七年级数学下册因式分解多项式的因式分解
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新湘教版七年级数学下册《3章 因式分解 3.1 多项式的因式分解》教案_0
多项式的因式分解学习目标：1.理解因式及因式分解的含义2.了解因式分解在解决其它数学问题中的桥梁作用。
3. 理解因式分解是多项式的逆运算。
学习重点、难点因式分解的概念。
学习过程：一、创设问题情境,引入新课导入一：小明用硬纸板剪了个特殊的三角形，三边长分别为a b c ,并且他发现这三边长满足这样一个式子： a b2－2abc＋a c2＝0 你能根据上述式子判断三角形的形状吗？导入二：1．什么叫单项式、多项式、整式？2．什么叫整式乘法？请举例说明。
3．大家会计算（a+b）（a－b）吗？二、学习新知<一>因式分解的有关概念请同学们带着以下问题阅读教材P55-56例题上面的内容，并完成以下的自学检测题1.自学思考题（1）什么叫因式？（2）什么叫因式分解？（3）什么叫质数或素数？2.自学检测练习<1>下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解 ( )（1）4a（a+2b）= 4a2+8ab; （2）6ax－3ax2=3ax（2－x）（3）a2－4=（a+2）（a－2）（4）x2－3x+2=x（x－3）+2<2> （x－5）（x+7）是下面哪个多项式因式分解的结果？ ( )Ａ.x2－2 x －35 Ｂ. x2 +2 x －35Ｃ. x2 +2 x +35 Ｄ. x2－2 x+35<3>下列多项式从左到右的变形是因式分解的有 ( )个。
①x2－x = x(x-1) ② a（a－b）＝a2－ab; ③（a+3）（a－3）= a2－9④a2－2a＋1= a（a－2）+1 ⑤a2－4a+4=（a－2）2;<4>若关于x的二次三项式x2+m x + n的因式分解的结果为（x+3）（x－2），怎样得出m, n的值3.自学点拨( 1)一般地，对于两个多项式f与g，如果有多项式h使得f=gh，那么我们把g叫做f的一个因式，此时，h也是f的一个因式。
（2）一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解。
七年级下《因式分解》(苏科版)-课件
一元二次方程的求解
求解一元二次方程
因式分解法是求解一元二次方程的一种常用方法。通过将方程$ax^2 + bx + c = 0$因 式分解为$(x - x_1)(x - x_2) = 0$，可以得到方程的解$x_1$和$x_2$。
判断解的合理性
在得到一元二次方程的解后，可以通过因式分解法判断解的合理性。例如，对于方程 $x^2 - 4 = 0$，因式分解为$(x + 2)(x - 2) = 0$，得到解$x = 2$和$x = -2$，这两
因式分解的历史与发展
古代数学中的因式分解
01
在古代数学中，因式分解就已经有了一些初步的应用，如中国
的《九章算术》等。
近现代因式分解的发展
02
ห้องสมุดไป่ตู้
随着数学的发展，因式分解的方法和技巧也得到了不断的完善
和发展，出现了许多新的方法和技巧。
因式分解在现代数学中的应用
03
因式分解是代数中的基本技能之一，它在代数学、几何学、方
例子
$2x^2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3)$
03
因式分解的应用与 实例
代数式的化简
代数式化简
通过因式分解，可以将复杂的代数式简化，使其更易于计算 和理解。例如，将多项式$x^2 - 4$因式分解为$(x + 2)(x 2)$，可以更方便地处理后续的运算。
简化计算过程
因式分解可以简化计算过程，减少不必要的复杂运算。例如 ，在计算$(x + 3y)(x - y)$时，通过因式分解可以快速得到结 果$x^2 + 2xy - 3y^2$。
因式分解的重要性
01
02
2024七年级数学下册第9章整式乘法与因式分解9.5多项式的因式分解课件新版苏科版
感悟新知
知4－讲
二定：确定公式中的a 和b，除a 和b 是单独一个 数或字母外，其余不管是单项式还是多项式都必须 用括号括起来，表示一个整体.
三套：套用平方差公式进行分解. 四整理：将每个因式去括号，合并同类项化成最 简的.
感悟新知
知4－讲
特别解读
1. 因式分解中的平方差公式法是乘法公式中的平
方差公式逆用的形式.
D 选项中，括号内最后一项漏掉了，应该是a2b＋
5ab－b=b(a2＋5a－1)，故错误.
答案：B
感悟新知
知识点 4 运用平方差公式分解因式
知4－讲
1. 平方差公式法 用字母表示：a2－b2=(a＋b)(a－b). 文字描述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两 个数的差的积.
感悟新知
知4－讲
感悟新知
(3) 116a2－ 12ab＋b2 ；
知5－练
解题秘方：先确定完全平方公式中的“a”“b”，再运用
完全平方公式分解因式.
解：原式=( 14a)2－2×14a·b＋b2 = (14a－b)2.
感悟新知
知5－练
(4)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.
解题秘方：先确定完全平方公式中的“a”“b”，再运用
公因式中的字母，各字母的指数取其中次数最低的．
感悟新知
3. 注意
知2－讲
若多项式各部分中含有相同的多项式因式，则应将其看
成一个整体，不要拆开，作为公因式中的因式.
如3x(x－y)＋x2(x－y)的公因式是x(x－y).
感悟新知
知2－讲
特别解读 1. 公因式可以是数，也可以是单项式或多项式. 2. 若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可
七年级数学下册复习知识点讲义14---多项式的因式分解
根据左面的算式填空: (1) 3x2-3x=_3__x_(_x_-_1_)__ (2) ma+mb+mc=_m__(_a_+_b__+_c) (3) m2-16=_(_m__+_4_)_(_m__-_4_) (4) x2-6x+9=__(_x_-_3_)_2____ (5) a3-a=_a_(_a_+__1_)_(_a_-_1_)
2021/3/20
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形有什么不同? 答:由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法,由a3-a得到 a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形互为逆过程.
2021/3/20
993-99能被100整除吗?你是怎样想的Biblioteka 与同伴交流.2021/3/20
3．一个多项式因式分解结果为-a(a+3)(a-3)，则这个 多项式是_________. 【解析】根据因式分解与整式乘法是互逆变形，所以 -a(a+3)(a-3)=-a(a2-9)=-a3+9a. 答案：-a3+9a
2021/3/20
4.32 014－4×32 013＋10×32 012能被7整除吗？试说明理 由. 【解析】能. 因为原式＝32 012（32－4×3＋10）
整式乘法
(3)(5a-1)2=25a2-10a+1 (4)x2+4x+4=(x+2)2 (5)(a-3)(a+3)=a2-9
整式乘法 因式分解 整式乘法
(6)m2-42=(m+4)(m-4)
因式分解
多项式的因式分解(1)——提公因式法
(1) 5x3-10x2 (5x2 ) (2) 12ab2c-6ab (6ab ) (3) -2m3+8m2-12m (-2m )
（1）解：原式=5x2·x-5x2·2 =5x2(x-2)
记得写出因数“1”
（2）解：原式=6ab·2bc-6ab·1 =6ab(2bc-1)
（3）解：原式=-(2m3 -8m2 +12m) =-(2m·m2-2m·4m+2m·6) =-2m(m2-4m+6)
二．填空题 5. 多项式 2x2 y3z 4x3 y3z 6x4 yz2 各项的公因式是___________；
6. 12 x2 32 x 4x (________); 5x2 10 xy (________) (x 2y).
7. 若 x=49,y=1007,则 xy-7x=
.
8. 若 a2+a-1=0,则 a -a -a 2019 2020 2021 =___________.
解：原式=32×3198-4×3×3198+10×3198
“数”与“式”
=3198(9-12+10）
的相互变换
提公因式法
=3198×7
∵ 3198为整数， ∴ 3198×7是7的倍数， 即： 3200-4×3199+10×3198的值是7的倍数。
学以致用
3.△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC
=3(x-y)2·[a- 2b(x-y)]
=3(x-y)2(a-2bx+2by)
学以致用
1、已知a+b=5 ， ab=3， 求a2b+ab2的值。
解：a2b+ab2=ab·a +ab·b =ab(a+b)
（1）解：原式=5x2·x-5x2·2 =5x2(x-2)
记得写出因数“1”
（2）解：原式=6ab·2bc-6ab·1 =6ab(2bc-1)
（3）解：原式=-(2m3 -8m2 +12m) =-(2m·m2-2m·4m+2m·6) =-2m(m2-4m+6)
二．填空题 5. 多项式 2x2 y3z 4x3 y3z 6x4 yz2 各项的公因式是___________；
6. 12 x2 32 x 4x (________); 5x2 10 xy (________) (x 2y).
7. 若 x=49,y=1007,则 xy-7x=
.
8. 若 a2+a-1=0,则 a -a -a 2019 2020 2021 =___________.
解：原式=32×3198-4×3×3198+10×3198
“数”与“式”
=3198(9-12+10）
的相互变换
提公因式法
=3198×7
∵ 3198为整数， ∴ 3198×7是7的倍数， 即： 3200-4×3199+10×3198的值是7的倍数。
学以致用
3.△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC
=3(x-y)2·[a- 2b(x-y)]
=3(x-y)2(a-2bx+2by)
学以致用
1、已知a+b=5 ， ab=3， 求a2b+ab2的值。
解：a2b+ab2=ab·a +ab·b =ab(a+b)
多项式的因式分解(第2课时)(课件)七年级数学下册(苏科版)
互
逆
这个公式仍称做平方差公式,
利用它可以把形式是平方差
的多项式因式分解.
新知巩固
练一练：
1.下列多项式哪些可以用平方差公式分解因式？哪些不能？为什么？
①x2－y2
②x2＋y2
③－x2－y2
④－x2＋y2
⑤64－a2
⑥4x2－9y2
特点： 只有两项,且两项异号;
想一想：可以用平方差公式分解因
2-b2形式.
＝2(2x＋1)·2(2x－1)
＝4(2x＋1)(2x－1)．
注意：结果化
为最简形式
＝4[(2x)2－12]
＝4(2x＋1)(2x－1)．
课堂小结
注意：平方差公式中的a，b不仅可以表示
数、单项式，也可以是多项式，
不妨a，b用符号“□”和“△”表示，公式可
形象地表示为□2－△2＝(□＋△)(□－△)．
x2－4＝(x＋2)( x－2 )
（2）(2a＋5b)(2a－5b)＝( 4a2－25b2); 4a2－25b2＝( 2a+5b )( 2a－5b )
从以上解答中，你有什么发现？
新知探索
平方差公式
整式乘法
(a+b)(a － b)
因式分解
2－b2
a
=
=
左边：要被分解因式的多项式.
右边：分解因式的结果.
答：圆环形绿地的面积为700πcm2.
32m
18m
新知巩固
如图所示，在一块长为a cm的正方形纸板的四角各剪去一个
边长为b cm(b< a)的小正方形，利用因式分解计算：当a＝13.2，
b＝3.4时，求剩余部分的面积．
解： a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)．
多项式的因式分解-第1课时(课件)七年级数学下册(苏科版)
公因式、因式分解
01 知问识题精引讲入
Q1：巧算：29×7+29×2.1+29×0.9 【解答】 原式=29×(7+2.1+0.9) =29×10 =290
01 知问识题精引讲入
Q2：运用所学的知识填空 (1) m(a+b+c)=_m__a_+_m__b_+_m__c_； (4) ma+mb+mc=( m )(a+b+c) (2) x2(x+1)=____x_3_+_x_2____； (5) x3+x2=( x2)(x+1) (3) ab(x-y)=___a_b_x_-_a_b_y___. (6) abx-aby=(ab)(x-y)
课后总结
【因式分解】 像这样，把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解
【注意点】 ①因式分解与整式乘法是互逆运算； ②因式分解是两个或几个因式积的形式，且每个因式都是整式；整式乘法是多项式的形式； ③因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验； ④因式分解必须分解彻底．
【提公因式法】 把多项式的公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，
【分析】 b2(x-2)+b(2-x) =b2(x-2)-b(x-2) =b(x-2)·b-b(x-2)·1 =b(x-2)(b-1)．
【利用提公因式法求值】
例5、已知x2y+xy2=42，xy=7，则x+y=____6____．
【分析】 ∵x2y+xy2=42，xy=7， ∴xy(x+y)=42， ∴x+y=6．
提公因式法
02 知识精讲
提公因式法
_9-5多项式的因式分解课件2022-2023学年苏科版七年级数学下册
8、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，
那么m的值为（
B）
A、6 B、±6
C、3 D、±3
9、把 a b2 4a b 4 分解因式得
（C ）
A、a b 12 B、a b 12 C、a b 22 D、a b 22
10、计算1002 210099 992 的
结果是（ A ）
(1) ab+ac+d=a(b+c)+d (2) a2-1=(a+1)(a-1)
(3) (a+1)(a-1) = a2-1
(4) x2+1=x(x+ )1
x
答案（1）不是；（2）是； （3）不是；（4）不是
课堂练习：
把下列各式分解因式：
（1）4x2-12x3
（2）-x2y+4xy-5y
解:（1）4x2-12x3 =4x2.1-4x2.x =4x2 （1-x）
几个整式的积的形式。
联系：
多项式的因式分解与整式乘法是两种
相反方向的变形，它们互为逆过程。
例1、（1） 把6a3b-9a2b2c分解因式
想一想： 1、多项式6a3b-9a2b2c各项的公因式是什么？
2、你能把多项式6a3b-9a2b2c各项写成公因 式与另一个因式的积吗？向你的同伴说说你 是如何得到另一个因式的？
a2 2abb2 a2 2abb2
我们把以上两个式子 叫做完全平方式
两个“项”的平方和加 上（或减去）这两“项” 的积的两倍
判别下列各式是不是 完全平方式
1x2 2xy y2 是 2A2 2AB B2 是 3甲2 2甲乙 乙2 是 42 2 2 是
a2 2abb2 a2 2abb2
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2019年6月9日
你是眼中最美的风景
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7. 把多项式 a2－4a 分解因式，结果正确的是( A )
A．a(a－4)
B．(a＋2)(a－2)
C．a(a＋2)(a－2)
D．(a－2)2－4
8. 下列因式分解正确的是( A )
A．2x2－2＝2(x＋1)(x－1)
B．x2＋2x－1＝(x－1)2
C．x2＋1＝(x＋1)2
2019年6月9日
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19. (2018 春·永新县期末)阅读例题，回答问题：
例题：已知二次三项式：x2－4x＋m 有一个因式是 x
＋3，求另一个因式以及 m 的值．
解：设另一个因式为 x＋n，得 x2－4x＋m＝(x＋3)(x
＋ n) ， 则 x2 － 4x ＋ m ＝ x2 ＋ (n ＋ 3)x ＋ 3n. 所 以 nm＋＝33＝n，－4，所以nm＝＝－－72，1，
(1)mx2－2mx＋m＝m(x－1)2； (2)x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1； (3)2a(b－c)＝2ab－2ac； (4)(a＋3)(a－3)＝(a－3)(a＋3)； (5)(a＋5)(a－5)＝a2－25.
解：(3)(5)是整式乘法；(1)是因式分解； (2)(4)两者都不是．
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18. 小虎、小飞两名同学将一个二次三项式分解因 式，小虎同学因看错了一次项系数，而分解成 2(x－1)(x －9)；小飞同学看错了常数项，而分解成 2(x－2)(x－4)， 请写出原多项式．
解：因为 2(x－1)(x－9)＝2x2－20x＋18， 2(x－2)(x－4)＝2x2－12x＋16. 又小虎同学看错了一次项系数，小飞同学看错了常 数项， 所以原二次三项式为 2x2－12x＋18.
C．2 个
D．3 个
10. 已知多项式 2x2＋bx＋c 因式分解为 2(x－3)(x＋
1)，则 b，c 的值为( D )
A．b＝3，c＝－1
B．b＝－6，c＝2
C．b＝－6，c＝－4 D．b＝－4，c＝－6
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11. 因为(2a＋b)(__2_a_－__b__)＝4a2－b2，所以 4a2－b2 ＝(__2a_＋__b___)(_2_a_－__b___)．
12. 已知关于 x 的二次三项式 3x2－mx＋n 因式分解 的结果为(3x＋2)(x－1)，则 m＝_1_，n＝－__2__.
13. 如果多项式 M 可因式分解为 3(1＋2x)(－2x＋ 1)，则 M＝__3_－__1_2_x_2 __．
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14. 下列各式从左到右的变形中，哪些是整式乘 法？哪些是因式分解？哪些两者都不是？
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根据上面的算式将下列多项式进行因式分解： (5)ax＋ay＋a； 解：原式＝a(x＋y＋1)． (6)a2－b2； 解：原式＝(a＋b)(a－b)． (7)a2＋2ab＋b2； 解：原式＝(a＋b)2. (8)8y2＋8y.
解：原式＝8y(y＋1)．
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D．x2－x＋2＝x(x－1)＋2
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9. 下列各式从左边到右边的变形：①15x2y＝3x·5xy； ②(x＋y)(x－y)＝x2－y2；③x2－2x＋1＝(x－1)2；④x2－
3x＋1＝xx－3＋1x，其中是因式分解的有( B )
A．0 个
B．1 个
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15. 检验下列因式分解是否正确． (1)a3－ab＝a(a2－b)； (2)x2－x－6＝(x－2)(x－3)； (3)2a2－3ab－2b2＝(2a＋b)(a－2b)； (4)9m2－6mn＋4n2＝(3m－2n)2. 解：(1)、(3)正确；(2)、(4)不正确．
2019年6月9日
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(2)求 m 的值． 解：因为当 x＝－1 时，x4＋2x3－x＋m＝0， 把 x＝－1 代入 x4＋2x3－x＋m＝0， 得 1＋2×(－1)－(－1)＋m＝0，故 m＝0.
2019年6月9日
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则2kn＝－5n5＝ ， 3， 解得 n＝4，k＝20， 故另一个因式为(x＋4)，k 的值为 20.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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20. 已知多项式 x4＋2x3－x＋m 能因式分解，且含 有因式 x＋1.
(1)当 x＝－1 时，求多项式 x4＋2x3－x＋m 的值； 解：因为 x＋1 是 x4＋2x3－x＋m 的一个因式， 所以可设其他因式的乘积为 A， 则 x4＋2x3－x＋m＝A·(x＋1)， 当 x＝－1 时，x＋1＝0， 故多项式 x4＋2x3－x＋m 的值是 0.
A．2
B．3
C．－2
D．－3
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5. 由(x－2)(x－1)＝x2－3x＋2，则 x2－3x＋2 因式 分解为___(x_－__2_)_(_x_－__1_) ___．
6. 把多项式 x2＋mx＋5 因式分解得(x＋5)(x＋n)， 则 m＝_6_，n＝_1_．
【解析】(x＋5)(x＋n)＝x2＋(5＋n)x＋5n＝x2＋mx ＋5，则55＋ n＝n＝ 5，m，解得mn＝＝16.，
第三章 因式分解 3．1 多项式的因式分解
2019年6月9日
你是眼中最美的风景
1
1. 把一个多项式化为几个_多__项__式__乘__积_的形式叫做 多项式的因式分解．
2. 因式分解和整式乘法是互__逆__变形．多项式的因式 分解是把和差的形式化为积的形式，而整式乘法是把积 的形式化为和差的形式．
2019年6月9日
所以另一个因式为 x－7，m＝21.仿照以上方法解答
下面的问题：
已知二次三项式 2x2＋3x－k 有一个因式是 2x－5，
求另一个因式以及 k 的值．
2019年6月9日
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解：设另一个因式为(x＋n)，得 2x2＋3x－k＝(2x－ 5)(x＋n)＝2x2＋(2n－5)x－5n，
你是眼中最美的风景
2
知识点 因式分解的概念 1. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是 (D ) A．a(x－y)＝ax－ay B．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 C．(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3 D．x3－x＝x(x＋1)(x－1)
2019年6月9日
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2. 下列式子是因式分解的是( C ) A．x(x－1)＝x2－1 B．x2－x＝x(x＋1) C．x2＋x＝x(x＋1) D．x2－x＝(x＋1)(x－1)
2019年6月9日
你是眼中最美的风景
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知识点 因式分解与整式乘法的区别和联系
3. (3a－y)(3a＋y)是下列哪一个多项式因式分解的
结果( C )
A．9a2＋y2 C．9a2－y2
B．－9a2＋y2 D．－9a2－y2
4. 把 x2＋3x＋C 分解因式得：x2＋3x＋C＝(x＋1)(x
＋2)，则 C 的值为( A )
你是眼中最美的风景
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16. 已知多项式 ax2＋bx＋c 分解因式的结果是(3x＋ 1)(4x－3)，求 a＋b＋c 的值．
解：ax2＋bx＋c＝(3x＋1)(4x－3) ＝12x2－5x－3， 则 a＝12，b＝－5，c＝－3， 则 a＋b＋c＝4.
2019年6月9日
你是眼中最美的风景
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17. 计算下列各式： (1)(a＋b)(a－b)＝_a_2_－__b_2 ； (2)(a＋b)2＝__a_2＋__2_a_b_＋__b_2___； (3)8y(y＋1)＝__8_y_2＋__8_y___； (4)a(x＋y＋1)＝_a_x_＋__a_y_＋__a_____；