成命令（集）文件，类似于批处理，由文件来驱动。因此，采用FLAC程序进行计算，必须了解各种命令关键词的功能，然后，按照计算顺序，将命令按先后，依次排列，形成可以完成一定计算任务的命令文件。 FLAC3D是二维的有限差分程序FLAC2D的护展，能够进行土质、岩石和其它材料的三维结构受力特性模拟和塑性流动分析。调整三维网格中的多面体单元来拟合实际的结构。单元材料可采用线性或非线性本构模型，在外力作用下，当材料发生屈服流动后，网格能够相应发生变形和移动（大变形模式）。FLAC3D采用的显式拉格朗日算法和混合-离散分区技术，能够非常准确的模拟材料的塑性破坏和流动。由于无须形成刚度矩阵，因此，基于较小内存空间就能够求解大范围

的三维问题。三维快速拉格朗日法是一种基于三维显式有限差分法的数值分析方法，它可以模拟岩土或其他材料的三维力学行为。三维快速拉格朗日分析将计算区域划分为若干四面体单元，每个单元在给定的边界条件下遵循指定的线性或非线性本构关系，如果单元应力使得材料屈服或产生塑性流动，则单元网格可以随着材料的变形而变形，这就是所谓的拉格朗日算法，这种算法非常适合于模拟大变形问题。三维快速拉格朗日分析采用了显式有限差分格式来求解场的控制微分方程，并应用了混合单元离散模型，可以准确地模拟材料的屈服、塑性流动、软化直至大变形，尤其在材料的弹塑性分析、大变形分析以及模拟施工过程等领域有其独到的优点。 FLAC-3D(Three Dimensional Fast Lagrangian Analysis of Continua)是美国Itasca Consulting Goup lnc开发的三维快速拉格朗日分析程序，该程序能较好地模拟地质材料在达到强度极限或屈服极限时发生的破坏或塑性流动的力学行为，特别适用于分析渐进破坏和失稳以及模拟大变形。它包含10种弹塑性材料本构模型，有静力、动力、蠕变、渗流、温度五种计算模式，各种模式间可以互相藕合，可以模拟多种结构形式，如岩体、土体或其他材料实体，梁、锚元、桩、壳以及人工结构如支护、衬砌、锚索、岩栓、土工织物、摩擦桩、板桩、界面单元等，可以模拟复杂的岩土工程或力学问题。 FLAC3D采用ANSI C++语言编写的。二、FLAC3D的优点与不足

《工程电磁场》复习题知识讲解

《工程电磁场》复习题

《工程电磁场》复习题一．问答题 1．什么是静电场?写出其基本方程并由此总结静电场的特点。由静止电荷在其周围产生的电场。F=q1*q2/4pi*R*R*e0 静电场不随时间变化2. 什么是恒定电场?写出其基本方程并由此总结静电场的特点。恒定电流产生的电场。 3. 什么是恒定磁场?写出其基本方程并由此总结静电场的特点。磁场强度和方向保持不变的磁场。 4. 如果区域中某点的电场强度为零，能否说明该点的电位也为零？为什么？电场强度E是一个随空间点位置不同而变化的矢量函数，仅与该点的电场有关。a,b为两个电荷相等的正反电荷，在其中心点处电位为零，但场强不为零。 5. 如果区域中某点的电位为零，能否说明该点的电场强度也为零？举例说明？不能。a,b为两个相等正电荷，在其中心点处电场强度为零，但电位不为零。6．静电场的电力线会闭合的吗？恒定电场的电力线会闭合的吗？为什么？静电场的电力线不会闭合，起于正电荷止于负电荷。在变化的磁场产生的有旋电场中，电力线环形闭合，围绕着变化磁场。 7. 写出两种不同媒质分界面上恒定电场与恒定磁场的边界衔接条件。恒定电场的边界衔接条件J*dS=0 E*dl=0 恒定磁场的边界衔接条件B*dS=0 H*dl=I 8. 什么是矢量磁位A? 什么是磁感应强度B? B=0 B=*A(*A)=0, 矢量磁位A是一个辅助性矢量。磁感应强度B是描述磁场强弱和方向的基本物理量

9. 什么是磁导率? 什么是介电常数? 表示磁介质磁性的物理量。介质在外加电场时会产生感应电荷而削弱电场，原外加电场（真空中）与最终介质中电场比值即为介电常数。 10. 导电媒质中恒定电场与静电场之间具有什么相似关系？二．填空题 1.静止电荷产生的电场，称之为_静电场__________场。它的特点是有散无旋场，不随时间变化。 2.高斯定律说明静电场是一个有散场。 3.安培环路定律说明磁场是一个有旋场。 4.电流密度是一个矢量，它的方向与导体中某点的正电荷的运动方向相同。 5.在两种不同导电媒质的分界面上，磁感应强度的法向分量越过分界面时连续，电场强度的切向分量连续。 6.磁通连续性原理说明磁场是一个无散场。 7.安培环路定律则说明磁场是一个有旋场。 6. 矢量磁位A的旋度为，它的散度等于。 7. 矢量磁位A满足的方程是。 8．恒定电场是一种无散和无旋的场。 9．在恒定电流的周围，同时存在着恒定电场和恒定磁场。 10．两个点电荷之间的作用力大小与两点电荷电量之积成正比关系。三. 判断题 1. 静电场是一种有（散度）源和无（旋度）源的场（对）

水工建筑物知识点整理

名词解释： aij：J号单位荷载对i点的径向线变位。安全储备：(R-S) ＞0 其中：R-结构抗力；S-作用效应。不平衡剪力：脱离体两侧的剪力的差值。侧槽式溢洪道：侧槽式溢洪道是岸边溢洪道的一种型式，溢流堰设在泄槽一侧，沿等高线布置，水流从溢流堰泄入与轴线大致平行的侧槽后，流向作90°转弯，再经泄槽或隧洞流入下游。弹性抗力：当衬砌承受荷载向围岩方向变形时将受到围岩的抵抗，把这个抵抗力称为弹性抗力。弹性抗力：当衬砌受到某些主动力的作用而向围岩方向变位时，会受到围岩的限制而产生反作用力。是一种被动力，能协助衬砌分担外荷载，是有利的。低水头水工建筑物：一般指水头不超过30m的水工建筑物，主要有水闸、低坝、橡胶坝、船闸等，多数建在软基上，也有建在岩基上的。地下轮廓线：水闸闸基不透水的铺盖，板桩及底板等与地基的接触线，即闸基渗流的第一根流线，称为水闸的地下轮廊线。反滤层：反滤层一般由1～3层级配均匀，耐风化的砂、砾、卵石或碎石构成，每层粒径随渗流方向而增大。反滤的作用是滤土排水，防止土工建筑物在渗流逸出处遭受管涌、流土等渗透变形的破坏以及不同土层界面处的接触冲刷。防渗长度：把不透水的铺盖、板桩和底板与地基的接触线，是闸基渗流的第一根流线，称为地下轮廓线，其长度称为防渗长度。拱冠梁：贯穿各层拱圈顶点的悬臂梁。拱效应：在心墙坝中，非粘性土坝壳沉降速度快，较早达到稳定，而粘土心墙由于固结速度慢，还在继续沉降，坝壳通过与心墙接触面上的摩擦力作用阻止心墙沉降，这就是坝壳对心墙的拱效应。拱效应使心墙中的铅直应力减小，甚至由压变拉，从而使心墙产生水平裂缝。固结灌浆：采用浅孔低压灌注水泥浆对坝基加固处理的办法。管涌：坝体和坝基土体中部分颗粒被渗流水带走的现象，是土坝渗流变形的一种形式。海漫：是水闸紧接护坦之后，还要继续采取的防冲加固措施，其作用是进一步消减水流的剩余能量，保护护坦和减小对其下游河床的冲刷。回填灌浆：是为了充填围岩与衬砌之间的空隙，使之紧密结合，共同工作，改善传力条件和减少渗漏。回填灌浆的范围一般在顶拱中心角90～120°以内。基底压力：作用在闸室上的各种荷载，通过底板传给地基，在地基表面产生的压力节制闸：横跨河流或渠道修建以控制闸前水位与过闸流量的水闸。浸润线：渗流在土坝坝体内的自由水面与垂直坝轴线剖面的交线。可靠度：结构在规定的时间内，在规定的条件下完成预定功能的概率。空化：水流在曲面上行进，由于离心力的作用，或水流受不平整表面的影响，在贴近边界处产生负压，当水体中的压强小至饱和蒸汽压强时，便产生空化。空蚀：当空化水流运动到压力较高处，由于汽泡溃灭，伴随着声响和巨大的冲击作用，当这种作用力超过结构表面材料颗料的内聚力时，便产生剥离状的破坏，这种破坏现象称为空蚀。宽缝重力坝：为了充分利用混凝土的抗压强度，将实体重力坝横缝的中下部拓宽成具有空腔的重力坝。流土：在渗流作用下，粘性土及均匀无粘性土被掀起浮动的现象。流土常见于渗流从坝下游逸出处。平压管：隧洞构造中，为减小检修门的启门力而设置在隧洞壁内的绕过检修门槽的通水管道。渗透变形：土石坝及地基在渗流过程中，由于物理和化学作用导致土体颗粒流失，造成土壤局部破坏的现象。输水建筑物：为灌溉发电和供水的需要，从上游向下游输水用的建筑物，如引水隧洞、涵洞、渠道、渡槽等。双曲拱坝：不仅在水平截面呈弓形，而且在铅直截面也呈弓形的拱坝。水工建筑物：为满足防洪、发电、灌溉、供水等方面的效益需要在河流适宜河段修建的用来控制和支配水流的不同类型建筑物。水工隧洞：在地基内开挖而成，四周被围岩包围起来的水工建筑物。水利工程：指对自然界的地表水和地下水进行控制和调配，以达到兴利除害的目的而修建的工程。水利枢纽：由几个作用不同的水工建筑物所组成的综合体称为水利枢纽。水闸：是调节水位、控制流量的低水头水工建筑物，主要依靠闸门控制水流，具有挡水和泄（引）水的双重功能，在防洪、治涝、灌溉、供水、航运、发电等方面应用十分广泛。水闸：是一种利用闸门挡水和泄水的低水头水工建筑物，多建于河道、渠系及水库、湖泊岸边。一般由闸室、上游连接段和下游连接段三部分组成。通气孔：当隧洞工作闸门布置在进口，提闸泄水时，门后的空气被水带走，形成负压，需在工作闸门后设通气孔补气。（当平压管在向两道闸门间充水时，需在检修门后设通气孔排气。围岩压力：也称山岩压力，是隧洞开挖后因围岩变形或塌落作用在支护或衬砌上的压力。帷幕灌浆：目的是降低坝底渗透压力，防止坝基内产生机械或化学管涌，减少坝基渗透流量，防渗帷幕布置在靠近上游坝面坝轴线附近，灌浆孔一般设1~2排。温度荷载：坝体温度的改变值。泄水建筑物：用以宣泄设计确定的库容所不能容纳的洪水或为人防、检修而放空水库，以保证坝和其他建筑物的安全的水工建筑物，如溢流坝、坝身泄水孔、溢洪道、泄水隧洞等。扬压力：重力坝在下游水深作用下产生浮托力，在上下游水位差作用下，产生渗透水压力，渗透水压力及浮托力之和称为扬压力。

有限差分法

电磁场与电磁波项目训练报告求解金属槽的电位分布班级：通信13-4 姓名：学号：指导教师：徐维成绩：电子与信息工程学院信息与通信工程系

注册暖通专业基础知识点整理

工程热力学 ◆热力系统内部处于热平衡和力平衡，可以用确定的参数值来描述。平衡态是指在没有外界影响(重力场除外)的条件下，系统的宏观性质不随时间变化的状态，系统内部及系统与外界之间不存在各种不平衡势差。 ◆常用的状态参数有绝对压力(p),温度(T),比容(比体积v),内能(U),焓(H)和熵(S)。 ◆热循环效率为净功与吸收热量之比，又等于循环过程的净热量与吸收的热量之比。在T-S图上,包围的面积表示循环过程的净热量,循环下面的面积,表示循环过程中的放热量,两者面积之和表示循环过程的吸热量。 ◆准静态过程：在系统与外界的压力差、温度差等势差无限小的条件下，系统变化足够缓慢，系统经历一系列无限接近于平衡状态的过程。 ◆可逆过程是指系统完成某一热力过程后，再沿原来路径逆向进行时，能使系统和外界都返回原来状态而不留下任何变化。可逆过程的实现条件为：准静态过程且过程中无任何耗散效应。 ◆热力学第一定律Q=W+U 它适用于一切工质和一切热力过程。 ◆容积功分为膨胀功和压缩功。压气机耗功可用技术功表示，任何类型的压缩过程压气机所消耗功的计算均可表示为Wt=q-Δh，对于可逆过程有Wt=-积分号Vdp ◆迈耶公式：①Cp-Cv=R/M②Cp/Cv=γ(比热比/质量热容比) ①单原子气体的 Cv:3R/2 Cp:5R/2γ=1.67 ②双原子气体的Cv:5R/2 Cp:7R/2 γ=1.40 ③多原子气体的Cv:7R/2 Cp:9R/2 γ=1.29 R 表示1mol的某物质，温度升高1K，所需要的热量为8.31J，空气的气体常数取 Rg=0.287KJ/(kg*K) 理想气体可逆绝热过程的指数称为绝热指数，用K表示，所以理想气体比热比等于绝热指数。 ◆储存于系统内部的能量称为内能，它与系统内工质的内部粒子的微观运动和粒子的空间位置有关，是分子的热运动能、分子相互势能和原子核内部原子能等能量的总和。 ◆认为实际气体与理想气体的差别在于压缩性不同。在给定状态(P,T)下，实际气体的质量何种V和理想气体的质量体积Vid的比值称为压缩因子：Z=V/Vid。压缩因子是温度与压力的函数：Z=f(P,T)。引入压缩因子修正理想气体状态方程式后的实际气体状态方程式：PV=zRT/M。 ◆多变过程PV^n=定值多变指数：定容过程：n=±∞，Δs=Cvln(T2/T1)。定压过程：n=0，Δs=Cpln(T2/T1)。定温过程：n=1，Δs=ln(P1/P2)。定熵过程：n=κ，Δs=0。多变过程：Δs =CplnV2/V1+CvlnP2/P1 =CplnT2/T1-RlnP2/P1 多变指数： n=[ln(p2/p1)]/[ln(v1/v2)]。Δh= Cp(T2-T1) ◆压缩过程：同样的初终状态，等温压缩耗功最少，等熵压缩耗功最多。压缩比：P2/P1。在压缩机多级压缩中间冷却中，实现耗工最小的最佳压比配置条件是各级压比相等：升压比π=(Pn/P1)^z z为级数。 ◆卡诺循环：由两个可逆的等温过程和两

有限差分法解偏微分方程

有限差分法解偏微分方程综述绪论有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor 级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。有限差分法求解偏微分方程在采用数值计算方法求解偏微分方程时，若将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。有限差分法求解偏微分方程的步骤如下： 1、区域离散化，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格； 2、近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数； 3、逼近求解。换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程有限差分法的应用抛物型方程的差分方法 1. 简单差分法

分子动力学基本知识

第六章分子动力学方法 6.1引言对于一个多粒子体系的实验观测物理量的数值可以由总的平均得到。但是由于实验体系又非常大，我们不可能计算求得所有涉及到的态的物理量数值的总平均。按照产生位形变化的方法，我们有两类方法对有限的一系列态的物理量做统计平均：第一类是随机模拟方法。它是实现Gibbs的统计力学途径。在此方法中，体系位形的转变是通过马尔科夫(Markov)过程，由随机性的演化引起的。这里的马尔科夫过程相当于是内禀动力学在概率方面的对应物。该方法可以被用到没有任何内禀动力学模型体系的模拟上。随机模拟方法计算的程序简单，占内存少，但是该方法难于处理非平衡态的问题。

另一类为确定性模拟方法，即统计物理中的所谓分子动力学方法（Molecular Dynamics Method）。这种方法广泛地用于研究经典的多粒子体系的研究中。该方法是按该体系内部的内禀动力学规律来计算并确定位形的转变。它首先需要建立一组分子的运动方程，并通过直接对系统中的一个个分子运动方程进行数值求解，得到每个时刻各个分子的坐标与动量，即在相空间的运动轨迹，再利用统计计算方法得到多体系统的静态和动态特性, 从而得到系统的宏观性质。因此，分子动力学模拟方法可以看作是体系在一段时间内的发展过程的模拟。在这样的处理过程中我们可以看出：分子动力学方法中不存在任何随机因素。系统的动力学机制决定运动方程的形式：在分子动力学方法处理过程中，方程组的建立是通过对物理体系的微观数学描述给出的。在这个微观的物理体系中，每个分子都各自服从经典的牛顿力学。每个分子运动的内禀动力学是用理论力学上的哈密顿量或者拉格朗日量来描述，也可以直接用牛顿运动方程来描述。这种方法可以处理与时间有关的过程，因而可以处理非平衡态问题。但是使用该方法的程序较复杂，计算量大，占内存也多。