一类三自由度碰撞振动系统运动的稳定性及数值仿真

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一类三自由度碰撞振动系统的分岔与混沌演化

等耐
。
０）点时，系统可能发生鞍阶分岔。（７）征值横截（１，
在适当的参数下，图１所示的碰撞能够表现为周
期碰撞过程。周期ｑ＝１／ｎ运动表示振子碰撞后时间ｔ＝０，下一次碰撞的时间恰好为２ｎ丌／（１）（ｎ＝１，２ …），
＝
∑ （ｅ－￣ｊｔ（￣ｃｏｓ（【，ｔ＋ｂｉｓｉｎ ∞ ）＋
ｓｉｎ（ｔｏｔ＋ｒ）＋ｃｏｓ（（ｏ＋７Ｉ））（２）（３）
Ｘｉ（）＝∑ ［ｅ－（ａｊｅｏｓｄＪ＋ｂｊｓｉｎ ∞ ）＋Ａｓｉｎ
Ｊ＝１
（ｔｏｔ＋ｒ０＋△ 丁）＋ＢＣＯＳ（ｔｏｔ＋丁ｏ＋△ ）］
（８）
３
３＝ｅ一（ａ３ｃｏｓＤｄ３ｔ＋ｂ３ｓｉｎ６ｄ３ｔ）＋Ａ３ｓｉｎ（ｔｏｔ＋『）＋Ｂ３ＣＯ８（ｍｔ＋丁）丁ｏ＋△ 丁）＋Ｂ３ＣＯＳ（ｍｔ＋丁ｏ＋△ ７－）
＝
即连续两次碰撞的时间间隔皆为２ｎ￣ｒ／ｗ。系统周期运动的初始终止条件为：
１
１．０，＝０．０１，Ｒ＝０．８，＝０．１。特征值如图２所示。
（０）＝１（２ｎ￣ｒ／ｗ）＝１ｏ；１（０）一３（０）：；
式中： “・ ” 表不对无量纲时Ｉ司ｔ求导数。尢量量如

一种三自由度串级控制的仿真研究

摘要：关于优化控制系统性能问题，由于控制系统中存在非线性滞后各种干扰因素，严重影响响应和稳定性。为实现在线独
立调节副回路设定响应与扰动抑制响应，增强主回路的抗干扰能力，改善系统性能．提出一种新的三自由度串级控制方法。
在副回路中采用两自由度内模控制，回路采用单位反馈控制结构，主并根据闭环最优灵敏度函数方法确定主控制器，而保从
Ｓｍｌａｄｅｆｔｅａａｔａｍｔｏｄｐｄｔｄｖｓｔｅｃｎｒｌｒ，ａｈｃｎｒｌｓｃｎｂｄｓｄａｄｏｔｉｐｅｎｆｃｖｎｌｉｌｅｄｉａｏｔｅｉｏｔｌｓｅｃｏｔｌｒａｅａｊｔｎｐｉｅｉｙｃｈｓｅｏｅｈｏｅｏｅｕｅ・
ｃｎｒｌｓｓｅｗｈｎｏｔｚｎｅｓｓｅｐｒｏｍａｃ．Ｉｒｅｏｉｒｖｈｎｉｄｓｕｂｎｅｃｐｂｌｙｏｅｍａｏｔｙｔｍｅｐｉｉｇｔｙｔｍｅｆｒｎｅｎｏｄｒｍｐｏｅｔｅａｔｉｔｒａｃａａｉｔｆｈ－ｏｍｉｈｔ～ｉｔ
证系统的整体性能。对各个控制器的解析建模设计，对每个控制器都可以进行单参数调节和优化，并对主回路和副回路存
在的乘性不确定性进行仿真。仿真结果表明，新的控制方法具有较好的设定值跟踪性能和抗干扰能力，提高了系统的鲁棒
稳定性。
关键词：时滞系统；串级控制；改进的内模控制；自由度三中图分类号：Ｐ７Ｔ２３文献标识码：Ａ
ｊｒｏｐａｄｓｐｒｔｔｅｓｔｉｔｅｐｎｅａｄｔｅｌｄｄｓｒａｃｓｏｓ，ｅａｃｄｏｔｌｃｅｆｈｅｏｏｎｅａａｅｏｎｒｏｓｎａｉｕｂｎｅｅｐｎｅａｎｗｃｓａｅｃｎｒｈｍｅｒｅｌｅｈｐｓｈｏｔｒｏｓｏｔ

三自由度摇摆台方案设计及仿真分析

第19卷第12期中国水运 Vol.19 No.12 2019年 12月 China Water Transport December 2019收稿日期：2019-07-23作者简介：时阳阳（1993-），男，上海理工大学硕士生。

三自由度摇摆台方案设计及仿真分析时阳阳，刘士宾，王克楠（上海理工大学，上海 200000）摘要：三自由摇摆台是一种常见的机电一体化产品，作为一种空间运动结构，在模拟船舶、汽车、飞行器运动姿态方面有广泛的应用。

本文根据性能要求，对三自由度摇摆台进行了整体的结构方案设计。

其中包括摇摆台的机械结构设计，驱动设计方案设计，并运用Solidworks 建立了摇摆台的三维模型。

并运用ANYSY 有限元分析，对结构进行了轻量化设计。

基于ADAMS 的虚拟样机技术，建立了三自由度摇摆台的多刚体动力学模型，通过添加约束，载荷和仿真分析，得到了摇摆台的运动和受力规律，验证了摇摆台功能性。

关键词：摇摆台；结构设计；动力学；虚拟样机；仿真分析中图分类号：TP29 文献标识码：A 文章编号：1006-7973（2019）12-0079-03电动摇摆台是集机械技术、控制技术和传感检测技术、计算机技术于一体的综合性测试设备[1]。

它作为一种空间运动机构主要用于车载、舰载和机载武器装备的稳定瞄准系统实验，被广泛用来模拟车辆、舰船及飞机的运动姿态，为实验对象提供一个非常接近实际的振动环境，在振动条件下对实验对象进行实验研究和性能考察，在国防和民用中都有很高的应用价值[2]。

电动摇摆台是典型的机电一体化的复杂产品，因此，采用虚拟样机技术相较于传统的研发模式，具有明显的优点，可以有效地缩短产品的实验周期，大大减少研发成本。

虚拟样机技术已在航空航天、兵器、车辆、机器人、机械等行业得到了广泛的应用。

一、机械结构设计为了实现摇摆台三自由度的运动，将三自由度摇摆台设计成3-RPS 结构，示意图如图1所示。

单自由度碰撞振动系统的稳定性分析

103
图5 Fig. 5
质块的相图
Phase plane portraits of the mass
振动系统的倍化分叉过程与连续非线性系统的标准分叉过程有本质差异. 系统最终以周期 2 2 4 或 2 4 2 运动的倍周期序列通向混沌.
束 A 处. 这是由于激振力的频率很小, 即力周期很大 , 当激振力由负变为正时 , 质块 M 才真正离开约束 C 处, 向约束 A 处运动. 在此运动期间 , 激振力始终是正的, 所以质块 M 的运动速度越来越大, 使得质块 M 以很大的冲击速度与约束 A 发生碰撞. 碰撞由碰撞恢复系数确定 , 碰撞后瞬时, 质块 M 的速度变为反方向 , 但此时, 激振力仍然是正的, 质块 M 在正激振力的作用下 , 速度由负变为正 , 使得质块 M 还没有回到约束 C 处 , 又被拉回约束 A 处, 与约束 A 发生碰撞, 如此往复, 质块 M 与约束 A 碰撞很多次, 直到激振力由正变为负, 质块 M 才能被拉到约束 C 处 , 与约束 C 发生碰撞. 随着激振频率的增加, 力周期减小, 质块 M 在一个力周期内与约束 A 和约束 C 的磕碰次数呈规律性的减少, 见图 8 a ~ d. 直至 = 1. 2 时 , 形成稳定的对称型周期 1 3 3 运动, 即质块 M 与约束 A 连续碰撞三次以后, 才能到达约束 C 处, 与约束 C 连续碰撞三次, 然后又回到约束 A 处 . 如此往复 , 形成稳定的周期运动.
图2 全局分叉图
Fig. 2
2
Global bifurcation diagram
a . 随激振频率的进一步减小 , 当递减穿越 = 2. 866 4 时, 发生擦边碰撞, 出现带有擦边的周期 = 2 2 2 运动 , 见图 5 b . 这种带有擦边的周期运动会使映射在某些区域产生奇异性 , 这种奇异性会对系统的分叉过程, 混沌的形成过程以及混沌运动的特征都有本质的影响 . 擦边碰撞现象是系统由周期运动进入混沌运动的主要原因 . 由于这种擦边碰撞的奇异性 , 随着激振频率继续减小, 系统不存在由周期 2 2 2 向周期 4 4 4 演化的倍化分叉序列, 而是由擦边直接进入混沌, 见图 5 c .

用Mathe matica 求解线性3自由度系统微振动问题

用Mathe matica 求解线性3自由度系统微振动问题徐丹;萨茹拉【摘要】借助数学软件M athem atica ，用矩阵方法对线性3自由度系统微振动问题进行了计算和讨论，并模拟了此力学系统的运动。

通过与在普通物理实验室中的实验结果进行对比，在忽略空气阻力和弹簧质量的情况下，其仿真结果更能展现线性3自由度系统的微振动情况。

其动画很好地演示了线性3自由度系统的振动情况，使初学者对此模型有非常直观的认识，有助于加深对3自由度系统的认识。

【期刊名称】《物理通报》【年(卷),期】2015(000)003【总页数】3页(P35-37)【关键词】线性3自由度系统;Mathem atica;模拟【作者】徐丹;萨茹拉【作者单位】内蒙古师范大学物理与电子信息学院内蒙古呼和浩特 010021;内蒙古师范大学物理与电子信息学院内蒙古呼和浩特 010021【正文语种】中文1 引言多自由度力学系统的微振动问题是理论力学中的基本问题［1］，它的方程均为线性微分方程.理论上用解析法可以得到方程的解，对于两个或3个自由度的微振动系统，求解过程还不算麻烦，但对有自由度较多的系统，求解就比较费力费时了.许多机械系统，根据其工作状况，可以将其简化成一个单自由度或两自由度系统的理论模型，以满足对其动态特性进行分析的要求.而事实上，所有机械系统都是由具有分布参数的元件所组成，严格地说，都是一个无限多自由度的系统（或连续系统，分布参数系统）.根据结构特点和分析要求，把有些元件或其部分简化成质点，而把有些元件或其部分简化成弹簧，用有限个质点、弹簧和阻尼去形成一个简化的模型.多自由度系统是对连续系统在空间上的离散化和逼近，由于计算机技术的广泛应用，有限元分析和实验模态分析技术的发展，多自由度系统的理论和分析方法显得十分重要.Mathematica不仅有强大的数值运算功能，还有强大的符号运算功能.也就是说，经过简单的编程就能用计算机求出微分方程的解析解.包括微振动系统的本征频率、本征矢、简正模的运动学方程和耦合振动的运动学方程.用计算机进行复杂的运算，可以将节约下来的时间更多地用于研究物理现象本身而不是沉浸在复杂的数学运算中［2］.本文主要介绍用Mathematica对3自由度的微振动问题求解，主要采用矩阵方法求本征值和本征矢，再求解耦合的微分方程的解.利用Mathematica对所得结果进行动画演示.2 3自由度微振动系统的模型［3］如图1所示，两个弹簧连接3个质点组成的一维振动系统，其中弹簧的劲度系数为κ，中间的质点的质量为M，两端点的质量为m.图1 3自由度系统的微振动以图1所示的3个质点相对自身平衡位置的位移x1，x2，x3作为3自由度振动系统的广义坐标.由拉格朗日方程，可得系统的运动微分方程为代入式（1）后，得矩阵形式的方程上面的方程组要求将简正频率分别代回式（5），可得到3个与之对应的本征矢量.对于ω1，本征矢量为对于ω3，本征矢量由式（9）可得简正模式的3个质点的振幅，简正模式的振动方程为由式（12）、（13）、（14）描绘出3个简正模式的运动情况.系统的运动时由3个简正模式运动的叠加，方程组（1）的通解为式（15）中的积分常数A11，A31，A31 和θ1，θ2，θ3 由初始条件确定.3 Mathematica的矩阵方法［4］求解本征值和本征矢将（2）式左乘S－1可得用Mathematica的指令Eigensystem求出矩阵S－1Κ的3个本征值和相对应的3个本征矢以后，就可将它分解成为3个独立的简正坐标的常微分方程，对方程分别求解就可得到3个简正模.编程的具体思路如图2所示.图2 编程思路4 通过Mathematica进行动画模拟首先调用Mathematica的Graphics指令绘制3自由度微振动的模型图，运行结果如图3所示.图3 用Mathematica绘制的3自由度微振动模型图然后调用Mathematica的Animate指令使其产生动画效果，经过调试后就能实现3自由度微振动系统的动画效果.5 结论本文介绍了3自由度系统微振动的基本概念，并对其基本模型用Mathematic进行仿真.通过运用Mathematic中的函数进行了编程，最终达到了动画模拟的目的.实验运行结果比在普通物理实验室中实验结果更加真实［5］，因为在Mathematica下无需考虑空气阻力和弹簧的质量对系统的影响.参考文献【相关文献】1 卢圣治，胡静，管靖.理论力学.北京：电子工业出版社，1991.34～532 董键.Mathematica与大学物理计算.北京：清华大学出版社，2013.120～1423 甘祥根，陈丽红.物理模型及其应用.物理通报.2005，24（1）：274 彭芳麟，等.理论力学计算机模拟.北京：清华大学出版社，2002.113～1155 GerdBaum ann.Mathematica in Theoretical Physics.Berlin Heidelberg：Springer－Verlag NewYork，1993。

一种三自由度并联机构刚度分析及仿真

Ｊ
（２）
（）３
霹，
’
，３
（）３式与式（）２（）１分别作互易积后写成矩阵形式：
．。，
＝
，
０
（）４
式中．
［口ｇ）× ３］（一．
．
Ｊ１ｃ＝
ｓ［ｎ一３． ×，］；（３ｑ）５，ｓ．
△ＢＢ，２３为等腰直角三角形，ＡＡＡ，３ △ＡＡ２３
：，
人的并联模块２ＴＲＳＲ为研究对象，立了其刚－Ｐ＆Ｐ建度模型，得到刚度矩阵，进行刚度的仿真，析评并分
价并联机构在一定工作空间内的刚度性能，参数为
ＡｂｓｒｃＴｈｔｆｓｆａ３－ｔａｔ：ｅｓｉｎｅｓｏＤＯＦｒｌｅｎｐｌｔｒｍｅＴＰＲ＆Ｓｆｐａａｌｌｍａｉｕａｏｓｎａｄ２－ＰＲｓａｌｓｄｉｈｓｐａｒＦｉｓｌｗａｎａｙｅｎｔｉｐｅ．ｒｔｙ，ｔｃｅｈｅｓｒｗｓ
，
链第个转动副的角速率；（＝１２３表示主动滑口ｉ，，）
式（），。８中为支链１３的驱动雅克比矩阵，，且
移副的线速率．＝，＋，＝［Ｔ）］，表示支磊辱Ｔ，Ｏ，
链１３产生的运动螺旋，表示支链２产生的运动，
为直角，为斜边中点，到３个顶点的４、其
长度为ａ、ａ＝Ａｉｂ＝Ｂ建立固定参考坐标ｂ（Ａ，ｆＢ）

三自由度碰撞振动系统的周期运动稳定性与分岔

第21卷第3期工程力学 Vol.21 No.3 2004年 6 月ENGINEERING MECHANICSJun. 2004———————————————收稿日期：2002-10-30；修改日期：2003-5-29基金项目：国家自然科学基金资助项目(10072051)和教育部高等学校博士学科点专项科研基金资助项目(20010613001)作者简介：丁旺才(1964)，男，甘肃天水人，副教授，博士研究生，从事车辆工程与非线性动力学研究；(E-mail: dingdd@) 谢建华(1957)，男，浙江绍兴人，教授，博士，从事非线性动力学与控制研究；李国芳(1977)，男，山西太原人，硕士研究生，从事车辆动力学研究文章编号：1000-4750(2004)03-0123-06三自由度碰撞振动系统的周期运动稳定性与分岔丁旺才1,2，谢建华1，李国芳2(1. 西南交通大学应用力学与工程系, 四川成都 610031; 2. 兰州交通大学机电与动力工程学院, 甘肃兰州 730070)摘要：建立了三自由度碰撞振动系统的动力学模型, 推导出系统n -1周期运动的六维Poincar é 映射, 根据映射Jacobi 矩阵的特征值来分析n -1周期运动的稳定性。

数值模拟了1-1周期运动的Hopf 分岔和周期倍化分岔, 进一步分析了当分岔参数变化时碰撞振动系统周期运动经拟周期分岔和周期倍化分岔向混沌的演化路径, 其中有的路径是非常规的。

关键词：碰撞振动；Poincar é 映射；稳定性；Hopf 分岔；周期倍化分岔；混沌中图分类号：O322 文献标识码：ASTABILITY AND BIFURCATIONS OF PERIODIC MOTION IN ATHREE-DEGREE-OF-FREEDOM VIBRO-IMPACT SYSTEMDING Wang-cai 1,2 , XIE Jian-hua 1 , LI Guo-fang 2(1. Department of Applied Mechanics and Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China; 2. School of Machine-electrical and Power Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)Abstract: A three-degree-of-freedom vibro-impact system is considered in this paper. Based on the solutions of differential equations between impacts, impact conditions and match conditions of periodic motion, the six- dimension Poincar é maps of n -1 periodic motion are established. The stability of the periodic motion is determined by computing eigenvalues of Jacobian matrix of the maps. If some eigenvalues are on the unit circle, bifurcation occurs as controlling parameter varies. By numerical simulation, Hopf bifurcation and period- doubling bifurcation of 1-1 periodic motion are analyzed. As controlling parameter varies further, the routes from periodic motion to chaos via quasi-periodic bifurcation and period-doubling bifurcation are investigated, respectively. One of the routes is found to be non-typical.Key words: vibro-impact; Poincar é map; stability; Hopf bifurcation; period-doubling bifurcation; chaos1 引言碰撞振动是工程实际中一种普遍存在的现象。

颗粒物料在三自由度振动筛面上的运动仿真

０＝ ’ｉｔ’ ｓｏｔｎ（）５
运动的模型进行仿真，颗粒物料在筛面径向的位移对
和速度变化规律进行分析。
１两平移一转动的三自由度振动筛面的运动
形式
传统往复振动筛的运动形式近似为沿振动方向的
简谐振动，面的位移方程为筛
式中
ｒ一工作面沿振动方向的单振幅；
一
振动圆频率；
ｔ时间。一
将位移分解到方向（面轴向方向）Ｙ方向筛和
（面法向方向）便得到方向和Ｙ方向的分位移。筛，若分别选取振幅和频率，到方向和Ｙ方向位移方得
运动形式近似沿振动方向的简谐振动ｊ。工作时，颗
ｓ：ｒｓ６ｉｔｔｉｓｏｎｎ
（）３
粒物料在筛面的径向（面平面内垂直于入料端筛边筛
和出料端筛边中点连线的方向）本无运动，料在基物
式中
６振动方向与筛面的夹角；一
—
方向的单振幅；
筛面上难以快速散布，响了筛分效果和效率。影
本文将筛面沿振动方向的简谐振动分解为沿筛面
一
方向的振动圆频率；
ｒ，一ｙ方向的单振幅； ∞ ＿ｙ方向的振动圆频率。－在此基础上，加筛面法向转动，成一个三自增构
由于本文重点在于研究筛面法向转动对筛面上颗粒物料运动产生的影响，了方便理论分析，采用圆为球形颗粒物料，其半径为Ｒ；面水平放置，设筛即筛面

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方程的无量纲形式为：
［
＋
愚
［２
。
）
基金项目：肃省自然科学基金资助项目（Ｚ０２Ｂ５０７甘３Ｓ６一２—０）
作者简介：王丽（９９）女，１７一，甘肃榆中，汉族，兰州城市学院，讲师，硕士，主要研究方向ｔ微分方程与动力系统
收稿日期：０１１－８２１ —００
警，ｎＪ． ∞ 摆１Ｉ＝Ｙ，Ｆ０ √ ，麓，＝
ｙ＝８／｛，１２，，一，３
Hale Waihona Puke 器相连接，个质量块水平方向运动并爱激则在任意连续两次碰撞之间，三系统运动微分
△ ２，３Ａ）和ＡＸ一（１Ａ１，ｏ舭＋，ｔ＋，ｘ０
Ａｚ，２ｘａｏ
３ △ｒ）＋，是Ｐｉｃｒ面ｏｎａ６截
上周期２／ —１１运动不动点
Ｘ（＋，ｌ，２，ｏ２Ｚ）＝尘ｌＸ０Ｘｏ２，＋，＇）０
第３Ｏ卷第１２期
２１年１０１２月
数学教学研究
４５
＝
ｆｉ＋￣ｎｏ（｛｝ｗｒ．ｓｔ，
一
ｚ／周期运动将可能发生内依马克一沙 —ｉｌ
（）１
克分岔．
２数值仿真
（）２
ｍ。
芏。７＋２
尘。。。十七Ｘ
统在特定参数变化下周期运动向混沌转迁的途径．值仿真结果表明在特定参数变化下系统的周数期运动会发生内依马克一沙克分岔，在经过锁相或环面倍化向混沌转迁的途径．存
图１一类三自由度碰撞振动系统模型
假设Ｍ１，０Ｐ — ＩＩＩｚ＋Ｓ０Ｋｌｅ，ｏ＋ｒＰ。Ｐｆ
１。，ｌ并令Ｐ
一一
等，
１系统运动方程与Ｐｉｃｒ映射ｏｎａ６
，ｆ，一Ｃ，０８丽
关键词：动；定性；值仿真；岔ｌ沌振稳数分混
中图分类号：３２０２
０引言
目前国内外许多学者用现代动力系统观点主要研究单、自由度碰撞振动系统的动双力学行为，如研究系统的稳定性与分岔［］１、ｑ
ｌ＋一＋：一ＲＩ３～一岛一）（３ｚ＝，ｘ一ｌ（）４
ｆ一０３，２０ｆ —０６，ｌ．６， — ，３．４
一００Ｒ＝０７．２，．．
其中，一，。及＋，。别表示振子Ｍ１尘一尘＋分
生锁相，图２ｃ；数再增加，见（）参系统进入
混沌运动，图２ｄ．见（）
的扰动向量．将映射（）４变换为
Ａ（，）－，Ａ）（）Ｘ＝于ｘ一Ｘ（，Ｘ．５
映射（）５在＝Ｉｉ不动点处的线性化矩／阵为
类型冲击振动系统的周期运动、定性与分稳岔等问题的研究．
参考文献
取作为分岔参数，当 ∈ ［．５１６９）１６，．８１，Ｄｏｏ的三对复共轭特征值都位于复平ｆＧ，）面的单位圆内，统具有稳定的周期ｚ一系１Ｉ运动．／当递增穿越６０一１６９．８１时，
数学教学研究
第３第ｌ期Ｏ卷２
２１０１年ｌ２月
选取系统参数（）２：
ｌｌ，２２，３１２， — ｍ＝ — ．
ｋ — ｋ＝ｌ， — ０．ｌ２：＝ｋ３９，
３结论
本文建立了一类三自由度相对碰撞振动系统的数学模型与Ｐｉｃｒｏｎａ６映射，分析了并系统在特定参数变化下周期运动向混沌转迁
ＤｆｏＯ的一对复共轭特征值．越单位（，）ｏ。穿圆周，余特征值仍然保留在单位圆周内，其系
统失稳发生弱共振条件下的内依马克一沙克分岔，撞映射点沿多条 “ 线 ” 渐远离不碰轨逐动点，在投影Ｐｉｃｒ面上形成一吸引不ｏｎａ６截变圈，图３ａ；见（）随着参数的增加，统发系生环面倍化（丁／环）见图３ｂ；数再２ｉ，（）参增加，系统再次发生环面倍化（／环）见２，
［］ＳａａｄＨｏｍｅ．Ｐｒｄｃｌ１ｈｗＳＷｎｌｓＰＪＡｅｉｉｌｏａｙ
ＦｒｅｉｅｉｉｅｒＯｃｌｔｒＪ．ｏｒａｏｃｄＰｅｗｓＬｎａｓｉａｏ［］Ｊｕｎｌｃｅｌ
４４
数学教学研究
第３卷第１期２１年１月ｏ２０１２
一
类三自由度碰撞振动系统运动的稳定性及数值仿真
王丽
（州城市学院数学学院，甘肃兰州７０７）兰３００
摘要：文建立了一类三自由度碰撞振动系统的教学模型与Ｐｉｃｒ射，数值仿真分析了系本ｏａ６映ｎ并
与局部分岔．当穿越（岔值），分时系统的
周期运动将发生分岔，Ｄｆ７Ｏ有一对复若（，）２
－
０８．６．２００Ｒ０Ｉ． —０５－０３＿．６０４
ｌ
— ８－Ｓ — ０．０．２０２４０．４０．２０。０３６
Ｘ＝Ｘ。＋ＡＸＡＸ＝（窖１，１，Ａｏ， △ ＋Ａｘ０ｘ２，
成一吸引不变圈，图２ａ；着参数的见（）随
增加，引不变圈逐渐膨胀并变得不光滑，吸见图２ｂ；数ｃ再增加，（）参ＥＪ吸引不变圈破裂，发
建立周期＝１１动的Ｐｉｃｒ／运ｏｎａ６映射
Ｘ一７ｘ，（，）
碰轨（）马克一沙克分岔，撞映射点沿多条 “ 线 ” ４
逐渐远离不动点，投影Ｐｉｃｒ面上形在ｏｎａ６截
式中，Ｘ∈Ｒ。是一个实参数，，Ｘ—Ｘ＋△ Ｘ，
图１示为一类三自由度碰撞振动系统所
模型．量为ＭｌＭ２的质量块由刚度为质和
Ｋ和Ｋ的线性弹簧及阻尼系数为Ｃ和Ｃ２的线性阻尼器相连接，量为质的质量块由刚度为Ｋ。和阻尼系数为Ｃ。的线性阻尼振力Ｆ＝Ｐｓ（，ＴｉＯＴ＋ｒ，一１２３的作用．ｎ）ｚ，，当质量块＾的位移Ｘ。质量块Ｍｌ与的位移Ｘ之差等于间隙 △时，质量块发生相互碰两撞．撞后两质量块又以新的初值运动，碰然后再次碰撞，如此往复．
＾Ｍ＾一
●— ！呻＝ — ＝］
—
Ｔ
Ｉ
，
Ｘ３
奇异性［概周期碰撞运动［倍周期分、５＿、岔［混沌控制等，因复杂性对多自由度、。而碰撞振动系统的研究很少开展．文在文Ｅ３本３
．
共轭特征值穿越单位圆周，余特征值仍在其
单位圆周内，这种情况下冲击振动系统的在
（）ｃ ∞＝２５１．５
（）Ｅ２５ｄ（＝．６Ｊ
图２质块Ｍ投影Ｐｉａ６射图的ｏｎｒ映ｃ
４６
分别为质块Ｍ与Ｍ３的碰撞次数和力周期数．Ｏ￣，令＝ｏ选择截面ｔ
：＝
动． ∞递增穿越（：２４９５时，（，）当ｃ＝．４６Ｊ＝ＤｆｏＯＪ的一对复共轭特征值
１一一０３４９８０９８７９．２．９５４ ± ．１８０
和Ｉ］－的基础上建立了一类三自由度相对碰６撞振动系统的数学模型与Ｐｉｃｒｏｎａ６映射，并数值仿真分析了系统的概周期运动及通向混
沌的过程．
，，，／，／ ‘，／，。，／／，，
ｙ＝０．＝２，：
／一０４ｌ — ０一０６，．，２，厂．４
艿一００４，＝０８．．Ｒ．
的途径．值仿真结果表明在特定参数变化数下系统的周期运动会发生内依马克一沙克分岔，分岔存在经过锁相或环面倍化向混沌该转迁的途径．文的研究方法也可用于其它本