AR谱分析与自适应谱线(第五章)
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光谱检测技术
兼具多道型和扫描型特点
；
CID：电荷注入式检测器； CCD 电荷耦合式检测器
Agilent 700系列
ICP-AES Inductively Coupled Plasma-Atomic Emission Spectrometer
PE8000
ICP-AES有更好的检测限 AAS有更好的检测限 相似的检测限 原子光谱不可测
等离子体溫度
ICP光源的特性
趋肤效应：高频电流在导体上传输时，由于导体的寄生 分布电感的作用，使导线的电阻从中心向表面沿半径 以指数的方式减少，因此高频电流的传导主要通过电 阻较小的表面一层，这种现象称为趋肤效应。等离子 体是电的良导体，它在高频磁场中所感应的环状涡流 也主要分布在ICP的表层。从ICP的端部用肉眼即可观 察到在白色圈环中有一亮度较暗的内核，俗称“炸面 圈”结构。这种结构提供一个电学的屏蔽筒，当试样 注入ICP的通道时不会影响它的电学参数，从而改善了 ICP的稳定性。
常用于碱金属、钙 等谱线简单的几种元素 的测定，在硅酸盐、血 浆等样品的分析中应用 较多。。
5.2.2.2 光谱仪(摄谱仪)
将原子发射出的辐射分光后观察其光谱的仪器。 按接受光谱方式分：看谱法、摄谱法、光电法； 按仪器分光系统分：棱镜摄谱仪、光栅摄谱仪；
光栅摄谱仪比棱镜摄 谱仪有更大的分辨率。
摄谱仪在钢铁工业应 用广泛。
性能指标：色散率、 分辨率、集光能力。
5.2.2.3. 等离子体发射光谱仪
概述
原子发射光谱在50年代发展缓慢； 1960年，工程热物理学家 Reed ，设计了环形放电感耦 等离子体炬，指出可用于原子发射光谱分析中的激发光源；
1960年，工程热物理学家 Reed 设计了环形放电感耦等离子体炬； 指出可用于原子发射光谱分析中的激 发光源；
；
CID：电荷注入式检测器； CCD 电荷耦合式检测器
Agilent 700系列
ICP-AES Inductively Coupled Plasma-Atomic Emission Spectrometer
PE8000
ICP-AES有更好的检测限 AAS有更好的检测限 相似的检测限 原子光谱不可测
等离子体溫度
ICP光源的特性
趋肤效应：高频电流在导体上传输时，由于导体的寄生 分布电感的作用，使导线的电阻从中心向表面沿半径 以指数的方式减少，因此高频电流的传导主要通过电 阻较小的表面一层，这种现象称为趋肤效应。等离子 体是电的良导体，它在高频磁场中所感应的环状涡流 也主要分布在ICP的表层。从ICP的端部用肉眼即可观 察到在白色圈环中有一亮度较暗的内核，俗称“炸面 圈”结构。这种结构提供一个电学的屏蔽筒，当试样 注入ICP的通道时不会影响它的电学参数，从而改善了 ICP的稳定性。
常用于碱金属、钙 等谱线简单的几种元素 的测定，在硅酸盐、血 浆等样品的分析中应用 较多。。
5.2.2.2 光谱仪(摄谱仪)
将原子发射出的辐射分光后观察其光谱的仪器。 按接受光谱方式分：看谱法、摄谱法、光电法； 按仪器分光系统分：棱镜摄谱仪、光栅摄谱仪；
光栅摄谱仪比棱镜摄 谱仪有更大的分辨率。
摄谱仪在钢铁工业应 用广泛。
性能指标：色散率、 分辨率、集光能力。
5.2.2.3. 等离子体发射光谱仪
概述
原子发射光谱在50年代发展缓慢； 1960年，工程热物理学家 Reed ，设计了环形放电感耦 等离子体炬，指出可用于原子发射光谱分析中的激发光源；
1960年，工程热物理学家 Reed 设计了环形放电感耦等离子体炬； 指出可用于原子发射光谱分析中的激 发光源；
AR谱估计的方法
(4.5.7)
利用矢量及矩阵求导公式:
由式(4.5.5)求导直接可得:
T ( XA Y ) X A Y
min ˆ a R 0 xx p1
此 式 即 为 Yule-Walker 方 程 .( 参见清华胡广书 p311 及p345).
或者写成
ˆ( ˆ( ˆ R m ) a R m k ) , m 1 , 2 , 3 , , p xx pk xx
pe
pb N 1 b p n p 2 N 1 p n 0 pk k 1 p
(4.5.14)
1 e ( n )1 x ( n ) a x ( n k ) N p N p
2
(4.5.15)
2 最小预测误差平均功率是模型输入的白噪声的方差, 即 p w .
x(N1 )
x (N p 1 ) x(n)
x (np 1 )
x( p)
x (1) x (0)
x(N2 ) x(n p)
结束计 算
x(n1) x(n p)
x(p1)
开始计 算
1 a a a a p 1 p , p 1a pp 1 p 1 p , p 1a pp
ˆ( ˆ( ˆ a R p 1 ) R 1 ) p 1 xx xx ˆ ˆ( ˆ a R p 2 ) R ( 2 ) p 2 xx xx ˆ ˆ ˆ a R ( 0 ) R ( p ) pp xx xx
计算原理如图4.5.2所示.
特点:
x(n) ( 0 n N 1 ) 为回避“加窗处理”而引入的频谱卷积效应, 即避免在数据段
利用矢量及矩阵求导公式:
由式(4.5.5)求导直接可得:
T ( XA Y ) X A Y
min ˆ a R 0 xx p1
此 式 即 为 Yule-Walker 方 程 .( 参见清华胡广书 p311 及p345).
或者写成
ˆ( ˆ( ˆ R m ) a R m k ) , m 1 , 2 , 3 , , p xx pk xx
pe
pb N 1 b p n p 2 N 1 p n 0 pk k 1 p
(4.5.14)
1 e ( n )1 x ( n ) a x ( n k ) N p N p
2
(4.5.15)
2 最小预测误差平均功率是模型输入的白噪声的方差, 即 p w .
x(N1 )
x (N p 1 ) x(n)
x (np 1 )
x( p)
x (1) x (0)
x(N2 ) x(n p)
结束计 算
x(n1) x(n p)
x(p1)
开始计 算
1 a a a a p 1 p , p 1a pp 1 p 1 p , p 1a pp
ˆ( ˆ( ˆ a R p 1 ) R 1 ) p 1 xx xx ˆ ˆ( ˆ a R p 2 ) R ( 2 ) p 2 xx xx ˆ ˆ ˆ a R ( 0 ) R ( p ) pp xx xx
计算原理如图4.5.2所示.
特点:
x(n) ( 0 n N 1 ) 为回避“加窗处理”而引入的频谱卷积效应, 即避免在数据段
有机波谱分析知识点
名词解析发色团(chromophoric groups)：分子结构中含有π电子的基团称为发色团，它们能产生π→π*和n→π*跃迁从而你呢个在紫外可见光范围内吸收。
助色团(auxochrome)：含有非成键n电子的杂原子饱和基团本身不吸收辐射，但当它们与生色团或饱和烃相连时能使该生色团的吸收峰向长波长移动并增强其强度的基团，如羟基、胺基和卤素等。
红移(red shift)：由于化合物结构发生改变，如发生共轭作用引入助色团及溶剂改变等，使吸收峰向长波方向移动。
蓝移(blue shift)：化合物结构改变时，或受溶剂的影响使吸收峰向短波方向移动。
增色效应(hyperchromic effect)：使吸收强度增加的作用。
减色效应(hypochromic effect)：使吸收强度减弱的作用。
吸收带：跃迁类型相同的吸收峰。
指纹区（fingerprint region）：红外光谱上的低频区通常称指纹区。
当分子结构稍有不同时，该区的吸收就有细微的差异，并显示出分子特征，反映化合物结构上的细微结构差异。
这种情况就像人的指纹一样，因此称为指纹区。
指纹区对于指认结构类似的化合物很有帮助，而且可以作为化合物存在某种基团的旁证。
但该区中各种官能团的特征频率不具有鲜明的特征性。
共轭效应(conjugated effect)：又称离域效应，是指由于共轭π键的形成而引起分子性质的改变的效应。
诱导效应（Inductive Effects）：一些极性共价键，随着取代基电负性不同，电子云密度发生变化，引起键的振动谱带位移，称为诱导效应。
核磁共振：原子核的磁共振现象，只有当把原子核置于外加磁场中并满足一定外在条件时才能产生。
化学位移：将待测氢核共振峰所在位置与某基准物氢核共振峰所在位置进行比较，其相对距离称为化学位移。
弛豫:通过无辐射的释放能量的途径核由高能态向低能态的过程。
分子离子：有机质谱分析中，化合物分子失去一个电子形成的离子。
一种自适应增强谱线算法的优化设计与实现
Ｏｐ ｉ ｉａ ｉ ｎ Ｄｅ ｉ ｎ ａ ｄ Ｉ ｐ ｅ ｅ ｔ ｔｏ ｆＡｄ ｐ ｉ ｅ Ｌｉ ｅ Ｅｎ ｎ ｅ ｓ ｔｍ ｚ ｔｏ ｓｇ ｎ ｍ ｌｍ ｎ ａ ｉ ｎ ｏ ａ ｔｖ ｎ ｈａ ｃ ｒ
Ｘ ｈｎ －ｅ Ｕ Ｃ ｅｇｊ ｉ
（ｏ ｔ ｅｔ ｈｎ ｓｔｔ ｏ ｌ ｔ ｎ ｅｈ ｏ ｇ ，Ｃ ｅｇｕ６ ０ ３ ，Ｃ ｉ ） Ｓ ｕ ｗ ｓ Ｃ ｉａＩ ｔｕ ｆ ｅ ｒ ｉ Ｔ ｃｎｌ ｙ ｈｎｄ １０ ６ ｈｎ ｈ ｎｉ ｅ Ｅ ｃ ｃ ｏ ｏ ａ
８ ０ Ｈｚ ． ０ ／ｓ Ｋｅ ｒ ｓ： ＆Ｃ；ｉ ａ ａｒｅ ａ ｔ ｒ ；ｒｑ ｅ ｃ ｓｉ ｔ ｎ； 正 ；ｏ Ｓ ｙ ｗｏ ｄ ＴＦ ｓｇ ｌ ｃ ｒｉｒｃ ｐ ｕ ｆ ｕ ｎ ｙ ｅ ｔｍａｉ ＡＩ ｌｗ ＮＲ； Ｊｈ ｄ ａ ｃ ｎ ｅ ｅ ｏ ｈ ｙ ｍｉ ｇ ｎ
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第 ５ 卷 第 ６期 ２ ２１ ０２年 ６ 月
电讯 技术
Ｔｅｅ ｏ ｌｃ ｍｍｕ ｉａｉｎ Ｅｎ ｉｅ ｒｎ ｎｃ ｔ ｇｎ ｅ ｇ ｏ ｉ
Ｖ０ ． ２ Ｎｏ． Ｊ５ ６
Ｊ ．２ ２ ｔ ｍ ０１
文章编 号 ：０ １ ９ Ｘ（０２ ０ １０ —８ ３ ２ １ ）６—０ ３ ９ ９—０ ４
ｍａｅ ｎ ｅ ｅ ｃ ｎ ｉ ｏ ｆ ｉｎ ｏ ｎ ｉ ｏ ｅ ｐ ｃｒ ｍ ｅ ｓ ｒｔ 。 ０ ｄ Ｈｚａ ｄ ｄ ｎ ｍｉ ｄ ｐ ｌｒｒｔ ｔｄ ｕ ｄ ｒ ｈ ｏ ｄ ｔ ｎ ｏ ｇ ａ ｔ ｏｓ ｐ ｗ ｒ ｅ ｔ ｔ ｉ ｓ ｌ ｅ ｓ ｕ ｄ ｎ ｉ ａ ｉ ０—２ Ｂ ｙ ａ ｃ ｏ ｐ ｅ ａｅ ￣ ｏ ｎ
第五章原子发射光谱
• 处于高能级的电子经过几个中间能级跃 迁回到原能级，可产生几种不同波长的 光，在光谱中形成几条谱线。一种元素 可以产生不同波长的谱线，它们组成该 元素的原子光谱。 • 不同元素的电子结构不同，其原子光谱 也不同，具有明显的特征。
原子发射光谱技术的发展历程
原子发射光谱在50年代发展缓慢； 1960年，工程热物理学家 Reed ，设计了环形放电感耦等 离子体炬，指出可用于原子发射光谱分析中的激发光源；
电极，每转动180度，对接一次， 转动频率(50转/s)，接通100次/s， 保证每半周电流最大值瞬间放电 一次；
高压火花的特点：
（1）放电瞬间能量很大，产生的温度高，激发能力强， 某些难激发元素可被激发，且多为离子线； （2）放电间隔长，使得电极温度低，蒸发能力稍低，适 于低熔点金属与合金的分析； （3）稳定性好，重现性好，适用定量分析；
原子发射光谱仪通常由三部分构成： 光源、分光、检测；
原子发射光谱激发光源
• 激发光源的基本功能是提供使试样中被 测元素原子化和原子激发发光所需要的 能量。对激发光源的要求是： 灵敏度高，稳定性好，光谱背景小，结 构简单，操作安全。
常用的激发光源： • 电弧光源。（交流电弧、直流电弧） • 电火花光源。 • 电感耦合高频等离子体光源（ICP光源） 等。
检测器
ICP形成原理
ICP火焰温度分布
缺点：出射狭缝固定，各通道检测的元素谱线一定；
改进型： n+1型ICP光谱仪
在多道仪器的基础上，设置一个扫描单色器，增加一个 可变通道；
2. 全谱直读等离子体光谱仪
采用CID阵列检测器，可同时检测165 ～800nm波长范围内出现的全部谱线； 中阶梯光栅分光系统，仪器结 构紧凑，体积大大缩小； 兼具多道型和扫描型特点； CID ：电荷注入式检测器 (charge injection detector,CID), 28×28mm半导体芯片上，26万个感 光点点阵( 每个相当于一个光电倍 增管)；
光学分析-原子发射光谱
特别介绍 光电直读光谱仪：包括多道固定狭缝式（光量计）和单道扫描式两种。
多元素同时检测
01
ICP 光电直读光谱仪示意图
全谱直读光谱仪
中阶梯光栅 + 棱镜
二维光谱图
定性定量分析方法 一、基本概念 1. 灵敏线：激发电位较低的谱线，常为原子线（电弧线），或离子线（火花线）。与实验条件有关。 2. 共振线：从激发态到基态的跃迁所产生的谱线。由最低能级的激发态到基态的跃迁称为第一共振线。一般也是最灵敏线。与元素的激发程度难易有关。 3. 最后线：或称持久线。当待测物含量逐渐减小时，谱线数目亦相应减少，当c接近0时所观察到的谱线，是理论上的灵敏线或第一共振线。 4. 分析线：在进行元素的定性或定量分析时，根据测定的含量范围的实验条件，对每一元素可选一条或几条最后线作为测量的分析线。
四、干扰来源及其消除方法 1. 背景干扰 由连续光谱或分子带光谱等所产生的谱线强度（或黑度）叠加于线状光谱上所引起的干扰。 也是噪音干扰的一种。 背景来源： a）分子辐射：在光源中，试样本身或试样与空气作用产生的分子氧化物或氮化物等分子发射的带状光谱，如CN，SiO2，AlO等。 b）连续辐射：光源中炽热的固体物质发射的光谱，如电极头、弧焰中的颗粒物等。 c）谱线扩散：分析线周围有其它元素的强扩散线（宽谱线），如高含量的Zn、Sb、Pb、Bi、Mg 和 Al 等。 d）轫致辐射：电子通过荷电粒子库仑场时被加速或减速引起的连续辐射。 e）复合辐射：电子与离子复合引起能量的变化所产生的连续辐射。 f）杂散光：仪器光学系统对一些辐射的散射，并通过非预定途径直接进入检测器的辐射。
二、定性分析 由于各元素的原子结构不同，在光源激发下，试样中各元素都发射各自的特征光谱（谱线有多有少），通过识别元素的一条或数条特征谱线的波长，可以进行元素定性分析。 光谱定性分析常采用摄谱法（相板为检测器）和光电直读光谱法。现以摄谱法为例。 1. 铁光谱比较法
AR谱分析与自适应谱线(第五章)
cos2 cos1 cos2 cos22 1 cos M1 cos M2
2015/11/3
cosM s21 Rx (1) cos2M s22 Rx (2) （5.1.9） 2 R ( M ) cos MM sM x
AR谱分析与自适应谱线增强器
联立求解，就可估计出各个正弦波的功率σsi2 。 上述谱估计算法具有无限的分辨力。但皮萨连柯谱估计 方法会遇到一系列困难。① 输入序列{xk }的各个相关函数 Rx(k) 事先不能准确知道。因此，计算步骤中的Rx(k) 必须代 之以它们的估计值；② 当谱线根数 M 未知或当噪声是有色 时，也会带来估计误差；③ 确定方程（ 5.1.8 ）的最小特征 值的计算量较大。 幸运的是皮萨连柯谱估计（即特殊的 ARMA谱估计）与 实际广泛使用的 AR 谱估计有密切的关系，阐明它们之间的 联系有助于寻找改善AR谱估计的途径。
1 2 cos z 1 z 2 0
2015/11/3 AR谱分析与自适应谱线增强器
它有一对共轭复数根，即 z1, 2 cos jsin exp( j) 由此可决定正弦频率 i tg1[Im(zi ) / Re(zi )], i 1, 2 通常取正频率。显然，若M 个实正弦波没有重复频率的话， 则该M 个频率应该由特征多项式
20151223ar谱分析与自适应谱线增强器此外当滤波器长度个正弦波信号中的任意两个相邻的频率时满足则ale的输入和输出信噪比可分别表示为于是理想ale的处理增益等于snrinpoptopt20151223ar谱分析与自适应谱线增强器53谱线检测与谱线跟踪问题在这一节里首先将谱线检测问题与第四章介绍的多元阵似然比检测系统联系起来再简要讨论谱线跟踪问题其目的介绍自适应谱线增强器的在似然比检测系统中的应用
2015/11/3
cosM s21 Rx (1) cos2M s22 Rx (2) （5.1.9） 2 R ( M ) cos MM sM x
AR谱分析与自适应谱线增强器
联立求解，就可估计出各个正弦波的功率σsi2 。 上述谱估计算法具有无限的分辨力。但皮萨连柯谱估计 方法会遇到一系列困难。① 输入序列{xk }的各个相关函数 Rx(k) 事先不能准确知道。因此，计算步骤中的Rx(k) 必须代 之以它们的估计值；② 当谱线根数 M 未知或当噪声是有色 时，也会带来估计误差；③ 确定方程（ 5.1.8 ）的最小特征 值的计算量较大。 幸运的是皮萨连柯谱估计（即特殊的 ARMA谱估计）与 实际广泛使用的 AR 谱估计有密切的关系，阐明它们之间的 联系有助于寻找改善AR谱估计的途径。
1 2 cos z 1 z 2 0
2015/11/3 AR谱分析与自适应谱线增强器
它有一对共轭复数根，即 z1, 2 cos jsin exp( j) 由此可决定正弦频率 i tg1[Im(zi ) / Re(zi )], i 1, 2 通常取正频率。显然，若M 个实正弦波没有重复频率的话， 则该M 个频率应该由特征多项式
20151223ar谱分析与自适应谱线增强器此外当滤波器长度个正弦波信号中的任意两个相邻的频率时满足则ale的输入和输出信噪比可分别表示为于是理想ale的处理增益等于snrinpoptopt20151223ar谱分析与自适应谱线增强器53谱线检测与谱线跟踪问题在这一节里首先将谱线检测问题与第四章介绍的多元阵似然比检测系统联系起来再简要讨论谱线跟踪问题其目的介绍自适应谱线增强器的在似然比检测系统中的应用
自适应谱线增强器
用LMS 算法实现对自适应谱线增强器的仿真自适应谱线增强器最早是由Widrow 等人于1975年在研究自适应噪声相消时提出来的，目的是将正弦波与宽带噪声分离开来，并提取正弦波信号。
相反，如果正弦波信号是希望抑制的噪声或干扰（如在医学生物仪器中，50Hz 的交流电称为市电干扰），实现这一任务的自适应滤波器则称为陷波器。
现在，自适应谱线增强器和陷波器已广泛应用于瞬时频率估计、谱分析、窄带检测、语音编码、窄带干扰抑制、干扰检测、数字式数据接收机的自适应载体恢复。
此次作业要求用LMS 算法实现自适应谱线增强器的仿真。
LMS 格型自适应滤波算法：初始化：)()()(00n x n g n f ==；20)()(n x n P =；)(1n k 接近于1，如998.01=k 。
步骤1 计算前、后向残差)1()()()(11-+=--n g n k n f n f m m m m)1()()()(11-+=--*n g n f n k n g m m m m步骤2 求中间系数)1()()0()1()(1111-+-=*----n g n f n C n C m m m m ω ])1()1()()[0()1()(212111--++-=----k g k f n D n D m m m m ββω步骤3 计算反射系数)()()(11n D n C n k m m m ---=自适应谱线增强器与陷波器的基本原理：1. 谱线增强器与陷波器的传递函数 考虑下面的观测函数信号)()sin()()()(1n v n A n v n s n x i i pi i ++=+=∑=θω (1)式中i i i A θω,,分别是第i 个正弦波信号的幅值，频率和初始相位；)(n v 为加性的宽带噪声，可以是有色的。
现在，希望设计一个滤波器，让)(n x 通过该滤波器后，输出中只含有p 个正弦波信号)(n s ,而没有其他任何信号或噪声。
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cos2 cos1 cos2 cos22 1 cos M1 cos M2
2015/11/3
cosM s21 Rx (1) cos2M s22 Rx (2) （5.1.9） 2 R ( M ) cos MM sM x
2015/11/3
AR谱分析与自适应谱线增强器
FFT 分析法有两个明显的优点: 其一， M个正弦波即使不具有谐波关系，模型也是精确 的； 其二，当观测到N个数据 {xk} （k=0，1，…，N-1）， 并由此做出2M个参数 ai（i=0， 1 ， … ， 2 M ）的估计时， 由 估计参数所构成的 ARMA 模型 便可自动地产生观测数据以 外 的数据。
E[ xxT ]a E[ xwT ]a
（5.1.7）
若记 Rx(m)=E[xk ·xk-m], 则有
Rx (1) R x ( 0) R (1) R x ( 0) x T Rx E[ xx ] Rx (2M ) Rx (2M 1) Rx (2M ) Rx (2M 1) R x ( 0)
x [ xk , xk 1 ,, xk 2 M ]T a [1,a1 ,a2 ,,a2 M ]T w [ wk , wk 1 ,, wk 2 M ]T
则式（5.1.5）可写成
x Ta w Ta
2015/11/3 AR谱分析与自适应谱线增强器
（5.1.6）
用向量 x 左乘式（5.1.6）两边，并取数学期望
1 2 cos z 1 z 2 0
2015/11/3 AR谱分析与自适应谱线增强器
它有一对共轭复数根，即 z1, 2 cos jsin exp( j) 由此可决定正弦频率 i tg1[Im(zi ) / Re(zi )], i 1, 2 通常取正频率。显然，若M 个实正弦波没有重复频率的话， 则该M 个频率应该由特征多项式
量，它在一次实现中为常量。将上式代入三角恒等式 A sin( k ) A sin[(k 2) ] 2 A cos sin[(k 1) ] 可得二阶差分方程
sk 2 cos sk 1 sk 2 0
对上式的两边取 z － 变换，得 (1 2 cos z 1 z 2 )S ( z) 0 这样，就得到特征多项式
Rx (1) Rx (0) R (1) R x ( 0) x Rx Rx (2M ) Rx (2M 1) Rx (2M ) Rx (2M 1) Rx (0)
的最小特征值分解λmin，即找到σw2。 （2）解方程组（5.1.8），a 就是ARMA模型的系数。 （3）求多项式方程
z-1
…
z-1
bq
xk
图5-2
产生MA(q)序列的模型结构
2015/11/3
AR谱分析与自适应谱线增强器
（3）自回归滑动平均模型 由式（5.1.1）和（5.1.2）， 即可得到自回归滑动平均模型 ARMA( p ， q ) 序列 {x k } 所满足 的差分方程
xk a1xk 1 a p xk p wk b1wk 1 bq wk q（5.1.3）
2 E[xwT ] E[(s w)wT ] E[wwT ] w I
将上述关系代入（5.1.7），得到 Rx 的特征方程
2 Rx a w a
（5.1.8）
2015/11/3
AR谱分析与自适应谱线增强器
上式表明，σw2 是自相关矩阵 Rx 的特征值，而a 是对应 该特征值的特征向量。归纳起来，皮萨连柯谱估计的步骤为 （1）计算矩阵
Rx (m) E[ xk xk m ]
2 w 0m 2 si cos(i m), m 1, 2,, M m1 M
式中，采用等采样间隔，通常记为Δt =1；σsi2 为第i 个正弦 波的功率。令上式中m 依次等于1，2，…，M，可得 M 个 方程，写成矩阵形式，有（显然，当m > 0时，δ0m=0)
第五章 AR谱分析与自适应谱线增强器
5.1
5.2 5.3
时间序列的参数模型与谱估计
自适应谱线增强器 谱线检测与谱线跟踪问题
本章小结
2015/11/3
AR谱分析与自适应谱线增强器
利用给定的样本数据估计一个平稳随机过程的功率谱密 度称为谱分析；而能够将正弦波信号从宽带噪声分离出来的 自适应噪声抵消器，称为自适应谱线增强器。谱分析和自适 应谱线增强器在雷达、声纳、生物医学工程、故障诊断技术 等各个领域中得到了广泛应用。 谱分析方法分为两大类： 非参数化 方法和 参数化 方法。 非参数化功率谱分析（或周期图谱法）称为经典谱分析，其 主要优点是物理概念明确，计算方法简单，其缺点是频率分 辨力低；而现代谱分析一般是指基于模型的参数化谱分析， 它具有数据短、频率分辨力高的特点。 本章主要平稳随机过程自回归（AR）谱分析方法及其在 谱线检测、跟踪和识别中的应用。
AR谱分析与自适应谱线增强器
联立求解，就可估计出各个正弦波的功率σsi2 。 上述谱估计算法具有无限的分辨力。但皮萨连柯谱估计 方法会遇到一系列困难。① 输入序列{xk }的各个相关函数 Rx(k) 事先不能准确知道。因此，计算步骤中的Rx(k) 必须代 之以它们的估计值；② 当谱线根数 M 未知或当噪声是有色 时，也会带来估计误差；③ 确定方程（ 5.1.8 ）的最小特征 值的计算量较大。 幸运的是皮萨连柯谱估计（即特殊的 ARMA谱估计）与 实际广泛使用的 AR 谱估计有密切的关系，阐明它们之间的 联系有助于寻找改善AR谱估计的途径。
sk ai sk i 0
i 1 2M
这样的过程称为可预测过程，又称为退化的AR序列，即
2015/11/3 AR谱分析与自适应谱线增强器
A(z-1)sk=0
当输入序列{xk }为受白噪声 wk ―污染”的 M 个实正弦波 之和时，xk 可表示为
xk sk wk ai sk i wk
2015/11/3 AR谱分析与自适应谱线增强器
5.1.2
ARMA谱估计
在谱线检测与跟踪问题中，考虑的问题是输入序列{xk } 含有背景噪声 wk 成分和 M 个正弦波成分，如图5-4所示。 其中， M 个正弦波可以不具有谐波关系。因而，用经典的 FFT分析方法这种信号很难获得高的频率分辨力。 下面证明，当 wk 为白噪声时，输入序列 {xk}可用基于 ARMA 模型的谱估计方法，也即皮萨连柯（ Pisarenko ）谱 估计来精确地描述。
i 1 2M
在上式中，以（xi-k - wi-k）代替sk-i，得
xk ai xk i wk ( ai ) wk i
i 1 i 1 2M 2M
（5.1.5）
上式可用图 5-5 所示的模型来表示。这表明，白噪声中的正 弦波过程{xk}是一个特殊的ARMA(2M，2M)序列，模型中包 含相同的AR和MA参数。 用特殊的 ARMA 模型描述白噪声中 M 个正弦波，比用
式中{ wk }~ WN(0，σ 2), bi（i=1，2，… ，q）为常数, 则称 {xk}为 q 阶滑动平均归序列或 MA(q) 序列。 图5-2是产生MA(q)序列的模型结构。MA(q)序列 {xk} 是 白噪声通过FIR滤波器所产生的输出，因而它一般是有色噪 声。
wk z-1 b1
z-1
b2
wk z- 1 -a1 z- 1 -a2 z- 1 … -a2M a1 z- 1 a2 z- 1 … a2M z- 1 xk
图5-5
与图5-4信号模型对应的ARMA序列结构
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AR谱分析与自适应谱线增强器
这种方法避免了FFT分析方法中采用的周期延拓、或强 制规定观测区间以外的数据为零所带来的弊端。ARMA模型 这种自然的周期延拓相当于增加了有效数据的长度，从而具 有较好的频率分辨力。 下面推导基于特殊ARMA模型的谱估计算法。 考虑式（5.1.5），令
( z z )( z z ) a z
i * i i 1 i 0 i
M
2M
2 p i
ai z i 0
i 0
2M
（5.1.4）
的根决定。易知，|zi|=1, 且系数是对称的，即 ak=a2M-k ，其 中， (0 ≤ k≤ M)。 与式（5.1.4）对应的差分方程是
1 a1z a2 z 2 a2 M z 2 M 0
的根zi，zi* （i=1，2，…，M）；将这些根记为
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zi exp(j i ) 和 zi* exp( ji ), i 1, 2, , M
由此可确定各正弦波的频率ωm。 （4）计算式（5.1.5）的自相关函数。当{ wk }~ WN(0,σ2) 时，有
wk +
+
xk
z -1 z- 1 z- 1 z- 1 … an
a1
a2
图5-1
产生AR(p)序列的模型结构
（2）滑动平均模型 时间序列{xk} 若能用下述 n 阶差分 方程描述：
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xk wk b1wk 1 b2 wk 2 aq xk q （5.1.2）
sin(ω1 k+υ1) sin(ω2 k+υ2) sin(ωM k+υM) 图5-4
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A1 A2
wk
Σ
+
xk
AM
+
…
背景噪声加正弦波模型
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…
先考虑单个正弦波的情况，即 并假定初始相位 υ k
sk A sin( k ) 是在（ - π ， π ）均匀分布的独立随机变
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cosM s21 Rx (1) cos2M s22 Rx (2) （5.1.9） 2 R ( M ) cos MM sM x
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FFT 分析法有两个明显的优点: 其一， M个正弦波即使不具有谐波关系，模型也是精确 的； 其二，当观测到N个数据 {xk} （k=0，1，…，N-1）， 并由此做出2M个参数 ai（i=0， 1 ， … ， 2 M ）的估计时， 由 估计参数所构成的 ARMA 模型 便可自动地产生观测数据以 外 的数据。
E[ xxT ]a E[ xwT ]a
（5.1.7）
若记 Rx(m)=E[xk ·xk-m], 则有
Rx (1) R x ( 0) R (1) R x ( 0) x T Rx E[ xx ] Rx (2M ) Rx (2M 1) Rx (2M ) Rx (2M 1) R x ( 0)
x [ xk , xk 1 ,, xk 2 M ]T a [1,a1 ,a2 ,,a2 M ]T w [ wk , wk 1 ,, wk 2 M ]T
则式（5.1.5）可写成
x Ta w Ta
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（5.1.6）
用向量 x 左乘式（5.1.6）两边，并取数学期望
1 2 cos z 1 z 2 0
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它有一对共轭复数根，即 z1, 2 cos jsin exp( j) 由此可决定正弦频率 i tg1[Im(zi ) / Re(zi )], i 1, 2 通常取正频率。显然，若M 个实正弦波没有重复频率的话， 则该M 个频率应该由特征多项式
量，它在一次实现中为常量。将上式代入三角恒等式 A sin( k ) A sin[(k 2) ] 2 A cos sin[(k 1) ] 可得二阶差分方程
sk 2 cos sk 1 sk 2 0
对上式的两边取 z － 变换，得 (1 2 cos z 1 z 2 )S ( z) 0 这样，就得到特征多项式
Rx (1) Rx (0) R (1) R x ( 0) x Rx Rx (2M ) Rx (2M 1) Rx (2M ) Rx (2M 1) Rx (0)
的最小特征值分解λmin，即找到σw2。 （2）解方程组（5.1.8），a 就是ARMA模型的系数。 （3）求多项式方程
z-1
…
z-1
bq
xk
图5-2
产生MA(q)序列的模型结构
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（3）自回归滑动平均模型 由式（5.1.1）和（5.1.2）， 即可得到自回归滑动平均模型 ARMA( p ， q ) 序列 {x k } 所满足 的差分方程
xk a1xk 1 a p xk p wk b1wk 1 bq wk q（5.1.3）
2 E[xwT ] E[(s w)wT ] E[wwT ] w I
将上述关系代入（5.1.7），得到 Rx 的特征方程
2 Rx a w a
（5.1.8）
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上式表明，σw2 是自相关矩阵 Rx 的特征值，而a 是对应 该特征值的特征向量。归纳起来，皮萨连柯谱估计的步骤为 （1）计算矩阵
Rx (m) E[ xk xk m ]
2 w 0m 2 si cos(i m), m 1, 2,, M m1 M
式中，采用等采样间隔，通常记为Δt =1；σsi2 为第i 个正弦 波的功率。令上式中m 依次等于1，2，…，M，可得 M 个 方程，写成矩阵形式，有（显然，当m > 0时，δ0m=0)
第五章 AR谱分析与自适应谱线增强器
5.1
5.2 5.3
时间序列的参数模型与谱估计
自适应谱线增强器 谱线检测与谱线跟踪问题
本章小结
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AR谱分析与自适应谱线增强器
利用给定的样本数据估计一个平稳随机过程的功率谱密 度称为谱分析；而能够将正弦波信号从宽带噪声分离出来的 自适应噪声抵消器，称为自适应谱线增强器。谱分析和自适 应谱线增强器在雷达、声纳、生物医学工程、故障诊断技术 等各个领域中得到了广泛应用。 谱分析方法分为两大类： 非参数化 方法和 参数化 方法。 非参数化功率谱分析（或周期图谱法）称为经典谱分析，其 主要优点是物理概念明确，计算方法简单，其缺点是频率分 辨力低；而现代谱分析一般是指基于模型的参数化谱分析， 它具有数据短、频率分辨力高的特点。 本章主要平稳随机过程自回归（AR）谱分析方法及其在 谱线检测、跟踪和识别中的应用。
AR谱分析与自适应谱线增强器
联立求解，就可估计出各个正弦波的功率σsi2 。 上述谱估计算法具有无限的分辨力。但皮萨连柯谱估计 方法会遇到一系列困难。① 输入序列{xk }的各个相关函数 Rx(k) 事先不能准确知道。因此，计算步骤中的Rx(k) 必须代 之以它们的估计值；② 当谱线根数 M 未知或当噪声是有色 时，也会带来估计误差；③ 确定方程（ 5.1.8 ）的最小特征 值的计算量较大。 幸运的是皮萨连柯谱估计（即特殊的 ARMA谱估计）与 实际广泛使用的 AR 谱估计有密切的关系，阐明它们之间的 联系有助于寻找改善AR谱估计的途径。
sk ai sk i 0
i 1 2M
这样的过程称为可预测过程，又称为退化的AR序列，即
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A(z-1)sk=0
当输入序列{xk }为受白噪声 wk ―污染”的 M 个实正弦波 之和时，xk 可表示为
xk sk wk ai sk i wk
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ARMA谱估计
在谱线检测与跟踪问题中，考虑的问题是输入序列{xk } 含有背景噪声 wk 成分和 M 个正弦波成分，如图5-4所示。 其中， M 个正弦波可以不具有谐波关系。因而，用经典的 FFT分析方法这种信号很难获得高的频率分辨力。 下面证明，当 wk 为白噪声时，输入序列 {xk}可用基于 ARMA 模型的谱估计方法，也即皮萨连柯（ Pisarenko ）谱 估计来精确地描述。
i 1 2M
在上式中，以（xi-k - wi-k）代替sk-i，得
xk ai xk i wk ( ai ) wk i
i 1 i 1 2M 2M
（5.1.5）
上式可用图 5-5 所示的模型来表示。这表明，白噪声中的正 弦波过程{xk}是一个特殊的ARMA(2M，2M)序列，模型中包 含相同的AR和MA参数。 用特殊的 ARMA 模型描述白噪声中 M 个正弦波，比用
式中{ wk }~ WN(0，σ 2), bi（i=1，2，… ，q）为常数, 则称 {xk}为 q 阶滑动平均归序列或 MA(q) 序列。 图5-2是产生MA(q)序列的模型结构。MA(q)序列 {xk} 是 白噪声通过FIR滤波器所产生的输出，因而它一般是有色噪 声。
wk z-1 b1
z-1
b2
wk z- 1 -a1 z- 1 -a2 z- 1 … -a2M a1 z- 1 a2 z- 1 … a2M z- 1 xk
图5-5
与图5-4信号模型对应的ARMA序列结构
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这种方法避免了FFT分析方法中采用的周期延拓、或强 制规定观测区间以外的数据为零所带来的弊端。ARMA模型 这种自然的周期延拓相当于增加了有效数据的长度，从而具 有较好的频率分辨力。 下面推导基于特殊ARMA模型的谱估计算法。 考虑式（5.1.5），令
( z z )( z z ) a z
i * i i 1 i 0 i
M
2M
2 p i
ai z i 0
i 0
2M
（5.1.4）
的根决定。易知，|zi|=1, 且系数是对称的，即 ak=a2M-k ，其 中， (0 ≤ k≤ M)。 与式（5.1.4）对应的差分方程是
1 a1z a2 z 2 a2 M z 2 M 0
的根zi，zi* （i=1，2，…，M）；将这些根记为
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zi exp(j i ) 和 zi* exp( ji ), i 1, 2, , M
由此可确定各正弦波的频率ωm。 （4）计算式（5.1.5）的自相关函数。当{ wk }~ WN(0,σ2) 时，有
wk +
+
xk
z -1 z- 1 z- 1 z- 1 … an
a1
a2
图5-1
产生AR(p)序列的模型结构
（2）滑动平均模型 时间序列{xk} 若能用下述 n 阶差分 方程描述：
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xk wk b1wk 1 b2 wk 2 aq xk q （5.1.2）
sin(ω1 k+υ1) sin(ω2 k+υ2) sin(ωM k+υM) 图5-4
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A1 A2
wk
Σ
+
xk
AM
+
…
背景噪声加正弦波模型
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…
先考虑单个正弦波的情况，即 并假定初始相位 υ k
sk A sin( k ) 是在（ - π ， π ）均匀分布的独立随机变