二次函数与几何图形综合

②当点 E 在点 F 下方时，EF＝34m－3.
∵PE＝5EF，∴－m2＋149m＋2＝5（34m－3）.
即 m2－m－17＝0.
解得 m3＝1＋2 69，m4＝1－ 269（舍去）.
综上所述，m
的值为
2
或1＋2
69 .
类型3 周长最值问题
3.（2019·凉山州节选）如图，抛物线 y＝－x2＋2x＋3 与 x 轴交于点 A， B，与 y 轴交于点 C，在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使得△PAC 的 周长最小，若存在，请求出点 P 的坐标及△PAC 的周长；若不存在，请说 明理由.
解：∵点 P 的横坐标为 m，∴P（m，－m2＋4m＋5），E（m，－43m ＋3），F（m，0）.
∵点 P 在 x 轴上方，要使 PE＝5EF，点 P 应在 y 轴右侧，∴0<m<5. ∴PE＝－m2＋4m＋5－（－34m＋3）＝－m2＋149m＋2. 分两种情况讨论：
①当点 E 在点 F 上方时，EF＝－34m＋3. ∵PE＝5EF，∴－m2＋149m＋2＝5（－34m＋3）. 即 2m2－17m＋26＝0. 解得 m1＝2，m2＝123（舍去）；
数学 九年级 下册 （北师）
第二章 二次函数 小专题（十） 二次函数与几何图形综合
题组1 线段相关问题
类型1 线段最值问题
1.如图，抛物线 y＝ax2＋bx－3 过 A（1，0），B（－3，0），直线 AD 交抛物线于点 D，点 D 的横坐标为－2，点 P（m，n）是线段 AD 上的动点.
（1）求直线 AD 及抛物线的表达式； （2）过点 P 的直线垂直于 x 轴，交抛物线于点 Q， 求线段 PQ 的长度 l 与 m 的关系式，m 为何值时， PQ 最长？
∴直线 BC 的表达式为 y＝－x＋3. ∴yP＝－1＋3＝2. ∴存在点 P（1，2）使△PAC 的周长最小，最小值为 10＋3 2.
∵A（－1，0），B（3，0），C（0，3）， ∴AC＝ 12＋32＝ 10，BC＝ 32＋32＝3 2. ∴AC＋CB＝ 10＋3 2. ∴△PAC 的周长最小为 10＋3 2. 设直线 BC 的表达式为 y＝kx＋t. 把点 B（3，0），C（0，3）代入，得 3t＝k＋3.t＝0，解得kt＝＝3－. 1，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：（1）把（1，0），（－3，0）代入 y＝ax2＋bx－3，得 a＋b－3＝0， 9a－3b－3＝0. 解得ab＝＝12，. ∴抛物线的表达式为 y＝x2＋2x－3. 当 x＝－2 时，y＝（－2）2＋2×（－2）－3＝－3， ∴D（－2，－3）.
设直线 AD 的表达式为 y＝kx＋t， 将 A（1，0），D（－2，－3）代入，得 k－＋2kt＝＋0t， ＝－3.解得kt＝＝－1，1. ∴直线 AD 的表达式为 y＝x－1.
（2）由题意知 P（m，m－1），Q（m，m2＋2m－3）（－2≤m≤1）， ∴l＝（m－1）－（m2＋2m－3）＝－m2－m＋2＝－（m＋21）2＋49. 当 m＝－12时，l 最大＝94.
类型2 线段数量关系问题
2.如图，抛物线 y＝－x2＋4x＋5 与 x 轴交于点 A（－1，0），B（5，0）， 直线 y＝－34x＋3 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 D.点 P 是 x 轴上方的抛物 线上一动点，过点 P 作 PF⊥x 轴于点 F，交直线 CD 于点 E.设点 P 的横坐 标为 m.若 PE＝5EF，求 m 的值.
解：在 y＝－x2＋2x＋3 中，令 y＝0，则－x2＋2x ＋3＝0.
解得 x1＝－1，x2＝3. ∴A（－1，0），B（3，0）. 在 y＝－x2＋2x＋3 中，令 x＝0，则 y＝3.∴C（0， 3）. 连接 BC 交抛物线的对称轴于点 P，则点 P 即为所求.此时△PAC 的周 长最小，等于 AC＋BC.