2015年数学一模卷
37° B ①
45° D
l C （第 35 题）
37° B
α ②
45° D
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36． （8 分）已知 A 市出租车原收费标准如下：不超过 3 km 的路程按起步价 10 元收费，超过 3 km 以外的路程按 2.4 元/km 收费．为了减少出租车空车返回的损失，现 A 市决定实施返空费方案， 设出租车行驶的路程为 x km，具体方案如下：当 0＜x≤20 时，按原收费标准收费；当 x＞20 时，在原收费标准基础上，再加收 0.01x 元/km．例如，当出租车行驶了 50 km 时，收费总额为： 2.4×(50－3)＋10＋(0.01×50)×(50－20)＝137.8（元） ． （1）A 市实施返空费方案后，当 x＞20 时，求收费总额 y（元）与 x（km）的函数关系式； （2）自 4 月 1 日起，南京市实施的返空费方案是：不超过 20 km 的路程，与 A 市的原收费标准 相同； 超过 20 km 以外的路程， 按原单价 2.4 元/km 的 1.5 倍收费． 若行驶路程 x 超过 20 km， 分别按两市返空费方案计算，当收费总额相同时，求 x 的值．
A D
O B （第 24 题） C
25． （7 分）现有一组数：－1， 2，0，3，求下列事件的概率： （1）从中随机选择一个数，恰好选中无理数； （2）从中随机选择两个不同的数，均比 0 大．
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27． （8 分）为了解某校初二学生每周上网的时间，两位学生进行了抽样调查．小丽调查了初二电脑 爱好者中 40 名学生每周上网的时间；小杰从全校 400 名初二学生中随机抽取了 40 名学生，调查 了每周上网的时间．小丽与小杰整理各自样本数据，如下表所示．
A O 18º （第 34 题） B
35． （8 分）在某两个时刻，太阳光线与地面的夹角分别为 37°和 45°，树 AB 长 6 m． （1）如图①，若树与地面 l 的夹角为 90°，则两次影长的和 CD＝ （参考数据：sin37° ≈0.60，cos37° ≈0.80，tan37° ≈0.75． ） m； （2）如图②，若树与地面 l 的夹角为 α，求两次影长的和 CD（用含 α 的式子表示） ．
y D A B E （第 8 题） C ①
O ② ③ ④
x
（第 11 题）
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9．若一个反比例函数的图象经过点（2，3） ，则该反比例函数图象也经过点（－3， 10．若圆锥的高为 2，底面半径为 1，则这个圆锥的侧面积为
2 2 2 2
） ．
． ． ．
11．如图为函数：y＝x －1，y＝x ＋6x＋8，y＝x －6x＋8，y＝x －12x＋35 在同一平面直角坐标系 中的图象，其中最有可能是 y＝x2－6x＋8 的图象的序号是
y
，
） ；
400 A
100 O
B
C 4 D x
（第 29 题）
30． （8 分）如图 ①，一条笔直的公路上有 A、B、C 三地，B、C 两地相距 150 千米，甲汽车从 B 地乙汽车从 C 地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往 C、B 两地．甲、乙两车到 A 地的 距离 y1、y2（千米）与行驶时间 x（时）的关系如图 ② 所示．
32． （8 分）二次函数 y＝2x2＋bx＋c 的图象经过点（2，1） ， （0，1） ． （1）求该二次函数的表达式及函数图象的顶点坐标和对称轴； （2）若点 P (3 a , y1 ） ，Q (4 a , y2 ）在抛物线上，试判断 y1 与 y2 的大小． （写出判断的理由）
2 2
33． （10 分）如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 BD 上有一点 O，以 O 为圆心，OD 长为半径的圆 记作⊙O． （1）当⊙O 经过点 A 时，用尺规作出⊙O；此时，点 C 在⊙O 上吗？为什么？ （2）当⊙O 与 AB 相切于点 A 时， ①求证：BC 与⊙O 相切； ②若 OB＝1，⊙O 的面积＝ ．
17．2015 年南京 3 月份某周 7 天的最低气温分别是 -1℃，2℃， 3℃，2℃ ，0℃， -1℃，2℃．则
1 k 与 y 2 x 的图象没有交点，则 k 的取值范围为 x
18．圆锥的底面直径是 6，母线长为 5，则圆锥侧面展开图的圆心角是
19．如图， AB 为 ⊙O 的直径， CD 为 ⊙O 的弦，∠ACD 25 ，则∠BAD 的度数为
C． －2
D．2
C B O A （第 5 题） B C
A E
D
（第 6 题）
⌒的长度为 6．如图，半径为 1 的⊙O 与正五边形 ABCDE 相切于点 A、C，则劣弧 AC 3 4 3 2 A． π B． π C． π D． π 5 5 4 3 二、填空题 7．若李老师六个月的手机上网流量（单位：M）分别为 526，600，874，480，620，500，则李老师 这六个月平均每个月的手机上网流量为 M． ． 8． 如果按图中虚线对折可以做成一个上底面为无盖的盒子， 那么该盒子的下底面的字母是
D
C
A
B （第 33 题）
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34． （8 分）如图，跷跷板 AB 的一端 B 碰到地面时，AB 与地面的夹角为 18°，且 OA＝OB＝3m． （1）求此时另一端 A 离地面的距离（精确到 0.1 m） ； （2）跷动 AB，使端点 A 碰到地面，请画出点 A 运动的路线（写出画法，并保留画图痕迹） ，并求出 点 A 运动路线的长． （参考数据：sin18° ≈0.31，cos18° ≈0.95，tan18° ≈0.32）
D F 4 B E （第 13 题） C B
A
8
D 5 10 C （第 15 题）
（第 14 题）
15．如图为一个半径为 4 m 的圆形广场，其中放有六个宽为 1 m 的长方形临时摊位，这些摊位均有 两个顶点在广场边上，另两个顶点紧靠相邻摊位的顶点，则每个长方形摊位的长为 16．使式子 1+ 1 x 有意义的 x 的取值范围是 这 7 天最低气温的众数是 12．反比例函数 y ℃，中位数是 ． ℃． ． 度． ° ． m．
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三、解答题 5＋3x＞18， 22． （6 分）解不等式组x x－2 并写出不等式组的整数解． ≤4－ ． 2 3
23． （6 分）化简
a 2a 3a 2 a2 a2 a 4
24． （7 分）如图，在四边形 ABCD 中，AC、BD 交于点 O，AO＝CO，BO＝DO，∠ABC＝∠DCB． （1）求证：四边形 ABCD 是矩形； （2）要使四边形 ABCD 是正方形，请直接写出 AC、BD 还需要满足的条件．
28． （8 分）如图所示，某工人师傅要在一个面积为 15m2 的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢 板当工作台的桌面，且要使大正方形的边长比小正方形的边长大 1m．求裁剪后剩下的阴影部分 的面积．
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29． （8 分）小红驾车从甲地到乙地．设她出发第 x h 时距离乙地 y km，图中的折线表示她在整个驾 车过程中 y 与 x 之间的函数关系． （1）①已知小丽驾车中途休息了 1 小时，则 B 点的坐标为（ ②求线段 AB 所表示的 y 与 x 之间的函数关系式； （2）从图像上看，线段 AB 比线段 CD“陡” ，请说明它表示的实际意义．
37． （10 分）已知二次函数 y＝a(x－m)2－a(x－m)（a、m 为常数，且 a≠0）的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，其顶点为 D． （1）求点 A、B 的坐标； （2）过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 E．若△CBO 与△DAE 相似（O 为坐标原点） ，试讨论 m 与 a 的关系； （3）在同一平面直角坐标系中，若该二次函数的图象与二次函数 y＝－a(x－m)2＋a(x－m)的图 象组合成一个新的图形，则这个新图形的对称轴为 ．
y（千米）
B
图①
C
甲
乙
根据图象进行以下探究： （2）求图 ② 中 M 点的坐标，并解释该点的实际意义．
x（时） 图②
（1）请在图 ① 中标出 A 地的位置，并作简要的文字说明； （3）在图 ② 中补全甲车的函数图象，求 y1 与 x 的函数关系式．
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31． （7 分） 【他山之石】微博上，有这样一段内容： “如果人一生的时间用 A4 纸上 900 个大小一样 的格子来表示，那么 30 年的光阴占其中的 360 个格子．我们要将每个格子认真度过，且行且珍惜． ” 按这个说法，人的一生有多少年？请写出必要的计算过程； 【回看自我】今天距离中考约 1000 个小时．在这段时间里，我们的学习生活约 200 个小 时，休息睡眠约 300 个小时，其余时间约为 500 小时．请绘制一个适当的统计图表示这些数据．
时间段 （小时／周） 小丽抽样 人数 小杰抽样 人数
0～1 1～2 2～3 3～4
6 10 16 8
22 10 6 2
（每组可含最低值，不含最高值）
（1）你认为哪位同学抽取的样本不合理？请说明理由． （2）根据合理抽取的样本，把上图中的频数分布直方图补画完整； （3）专家建议每周上网 2 小时以上(含 2 小时)的同学应适当减少上网的时间，估计该校全体初二学 生中有多少名同学应适当减少上网的时间？
2
12．若关于 x 的方程 x －2 5x＋4＝0 的一个根为 x1＝ 5＋1，则另一个根 x2＝ 若∠C＝70°，则∠EDF＝ 则△MBC 的周长为
A
13．如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D、F 分别在 AB、AC 上，DF 垂直平分 AB，E 是 BC 的中点， °． ． 14．在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB 与 CD 不平行，根据图中数据，若 BA、CD 延长后交于 M，
2015年河南省六市联考高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年河南省六市联考高考数学一模试卷（理科）一．选择题：1．（5分）已知集合A＝{x|x2＞1}，B＝{x|log2x＞0}，则A∩B＝（）A．{x|x＜﹣1}B．{x|＞0}C．{x|x＞1}D．{x|x＜﹣1或x ＞1}2．（5分）如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A．﹣6B．C．D．23．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1＝0，公差d≠0，若a k＝a1+a2+a3+…+a7，则k＝（）A．22B．23C．24D．254．（5分）函数y＝的图象可能是（）A．B．C．D．5．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x值是（）A．3B．4C．6D．86．（5分）函数y＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为（）A．B．C．x＝1D．x＝27．（5分）已知正数x，y满足，则z＝4﹣x•（）y的最小值为（）A．1B．C．D．8．（5分）若α∈（，π），3cos2α＝sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A．1B．2C．3D．410．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a＝2，，则b的值为（）A．B．C．D．11．（5分）设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x 轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若＝λ+μ（λ，μ∈R），λ•μ＝，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）若直角坐标平面内A、B两点满足：①点A、B都在函数f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则点对（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”．点对（A，B）与（B，A）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f（x）＝，则f（x）的“姊妹点对”有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二．填空题：13．（5分）已知a＝（sin t+cos t）dt，则的展开式中的常数项为．14．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都等于1，则三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积．15．（5分）已知点A（0，2），抛物线C1：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，射线F A 与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：，则a 的值等于．16．（5分）已知f（x）＝，g（x）＝（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）＝f（a）＝g（b），则k的最大值为．三、解答题：17．（12分）已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5＝45，a2+a6＝14．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：+1（n∈N*），求数列{b n}的前n项和．18．（12分）在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场）共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为；（1）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；（2）设在该次比赛中，甲队得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）如图，已知长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（1）求证：AD⊥BM；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．20．（12分）已知椭圆C的焦点在x轴上，左右焦点分别为F1、F2，离心率e＝，P为椭圆上任意一点，△PF1F2的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点S（4，0）且斜率不为0的直线l与椭圆C交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为Q1，过点Q1与R的直线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；（3）若方程f（x）＝c有两个不相等的实数根x1，x2，求证：．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图所示，已知P A与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2＝EF•EC．（1）求证：CE•EB＝EF•EP；（2）若CE：BE＝3：2，DE＝3，EF＝2，求P A的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3＝0．（1）求直线l的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．选修4-5：不等式选讲24．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．2015年河南省六市联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：1．（5分）已知集合A＝{x|x2＞1}，B＝{x|log2x＞0}，则A∩B＝（）A．{x|x＜﹣1}B．{x|＞0}C．{x|x＞1}D．{x|x＜﹣1或x ＞1}【解答】解：集合A＝{x|x2＞1}＝{x|x＞1或x＜﹣1}，B＝{x|log2x＞0＝log21}＝{x|x＞1}，A∩B＝{x|x＞1}，故选：C．2．（5分）如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A．﹣6B．C．D．2【解答】解：由题意，＝＝∵复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数∴∴b＝，故选：C．3．（5分）在等差数列{a n}中，首项a1＝0，公差d≠0，若a k＝a1+a2+a3+…+a7，则k＝（）A．22B．23C．24D．25【解答】解：∵数列{a n}为等差数列且首项a1＝0，公差d≠0，又∵a k＝（k﹣1）d＝a1+a2+a3+…+a7＝7a4＝21d故k＝22故选：A．4．（5分）函数y＝的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y＝的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称．当x＞0时，，当x＜0时，，此时函数图象与当x＞0时函数的图象关于原点对称．故选：B．5．（5分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x值是（）A．3B．4C．6D．8【解答】解：执行程序框图，可得k＝1，s＝1满足条件s＜100，s＝4，k＝2；满足条件s＜100，s＝22，k＝3；满足条件s＜100，s＝103，k＝4；不满足条件s＜100，退出循环，x＝8，输出x的值为8．故选：D．6．（5分）函数y＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，则该函数的一条对称轴为（）A．B．C．x＝1D．x＝2【解答】解：函数y＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）为奇函数，所以φ＝，该函数的部分图象如图所表示，A、B分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为，所以，所以T＝4，ω＝，所以函数的表达式为：y＝﹣sin，显然x＝1是它的一条对称轴方程．故选：C．7．（5分）已知正数x，y满足，则z＝4﹣x•（）y的最小值为（）A．1B．C．D．【解答】解：＝2﹣2x•2﹣y＝2﹣2x﹣y，设m＝﹣2x﹣y，要使z最小，则只需求m的最小值即可．作出不等式组对应的平面区域如图：由m＝﹣2x﹣y得y＝﹣2x﹣m，平移直线y＝﹣2x﹣m，由平移可知当直线y＝﹣2x﹣m，经过点B时，直线y＝﹣2x﹣m的截距最大，此时m最小．由，解得，即B（1，2），此时m＝﹣2﹣2＝﹣4，∴的最小值为，故选：C．8．（5分）若α∈（，π），3cos2α＝sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：3cos2α＝sin（﹣α），可得3cos2α＝（cosα﹣sinα），3（cos2α﹣sin2α）＝（cosα﹣sinα），∵α∈（，π），∴sinα﹣cosα≠0，上式化为：sinα+cosα＝，两边平方可得1+sin2α＝．∴sin2α＝．故选：D．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是如图所示的四棱锥P﹣ABCD，且底面为直角梯形ABCD，高为2；∴该四棱锥的体积为V四棱锥＝××（2+4）×2×2＝4．故选：D．10．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a＝2，，则b的值为（）A．B．C．D．＝，【解答】解：∵在锐角△ABC中，sin A＝，S△ABC∴bc sin A＝bc＝，∴bc＝3，①又a＝2，A是锐角，∴cos A＝＝，∴由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即（b+c）2＝a2+2bc（1+cos A）＝4+6（1+）＝12，∴b+c＝2②由①②得：，解得b＝c＝．故选：A．11．（5分）设双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F作与x 轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若＝λ+μ（λ，μ∈R），λ•μ＝，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的渐近线为：y＝±x，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，﹣），P（c，），∵，∴（c，）＝（（λ+μ）c，（λ﹣μ）），∴λ+μ＝1，λ﹣μ＝，解得λ＝，μ＝，又由λμ＝得＝，解得＝，∴e＝＝故选：A．12．（5分）若直角坐标平面内A、B两点满足：①点A、B都在函数f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则点对（A，B）是函数f（x）的一个“姊妹点对”．点对（A，B）与（B，A）可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f（x）＝，则f（x）的“姊妹点对”有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：设点A（x，y）（x＜0）在f（x）的图象上，则点B（﹣x，﹣y）也在f（x）的图象上；故；故x2+2x+＝0，令g（x）＝x2+2x+＝x2+2x+（1﹣x）e x，g′（x）＝2x+2﹣xe x，故可知g（x）在（﹣∞，0）上先减后增，且g（﹣2）＝＞0，g（﹣1）＝﹣1＜0，g（0）＝1；且g（x）在（﹣∞，0）上连续，故x2+2x+＝0在（﹣∞，0）上有两个解，故f（x）的“姊妹点对”有2个；故选：C．二．填空题：13．（5分）已知a＝（sin t+cos t）dt，则的展开式中的常数项为﹣．【解答】解：∵a＝∫π0（sin t+cos t）dt＝2∴＝∵的二项展开式的通项为＝令6﹣2r＝0解得r＝3∴展开式中的常数项为故答案为14．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的所有棱长都等于1，则三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积．【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC的所有棱长都等于1，∴底面外接圆的半径为，∴三棱锥P﹣ABC的高为＝，∵三棱锥P﹣ABC的外接球与内切球的半径的比为3：1，∴三棱锥P﹣ABC的内切球的半径为，∴三棱锥P﹣ABC的内切球的表面积为4π×＝．故答案为：．15．（5分）已知点A（0，2），抛物线C1：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，射线F A 与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：，则a 的值等于4．【解答】解：依题意F点的坐标为（，0），设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，∴|KM|：|MN|＝1：，则|KN|：|KM|＝2：1，k FN＝＝﹣，k FN＝﹣＝﹣2∴＝2，求得a＝4，故答案为：4．16．（5分）已知f（x）＝，g（x）＝（k∈N*），对任意的c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）＝f（a）＝g（b），则k的最大值为3．【解答】解：当k＝1时，作函数f（x）＝，与g（x）＝（k∈N+）的图象如下，k＝1，对∀c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）＝f（a）＝g（b）成立，正确；当k＝2时，作函数f（x）＝，与g（x）＝（k∈N+）的图象如下，k＝2，对∀c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）＝f（a）＝g（b）成立，正确；当k＝3时，作函数f（x）＝，与g（x）＝（k∈N+）的图象如下，k＝3时，对∀c＞1，存在实数a，b满足0＜a＜b＜c，使得f（c）＝f（a）＝g（b）成立，正确，k＝4时，作函数f（x）＝，与g（x）＝（k∈N+）的图象如下，k＝4，不正确，故答案为：3．三、解答题：17．（12分）已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5＝45，a2+a6＝14．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：+1（n∈N*），求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则依题设d＞0．由a2+a6＝14，可得a4＝7．由a3a5＝45，得（7﹣d）（7+d）＝45，可得d＝2．∴a1＝7﹣3d＝1．可得a n＝2n﹣1．（Ⅱ）设c n＝，则c1+c2+…+c n＝a n+1，即c1+c2+…+c n＝2n，可得c1＝2，且c1+c2+…+c n+c n+1＝2（n+1）．∴c n+1＝2，可知c n＝2（n∈N*）．∴b n＝2n+1，∴数列{b n}是首项为4，公比为2的等比数列．∴前n项和S n＝＝2n+2﹣4．18．（12分）在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场）共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为；（1）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；（2）设在该次比赛中，甲队得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）设甲队获第一且丙队获第二为事件A，则P（A）＝＝（2）ξ可能的取值为0，3，6；则甲两场皆输：P（ξ＝0）＝（1﹣）（1﹣）＝甲两场只胜一场：P（ξ＝3）＝×（1﹣）+×（1﹣）＝甲两场皆胜：P（ξ＝6）＝＝∴ξ的分布列为Eξ＝0×+3×+6×＝19．（12分）如图，已知长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．（1）求证：AD⊥BM；（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．【解答】（1）证明：∵长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为DC的中点，∴AM＝BM＝，∴BM⊥AM，∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM；（2）建立如图所示的直角坐标系，设，则平面AMD的一个法向量，＝（，，），设平面AME的一个法向量为，取y＝1，得x＝0，y＝1，z＝，所以＝（0，1，），因为求得，所以E为BD的中点．20．（12分）已知椭圆C的焦点在x轴上，左右焦点分别为F1、F2，离心率e＝，P为椭圆上任意一点，△PF1F2的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点S（4，0）且斜率不为0的直线l与椭圆C交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为Q1，过点Q1与R的直线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为+＝1，a＞b＞0；∵e＝＝①，|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝2a+2c＝6②，a2﹣b2＝c2③；解得a＝2，b＝，∴椭圆C的方程为；…4分（Ⅱ）设直线l的方程为x＝my+4，与椭圆的方程联立，得，消去x，得（3m2+4）y2+24my+36＝0，∴△＝（24m）2﹣4×36（3m2+4）＝144（m2﹣4）＞0，即m2＞4；…6分设Q（x1，y1），R（x2，y2），则Q1（x1，﹣y1），由根与系数的关系，得；直线RQ1的斜率为k＝＝，且Q1（x1，y1），∴直线RQ1的方程为y+y1＝（x﹣x1）；令y＝0，得x＝＝＝，将①②代人上式得x＝1；…9分又S＝|ST|•|y1﹣y2|＝△TRQ＝18×＝18×＝18×≤，当3＝，即m2＝时取得“＝”；∴△TRQ的面积存在最大值，最大值是．…12分．21．（12分）设函数f（x）＝x2﹣（a﹣2）x﹣alnx．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；（3）若方程f（x）＝c有两个不相等的实数根x1，x2，求证：．【解答】解：（1）x∈（0，+∞）．＝＝．当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞0上单调递增，即f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．当a＞0时，由f′（x）＞0得；由f′（x）＜0，解得．所以函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）由（1）可得，若函数f（x）有两个零点，则a＞0，且f（x）的最小值，即．∵a＞0，∴．令h（a）＝a+﹣4，可知h（a）在（0，+∞）上为增函数，且h（2）＝﹣2，h（3）＝＝，所以存在零点h（a0）＝0，a0∈（2，3），当a＞a0时，h（a）＞0；当0＜a＜a0时，h（a）＜0．所以满足条件的最小正整数a＝3．又当a＝3时，f（3）＝3（2﹣ln3）＞0，f（1）＝0，∴a＝3时，f（x）由两个零点．综上所述，满足条件的最小正整数a的值为3．（3）∵x1，x2是方程f（x）＝c得两个不等实数根，由（1）可知：a＞0．不妨设0＜x1＜x2．则，．两式相减得+alnx2＝0，化为a＝．∵，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0．故只要证明即可，即证明x1+x2＞，即证明，设，令g（t）＝lnt﹣，则＝．∵1＞t＞0，∴g′（t）＞0．∴g（t）在（0，1）上是增函数，又在t＝1处连续且g（1）＝0，∴当t∈（0，1）时，g（t）＜0总成立．故命题得证．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）选修4﹣1：几何证明选讲如图所示，已知P A与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2＝EF•EC．（1）求证：CE•EB＝EF•EP；（2）若CE：BE＝3：2，DE＝3，EF＝2，求P A的长．【解答】（I）证明：∵DE2＝EF•EC，∠DEF公用，∴△DEF∽△CED，∴∠EDF＝∠C．又∵弦CD∥AP，∴∠P＝∠C，∴∠EDF＝∠P，∠DEF＝∠PEA∴△EDF∽△EP A．∴，∴EA•ED＝EF•EP．又∵EA•ED＝CE•EB，∴CE•EB＝EF•EP；（II）∵DE2＝EF•EC，DE＝3，EF＝2．∴32＝2EC，∴．∵CE：BE＝3：2，∴BE＝3．由（I）可知：CE•EB＝EF•EP，∴，解得EP＝，∴BP＝EP﹣EB＝．∵P A是⊙O的切线，∴P A2＝PB•PC，∴，解得．选修4-4：坐标系与参数方程23．平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3＝0．（1）求直线l的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．【解答】解：（1）直线l的参数方程是（t为参数），化为普通方程得：y ＝x∴在平面直角坐标系中，直线l经过坐标原点，倾斜角是，因此，直线l的极坐标方程是θ＝，（ρ∈R）；…（5分）（2）把θ＝代入曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3＝0，得ρ2﹣ρ﹣3＝0∴由一元二次方程根与系数的关系，得ρ1+ρ2＝，ρ1ρ2＝﹣3，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝＝．…（10分）选修4-5：不等式选讲24．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．【解答】解：（1）记f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|＝，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M＝（﹣，）．…（3分）∵a、b∈M，∴，所以|a+b|≤|a|+|b|＜×+×＝．…（6分）（2）由（1）得a2＜，b2＜．因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2＝（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）＝（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…（9分）所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…（10分）。
2015年一模名校联考数学试题及答案
第6题 P B AOx2015中考一模名校联考数学试题时间：120分钟 满分150分2015、2、12一、 选择题（每小题3分，共24分．）1的值等于（ ）A ．一2 C ． D 2、下列运算中，结果正确的是 （ ） A ．a 6÷a 3=a 2B ．(2ab 2)2=2a 2b 4C ． a ·a 2=a 3D ．(a+b)2=a 2+b 23、一组数据按从小到大排列为2，4，8，x ，10，14．若这组数据的中位数为9，则这组数据4、的是 （ ）A ．∠CDB =∠CBA B ．∠CBD =∠AC ．BC ·AB =BD ·AC D ． BC 2=CD ·AC5、若圆的半径是5，圆心的坐标是（0，0），点P 的坐标是（-4，3），则点P 与⊙O 的位置关系是 （ ）A ．点P 在⊙O 外B ．点P 在⊙O 内C ．点P 在⊙O 上D ．点P 在⊙O 外或⊙O 上6、如图, AB 是⊙O 的直径, CD 是弦, 且CD ⊥AB, 若BC=4, AC=2, 则sin ∠ABD 的值为A.15（ ）7、如图，直线1y kx b =+过点（0,2）且与直线2y mx =交于点(1,)P m --，则关于x 的不等式组2mx kx b mx >+>-的解集为 （ ） A ．x<-1 B ．-2<x<0 C ．-2<x<-1 D ．x<-28、如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点，直线OP 交⊙O 于C 、D ，交AB 于E ，AF 为⊙O 的直径，有下列结论： （ ） ①∠ABP ＝∠AOP ；； ③AC 平分∠PAB ； ④2BE 2＝PE ·BF ，其中结论正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每小题3分，共30分）第7题 A 第4题 第8题9、截至2013年12月31日，余额宝规模已达到1853亿元，这个数据用科学记数法可表示为元. 10、函数x y 23+=中自变量x 的取值范围是 . 11、分解因式：2282b a -＝_______．12、设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只，则从中任意取出一只是二等品的概率是 ．13、圆锥的母线长为6cm ，底面圆半径为4cm ，则这个圆锥的侧面积为___________cm 2. 14、已知关于x 的一元二次方程（k +1）x 2+2x －1=0有两个实数根，则k 的取值范围是 。
2015大连一模 辽宁省大连市2015年高三第一次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案
2015年一模测试数 学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） （1）已知集合{11}A x x =-≤≤，2{20}B x x x =-≤，则AB = （ ）（A ） [1,0]- （B ） [1,0]- （C ） [0,1] （D ） (,1][2,)-∞+∞ （2）设复数1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+=（ ） （A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -- （D ）1i -+（3）已知1,a b ==，且()a a b ⊥-，则向量a 与向量b 的夹角为（ ）（A ）6π （B ）4π （C ） 3π （D ）23π（4）已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ,若222a b c bc =+-，4bc =，则ABC∆的面积为（ ）（A ）12（B ）1 （C （D ）2(5)已知{}2,0,1,3,4a ∈-，{}1,2b ∈，则函数 2()(2)f x a x b =-+为增函数的概率是（ ） （A ）25 （B ）35 （C ）12 （D ）310（6）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是( ) （A ）6n = （B ）6n < （C ）6n ≤ （D ）8n ≤（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）（A ）323 （B ）64 （C （D ） 643（8）已知直线1)y x =-与抛物线:C x y 42=交于B A ,两点，点),1(m M -，若0=⋅，则=m （ ）（A（B）2（C ）21 （D ）0（9）对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为M 函数，① 对任意的[0,1]x ∈，恒有()0f x ≥；② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则下列函数不是M 函数的是（ ）（A ）2()f x x = （B ） ()21x f x =- （C ）2()ln(1)f x x =+ （D ）2()1f x x =+（10）在平面直角坐标系中，若(,)P x y 满足44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则当xy 取得最大值时，点P的坐标是（ ）（A ）(4,2) （B ）(2,2) （C ）(2,6) （D ）5(,5)2（11) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与函数0)y x =≥的图象交于点P ，若函数y =P 处的切线过双曲线左焦点(1,0)F -，则双曲线的离心率是（ ）（A ）（B ）（C（D ）32（12）若对,[0,)x y ∀∈+∞，不等式2242x y x y ax ee +---≤++恒成立，则实数a 的最大值是（ ） （A ）14 （B ）1 （C ）2 （D ）12第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）（13）函数1sin 2y x x =([0,]2x π∈)的单调递增区间是__________．（14）612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．(15) 已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞单调递增，且(1)0f = ，则不等式(2)0f x -≥的解集是 ．（16）同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a ，球的半径为R ．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为α、β，则t an()αβ+的值是 ．三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) （17）(本小题满分12分)已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且满足2221n n n S a S =-(2)n ≥. (Ⅰ) 求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；(Ⅱ) 证明：当2n ≥时，1231113 (232)n S S S S n ++++<.（18）(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠DAB＝60，PD ⊥平面ABCD ，PD =AD =1，点,E F 分别为为AB 和PD 中点.(Ⅰ)求证：直线AF //平面PEC ；(Ⅱ)求PC 与平面PAB 所成角的正弦值.（19）(本小题满分12分)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：(Ⅱ) 若把上表数据作为学生投篮命中率，规定两个班级的1号和2号同学分别代表自己的班级参加比赛，每人投篮一次，将甲、乙两个班两名同学投中的次数之和分别记作X 和Y ，试求X 和Y 的分布列和数学期望.（20） （本小题满分12分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点为(0,1).(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；（Ⅱ）证明：过椭圆1C :22221(0)x y m n m n +=>>上一点00(,)Q x y 的切线方程为00221x x y ym n+=； （Ⅲ）以圆2216x y +=上一点P 向椭圆C 引两条切线，切点分别为,A B ,当直线AB 分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点时，求MN 的最小值.（21）（本小题满分12分）若定义在R 上的函数()f x 满足222(1)()2(0)2x f f x e x f x -'=⋅+-， 21()((1)24x g x f x a x a =-+-+，（Ⅰ）求函数()f x 解析式； （Ⅱ）求函数()g x 单调区间；（Ⅲ）若x 、y 、m 满足||||-≤-x m y m ，则称x 比y 更接近m .当2a ≥且1x ≥时，试比较e x和1x e a -+哪个更接近ln x ，并说明理由。
2015年初中一模数学试卷
2015年初中一模数学试卷注意：1. 本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.2. 答题前，考生务必将本人的姓名、考试号填写在答题纸相应的位置上.3. 考生答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔，写在答题纸指定位置处，答在试卷、草稿纸等其他位置上一律无效.一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，选择正确选项的字母代号涂在答题卡相应的位置上）1．－3的相反数是（▲）1A．－3 B．3 C．－31D．32．刻画一组数据波动大小的统计量是( ▲ )．A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（▲ ）A. B. C. D. 4．如图是由两块长方体叠成的几何体，其主视图是（▲）（第4题图）A ．B ．C ．D ．5．下列运算正确的是（ ▲ ）A ．236x x x ⋅=B ．3223()()1a a -÷-=C ．1122-=D ．552332=+ 6．设P 是函数2y x=在第一象限的图像上的任意一点，点P 关于原点的对称点为P '，过P 作PA 平行于y 轴，过P '作P A '平行于x 轴，PA 与P A '交于A 点，则PAP '△的面积（ ▲ ）A ．随P 点的变化而变化B ．等于1C ．等于2D ．等于4二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）7． 9的算术平方根是 ▲ .8． H 7N 9型流感病毒变异后的直径为0.00000013米，将这个数写成科学记数法是 ▲ 米.9． 因式分解：4a 2－16= ▲ .10．若一个多边形的内角和是900，则这个多边形的边数为 ▲ .11．把一块矩形直尺与一块直角三角板如图放置，若140∠=°， 则2∠的度数为 ▲ .12．五位女生的体重（单位：kg ）分别为38、42、35、45、40，则这五位女生体重的方差为 ▲ kg 2．13. 阳阳的身高是1.6m ，他在阳光下的影长是1.2m ，在同一时刻测得某棵树的影长为3.6m ，则这棵树的高度为 ▲ m ． 14．已知圆锥的侧面积为π8cm 2，侧面展开图的圆心角为60°. 则AOPP 'xy（第6题图）(第12题图)B O Axy该圆锥的母线长为 ▲ cm.15．按一定规律排列的一列数依次为：111,,315351,63，…，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是 ▲ ．16．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，⊙O 的半径为5，点B 的坐标为（3，0），点A 为⊙O 上一动点，当∠OAB 取最大 值时，点A 的坐标为 ▲ .三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分12分）（121()2-+(－1)0-2sin45°；（2）解方程：2220x x --=．18．（本题满分8分）先化简532)224m m m m -+-÷--（，然后在0<2m-1<6的范围内选取一个合适的整数作为m 的值代入求值．19．（本题满分8分）在一个不透明的袋中装有3 个完全相同的小球，上面分别标号为1、2、3，从中随机摸出两个小球，并用球上的数字组成一个两位数． (1)求组成的两位数是奇数的概率；(2)小明和小华做游戏，规则是：若组成的两位数是4的倍数，小明得3分，否则小华得3分，你认为该游戏公平吗？说明理由；若不公平，请修改游戏规则，使游戏公平．20．（本题满分8分）某校全体学生积极参加校团委组织的“献爱心捐款”活动，为了解捐款情况，随机抽取了部分学生并对他们的捐款情况作了统计，绘制了两幅不完整的 统计图(统计图中每组含最小值．．．， 不含最大值．．．)． 请依据图中信息解答下列问题： (1)求随机抽取的学生人数．捐款人数扇形统计图捐款人数分布统计图(2)填空：(直接填答案)①“20元～25元”部分对应的 圆心角度数为__▲____．②捐款的中位数落在__▲____(填金额范围) ．(3)若该校共有学生3500人，请估算全校捐款不少于20元的人数．21．（本题满分10分）如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=40°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转100°．得到△ADE ，连接BD 、CE ，两线交于点F ．（1）求证：△ABD ≌△ACE ； （2）求证：四边形ABFE 是菱形．22. （本题满分10分）如图，学校打算用材料围建一个面积为18平方米的矩形ABCD 的生物园，用来饲养小兔，其中矩形ABCD 的一边AB 靠墙，墙长为8米，设AD 的长为y 米， CD 的长为x 米.（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）若围成矩形ABCD 的生物园的三边材料总长不超过18米，材料AD 和DC 的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案.(第22题图)生物园FEABD40°100° (第21题图)23．（本题满分10分）某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB 的高，他们来到与建筑物AB 在同一平地且相距12米的建筑物CD 上的C 处观察，测得某建筑物顶部A 的仰角为30°、底部B 的俯角为45°．求建筑物AB 的高（精确到1米）．（可供选用的数据：2≈1.4，3≈1.7）．24. （本题满分10分） 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的角平分线AD 交BC 边于D ．以AB 上某一点O 为圆心作⊙O ，使⊙O 经过点A 和点D. （1）判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若AC=3，∠B=30°.①求⊙O 的半径；②设⊙O 与AB 边的另一个交点为E ，求线段BD 、BE 与劣弧DE 所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）45°30°BDCA(第23题图)(第24题图)25. （本题满分12分）如图， 在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D=90°，BC=50，AD=36，CD=27. 点E 从C 出发以每秒5个单位长度的速度向B 运动，点F 从A 出发，以每秒4个单位长度的速度向D 运动．两点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点F 作FG ⊥BC,垂足为G ，连结AC 交FG 于P ，连结EP ． （1）点E 、F 中，哪个点最先到达终点？（2）求△PEC 的面积S 与运动时间t 的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围. 当t 为何值时，S 的值最大；（3）当△CEP 为锐角三角形时，求运动时间t 的取值范围．26．（本题满分14分）如图，抛物线与y 轴相交于点A （0,2），与x 轴相交于B(4,0)、C （12，0）两点.直线l 经过A 、B 两点. （1）分别求出直线l 和抛物线相应的函数表达式；（2）平行于y 轴的直线x =2交抛物线于点P ，交直线l 于点D.① 直线x =t （0≤t ≤4）与直线l 相交于点E ，与抛物线相交于点F.若EF ：DP=3：4， 求t 的值；② 将抛物线沿y 轴上下平移，所得的抛物线与y 轴交于点A ′,与直线x =2交于点P ′.当P ′O 平分∠A ′P ′P 时，求平移后的抛物线相应的函数表达式.(第25题图)GPF BDAC E。
2015年广州一模数学(理科)试题及参考答案
图17432109878侧视图正视图试卷类型：A2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）()()22221211236n n n n ++++++=()*n ∈N ． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =, {}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为 A ．MN B ．()U M N ð C ．()U MN ð D ．()()U U M N 痧 2．已知向量()3,4a =，若5λ=a ，则实数λ的值为A ．15 B ．1 C ．15± D ．1± 3. 若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是 A. 91, 91.5 B. 91, 92 C. 91.5, 91.5 D. 91.5, 924. 直线10x ay ++=与圆()2214x y +-=的位置关系是A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定5. 若直线3y x =上存在点(),x y 满足约束条件40,280,,x y x y x m ++>⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则实数m 的取值范围是A. ()1,-+∞B. [)1,-+∞C. (),1-∞-D. (],1-∞-6. 已知某锥体的正视图和侧视图如图2，其体积为，则该锥体的俯视图可以是图A. B. D. 7. 已知a 为实数，则1a ≥是关于x 的绝对值不等式1x x a +-≤有解的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 8. 已知i 是虚数单位，C 是全体复数构成的集合，若映射:f C →R 满足: 对任意12,z z C ∈，以及任意λ∈R , 都有()()()()()121211f z z f z f z λλλλ+-=+-, 则称映射f 具有性质P . 给出如下映射:① 1:f C →R , ()1f z x y =-, z x y =+i (,x y ∈R ); ② 2:f C →R , ()22f z x y =-, z x y =+i (,x y ∈R ); ③ 3:f C →R , ()32f z x y =+, z x y =+i (,x y ∈R );其中, 具有性质P 的映射的序号为 A. ① ② B. ① ③ C. ② ③ D. ① ② ③二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9. 已知tan 2α=，则tan 2α的值为 .10. 已知e 为自然对数的底数，若曲线y x =e x在点()1,e 处的切线斜率为 .11. 已知随机变量X 服从正态分布()2,1N . 若()130.6826P X ≤≤=，则()3P X > 等于 .12. 已知幂函数()223(mm f x xm --+=∈Z )为偶函数，且在区间()0,+∞上是单调增函数，则()2f 的值为 .13．已知,n k ∈N *，且k n ≤，k C k n n =C 11k n --，则可推出C 12n +C 23n +C 3n k ++C k n n ++C (n n n =C 01n -+C 11n -++C 11k n --++C 11)n n --12n n -=⋅， 由此，可推出C 122n +C 223n +C 32n k ++C 2k n n ++C n n = .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14. （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为cos sin ,(cos sin x y θθθθθ=+⎧⎨=-⎩为参数)和2,(x t t y t=-⎧⎨=⎩为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为 .图3图4OF ED C B A 图5FE PODB A15. （几何证明选讲选做题）如图3，BC 是圆O 的一条弦，延长BC 至点E ， 使得22BC CE ==，过E 作圆O 的切线，A 为 切点，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，则DE 的长为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭的图象在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()02x ,和022x ,π⎛⎫+- ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的解析式； （2）求0sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.17. （本小题满分12分）袋子中装有大小相同的白球和红球共7个，从袋子中任取2个球都是白球的概率为17，每个球被取到的机会均等. 现从袋子中每次取1个球，如果取出的是白球则不再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为X . （1）求袋子中白球的个数； （2）求X 的分布列和数学期望.18. （本小题满分14分）如图4，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ︒∠=，点E ，F 分别是边CD ，CB 的 中点，ACEF O =，沿EF 将△CEF 翻折到△PEF ，连接PA,PB,PD ，得到如图5的五棱锥PABFED -，且PB =（1）求证：BD ⊥平面POA ；（2）求二面角--B AP O 的正切值.19. （本小题满分14分）已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足111,1n a a +==，n ∈N *.（1）求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列? 若存在, 求k 的值； 若不存在, 请说明理由.20. （本小题满分14分）已知椭圆1C 的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线222:12x C y -=的顶点，直线0=x 与椭圆1C 交于A ，B 两点，且点A 的坐标为(1)，点P 是椭圆1C 上异于点A ,B 的任意一点，点Q 满足0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=，且A ，B ，Q 三点不共线.(1) 求椭圆1C 的方程； (2) 求点Q 的轨迹方程；(3) 求ABQ ∆面积的最大值及此时点Q 的坐标.21. （本小题满分14分） 已知函数()()2ln 12a f x x x x =++-()0a ≥. （1）若()0f x >对()0,x ∈+∞都成立，求a 的取值范围；（2）已知e 为自然对数的底数，证明：∀n ∈N *22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++⋅⋅⋅+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <.2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 9. 43-10. 2e 11. 0.1587 12. 16 13. ()212n n n -+⋅14. 4π⎫⎪⎭15. 说明: 第14题答案可以是2,4k k ππ⎫+∈⎪⎭Z . 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角两角和公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：由题意可得2,A =， …………………………1分00222T x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭， …………………………3分 ∴.T π= …………………………4分 由,2πωπ=得2=ω， …………………………5分∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. …………………………6分（2）解： ∵ 点()0,2x 是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在y 轴右侧的第一个最高点, ∴ 0262x ππ+=. …………………………7分∴ 06x π=. …………………………8分 ∴0sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭sin 64ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭…………………………9分 sincoscossin6464ππππ=+ …………………………10分12222=⨯+ …………………………11分4=. …………………………12分 17．（本小题满分12分）（本小题主要考查古典概型、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）（1）解：设袋子中有n (n ∈N *)个白球，依题意得，22717n C C =，………………………1分即()1127672n n -=⨯， 化简得，260n n --=， …………………………2分解得，3n =或2n =-（舍去）. …………………………3分 ∴袋子中有3个白球. …………………………4分 （2）解：由（1）得，袋子中有4个红球，3个白球. …………………………5分X 的可能取值为0,1,2,3， …………………………6分()407P X ==， ()3421767P X ==⨯=， ()3244276535P X ==⨯⨯=，()321413765435P X ==⨯⨯⨯=. ………………10分∴X 的分布列为：…………………………11分GH F EPODBA∴4241301237735355EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………………12分 18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、二面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，∴BD ∥EF . …………………………1分 ∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥. ∴EF AC ⊥. ∴EF AO ⊥，EF PO ⊥. …………………………2分 ∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AO PO O =， ∴EF ⊥平面POA . …………………………3分∴BD ⊥平面POA . …………………………4分 （2）解法1：设AO BD H =，连接BO ， ∵60DAB ︒∠=， ∴△ABD 为等边三角形.∴4BD =，2BH =，HA =HO PO ==……5分 在R t △BHO中，BO在△PBO 中，22210+==BO PO PB ，∴PO BO ⊥. …………………………6分 ∵PO EF ⊥，EF BO O =，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED . …………………………7分 过H 作⊥HG AP ，垂足为G ，连接BG ，由（1）知⊥BH 平面POA ，且⊂AP 平面POA ， ∴⊥BH AP .∵=HG BH H ，⊂HG 平面BHG ，⊂BH 平面BHG ，∴⊥AP 平面BHG . …………………………8分 ∵⊂BG 平面BHG ，∴⊥AP BG . …………………………9分 ∴∠BGH 为二面角--B AP O 的平面角. …………………………10分 在Rt △POA中，AP在Rt △POA 和Rt △HGA 中，90,︒∠=∠=∠=∠POA HGA PAO HAG ， ∴Rt △POA ～Rt △HGA . …………………………11分 ∴=PO PAHG HA.∴⋅===PO HA HG PA …………………………12分A在Rt △BHG中，tan ∠===BH BGH HG . ……………………13分 ∴二面角--B AP O…………………………14分 解法2：设AOBD H =，连接BO ，∵60DAB ︒∠=， ∴△ABD 为等边三角形.∴4BD =，2BH =，HA =HO PO ==………………………5分 在R t △BHO中，BO在△PBO 中，22210+==BO PO PB ，∴PO BO ⊥. …………………………6分 ∵PO EF ⊥，EF BO O =，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ， ∴PO ⊥平面BFED . …………………………7分 以O 为原点，OF 所在直线为x 轴，AO 所在直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系-O xyz ，则()0,-A，()2,B，(P，()0,H .…………8分∴(=AP，()=AB . 设平面PAB 的法向量为=n (),,x y z ，由⊥n AP ，⊥n AB ，得0,20.⎧+=⎪⎨+=⎪⎩x 令1=y ，得3=-z，=x ∴平面PAB 的一个法向量为=n ()3-. 由（1）知平面PAO 的一个法向量为()2,0,0=-BH ， ……………………11分 设二面角--B AP O 的平面角为θ， 则cos θ=cos ,n BH⋅=n BH nBH==………………………12分∴sin 13θ==sin tan cos 3θθθ==.………………………13分∴二面角--B AP O 的正切值为3…………………………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等差数列、数列的前n 项和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）（1）解：∵111,1n a a +==，∴2113a ===. …………………………1分（2）解法1：由11n a +=，得11n n S S +-=， …………………………2分故)211n S +=. …………………………3分∵0n a >，∴0n S >.1=. …………………………4分∴数列1=，公差为1的等差数列.()11n n =+-=. …………………………5分 ∴2n S n =. …………………………6分当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， …………………………8分又11a =适合上式，∴21n a n =-. …………………………9分解法2：由11n a +=，得()2114n n a S +-=， …………………………2分 当2n ≥时，()2114n n a S --=， …………………………3分 ∴()()()22111144n n n n n a a S S a +----=-=. …………………………４分∴2211220n n n n a a a a ++---=.∴()()1120n n n n a a a a +++--=. …………………………５分 ∵ 0n a >，∴12n n a a +-=. …………………………６分 ∴数列{}n a 从第2项开始是以23a =为首项，公差为2的等差数列．……………７分 ∴()()322212n a n n n =+-=-≥． …………………………８分 ∵11a =适合上式，∴21n a n =-. …………………………9分 解法3：由已知及（1）得11a =，23a =，猜想21n a n =-. …………………………2分 下面用数学归纳法证明.① 当1n =，2时，由已知11211a ==⨯-，23a ==221⨯-，猜想成立. ………3分 ② 假设n k =()2k ≥时，猜想成立，即21k a k =-， …………………………4分由已知11k a +=，得()2114k k a S +-=， 故()2114k k a S --=.∴()()()22111144k k k k k a a S S a +----=-=. …………………………5分∴22211220k k k k a a a a ++---=.∴()()1120k kk k a a aa +++--=. …………………………6分∵10,0k k a a +>>，∴120k k a a +--=. …………………………7分 ∴()12212211k k a a k k +=+=-+=+-. …………………………8分 故当1n k =+时，猜想也成立.由①②知，猜想成立，即21n a n =-. …………………………9分 （3）解：由(2)知21n a n =-, ()21212n n n S n +-==.假设存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列,则2214k k k S a a -=⋅. …………………………10分即()()()4212181k k k -=-⋅-. …………………………11分 ∵ k 为正整数， ∴ 210k -≠. ∴ ()32181k k -=-.∴ 328126181k k k k -+-=-.化简得 32460k k k --=. …………………………12分 ∵ 0k ≠,∴ 24610k k --=.解得6384k ±==, 与k 为正整数矛盾. ……………………13分 ∴ 不存在正整数k , 使k a , 21k S -, 4k a 成等比数列. …………………………14分20.（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆的方程、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解法1： ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F , …………1分∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (1)，∴ 1224a AF AF =+=，得2a =. ………………………2分∴ 2222b a =-=. ………………………3分∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分解法2: ∵ 双曲线222:12x C y -=的顶点为1(0)F ,20)F , ……………………1分∴ 椭圆1C 两焦点分别为1(0)F ,20)F .设椭圆1C 方程为12222=+by a x ()0a b >>，∵ 椭圆1C 过点A (1)， ∴22211a b +=. ① ………………………2分 . ∵ 222a b =+, ② ………………………3分 由①②解得24a =, 22b =.∴ 椭圆1C 的方程为 22142x y +=. ………………………4分 （2）解法1：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-，∴(1)AQ x y =-，11(1)AP x y =-，(1)BQ x y =+，11(1)BP x y =+.由 0AQ AP ⋅=, 得 11((1)(1)0x x y y +--=， ……………………5分即 11((1)(1)x x y y =---. ①同理, 由0BQ BP ⋅=, 得 11((1)(1)x x y y =-++. ② ……………6分①⨯②得 222211(2)(2)(1)(1)x x y y --=--. ③ ………………………7分由于点P 在椭圆1C 上, 则2211142x y +=，得221142x y =-, 代入③式得 2222112(1)(2)(1)(1)y x y y ---=--.当2110y -≠时，有2225x y +=，当2110y -=，则点(1)P -或P ,此时点Q 对应的坐标分别为或(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (1)，由②得 3y -，解方程组2225,3,x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q的坐标为)1-或2⎫-⎪⎪⎝⎭. 同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q的坐标为()或22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=,除去四个点)1-,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, (), 22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 解法2：设点),(y x Q ，点),(11y x P ，由A (1)及椭圆1C 关于原点对称可得B 1)-， ∵0AQ AP ⋅=，0BQ BP ⋅=， ∴AQ AP ⊥，BQ BP ⊥.1=-(1x ≠，① ……………………5分1=-(1x ≠. ② ……………………6分①⨯② 得 12222111122y y x x --⨯=--. (*) ………………………7分 ∵ 点P 在椭圆1C 上, ∴ 2211142x y +=，得221122x y =-, 代入(*)式得2212211112122x y x x --⨯=--，即2211122y x --⨯=-, 化简得 2225x y +=.若点(1)P -或P , 此时点Q对应的坐标分别为或(1)- ，其坐标也满足方程2225x y +=. ………………………8分当点P 与点A 重合时，即点P (1)，由②得3y -，解方程组2225,3,x y y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩ 得点Q的坐标为)1-或2⎫-⎪⎪⎝⎭.同理, 当点P 与点B 重合时，可得点Q的坐标为()或2⎛⎫⎪⎪⎝⎭. ∴点Q 的轨迹方程为 2225x y +=,除去四个点)1-,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, (),22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ………………………9分 (3) 解法１：点Q (),x y 到直线:AB 0x =.△ABQ的面积为S =10分x ==………………………11分而222(2)42y x x =⨯⨯≤+（当且仅当2x =∴S =≤=2=. ……12分当且仅当2x =, 等号成立.由22225,x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得,22,x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或22.x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩………………………13分 ∴△ABQ的面积最大值为2, 此时,点Q的坐标为2⎫⎪⎪⎝⎭或2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.…14分 解法２：由于AB =，故当点Q 到直线AB 的距离最大时，△ABQ 的面积最大． (1)０分 设与直线AB 平行的直线为0x m +=，由220,25,x m x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩消去x ，得225250y c ++-=， 由()223220250m m ∆=--=，解得m =． ………………………1１分若2m =，则2y =-，2x =-；若2m =-，则2y =，2x =．…1２分 故当点Q的坐标为22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭时，△ABQ 的面积最大，其值为122S AB ==． ………………………1４分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的导数、不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识） （1）解：∵()()2ln 12a f x x x x =++-，其定义域为()1,-+∞, ∴()()11111x ax a f x ax x x+-'=+-=++. …………………………1分 ① 当0a =时，()1xf x x'=-+，当x ∈()0,+∞时，()0f x '<， 则()f x 在区间()0,+∞上单调递减，此时，()()00f x f <=，不符合题意. …2分 ② 当01a <<时，令()0f x '=，得10x =，210ax a-=>， 当x ∈10a ,a -⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，则()f x 在区间10a ,a -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，此时，()()00f x f <=，不符合题意. …………………………3分③ 当1a =时，()21x f x x'=+，当x ∈()0,+∞时，()0f x '>，则()f x 在区间()0,+∞上单调递增，此时，()()00f x f >=，符合题意. ……4分 ④ 当1a >时，令()0f x '=，得10x =，210ax a-=<，当x ∈()0,+∞时，()0f x '>， 则()f x 在区间()0,+∞上单调递增，此时，()()00f x f >=，符合题意. ……5分 综上所述，a 的取值范围为[)1,+∞. …………………………6分 （2）证明：由（1）可知，当0a =时，()0f x <对()0,x ∈+∞都成立，即()ln 1x x +<对()0,x ∈+∞都成立. …………………………7分∴2222221212ln 1ln 1ln 1n nn n n n nn⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.………………8分 即ln 2222121211112n n n n n n n n ⎡⎤++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<= ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 由于n ∈N *，则111111222221n n n +=+≤+=⨯. …………………………9分 ∴ln 222121111n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++< ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ∴ 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <. …………………………10分 由（1）可知，当1a =时，()0f x >对()0,x ∈+∞都成立， 即()21ln 12x x x -<+对()0,x ∈+∞都成立. …………………………11分 ∴2222224442221211212ln 1ln 1ln 12n n n n nn n nn n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++<++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.…………………………12分即()()()2422212111126ln 11122n n n n n n n n n n n ++⎡⎤⎢⎥+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<+++⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 得323222643112ln 11112n n n n n n n n +--⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦由于n ∈N *，则()()32232333363316431611212122n n n n n n n n n n n+-+-+--=≥=. …………………………13分∴12<ln 22212111n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.∴22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. …………………………14分 22212111n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭e <.。
数学_2015年甘肃省高考数学一模试卷(理科)(含答案)
2015年甘肃省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A＝{x|x2−2x−3>0}，集合B＝Z，则(∁R A)∩B＝（）A {−3, −2, −1, 0, 1}B {−1, 0, 1, 2, 3}C {0, 1, 2}D {−2, −1, 0}2. 设i是虚数单位，复数Z＝1+1−i1+i为（）A 1+iB 1−iC C、−1+iD −1−i3. 设a=12∫211xdx，b=13∫311xdx，c=15∫511xdx，则下列关系式成立的是（）A a<b<cB b<a<cC a<c<bD c<a<b4. 函数y＝f(x)的图象向右平移π6个单位后与函数y＝cos(2x−π2)的图象重合，则y＝f(x)的解析式为（）A y＝cos(2x−π2) B y＝cos(2x+π6) C y＝sin(2x+π3) D y＝sin(2x−π6)5. 数字“2015”中，各位数字相加和为8，称该数为“如意四位数”，则用数字0，1，2，3，4，5组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”有（）个．A 21B 22C 23D 246. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A (√32+2)π B (√33+4)π C (√36+2)π D (√33+2)ππ7. 阅读如图所示的程序框图，若输入的n＝10，则该算法的功能是（）A 计算数列{2n−1}的前11项和B 计算数列{2n−1}的前10项和C 计算数列{2n−1}的前11项和D 计算数列{2n−1}的前10项和8. 若x ，y 满足约束条件{2x +2y ≥1x ≥y 2x −y ≤1 ，且向量a →=(3, 2)，b →=(x, y)，则a →⋅b →的取值范围（ ）A [54, 5] B [72, 5] C [54, 4] D [72, 4]9. 已知面积为S 的凸四边形中，四条边长分别记为a 1，a 2，a 3，a 4，点P 为四边形内任意一点，且点P 到四边的距离分别记为ℎ1，ℎ2，ℎ3，ℎ4，若a 11=a 22=a 33=a 44=k ，则ℎ1+2ℎ2+3ℎ3+4ℎ4=2S k类比以上性质，体积为y 的三棱锥的每个面的面积分别记为S l ，S 2，S 3，S 4，此三棱锥内任一点Q 到每个面的距离分别为H 1，H 2，H 3，H 4，若S 11=S 22=S 33=S 44=K ，则H 1+2H 2+3H 3+4H 4=( ) A 4VKB 3VKC 2VKD VK10. 已知△ABC 的三边长a ，b ，c 成等差数列，且a 2+b 2+c 2＝84，则实数b 的取值范围是（ ）A [2√5, 2√7]B (2√5, 2√7]C [2√6, 2√7]D (2√6, 2√7] 11. 在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)上的一点A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴相交于B ，C 两点，若△ABC 是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A (√6−√22, √5−12) B (√6−√22, 1) C (√5−12, 1) D (0, √5−12) 12. 已知函数f(x)＝xcosπx λ，存在f(x)的零点x 0，(x 0≠0)，满足[f′(x 0)]2<π2(λ2−x 02)，则λ的取值范围是（ ） A (−√3, 0)∪（0, √3,） B (−√33, 0)∪(0, √33) C (−∞, −√3)∪(√3, +∞) D (−∞, −√33)∪(√33, +∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 在(2x −√x 3)8的展开式中，常数项等于________（用数字作答）14. 直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的顶点在同一个球面上，AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝2√6，∠BAC ＝90∘，则球的表面积________． 15. 下面给出的命题中：①m ＝−2”是直线(m +2)x +my +1＝0与“直线(m −2)x +(m +2)）y 一3＝0相互垂直”的必要不充分条件；②已知函数f(a)=∫ a0sinxdx ，则f[f(π2)]＝1−cos1；③已知ξ服从正态分布N(0, σ2)，且P(−2≤ξ≤0)＝0，4，则P(ξ>2)＝0.2；④已知⊙C 1:x 2+y 2+2x ＝0，⊙C 2:x 2+y 2+2y −1＝0，则这两圆恰有2条公切线； ⑤线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越小．其中是真命题的序号有________．16. 设数列{a n }的前n 项的和为S n ，已知1S 1+1S 2+⋯+1S n=nn+1，设b n =(12)a n 若对一切n ∈N ∗均有∑∈k=1n bk (1m,m 2−6m +163)，则实数m 的取值范围为________．三、解答题：本大题共5小题-共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，若bcosA +acosB =−2ccosC ． (1)求角C 的大小；(2)若a +b =6，且△ABC 的面积为2√3，求边c 的长．18. 多面体ABCDE 中，△ABC 是边长为2的正三角形，AE >1，AE ⊥平面ABC ，平面BCD ⊥平面ABC ，BD ＝CD ，且BD ⊥CD ． (Ⅰ)若AE ＝2，求证：AC // 平面BDE ；(Ⅱ)若二面角A 一DE 一B 的余弦值为√55，求AE 的长．19. 某市为了治理污染，改善空气质量，市环境保护局决定每天在城区主要路段洒水防尘，为了给洒水车供水，供水部门决定最多修建3处供水站．根据过去30个月的资料显示，每月洒水量X （单位：百立方米）与气温和降雨量有关，且每月的洒水量都在20以上，其中不足40的月份有10个月，不低于40且不超过60的月份有15个月，超过60的月份有5个月．将月洒水量在以上三段的频率作为相应的概率，并假设各月的洒水量相互独立． (Ⅰ)求未来的3个月中，至多有1个月的洒水量超过60的概率；(Ⅱ)供水部门希望修建的供水站尽可能运行，但每月供水站运行的数量受月洒水量限制，有如下关系：若某供水站运行，月利润为12000元；若某供水站不运行，月亏损6000元．欲使供水站的月总利润的均值最大，应修建几处供水站？20. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其中一个顶点是抛物线x 2=−4√3y 的焦点．(I)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)是否存在过点P(2, 1)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B 满足PA →⋅PB →=54，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 21. 已知函数f(x)=ax 2+ln(x +1)． (1)当时a =−14时，求函数f(x)的单调区间；(2)当x ∈[0, +∞)时，函数y =f(x)的图象上的点都在{x ≥0，y −x ≤0所表示的平面区域内，求实数a 的取值范围．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答题第一题评分；多答按所答第一题评分．选修4-3：几何证明选讲 22. 选修4−1：几何证明选讲如图，点C 是⊙O 直径BE 的延长线上一点，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，∠ACB 的平分线CD 与AB 相交于点D ，与AE 相交于点F ， (Ⅰ)求∠ADF 的值(Ⅱ)若AB ＝AC ，求ACBC 的值．选修4-4：坐标系与参数方程23. 在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为{x =−35t +2y =45t （t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝asinθ． (Ⅰ)若a ＝2，求圆C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程； (Ⅱ)设直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的√3倍，求a 的值．选修4-5：不等式选讲24. 已知函数f(x)＝|2x −1|+|2x +5|，且f(x)≥m 恒成立． (Ⅰ)求m 的取值范围；(Ⅱ)当m 取最大值时，解关于x 的不等式：|x −3|−2x ≤2m −8．2015年甘肃省高考数学一模试卷（理科）答案1. B2. B3. D4. C5. C6. C7. A8. A9. B 10. D 11. A 12. D 13. 112 14. 49π 15. ②④16. m <0或m ≥517. 解：(1)由题意知，bcosA +acosB =−2ccosC ， 正弦定理可得sinBcosA +sinAcosB =−2sinCcosC ，sin(A +B)=−2sinCcosC ， 由A ，B ，C 是三角形内角可知， sin(A +B)=sinC ≠0， ∴ cosC =−12，由0<C <π，得C =2π3.(2)∵ a +b =6，∴ a 2+b 2+2ab =36， ∵ △ABC 的面积为2√3， ∴ 12absinC =2√3，即12ab ×√32=2√3，化简得，ab =8，则a 2+b 2=20， 由余弦定理得，c 2=a 2+b 2−2abcosC =20−2×8×(−12)=28.所以c =2√7．18. （I ）证明：如图所示，分别取BC ，BA ，BE 的中点M ，N ，P ，连接MN ，NP ，DP ． 则MN ∥=12AC ，NP // AE ，NP =12AE ＝（1）∵ BD ＝CD ，BD ⊥CD ，M 为BC 的中点，BC＝2，∴ DM ⊥BC ，DM ＝1，又平面BCD ⊥平面ABC ． ∴ DM ⊥平面ABC ， 又AE ⊥平面ABC ， ∴ DM // AE ，∴ 四边形DMNP 为平行四边形，∴ DP // MN ，∴ AC // DP ，又AC ⊄平面BDE ，DP ⊂平面BDE ，∴ AC // 平面BDE ． (II)设AE ＝a ，则E(0,√3,a)，BD →=(−1, 0, 1)，BE →=(−1,√3,a)， 设平面BDE 的法向量为n →=(x, y, z)，则{BD →⋅n →=−x +z =0BE →⋅n →=−x +√3y +az =0，取n →=(1,1−a √3,1)，取平面ADE 的法向量m →=(1, 0, 0)， 则|cos <m →,n →>|=|m →⋅n →||m →||n →|=1√2+(1−a)23=√55，解得a ＝4， 即AE ＝（4）19. （1）依题意可得P 1＝P(20<X <40)=1030=13，P 2＝P(40≤X ≤60)=1530=12，P 3＝P(X >60)=530=16，由二项分布可得，在未来三个月中，至多有1个月的洒水虽超过60的概率为P =C 30(1−P 3)3+C 31(1−P 3)2⋅P 3＝(56)3+3×(56)2×16=2527，至多有1个月的洒水虽超过60的概率为2527；（2）记供水部门的月总利润为Y 元，①修建一处供水站的情形，由于月洒水量总大于20，故一处供水站运行的概率为1， 对应的月利润为Y ＝12000，E(Y)＝12000×1＝12000（元）；②修建两处供水站的情形，依题意当20<X <40，一处供水站运行，此时Y ＝12000−6000＝6000，P(Y ＝6000)＝P(20<X <40)＝P 1=13，当X ≥40，两处供水站运行，此时Y ＝12000×2＝24000，因此P(Y ＝24OOO)＝P(X ≥40)＝P 2+P 3=23，由此得Y 的分布列为则E(Y)＝6000×13+24000×23=18000（元）；③修建三处供水站情形，依题意可得当20<X <40时，一处供水站运行，此时Y ＝12000−12000＝0，由此 P(Y ＝0)＝P(40<X <80)＝P 1=13，当40≤X ≤60时，两处供水站运行，此时Y ＝12000×2−6000＝18000， 由此P(Y ＝18000)＝P(40≤X ≤60)＝P 2=12，当X >60时，三处供水站运行，此时Y ＝12000×3＝36000， 由此P(Y ＝36000)＝P(X >60)＝P 3=16， 由此的Y 的分布列为由此E(Y)＝0×13+18000×12+36000×16=15000（元）， 欲使供水站的月总利润的均值最大，应修建两处供水站． 20. （I ）设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，则∵ 椭圆C 的离心率为12，其中一个顶点是抛物线x 2=−4√3y 的焦点， ∴ b =√3,ca=12∵ c 2＝a 2−b 2 ∴ a ＝2，c ＝1， ∴ 椭圆的标准方程为x 24+y 23=1；(II)若存在过点P(2, 1)的直线l 满足条件，则l 的斜率存在设方程为y ＝k(x −2)+1，代入椭圆方程，可得(3+4k 2)x 2−8k(2k −1)x +16k 2−16k −8＝0设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则由△＝32(6k +3)>0，可得k >−12 且x 1+x 2=8k(2k−1)3+4k 2，x 1x 2=16k 2−16k−83+4k 2∵ PA →⋅PB →=54∴ (x 1−2)(x 2−2)+(y 1−1)(y 2−1)=54∴ [x 1x 2−2(x 1+x 2)+4](1+k 2)=54 ∴ [16k 2−16k−83+4k 2−2×8k(2k−1)3+4k 2+4](1+k 2)=54∴ 4k 2+43+4k 2=54 ∵ k >−12，∴ k =12∴ 存在过点P(2, 1)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B 满足PA →⋅PB →=54，其方程为y =12x ．21. 解：(1)当a =−14时，f(x)=−14x 2+ln(x +1)，(x >−1)，f′(x)=−12x +1x +1=−(x+2)(x−1)2(x+1)，(x >−1)，由f′(x)>0解得−1<x <1，由f′(x)<0，解得：x >1，∴ 函数f(x)的单调递增区间是(−1, 1)，单调递减区间是(1, +∞)； (2)当x ∈[0, +∞)时，函数y =f(x)的图象上的点都在{x ≥0，y −x ≤0，所表示的平面区域内，即当x ∈[0, +∞)时，不等式f(x)≤x 恒成立， 即ax 2+ln(x +1)≤x 恒成立，设g(x)=ax 2+ln(x +1)−x ，(x ≥0)， 只需g(x)max ≤0即可， 由g′(x)=2ax +1x+1−1=x[2ax+(2a−1)](x+1)，当a =0时，g′(x)=−x x+1，当x >0时，g′(x)<0，函数g(x)在(0, +∞)单调递减， ∴ g(x)≤g(0)=0成立， 当a >0时，由g′(x)=x[2ax+(2a−1)](x+1)=0，因x ∈[0, +∞)，∴ x =12a −1，①若12a −1<0，即a >12时，在区间(0, +∞)上，g′(x)>0，函数g(x)在(0, +∞)上单调递增，函数g(x)在[0, +∞)上无最大值，此时不满足； ②若12a−1≥0，即0<a ≤12时，函数g(x)在(0, 12a−1)上单调递减，在区间(12a−1, +∞)上单调递增，同样函数g(x)在[0, +∞)上无最大值，此时也不满足；当a <0时，由g′(x)=x[2ax+(2a−1)](x+1)，∵ x ∈[0, +∞)，∴ 2ax +(2a −1)<0，∴ g′(x)<0，故函数g(x)在[0, +∞)单调递减， ∴ g(x)≤g(0)=0恒成立，综上：实数a 的取值范围是(−∞, 0]．22. （1）∵ AC 是⊙O 的切线，∴ ∠B ＝∠EAC ． 又∵ DC 是∠ACB 的平分线，∴ ∠ACD ＝∠DCB ，∴ ∠B +∠DCB ＝∠EAC +∠ACD ，∴ ∠ADF ＝∠AFD ． ∵ BE 是⊙O 直径，∴ ∠BAE ＝90∘． ∴ ∠ADF ＝45∘．（2）∵ AB ＝AC ，∴ ∠B ＝∠ACB ＝∠EAC ．由(I)得∠BAE ＝90∘，∴ ∠B +∠AEB ＝∠B +∠ACE +∠EAC ＝3∠B ＝90∘， ∴ ∠B ＝30∘．∵ ∠B ＝∠EAC ，∠ACB ＝∠ACB ， ∴ △ACE ∽△BCA ， ∴AC BC=AE AB=tan30∘=√33． 23. （1）当a ＝2时，ρ＝asinθ转化为ρ＝2sinθ 整理成直角坐标方程为：x 2+(y −1)2＝1直线的参数方程{x =−35t +2y =45t （t 为参数）．转化成直角坐标方程为：4x +3y −8＝0 （2）圆C 的极坐标方程转化成直角坐标方程为：x 2+(y −a2)2=a 24直线l 截圆C 的弦长等于圆C 的半径长的√3倍， 所以：d =|3a2−8|5=12⋅|a|22|3a −16|＝5|a|，利用平方法解得：a ＝32或3211．24. （1）要使f(x)≥m 恒成立，只需m ≤f(x)min ．由绝对值不等式的性质，有|2x −1|+|2x +5|≥|(2x −1)+(2x +5)|＝6， 即f(x)min ＝6，所以m ≤(6)（2）由(Ⅰ)知，m ＝6，所以原不等式化为|x −3|−2x ≤4，即|x −3|≤4+2x ， 得−4−2x ≤x −3≤4+2x ，转化为{−4−2x ≤x −3x −3≤4+2x，化简，得{x ≥−13x ≥−7，所以原不等式的解集为{x|x ≥−13}．。
2015年山东省高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年山东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）复数z＝|（﹣i）i|+i5（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．2﹣i B．2+i C．4﹣i D．4+i2．（5分）若[﹣1，1]⊆{x||x2﹣tx+t|≤1}，则实数t的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[2﹣2，0]C．（﹣∞，﹣2]D．[2﹣2，2+2]3．（5分）已知M（2，m）是抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，则“p≥1”是“点M到抛物线焦点的距离不少于3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条4．（5分）若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）A．B．C．或D．或5．（5分）在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积S＝，则三角形外接圆的半径为（）A．B．2C．2D．46．（5分）某几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此几何体的外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．2πD．7．（5分）定义max{a，b}＝，设实数x，y满足约束条件，则z＝max{4x+y，3x﹣y}的取值范围是（）A．[﹣8，10]B．[﹣7，10]C．[﹣6，8]D．[﹣7，8] 8．（5分）函数y＝log3（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A 在直线mx+ny+1＝0上，其中m，n均大于0，则的最小值为（）A．2B．4C．8D．169．（5分）已知△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，且a cos C+c ＝b，若a＝1，c﹣2b＝1，则角B为（）A．B．C．D．10．（5分）设定义在D上的函数y＝h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y＝g（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y＝h（x）的“类对称点”，则f（x）＝x2﹣6x+4lnx的“类对称点”的横坐标是（）A．1B．C．e D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a，若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x ≤3}，则实数a的值为．12．（5分）已知点A（2，0）抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线F A与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|＝．13．（5分）已知函数则＝．14．（5分）把座位编号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为．（用数字作答）15．（5分）已知函数f（x）＝xe x，记f0（x）＝f′（x），f1（x）＝f′（x0），…，f n（x）＝f′n﹣1（x）且x2＞x1，对于下列命题：①函数f（x）存在平行于x轴的切线；②＞0；③f′2012（x）＝xe x+2014e x；④f（x1）+x2＜f（x2）+x1．其中正确的命题序号是（写出所有满足题目条件的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）＝2sin x+2sin（x﹣）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知f（A）＝，a＝b，证明：C＝3B．17．（12分）2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：从中随机地选取5只．（Ⅰ）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；（Ⅱ）若完整地选取奥运会吉祥物记10分；若选出的5只中仅差一种记8分；差两种记6分；以此类推．设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列及数学期望．18．（12分）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB＝CF：F A＝CP：PB＝1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF 的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连接A1B、A1P（如图2）（1）求证：A1E⊥平面BEP（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（3）求二面角B﹣A1P﹣F的余弦值．19．（12分）数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和为S n，满足S n2＝a n（S n ﹣）．（1）求S n的表达式；（2）设b n＝，数列{b n}的前n项和为T n，不等式T n≥（m2﹣5m）对所有的n∈N*恒成立，求正整数m的最大值．20．（13分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），P为椭圆G的上顶点，且∠PF1O＝45°．（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1：y＝kx+m1与椭圆G交于A，B两点，直线l2：y＝kx+m2（m1≠m2）与椭圆G交于C，D两点，且|AB|＝|CD|，如图所示．（ⅰ）证明：m1+m2＝0；（ⅱ）求四边形ABCD的面积S的最大值．21．（14分）已知函数f（x）＝aln（x+1）﹣ax﹣x2．（Ⅰ）若x＝1为函数f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）讨论f（x）在定义域上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意正整数n，ln（n+1）＜2+．2015年山东省高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）复数z＝|（﹣i）i|+i5（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．2﹣i B．2+i C．4﹣i D．4+i【解答】解：由z＝|（﹣i）i|+i5＝，得：．故选：A．2．（5分）若[﹣1，1]⊆{x||x2﹣tx+t|≤1}，则实数t的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[2﹣2，0]C．（﹣∞，﹣2]D．[2﹣2，2+2]【解答】解：令y＝x2﹣tx+t，①若t＝0，则{x||x2≤1}＝[﹣1，1]，成立，②若t＞0，则y max＝（﹣1）2﹣t（﹣1）+t＝2t+1≤1，即t≤0，不成立；③若t＜0，则y max＝（1）2﹣t+t＝1≤1，成立，y min＝（）2﹣t•+t≥﹣1，即t2﹣4t﹣4≤0，解得，2﹣2≤t≤2+2，则2﹣2≤t＜0，综上所述，2﹣2≤t≤0．故选：B．3．（5分）已知M（2，m）是抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，则“p≥1”是“点M到抛物线焦点的距离不少于3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条【解答】解：抛物线的交点坐标为F（，0），准线方程为x＝﹣，则点M到抛物线焦点的距离PF＝2﹣（﹣）＝2+，若p≥1，则PF＝2+≥，此时点M到抛物线焦点的距离不少于3不成立，即充分性不成立，若点M到抛物线焦点的距离不少于3，即PF＝2+≥3，即p≥2，则p≥1，成立，即必要性成立，故“p≥1”是“点M到抛物线焦点的距离不少于3”的必要不充分条件，故选：B．4．（5分）若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）A．B．C．或D．或【解答】解：依题意可知m＝±＝±4当m＝4时，曲线为椭圆，a＝2，b＝1，则c＝，e＝＝当m＝﹣4时，曲线为双曲线，a＝1，b＝2，c＝则，e＝故选：D．5．（5分）在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积S＝，则三角形外接圆的半径为（）A．B．2C．2D．4【解答】解：△ABC中，∵b＝2，A＝120°，三角形的面积S＝＝bc•sin A ＝c•，∴c＝2＝b，故B＝（180°﹣A）＝30°．再由正弦定理可得＝2R＝＝4，∴三角形外接圆的半径R＝2，故选：B．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此几何体的外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．2πD．【解答】解：如图所示，该几何体是正方体的内接正四棱锥．因此此几何体的外接球的直径2R＝正方体的对角线，其表面积S＝4πR2＝3π．故选：A．7．（5分）定义max{a，b}＝，设实数x，y满足约束条件，则z＝max{4x+y，3x﹣y}的取值范围是（）A．[﹣8，10]B．[﹣7，10]C．[﹣6，8]D．[﹣7，8]【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由定义max{a，b}＝，得z＝max{4x+y，3x﹣y}＝，当x+2y≥0时，化z＝4x+y为y＝﹣4x+z，当直线y＝﹣4x+z过B（﹣2，1）时z 有最小值为4×（﹣2）+1＝﹣7；当直线y＝﹣4x+z过A（2，2）时z有最大值为4×2+1×2＝10；当x+2y＜0时，化z＝3x﹣y为y＝3x﹣z，当直线y＝3x﹣z过B（﹣2，1）时z 有最小值为3×（﹣2）﹣1＝﹣7；当直线y＝﹣4x+z过C（2，﹣2）时z有最大值为4×2﹣1×（﹣2）＝10．综上，z＝max{4x+y，3x﹣y}的取值范围是[﹣7，10]．故选：B．8．（5分）函数y＝log3（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A 在直线mx+ny+1＝0上，其中m，n均大于0，则的最小值为（）A．2B．4C．8D．16【解答】解：∵y＝log3（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，当x+3＝1时，即x＝﹣2时，y＝﹣1，∴A点的坐标为（﹣2，﹣1），∵点A在直线mx+ny+1＝0上，∴﹣2m﹣n+1＝0，即2m+n＝1，∵m，n均大于0，∴＝+＝2+++2≥4+2＝8，当且仅当m＝，n＝时取等号，故的最小值为8，故选：C．9．（5分）已知△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，且a cos C+c ＝b，若a＝1，c﹣2b＝1，则角B为（）A．B．C．D．【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：sin A cos C+sin C＝sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，由sin C≠0，整理得：cos A＝，即A＝，由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，即1＝b2+c2﹣bc①，与c﹣2b＝1联立，解得：c＝，b＝1，由正弦定理＝，得：sin B＝＝＝，∵b＜c，∴B＜C，则B＝．故选：B．10．（5分）设定义在D上的函数y＝h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y＝g（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y＝h（x）的“类对称点”，则f（x）＝x2﹣6x+4lnx的“类对称点”的横坐标是（）A．1B．C．e D．【解答】解：函数y＝f（x）在其图象上一点P（x0，f（x0））处的切线方程为：y＝g（x）＝（2x0+﹣6）（x﹣x0）+x02﹣6x0+4lnx0，设m（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣6x+4lnx﹣（2x0+﹣6）（x﹣x0）﹣x02+6x0﹣4lnx0，则m（x0）＝0．m′（x）＝2x+﹣6﹣（2x0+﹣6）＝2（x﹣x0）（1﹣）＝（x﹣x0）（x ﹣）若x0＜，m（x）在（x0，）上单调递减，∴当x∈（x0，）时，m（x）＜m（x0）＝0，此时＜0；若x0，φ（x）在（，x0）上单调递减，∴当x∈（，x0）时，m（x）＞m（x0）＝0，此时＜0；∴y＝f（x）在（0，）∪（，+∞）上不存在“类对称点”．若x0＝，（x﹣）2＞0，∴m（x）在（0，+∞）上是增函数，当x＞x0时，m（x）＞m（x0）＝0，当x＜x0时，m（x）＜m（x0）＝0，故＞0．即此时点P是y＝f（x）的“类对称点”综上，y＝f（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a，若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x ≤3}，则实数a的值为a＝1．【解答】解：由题意可得，不等式即|2x﹣a|≤6﹣a，∴a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a，解得a﹣3≤x≤3．再由不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3＝﹣2，故a＝1，故答案为a＝1．12．（5分）已知点A（2，0）抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线F A与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|＝1：．【解答】解：∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0），∴抛物线的准线方程为l：y＝﹣1，直线AF的斜率为k＝＝﹣，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|＝|PM|，∵Rt△MPN中，tan∠MNP＝﹣k＝，∴＝，可得|PN|＝2|PM|，得|MN|＝＝|PM|因此可得|FM|：|MN|＝|PM|：|MN|＝1：．故答案为：1：．13．（5分）已知函数则＝．【解答】解：＝，由定积分的几何意义可知：表示上半圆x2+y2＝1（y≥0）的面积，∴＝．又dx＝＝e2﹣e．∴＝＝好．故答案为：．14．（5分）把座位编号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为96．（用数字作答）【解答】解：先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人一张，1人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号．在4个空位插3个板子，共有C43＝4种情况，再对应到4个人，有A44＝24种情况，则共有4×24＝96种情况．故答案为96．15．（5分）已知函数f（x）＝xe x，记f0（x）＝f′（x），f1（x）＝f′（x0），…，f n（x）＝f′n﹣1（x）且x2＞x1，对于下列命题：①函数f（x）存在平行于x轴的切线；②＞0；③f′2012（x）＝xe x+2014e x；④f（x1）+x2＜f（x2）+x1．其中正确的命题序号是①③（写出所有满足题目条件的序号）．【解答】解：对于①，因为f′（x）＝（x+1）e x，易知f′（﹣1）＝0，函数f （x）存在平行于x轴的切线，故①正确；对于②，因为f′（x）＝（x+1）e x，所以x∈（﹣∞，﹣1）时，函数f（x）单调递减，x∈（﹣1，+∞）时，函数f（x）单调递增，故＞0不能确定，故②错；对于③，因为f1（x）＝f′（x0）＝xe x+2e x，f2（x）＝f1′（x）＝xe x+3e x，…，f n（x）＝f′n﹣1（x）＝xe x+（n+1）e x，所以f′2012（x）＝f2013（x）＝xe x+2014e x；故③正确；对于④，f（x1）+x2＜f（x2）+x1等价于f（x1）﹣x1＜f（x2）﹣x2，构建函数h（x）＝f（x）﹣x，则h′（x）＝f′（x）﹣1＝（x+1）e x﹣1，易知函数h（x）在R上不单调，故④错；故答案为：①③三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）＝2sin x+2sin（x﹣）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知f（A）＝，a＝b，证明：C＝3B．【解答】（1）解：函数f（x）＝2sin x+2sin（x﹣）＝2（sin x+sin x﹣cos x）＝2（sin x﹣cos x）＝2sin（x﹣），令2kπ﹣≤x﹣≤2k，k∈Z，则2kπ﹣≤x≤2kπ，则f（x）的单调递增区间是[2kπ﹣，2kπ]，k∈Z．（2）证明：由f（A）＝，则sin（A﹣）＝，由0＜A＜π，则﹣＜A﹣＜，则A＝，由＝，a＝b，则sin B＝，由a＞b，A＝，B＝，C＝，故C＝3B．17．（12分）2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：从中随机地选取5只．（Ⅰ）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；（Ⅱ）若完整地选取奥运会吉祥物记10分；若选出的5只中仅差一种记8分；差两种记6分；以此类推．设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率P＝＝＝，（Ⅱ）ξ的取值为：10，8，6，4．P（ξ＝10）＝＝，P（ξ＝8）＝，P（ξ＝6）＝＝，P（ξ＝4）＝＝ξ的分布列为：﹣Eξ＝＝7.5．18．（12分）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB＝CF：F A＝CP：PB＝1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF 的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连接A1B、A1P（如图2）（1）求证：A1E⊥平面BEP（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（3）求二面角B﹣A1P﹣F的余弦值．【解答】（1）证明：不妨设正三角形ABC的边长为3．在图1中，取BE的中点D，连接DF．∵AE：EB＝CF：F A＝1：2，∴AF＝AD＝2，而∠A＝60度，∴△ADF是正三角形，又AE＝DE＝1，∴EF⊥AD．在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的平面角．由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE．又BE∩EF＝E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP．（2）建立分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则E（0，0，0），A（0，0，1），B（2，0，0），F（0，，0），P（1，，0），则，．设平面ABP的法向量为，由平面ABP知，，即令，得，．，，∴直线A1E与平面A1BP所成的角为60度．（3），设平面A1FP的法向量为．由平面A1FP知，令y 2＝1，得，．，所以二面角B﹣A1P﹣F的余弦值是．19．（12分）数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和为S n，满足S n2＝a n（S n ﹣）．（1）求S n的表达式；（2）设b n＝，数列{b n}的前n项和为T n，不等式T n≥（m2﹣5m）对所有的n∈N*恒成立，求正整数m的最大值．【解答】解：（1）∵S n2＝a n（S n﹣）＝．化为，∴数列是首项为＝＝1，公差为2的等差数列．故＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，∴S n＝．（2）b n＝＝＝，故T n＝+…+＝．又∵不等式T n≥（m2﹣5m）对所有的n∈N*恒成立，∴≥（m2﹣5m），化简得：m2﹣5m﹣6≤0，解得：﹣1≤m≤6．∴正整数m的最大值为6．20．（13分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），P为椭圆G的上顶点，且∠PF1O＝45°．（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1：y＝kx+m1与椭圆G交于A，B两点，直线l2：y＝kx+m2（m1≠m2）与椭圆G交于C，D两点，且|AB|＝|CD|，如图所示．（ⅰ）证明：m1+m2＝0；（ⅱ）求四边形ABCD的面积S的最大值．【解答】（Ⅰ）解：设椭圆G的标准方程为．因为F1（﹣1，0），∠PF1O＝45°，所以b＝c＝1．所以，a2＝b2+c2＝2．…（2分）所以，椭圆G的标准方程为．…（3分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．（ⅰ）证明：由消去y得：．则，…（5分）所以＝＝＝．同理．…（7分）因为|AB|＝|CD|，所以．因为m1≠m2，所以m1+m2＝0．…（9分）（ⅱ）解：由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则．因为m1+m2＝0，所以．…（10分）所以＝．（或）所以当时，四边形ABCD的面积S取得最大值为．…（12分）21．（14分）已知函数f（x）＝aln（x+1）﹣ax﹣x2．（Ⅰ）若x＝1为函数f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）讨论f（x）在定义域上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意正整数n，ln（n+1）＜2+．【解答】解：（1）因为，令f'（1）＝0，即，解得a＝﹣4，经检验：此时，x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，∴f（x）在x＝1处取极大值．满足题意．（2），令f'（x）＝0，得x＝0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞）①当，即a≥0时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；②当，即﹣2＜a＜0时，若x∈（﹣1，，则f'（x）＜0，f（x）递减；若，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；③当，即a＝﹣2时，f'（x）≤0，f（x）在（﹣1，+∞）内递减，④当，即a＜﹣2时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＜0，f（x）递减；若x∈（0，，则f'（x）＞0，f（x）递增；若，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；（3）由（2）知当a＝1时，f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）≤f（0），即ln （x+1）≤x+x2，∵，∴，i＝1，2，3，…，n，∴，∴．。
数学_2015年河南省六市联考高考数学一模试卷(理科)(含答案)
2015年河南省六市联考高考数学一模试卷（理科）一．选择题：1. 已知集合A ＝{x|x 2>1}，B ＝{x|log 2x >0}，则A ∩B ＝（ ） A {x|x <−1} B {x|>0} C {x|x >1} D {x|x <−1或x >1}2. 如果复数2−bi 1+2i（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（ ）A −6B 23 C −23 D 23. 在等差数列{a n }中，已知首项a 1＝0，公差d ≠0，若a k ＝a 1+a 2+a 3+...+a 7，则k 的值为（ ）A 24B 23C 22D 21 4. 函数y =xln|x||x|的图象可能是（ ）A B C D5. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的x 值是（ ）A 3B 4C 6D 86. 函数y ＝cos(ωx +φ)(ω>0, 0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所表示，A 、B 分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为2√2，则该函数的一条对称轴为（ ）A x =2π B x =π2 C x ＝1 D x ＝2 7. 已知正数x ，y 满足{2x −y ≤0x −3y +5≥0，则z ＝4−x ⋅(12)y 的最小值为（ ）A 1B 14√23C 116D 1328. 若α∈(π2, π)，3cos2α＝sin(π4−α)，则sin2α的值为（ ） A 118 B −118 C 1718 D −17189. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（ ）A 1B 2C 3D 410. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sinA =2√23，a =2，S △ABC =√2，则b 的值为（ ） A √3 B3√22 C 2√2 D 2√3 11. 设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的右焦点为F ，过点F 作与x 轴垂直的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若OP →=λOA →+μOB →(λ, μ∈R)，λ⋅μ=316，则双曲线的离心率为（ ）A2√33 B 3√55 C 3√22 D 9812. 若直角坐标平面内A 、B 两点满足：①点A 、B 都在函数f(x)的图象上；②点A 、B 关于原点对称，则点对(A, B)是函数f(x)的一个“姊妹点对”．点对(A, B)与(B, A)可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数f(x)={x 2+2x(x <0)x+1ex(x ≥0) ，则f(x)的“姊妹点对”有 （ ）A 0个B 1个C 2个D 3个二．填空题：13. 已知a =∫(π0sint +cost)dt ，则(x −1ax )6的展开式中的常数项为________．14. 已知三棱锥P −ABC 的所有棱长都等于1，则三棱锥P −ABC 的内切球的表面积________． 15. 已知点A(0, 2)，抛物线C 1:y 2＝ax(a >0)的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，若|FM|:|MN|＝1:√5，则a 的值等于________．16. 已知f(x)=1+lnxx−1，g(x)=kx(k ∈N ∗)，对任意的c >1，存在实数a ，b 满足0<a <b <c ，使得f(c)＝f(a)＝g(b)，则k 的最大值为________．三、解答题：17. 已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 5＝45，a 2+a 6＝14． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)若数列{b n }满足：b12+b 222+⋯+b n 2n=a n +1(n ∈N ∗)，求数列{b n }的前n 项和．18. 在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛（即每两队比赛一场）共赛三场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为13，甲胜丙的概率为14，乙胜丙的概率为13；（1）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率；（2）设在该次比赛中，甲队得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19. 如图，已知长方形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，M 为DC 的中点．将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．(1)求证：AD ⊥BM ；(2)若点E 是线段DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E −AM −D 的余弦值为√55．20. 已知椭圆C 的焦点在x 轴上，左右焦点分别为F 1、F 2，离心率e =12，P 为椭圆上任意一点，△PF 1F 2的周长为6． (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)过点S(4, 0)且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于Q ，R 两点，点Q 关于x 轴的对称点为Q 1，过点Q 1与R 的直线交x 轴于T 点，试问△TRQ 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．21. 设函数f(x)=x 2−(a −2)x −alnx ． (1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值； (3)若方程f(x)=c 有两个不相等的实数根x 1，x 2，求证：f ′(x 1+x 22)>0．选修4-1：几何证明选讲22. 选修4−1：几何证明选讲如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD // AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2＝EF⋅EC．（1）求证：CE⋅EB＝EF⋅EP；（2）若CE:BE＝3:2，DE＝3，EF＝2，求PA的长．选修4-4：坐标系与参数方程23. 平面直角坐标系中，直线l的参数方程是{x=ty=√3t（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ−2ρsinθ−3＝0．（1）求直线l的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．选修4-5：不等式选讲24. 设不等式−2<|x−1|−|x+2|<0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|13a+16b|<14；（2）比较|1−4ab|与2|a−b|的大小，并说明理由．2015年河南省六市联考高考数学一模试卷（理科）答案1. C2. C3. C4. B5. D6. C7. C8. D9. D10. A11. A12. C13. −5214. π615. 4 16. 317. （1）设等差数列{a n }的公差为d ，则依题设d >0． 由a 2+a 6＝14，可得a 4＝7．由a 3a 5＝45，得(7−d)(7+d)＝45，可得d ＝2． ∴ a 1＝7−3d ＝1． 可得a n ＝2n −1．（2）设c n =bn2n ，则c 1+c 2+...+c n ＝a n +1， 即c 1+c 2+...+c n ＝2n ，可得c 1＝2，且c 1+c 2+...+c n +c n+1＝2(n +1)． ∴ c n+1＝2，可知c n ＝2(n ∈N ∗)． ∴ b n ＝2n+1，∴ 数列{b n }是首项为4，公比为2的等比数列． ∴ 前n 项和S n =4(1−2n )1−2=2n+2−4．18. 设甲队获第一且丙队获第二为事件A ，则P(A)=13×14×(1−13)=118 ξ可能的取值为0，3，6；则甲两场皆输：P(ξ＝0)＝(1−13)(1−14)=12甲两场只胜一场：P(ξ＝3)=13×(1−14)+14×(1−13)=512甲两场皆胜：P(ξ＝6)=13×14=112 ∴ ξ的分布列为Eξ＝0×12+3×512+6×112=7419. (1)证明：∵ 长方形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，M 为DC 的中点，∴ AM ＝BM =√2， ∴ BM ⊥AM ，∵ 平面ADM ⊥平面ABCM ，平面ADM ∩平面ABCM =AM ，BM ⊂平面ABCM ， ∴ BM ⊥平面ADM ， ∵ AD ⊂平面ADM ， ∴ AD ⊥BM ；(2)建立如图所示的直角坐标系，设DE →=λDB →，则平面AMD 的一个法向量n →=(0,1,0)， ME →=(√22−√22λ, √2λ, √22−√22λ)， AM →=(−√2,0,0)设平面AME 的一个法向量为m →=(x,y,z)，{√2x =0，√2λy +√22(1−λ)z =0， 取y ＝1，得x ＝0，y ＝1，z =2λλ−1， 所以m →=(0, 1, 2λλ−1)， 因为cos⟨m →,n →=m →⋅n→|m →|⋅|n|=√55求得λ=12，所以E 为BD 的中点．20. （1）设椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1，a >b >0； ∵ e =c a=12①，|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|＝2a +2c ＝6②， a 2−b 2＝c 2③； 解得a ＝2，b =√3， ∴ 椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；…4分（2）设直线l 的方程为x ＝my +4， 与椭圆的方程联立，得{x =my +4x 24+y 23=1，消去x ，得(3m 2+4)y 2+24my +36＝0，∴ △＝(24m)2−4×36(3m 2+4)＝144(m 2−4)>0， 即m 2>4； ...6分设Q(x 1, y 1)，R(x 2, y 2)，则Q 1(x 1, −y 1)， 由根与系数的关系，得{y 1+y 2=−24m4+3m 2y 1y 2=364+3m 2 ； 直线RQ 1的斜率为k =y 2−(−y 1)x 2−x 1=y 2+y 1x 2−x 1，且Q 1(x 1, y 1)，∴ 直线RQ 1的方程为y +y 1=y 2+y1x 2−x 1(x −x 1)；令y ＝0，得x =x 1y 2+x 2y 1y 1+y 2=(my 1+4)y 2+y 1(my 2+4)y 1+y 2=2my 1y 2+4(y 1+y 2)y 1+y 2，将①②代人上式得x ＝1；…9分又S △TRQ =12|ST|⋅|y 1−y 2|=32√(y 1+y 2)2−4y 1y 2＝18×√m 2−43m 2+4 ＝18×√m 2−43(m 2−4)+16＝183√m 2−4+16√2≤3√34，当3√m 2−4=√m 2−4，即m 2=283时取得“＝”；∴ △TRQ 的面积存在最大值，最大值是3√34．…12分． 21. 解：(1)由题意得x ∈(0, +∞)．f ′(x)=2x −(a −2)−ax=2x 2−(a−2)x−ax=(2x−a)(x+1)x．当a ≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增，即f(x)的单调递增区间为(0, +∞)； 当a >0时，由f′(x)>0得x >a2；由f′(x)<0，解得0<x <a2， 所以函数f(x)的单调递增区间为(a2,+∞)，单调递减区间为(0,a2)． (2)由(1)可得，若函数f(x)有两个零点， 则a >0，且f(x)的最小值f(a2)<0，即−a 2+4a −4aln a2<0．∵ a >0，∴ a +4ln a2−4>0． 令ℎ(a)=a +4ln a2−4，可知ℎ(a)在(0, +∞)上为增函数，且ℎ(2)=−2， ℎ(3)=4ln 32−1=ln 8116−1>lne −1=0，所以存在零点ℎ(a 0)=0，a 0∈(2, 3)，当a >a 0时，ℎ(a)>0；当0<a <a 0时，ℎ(a)<0． 所以满足条件的最小正整数a =3．又当a =3时，f(3)=3(2−ln3)>0，f(1)=0， ∴ a =3时，f(x)有两个零点．综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3．(3)∵ x 1，x 2是方程f(x)=c 得两个不等实数根，由(1)可知：a >0． 不妨设0<x 1<x 2．则x 12−(a −2)x 1−alnx 1=c ，x 22−(a −2)x 2−alnx 2=c ．两式相减得x 12−(a −2)x 1−alnx 1−x 22+(a −2)x 2+alnx 2=0， 化为a =x 12+2x 1−x 22−2x 2x 1+lnx 1−x 2−lnx 2．∵ f ′(a2)=0，当x ∈(0,a2)时，f′(x)<0； 当x ∈(a2,+∞)时，f′(x)>0． 故只要证明x 1+x 22>a2即可，即证明x 1+x 2>x 12+2x 1−x 22−2x 2x 1+lnx 1−x 2−lnx 2，即证明lnx 1x 2<2x 1−2x 2x 1+x 2.设t =x1x 2(0<t <1)，令g(t)=lnt −2t−2t+1，则g ′(t)=1t−4(t+1)2=(t−1)2t(t+1)2．∵ 0<t <1， ∴ g′(t)>0，∴ g(t)在(0, 1)上是增函数，又在t =1处连续且g(1)=0， ∴ 当t ∈(0, 1)时，g(t)<0恒成立．故命题得证． 22. （II ）∵ DE 2＝EF ⋅EC ，DE ＝3，EF ＝2． ∴ 32＝2EC ，∴ CE =92．∵ CE:BE ＝3:2，∴ BE ＝3．由(I)可知：CE ⋅EB ＝EF ⋅EP ，∴ 92×3=2EP ，解得EP =274，∴ BP ＝EP −EB =274−3=154．∵ PA 是⊙O 的切线，∴ PA 2＝PB ⋅PC ， ∴ PA 2=154×(274+92)，解得PA =15√34．23. 直线l 的参数方程是{x =ty =√3t（t 为参数），化为普通方程得：y =√3x∴ 在平面直角坐标系中，直线l 经过坐标原点，倾斜角是π3， 因此，直线l 的极坐标方程是θ=π3，(ρ∈R)；把θ=π3代入曲线C 的极坐标方程ρ2cos 2θ+ρ2sin 2θ−2ρsinθ−3＝0，得ρ2−√3ρ−3＝0 ∴ 由一元二次方程根与系数的关系，得ρ1+ρ2=√3，ρ1ρ2＝−3， ∴ |AB|＝|ρ1−ρ2|=√(ρ1+ρ2)2−4ρ1ρ2=√15． 24. 记f(x)＝|x −1|−|x +2|={3,x ≤−2−2x −1,−2<x <1−3,x ≥1 ，由−2<−2x −1<0解得−12<x <12，则M ＝(−12, 12)．∵ a 、b ∈M ，∴ |a|<12，|b|<12所以|13a +16b|≤13|a|+16|b|<13×12+16×12=14．由（1）得a 2<14，b 2<14．因为|1−4ab|2−4|a −b|2＝(1−8ab +16a 2b 2)−4(a 2−2ab +b 2) ＝(4a 2−1)(4b 2−1)>0，所以|1−4ab|2>4|a −b|2，故|1−4ab|>2|a −b|．。
2015年山东省高考数学一模试卷(理科)含解析答案
2015年山东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2015•山东一模）复数z=|（﹣i）i|+i5（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．2﹣i B．2+i C．4﹣i D．4+i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：直接利用复数模的公式求复数的模，再利用虚数单位i的运算性质化简后得z，则复数z的共轭复数可求．【解析】：解：由z=|（﹣i）i|+i5=，得：．故选：A．【点评】：本题考查复数模的求法，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．2．（5分）（2015•山东一模）若[﹣1，1]⊆{x||x2﹣tx+t|≤1}，则实数t的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．[2﹣2，0] C．（﹣∞，﹣2] D．[2﹣2，2+2]【考点】：集合的包含关系判断及应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用；集合．【分析】：令y=x2﹣tx+t，由题意，将集合的包含关系可化为求函数的最值的范围．【解析】：解：令y=x2﹣tx+t，①若t=0，则{x||x2≤1}=[﹣1，1]，成立，②若t＞0，则y max=（﹣1）2﹣t（﹣1）+t=2t+1≤1，即t≤0，不成立；③若t＜0，则y max=（1）2﹣t+t=1≤1，成立，y min=（）2﹣t•+t≥﹣1，即t2﹣4t﹣4≤0，解得，2﹣2≤t≤2+2，则2﹣2≤t＜0，综上所述，2﹣2≤t≤0．故选B．【点评】：本题考查了集合的包含关系的应用，属于基础题．3．（5分）（2015•山东一模）已知M（2，m）是抛物线y2=2px（p＞0）上一点，则“p≥1”是“点M到抛物线焦点的距离不少于3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：简易逻辑．【分析】：根据抛物线的定义和性质，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解析】：解：抛物线的交点坐标为F（，0），准线方程为x=﹣，则点M到抛物线焦点的距离PF=2﹣（﹣）=2+，若p≥1，则PF=2+≥，此时点M到抛物线焦点的距离不少于3不成立，即充分性不成立，若点M到抛物线焦点的距离不少于3，即PF=2+≥3，即p≥2，则p≥1，成立，即必要性成立，故“p≥1”是“点M到抛物线焦点的距离不少于3”的必要不充分条件，故选：B【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用抛物线的定义和性质是解决本题的关键．4．（5分）（2015•山东一模）若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（）A．B．C．或D．或【考点】：圆锥曲线的共同特征；等比数列的性质．【专题】：计算题．【分析】：先根据等比中项的性质求得m的值，分别看当m大于0时，曲线为椭圆，进而根据标准方程求得a和b，则c可求得，继而求得离心率．当m＜0，曲线为双曲线，求得a，b和c，则离心率可得．最后综合答案即可．【解析】：解：依题意可知m=±=±4当m=4时，曲线为椭圆，a=2，b=1，则c=，e==当m=﹣4时，曲线为双曲线，a=1，b=2，c=则，e=故选D【点评】：本题主要考查了圆锥曲线的问题，考查了学生对圆锥曲线基础知识的综合运用，对基础的把握程度．5．（5分）（2015•山东一模）在△ABC中，若b=2，A=120°，三角形的面积S=，则三角形外接圆的半径为（）A．B． 2 C．2D． 4【考点】：正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：由条件求得c=2=b，可得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径R的值．【解析】：解：△ABC中，∵b=2，A=120°，三角形的面积S==bc•sinA=c•，∴c=2=b，故B=（180°﹣A）=30°．再由正弦定理可得=2R==4，∴三角形外接圆的半径R=2，故选：B．【点评】：本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．6．（5分）（2015•山东一模）某几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此几何体的外接球的表面积为（）A．3π B．4π C．2π D．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：如图所示，该几何体是正方体的内接正四棱锥．因此此几何体的外接球的直径2R=正方体的对角线，利用球的表面积计算公式即可得出．【解析】：解：如图所示，该几何体是正方体的内接正四棱锥．因此此几何体的外接球的直径2R=正方体的对角线，其表面积S=4πR2=3π．故选：A．【点评】：本题考查了正方体的内接正四棱锥、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（5分）（2015•山东一模）定义max{a，b}=，设实数x，y满足约束条件，则z=max{4x+y，3x﹣y}的取值范围是（）A．[﹣8，10] B．[﹣7，10] C．[﹣6，8] D．[﹣7，8]【考点】：简单线性规划．【专题】：分类讨论；转化思想；不等式的解法及应用．【分析】：由约束条件作出可行域，结合新定义得到目标函数的分段函数，然后化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解析】：解：由约束条件作出可行域如图，由定义max{a，b}=，得z=max{4x+y，3x﹣y}=，当x+2y≥0时，化z=4x+y为y=﹣4x+z，当直线y=﹣4x+z过B（﹣2，1）时z有最小值为4×（﹣2）+1=﹣7；当直线y=﹣4x+z过A（2，2）时z有最大值为4×2+1×2=10；当x+2y＜0时，化z=3x﹣y为y=3x﹣z，当直线y=3x﹣z过B（﹣2，1）时z有最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7；当直线y=﹣4x+z过A（2，﹣2）时z有最大值为4×2﹣1×（﹣2）=10．综上，z=max{4x+y，3x﹣y}的取值范围是[﹣7，10]．故选：B．【点评】：本题是新定义题，考查了简单的线性规划，考查了数形结合及数学转化思想方法，是中档题．8．（5分）（2015•山东一模）函数y=log3（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m，n均大于0，则的最小值为（）A．2 B． 4 C．8 D．16【考点】：基本不等式；对数函数的图像与性质．【专题】：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】：现根据对数函数图象和性质求出点A的坐标，再根据点在直线上，代入化简得到2m+n=1，再根据基本不等式，即可求出结果【解析】：解：∵y=log3（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，当x+3=1时，即x=﹣2时，y=﹣1，∴A点的坐标为（﹣2，﹣1），∵点A在直线mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，即2m+n=1，∵m，n均大于0，∴=+=2+++2≥4+2=8，当且仅当m=，n=时取等号，故的最小值为8，故选：C【点评】：本题考查了对数函数图象和性质以及基本不等式，属于中档题9．（5分）（2015•山东一模）已知△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，且acosC+c=b，若a=1，c﹣2b=1，则角B为（）A．B．C．D．【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：已知等式利用正弦定理化简，整理求出cosA的值，求出A的度数，利用余弦定理列出关系式，把a与sinA的值代入得到关于b与c的方程，与已知等式联立求出b与c 的值，再利用正弦定理求出sinB的值，即可确定出B的度数．【解析】：解：已知等式利用正弦定理化简得：sinAcosC+sinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，由sinC≠0，整理得：cosA=，即A=，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=b2+c2﹣bc①，与c﹣2b=1联立，解得：c=，b=1，由正弦定理=，得：sinB===，∵b＜c，∴B＜C，则B=．故选：B．【点评】：此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．10．（5分）（2015•山东一模）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”，则f（x）=x2﹣6x+4lnx的“类对称点”的横坐标是（）A．1 B．C．e D．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】：计算题；新定义；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】：当a=4时，函数y=H（x）在其图象上一点P（x0，f（x0））处的切线方程为y=g （x）=（2x0+﹣6）（x﹣x0）++x02﹣6x0+4lnx0．由此能推导出y=h（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标．【解析】：解：当a=4时，函数y=h（x）在其图象上一点P（x0，h（x0））处的切线方程为：y=g（x）=（2x0+﹣6）（x﹣x0）+x02﹣6x0+4lnx0，设m（x）=h（x）﹣g（x）=x2﹣6x+4lnx﹣（2x0+﹣6）（x﹣x0）﹣x02+6x0﹣4lnx0，则m（x0）=0．m′（x）=2x+﹣6﹣（2x0+﹣6）=2（x﹣x0）（1﹣）=（x﹣x0）（x﹣）若x0＜，φ（x）在（x0，）上单调递减，∴当x∈（x0，）时，m（x）＜m（x0）=0，此时＜0；若x0，φ（x）在（，x0）上单调递减，∴当x∈（，x0）时，m（x）＞m（x0）=0，此时＜0；∴y=h（x）在（0，）∪（，+∞）上不存在“类对称点”．若x0=，（x﹣）2＞0，∴m（x）在（0，+∞）上是增函数，当x＞x0时，m（x）＞m（x0）=0，当x＜x0时，m（x）＜m（x0）=0，故＞0．即此时点P是y=f（x）的“类对称点”综上，y=h（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标．故选B．【点评】：本题考查函数的单调增区间的求法，探索满足函数在一定零点下的参数的求法，探索函数是否存在“类对称点”．解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，此题是难题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）（2015•山东一模）已知函数f（x）=|2x﹣a|+a，若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，则实数a的值为a=1．【考点】：其他不等式的解法．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：不等式即|2x﹣a|≤6﹣a，解得a﹣3≤x≤3．再由已知不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，由此求得实数a的值．【解析】：解：由题意可得，不等式即|2x﹣a|≤6﹣a，∴a﹣6≤2x﹣a≤6﹣a，解得a﹣3≤x≤3．再由不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}，可得a﹣3=﹣2，故a=1，故答案为a=1．【点评】：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．12．（5分）（2015•山东一模）已知点A（2，0）抛物线C：x2=4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|：|MN|=1：．【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=﹣．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠MNP=，从而得到|PN|=2|PM|，进而算出|MN|=|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．【解析】：解：∵抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0），∴抛物线的准线方程为l：y=﹣1，直线AF的斜率为k==﹣，过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|=|PM|，∵Rt△MPN中，tan∠MNP=﹣k=，∴=，可得|PN|=2|PM|，得|MN|==|PM|因此可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=1：．故答案为：1：．【点评】：本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．13．（5分）（2015•山东一模）已知函数则=．【考点】：定积分．【专题】：导数的综合应用．【分析】：=，由定积分的几何意义可知：表示上半圆x2+y2=1（y≥0）的面积，即可得出．利用微积分基本定理即可得出dx=．【解析】：解：=，由定积分的几何意义可知：表示上半圆x2+y2=1（y≥0）的面积，∴=．又dx==e2﹣e．∴==好．故答案为：．【点评】：本题考查了定积分的几何意义、微积分基本定理，属于中档题．14．（5分）（2015•山东一模）把座位编号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，至多两张，且分得的两张票必须是连号，那么不同的分法种数为96．（用数字作答）【考点】：排列、组合及简单计数问题．【专题】：概率与统计．【分析】：根据题意，先将票分为符合题意要求的4份，可以转化为将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号的问题，用插空法易得其情况数目，再将分好的4份对应到4个人，由排列知识可得其情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．【解析】：解：先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，则三人一张，1人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号．在4个空位插3个板子，共有C43=4种情况，再对应到4个人，有A44=24种情况，则共有4×24=96种情况．故答案为96．【点评】：本题考查排列、组合的应用，注意将分票的问题转化为将1、2、3、4、5这五个数用3个板子隔开，分为四部分的问题，用插空法进行解决．15．（5分）（2015•山东一模）已知函数f（x）=xe x，记f0（x）=f′（x），f1（x）=f′（x0），…，f n（x）=f′n﹣1（x）且x2＞x1，对于下列命题：①函数f（x）存在平行于x轴的切线；②＞0；③f′2012（x）=xe x+2014e x；④f（x1）+x2＜f（x2）+x1．其中正确的命题序号是①③（写出所有满足题目条件的序号）．【考点】：导数的运算．【专题】：导数的概念及应用．【分析】：根据导数的几何意义判断①正确，根据导数和函数的单调性判断②错；根据导数的运算，得到③正确，根据导数与函数的单调性的关系判断④错【解析】：解：对于①，因为f′（x）=（x+1）e x，易知f′（﹣1）=0，函数f（x）存在平行于x轴的切线，故①正确；对于②，因为f′（x）=（x+1）e x，所以x∈（﹣∞，﹣1）时，函数f（x）单调递减，x∈（﹣1，+∞）时，函数f（x）单调递增，故＞0的正负不能定，故②错；对于③，因为f1（x）=f′（x0）=xe x+2e x，f2（x）=f′（x1）=xe x+3e x，…，f n（x）=f′n﹣1（x）=xe x+（n+1）e x，所以f′2012（x）=f2013（x）=xe x+2014e x；故③正确；对于④，f（x1）+x2＜f（x2）+x1等价于f（x1）﹣x1＜f（x2）﹣x2，构建函数h（x）=f（x）﹣x，则h′（x）=f′（x）﹣1=（x+1）e x﹣1，易知函数h（x）在R上不单调，故④错；故答案为：①③【点评】：本题考查了导数的几何意义以及导数和函数的单调性的关系，以及导数的运算法则，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015•山东一模）已知函数f（x）=2sinx+2sin（x﹣）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知f（A）=，a=b，证明：C=3B．【考点】：两角和与差的正弦函数；正弦定理．【专题】：计算题；三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】：（1）运用两角差的正弦公式，即可化简，再由正弦函数的单调增区间，即可得到；（2）由f（A）=，及0＜A＜π，即可得到A=，再由正弦定理，及边角关系，即可得证．【解析】：（1）解：函数f（x）=2sinx+2sin（x﹣）=2（sinx+sinx﹣cosx）=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣），令2kπ﹣≤x﹣≤2k，k∈Z，则2kπ﹣≤x≤2kπ，则f（x）的单调递增区间是[2kπ﹣，2kπ]，k∈Z．（2）证明：由f（A）=，则sin（A﹣）=，由0＜A＜π，则﹣＜A﹣＜，则A=，由=，a=b，则sinB=，由a＞b，A=，B=，C=，故C=3B．【点评】：本题考查三角函数的化简，正弦函数的单调区间，考查正弦定理及边角关系，注意角的范围，属于中档题．17．（12分）（2015•山东一模）2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：福娃名称贝贝晶晶欢欢迎迎妮妮数量1 1 1 2 3从中随机地选取5只．（Ⅰ）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；（Ⅱ）若完整地选取奥运会吉祥物记10分；若选出的5只中仅差一种记8分；差两种记6分；以此类推．设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列及数学期望．【考点】：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）根据排列组合知识得出P=运算求解即可．（Ⅱ）确定ξ的取值为：10，8，6，4．分别求解P（ξ=10），P（ξ=8），P（ξ=6），P（ξ=4），列出分布列即可．【解析】：解：（Ⅰ）选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率P===，（Ⅱ）ξ的取值为：10，8，6，4．P（ξ=10）==，P（ξ=8）=，P（ξ=6）==，P（ξ=4）==ξ的分布列为：ξ 10 8 6 4P﹣Eξ==7.5．【点评】：本题综合考查了运用排列组合知识，解决古典概率分布的求解问题，关键是确定随机变量的数值，概率的求解，难度较大，仔细分类确定个数求解概率，属于难题．18．（12分）（2015•山东一模）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1﹣EF﹣B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（1）求证：A1E⊥平面BEP（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；（3）求二面角B﹣A1P﹣F的余弦值．【考点】：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】：空间角．【分析】：（1）设正三角形ABC的边长为3．在图1中，取BE的中点D，连结DF．由已知条件推导出△ADF是正三角形，从而得到EF⊥AD．在图2中，推导出∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的平面角，且A1E⊥BE．由此能证明A1E⊥平面BEP．（2）建立分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，利用向量法能求出直线A1E与平面A1BP所成的角的大小．（3）分别求出平面A1FP的法向量和平面BA1F的法向量，利用向量法能求出二面角B﹣A1P﹣F的余弦值．【解析】：（1）证明：不妨设正三角形ABC 的边长为3．在图1中，取BE的中点D，连结DF．∵AE：EB=CF：FA=1：2，∴AF=AD=2，而∠A=60度，∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1，∴EF⊥AD．在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A1EB为二面角A1﹣EF﹣B的平面角．由题设条件知此二面角为直二面角，∴A1E⊥BE．又BE∩EF=E，∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP．（2）建立分别以EB、EF、EA为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，则E（0，0，0），A（0，0，1），B（2，0，0），F（0，，0），P （1，，0），则，．设平面ABP的法向量为，由平面ABP知，，即令，得，．，，∴直线A1E与平面A1BP所成的角为60度．（3），设平面A1FP的法向量为．由平面A1FP知，令y 2=1，得，．，所以二面角B﹣A1P﹣F的余弦值是．【点评】：本题考查直线与平面垂直的证明，考查直线与平面所成的角的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）（2015•山东一模）数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和为S n，满足S n2=a n （S n﹣）．（1）求S n的表达式；（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，不等式T n≥（m2﹣5m）对所有的n∈N*恒成立，求正整数m的最大值．【考点】：数列的求和；数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，代入利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“裂项求和”、一元二次不等式的解法即可得出．【解析】：解：（1）∵S n2=a n（S n﹣）=．化为，∴数列是首项为==1，公差为2的等差数列．故=1+2（n﹣1）=2n﹣1，∴S n=．（2）b n===，故T n=+…+=．又∵不等式T n≥（m2﹣5m）对所有的n∈N*恒成立，∴≥（m2﹣5m），化简得：m2﹣5m﹣6≤0，解得：﹣1≤m≤6．∴正整数m的最大值为6．【点评】：本题考查了递推式的应用、“裂项求和”、等差数列的通项公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（13分）（2015•山东一模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），P为椭圆G的上顶点，且∠PF1O=45°．（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1：y=kx+m1与椭圆G交于A，B两点，直线l2：y=kx+m2（m1≠m2）与椭圆G交于C，D两点，且|AB|=|CD|，如图所示．（ⅰ）证明：m1+m2=0；（ⅱ）求四边形ABCD的面积S的最大值．【考点】：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】：综合题．【分析】：（Ⅰ）根据F1（﹣1，0），∠PF1O=45°，可得b=c=1，从而a2=b2+c2=2，故可得椭圆G的标准方程；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．（ⅰ）直线l1：y=kx+m1与椭圆G联立，利用韦达定理，可求AB，CD的长，利用|AB|=|CD|，可得结论；（ⅱ）求出两平行线AB，CD间的距离为d，则，表示出四边形ABCD的面积S，利用基本不等式，即可求得四边形ABCD的面积S取得最大值．【解析】：（Ⅰ）解：设椭圆G的标准方程为．因为F1（﹣1，0），∠PF1O=45°，所以b=c=1．所以，a2=b2+c2=2．…（2分）所以，椭圆G的标准方程为．…（3分）（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．（ⅰ）证明：由消去y得：．则，…（5分）所以===．同理．…（7分）因为|AB|=|CD|，所以．因为m1≠m2，所以m1+m2=0．…（9分）（ⅱ）解：由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则．因为m1+m2=0，所以．…（10分）所以=．（或）所以当时，四边形ABCD的面积S取得最大值为．…（12分）【点评】：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，考查三角形的面积，同时考查利用基本不等式求最值，正确求弦长，表示出四边形的面积是解题的关键．21．（14分）（2015•山东一模）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣ax﹣x2．（Ⅰ）若x=1为函数f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）讨论f（x）在定义域上的单调性；（Ⅲ）证明：对任意正整数n，ln（n+1）＜2+．【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（I）由，f′（1）=0，知，由此能求出a．（Ⅱ）由，令f′（x）=0，得x=0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞），讨论两个根及﹣1的大小关系，即可判定函数的单调性；（Ⅲ）当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x2，由此能够证明ln（n+1）＜2+．【解析】：解：（1）因为，令f'（1）=0，即，解得a=﹣4，经检验：此时，x∈（0，1），f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（1，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减，∴f（x）在x=1处取极大值．满足题意．（2），令f'（x）=0，得x=0，或，又f（x）的定义域为（﹣1，+∞）①当，即a≥0时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；②当，即﹣2＜a＜0时，若x∈（﹣1，，则f'（x）＜0，f（x）递减；若，0），则f'（x）＞0，f（x）递增；若x∈（0，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；③当，即a=﹣2时，f'（x）≤0，f（x）在（﹣1，+∞）内递减，④当，即a＜﹣2时，若x∈（﹣1，0），则f'（x）＜0，f（x）递减；若x∈（0，，则f'（x）＞0，f（x）递增；若，+∞），则f'（x）＜0，f（x）递减；（3）由（2）知当a=1时，f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）≤f（0），即ln（x+1）≤x+x2，∵，∴，i=1，2，3，…，n，∴，∴．【点评】：本题考查函数极值的意义及利用导数研究函数的单调性，证明：对任意的正整数n．解题时要认真审题，注意导数的合理运用，恰当地利用裂项求和法进行解题．。
2015届河南省郑州市九年级一模模拟数学试题及答案
2015届河南省郑州市九年级一模模拟数学试题及答案郑州2015年九年级一模模拟测试数学试题一、选择题（每小题3分，共24分，下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确）1.-5的绝对值是（）A。
-11B。
0C。
-5D。
52.下列四个交通标志中，轴对称图形是（）3.不等式组：{x+2≥1，1-x<1}的解集在数轴上表示正确的是（）4.某校有21名学生参加某比赛，预赛成绩各不同，要取前11名参加决赛，___已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，只需要再知道这21名同学成绩的（）A。
最高分B。
平均分C。
极差D。
中位数5.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体摆放的位置是（）6.三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x-1/2x+3/5=0的根，则该三角形的周长为（）A。
14B。
12C。
14或12D。
以上都不对7.如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=2°，则∠AOD等于（）A。
160°B。
150°C。
140°D。
120°8.如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N从A点出发沿折线AD→DC→CB以每秒3cm的速度运动，到达B时运动同时停止，设△AMN的面积为y（cm²），运动时间为x （秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（）二、填空题（每小题3分，共21分）9.计算：9+(2-1)=______________10.一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M，如果∠ADF=100°，那么∠BMD为_____________度11.如图，A、B两点在双曲线y=1/S₁+1/S₂上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线，已知S₁S₂=4，则___________=______________12.如图，经过点B（-2，-3）的直线y=kx+b与直线y=4x+2相交于点A（-1，-2），则不等式4x+2<kx+b<0的解集为（）13.剔除格式错误，删除明显有问题的段落，改写如下：三辆车按1、2、3编号，___和___两人可任意选坐一辆车，则两人同坐3号车的概率是多少？14.剔除格式错误，改写如下：在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△___沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为多少？15.剔除格式错误，改写如下：如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q，若PQ=AE，则AP等于多少cm。