25绝对值与二次根式
二次根式知识点详解与精点训练
次根式知识点一：二次根式的概念形如■ J （口工〔）的式子叫做二次根式。
在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须 注意：因为负数没有平方根，所以 “「一】是、・J 为二次根式的前提条件，如 ， 1，■*' 1■■ ■''等是二次根式，而 J ， 等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ± 0时，■二 有意义，是二次根式。
所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件： 因负数没有算术平方根， 所以当a < 0时，■丿没有意义。
知识点三：二次根式（二二】）的非负性•“（：工〕）表示a 的算术平方根，也就是说， （山工'■）是一个非负数，即■■』 三0 ( * —)。
…三0「）这个性质和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多, 如若 G ••八 ,则 a=0,b=0 ;若' I ' _ ，则 a=0,b=0 ;若,则a=0,b=0 。
1、不同点”与表示的意义是不同的，，'表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而：表示一个实数a 的平方的算术平方根；在、… 中二--，而弋‘中a 可以 是正实数，0,负实数。
因而它的运算的结果是有差别的,if知识点四：二次根式（■'）的性质(■—;)知识点五：二次根式的性质 知识点六：与「：一 即：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
-a （YOj= |of| =的异同点2、相同点：都是非负数，即 — L 。
当被开方数都是非负数，即L . - L 时,知识点七：二次根式的运算(1) 因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的 算术平方根代替，从而移到根号外面； 如果被开方数是代数式和的形式，那么先分解因式，变形为积的形 式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2) 二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式. (3) 二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商) 仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式.Vab = 4a •b ( a >0 b >0 ；(4) 有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及 多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.本节中还要记住一些常见根式的约等数，常见的有.2 1.414; .3 1.732; ,5 2.236 ; 、7 2.646【主要题型】 二次根式有意义的条件:例：求下列各式有意义的所有 x 的取值范围。
二次根式的计算公式
二次根式的计算公式在咱们的数学世界里，二次根式可是个有点特别的存在。
就像一个调皮但又藏着规律的小家伙，总是让人又爱又恨。
先来说说二次根式的基本计算公式吧。
比如说，根号下 a 的平方，那就等于绝对值 a 。
这就好比你去买糖果，袋子里糖果的数量不管是正数还是负数，平方之后再开方，得到的结果都是它的绝对值。
还有啊，根号下ab 就等于根号下a 乘以根号下b ，但这里要注意，a 和 b 都得是非负数才行。
这就好像是把一个大蛋糕分成几小块，每小块的大小加起来就是原来大蛋糕的大小。
咱们来举个例子感受感受。
假设一个正方形的面积是 16，那它的边长是多少呢？这时候就用到二次根式啦，因为正方形面积等于边长的平方，所以边长就是根号下 16 ，也就是 4 。
记得我上中学那会，有一次数学考试，其中有一道题就是关于二次根式的计算。
题目是：计算根号下 27 除以根号下 3 。
我当时一看，心里一乐，这不是刚学的知识嘛。
我就先把根号下 27 化成 3 倍的根号下3 ，然后一除，答案就是 3 。
那次考试因为这道题做对了，还让我的成绩提高了不少呢。
再说说二次根式的加减运算。
只有同类二次根式才能相加减，就像只有同样类型的水果才能放在一起算数量一样。
比如说，2 倍的根号 2 加上 3 倍的根号 2 ，那结果就是 5 倍的根号 2 。
乘法运算也有它的规律。
根号下 a 乘以根号下 b 等于根号下 ab ，这个公式用起来可方便了。
比如说，计算根号下 6 乘以根号下 8 ，那就等于根号下 48 ，再化简就是 4 倍的根号 3 。
除法运算呢，根号下 a 除以根号下 b 就等于根号下 a 除以 b 。
比如说，计算根号下 18 除以根号下 2 ，结果就是 3 倍的根号 2 。
在实际应用中，二次根式的计算公式也大有用处。
比如建筑工人要计算一个直角三角形的斜边长度，已知两条直角边分别是 3 和 4 ，那斜边长度就是根号下 3 的平方加上 4 的平方，也就是 5 。
八年级下册数学二次根式
八年级下册数学二次根式八年级下册数学课程中，二次根式是一个重要的知识点。
在这里，我们将为大家详细介绍二次根式的相关内容，包括定义、性质、简化、运算和应用等方面。
一、定义二次根式是指形如$\sqrt{a}$的式子，其中$a$是一个非负实数。
其中$\sqrt{a}$是该非负实数的二次根，也就是说，$\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a$。
二、性质1. 二次根式的值为非负实数。
2. 二次根式与绝对值的运算具有相同的性质，即$|\sqrt{a}|=\sqrt{a}$。
3. 如果$a>b>0$，则$\sqrt{a}>\sqrt{b}$。
4. 如果$a>b\geq0$，则$\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$。
三、简化1. 若$a$为完全平方数，则$\sqrt{a}$可被化简为一个整数。
2. 若$a$为非完全平方数，则$\sqrt{a}$需保留在根号内。
3. 要注意化简后的二次根式是否符合原式。
四、运算1. 加减法：$\sqrt{a}\pm\sqrt{b}=\sqrt{a\pm2\sqrt{ab}+b}$。
2. 乘法：$\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$。
3. 除法：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（其中$b$不能为零）。
五、应用二次根式在各个领域中均有广泛应用，例如：1. 数学中的勾股定理、三角函数等概念均涉及二次根式。
2. 物理中常见的速度、加速度、力等量的平方根也是二次根式。
3. 工程领域中还涉及到诸如距离、面积、体积等二次根式的运用。
以上就是关于八年级下册数学二次根式的详细介绍。
希望本文能帮助大家更好地理解这一知识点，提高数学学习成绩。
二次根式 基础知识详解+基本典型例题解析
【基本典型例题】(2) 类型一、二次根式的乘除
1. 计算：（1）（2014 秋•闵行区校级期中） ×（﹣2 ）÷
．
（2）（2014 春·高安市期中） a 8a 2 a 2 1 2a 2a a
【答案与解析】 解：（1） ×（﹣2 ）÷
举一反三： 【变式】下列式子中二次根式的个数有（ ）.
（1）
1 ；（2） 3
3 ；（3）
x2 1 ；（4）3 8 ；（5）
( 1)2 ；（6） 1 x（ x 1 ） 3
A．2 B.3 C.4 D.5 【答案】B.
2. （2016•贵港）式子
在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）
= ×（﹣2 ）×
=﹣
=﹣
=﹣ ．
(2)原式= a 8a2 a2 1 2a 2a a
2 2a2 a2 2 2a 2a 2a a
2
2a2
2a a2
2a a
4 2.
【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简.
举一反三：
【变式】 2
a2 b2 6x2
即原式= a b c a c b b c a = a b c
【总结升华】重点考查二次根式的性质：
的同时，复习了
三角形三边的性质.
二、二次根式的乘除基础知识讲解+基本典型例题解析
【学习目标】 1、 掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的 乘除运算. 2、 了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.
．
二次根式的性质及其应用
二次根式的性质及其应用资料编号:202208180656一、二次根式的性质二次根式具有三条非常重要的性质:双重非负性、转化性和自身性.（1）双重非负性对于二次根式,：①≥0; ②≥0.a a a （2）转化性.可以理解为:二次根号下面的平方可以转化为底数的绝对值.a a =2（3）自身性（≥0）.()a a =2a 一、二次根式性质的应用双重非负性的应用 二次根式的双重非负性主要用于求参数的值或取值范围.目前,我们在初中阶段先后共学习了三类非负数:绝对值、偶次幂和二次根式（≥a a 0）,它们都具有非负性.如果几个非负数的和等于0,那么这几个非负数分别等于0. 已知二次根式求解参数的值或取值范围时,根据被开方数的非负性列出不等式进行求解.这里要求同学们要熟练掌握不等式或不等式组的解法.我们会遇到一些化简问题,问题中含有二次根式,而化简问题往往需要用到参数的取值范围,这个范围有时就来自于二次根式中被开方数的非负性,学生应充分挖掘这个条件. 例1. 若代数式在实数范围内有意义,则的取值范围是__________.10+x x x 分析 该代数式中含有二次根式,其被开方数为非负数,又考虑到二次根式处于分母的位置,故其被开方数只能大于零,据此列出关于的一个不等式.x 本题中还出现了零指数幂,根据其底数不等于列出关于的另一个不等式.两个不等式x 组成的不等式组的解集即为的取值范围.x 解:由题意可得:,解之得:且 ⎩⎨⎧≠>+001x x 1->x 0≠x∴的取值范围是且.x 1->x 0≠x 例2. 已知都是实数,且满足,则_________.b a ,21221--+-=a a b =b a 分析 根据二次根式被开方数的非负性可以说明这样一个事实:如果二次根式与B A -都有意义,那么.A B -B A =解:由题意可知:,解之得:. ⎩⎨⎧≥-≥-012021a a 21=a ∴2-=b ∴.4212=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-b a 例3. 已知均为实数,且,求的值.c b a ,,()012112=++++-c b a c b a ,,分析 本题考查非负数的性质,二次根式是我们在初中阶段学习的第三类非负数.此类a 问题要注意过程的书写规范.解: ∵ ()012112=++++-c b a ≥0,≥0,≥0 1-a 1+b ()212+c ∴012,01,01=+=+=-c b a ∴.12,1,1-=-==c b a 例4. 已知实数满足,求的值.a a a a =-+-2023202222022-a 分析 本题难度较高,学生不知道该从哪里下手,实际上,根据二次根式的非负性,可以求出的取值范围,由此范围去掉绝对值,并对等式条件进行整理,可以发现解决问题的途径. a 解:由题意可得:≥02023-a 解之得:≥2023a ∴a a a =-+-20232022∴20222023=-a ∴()2220222023=-a∴220222023=-a ∴.202320222=-a 例5. 关于代数式的说法正确的是【 】43+-x （A ）当时有最大值 （B ）当时有最小值0=x 0=x （C ）当时有最大值（D ）当时有最小值 4-=x 4-=x 分析 本题考查二次根式的非负性,可利用不等分析法解决问题.解法一: 显然,二次根式有最小值0,此时,且有最大值,最大值为4+x 4-=x 43+-x 3.∴当时,该代数式有最大值3,选择答案【 C 】.4-=x 解法二: ∵≥0,当时取等号 4+x 4-=x ∴≤0 4+-x ∴≤343+-x ∴当时,该代数式有最大值3.4-=x 转化性的应用二次根式的转化性常用于二次根式的化简.二次根式的转化性告诉我们,二次根号下面的平方可以转化为底数的绝对值,具体如下:. ()()⎩⎨⎧≤-≥==002a a a a a a 在对二次根式进行化简时,先转化为,再根据的符号去掉绝对值,以达到最终2a a a 化简二次根式的目的. 例6. 实数在数轴上的对应点A 、B 的位置如图,化简.b a ,()22b a b b a ---+解:由数轴可知:,且. a b <<00<+b a ∴()22b a b b a ---+()b a b b a ---+-=()()ba ba b b a b a b b a +-=+-+--=------=2例7. 已知,则__________. 01<<-a =-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-414122a a a a 解: ∵01<<-a ∴ a aa a <<+1,01∴ 414122-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a aaa a a a a a a a a a a a a a a 1111111122-+--=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=. a2-=点评 两个重要的结论:①当时,;②当时,. 01<<-a 01<<a a 10<<a a a 10<<例8. 已知为任意实数,化简.x 961222++++-x x x x 分析 在利用转化性对二次根式进行化简时,需要用到参数的取值范围,必要时需对参数的取值范围进行分类讨论.解:961222++++-x x x x ()()()31313122--+-=++-=++-=x x x x x x 分为三种情况:①当≤时x 3-原式;()2231--=--+-=x x x②当时13<<-x 原式;()431=--+-=x x ③当≥1时x 原式.()2231+=--+-=x x x 自身性的应用二次根式的自身性常用于二次根式的运算.例9. 计算:()()222121323-++-解:原式121318-++= 43121318=++=例10. 下列结论正确的是【 】（A ） （B ） ()662-=--()932=-（C ） （D ） ()16162±=-251625162=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--解:对于（A ）,,故（A ）正确; ()6662-=--=--对于（B ）,,故（B ）错误; ()332=-对于（C ）,,故（C ）错误;()1616162=-=-对于（D ）,,故（D ）错误. 251625162-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∴选择答案【 A 】.。
二次根式课件
式中a，b的取值范围是限制公式右边的，对于公式
左边，只要ab≥0即可.
逆用二次根式乘法法则化简的步骤：
1.将被开方数进行因数分解或因式分解，如化简 18
时，先把 18化成
2.利用
32 × 2的形式;
= ⋅ （a≥0，b≥0）和
2 =
（a≥0），将能开得尽方的因数或因式开到根号外，
2.7 二次根式
知识回顾
（1）什么叫一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平
方根或二次方根. a叫做被开方数，a的平方根是 ± .
（2）什么是一个数的算术平方根？如何表示？
若一个正数的平方等于a，则这个数就叫做a的算术平
方根，记作
， 0的算术平方根是0.
如
18 =
32 × 2 = 3 2.
拓展： = ⋅ ⋅
（a≥0，b≥0，c≥0）.
例4
化简：
（1） 16 × 81； 2
42 3 .
在本章中，如果没有
特别说明，所有的字
母都表示正数.
解：（1） 16 × 81= 16 × 81 = 4 × 9 = 36；
（2） 42 3 = 4 ∙ 2 ∙ 3 = 2
1
3−
在实数范围内有意义.
分母不能为0
解：（3）因为不论a为何值，（a+1）2 ≥0恒成立，
∴a取任意实数， （ + 1）2 在实数范围内都有意义.
当二次根式的被开方数出现完全平方公
式或能配方成完全平方公式时，其中所
含字母取任意实数，二次根式在实数范
围内都有意义.
新知探究 知识点3：二次根式的性质
二次根式的有关概念和性质
专题01二次根式的概念和性质（知识点考点串编）【思维导图】◎考点1：二次根式的值例．（2022·浙江·九年级专题练习）当0x =的值等于（ ）A ．4B ．2CD ．0【答案】B【解析】【分析】把0x =解题即可【详解】◉知识点一：二次根式的定义知识点技巧：二次根式概念：一般地，我们把形如（a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
【注意】1.二次根式，被开方数a 可以是一个具体的数，也可以是代数式。
2.二次根式是一个非负数。
3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（a ≥0）就表示a 的算术平方根。
解：把0x =2=故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的定义和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的性质进行计算是解题的关键．练习1．（2021·全国·八年级专题练习）当a 为实数时，下列各式中是二次根式的是（ ）个A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】B 【解析】【分析】0)a >的代数进行分析得出答案．【详解】共4个．故选：B ．【点睛】0)a >的代数式，正确把握定义是解题关键．练习2．（2021·河北·结果相同的是（ ）．A ．321-+B ．321+-C ．321++D ．321--【答案】A【解析】【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案．【详解】2==∵3212-+=，且选项B 、C 、D 的运算结果分别为：4、6、0【点睛】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案．练习3．（2021·河南林州·八年级期末）已知当12a <<a -的值是（ ）A ．3-B ．12a -C ．32a -D ．23a -【答案】C【解析】【分析】由题意直接根据二次根式的性质以及去绝对值的方法，进行分析运算即可.【详解】解：∵12a <<，212132a a a a a a -=---=-+-=-.故选：C.【点睛】本题考查二次根式和去绝对值，熟练掌握二次根式的性质以及去绝对值的方法是解题的关键.◎考点2：求二次根式中的参数例．（2021·n 的最小值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】【分析】=，则6n 是完全平方数，满足条件的最小正整数n 为6．【详解】解：=∴6n 是完全平方数；∴n 的最小正整数值为6．【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法则和二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件时被开方数是非负数进行解答练习1．（2020·甘肃·酒泉市第二中学八年级期中）若x 、y 为实数，且0x +=，则2019x y æöç÷èø的值( )A ．-2B ．1C ．2D ．-1【答案】D【解析】【分析】根据非负数的性质可求出x 、y 的值，然后把x 、y 的值代入所求式子计算即可．【详解】解：∵0x +=，∴x +2=0，y －2=0，∴x =﹣2，y =2，∴220190192=12x y -æöæöç÷è=-ç÷èøø．故选：D ．【点睛】本题主要考查了非负数的性质，明确实数绝对值和二次根式的非负性以及﹣1的奇次幂的性质是解题关键．练习2．（2020·江苏·丰县欢口镇欢口初级中学八年级阶段练习）如果3y ，则2x y -的平方根是（ ）A ．-7B ．1C ．7D ．±1【答案】D【解析】【分析】根据二次根式的性质求出x 、y 的值，再代入求解即可．解：由题意可得：24020x x -+¹＝，，解得：2x ＝，故3y ＝，则21x y -＝，故2x y -的平方根是：±1．故选：D ．【点睛】本题考查了关于二次根式的运算问题，掌握二次根式的性质、平方根的性质是解题的关键．练习3．（2021·全国·n 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．5【答案】D【解析】【分析】首先化简二次根式进而得出n 的最小值．【详解】=∴最小正整数n 的值是5．故选D ．【点睛】本题考查了二次根式的定义，正确化简二次根式得出是解题的关键．例．（2022·全国·九年级专题练习）在函数1y =中，自变量x 的取值范围是（ ）A ．x ＜2B ．x ≥2C ．x ＞2D ．x ≠2【答案】C 【解析】◉知识点二：二次根式有意义的条件知识点技巧：二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
二次根式及性质知识点
二次根式及性质.知识要点：（1）平方根与立方根a. 平方根的概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根。
用±a 表示。
例如：因为()±=±=±525252552，所以的平方根为。
b. 算术平方根的概念：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根。
0的算术平方根为0。
用a 表示a 的算术平方根。
例如：3的平方根为±3，其中3为3的算术平方根。
c. 立方根的概念：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根，用a 3表示。
例如：因为3272727333==，所以的立方根为。
d. 平方根的特征：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数。
②0有一个平方根，就是0本身。
③负数没有平方根。
e. 立方根的特征：①正数有一个正的立方根。
②负数有一个负的立方根。
③0的立方根为0。
④-=-a a 33。
⑤立方根等于其本身的数有三个：1，0，－1。
（2）二次根式a. 二次根式的概念：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式（二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义，并且根式a ≥0）。
b. 二次根式的基本性质： ①a a ≥≥00（） ②()a a a 20=≥（）③a a a a a a a 20000==>=-<⎧⎨⎪⎩⎪||（）（）（）④ab a b a b =⋅≥≥（，）00⑤b a b a a b =>≥（，）00c. 二次根式的乘除法 ①a b ab a b ⋅=≥≥（，）00②b a ba ab =>≥（，）00d. 最简二次根式的标准：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）。
②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。
e. 同类二次根式的识别：几个二次根式化简到不能再化简为止后，被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式。
例如：8222=与是同类二次根式，35a a 与-是同类二次根式。
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竞赛讲座25
－绝对值与二次根式
1．绝对值
例1 （1986年扬州初一竞赛题）设T=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|，其中0＜p＜15.对于满足p≤x≤15的x的来说，T的最小值是多少？
解由已知条件可得
T=（x-p）+（15-x）+（p+15-x）=30-x.
∵当p≤x≤15时，上式中在x取最大值时T最小；当x=15时，T=30-15=15，故T 的最小值是15.
例2 若两数绝对值之和等于绝对值之积，且这两数都不等于0.试证这两个数都不在-1与-之间.
证设两数为a、b，则|a|+|b|=|a||b|.
∴|b|=|a||b|-|a|=|a|（|b|-1）.
∵a b≠0，∴|a|＞0，|b|＞0.
∴|b|-1=＞0，∴|b|＞1.
同理可证|a|＞1.
∴a、b都不在-1与1之间.
例3 设a、b是实数，证明
|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.
证明当|a|-|b|≤0时，|a|-|b|≤|a+b|成立.
当|a|-|b|＞0时，由于
（|a|-|b|）2-|a+b|2
=（a2+b2-2|ab|）-（a2+b2+2ab）
=-2（|ab|-ab）≤0，
∴|a|-|b|≤|a+b|.
同理可证|a+b|≤|a|+|b|.
2．根式
在根式进行化简、求值和证明的过程中，常采用配方法、乘方法、比较系数法、设参法、公式法等等，现举例如下：
（1）配方法：将二次根号内的式子配成完全平方式，将三次根号下的式子配成完全立方式.
例4 (1981年宁波初中竞赛题)设的整数部分为x,小数部分为y,试求的值.
解
=4-=2+(2-),
故x=2,y=2-,
∴x+y+
=4-+2+=6.
例5 化简
解原式=
=|x+3|+|x-1|-|x-2|.
令x+3=0，x-1=0，x-2=0.得x=-3，x=1，x=2，这些点把数轴划分成四个部分：
当x＜-3时
原式=-（x+3）-（x-1）+（x-2）=-x-4；
当-3≤x＜1时，
原式=（x+3）-（x-1）+（x-2）=x+2；
当1≤x≤2时，
原式=（x+3）+（x-1）+（x-2）=3x；
当x＞2时，
原式=（x+3）+（x-1）-（x-2）=x+4.
说明：将根号下含字母的式子化为带绝对值的式子来讨论，是解这类问题的一般技巧.
例6 化简（a＞＞0）.
解
原式=
=
=
∵a＞＞0.
∴a2＞2b2，
∴原式=
例7 求证：
证明：∵
=
∴原式=4.
(2)乘方法:由于乘方与开方互为逆运算,顺理成章地可以用乘方的方法去根号
例8 已知求证:
(x+y+z)3=27xyz.
证明:∵
∴
两边立方
x+y+
即
再边再立方得（x+y+z）3=27xyz.
例9 已知
求证
证明设则
即
同理可设则
∴A+B=
=
=
由 A+B=a，
得
（2）比较系数法
例10 求满足条件的自然数a、x、y.
解将等式两边平方得
∵x、y、a都是自然数.
∴只能是无理数，否则与等式左边是无理数相矛盾.
∴x+y=a，xy=6.
由条件可知 x＞y且x、y是自然数.
当x=6时，y=1，得a=7.
当x=3时，y=2，得a=5.
故x=6,y=1,a=7.
或x=3,y=2,a=5.
例11 化简
分析被开方式展开后得13+2,含有三个不同的根式,且系数都是2,可看成是将平方得来的.
解设
=,
两边平方得
13+2
=x+y+z+2
比较系数,得
①②③④
由②有，代入③，得代入④，得y2=52，∴y=5（x、y、z非负），
∴=1，
∴原式=1+
（4）设参法
例12 （1986年数理化接力赛题）
设（a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn都是正数）.求证:
=
证明设
且a1=b1k,a2=b2k,…，an=bnk.
左边=
=
右边=
·
=
∴左边=右边
（5）公式法、代数变换及其他
例13 已知x=求x3+12x的值.
解由公式（a-b）3=a3-b3-3ab（a-b）可得
=8-3
=8-12x.
∴x3+12x=8.
例14 设
求x4+y4+（x+y）4.
解由条件知
∴x+y=5，xy=1.
∴原式=(x2+y2)2-2x2y2+(x+y)4
=[(x+y)2-2xy]2-2x2y2+(x+y)4
=(25-2)2-2+54
=1152.
例15 (1978年罗马尼亚竞赛题)对于a∈R，确定的所有可能的值.
解记y=. ①
先假定a≥0，这时y≥0，把①两边平方得
②
即③
再平方，整理后得
④
从而≥0.
由②知 y2＜2a2+2-2=2.
再由⑤知y2≤1，∴0≤y＜1.
反过来,对于[0,1]中的每一个y值,由⑤可以定出a，并且这时2a2+2-y2＞0，故可由⑤逆推出②和①，因而在a≥0时，的值域为（0，1）.
同样在a＜0时，的值域为（-1，0），综上的值域是（-1，1）.
练习十七
1．选择题
（1）若实数x满足方程|1-x|=1+|x|，那么等于（）.
（A）x-1（B）1-x（C）±（x-1）（D）1（E）-1
（2）方程x|x|-5|x|+6=0的最大根和最小根的积为（）.
（A）-6 （B）3 （C）-3 （D）6 （E）-18
（3）已知最简根式与是同类根式，则满足条件的a、b的值（）.
（A）不存在（B）有一组（C）有二组（D）多于二组
2．空题
（1）已知|x-8y|+（4y-1）2+则x+y+z=_________.
（2）若a＞b＞c＞0，l1=乘积中最小的一个是__________.
（3）已知0＜x＜1，化简
（4）已知则
（5）（北京市1989年高一数学竞赛题）设x是实数，且f（x）=|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|.则f（x）的最小值等于__________.
3.化简(a＞0).
4.已知ab＜0，a2+b2=a2b2，化简
5．如果x＞0，y＞0，且试求的值.
6．（第8届美国教学邀请赛试题）
求的值.
7．求适合下列各式的x、y；
（1）若x、y为有理数，且
（2）若x、y为整数，
8．已知求证a2+b2=1.
9．已知A=求证
11＜A3-B3＜12＜A3+B3＜13.
10．（1985年武汉初二数学竞赛题）已知其中a、b都是正数.
（1）当b取什么样的值时，的值恰好为b？
（2）当b取什么样的值时，的值恰好为？
练习十七
1.略
2．（1）3 （2）l （3）2x （4）a2-2 （5）6.
３．当时，ｙ＝ａ，当ｘ＞２ａ２时，ｙ＝
４．∵ａｂ＜０，∴｜ａｂ｜＝－ａｂ，若ａ＞０＞ｂ，原式＝－ａｂ；若ａ＜０＜ｂ，原式＝ａｂ．
５．原式＝２．
６．原式＝８２８．
７．（１）
（２）ｘ＝２２，ｙ＝２；ｘ＝－２２，ｙ＝－２．
８．由条件知两边平方后整理得再平方得1-2b2-2a2+b4+2a2b2+a4=0即1-2(a2+b2)+(a2+b2)2=0,[1-(a2+b2)]2=0,∴a2+b2=1.
9.∵A2+B2=6,AB=2,∴(A+B)2=1,A+B=,A-B=,∴A3-B3=(A-B)+3AB(A-B)=
８．当b≥0时，原式值为b，
当0＜b＜1时，原式值为。