【新课标】2010高二下学期期末考试(数学文)

高二数学期末测试文科一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）.1．在回归直线方程表示回归系数中b bx a y ,ˆ+= （ ） A ．当0x =时，y 的平均值B ．当x 变动一个单位时，y 的实际变动量C ．当y 变动一个单位时，x 的平均变动量D ．当x 变动一个单位时，y 的平均变动量2．下面几种推理是类比推理的是 （ ） A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果A ∠和B ∠是两条平行直线的同旁内角，则 180=∠+∠B AB ．由平面向量的运算性质，推测空间向量的运算性质C ．某校高二级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员D ．一切偶数都能被2整除，1002是偶数，所以1002能被2整除3．若,1a >则1a 1a -+的最小值是（ ）A ．2B ．aC ．3D ．1a a 2-4．在对分类变量X, Y 进行独立性检验时,算得2k =7有以下四种判断(1) 有99﹪的把握认为X 与Y 有关;(2)有99﹪的把握认为X 与Y 无关;(3)在假设H 0:X 与Y 无关的前提下有99﹪的把握认为X 与Y 有关;(4)在假设H 1: X 与Y 有关的前提下有99﹪的把握认为X 与Y 无关.以上4个判断正确的是 （ ） A ． (1)、(2) B ． (1)、(3) C ． (2)、(4) D ． (3)、(4) 5．不等式0)1)(1(>-+x x 的解集是 （ ）A ．{}10<≤x xB ．{}1,0-≠<x x xC ．{}11<<-x xD ．{}1,1-≠<x x x6．已知c b a <<，且0=++c b a ，则ac b 42-的值 （ ） A ．大于零 B ．小于零 C ．不大于零 D ．不小于零7．把一块边长是a 的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子，盒子的容积最大时，切去的正方形边长是 （ ）A ．3aB ．4a C ．5aD ．6a 8．的最小值求且已知y x x a Rb a y x +=+∈+1,y b,,,,（ ）A ．b a +B ．ba 11+ C ．b a +D ． 2)(b a +9．如图，第n 个图形是由正n+2边形“扩展”而来，(n=1、2、3、…)则在第n 个图形中共有（ ）个顶点.（ ）A ．(n+1)(n+2)B ． (n+2)(n+3)C ．2nD ．n 10．在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是 （ ） A ．总偏差平方和 B ．残差平方和 C ．回归平方和 D ．相关指数R2 11．设()f n 为正整数n （十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如()22212312314f =++=.记1()()f n f n =，1()(())k k f n f f n +=，1,2,3...k =， 则2006(2006)f =（ ）A ．20B ．4C ．42D ．145 12．某大学的信息中心A 与大学各部门、各院系B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I 之间拟建立信息联网工程，实际测算 的费用如图所示（单位：万元）.请观察图形，可以不 建部分网线，而使得中心与各部门、院系彼此都能连通（直接或中转），则最少的建网费用（万元）是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．16 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题4分，共1613．x 、y ∈R ，ii y i x 315211-=---，则xy=___ ___.14．不等式42x 1x >++-的解集是______________.15．在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为16．一种特色水果上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数. ① x f(x)=p q ⋅；②2 f(x)=px +qx+1；③ 2f(x)=x(x-q)+p ；（以上三式中p,q 均为常数，且q>1，x=0表示4月1日，x=1表示5月1日，依次类推）. （1）为准确研究其价格走势，应选_______种价格模拟函数.（2）若f(0)=4，f (2)=6，预测该果品在_________月份内价格下跌. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）.17．设函数32()33f x x ax bx =-+的图像与直线1210x y +-=相切于点(1,11)-。

（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性。

18．（12分）(1)设321,,a a a 均为正数，且m a a a =++321，求证ma a a 9111321≥++； （2）已知a,b 都是正数，x,y ∈R ，且a+b=1，求证：ax 2+by 2≥(ax+by)2.19．（12分）某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年捕鱼收益50万元. （1）问第几年开始获利；（2）若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船.问哪种方案最合算.20．（12分）12n 12n 2221212 ,x ,x R ,x x 1,x 1:.1x 111n n x x x x x x n +∈+++=+++≥++++设且求证21．（12分）以下资料是一位销售经理收集来的每年销售额和销售经验年数的关系：（1）依据这些数据画出散点图并作直线^y ＝78＋4.2x ，计算∑=101i （y i －^y i ）2；（2）依据这些数据由最小二乘法求线性回归方程，并据此计算∑=-1012^)(i i iy y；（3）比较（1）和（2）中的残差平方和∑=-1012^)(i i iy y的大小.22．（14分）已知函数)(x f 是在),0(+∞上每一点均可导的函数，若)()(/x f x xf >在0>x 时恒成立.（1）求证：函数xx f x g )()(=在),0(+∞上是增函数； （2）求证：当0,021>>x x 时，有)()(2121x x f x x f +>+；（3）请将（2）问推广到一般情况，并用数学归纳法证明你的结论.参考答案一、1．D ；2．B ；3．C ；4．B ；5．D ；6．A ；7．D ；8．D ；9．D ；10．B ；11．D ；12．B ； 二、13．5；14．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<27x 21x x 或；15．2；16．5、6月； 三、17．解：（Ⅰ）求导得'2()363f x x ax b =-+。

由于 ()f x 的图像与直线1210x y +-=相切于点(1,11)-，所以'(1)11,(1)12f f =-=-，即：1-3a+3b = -11 解得: 1,3a b ==-． 3-6a+3b=-12（Ⅱ）由1,3a b ==-得：'22()3633(23)3(1)(3)f x x ax b x x x x =-+=--=+- 令f ′（x ）＞0，解得 x ＜-1或x ＞3；又令f ′（x ）< 0，解得 -1＜x ＜3.故当x ∈（-∞, -1）时，f (x )是增函数，当 x ∈（3,+∞）时，f(x)也是增函数， 但当x ∈（-1 ，3）时，f(x)是减函数.；18．（1）因为321,,a a a 均为正数，所以，321111a a a ++)111)((1321321a a a a a a m ++++= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++=)()()(31133123321221a a a a a a a a a a a a m m m 9)2223(1=+++≥；当且仅当3321ma a a ===时，等号成立. （2）ax 2+by 2=(ax 2+by 2)(a+b) =a 2x 2+b 2y 2+ab(x 2+y 2)≥a 2x 2+b 2y 2+2abxy=(ax+by)2.19．解：由题意知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯收入与年数的关系为f(n),则f(n)=50n-[12+16+……+(8+4n)]-98=40n-2n 2-98 （1）由f(n)>0得 n 2-20n+49<0 所以5110n 5110+<<-；又因为n N ∈,所以n=3,4,5,……17.即从第三年开始获利. （2）①年平均收入为n )n (f =40-21214240)n49(n =⨯-≤+.当且仅当n=7时，年平均收益最大.此时出售渔船总获利为11026712=+⨯（万元）；②由f(n)=40n-2n 2-98=-2（n-10）2+102可知当n=10时总收益最大.此时出售渔船总获利为102+8=110（万元）.但7<10.所以第一种方案更合算.20．证明：1)()11111()11()11)111()1(221222211122212122222121=+++=+⋅++++⋅+++⋅+≥++++++⋅++++++=++++++⋅+n nnn nn x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n n n 2n1x 1 x 1x x (1所以11112222+≥++++++n x x x x n n 121x 1x .21．解：（1）散点图与直线^y ＝78＋4.2x 的图形如下图，对x ＝1，3，…，13，有^y i ＝82.2，90.6，94.8，94.8，103.2，111.6，120，120，124.2，132.6，∑=101i （y i －^y i ）2＝179.28．（2）x ＝101∑=101i x i ＝7，l xx ＝∑=101i （x i －x ）2＝142，y ＝108， l xy ＝∑=101i （x i －x ）（y i －y ）＝568，∴^β1＝142568=xxxyl l ＝4，^β0＝ y －^βx 1＝108－7×4＝80，故^y ＝80＋4x ．^y i ＝84，92，96，96，104，112，120，120，124，132，∑=101i （y i －^y i ）2＝170．（3）比较可知，用最小二乘法求出的∑=101i （y i －^y i ）2较小．22．证明：（1）由x x f x g )()(=得,)()()(2//xx f x xf x g -=因为)()(/x f x xf >， 所以0)(/>x g 在0>x 时恒成立，所以函数xx f x g )()(=在),0(+∞上是增函数. （2）由（1）知函数xx f x g )()(=在),0(+∞上是增函数，所以当0,021>>x x 时， 有222121112121)()(,)()(x x f x x x x f x x f x x x x f >++>++成立， 从而)()(),()(212122212111x x f x x x x f x x f x x x x f ++<++<两式相加得)()()(2121x f x f x x f +>+ （3）推广到一般情况为：若)3,2,1(0n i x i ⋅⋅⋅=>，则)()()()(2121n n x f x f x f x x x f +⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++，2,≥∈n N n .以下用数学归纳法证明：（1）当2=n 时,有（2）已证成立，（2）假设当)2(≥=k k n 时成立，即)()()()(2121k k x f x f x f x x x f +⋅⋅⋅++>+⋅⋅⋅++那么当1+=k n 时，)()()()()()()(121121121+++++⋅⋅⋅++>++⋅⋅⋅++>++⋅⋅⋅++k k k k k k x f x f x f x f x f x x x f x x x x f 成立，即当1+=k n 时也成立.有（1）（2）可知不等式对一切2,≥∈n N n 时都成立。