2020年中考数学一轮复习练习题 第24课时 直角三角形和勾股定理(含答案)
第24课时 直角三角形和勾股定理
一、选择题(每题5分，共35分)
1．[2019·滨州]满足下列条件时，△ABC 不是直角三角形的为( ) A ．AB ＝41，BC ＝4，AC ＝5 B ．AB ∶BC ∶AC ＝3∶4∶5 C ．∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5 D ．|cos A －12＋⎝⎛⎭
⎫tan B －3
32＝0
2．[2019·毕节]如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，若EB ＝1，EC ＝2，则正方形ABCD 的面积为( )
A. 3 B ．3 C ． 5
D ．5
3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，BC ＝12，则点C 到AB 的距离是( ) A.36
5 B ．1225
C ．94
D ．334
4．[2018·长沙]我国南宋著名数学家秦久韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500 m ，则该沙田的面积为( )
A ．7.5 km 2
B ．15 km 2
C ．75 km 2
D ．750 km 2
5．[2018·黄冈]如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为AB 边上的高，CE 为AB 边上的中线，AD ＝2，CE ＝5，则CD 的长为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．2 3
6．[2018·淄博]如图，在Rt △ABC 中，CM 平分∠ACB ，交AB 于点M ，过点M 作
MN∥BC，交AC于点N，且MN平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为()
A．4 B．6
C．4 3 D．8
7．[2019·宁波]勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图①，以直角三角形的各边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出()
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
二、填空题(每题5分，共25分)
8．[2018·福建]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，D为AB的中点，则CD ＝________.
9．已知直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边的长为________．
10．如图，有两棵树，一棵树高12 m，另一棵树高6 m，两树相距8 m．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少要飞行________m.
11．[2019·北京]如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB＋∠PBA＝________°.(点A，B，P是网格线交点)．
12．[2019·安顺]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D为斜边BC 上的一个动点，过D分别作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN 长度的最小值为________．
三、解答题(共10分)
13．(10分)[2019·福建改编]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，F为AC的中点．连接BE，BF，FD，求证：
(1)BF＝ED；
(2)四边形BEDF是平行四边形．
14．(10分)[2018·广安]如图，有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在图中的方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：
(1)画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形；
(2)画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形；
(3)画一个面积为5的等腰直角三角形；
(4)画一个边长为22，面积为6的等腰三角形．
15．(10分)[2019·巴中]等腰直角三角板如图放置，直角顶点C在直线m上，分别过点A，B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D.
(1)求证：EC＝BD；
(2)若设△AEC 三边分别为a ，b ，c ，利用此图证明勾股定理．
16．(10分)[2017·宜昌]能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a ，b ，c 称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公
式为⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝1
2
(m 2－n 2)，b ＝mn ，
c ＝12(m 2
＋n 2
)，
其中m >n >0，m ，n 是互质的奇数．当n ＝1时，求有一边长为5
的直角三角形的另外两条边长．
参考答案
1．C 2.B 3.A 4.A 5.C 6.B 7.C 8．3 9.5或7 10.10 11.45 12.12
5
13．(1)略 (2)略 14.略 15．(1)略 (2)略
16．直角三角形的另外两条边长分别为12,13或3,4.。
人教版数学中考复习三角形课时训练二十直角三角形与勾股定理【含答案】
课时训练(二十) 直角三角形与勾股定理(限时:40分钟)|夯实基础|1.如图K20-1,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B都是格点,则线段AB的长度为( )图K20-1A.5B.6C.7D.252.下列长度的四组线段中,可以构成直角三角形的是( )A.4,5,6B.1.5,2,2.5C.2,3,4D.1,,33.如图K20-2,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,边AB的垂直平分线DE交AB于点E,交BC于点D,CD=3,则BC的长为( )图K20-2A.6B.6C.9D.34.[2018·黄冈]如图K20-3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE=5,则CD=( )图K20-3A.2B.3C.4D.25.如图K20-4,将Rt△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到Rt△ADE,点B的对应点D恰好落在BC边上.若AC=,∠B=60°,则CD的长为( )图K20-4A.0.5B.1.5C.D.16.如图K20-5,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为斜边AB的中点,AB=10 cm,则CD的长为 cm.图K20-57.在等腰三角形ABC中,AB=AC=10 cm,BC=12 cm,则BC边上的高是 cm.8.如图K20-6,点E在正方形ABCD的边CD上,若△ABE的面积为8,CE=3,则线段BE的长为 .图K20-69.[2018·石景山期末]如图K20-7,6×6正方形网格(每个小正方形的边长为1)中,网格线的交点称为格点,△ABC的顶点都在格点上,D是BC的中点,AC= ,AD= .图K20-710.[2018·福建B卷]把两个相同大小的含45°角的三角板如图K20-8所示放置,其中一个三角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上,若AB=,则CD= .图K20-811.[2017·顺义一模]如图K20-9,一张三角形纸片ABC,其中∠C=90°,AC=6,BC=8.小静同学将纸片做两次折叠:第一次使点A落在C处,折痕记为m;然后将纸片展平做第二次折叠,使点A落在B处,折痕记为n.则m,n的大小关系是 .图K20-912.如图K20-10,在平面直角坐标系中,将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上),折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10,8),则点E的坐标为 .图K20-1013.[2017·怀柔二模]已知:如图K20-11,在四边形ABCD 中,AB⊥BD,AD∥BC,∠ADB=45°,∠C=60°,AB=.求四边形ABCD的周长.图K20-1114.如图K20-12,在△ABC中,点D在AB上,且CD=CB,点E为BD的中点,点F为AC的中点,连接EF交CD于点M,连接AM.(1)求证:EF=AC;(2)若∠BAC=45°,求线段AM,DM,BC之间的数量关系.图K20-12|拓展提升|15.[2018·怀柔期末]如图K20-13,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为2和10,则b的面积为( )A.8B.+C.2D.12图K20-1316.[2018·淮安]如图K20-14,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=5,分别以A,B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧交点分别为点P,Q,过P,Q两点作直线交BC于点D,则CD的长是 .图K20-1417.[2018·大兴检测]我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创造了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图K20-15①).图②是由弦图变化得到,它是用八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3,若S1+S2+S3=10,求S2的值.以下是求S2的值的解题过程,请你根据图形补充完整.图K20-15解:设每个直角三角形的面积为S,S1-S2= (用含S的代数式表示)①,S2-S3= (用含S的代数式表示)②.由①,②得S1+S3= .因为S1+S2+S3=10,所以2S2+S2=10.所以S2=.参考答案1.A 2.B 3.C 4.C5.D [解析] ∵∠B=60°,∴∠C=90°-60°=30°.∵AC=,∴AB=×=1,∴BC=2AB=2.由旋转的性质得AB=AD,∴△ABD是等边三角形,∴BD=AB=1,∴CD=BC-BD=2-1=1.6.57.88.59.210.-1 11.m>n12.(10,3) [解析] ∵点D的坐标为(10,8),∴OA=8,AD=OC=10.根据折叠的性质知,AF=AD=10,DE=EF.在Rt△AOF中,OF==6,∴CF=OC-OF=4.设CE=x,则DE=EF=8-x,则在Rt△CEF中,x2+42=(8-x)2,解得x=3,∴点E的坐标为(10,3).故填(10,3).13.解:∵AB⊥BD,∴∠ABD=90°.在Rt△ABD中,∠ABD=90°,∠ADB=45°,AB=,∴∠DAB=45°,∴∠DAB=∠ADB,∴BD=AB=.∴由勾股定理得:AD==2.∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC=45°.如图,过点D作DE⊥BC交BC于点E.∴∠DEB=∠DEC=90°.在Rt△DEB中,∠DEB=90°,∠DBE=45°,∴∠BDE=45°,sin∠DBE=.∴∠DBE=∠BDE,DE=,∴BE=DE=.在Rt△DEC中,∠DEC=90°,∠C=60°,∵sin C=,tan C=,∴CD=2,CE=1.∴BC=BE+CE=+1.∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=++1+2+2=+3+3.14.解:(1)证明:∵CD=CB,点E为BD的中点,∴CE⊥BD,∴∠AEC=90°.又∵点F为AC的中点,∴EF=AC.(2)∵∠BAC=45°,∠AEC=90°,∴∠ACE=∠BAC=45°,∴AE=CE.又∵点F为AC的中点,∴EF⊥AC,∴EF为AC的垂直平分线,∴AM=CM,∴AM+DM=CM+DM=CD.又∵CD=CB,∴AM+DM=BC.15.D16.1.617.4S 4S 2S2。
中考数学直角三角形与勾股定理专题训练(含答案)
中考数学直角三角形与勾股定理专题训练一、选择题1. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD 的面积为()A.B.3 C.D.52. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为()A.B.C.D.3. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为()A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米4. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点，则点D的个数共有()B，C)，若线段AD长为正整数．．．A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个5.小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间6. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE ⊥AB，垂足为E.若DE=1，则BC的长为()A.2+B.+C.2+D.37. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则()A. x－y2＝3B. 2x－y2＝9C. 3x－y2＝15D. 4x－y2＝218. 已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为()A.32B.332C.32D. 不能确定二、填空题9. 如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB+∠PBA=°(点A，B，P是网格线交点).10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8.分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F.过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则CD的长是________．11. 三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB ∥CF ，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD 的长度是 .12. 如图，△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°得到△DEC ，连接BD ，则BD 2的值是 .13. (2019•通辽)腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．14. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，AD ＝5，DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，则△ABE 的面积等于________．15. 在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，则AP 的长为________．16. (2019•伊春)一张直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=︒，10AB =，6AC =，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的△是直角三角形时，则CD的长为__________．点E处，当BDE三、解答题17. 如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.(1)线段DC=;(2)求线段DB的长度.18. 已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2，整式B>0.[尝试] 化简整式A.[发现] A=B2，求整式B.[联想] 由上可知，B2=(n2-1)2+(2n)2，当n>1时，n2-1，2n，B为直角三角形的三边长，如图.填写下表中B的值:直角三角形三边n2-1 2n B勾股数组Ⅰ8勾股数组Ⅱ3519. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF ∥AB交ED的延长线于点F.(1)求证:△BDE≌△CDF;(2)当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长.20. 在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完．．．．．．．．．．．．．成解答过程．．．．．21.如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港．(1)求A，C两港之间的距离(结果保留到0.1 km，参考数据：2≈1.414，3≈1. 732)；(2)确定C港在A港的什么方向．22. 已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】D[解析]如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=90°，∴AC===5.∴sin∠BAC==.故选D.3. 【答案】C[解析]在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A'BD中，∵∠A'DB=90°，A'D=2米，BD2+A'D2=A'B2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD>0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).4. 【答案】C【解析】如解图，当AD⊥BC时，∵AB＝AC，∴D为BC的中点，BD＝CD＝12BC＝4，∴AD＝AB2－BD2＝3；又∵AB＝AC＝5，∴在BD和CD之间一定存在AD＝4的两种情况，∴点D的个数共有3个．5. 【答案】C【解析】由作法过程可知，OA=2，AB=3，∵∠OAB=90°，∴OB=22222313+=+=，∴P点所表示的数就是OA AB13，∵91316<<，<<，∴3134即点P所表示的数介于3和4之间，故选C．6. 【答案】A[解析]过点D作DF⊥AC于F，如图所示，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF=1.在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2.在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CD=DF=，∴BC=BD+CD=2+.7. 【答案】B【解析】连接DE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，过E作EG⊥BC，垂足为G.∵AB＝AC，AF⊥BC，BC＝12，∴BF＝FC＝6，又∵E是AC的中点，EG⊥BC，∴EG∥AF，∴CG＝FG＝12CF＝3，∵在Rt△CEG中，tan C＝EG CG，∴EG＝CG×tan C＝3y；∴DG＝BF＋FG－BD＝6＋3－x＝9－x，∵HD是BE的垂直平分线，∴BD＝DE＝x，∵在Rt△EGD中，由勾股定理得，ED2＝DG2＋EG2，∴x2＝(9－x)2＋(3y)2，化简整理得，2x－y2＝9.8. 【答案】B【解析】如解图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AH⊥BC于点H，则BH＝32，AH＝AB2－BH2＝332.连接P A，PB，PC，则S△P AB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC，∴12AB·PD＋12BC·PE＋12CA·PF＝12BC·AH，∴PD＋PE＋PF＝AH＝332.二、填空题9. 【答案】45[解析]本题考查三角形的外角，可延长AP交正方形网格于点Q，连接BQ，如图所示，经计算PQ=BQ=，PB=，∴PQ2+BQ2=PB2，即△PBQ为等腰直角三角形，∴∠BPQ=45°，∴∠P AB+∠PBA=∠BPQ=45°，故答案为45.10. 【答案】5【解析】由题意知EF垂直平分AB，∴点D是AB的中点，∵∠ACB＝90°，∴CD为斜边AB的中线，∴CD＝12AB.∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝82＋62＝10，∴CD＝5.11. 【答案】15-5[解析]过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=10×tan60°=10.∵AB∥CF，∴∠BCM=∠ABC=30°，∴BM=BC×sin30°=10=5，CM=BC×cos30°=15.在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=5，∴CD=CM-MD=15-5.12. 【答案】8+4[解析]如图，连接AD，设AC与BD交于点O，由题意得CA=CD，∠ACD=60°，∴△ACD为等边三角形，∴AD=CD，∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°.∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴AC=CD=2.∵AB=BC，CD=AD，∴BD垂直平分AC，∴BO=AC=，OD=CD·sin60°=，∴BD=，∴BD 2=()2=8+4.13. 【答案】6或25或45【解析】①如图1，当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6；②如图2，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，∴2BD =，∴222425BC =+=，∴此时底边长为25；③如图3，当5AB AC ==，4CD =时，则223AD AC CD =-=，∴8BD =，∴45BC = ∴此时底边长为56或54514. 【答案】78 【解析】如解图，过A 作AH ⊥BC ，∵AB ＝15，AC ＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC ＝152＋202＝25，∵AD ＝5，∴DC ＝20－5＝15，∵DE ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴△CDE ∽△CBA ，∴CE CA ＝CD CB ，∴CE ＝1525×20＝12.法一：BC·AH ＝AB·AC ，AH ＝AB·AC BC ＝15×2025＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.法二：DE ＝152－122＝9，由△CDE ∽△CAH 可得，CD CA ＝ED HA ，∴AH ＝9×2015＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.15. 【答案】13 或10 【解析】(1)如解图①所示，当P 点靠近B 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝2，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝13；(2)如解图②所示，当P 点靠近C 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝1，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝10.综上可得：AP 长为13 或10.16. 【答案】3或247【解析】分两种情况：①若90DEB ∠=︒，则90AED C ∠=︒=∠，CD ED =，连接AD ，则Rt Rt ACD EAD △≌△，∴6AE AC ==，1064BE =-=，设CD DE x ==，则8BD x =-，∵Rt BDE △中，222DE BE BD +=，∴2224(8)x x +=-，解得3x =，∴3CD =；②若90BDE ∠=︒，则90CDE DEF C ∠=∠=∠=︒，CD DE =，∴四边形CDEF 是正方形，∴90AFE EDB ∠=∠=︒，AEF B ∠=∠， ∴AEF EBD △∽△，∴AF EF ED BD=， 设CD x =，则EF DF x ==，6AF x =-，8BD x =-， ∴68x x x x -=-，解得247x =，∴247CD =， 综上所述，CD 的长为3或247，故答案为：3或247．三、解答题17. 【答案】解:(1)4(2)∵AC=AD ，∠CAD=60°，∴△CAD 是等边三角形，∴CD=AC=4，∠ACD=60°.过点D 作DE ⊥BC 于E ，∵AC ⊥BC ，∠ACD=60°，∴∠BCD=30°.在Rt △CDE 中，CD=4，∠BCD=30°，∴DE=CD=2，CE=2，∴BE=，在Rt△DEB中，由勾股定理得DB=.18. 【答案】解:[尝试] A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2. [发现] ∵A=B2，B>0，∴B==n2+1.[联想] ∵2n=8，∴n=4，∴B=n2+1=42+1=17.∵n2-1=35，∴B=n2+1=37.∴填表如下:直角三角形三n2-1 2n B边勾股数组Ⅰ8 17勾股数组Ⅱ35 3719. 【答案】解:(1)证明:∵CF∥AB，∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△BDE≌△CDF.(2)∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，∴AB=AE+BE=1+2=3.∵AD⊥BC，BD=CD，∴AC=AB=3.20. 【答案】解：如解图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，设BD＝x，则CD＝14－x，根据勾股定理可得：AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2，即152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.(3分)∴AD2＝152－x2＝152－92＝144.(5分)∵AD>0，∴AD＝12.(8分)∴S△ABC＝12BC·AD＝12×14×12＝84.(10分)21. 【答案】(1)由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．∵AB=BC=10，∴22AB BC102．答：A、C两地之间的距离为14.1 km．(2)由(1)知，△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，∴C港在A港北偏东15°的方向上．22. 【答案】13证明：(1)∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴CD ＝CE ，AC ＝BC ，∠ECD ＝∠ACB ＝90°，∴∠ECD －∠ACD ＝∠ACB －∠ACD ，即∠ACE ＝∠BCD ，(1分) 在△ACE 与△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧EC ＝DC ∠ACE ＝∠BCD AC ＝BC，(3分)∴△ACE ≌△BCD(SAS )．(4分)(2)∵△ACE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ，∠EAC ＝∠B ＝45°，(6分)∴∠EAD ＝∠EAC ＋∠CAD ＝90°，在Rt △EAD 中，ED 2＝AD 2＋AE 2，∴ED 2＝AD 2＋BD 2，(8分)又ED 2＝EC 2＋CD 2＝2CD 2，∴2CD 2＝AD 2＋DB 2.(10分)。
2020中考数学 勾股定理复习题(含答案)
2020中考数学 勾股定理复习题（含答案）1．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A. a=1.5，b=2,c=3 B. a=7,b=24,c=25 C. a=6,b=8,c=10 D. a=3,b=4, c=52.图①是一个边长为()m n +的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图②能验证的式子是（ ）A ．22()()4m n m n mn +--=B ．222()()2m n m n mn +-+=C ．222()2m n mn m n -+=+D ．22()()m n m n m n +-=-3．已知两条线段的长为5cm 和12cm,当第三条线段的长为 cm 时,这三条线段能组成一个直角三角形.4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，PA 交⊙O 于C ，AB ＝3cm ，PB ＝4cm ，则BC ＝ ．5．已知：如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直 角三角形．若斜边AB ＝3,则图中阴影部分的面积为 ．← → → ←m n m nmn 图①图②第2题图6．如图，过原点的直线l与反比例函数的图象交于M，N两点，根据图象猜想线段MN的长的最小值是___________．7．长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了m．8．如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．9. 如图所示，四边形OABC是矩形，点A. C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B. C不重合），过点D作直线y＝－12x＋b交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分ABCEH第12题图1yx=-nBA6cm3cm1cm的面积；若改变，请说明理由.10. 已知△ABC 的两边AB. AC 的长是方程023)32(22=++++-k k x k x 的两个实数根，第三边BC ＝5。
中考数学复习《勾股定理》专项练习题-附带有答案
中考数学复习《勾股定理》专项练习题-附带有答案一、单选题1．线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．Ba= √41，b=4，c=5C．a= 34，b=1，c= 54D．a=40，b=50，c=602．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A．65B．95C．125D．1653．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为7和9，则b的面积为（）A．16 B．2 C．32 D．1304．如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在图中找出格点C，使得△ABC是腰长为无理数的等腰三角形，点C的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．75．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中S A=10，S B=8，S C=9，S D=4则下列判断不正确的是（）A．S E=18B．S F=13C．S M=31D．S M−S E=176．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（）A．2.1B．√5C．2√2D．2√37．我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a、b，那么(a+b)2的值为（）.A．49 B．25 C．13 D．18．如图，在△ABC中∠C=60°，AC=4，BC=3 .分别以点A，B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧交于M、N两点，作直线MN交AC于点D，则CD的长为（）A．1 B．75C．32D．3二、填空题9．如图，△ABC中AB=AC=10，BC=16，△ABC的面积是.10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O，且OC＝4 √2，则BC＝．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是12．某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙DE时，梯子底端A到左墙的距离AE为0.7m，梯子顶端D到地面的距离DE为2.4m，若梯子底端A保持不动，将梯子斜靠在右墙BC上，梯子顶端C到地面的距离CB为2m，则这两面直立墙壁之间的安全通道的宽BE为m．13．活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.如已知△ABC中∠A=30°，AC=3，∠A所对的边为√3，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为三、解答题14．如图，点C在∠DAB内部，CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B，CD＝CB，若AD＝5，求AB的长．15．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．AD＝1，BD＝4，CD＝2．求证：∠ACB＝90°．16．如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB=20米，A点到地面C点（B、C两点处于同一水平面）的距离AC=25米．若小鸟竖直下降12米到达D点（D点在线段AB上），求此时小鸟到地面C 点的距离．17．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，E为AC边上一点，且满足∠AED＝2∠DCB．（1）求证：DE∥BC；（2）若∠B＝90°，AD＝6，AE＝9，求CE的长．18．如图，在正△ABC的AC，BC上各取一点D，E，使AD=CE，AE，BD相交于点M（1）如图1，求∠BME的度数；（2）如图2，过点B作直线AE的垂线BH，垂足为H①求证：2MH+DM=AE；②若BE=2EC=2，求BH的长．答案1．D2．C3．A4．C5．D6．B7．A8．B9．4810．511．1.512．2.213．2√3或√314．解：解法一：连结AC∵CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B∴∠CDA=∠CBA=90°在Rt△ABC与Rt△ADC中有AC=AC，CD=CB∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）∴AB=AD=5解法二：连结AC∵CD⊥AD于点D，CB⊥AB于点B∴∠CDA=∠CBA=90°∵CD=CB∴由勾股定理得：AB= √AC2−BC2 = √AC2−CD2 =AD=515．证明：∵CD是△ABC的高∴∠ADC=∠BDC=90°．∵AD=1，BD=4，CD=2∴AC2=AD2+CD2=12+22=5，BC2=BD2+CD2=42+22=20，AB2=（1+4）2=25．∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形∴∠ACB=90°．16．解：由勾股定理得；BC2=AC2−AB2=252−202=225∴BC=15（米）∵BD=AB−AD=20−12=8（米）∴在Rt△BCD中，由勾股定理得CD=√DB2+BC2=√82+152=17∴此时小鸟到地面C点的距离17米．答；此时小鸟到地面C点的距离为17米．17．（1）证明：∵CD平分∠ACB∴∠ACD=∠DCB即∠ACB=2∠DCB又∵∠AED=2∠DCB∴∠ACB=∠AED∴DE//BC；（2）解：∵DE//BC∴∠EDC=∠BCD，∠B=∠ADE=90°∵∠BCD=∠ECD∴∠EDC=∠ECD∴ED=CE∵AD=6，AE=9∴DE=√AE2−AD2=√92−62=3√5∴CE=3√5．18．（1）解：∵△ABC是等边三角形∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°又∵AD=CE ∴△ABD≌△CAE(SAS)∴∠BME=∠ABD+∠BAE=∠CAE+∠BAE=∠BAC=60°（2）解：①∵BH⊥AE ∠BME=60°∴∠HBM=30°∴BM=2MH∵△ABD≌△CAE ∴AE=BD=BM+MD=2MH+MD②过点E作EG⊥AB于点GBE=2EC=2 ∴AB=BC=3∴使用ABC=60°∴BG=1，AG=2，由勾股定理可得，GE= √3，AE= √7设HE=x，则AH= √7 -x由勾股定理得32-（√7 -x）2=22-x2解得x= √77再由勾般定理可得：BH= 3√21.7。
2020年九年级中考数学一轮复习 勾股定理 练习(含答案)
2020年中考数学一轮复习勾股定理一、单选题1．若一个直角三角形的两直角边的长为12和5，则第三边的长为（ ）A ．13B ．13或15C ．13D ．152．下列长度的线段中，能构成直角三角形的一组是（ ）A B ．6，7，8 C ．12，25，27 D ． 3．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A,B,C 都在格点上，以A 为圆心，AB 为半径画弧，交最上方的网格线于点D ，则CD 的长为A ．√5B ．0. 8C ．3−√5D ．√134．如图，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，6AB =，9BC =，将ABC △折叠，使点C 与AB 的中点D 重合，折痕交AC 于点M ，交BC 于点N ，则线段BN 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．65．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3cm ，高是8cm 的长方体纸盒的A 点沿纸盒面爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是( )A ．+8)cmB ．10cmC ．14cmD ．无法确定6．一个梯子AB 长2.5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为1.5米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得BD 长为0.5米，则梯子顶端A 下落了（ ）米．A ．0.5B ．1C ．1.5D ．27．在△ABC 中，AB =8，BC =15，AC =17，则下列结论正确．．的是( ) A ．△ABC 是直角三角形，且△A =900B ．△ABC 是直角三角形，且△B =900 C ．△ABC 是直角三角形，且△C =900D ．△ABC 不是直角三角形8．点O 在线段AB 上，AO ＝2，OB ＝1，OC 为射线，且△BOC ＝60°，动点P 以每秒2个单位长度的速度从点O 出发，沿射线OC 做匀速运动，设运动时间为t 秒．当△ABP 是直角三角形时，t 的值为（ ）A ．18-+BC ．1或18-+D ．19．如图，在△ABC 中，5,6AB AC BC ===，动点P ，Q 在边BC 上（P 在Q 的左边），且2PQ =，则AP AQ +的最小值为（ ）A ．8B ．C ．9D ．10．如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5，则△ABC 的面积为（ ）A ．9+B ．9+C ．18+D ．18+二、填空题11．已知等腰三角形的底角是30°，腰长为_____．12．公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾6a =，弦10c =，则小正方形ABCD 的面积是____.13．观察以下几组勾股数,并寻找规律：△3，4，5；△5，12，13；△7，24，25；△9，40，41，…请你写出有以上规律的第△组勾股数:______ .14．如图，直线43y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，C 是OB 的中点，D 是AB 上一点，四边形OEDC 是菱形，则△OAE 的面积为________．三、解答题15．在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．16．如图，一架长为5米的梯子AB 斜靠在地面OM 垂直的墙ON 上，梯子底端距离墙的距离OB 的长为3米.（1）求梯子顶端与地面的距离OA的长.（2）若梯子顶点下滑1米到C点，求梯子的底端向右滑到D的距离.17．某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度为i AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，求山高BC（结果保留根号）．18．若正整数a，b，c（a＜b＜c）满足a2+b2＝c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．观察下列两类“勾股数”：第一类（a是奇数）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；…第二类（a是偶数）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；…（1）请再写出两组勾股数，每类各写一组；（2）分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明（a，b，c）是“勾股数”．19．现有一张矩形纸片ABCD（如图），其中AB＝4cm，BC＝6cm，点E是BC的中点．将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点B′，过E作EF垂直B′C，交B′C 于F．（1）求AE、EF的位置关系；（2）求线段B′C的长，并求△B′EC的面积．答案1．C 2．D 3．C 4．B 5．B 6．A 7．B8．C9．D10．A11．6+12．413．11、60、6114．15.作AD △BC 于D ，如图所示：设BD = x ，则14CD x =-．在Rt△ABD 中，由勾股定理得：2222215AD AB BD x =-=-，在Rt△ACD 中，由勾股定理得：()222221314AD AC CD x =-=--，△2215x -= ()221314x --，解之得：9x =．△12AD =． △1·2ABC S BC AD ∆= 11412842=⨯⨯=．16．（1）4AO =（米）.答：梯子顶端与地面的距离OA 的长为4米；（2）4OD ===（米），431BD OD OB =-=-=（米）. 答：若梯子顶点A 下滑1米到C 点，求梯子的底端向右滑到D 的距离是1米.17.作DF AC ⊥于F ．:1:DF AF =Q 200AD =米，tan DAF ∴∠=30DAF ∴∠=︒，1120010022DF AD ∴==⨯=（米)， 90DEC BCA DFC Q ∠=∠=∠=︒，∴四边形DECF 是矩形，100EC DF ∴==（米)，45BAC ∠=︒Q ，BC AC ⊥，45ABC ∴∠=︒，60BDE ∠=︒Q ，DE BC ⊥，90906030DBE BDE ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，453015ABD ABC DBE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，1453015BAD BAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，ABD BAD ∴∠=∠，200AD BD ∴==（米)，在Rt BDE ∆中，sin BE BDE BD∠=，·sin200BE BD BDE∴=∠==)，100BC BE EC∴=+=+)．18.（1）第一组（a是奇数）：9，40，41（答案不唯一）；第二组（a是偶数）：12，35，37（答案不唯一）；（2）当a为奇数时，212ab-=，212ac+=；当a为偶数时，214ab=-，214ac=+；证明：当a为奇数时，a2+b2＝2222221122a ca a⎛⎫⎛⎫+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+，△（a，b，c）是“勾股数”．当a为偶数时，a2+b2＝222 2221144a ca a⎛⎫⎛⎫+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-+△（a，b，c）是“勾股数”19.（1）由折线法及点E是BC的中点，△EB＝EB′＝EC，△AEB＝△AEB′，△△B'EC是等腰三角形，又△EF△B′C△EF为△B'EC的角平分线，即△B′EF＝△FEC，△△AEF＝180°﹣（△AEB+△CEF）＝90°，即△AEF＝90°，即AE△EF；（2）连接BB '交AE 于点O ，由折线法及点E 是BC 的中点， △EB ＝EB ′＝EC ，△△EBB ′＝△EB ′B ，△ECB ′＝△EB ′C ；又△△BB 'C 三内角之和为180°，△△BB 'C ＝90°；△点B ′是点B 关于直线AE 的对称点，△AE 垂直平分BB ′；在Rt△AOB 和Rt△BOE 中，BO 2＝AB 2﹣AO 2＝BE 2﹣（AE ﹣AO ）2 将AB ＝4cm ，BE ＝3cm ，AE ＝5cm ，△AO ＝165cm ，△BO 125cm ， △BB ′＝2BO ＝245cm ，△在Rt△BB 'C 中，B ′C 518cm ， 由题意可知四边形OEFB ′是矩形，△EF ＝OB ′＝125， △S △B ′EC ＝*111812108225525B C EF '⨯=⨯⨯=．。
中考数学一轮复习之直角三角形与勾股定理含答案
15.直角三角形与勾股定理(八上第13章、八下第17章)1.直角三角形的性质：(1)直角三角形的两个锐角；(2)直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的；(3)直角三角形斜边的中线等于斜边的.2.勾股定理：在直角三角形中，两直角边的等于斜边的.3.勾股定理的逆定理：若一个三角形两小边的平方和等于最大边的平方，则这个三角形为三角形.1.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为( )A.(2，0)B.(5-1,0)C.(10-1,0)D.(5,0)2.将一个有45度角的三角板的直角顶点放在一张宽3 cm的纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30度角，如图，则三角板的最大边的长为( )A.3 cmB.6 cmC.32cmD.62cm3.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m.则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为( )A.12 mB.13 mC.16 mD.17 m4.如图，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q.若BF=2，则PE 的长为( )A.2B.23C.3D.35.在△ABC 中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC 的长为 .6.已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，且满足关系222b -a -c +|a-b|=0，则△ABC 的形状为 .7.如图，从点A(0,2)发出的一束光，经x 轴反射，过点B(4,3)，则这束光从点A 到点B 所经过路径的长为 .8.如图，圆柱形玻璃杯，高为12 cm ，底面周长为18 cm ，在杯内离杯底4 cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm.9.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：(1)画线段AD∥BC且使AD=BC，连接CD；(2)线段AC的长为，CD的长为，AD的长为；(3)△ACD为三角形，四边形ABCD的面积为；(4)若E为BC中点，则tan∠CAE的值是.参考答案知识回顾1.(1)互余(2)一半(3)一半2.平方和平方3.直角达标练习1.C2.D3.D4.C5.266.等腰直角三角形8.15 9.(1)画图略.(3)直角101 (4)2。
2020年中考数学一轮复习精选题相似三角形(勾股定理,解直角三角形)(含答案)
15. 已知△ ABC 的三边长 a,b,c 满足
+|b ﹣ 2|+(c
﹣2
) 2 =0，则△ ABC一定
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是
三角形．
16. 若三角形三边之比为 3：4： 5，周长为 24，则三角形面积
．
17. 在 Rt △ ABC中，∠ C=90°， AC=6， BC=8，点 D 在 AB 上，若以点 D 为圆心， AD为半径的圆与
PQ.
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23. 如图，游客在点 A 处坐缆车出发，沿 A—B— D 的路线可至山顶 D 处，假设 AB和 BD都是直线 段，且 AB=BD=600m，α =75°，β =45°，求 DE的长 ( 参考数据： sin75 °≈ 0.97 ，cos75 °≈ 0.26 ，
2≈ 1.41).
∴
，∵ OD=O，B ∴ ED?BC=BO?BE，故④正确；
故选： A．
一、填空题 13. 答案为： ．
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14. 答案是： 7 15.答案为：等腰直角
16. 答案为： 24； 17. 答案为 3.75 ． 18.答案为： 4m
二、解答题 19. 【解答】解：∵ AD⊥ BC，∠ C=45°，∴△ ACD是等腰直角三角形，
24. 如图，⊙ O是△ ABC的外接圆， FH是⊙ O 的切线，切点为 F， FH∥ BC，连结 AF交 BC于E，∠ ABC 的平分线 BD交 AF于 D，连结 BF． （ 1）证明： AF平分∠ BAC； （ 2）证明： BF=FD； （ 3）若 EF=4， DE=3，求 AD的长．
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（ 2）解：∵ AD⊥ CD，∴∠ ADC=∠ACB=90°， 又∵∠ ACD=∠ B，∴△ ACB∽△ ADC，∴ AC2=AD?AB=1× 4=4，∴ AC=2．
中考数学复习----勾股定理知识点总结与专项练习题(含答案解)
中考数学复习----勾股定理知识点总结与专项练习题（含答案解） 知识点总结1. 勾股民定理的内容：在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方。
若直角三角形的两直角边是b a ，，斜边是c ，则222b a c +=。
2. 勾股数：满足直角三角形勾股定理的三个正整数是一组勾股数。
3. 勾股定理的逆定理：若三角形的三条边分别是c b a ，，，且满足222b a c +=，则三角形是直角三角形，且∠C 是直角。
4. 特殊三角形三边的比：①含30°的直角三角形三边的比例为（从小打大）：2:3:1。
②45°的等腰直角三角形三边的比例为（从小到大）：2:1:1。
5. 两点间的距离公式：若点()11y x A ，与点()22y x B ，，则线段AB 的长度为：()()221221y y x x AB −+−=。
练习题 1、（2022•攀枝花）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC ．若OC ＝，BC ＝1，∠AOB ＝30°，则OA 的值为（ ）A ．3B ．23C ．2D ．1【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠OBC＝90°，OC＝，BC＝1，∴OB＝＝＝2，∵∠A＝90°，∠AOB＝30°，∴AB＝OB＝1，∴OA＝＝＝，故选：A．2、（2022•荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（）A．120m B．603m C．605m D．1203m【分析】根据底部是边长为120m的正方形求出BC的长，再由含30°角的直角三角形的性质求解AB的长，利用勾股定理求出AC的长即可．【解答】解：如图，∵底部是边长为120m的正方形，∴BC＝×120＝60m，∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴AB ＝2BC ＝120m ，∴AC ＝＝m ． 故选：B ．3、（2022•百色）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知△ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝3，∠A 所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC 是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（ ）A ．23B ．23﹣3C ．23或3D ．23或23﹣3【分析】根据题意知，CD ＝CB ，作CH ⊥AB 于H ，再利用含30°角的直角三角形的性质可得CH ，AH 的长，再利用勾股定理求出BH ，从而得出答案．【解答】解：如图，CD ＝CB ，作CH ⊥AB 于H ，∴DH ＝BH ，∵∠A ＝30°，∴CH ＝AC ＝，AH ＝CH ＝，在Rt △CBH 中，由勾股定理得BH ＝＝，∴AB ＝AH +BH ＝＝2，AD ＝AH ﹣DH ＝＝， 故选：C ． 4、（2022•荆州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，通过尺规作图得到的直线MN 分别交AB ，AC 于D ，E ，连接CD ．若CE ＝31AE ＝1，则CD ＝ ．【分析】如图，连接BE ，根据作图可知MN 为AB 的垂直平分线，从而得到AE ＝BE ＝3，然后利用勾股定理求出BC ，AB ，最后利用斜边上的中线的性质即可求解．【解答】解：如图，连接BE ，∵CE ＝AE ＝1，∴AE ＝3，AC ＝4，而根据作图可知MN 为AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE ＝3，在Rt △ECB 中，BC ＝＝2，∴AB ＝＝2， ∵CD 为直角三角形ABC 斜边上的中线，∴CD ＝AB ＝．故答案为：． 5、（2022•广元）如图，在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∠C ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于21AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为（ ）A ．25B ．3C ．22D ．310 【分析】利用勾股定理求出AB ，再利用相似三角形的性质求出AE 即可．【解答】解：在Rt △ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝＝＝10， ∵BD ＝CB ＝6，∴AD ＝AB ﹣BC ＝4，由作图可知EF 垂直平分线段AD ，∴AF ＝DF ＝2，∵∠A ＝∠A ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AFE ∽△ACB ，∴＝， ∴＝，∴AE ＝，故选：A ．6、（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，BC 上的格点，BM ＝4，BN ＝2．若点P 是这个网格图形中的格点，连结PM ，PN ，则所有满足∠MPN ＝45°的△PMN 中，边PM 的长的最大值是（ ）A ．42B ．6C ．210D ．35【分析】在网格中，以MN 为直角边构造一个等腰直角三角形，使PM 最长，利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图所示：∵BM＝NC＝4，BN＝CP＝2，且∠B＝∠C＝90°，∴△BMN≌△CNP（SAS），∴MN＝NP，∠BMN＝∠CNP，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∴∠BNM+∠CNP＝90°，∴∠MNP＝90°，∴△NMP为等腰直角三角形，此时PM最长，在Rt△BMN和Rt△NCP中，根据勾股定理得：MN＝NP＝＝2，则PM＝＝2．故选：C．7、（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（）A．超市B．医院C．体育场D．学校【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理，可以得到点O到超市、学校、体育场、医院的距离，再比较大小即可．【解答】解：如右图所示，点O到超市的距离为：＝，点O到学校的距离为：＝，点O到体育场的距离为：＝，点O到医院的距离为：＝，∵＜＝＜，∴点O到超市的距离最近，故选：A．8、（2022•舟山）如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，点A在边DE 的中点上，若AB＝BC，DB＝DE＝2，连结CE，则CE的长为（）A．14B．15C．4D．17【分析】方法一：根据题意先作出合适的辅助线，然后根据勾股定理可以得到AB和BC的长，根据等面积法可以求得EG的长，再根据勾股定理求得EF的长，最后计算出CE的长即可．方法二：延长ED到F，使得DE＝DF，连接CF，BF，然后根据全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，可以求得CE的长．【解答】解：方法一：作EF⊥CB交CB的延长线于点F，作EG⊥BA交BA的延长线于点G，∵DB＝DE＝2，∠BDE＝90°，点A是DE的中点，∴BE＝＝＝2，DA＝EA＝1，∴AB＝＝＝，∵AB＝BC，∴BC＝，∵＝，∴，解得EG＝，∵EG⊥BG，EF⊥BF，∠ABF＝90°，∴四边形EFBG是矩形，∴EG＝BF＝，∵BE＝2，BF＝，∴EF＝＝＝，CF＝BF+BC＝+＝，∵∠EFC＝90°，∴EC＝＝＝，故选：D．方法二：延长ED到F，使得DE＝DF，连接CF，BF，如图所示，∵BD＝DE＝2，∠BDE＝90°，∴∠BDE＝∠BDF＝90°，EF＝4，∴△BDE≌△BDF（SAS），∴BE＝BF，∠BEA＝∠BF A＝45°，∵∠EBA+∠ABF＝90°，∠ABF+∠FBC＝90°，∴∠EBA＝∠FBC，∵BE＝BF，BA＝BC，∴△EBA≌△FBC（SAS），∴∠BEA＝∠BFC＝45°，AE＝CF，∴∠CFE＝∠BFC+∠AFB＝90°，∵点A为DE的中点，∴AE＝1，∴CF＝1，∴EC＝＝＝，故选：D．9、（2022•成都）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是．【分析】设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，由一元二次方程根与系数的关系可得a+b＝6，ab＝4，再由勾股定理即可求出斜边长．【解答】解：设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，∵直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，∴a+b＝6，ab＝4，∴斜边c＝＝＝＝2，故答案为：2．10、（2022•南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE ∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（）A．BF＝1B．DC＝3C．AE＝5D．AC＝9【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得CD和CE的长，再根据平行线的性质，即可得到AE的长，从而可以判断B和C，然后即可得到AC的长，即可判断D；再根据全等三角形的判定和性质即可得到BF的长，从而可以判断A．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，∴∠1＝∠2，DC＝FD，∠C＝∠DFB＝90°，∵DE∥AB，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE，∵DE＝5，DF＝3，∴AE＝5，CD＝3，故选项B、C正确；∴CE＝＝4，∴AC＝AE+EC＝5+4＝9，故选项D正确；∵DE∥AB，∠DFB＝90°，∴∠EDF＝∠DFB＝90°，∴∠CDE+∠FDB＝90°，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠FDB，∵tan∠DEC＝，tan∠FDB＝，∴，解得BF＝，故选项A错误；故选：A．11、（2022•通辽）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则AP的长为．【分析】题中60°的锐角，可能是∠A也可能是∠B；∠PCB＝30°可以分为点P在在线段AB上和P在线段AB的延长线上两种情况；直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，同时借助勾股定理求得AP的长度．【解答】解：当∠A＝30°时，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠CBA＝60°，BC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，AC＝3，①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∠CBA＝60°∴∠CPB＝90°，∴∠CP A＝90°，在Rt△ACP中，∠A＝30°，∴PC＝AC＝×3＝．∴在Rt△APC中，由勾股定理得AP＝．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝90°+30°＝120°，∵∠A＝30°，∴∠CP A＝30°．∵∠PCB＝30°，∴∠PCB＝∠CP A，∴BP＝BC＝3，∴AP＝AB+BP＝6+3＝9．当∠ABC＝30°时，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，AC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，BC＝3，①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝60°，∴△ACP是等边三角形∴AP＝AC＝3．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∠ABC＝30°，∴CP∥AP这与CP与AP交于点P矛盾，舍去．综上所得，AP的长为，9或3．故答案为：，9或3．12、（2022•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是．【分析】过点D作DM⊥CI于点M，过点F作FN⊥CI于点N，由正方形的性质可证得△ACJ≌△CDM，△BCJ≌△CFN，可得DM＝CJ，FN＝CJ，可证得△DMI≌△FNI，由直角三角形斜边上的中线的性质可得DI＝FI＝CI，由勾股定理可得MI，NI，从而可得CN，可得BJ与AJ，即可求解．【解答】解：过点D作DM⊥CI，交CI的延长线于点M，过点F作FN⊥CI于点N，∵△ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ＝4，∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，∴DM＝NF，∴△DMI≌△FNI（AAS），∴DI＝FI，MI＝NI，∵∠DCF＝90°，∴DI＝FI＝CI＝5，在Rt△DMI中，由勾股定理可得：MI＝＝＝3，∴NI＝MI＝3，∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，∵四边形ABHL为正方形，∴AL＝AB＝10，∵四边形AJKL为矩形，∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80，故答案为：80．13、（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝．【分析】由勾股定理和乘法公式完成计算即可．【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．故答案为：48．14、（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝．【分析】根据题意得出AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，设AF＝DE＝CH ＝BG＝x，结合图形得出AE＝x﹣1，利用勾股定理列方程求解．【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，则AE＝x﹣1，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴（x﹣1）2+x2＝52，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），∴x﹣1＝3，故答案为：3．15、（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）．【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，解得a＝m2﹣1，∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1，故答案为：m2+1．16、（2022•常州）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD＝60°，则橡皮筋AC断裂（填“会”或“不会”，参考数据：3≈1.732）．【分析】设AC与BD相交于点O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，从而可得△ABD是等边三角形，进而可得BD＝20cm，然后再在Rt△ADO中，利用勾股定理求出AO，从而求出AC的长，即可解答．【解答】解：设AC与BD相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝20cm，∴DO＝BD＝10（cm），在Rt△ADO中，AO＝＝＝10（cm），∴AC＝2AO＝20≈34.64（cm），∵34.64cm＜36cm，∴橡皮筋AC不会断裂，故答案为：不会．17、（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是．【分析】如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．求出梯形的上下底以及高，可得结论．【解答】解：如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∴DE＝＝＝5，在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，∴AB＝＝＝15，∵•DF•EF＝•DE•GF，∴FG＝，∴BG＝＝＝，∴GE＝BE﹣BG＝，AH＝GE＝，∴F′H＝FG＝，∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，∵BF∥AC，∴＝＝，∴BM＝AB＝，同法可证AN＝AB＝，∴MN＝15﹣﹣＝，∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积＝×（10+）×＝21，故答案为：21．18、（2022•泰州）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为．【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，第一步到①，第二步到②，故走两步后的落点与出发点间的最短距离为＝，故答案为：．。
勾股定理练习题及答案
勾股定理练习题及答案一、选择题1、直角三角形的两直角边分别为 5 厘米、12 厘米，则斜边长是（）A 13 厘米B 14 厘米C 15 厘米D 16 厘米答案：A解析：根据勾股定理，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
所以斜边的平方＝ 5²＋ 12²＝ 25 ＋ 144 ＝ 169，斜边长为 13 厘米。
2、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A 3，4，6B 5，12，13C 5，11，12D 2，3，4答案：B解析：对于选项 A，3²＋ 4²＝ 9 ＋ 16 ＝ 25，6²＝ 36，因为25 ≠ 36，所以不能组成直角三角形；对于选项 B，5²＋ 12²＝ 25 ＋ 144 ＝169，13²＝ 169，因为 169 ＝ 169，所以能组成直角三角形；对于选项C，5²＋ 11²＝ 25 ＋ 121 ＝ 146，12²＝ 144，因为146 ≠ 144，所以不能组成直角三角形；对于选项 D，2²＋ 3²＝ 4 ＋ 9 ＝ 13，4²＝ 16，因为13 ≠ 16，所以不能组成直角三角形。
3、一个直角三角形的三边长分别为 2，3，x，则 x 的值为（）A √13B √5C √13 或√5D 无法确定答案：C解析：当 x 为斜边时，x ＝√（2²＋ 3²) ＝√13；当 3 为斜边时，x ＝√（3² 2²) ＝√5。
所以 x 的值为√13 或√5 。
4、已知直角三角形的两条边长分别是 5 和 12，则第三边的长为（）A 13B √119C 13 或√119D 不能确定答案：C解析：当 12 为斜边时，第三边的长为√（12² 5²) ＝√119；当 5 和12 为直角边时，第三边的长为√（5²＋ 12²) ＝ 13。
中考数学复习 第七单元 三角形 第24课时 直角三角形和勾股定理试题
第24课时 直角三角形和勾股定理(66分)一、选择题(每题5分，共25分)1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( B )A.3，4， 5 B ．1，2， 3 C ．6，7，8D ．2，3，42.[2016·台州]如图24－1，数轴上点A ，B 分别对应1，2，过点B 作PQ ⊥AB ，以B 为圆心，AB 长为半径画弧，交PQ 于点C ，以原点O 为圆心，OC 长为半径画弧，交数轴于点M ，则点M 对应的数是 ( B ) A. 3 B. 5C. 6D.7【解析】 由题意，可得OB ＝2，BC ＝1，∴OM ＝OC ＝22＋12＝5，则点M 对应的数是 5.故选B.3．如图24－2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，BC ＝12，则点C 到AB 的距离是( A )A.365B.1225C.94D.334图24－2 第3题答图【解析】 如答图，在Rt △ABC 中，AC ＝9，BC ＝12，根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝15，过点C 作CD ⊥AB ，交AB 于点D ，S △ABC ＝12AC ·BC ＝ 12AB ·CD ，∴CD ＝AC ·BC AB ＝9×1215＝365，则点C 到AB 的距离是365.故选A.4．如图24－3，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3 cm的矩形纸带边沿上，图24－1另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最长边的长为( D )A ．3 cmB ．6 cmC ．3 2 cmD ．62 cm图24－3第4题答图【解析】 如答图，过点C 作垂线，交纸带对边沿于点D ，∴CD ＝3.在Rt △ADC 中，∵∠CAD ＝30°，∴AC ＝2CD ＝2×3＝6.又∵三角板是有45°角的三角板，∴AB ＝AC ＝6，∴BC 2＝AB 2＋AC 2＝62＋62＝72，∴BC ＝6 2.故选D. 5．如图24－4，在矩形ABCD 中，BC ＝6，CD ＝3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则线段DE 的长为( B )A ．3 B.154 C ．5D.152【解析】 设DE ＝x ，则AE ＝6－x .∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBC ，由题意，得∠EBD ＝∠DBC ，∴∠EDB ＝∠EBD ，∴EB ＝DE ＝x ，由勾股定理，得BE 2＝AB 2＋AE 2，即x 2＝32＋(6－x )2，解得x ＝154，∴DE ＝154.故选B.二、填空题(每题5分，共25分)6．[2017·潮南区模拟]如图24－5，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，若BC ＝10，AD ＝12，则AC ＝__13__.【解析】 ∵AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD ⊥BC ，BD ＝DC ，在Rt △ADC 中，AC ＝AD 2＋DC 2＝122＋52＝13.7．已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为__5或8．将一副三角尺按图24－6叠放在一起，若AB ＝14 cm ，则阴影部分的面积是__492__cm 2.【解析】 ∵∠B ＝30°，∴AC ＝12AB ＝7 (cm)，易证AC ＝CF ，∴S △ACF ＝12AC ·CF ＝12AC 2＝12×72＝492(cm 2)．图24－4图24－5图24－6 图24－79．如图24－7，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，E 是AC 的中点，若AD ＝6，DE ＝5，则CD 的长等于__8__.【解析】 ∵△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，E 是AC 的中点，DE ＝5，∴DE ＝ 12AC ，∴AC ＝10.在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，AD ＝6，AC ＝10，则根据勾股定理，得CD ＝AC 2－AD 2＝102－62＝8.10．如图24－8，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A 出发，经过3个面爬到点B ，如果它运动的路径是最短的，则AC 的长为__2103__．图24－8第10题答图【解析】 如答图，将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，此时AB 最短． ∵△BCM ∽△ACN ，∴MB NA ＝MC NC ，即42＝MCNC＝2， 即MC ＝2NC ，∴CN ＝13MN ＝23，在Rt △ACN 中，AC ＝AN 2＋CN 2＝2103.三、解答题(共16分)11．(8分)如图24－9，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，CD ＝5 cm ，求AB 的长．图24－9【解析】 要求的AB 在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，故只需求BC 的长；在Rt △BCD 中，DC ＝5 cm ，∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，故可求出BD ，BC 的长，从而根据AB ＝2BC 计算出结果．解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°， ∴AB ＝2BC ，∠ABC ＝60°.∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD ＝∠CBD ＝30°. ∵在Rt △CBD 中，CD ＝5 cm ，∴BD ＝10 cm ， ∴BC ＝5 3 cm ，∴AB ＝2BC ＝103(cm)．12．(8分)如图24－10，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于点E ，若AC ＝6，BC ＝8，CD ＝3.图24－10(1)求DE 的长； (2)求△ADB 的面积．解：(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∴AC ⊥CD . ∵AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB ，∴DE ＝CD ， ∵CD ＝3，∴DE ＝3；(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10， ∴S △ADB ＝12AB ·DE ＝12×10×3＝15.(24分)13．(6分)如果将长为6 cm ，宽为5 cm 的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是 ( A )A ．8 cmB ．5 2 cmC ．5.5 cmD ．1 cm【解析】 易知最长折痕为矩形对角线的长，根据勾股定理得对角线长为62＋52＝61≈7.8＜8，故折痕长不可能为8 cm.故选A.14．(8分)[2016·益阳]如图24－11，在△ABC 中，AB ＝15，BC ＝14，AC ＝13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．解：设BD ＝x ，∴CD ＝14－x ，由勾股定理，得AD 2＝AB 2－BD 2＝152－x 2，AD 2＝AC 2－CD 2＝132－(14－x )2，∴152－x 2＝132－(14－x )2，解得x ＝9， ∴AD ＝12.∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×14×12＝84.15．(10分)[2017·宁波]在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解．图24－12如图24－12，将矩形ABCD 的四边BA ，CB ，DC ，AD 分别延长至E ，F ，G ，H ，使得AE ＝CG ，BF ＝DH ，连结EF ，FG ，GH ，HE .(1)求证：四边形EFGH 为平行四边形；(2)若矩形ABCD 是边长为1的正方形，且∠FEB ＝45°，tan ∠AEH ＝2，求AE 的长．图24－11解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ＝BC ，∠BAD ＝∠BCD ＝90°， ∵BF ＝DH ，∴AH ＝CF ，在Rt △AEH 中，EH ＝AE 2＋AH 2， 在Rt △CFG 中，FG ＝CG 2＋CF 2， ∵AE ＝CG ，∴EH ＝FG ，同理，得EF ＝HG ， ∴四边形EFGH 为平行四边形； (2)在正方形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，设AE ＝x ，则BE ＝x ＋1，在Rt △BEF 中，∠BEF ＝45°， ∴BE ＝BF ，∵BF ＝DH ，∴DH ＝BE ＝x ＋1， ∴AH ＝AD ＋DH ＝x ＋2， 在Rt △AEH 中，tan ∠AEH ＝2，∴AH ＝2AE ，∴2＋x ＝2x ，解得x ＝2，∴AE ＝2.(10分)16．(10分)[2017·宜昌]阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a ，b ，c ，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12（m 2－n 2），b ＝mn ，c ＝12（m 2＋n 2），其中m ＞n ＞0，m ，n 是互质的奇数．应用：当n ＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长． 解：当n ＝1，a ＝12(m 2－1)①，b ＝m ②，c ＝12(m 2＋1)③，∵直角三角形有一边长为5，∴Ⅰ.当a ＝5时，12(m 2－1)＝5，解得m ＝±11(舍去)；Ⅱ.当b ＝5时，即m ＝5，代入①③，得a ＝12，c ＝13， Ⅲ.当c ＝5时，12(m 2＋1)＝5，解得m ＝±3.∵m ＞0，∴m ＝3，代入①②，得a ＝4，b ＝3.综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为12，13或3，4.。