反证法练习题
反证法练习题
反证法练习题反证法是一种常用的数学证明方法，它通过假设命题不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
在数学领域，反证法被广泛应用于各种定理的证明过程中。
下面我们来看一些反证法的练习题，以加深对这一证明方法的理解。
练习题1：证明根号2是一个无理数。
假设根号2是一个有理数，即可以表示为两个整数的比值，即根号2=a/b，其中a和b互质。
我们可以将这个假设转化为等式2=a^2/b^2，进而得到2b^2=a^2。
根据整数的奇偶性质，我们可以知道a必须为偶数。
那么我们可以将a表示为a=2k，其中k为整数。
将这个结果代入等式2b^2=a^2中，得到2b^2=(2k)^2，即2b^2=4k^2。
进一步简化等式，得到b^2=2k^2。
同样地，根据整数的奇偶性质，我们可以知道b也必须为偶数。
然而，根据我们一开始的假设，a和b应该是互质的，不可能同时为偶数。
这与我们得到的结论相矛盾。
因此，我们可以得出结论，假设根号2是一个有理数是错误的，即根号2是一个无理数。
练习题2：证明任意两个正整数的最大公约数存在。
假设不存在任意两个正整数的最大公约数。
即对于任意两个正整数a和b，它们的最大公约数不存在。
根据这个假设，我们可以得出结论，a和b的最大公约数是1。
因为如果存在一个大于1的公约数，那么它就是最大公约数，与我们的假设相矛盾。
根据最大公约数的定义，最大公约数是能够同时整除a和b的最大正整数。
既然最大公约数是1，那么1能够同时整除a和b，即a和b互质。
然而，我们知道存在无数个互质的正整数对，例如3和5，7和11等等。
这与我们的假设相矛盾，因为我们假设不存在任意两个正整数的最大公约数。
因此，我们可以得出结论，任意两个正整数的最大公约数是存在的。
通过以上两个练习题的分析，我们可以看到反证法在数学证明中的重要性。
通过假设命题不成立，然后推导出矛盾的结论，我们可以证明原命题的正确性。
反证法不仅仅在数学领域有应用，它也被广泛应用于其他领域的推理和证明过程中。
反证法练习题
1、用反证法证明一个命题时，下列说法正确的是Ａ．将结论与条件同时否定，推出矛盾 Ｂ．肯定条件，否定结论，推出矛盾 Ｃ．将被否定的结论当条件，经过推理得出的结论只与原题条件矛盾，才是反证法的正确运用 Ｄ．将被否定的结论当条件，原题的条件不能当条件2、否定“自然数a 、b 、c 中恰有一个偶数”时的正确反正假设为A ．a 、b 、c 都是奇数B ．a 、b 、c 或都是奇数或至少有两个偶数C ．a 、b 、c 都是偶数D ．a 、b 、c 中至少有两个偶数3、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反证假设正确的是 A ．假设三内角都不大于60° B ．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至多有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°4、设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c中 A ．都不大于－2 B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－25、若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则A ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行B ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直C ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交D ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面6、已知x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n (x 2n ＋3)3x 2n ＋1(n ＝1,2…)，试证“数列{x n }或者对任意正整数n 都满足x n <x n ＋1，或者对任意正整数n 都满足x n >x n ＋1”，当此题用反证法否定结论时，应为A ．对任意的正整数n ，都有x n ＝x n ＋1B ．存在正整数n ，使x n ＝x n ＋1C ．存在正整数n ，使x n ≥x n ＋1且x n ≤x n －1D ．存在正整数n ，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥07、设a ，b ，c ，d 均为正数，求证：下列三个不等式①a ＋b ＜c ＋d ，②()()a b c da b c d ++<+，③()()a b c d a b c d +<+中至少有一个不正确8、已知a b c a b b c c a a b c ++>++>>000，，，求证：a b c >>>000，，9、设a ，b ，c 均为小于1的正数，求证：()()11--a b b c ，，()1-ca 不能同时大于14。
反证法小练习含答案
1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设()A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D．三角形中三个角都是直角或钝角答案 B2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中()A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°答案 B3．(2014·山东卷)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根答案 A解析依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.4．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设()A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于cC．a⊥b D．a与b相交答案 D5．已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数．证明(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数．设a＝2n＋1(n∈Z)，则a2＝4n2＋4n＋1.∵4(n2＋n)是偶数，∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．由上述矛盾可知，a一定是偶数．1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是()①与已知条件矛盾②与假设矛盾③与定义、公理、定理矛盾④与事实矛盾A．①②B．①③C．①③④D．①②③④答案 D2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线答案 C解析假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．故应选C.3．有下列叙述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有()A．0个B．1个C．2个D．3个答案 B解析①错：应为a≤b；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．4．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为()A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除答案 B解析“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中存在偶数”时，否定结论应为________答案a，b，c都不是偶数解析a，b，c中存在偶数即至少有一个偶数，其否定为a，b，c都不是偶数．6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．答案存在一个三角形，其外角最多有一个钝角解析“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．。
初中数学《反证法》课后练习
假设
．
9．用反证法证明 “若| a| ≠| b| ，则 a≠b”时，应假设
．
10．用反证法证明 “如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等
腰三角形 ”的第一步
．
三、解答题
11．用反证法证明： 两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
《反证法》课后练习
一．选择题
1．用反证法证明命题：如果 AB⊥CD， AB⊥ EF，那么 CD∥EF，证明的第一个步
骤是（ ）
A．假设 CD∥EFB．
B.假设 AB∥EF
C．假设 CD和 EF不平行 D．假设 AB 和 EF不平行
2．用反证法证明 “＞ａb”时，应假设（ ）
A．a＜b B．a≤b C．a≥b D．a≠b 3．用反证法证明 “若 a＞b＞0，则 a2＞b2”，应假设（ ） A．a2＜ b2 B．a2=b2 C．a2≤b2 D．a2≥b2
4．用反证法证明命题 “三角形中必有一个内角小于或等于 60°时”，首先应假设这
个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于 60° B．每一个内角都小于 60°
C．有一个内角大于 60° D．有一个内角小于 60°
5．用反证法证明命题： “四边形中至少有一个角是钝角或直角 ”，我们应假设（ ）
A．没有一个角是钝角或直角 B．最多有一个角是钝角或直角
C．有 2 个角是钝角或直角 D．4 个角都是钝角或直角 二．填空题
6．已知△ ABC中，AB=AC，求证：∠ B＜90°，若用反证法证这个结论，应首先假
设
．Байду номын сангаас
7．用反证法证明： “三角形中最多有一个钝角 ”时，首先应假设这个三角形
初三反证法练习题
初三反证法练习题反证法是数学中常用的一种证明方法，通过假设反面来推导出矛盾，从而证明命题的正确性。
下面是一些初三反证法练习题，通过解答这些题目，可以帮助同学们更好地理解和掌握反证法。
1. 证明：不存在最大的有理数。
假设存在一个最大的有理数，记为M。
根据有理数的性质，我们可以找到一个比M大的有理数N，即N=M+1。
显然，N>M，这与M是最大的有理数相矛盾。
因此，不存在最大的有理数。
2. 证明：根号2是无理数。
假设根号2是有理数，即可以表示为两个互质的整数p和q的比值，即根号2=p/q。
我们可以进一步假设p和q没有公因数，否则可以约分。
将等式两边平方得到2=p^2/q^2，整理得到p^2=2q^2。
这说明p^2是2的倍数，根据整数分解定理，p也是2的倍数。
设p=2k，代入等式得到(2k)^2=2q^2，整理得到2k^2=q^2。
这说明q^2是2的倍数，因此q也是2的倍数。
这与p和q没有公因数相矛盾，因此假设不成立，根号2是无理数。
3. 证明：不存在无限递增的整数序列。
假设存在一个无限递增的整数序列a1, a2, a3, ...。
我们可以取相邻的两个数ai和ai+1，如果ai>=ai+1，那么这个序列不是无限递增的；如果ai<ai+1，那么我们可以找到一个大于ai+1的整数，记为N，这与序列无限递增相矛盾。
因此，不存在无限递增的整数序列。
4. 证明：存在无限个素数。
假设只有有限个素数，记为p1, p2, p3, ..., pn。
我们考虑数N=p1*p2*p3*...*pn+1，显然N大于任意一个素数pi。
根据素数的定义，N只能是合数，即可被p1, p2, p3, ..., pn中的至少一个素数整除。
但是，N除以任意一个素数pi的余数都不为0，这与N是合数相矛盾。
因此，假设不成立，存在无限个素数。
通过这些反证法练习题的解答，我们可以看到反证法在数学证明中的重要作用。
通过假设反面来推导出矛盾，从而证明命题的正确性。
《反证法》练习题
A 9．用反证法证明：“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设( ) A．一个三角形中至少有两个钝角 B．一个三角形中至多有两个钝角 C．一个三角形中至少有一个钝角 D．一个三角形中没有钝角
10．试证明命题“两直线相交有且只有一个交点”．并将下列过程补充完 整：
已知直线a，b，求证：直线a，b相交时只有一个交点P. 证明：假设a，b相交时___不__止__一__个__交__点__P___， 不妨设其他交点中有一个为P′，则点P和点P′既在直线a上又在直线b上，那 么经过P和P′的直线__________，这与___________________相矛盾，因此假 设不成立，所以两条直线相就交有只两有条一个交点．两点确定一条直线
7．用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那 么这两条直线平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1＋∠2＝180°.
求证：假设l1__不__平__行___l2，即l1与l2相交于一点P，
则∠1＋∠2＋∠P＝____，所以∠1＋∠2____180°， 这与______________1_8_0_°____矛盾，故假设＜不成立，所以____．
11．试用举反例的方法说明下列命题是假命题． 举例：如果ab＜0，那么a＋b＜0. 反例：设a＝4，b＝－3，ab＝4×(－3)＝－12＜0，而a＋b＝4＋(－3)＝1＞0. 所以，这个命题是假命题． (1)如果a＋b＞0，那么ab＞0； (2)如果a是无理数，b是无理数，那么a＋b是无理数； (3)两个三角形中，两边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等．
第四章 平行四边形
4.6 反证法希伯索斯 发现了无理数 2，导致了第一次数学危机， 2是无理数的证明如下：
假设 2是有理数，那么它可以表示成qp(p 与 q 是互质的两个正整数)．
数学选修4-5不等式反证法与放缩法练习题含答案
7.
【答案】
D
【考点】
反证法与放缩法
【解析】
用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，而命题的否定为：“ ， ， 中至少有两个偶数或都是奇数”，
由此得出结论．
【解答】
解：用反证法证明某命题时，应先假设命题的否定成立，
而：“自然数 ， ， 中恰有一个偶数”的否定为：“ ， ， 中至少有两个偶数或都是奇数”，
【解答】
解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，
“至少有一个”的否定：“一个也没有”；
即“ ， ， 都不是正数”．
故答案为： ， ， 都不是正数．
19.
【答案】
， 都不能被 整除
【考点】
反证法与放缩法
【解析】
根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面．再由命题：“ ， 中至少有一个能被 整除”的否定是： ， 都不能被 整除，从而得到答案．
【解答】
解：
即 ， ， ，
，
得 ，
即 ，
得 ，所以 ．
故选 ．
6.
【答案】
A
【考点】
反证法与放缩法
【解析】
用反证法法证明数学命题时，假设命题的反面成立，写出要证的命题的否定形式，即为所求．
【解答】
解：用反证法法证明数学命题时，应先假设要证的命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，
而命题：“自然数 ， ， 都是偶数”的否定为：“ ， ， 中至少有一个是奇数”，
A. ， ， 都是奇数
B. ， ， 都是偶数
C. ， ， 中至少有两个偶数
D. ， ， 中至少有两个偶数或都是奇数
3.用反证法证明命题“设 ， 为实数，则方程 至少有一个实根”时，要做的假设是（）
2.2.2 反证法题库
数学2-22.2.2 反证法一、选择题1．（较易）应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用（）①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．A．①②B．②③C．①②③D．①②④【解析】考查反证法的基本思想．【答案】C2．（容易）（2012·河南省安阳市期末）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60o”时，假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60oB．假设三内角都大于60oC．假设三内角至少有一个大于60oD．假设三内角至多有两个大于60o【解析】“至少有一个”即“全部中最少有一个”【答案】B>）3．（容易）用反证法证明命题“如果a bA BC D【解析】“大于”的否定为“小于或等于”．【证明】C4．）A BC D【解析】【答案】D5．（容易）（1）已知332p q +=，求证2p q +…．用反证法证明时，可假设2p q +…．（2）已知,,1a b ab ?<R ，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x …．以下结论正确的是（ ） A ．（1）与（2）的假设都错误 B ．（1）与（2）的假设都正确 C ．（1）的假设正确；（2）的假设错误 D ．（1）的假设错误；（2）的假设正确【解析】“…”的反面是“>”，故（1）错误．“两根的绝对值都小于1”的反面是“至少有一个根的绝时值大于或等于1”，故（2）对． 【答案】D6．（容易）用反证法证明命题“,a b ÎN ，如果ab 可被5整除，那么,a b 至少有1个能被5整除”，则假设的内容是（ ） A ．,a b 都能被5整除 B ．,a b 都不能被5整除 C ．a 不能被5整除D ．,a b 有1个不能被5整除【解析】用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故B 正确． 【答案】B7．“自然数,,a b c 中恰有一个偶数”的否定正确的为（ ） A ．,,a b c 都是奇数 B ．,,a b c 都是偶数 C ．,,a b c 中至少有两个偶数D ．,,a b c 中都是奇数或至少有两个偶数【解析】自然数,,a b c 的奇偶性共有四种情形：（1）3个都是奇数；（2）2个奇数，1个偶数；（3）1个奇数，2个偶数；（4）3个都是偶数．所以否定正确的是,,a b c 中都是奇数或至少有两个偶数． 【答案】D8．（容易）用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是（ ） A ．三个内角中至少有一个钝角 B ．三个内角中至少有两个钝角 C ．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角【解析】“至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．【答案】B9．（容易）用反证法证明命题“关于x的方程()0ax b a=有且只有一个解”时，反设是关于x的方程()0ax b a=（）A．无解B．有两解C．至少有两解D．无解或至少有两解【解析】“唯一”的否定上“至少两解或无解”．【答案】D10．（容易）设a、b、c都是正数，则三个数111,,a b cb c a+++（）A．都大于2 B．至少有一个大于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 【解析】因为a、b、c都是正数，则有1111116a b c a b cb c a a b c骣骣骣骣骣骣鼢鼢鼢珑珑珑+++++=+++++鼢鼢鼢珑珑珑鼢鼢鼢珑珑珑桫桫桫桫桫桫…．故三个数中至少有一个不小于2．【答案】D11．（容易）实数a、b、c不全为0是指（）A．a、b、c均不为0 B．a、b、c中至少有一个为0C．a、b、c至多有一个为0 D．a、b、c至少有一个不为0【解析】“不全为0”并不是“全不为0”，而是“至少有一个不为0”．【答案】D12．（容易）用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60o”时，反设正确的是（）A．假设三个内角都不大于60oB．假设三个内角都大于60oC．假设三个内角至多有一个大于60oD．假设三个内角至多有两个大于60o【解析】“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故选B．【答案】B13．（容易）实数,,a b c 满足0a b c ++=，则正确的说法是（ ） A ．,,a b c 都是0B ．,,a b c 都不为0C ．,,a b c 中至少有一个为0D ．,,a b c 不可能均为正数【解析】满足0a b c ++=有两种情况：一是,,a b c 都是0；二是,,a b c 必须有正数也有负数，也可能有0．故选D ． 【答案】D14．（中等）已知数列{}{},n n a b 的通项公式分别为21(,)n n a an b bn a b =+=+，是常数，且a b >，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无穷多个【解析】假设存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得n n a b =， 由题意,*a b n > N ，则恒有an bn >， 从而21an bn +>+恒成立， ∴不存在n 使n n a b =． 【答案】A15．（中等）设,,(0,)x y z ? ，则三数111,,x y z y z x+++中（ ） A ．都不大于2 B ．都不小于2 C ．至少有1个不小于2 D ．至少有1个不大于2 【解析】1111116x y z x y z y z x x y z 骣骣骣骣骣骣鼢珑鼢鼢珑珑鼢+++++=+++++鼢鼢珑珑珑鼢鼢鼢珑珑珑鼢桫桫桫桫桫桫…，则三者中至少有一个不小于2． 【答案】C16．（容易）“M 不是N 的子集”的充分必要条件是 （ ） A ．若x M Î则x N Ï B ．若x N Î则x M Î C ．存在11x M x N 无 ，又存在22x M x N 无D ．存在00x Mx N 无【解析】先找充要条件，再变化范围． 【答案】D17．（容易）a b c d +>+的必要而不充分条件是（ ） A ．a c >B ．b d >C ．a c >且b d >D ．a c >或b d >【解析】先找出充要条件，再变化范围． 【答案】D18．（容易）给定一个命题“已知120,1x x > ，且312331n nn n x x x x ++=+，证明对任意正整数n 都有1n n x x +>”，当此题用反证法否定结论时应是（ ） A ．对任意正整数n 有1n n x x +… B ．存在正整数n 使1n n x x +… C ．存在正整数n 使1n n x x +>D ．存在正整数n 使1n n x x -…，且1n n x x +…【解析】“对任意正整数n 都有1n n x x +>”的反设命题是“存在正整数n 使1n n x x +…”．故B 正确． 【答案】B19．（容易）已知三角形的三边长分别为,,a b c ，设11a b M a b =+++，1cN c=+，1a b Q a b +=++，则,M N 与Q 的大小关系是（ ） A ．M N Q << B ．M Q N << C ．Q N M <<D ．N Q M <<【解析】由a b c +>，得11a b c<+，111111a b c a b a b c c ++++=<=+++． 【答案】D20．（中等）设不等的两个正数,a b 满足3322a b a b -=-，则a b +的取值范围是（ ） A ．(1,)+B ．4(1)3，C ．4[1]3，D ．(0,1]【解析】由条件得22a ab b a b ++=+，所以222()a b a ab b a b +>++=+， 故1a b +>． 又()20a b ->，可得()()222234a ab b a ab b ++<++， 从而()()234a b a b +<+， 所以43a b +<， 故413a b <+<． 【答案】B21．（中等）已知函数()f x 在其定义域内是减函数，则方程()0f x =（ ） A ．至多一个实根 B ．至少一个实根 C ．一个实根D ．无实根【解析】从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例矛盾，选A ． 【答案】A22．（容易）已知0,10a b <-<<，那么a 、ab 、2ab 之间的大小关系是（ ） A ．2a ab ab >> B ．2ab ab a >> C ．2ab a ab >>D ．2ab ab a >>【解析】采用“特殊值法”，取1a =-、0.5b =-． 【答案】D23．（容易）已知αβl =I ，αa Ð，βb Ð，若a 、b 为异面直线，则（ ） A ．a 、b 都与l 相交 B ．a 、b 中至少一条与l 相交 C ．a 、b 中至多有一条与l 相交 D ．a 、b 都与l 相交【解析】从逐一假设选择项成立着手分析． 【答案】B24．（中等）平面内有四边形ABCD 和点O ，OA OC OB OD +=+uu r uuu r uu u r uuu r ，则四边形ABCD 为（ ）A ．菱形B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形【解析】∵OA OC OB OD +=+uu r uuu r uu u r uuu r， ∴OA OB OD OC -=-uu r uu u r uuu r uuu r ， ∴BA CD =uu r uu u r ，∴四边形ABCD 为平行四边形． 【答案】D25．（容易）[2014·山东高考] 用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A. 方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根B. 方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C. 方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D. 方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根[解析] “方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”等价于“方程x 2＋ax ＋b ＝0有一个实根或两个实根”，所以该命题的否定是“方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根”．故选A. 【答案】A二、填空题1．（容易）设2()f x x ax b =++，求证：(1),(2),(3)f f f 中至少有一个不小于12．用反证法证明此题时应假设 ．【解析】“至少有一个”反面是“一个也没有”，“不小于”反面是“小于”． 【答案】(1),(2),(3)f f f 全都小于12． 2．（较易）用反证法证明：“ABC △中，若A B ∠>∠，则a b >”的结论的否定为 ． 【解析】a b >的否定为a b …． 【答案】a b …3．（容易）将“函数22()42(2)21f x x p x p p =----+在区间[1,1]-上至少存在一个实数c ，使()0f c >”反设，所得命题为“ ”． 【解析】“至少存在一个”反面是“不存在”．【答案】函数22()42(2)21f x x p x p p =----+在区间[1,1]-上恒小于等于04．（中等）若下列两个方程22(1)0x a x a +-+=，2220x ax a +-=中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是 ．【解析】若方程22(1)0x a x a +-+=有实根， 则22(1)40a a --…， ∴113a-剟． 若方程2220x ax a +-=有实根， 则2480a a +…， ∴2a -…或0a …．∴当两个方程至少有一个有实根时，113a -剟或2a -…或0a …， 即2a -…或1a -…． 【答案】2a -…或1a -…5．（容易）用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①9090180A B C C ∠+∠+∠=︒+︒+∠>︒，这与三角形内角和为180︒矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．③假设ABC △中有两个直角，不妨设90A ∠=︒，90B ∠=︒． 上述步骤的正确顺序为 ．【解析】反证法的步骤是：（1）反设；（2）归谬；（3）存真． 【答案】③①②6．（容易）下列命题适合用反证法证明的是 ．①已知函数2()1x x f x a x -=++(1)a >，证明：方程()0f x =没有负实数根； ②若x ，y ∈R ，0x >，0y >，且2x y +>，求证：1x y +和1yx +中至少有一个小于2；③关于x 的方程(0)ax b a =≠的解是唯一的；④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．【解析】①是“否定”型命题；②是“至少”型命题；③是“唯一”型命题，且题中条件较少；④中条件较少不足以直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明． 【答案】①②③④7．（容易）完成反证法证题的全过程．题目：设127,,,a a a …是由数字1，2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积127(1)(2)(7)p a a a =---…为偶数．证明：假设p 为奇数，则 均为奇数．① 因7个奇数之和为奇数，故有…+127(1)(2)(7)a a a -+-+-为 ． ②而…+127(1)(2)(7)a a a -+-+- …+127()(127)a a a =++-+++= ． ③②与③矛盾，故p 为偶数．【解析】由假设p 为奇数可知1(1)a -，2(2)a -，…，7(7)a -均为奇数， 故127(1)(2)(7)a a a -+-+-…+127()(127)a a a =++-+++=……0为奇数，这与0为偶数矛盾．【答案】①11a -，22a -，…，77a -②奇数③08．（容易）ABC △中，若AB AC =，P 是ABC △内的一点，APB APC ∠>∠，求证：BAP CAP ∠<∠，用反证法证明时的假设为 ．【解析】反证法对结论的否定是全面否定，BAP CAP ∠<∠的对立面是BAP CAP ∠=∠或BAP CAP ∠>∠． 【答案】BAP CAP ∠=∠或BAP CAP ∠>∠9．（容易）用反证法证明命题“,a b 为整数，若a b 不是偶数，则,a b 都不是偶数”时，应假设为 ． 【解析】“,a b 都不是偶数”，指“,a b 都是奇数”，它的反面是“,a b 不都是奇数”，或“,a b 中至少有一个是偶数” ．【答案】,a b 不都是奇数（或,a b 中至少有一个是偶数）10．（容易）设实数a 、b 、c 满足1a b c ++=，则a 、b 、c 中至少有一个数不小于 ．【解析】假设a 、b 、c 都小于13，则1a b c ++<与1a b c ++=矛盾．故a 、b 、c 中至少有一个不小于13．【答案】13三、解答题1．（中等）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =+39S =+（1）求数列{}n a 的通项n a 与前n 项和n S ； （2）设*()nn S b n n=∈N ，求证数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列．（1）【解】∵11a =39S =+，且{}n a 为等差数列，∴1239a a a ++=+∴239a =+∴23a =+ ∴公差212d a a =-=，∴1(1)(12(1)21n a a n d n n =+-=+-=，21(1)(1(1)2n n n S na d n n n n -=+=+-=．（2）【证明】由（1）得n n Sb n n ==+假设数列{}n b 中存在三项p b ，q b ，r b (,,p q r 互不相等）成等比数列，则2q p r b b b =，即2((q p r =，∴2()(20q pr q p r -+--． ∵*,,p q r ∈N ， ∴20,20,q pr q p r ⎧-=⎨--=⎩∴2()2p r pr +=，2()0p r -=， ∴p r =， 这与p r ≠矛盾．∴数列{}n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列．2．（稍难）组装甲、乙、丙三种产品，需要A ，B ，C 三种零件，每件甲产品用零件A ，C 各2个；每件乙产品用零件A 2个，零件B 1个；每件丙产品用零件B ，C 各1个．如组装10件甲，8件乙，5件丙，则剩下1个A 零件，1个B 零件，C 零件恰好用完．求证：无论如何改变甲、乙、丙的件数，都不会将零件A ，B ，C 用完．【解析】本题的结论是“无论怎样改变甲、乙、丙的件数，都不会将零件A ，B ，C 用完”，A ，B ，C 不能用完的情况有多种，而结论的反面是“零件A ，B ，C 都恰好用完”，这只是一种确定的情况，即三种零件的剩余数皆为0，因此从反面出发，较易证．【证明】假设组装甲x 件，乙y 件，丙z 件，零件A ，B ，C 都恰好用完， 则有方程组22210281,22105,851,x y x z y z +=⨯+⨯+⎧⎪+=⨯+⎨⎪+=++⎩解得59,628,315,3x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩方程组的解均为非整数，与题设矛盾，即假设错误， 所以原命题成立．3．（中等）已知三个正数,,a b c 成等比数列，但不成等差数列，【证明】即4a c b ++=， 而2b ac =，即b =，∴a c ++∴20=，．从而a b c ==，与,,a b c 不成等差数列矛盾，4．（稍难）证明：对于直线l ：1y kx =+，不存在这样的实数k ，使得l 与双曲线C ：2231x y -=的交点A ，B 关于直线(y ax a =为常数）对称．【证明】假设存在实数k ，使得,A B 关于直线y ax =对称，设12(,)A x y ，22(,)B x y ，则有：（1）直线l ：1y kx =+与直线y ax =垂直； （2）点,A B 在直线l ：1y kx =+上； （3）线段AB 的中点1212(,)22x x y y ++在直线y ax =上， 所以121212121,()2,22ka y y k x x y y x x a ⎧⎪=-⎪+=++⎨⎪++⎪=⎩①②.③由221,31,y kx y x =+⎧⎨=-⎩得22(3)220k x kx ---=． ④当23k =时，l 与双曲线仅有一个交点，不合题意． 由②③得1212()()2a x x k x x +=++， ⑤ 由④知12223kx x k +=-， 代入⑤整理得3ak =， 这与①矛盾． 所以假设不成立，故不存在实数k ，使得,A B 关于直线y ax =对称．5．（稍难）已知向量(1,2)=a ，(2,1)=-b ，,k t 为正实数，2(1)t =++x a b ，11k t =-+y a b ．是否存在,k t ，使x y ∥？若存在，求出,k t 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解】2222(1)(1,2)(1)(2,1)(21,3)t t t t =++=++-=--+x a b ，11111221(1,2)(2,1)(,)k t k t k t k t =--+-=---+y a +b =．假设存在正实数,k t ，使x y ∥，则222112(21)()(3)()0t t k t k t---+-+--=．化简，得2110t k t++=，即30t t k ++=． ∵,k t 是正实数， ∴满足上式的,k t 不存在．∴不存在这样的正实数,k t ，使x y ∥．6．（中等）已知实数p 满足不等式(21)(2)p p ++0<，用反证法证明：关于x 的方程22250x x p -+-=无实数根．【解】假设方程22250x x p -+-=有实数根， 则该方程的根的判别式244(5)0p ∆=--…， 解得2p …或2p -… ①，而由已知实数p 满足不等式(21)(2)p p ++0<， 解得122p -<<-②． 数轴上表示①②的图形无公共部分，故假设不成立， 从而关于x 的方程22250x x p -+-=无实数根．7．（稍难）（2013·陕西理节选）设{}n a 是公比为q 的等比数列．设1q ≠，证明数列{1}n a +不是等比数列． 【思路分析】假设{1}n a +是等比数列，任取连续三项，利用等比中项构建方程，推出含公比的方程无解或公比为1．【解】假设{1}n a +是等比数列， 则对任意的*k ∈N ， 212(1)(1)(1)k k k a a a +++=++，21122211k k k k k k a a a a a a ++++++=+++，2211111111112k k k k k k a q a q a q a q a q a q -+-++=++g ，∵10a ≠，∴112k k k q q q -+=+． ∵0q ≠， ∴2210q q -+=， ∴1q =，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{1}n a +不是等比数列．8．（难）（2013·北京理节选）已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列．该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项1n a +，2n a +，…的最小值记为n B ，n n n d A B =-．证明：若12a =，1(1,2,3,)n d n ==…，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1． 【证明】因为12a =，11d =， 所以112A a ==，1111B A d =-=． 故对任意1n …，11n a B =…．假设{}n a （2n …）中存在大于2的项． 设m 为满足2m a >的最小正整数， 则2m …，并且对任意1k m <…，2k a …． 又12a =，所以12m A -=，且2m m A a =>．于是，211m m m B A d =->-=，1min{,}2m m m B a B -=…． 故111220m m m d A B ---=--=…，与11m d -=矛盾． 所以对于任意1n …，有2n a …，即非负整数数列{}n a 的各项只能为1或2． 因为对任意1n …，12n a a =…， 所以2n A =．故211n n n B A d =-=-=．因此对于任意正整数n ，存在m 满足m n >，且1m a =， 即数列{}n a 有无穷多项为1．9．（难）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b满足：*1n a n +=∈N ，设*1,n n n bb n a +=∈N g ，且{}n a 是等比数列，求证：*1,n a a n =∈N ．【思路分析】由要证的结论可知需证明数列{}n a 的公比1q =，但由条件很难看出思路，因此不妨假设1q ≠，然后结合所给的条件寻找矛盾，即用反证法证明． 【证明】∵0n a >，0n b >， ∴2222()()2n n n n n n a b a b a b ++<+…，∴11n a +<*）． 设等比数列{}n a 的公比为q ， 由0n a >知0q >， 下面用反证法证明1q =： 若1q >，则212a a a q=<…∴当1log qn >11n n a a q +=>*）矛盾； 若01q <<，则2121a a a q=>>， ∴当11log qn a >时， 111n n a a q +=<，与（*）矛盾．综上所述，1q =，从而*1,n a a n =∈N ．10．（中等）设直线11:1l y k x =+，22:1l y k x =-，其中实数12,k k 满足1220k k +=，证明1l 与2l 相交． 【思路分析】判断两直线相交的方法是联立两直线的方程，若该方程组有解，则这组解对应两直线的交点，由于实数12,k k 未知，不易解方程组，考虑从两直线相交的反面——两直线平行入手，利用反证法证明． 【证明】假设直线1l 与2l 不相交， 则1l 与2l 平行，由直线1l 与2l 的方程可知实数12,k k 分别为两直线的斜率， 则有12k k =，代入1220k k +=，消去1k ，得2220k +=，2k 无实数解，这与已知2k 为实数矛盾． 所以12k k ≠， 即1l 与2l 相交．11．（容易）给定实数,0a a ≠且1a ≠，设函数11x y ax -=-（其中x ∈R 且1x a≠），证明：经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于x 轴．【证明】设111(,)M x y ，222(,)M x y 是函数图象上任意两个不同的点，则12x x ≠． 假设直线12M M 平行于x 轴，则12y y =， 即12121111x x ax ax --=--， 整理得1212()a x x x x -=-． ∵12x x ≠，∴1a =， 这与已知1a ≠矛盾， ∴假设错误，故直线12M M 不平行于x 轴．12．（稍难）若下列三个方程：24430x ax a +-+=，22(1)0x a x a +-+=，2220x ax a +-=中至少有一个方程有实根，试求实数a 的取值范围． 【解】若三个方程均无实根，则2122223(4)4(43)0,(1)40(2)4(2)0a a a a a a ⎧∆=--+<⎪∆=--<⎨⎪∆=--<⎩ 31,22131,13220a a a a a ⎧-<<⎪⎪⎪⇒<->⇒-<<-⎨⎪⎪-<<⎪⎩或．设3{|1}2A a a =-<<-，则3A {|1}2a a a =--R ðn 剠，故所求实数a 的取值范围是3{|1}2a a a--或剠．13．（容易）设,a b 是异面曲线，在a 上任取两点1A ，2A ，在b 上任取两点1B ，2B ，试证：11A B 与22A B 也是异面直线．【证明】假设11A B 与22A B 不是异面直线，则11A B 与22A B 可以确定一个平面α，点1A ，2A ，1B ，2B 都在平面α内， 于是12A A α⊂，12B B α⊂，即a α⊂，b α⊂， 这与已知,a b 是异面直线矛盾， 所以假设错误．因此11A B 与22A B 也是异面直线． 14．（中等）已知2()(1)1x x f x a a x -=+>+，证明方程()0f x =没有负数根． 【证明】假设0x 是()0f x =的负数根， 则00x <且01x ≠-且00021x x a x -=-+， 由000201011x x a x -<<⇒<-<+， 解得0122x <<， 这与00x <矛盾， 所以假设不成立，故方程()0f x =没有负数根．15．（难）正实数数列{}n a 中，11a =，25a =，且2{}n a 成等差数列．证明数列{}n a 中有无穷多项为无理数．【证明】由已知得2124(1)na n =+-，从而n a ，取21*124()k n k --=∈N ，则*)n a k =∈N ．用反证法证明这些n a 都是无理数．假设*)n a k ∈N 为有理数，则n a 必为正整数，且24k n a >，故241k n a -…． 又241k n a +>，所以(24)(24)1k k n n a a -+>，与(24)(24)1k k n n a a -+=矛盾， 故假设错误，即*)n a k =∈N 都是无理数． 故数列{}n a 中有无穷多项为无理数．16．（难）已知,a b 是正有理数，【证明】p =， 因为,a b 是正有理数，所以0p >．p =得22a p b =+-22p b a p+-．因为,,a b p 均为有理数，必为有理数， 这与已知条件矛盾， 故假设错误．。
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2.2.2 反证法
双基达标限时20分钟
1.实数a, b, c不全为0等价于
()
A. a, b, c均不为0
B. a, b, c中至多有一个为0
C. a, b, c中至少有一个为0
D. a, b, c中至少有一个不为0
解析不全为0即至少有一个不为0,故选D.
答案 D
2.下列命题错误的是
()
A.三角形中至少有一个内角不小于60°
B.四面体的三组对棱都是异面直线
C.闭区间［a, b］上的单调函数f(x)至多有一个零点
D.设a、b€ Z,若a、b中至少有一个为奇数，则a+ b是奇数
解析a+ b为奇数？ a、b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误. 答案 D
1 1 1
3.设x, y, z都是正实数，a = x+ —, b=y+一，c= z+ 一，则a, b, c三个数y z
x
().
A.至少有一个不大于2 B .都小于2
C.至少有一个不小于2 D .都大于2
解析若a, b, c都小于2,则a+ b+ c<6①，
1 1 1
而a+ b+c=x+_+y+_+z+-》6②，
x J y z
显然①，②矛盾，所以C正确. 答案 C
4 .命题“△ ABC中，若A>B,则a>b”的结论的否定应该是____________ .
答案a< b
5•命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是
答案 至少有两个内角是直角
6 •设SA 、SB 是圆锥SO 的两条母线，
AC 与平面SOB 不垂直.
证明假设AC 丄平面SOB,如图， •••直线SO 在平面SOB 内，
••• SO 丄 AC.
v SO 丄底面圆O ,： SO 丄AB. ••• SO 丄平面SAB.
•••平面SAB//底面圆O.
这显然出现矛盾，所以假设不成立，即
综合提咼 7. 已知an l ，a? a b? B,若a ，b 为异面直线，则
().
A. a ，b 都与I 相交
B. a ，b 中至少有一条与I 相交
C. a ，b 中至多有一条与I 相交
D. a ，b 都不与I 相交
解析 逐一从假设选项成立入手分析，易得 B 是正确选项，故选B. 答案 B
8. 以下各数不能构成等差数列的是
().
A . 3,4,5 B. .'2， . 3, 5 C . 3,6,9
D. ‘2, 2
2
解析 假设.'2, 3 ：5成等差数列，则2 ：3= '2 + 5 即12= 7 + 2 10, 此等式不成立，故.;2, '3, ：5不成等差数列.
答案 B
9. “任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是 解析 “任何三角形”的否
定是“存在一个三角形
AC 与平面SOB 不垂直.
限时25分钟
“至少有两个”的否
定是“最多有一个”.
答案存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
10•用反证法证明命题“若a2+ b2= 0,则a, b全为0(a、b为实数)”，其反设为________ •
解析“a, b全为0”即是“a = 0且b = 0”，因此它的反设为“a^0或0”.
答案a, b不全为0
11.设二次函数f(x) = ax2+ bx+ c(a^ 0)中，a、b、c 均为整数，且f(0), f(1)均
为奇数.求证：f(x) = 0无整数根.
证明设f(x) = 0有一个整数根k,则
ak2+ bk= — c.①
又••• f(0) = c, f(1) = a+ b+ c均为奇数，
••• a+ b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；
当k为奇数时，设k = 2n+ 1(n€ Z),
则ak2+ bk= (2n+ 1)(2na+ a+ b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x) = 0无整数根.
x2、，
12.(创新拓展)已知函数f(x)= ，如果数列｛a n｝满足a〔 = 4, a n+1 = f(a n),求
2x一 2
证：当n》2时，恒有a n<3成立.
a
证明法一■(直接证法)由a n+1 = f(a n)得a n+1= -,
2a n — 2
丄=二+ 2 = —2丄-丄2 +孔1
a n+1 a n a n a n 2 2 2'
--a n+1 <0 或a n+1》2；
(1)若a n+1<0,贝U a n+1<0<3,
•••结论“当n》2时，恒有a n<3”成立;
(2)若a n+1》2,
2
a n —a n+ 2a n —a n a n— 2
则当n》2 时，有a n+1 —a n= - —a n= = w0,
2a n— 2 2 a n— 1 2 a n — 1
a2
• a n+1W a n,即数列｛a n｝在n》2时单调递减;
a 2
16 8
<3 2a i -2 8-2 3 °，
可知a n < a 2<3，在n 》2时成立.
综上，由（1）、⑵知：当n 》2时，恒有a n <3成立. 法二（用反证法）假设a n 》3（n 》2），
a
2
则由已知得 a n +1 = f （a n ）= ~ 2，
•••当n 》2时, 这与假设矛盾, •••当n 》2时, a n <3;
故假设不成立， 恒有a n <3成立.
•••当n 》2
时,
亍—20^—2，1+a n 二1 仝 21+2— 4<1?(v
—1》3- 1),
又易证a n >0， •••当 n>2 时, •••当 n 》2 时，a n +
i <a n ,
而当n = 2时, a n <a n -i <…<a 2； a2 16
-8<3, a 2 —
— — c 2a i - 2 8-2 3
由a 2=。