反证法习题
、选择题
1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()
A．有一个解
B．有两个解
C．至少有三个解
D．至少有两个解
［答案］C
［解析］在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选 C.
2．否定“自然数a、b、c 中恰有一个偶数”时的正确反设为()
A．a、b、c 都是奇数
B．a、b、c 或都是奇数或至少有两个偶数
C．a、b、c 都是偶数
D．a、b、cxx至少有两个偶数
［答案］B
［解析］a，b，c 三个数的奇、偶性有以下几种情况：
①全是奇数；② 有两个奇数，一个偶数；③ 有一个奇数，两个偶数；④ 三个偶数．因为要否定② ，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选 B.
3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°时”，反设正确的是()
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
［答案］B
［解析］“至少有一个不大于”的否定是“都大于60°．”故应选B.
4．用反证法证明命题：
“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a ≠有0)有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是()
A．假设a，b，c 都是偶数
B．假设a、b，c 都不是偶数
C．假设a，b，c 至多有一个偶数
D．假设a，b，c 至多有两个偶数
［答案］B
［解析］“至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b， c 都不是偶数．
5．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是()
A．a B．a≤b C．a＝b D．a≥b ［答案］B ［解析］“ a>b的”否定应为“＝a b或a 6．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为() A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 ［答案］C ［解析］假设c∥ b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c 与b不可能是平行直线．故应选 C. 8．若P是两条异面直线l、m 外的任意一点，则() A．过点P有且仅有一条直线与l、m 都平行 B．过点P有且仅有一条直线与l、m 都垂直 C．过点P有且仅有一条直线与l、m 都相交 D．过点P有且仅有一条直线与l、m 都异面 ［答案］B ［解析］对于A，若存在直线n，使n∥l且n∥m 则有l∥m，与l、m 异面矛盾；对于C，过点P与l、m 都相交的直线不一定存在，反例如图(l∥α)；对于D，过点P 与l、m 都异面的直线不唯一． 9．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说： “是乙或丙获奖”，乙说： “甲、丙都未获奖”，丙说： “我获奖了”，xx 说： “是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是() A．甲 B．乙 C．丙 D．xx ［答案］C ［解析］因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说对了，同时甲、乙中只有一人说对了，假设乙说的对，这样丙就错了，丁就对了，也就是甲也对了，与甲错矛盾，所以乙说错了，从而知甲、丙对，所以丙为获奖歌手．故应选 C. 二、填空题 11．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是． ［答案］没有一个是三角形或四边形或五边形 ［解析］“至少有一个”的否定是“没有一个”． ［解析］“至少有一个”的否定是“都不能”． 13．用反证法证明命题： “一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ① ∠ A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180 °相矛盾，则∠ A＝∠B＝90°不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设∠A，∠ B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°. 正 确顺序的序号排列为______ ． ［答案］③①② 三、解答题15．已知： a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0. 求证：a>0，b>0，c>0. ［证明］用反证法： 假设a，b，c 不都是正数，由abc>0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数，不妨设a<0，b<0，c>0，则由a＋b＋c>0， 可得c>－（a＋b）， 又a＋b<0，∴ c（a＋b）<－（a＋b）（a＋b） ab＋c（a＋b）<－（a ＋b）（a＋b）＋ab 即ab＋bc＋ca<－a2－ab－b2 ∵ a2>0，ab>0，b2>0，∴－a2－ab－b2＝－（a2＋ab＋b2）<0，即ab＋bc＋ca<0，这与已知ab＋bc＋ca>0 矛盾，所以假设不成立．因此a>0，b>0，c>0 成立． 1、用反证法证明一个命题时，下列说法正确的是 Ａ．将结论与条件同时否定，推出矛盾 Ｂ．肯定条件，否定结论，推出矛盾 Ｃ．将被否定的结论当条件，经过推理得出的结论只与原题条件矛盾，才是反证法的正确运用 Ｄ．将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件 2、否定“自然数a 、b 、c 中恰有一个偶数”时的正确反正假设为 A ．a 、b 、c 都是奇数 B ．a 、b 、c 或都是奇数或至少有两个偶数 C ．a 、b 、c 都是偶数 D ．a 、b 、c 中至少有两个偶数 3、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反证假设正确的是 A ．假设三内角都不大于60° B ．假设三内角都大于60° C ．假设三内角至多有一个大于60° D ．假设三内角至多有两个大于60° 4、设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中 A ．都不大于－2 B ．都不小于－2 C ．至少有一个不大于－2 D ．至少有一个不小于－2 5、若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则 A ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行 B ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直 C ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交 D ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面 6、已知x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n (x 2 n ＋3)3x 2n ＋1 (n ＝1,2…)，试证“数列{x n }或者对任意正整数n 都满足x n 2 矩阵 矩阵是学好线性代数这门课程的基础，而对于初学者来讲，对于矩阵的理解是尤为的重要；许多学生在最初的学习过程中感觉矩阵很难，这也是因为对矩阵所表示的内涵模糊的缘故。其实当我们把矩阵与我们的实际生产经济活动相联系的时候，我们才会发现，原来用矩阵来表示这些“繁琐”的事物来是多么的奇妙！于是当我们对矩阵产生无比的兴奋时，那么一切问题都会变得那么的简单! 2.1 知识要点解析 2.1.1 矩阵的概念 1．矩阵的定义 由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij 组成的m 行n 列的矩形数表 mn m m n n a a a a a a a a a A 21 22221 11211 称为m×n 矩阵，记为n m ij a A )( 2．特殊矩阵 （1）方阵：行数与列数相等的矩阵； （2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下） 三角阵； （3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵； （5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。 3．矩阵的相等 设mn ij mn ij b B a A )(; )( 若 ),,2,1;,,2,1(n j m i b a ij ij ，则称A 与B 相等，记为A=B 。 2.1.2 矩阵的运算 1．加法 （1）定义：设mn ij mn ij b B A A )(,)( ，则mn ij ij b a B A C )( （2）运算规律 ① A+B=B+A ； ②（A+B ）+C =A +（B+C ） ③ A+O=A ④ A +（-A ）=0， –A 是A 的负矩阵 2．数与矩阵的乘法 （1）定义：设,)(mn ij a A k 为常数，则mn ij ka kA )( （2）运算规律 ① K (A+B ) =KA+KB , ② (K+L )A =KA+LA , ③ (KL ) A = K (LA ) 3．矩阵的乘法 （1）定义：设.)(,)(np ij mn ij b B a A 则 ,)(mp ij C C AB 其中 n k kj ik ij b a C 1 （2）运算规律 ①)()(BC A C AB ；②AC AB C B A )( ③CA BA A C B )( （3）方阵的幂 ①定义：A n ij a )( ，则K k A A A ②运算规律：n m n m A A A ；mn n m A A )( （4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。 ①BA AB ②;00,0 B A AB 或不能推出 ③k k k B A AB )( 4．矩阵的转置 （1）定义：设矩阵A =mn ij a )(，将A 的行与列的元素位置交换，称为矩阵A 的转置，记为nm a A ji T )( ， （2）运算规律 ①;)(A A T T ②T T T B A B A )(； ③;)(T T KA kA ④T T T A B AB )(。 （三）、反证法 反证法证明的主要步骤是：第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 【典型例题】 例1、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0 例2、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 - a)b, (1 - b)c, (1 - c)a,不可能同时大于41 例3、.已知a 、b 、c 是互不相等的非零实数.求证：三个方程ax 2+2bx +c =0，bx 2+2cx +a =0，cx 2+2ax +b =0至少有一个方程有两个相异实根. 【巩固练习】 1.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为( ) A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数 B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数 C ．a ，b ，c 都是奇数 D ．a ，b ，c 都是偶数 2.设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断：①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a ＞b ，a ＜b 及a ＝b 中至少有一个成立；③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立， 其中正确判断的个数为( )A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3.若x 、y 、z 均为实数，且a =x 2－2y + 2π，b =y 2－2z +3π，c =z 2－2x +6 π，求证a 、b 、c 中至少有一个大于零. 4.若下列方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0， x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0, x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实根。试求实数a 的取值范围。 四种命题·典型例题 能力素质 [ ] 分析条件及结论同时否定，位置不变． 答选D． 例2 设原命题为：“对顶角相等”，把它写成“若p则q”形式为________．它的逆命题为________，否命题为________，逆否命题为________．分析只要确定了“p”和“q”，则四种命题形式都好写了． 解若两个角是对顶角，则两个角相等；若两个角相等，则这两个角是对顶角；若两个角不是对顶点，则这两个角不相等；若两个角不相等，则这两个角不是对顶角． 例3 “若P＝{x|x|＜1}，则0∈P”的等价命题是________． 分析等价命题可以是多个，我们这里是确定命题的逆否命题． ≠{x||x|＜1}” 例4 分别写出命题“若x2＋y2＝0，则x、y全为0”的逆命题、否命题 和逆否命题． 分析根据命题的四种形式的结构确定． 解逆命题：若x、y全为0，则x2＋y2＝0； 否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为0； 逆否命题：若x、y不全为0，则x2＋y2≠0． 说明：“x、y全为0”的否定不要写成“x、y全不为0”，应当是“x，y 不全为0”，这要特别小心． 例5 有下列四个命题： ①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题； ③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题； [ ] A．①②B．②③ C．①③D．③④ 分析应用相应知识分别验证． 解写出相应命题并判定真假 ①“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题； ②“不相似三角形周长不相等”为假命题； ③“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，则b＞－1”为真命题； 选C． 2.2.2反证法 双基达标(限时20分钟) 1．实数a，b，c不全为0等价于 ()．A．a，b，c均不为0 B．a，b，c中至多有一个为0 C．a，b，c中至少有一个为0 D．a，b，c中至少有一个不为0 解析不全为0即至少有一个不为0，故选D. 答案 D 2．下列命题错误的是 ()．A．三角形中至少有一个内角不小于60° B．四面体的三组对棱都是异面直线 C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点 D．设a、b∈Z，若a、b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数 解析a＋b为奇数?a、b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．答案 D 3．设x，y，z都是正实数，a＝x＋1 y，b＝y＋ 1 z，c＝z＋ 1 x，则a，b，c三个数 ()． A．至少有一个不大于2 B．都小于2 C．至少有一个不小于2 D．都大于2 解析若a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6①， 而a＋b＋c＝x＋1 x＋y＋ 1 y＋z＋ 1 z≥6②， 显然①，②矛盾，所以C正确． 答案 C 4．命题“△ABC中，若A>B，则a>b”的结论的否定应该是________．答案a≤b 5．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是________．答案至少有两个内角是直角 6．设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直． 证明假设AC⊥平面SOB，如图， ∵直线SO在平面SOB内， ∴SO⊥AC. ∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB. ∴SO⊥平面SAB. ∴平面SAB∥底面圆O. 这显然出现矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直． 综合提高(限时25分钟) 7．已知α∩β＝l，a?α，b?β，若a，b为异面直线，则 ()．A．a，b都与l相交 B．a，b中至少有一条与l相交 C．a，b中至多有一条与l相交 D．a，b都不与l相交 解析逐一从假设选项成立入手分析，易得B是正确选项，故选B. 答案 B 8．以下各数不能构成等差数列的是 ()．A．3,4,5 B.2，3， 5 C．3,6,9 D.2，2， 2 解析假设2，3，5成等差数列，则23＝2＋5，即12＝7＋210，此等式不成立，故2，3，5不成等差数列． 答案 B 9．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．解析“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否 1．用反证法证明“至多有两个解”的说法中，正确的第一步是假设() A．有一个解B．有两个解 C．至少有三个解D．至少有两个解 2．否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确假设为()A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数 C．a、b、c都是偶数 D．a、b、c中至少有两个偶数 3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是() A．假设三内角都不大于60° B．假设三内角都大于60° C．假设三内角至多有一个大于60° D．假设三内角至多有两个大于60° 4．用反证法证明命题：正整数X、Y、Z的和为偶数，那么X、Y、Z中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是()A．假设a，b，c都是偶数B．假设a、b，c都不是偶数 C．假设a，b，c至多有一个偶数 D．假设a，b，c至多有两个偶数 5．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是() A．a 初二数学几何证明初步经典练习题含答案 集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN] 几何证明初步练习题 1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°． 推理过程： ○1 作CM ∥AB ，则∠A= ，∠B= ，∵∠ACB +∠1+∠2=1800 （ ，∴∠A+∠B+∠ACB=1800． ○2 作MN ∥BC ，则∠2= ，∠3= ，∵∠1+∠2+∠3=1800 ，∴∠BAC+∠B+∠C=1800． 2．求证：在一个三角形中，至少有一个内角大于或者等于60°。 3、.如图，在△ABC 中，∠C ＞∠B,求证：AB ＞AC 。 4. 已知，如图，AE 5. 已知：如图，EF ∥AD ，∠1 =∠2. 求证：∠AGD ＋∠BAC = 180°. 反证法经典例题 6.求证:两条直线相交有且只有一个交点. 7.如图，在平面内，AB 是L 的斜线，CD 是L 的垂线。 求证：AB 与CD 必定相交。 8.2 一．角平分线－－轴对称 9、已知在ΔABC 中，Ｅ为ＢＣ的中点，AD 平分BAC ∠，BD ⊥AD 于D ．AB ＝9，ＡＣ＝ 13求ＤＥ的长 第9题图 第10题图 第11题图 分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得ΔABD ≌ΔAFD ．则BD ＝DF ．又BE ＝EC ，即D Ｅ为ΔBCF 的中位线．∴DE=12FC=12 (AC-AB)=2． 10、已知在ΔABC 中，108A ∠=，AB ＝AC ，BD 平分ABC ∠．求证：BC ＝AB ＋CD ． 分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD ≌ΔBED ．由已知可得： 18ABD DBE ∠=∠=，108A BED ∠=∠=，36C ABC ∠=∠=．∴72DEC EDC ∠=∠=，∴ CD ＝CE ，∴BC ＝AB ＋CD ． 11、如图，ΔABC 中，Ｅ是BC 边上的中点，DE ⊥BC 于E ，交BAC ∠的平分线AD 于 D ，过D 作DM ⊥AB 于Ｍ，作DN ⊥ＡC 于N ．求证：BM ＝CN ． 分析：连接DB 与DC ．∵DE 垂直平分BC ，∴DB ＝DC ．易证ΔAMD ≌ΔAND ． ∴有DM ＝DN ．∴ΔBMD ≌ΔCND （ＨＬ）．∴BM ＝CN ． 二、旋转 12、如图，已知在正方形ABCD 中，Ｅ在BC 上，Ｆ在DC 上，BE ＋DF ＝EF ． 求证：45EAF ∠=． C B A D E F D A B C B A E D N M B D A C 不等式证明方法专项+典型例题 不等式的证明是数学证题中的难点，其原因是证明无固定的程序可循，方法多样，技巧性强。 1、比较法（作差法） 在比较两个实数a 和b 的大小时，可借助b a -的符号来判断。步骤一般为：作差——变形——判断（正号、负号、零）。变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等。 例1、已知：0>a ，0>b ，求证：ab b a ≥+。 2、分析法（逆推法） 从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆。 例2、求证：15175+>+。 3、综合法 证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法。 例3、已知：a ，b 同号，求证：2≥+b a 。 4、作商法（作比法） 在证题时，一般在a ，b 均为正数时，借助 1>b a 或1> b a ，求证：a b b a b a b a >。 a b b a b a b a >。 5、反证法 先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出矛盾，从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的。 例5、已知0>>b a ，n 是大于1的整数，求证：n n b a >。 6、迭合法（降元法） 把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证。 例6、已知：122221=+++n a a a ，12 2221=+++n b b b ，求证：12211≤+++n n b a b a b a 。 证明：因为122221=+++n a a a ，12 2221=+++n b b b ， 所以原不等式获证。 7、放缩法（增减法、加强不等式法） 在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的。值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头。常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法。 例7、求证：01.09999531 典型例题一 例1 若b a //，A c b = ，则a ，c 的位置关系是（ ）． A ．异面直线 B ．相交直线 C ．平行直线 D ．相交直线或异面直线 分析：判断两条直线的位置关系，可以通过观察满足已知条件的模型或图形而得出正确结论． 解：如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，设a B A =11，b AB =，则b a //． 若设c B B =1，则a 与c 相交．若设c BC =，则a 与c 异面． 故选D ． 说明：利用具体模型或图形解决问题的方法既直观又易于理解．一般以正方体、四面体等为具体模型．例如，a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 的位置 b 异面，b ， c 异面，则 关系是相交、平行或异面．类似地；a ， a ，c 的位置关系是平行、相交或异 面．这些都可以用正方 体模型来判断． 典型例题二 例2 已知直线a 和点A ，α?A ，求证：过点A 有且只有一条直线和a 平行． 分析：“有且只有”的含义表明既有又惟一，因而这里要证明的有两个方面，即存在性和惟一性． 存在性，即证明满足条件的对象是存在的，它常用构造法（即找到满足条件的对象来证明）；惟一性，即证明满足条件的对象只有．．一个，换句话说，说是不存在第二个满足条件的对象． 因此，这是否定性．．．命题，常用反证法． 证明：（1）存在性． ∵ a A ?，∴ a 和A 可确定一个平面α， 由平面几何知识知，在α内存在着过点A 和a 平行的直线． （2）惟一性 假设在空间过点A 有两条直线b 和c 满足a b //和a c //．根据公理4，必有c b //与 A c b = 矛盾， ∴ 过点A 有一条且只有一条直线和a 平行． 说明：对于证明“有且只有”这类问题，一定要注意证明它的存在性和惟一性． 典型例题三 例3 如图所示，设E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且 λ==AD AH AB AE ，μ==CD CG CB CF ，求证： （1）当μλ=时，四边形EFGH 是平行四边形； （2）当μλ≠时，四边形EFGH 是梯形． 分析：只需利用空间等角定理证明FG EH //即可． 证明：连结BD ， 在ABD ?中，λ==AD AH AB AE ，∴ BD EH //，且BD EH λ=． 在CBD ?中，μ==CD CG CB CF ，∴ BD FG //，且BD FG μ=． ∴ FG EH //， ∴ 顶点E ，F ，G ，H 在由EH 和FG 确定的平面内． （1）当μλ=时，FG EH =，故四边形EFGH 为平行四边形； （2）当μλ≠时，FG EH ≠，故四边形EFGH 是梯形． 说明：显然，课本第11页的例题就是本题（2）的特殊情况． 2.2.2 反证法 双基达标限时20分钟 1.实数a, b, c不全为0等价于 () A. a, b, c均不为0 B. a, b, c中至多有一个为0 C. a, b, c中至少有一个为0 D. a, b, c中至少有一个不为0 解析不全为0即至少有一个不为0,故选D. 答案 D 2.下列命题错误的是 () A.三角形中至少有一个内角不小于60° B.四面体的三组对棱都是异面直线 C.闭区间［a, b］上的单调函数f(x)至多有一个零点 D.设a、b€ Z,若a、b中至少有一个为奇数，则a+ b是奇数 解析a+ b为奇数？ a、b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误. 答案 D 1 1 1 3.设x, y, z都是正实数，a = x+ —, b=y+一，c= z+ 一，则a, b, c三个数y z x (). A.至少有一个不大于2 B .都小于2 C.至少有一个不小于2 D .都大于2 解析若a, b, c都小于2,则a+ b+ c<6①， 1 1 1 而a+ b+c=x+_+y+_+z+-》6②， x J y z 显然①，②矛盾，所以C正确. 答案 C 4 .命题“△ ABC中，若A>B,则a>b”的结论的否定应该是____________ . 答案a< b 5?命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是 答案 至少有两个内角是直角 6 ?设SA 、SB 是圆锥SO 的两条母线， AC 与平面SOB 不垂直. 证明假设AC 丄平面SOB,如图， ???直线SO 在平面SOB 内， ??? SO 丄 AC. v SO 丄底面圆O ,： SO 丄AB. ??? SO 丄平面SAB. ???平面SAB//底面圆O. 这显然出现矛盾，所以假设不成立，即 综合提咼 7. 已知an l ，a? a b? B,若a ，b 为异面直线，则 (). A. a ，b 都与I 相交 B. a ，b 中至少有一条与I 相交 C. a ，b 中至多有一条与I 相交 D. a ，b 都不与I 相交 解析 逐一从假设选项成立入手分析，易得 B 是正确选项，故选B. 答案 B 8. 以下各数不能构成等差数列的是 (). A . 3,4,5 B. .'2， . 3, 5 C . 3,6,9 D. ‘2, 2 2 解析 假设.'2, 3 ：5成等差数列，则2 ：3= '2 + 5 即12= 7 + 2 10, 此等式不成立，故.;2, '3, ：5不成等差数列. 答案 B 9. “任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是 解析 “任何三角形”的否 定是“存在一个三角形 AC 与平面SOB 不垂直. 限时25分钟 “至少有两个”的否 §29.2反证法 教学目标： 1、知识与能力：（1）、通过实例，体会反证法的含义 （2）、培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力. 2、过程与方法：（1）、了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题. （2）、使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法. 3、情感、态度、价值观：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性. 教学重点： 体会反证法证明命题的思路方法，掌握反证法证题的步骤。 教学难点： 理解反证法的推理依据及方法，用反证法证明简单的命题是教学难点. 教学方法： 讲练结合教学. 教学过程： 提问： 师：通过预习我们知道反证法，什么叫做反证法？ 生：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法. 师：本节将进一步研究反证法证题的方法，反证法证题的步骤是什么？ 生：共分三步： （1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立； （2）从假设出发，经过推理，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确. 师：反证法是一种间接证明命题的基本方法。在证明一个数学命题时，如果运用直接证明法比较困难或难以证明时，可运用反证法进行证明。 例如：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？ 解析：由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知a2 +b2 ＝c2 二、探究 问题： 若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,∠C≠90°”，请问结论a2 +b2 ≠ c2 成立吗？请说明理由。 探究： 假设a2 +b2 ＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾。假设不成立，从而说明原结论a2 +b2 ≠ c2 成立。 这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做反证法。 三、应用新知 例１：在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠∠ C 证明：假设，∠B ＝∠C 则AB＝AC 这与已知AB≠AC矛盾． 几何证明初步练习题 1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°． 推理过程： ○1 作CM ∥AB ，则∠A= ，∠B= ，∵∠ACB +∠1+∠2=1800（ ，∴∠A+∠B+∠ ACB=1800． ○ 2 作MN ∥BC ，则∠2= ，∠3= ，∵∠1+∠2+∠3=1800，∴∠BAC+∠B+∠C=1800． 2．求证：在一个三角形中，至少有一个内角大于或者等于60°。 3、.如图，在△ABC 中，∠C ＞∠B,求证：AB ＞AC 。 4. 已知，如图，AE 5. 已知：如图，EF ∥AD ，∠1 =∠2. 求证：∠AGD ＋∠BAC = 180°. 反证法经典例题 6.求证:两条直线相交有且只有一个交点. 7.如图，在平面内，AB 是L 的斜线，CD 是L 的垂线。 求证：AB 与CD 必定相交。 8.2 一．角平分线－－轴对称 9、已知在ΔABC 中，Ｅ为ＢＣ的中点，AD 平分BAC ∠，BD ⊥AD 于D ．AB ＝9，ＡＣ＝ 13求ＤＥ的长 第9题图 第10题图 第11题图 分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得ΔABD ≌ΔAFD ．则BD ＝DF ．又BE ＝EC ，即D Ｅ为Δ BCF 的中位线．∴DE=12FC=12 (AC-AB)=2． 10、已知在ΔABC 中，108A ∠=，AB ＝AC ，BD 平分ABC ∠．求证：BC ＝AB ＋CD ． 分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD ≌ΔBED ．由已知可得： 18ABD DBE ∠=∠=，108A BED ∠=∠=，36C ABC ∠=∠=．∴72DEC EDC ∠=∠=，∴CD ＝CE ，∴BC ＝AB ＋CD ． 11、如图，ΔABC 中，Ｅ是BC 边上的中点，DE ⊥BC 于E ，交BAC ∠的平分线AD 于D ， 过D 作DM ⊥AB 于Ｍ，作DN ⊥ＡC 于N ．求证：BM ＝CN ． 分析：连接DB 与DC ．∵DE 垂直平分BC ，∴DB ＝DC ．易证ΔAMD ≌ΔAND ． ∴有DM ＝DN ．∴ΔBMD ≌ΔCND （ＨＬ）．∴BM ＝CN ． 二、旋转 12、如图，已知在正方形ABCD 中，Ｅ在BC 上，Ｆ在DC 上，BE ＋DF ＝EF ． 求证：45EAF ∠=． C B A D E F D A B C B A E D N M B D A C 、选择题 1．否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是() A．有一个解 B．有两个解 C．至少有三个解 D．至少有两个解 ［答案］C ［解析］在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”，所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”，故应选 C. 2．否定“自然数a、b、c 中恰有一个偶数”时的正确反设为() A．a、b、c 都是奇数 B．a、b、c 或都是奇数或至少有两个偶数 C．a、b、c 都是偶数 D．a、b、cxx至少有两个偶数 ［答案］B ［解析］a，b，c 三个数的奇、偶性有以下几种情况： ①全是奇数；② 有两个奇数，一个偶数；③ 有一个奇数，两个偶数；④ 三个偶数．因为要否定② ，所以假设应为“全是奇数或至少有两个偶数”．故应选 B. 3．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°时”，反设正确的是() A．假设三内角都不大于60° B．假设三内角都大于60° C．假设三内角至多有一个大于60° D．假设三内角至多有两个大于60° ［答案］B ［解析］“至少有一个不大于”的否定是“都大于60°．”故应选B. 4．用反证法证明命题： “若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a ≠有0)有理根，那么a，b，c 中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是() A．假设a，b，c 都是偶数 B．假设a、b，c 都不是偶数 C．假设a，b，c 至多有一个偶数 D．假设a，b，c 至多有两个偶数 ［答案］B ［解析］“至少有一个”反设词应为“没有一个”，也就是说本题应假设为a，b， c 都不是偶数． 5．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是() A．ab的”否定应为“＝a b或a 反证法解答题专项练习30题（有答案） 1．求证：在△ABC中至多有两个角大于或等于60°． 2．设a、b、c都是实数，考虑如下3个命题： ①若a2+ab+c＞0，且c＞1，则0＜b＜2； ②若c＞1且0＜b＜2，则a2+ab+c＞0； ③若0＜b＜2，且a2+ab+c＞0，则c＞1． 试判断哪些命题是正确的，哪些是不正确的，对你认为正确的命题给出证明；你认为不正确的命题，用反例予以否定． 3．用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°” 证明：假设所求证的结论不成立，即 ∠A _________ 60°，∠B _________ 60°，∠C _________ 60°， 则∠A+∠B+∠C＞_________ ． 这与_________ 相矛盾． ∴_________ 不成立． ∴_________ ． 4．用反证法证明（填空）： 两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行． 已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°． 求证：l1_________ l2 证明：假设l1_________ l2，即l1与l2交与相交于一点P． 则∠1+∠2+∠P _________ 180°_________ 所以∠1+∠2 _________ 180°，这与_________ 矛盾，故_________ 不成立． 所以_________ ． 5．完形填空： 已知：如图，直线a、b被c所截；∠1、∠2是同位角，且∠1≠∠2， 求证：a不平行b． 证明：假设_________ ， 则_________ ，（两直线平行，同位角相等） 这与_________ 相矛盾，所以_________ 不成立， 故a不平行b． 6．求证：在△ABC中，∠B≠∠C，则AB≠AC（提示：反证法） 7．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角． 8．反证法证明：如果实数a、b满足a2+b2=0，那么a=0且b=0． 9．如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法） 10．证明已知△ABC中不能有两个钝角． 四种命题·典型例题 能力素质 例命题“若＝，则与成反比例关系”的否命题是1 y x y k x [ ] A y x y B y kx x y C x y y ．若≠ ，则与成正比例关系．若≠，则与成反比例关系．若与不成反比例关系，则≠k x k x D y x y ．若≠，则与不成反比例关系k x 分析 条件及结论同时否定，位置不变． 答 选D ． 例2 设原命题为：“对顶角相等”，把它写成“若p 则q ”形式为________．它的逆命题为________，否命题为________，逆否命题为________． 分析 只要确定了“p ”和“q ”，则四种命题形式都好写了． 解 若两个角是对顶角，则两个角相等；若两个角相等，则这两个角是对顶角；若两个角不是对顶点，则这两个角不相等；若两个角不相等，则这两个角不是对顶角． 例3 “若P ＝{x |x|＜1}，则0∈P ”的等价命题是________． 分析 等价命题可以是多个，我们这里是确定命题的逆否命题． 解原命题的等价命题可以是其逆否命题，所以填“若，则 0P p ≠{x||x|＜1}” 例4 分别写出命题“若x 2＋y 2＝0，则x 、y 全为0”的逆命题、否命题和逆否命题． 分析 根据命题的四种形式的结构确定． 解 逆命题：若x 、y 全为0，则x 2＋y 2＝0； 否命题：若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0； 逆否命题：若x 、y 不全为0，则x 2＋y 2≠0． 说明：“x 、y 全为0”的否定不要写成“x 、y 全不为0”，应当是“x ，y 不全为0”，这要特别小心． 例5 有下列四个命题： ①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题； ③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题； A B B A B ④“若∪＝，则”的逆否命题，其中真命题是 [ ] A．①②B．②③ C．①③D．③④ 分析应用相应知识分别验证． 解写出相应命题并判定真假 ①“若x，y互为倒数，则xy＝1”为真命题； ②“不相似三角形周长不相等”为假命题； ③“若方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，则b＞－1”为真命题； 选C． 点击思维 例6 以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题． ①内接于圆的四边形的对角互补； ②已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d； 分析首先应当把原命题改写成“若p则q”形式，再设法构造其余的三种形式命题． 解对①：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”； 逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”； 否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”； 逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”． 对②：原命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“a＝b，c＝d”是条件，“a＋c ＝b＋d”是结论．所以： 逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d”； 否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d”(注意“a＝b，c＝d”的否定是“a≠b或c≠d”只需要至少有一个不等即可)； 逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a≠b或c≠d”．逆否命题还可以写成：“已知a、b、c、d是实数，若a＋c≠b＋d则a＝b，c＝d两个等式至少有一个不成立” 说明：要注意大前题的处理．试一试：写出命题“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假． 反证法之几何证明专题 例1．已知：AB、CD是⊙O内非直径的两弦（如图1），求证AB与CD不能互相平分。 （1） 证明：假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB、CD均非⊙O直径，可判定M不是圆心O，连结OA、OB、OM。 ∵OA＝OB，M是AB中点 ∴OM⊥AB（等腰三角形底边上的中线垂直于底边） 同理可得： OM⊥CD，从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM 这与已知的定理相矛盾。 故AB与CD不能互相平分。 例2．已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点， 且MN＝（AD＋BC）。 求证：AD∥BC （2） 证明：假设AD BC，连结ABD，并设P是BD的中点，再连结MP、PN。 在△ABD中 ∵BM＝MA，BP＝PD ∴MP AD，同理可证PN BC 从而MP＋PN＝（AD＋BC）① 这时，BD的中点不在MN上 若不然，则由MN∥AD，MN∥BC，得AD∥BC与假设AD BC矛盾， 于是M、P、N三点不共线。 从而MP＋PN＞MN② 由①、②得（AD＋BC）＞MN，这与已知条件MN＝（AD＋BC） 相矛盾， 故假设AD BC不成立，所以AD∥BC。 练习 1．求证：三角形中至少有一个角不大于60°。 2．求证：一直线的垂线与斜线必相交。 3. 已知：设m，n分别为直线l的垂线和斜线（如图），垂足为A，斜足为B 求证：m和n必相交。 3．在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于H，求证：AD 与 BE不能被点H互相平分。 4．求证：直线与圆最多只有两个交点。 5．求证：等腰三角形的底角必为锐角。 已知：△ABC中，AB＝AC 求证：∠B、∠C必为锐角。 参考答案： 1．证明：假设△ABC中的∠A、∠B、∠C都大于60° 则∠A＋∠B＋∠C＞3×60°＝180° 2014年中考真题——反证法综合训练 1．反证法的概念： 不直接从题设推出结论，而是从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 2．反证法的基本思路： 首先假设所要证明的结论不成立，然后再在这个假定条件下进行一系列的正确逻辑推理，直至得出一个矛盾的结论来，并据此否定原先的假设，从而确认所要证明的结论成立。这里所说的矛盾是指与题目中所给的已知条件矛盾，或是与数学中已知定理、公理和定义相矛盾，还可以是与日常生活中的事实相矛盾，甚至还可以是从两个不同角度进行推理所得出的结论之间相互矛盾（即自相矛盾）。 3．反证法的一般步骤： (1)假设命题的结论不成立； (2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾； (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 简而言之就是“反设－归谬－结论”三步曲。 2014年中考真题——反证法综合训练 一．选择题（共10小题） 1．（2014?金华模拟）要证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，下列a，b的值不能作为反例的是（）A．a=1，b=﹣2B．a=0，b=﹣1C．a=﹣1，b=﹣2D．a=2，b=﹣1 2．（2013?温州模拟）选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C=90°．求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°．”时，应先假设（） A．∠A＞45°，∠B＞45°B．∠A≥45°，∠B≥45°C．∠A＜45°，∠B＜45°D．∠A≤45°，∠B≤45° 3．（2013?北仑区二模）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（）A．有一个锐角小于45°B．每一个锐角都小于45° C．有一个锐角大于45°D．每一个锐角都大于45° 4．（2012?温州）下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（） A．a=﹣2B．a=﹣1C．a=1D．a=2 5．（2012?金东区一模）以下可以用来证明命题“任何偶数都是4的倍数”是假命题的反例为（） A．3B．4C．8D．6 6．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（） A．有一个内角小于60°B．每个内角都小于60° C．有一个内角大于60°D．每个内角都大于60° 7．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（） A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c C．a⊥b D．a与b相交 8．用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是（） A．假设三个外角都是锐角B．假设至少有一个钝角 C．假设三个外角都是钝角D．假设三个外角中只有一个钝角 9．用反证法证明“若a⊥c，b⊥c，则a∥b”，第一步应假设（） A．a∥b B．a与b垂直C．a与b不一定平行D．a与b相交 10．用反证法证明：a，b至少有一个为0，应该假设（） A．a，b没有一个为0B．a，b只有一个为0C．a，b至多一个为0D．a，b两个都为0 二．填空题（共5小题） 11．（2014?南安市二模）用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角的第一步是假设这个三角形中 _________ ． 12．（2010?北仑区模拟）用反证法证明“如果同位角不相等，那么这两条直线不平行”的第一步应假设 _________ ． 13．用反证法证明“若|a|≠|b|，则a≠b．”时，应假设_________ ． 14．写出命题“若a2=b2，则a=b”是假命题的反例是_________ ．反证法练习题
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