反证法证明题(简单)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
反证法证明题
例1. 已知A ∠，B ∠，C ∠为ABC ∆内角.
求证：A ∠，B ∠，C ∠中至少有一个不小于60o .
证明：假设ABC ∆的三个内角A ∠，B ∠，C ∠都小于60o ，
即A ∠<60o ，B ∠<60o ，C ∠<60o ，
所以O 180A B C ∠+∠+∠<，
与三角形内角和等于180o 矛盾，
所以假设不成立，所求证结论成立.
例2. 已知0a ≠，证明x 的方程ax b =有且只有一个根.
证明：由于0a ≠，因此方程ax b =至少有一个根b x a =
. 假设方程ax b =至少存在两个根，
不妨设两根分别为12,x x 且12x x ≠，
则12,ax b ax b ==，
所以12ax ax =，
所以12()0a x x -=.
因为12x x ≠，所以120x x -≠，
所以0a =，与已知0a ≠矛盾，
所以假设不成立，所求证结论成立.
例3. 已知332,a b +=求证2a b +≤.
证明：假设2a b +>，则有2a b >-，
所以33
(2)a b >-即3238126a b b b >-+-， 所以323281266(1)2a b b b b >-+-=-+.
因为26(1)22b -+≥
所以332a b +>，与已知33
2a b +=矛盾.
所以假设不成立，所求证结论成立.
例4. 设{}n a 是公比为的等比数列，n S 为它的前n 项和.
求证：{}n S 不是等比数列.
证明：假设是{}n S 等比数列，则2213S S S =⋅，
即222111(1)(1)a q a a q q +=⋅++.
因为等比数列10a ≠，
所以22(1)1q q q +=++即0q =，与等比数列0q ≠矛盾，
所以假设不成立，所求证结论成立.
例5.
是无理数.
是有理数，则存在互为质数的整数m ，n
m n =
.
所以m =
即222m n =， 所以2m 为偶数，所以m 为偶数.
所以设*2()m k k N =∈，
从而有2242k n =即222n k =.
所以2n 也为偶数，所以n 为偶数.
与m ，n 互为质数矛盾.
是无理数成立.
例6. 已知直线,a b 和平面，如果,a b αα⊄⊂，且//a b ，求证//a α。
证明：因为//a b , 所以经过直线a , b 确定一个平面β。
因为a α⊄，而a β⊂，
所以 α与β是两个不同的平面．
因为b α⊂，且b β⊂，
所以b αβ=.
下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假
设直线a 与平面α有公共点P ，则P b αβ∈=，
即点P 是直线 a 与b 的公共点，
这与//a b 矛盾．所以 //a α.
例7．已知0 < a , b , c < 2，求证：(2 - a )c ， (2 - b )a ，(2 - c )b 不可能同时大于1
证明：假设(2 - a )c ， (2 - b )a ，(2 - c )b 都大于1，
即 (2 - a )c>1, (2 - b )a>1, (2 - c )b>1，
则(2 - a )c (2 - b )a (2 - c )b >1 …①
又因为设0 < a , b , c < 2，(2 - a ) a 12)2(=+-≤
a a , 同理 (2 -
b ) b≤1, (2 -
c ) c≤1,
所以(2 - a )c (2 - b )a (2 - c )b ≤1此与①矛盾.
所以假设不成立，所求证结论成立.
例8．若x , y > 0，且x + y >2，则x
y +1和y x +1中至少有一个小于2 证明：假设x
y +1≥2，y x +1≥2， 因为x , y > 0，所以12,12y x x y +≥+≥ ，
可得x + y ≤2 与x + y >2矛盾.
所以假设不成立，所求证结论成立.
例9．设0 < a , b , c < 1，求证：(1 - a )b , (1 - b )c , (1 - c )a ,不可能同时大于
41 证明：假设设(1 - a )b >41, (1 - b )c >41, (1 - c )a >4
1, 则三式相乘：ab < (1 - a )b •(1 - b )c •(1 - c )a <64
1 ① 又∵0 < a , b , c < 1 ∴412)1()1(02=⎥⎦