福州大学数学研究生数学分析高等代数真题
一．证明1sin x在(,1)(01)c c <<上一致连续，但在(0,1)上不一致连续。
二．曲线n y x =(n 为正整数)上点(1,1)处的切线交x 轴于点(,0)ξ，求lim ()n y ξ→∞。
三．证明：若00()0,()0,f x f x +-''><则存在0x 的一个邻域，使得在邻域中0()()f x f x ≥。
四．求下列极限：2(1)l i m1s i n x a r c t g x xπ→∞- 201sin (2)limsin x x x x→五．证明不等式 3(0).32x tgx x x π>+<<六．用柯西收敛原理判断下列级数的敛散性1111111112345632313n n n+-++-+++-+--七．证明(,)f x y =在(0,0)点连续，且(0,0),(0,0)x y f f 存在但(0,0)点不可微。
八．证明级数1211(1)n n n x∞-=-+∑关于x 在(,)-∞∞上为一致收敛，对任何x 非绝对收敛。
九．计算d d ,sI xyz x y =⎰⎰其中222:1,0,0S x y z x y ++=≥≥外侧。
十．利用含参变量广义积分的积分顺序交换定理，并从等式222 d ax bxb x y a e e xe y x----=⎰ 出发，计算积分 22d (0)ax bxe e x b a x--+∞->>⎰一．计算下列两题1.求2d (,)d d x x f x t t x⎰ 2.求42 0cos d x x π⎰二．用定义证明()f x =(0,1)上一致连续。
三．设0x >，证明2ln(1)2x x x +>-。
四．确定常数,a b，使lim )0x ax b →+∞-=五．设()f x 在有限区间(,)a b 中可导，且lim (),x bf x -→'=∞问是否必有lim ()?x bf x -→=∞若是，请予证明；若否，请举例说明。
六．0)a =>上任何一点的切平面在各坐标轴的截距之和恒等于a 。
七．设22220(,)00x y f x y x y +≠=+=⎩，证明：(1)(,)f x y 在(0,0)点连续；(2)偏导数(0,0),(0,0)x y f f 均存在；(3)(,)f x y 在(0,0)点不可微。
八．设函数项级数1()nn u x ∞=∑在X 上收敛于()S x ，并且每个()nu x 在X 上都连续，那么能否推出这个等式011lim()lim ()n nx x x x n n u x u x ∞∞→→===∑∑成立？(其中0)xX ∈。
请试用级数232431()()()()(01)n n u x x xx x x x x x ∞==+-+-+-+≤≤∑来分析。
九．设空间曲线l 方程为 2222(0).0x y z a a x y z ⎧++=>⎨++=⎩ 则请计算下面的第二类曲线积分.lI ydx zdy xdz =++⎰从x 轴正向看去，l 是逆时针方向。
十．计算第二类曲面积分 333d d d d d d sI x y z y z x z x y =++⎰⎰，S 为球面2222x y z R ++=的外侧(0)R >。
2002年福州大学研究生入学考试试题（每题材10分）一．设21000x e x y x -⎧⎪≠=⎨⎪=⎩，计算(0),(0)y y '''及(0)y '''.二．证明当0x >时，3sin 3!x x x >-三．证明：2(1)()cos f x x =在(,)-∞+∞上一致连续；2(2)()cos g x x =在(,)-∞+∞上非一致连续；四．计算下列两题2 sin (1)d ;1cos x xx xππ-+⎰(2)已知 0()()d a f u a u u B -=⎰,求 0[()d ]d .a uf x x u ⎰⎰五．求曲线ln y x =在区间(2,6)内一条切线，使得该切线与直线2,6x x ==和曲线ln y x =所围成的面积最小。
六．求级数211n n n x∞-=∑的和函数。
七．判别下列广义积分的敛散性122220ln (1) d ;(2)d 1sin 1xxx x x xx+∞+-⎰⎰.八．计算曲面积分()d ,sx y z s ++⎰⎰其中s 是球面2222(0)x y z a z ++=≥。
九．研究函数 122()()d yf x F y x x y=+⎰在(0,)+∞上的连续性，其中()f x 是[0,1]连续且为正的函数。
十．设 222222d d ().()x y R y x x yI R x xy y +=-=++⎰ 证明：lim ()0.R I R →∞= (以上每大题各为10分)2003年福州大学研究生入学考试试题（每题15分，合计150分）一．用“εδ-”语言证明 2(1)(2)lim 04x x x x →--=-。
二．设(1,2,),n n x a y n a ≤≤=为常数，且lim()0,n n x y x →∞-=证明：lim lim .n n x x x y a →∞→∞==又问如有(1,2,)n n n x z y n ≤≤=且lim()0,n n x y x →∞-=则{}n z 是否必收敛？为什么？三．1.求不定积分sinx ⎰。
2.设2 )()d ,yx y F y x x=⎰求().F y '四．设()0,f x ''<当0x →时()f x 与x 是等价无穷小量，证明当0x ≠时，()f x x <.五．求极限110(1)lim()xx x x e→+。
六．若正项级数1nn u∞=∑收敛，且{}n u 单调下降，利用收敛原理证明：lim 0n n nu →∞=。
七．(1)设()(),y xz x x y ϕψ=⋅+其中,ϕψ二阶可导，求2.z x y∂∂∂(2)求2200lim.x y x y x y →→++八．证明：(,)f x y =在(0,0)点连续，(0,0),(0,0)x y f f 存在但在(0,0)点不可微。
九．利用格林公式来计算星形线33cos ,sin x a t y b t ==所围成区域面积。
十．计算积分2d d d ,vJ z x y z =⎰⎰⎰其中V 是两球2222x y z R ++≤与2222x y z Rz ++≤的公共部分。
2004年福州大学研究生入学考试试题（每题15分，合计150分）一．设0n x ≠，证明数列{}n x 为无穷小量的充要条件是1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为无穷大量。
二．设41sin 0()0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，求(0)f ''。
三．证明当02x π<<时2sin x x x π>>.四．证明：奇函数的一切原函数皆为偶函数，偶函数的原函数中有一为奇函数。
五．计算星形线33cos ,sin x a t y t ==的周长。
六．设1n nn a b∞=∑收敛，12n n s a a a =+++，证明级数11()n nn n s bb ∞+=-∑收敛的充要条件是数列{}n n s b 收敛。
七．讨论 221()d F y x x y ∞=+⎰在0y <<+∞上的一致敛散性与连续性。
八．设方程组sin sin x y u vx v y u +=+⎧⎨=⎩确定可微函数(,)(,)u u x y v v x y =⎧⎨=⎩，试求,,d u uv x y ∂∂∂∂。
九．计算曲线积分11(ln )(ln ).c I dx dy y r x r∂∂=-∂∂⎰其中r =为平面上任意一条不过原点的简单光滑闭曲线。
取逆时针方向。
十．计算曲面积分333d d d d d d .sI x y z y z x z x y =++⎰⎰其中S 为整个球面2222xy z ax ++=(0)a >的外侧。
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福州大学2009年高等代数考研试题解答
u(x) f (x) v(x)g(x) 1.
将 x M 代入上式,得 u(M ) f (M ) v(M )g(M ) E ,即
u(M )A v(M )B E .
任取 W ,则 AB 0 ,
u(M ) A v(M )B .
取1 v(M )B ,2 u(M ) A .由于 A, B 都是 M 的多项式,故 AB BA ,进而有 Av(M ) v(M ) A,
b11 b22 bnn 0
aii k bii , i 1, 2,, n
aij bij , i j, i, j 1, 2,, n.
于是
n
n
n
aii (k bii ) nk bii nk,
i 1
i 1
i 1
即
从 aii k bii 得
k
1 n
n i 1
aii .
bii
aii
k
aii
1 n
n
a jj .
j 1
取
k
1 n
n i 1
aii ,
bij
aii
1 n
n
a jj , 若i
j 1
j,
aij,若i j,
那么 B (bij )nn 是一个迹为 0 的矩阵,且 A kE B . ■
0
0
n1( d1) .
0 0
因此,当 d1 0 时, A 的 n 个特征值都为 0；当 d1 0 时, A 的特征值为 0( n 1重), d1 (一重). 注意,对于一般的 n 阶矩阵 A (aij )nn 来说,若 A 的特征值为 1, 2 ,, n ,则 1 2 n a11 a22 ann .
2021-2022年部分高校高等代数考研真题
A
=
1 0 2
−1 1 3
−1 0 1
2 0 −1
1 −2 −2 −1
求 A 的包含 ε1 的最小的不变子空间.
3 1 −1 3. 求 A = −1 3 1 的若尔当标准形及有理标准形.
022
二、证明题.
1. 已知向量组 α1, α2, · · · , αr 线性无关, 且可由向量组 β1, β2, · · · , βs 线性表 出, 证明: 存在某个向量 βj (1 ≤ j ≤ s), 使得向量组 βj, α2, · · · , αr 线性无关.
1 2
1 1
c −2 0
112
(1) 若 A 有特征值 4, 1, −2 , 求 a, b, c. (2) 设 α = (1, k, 1)T 是 B−1 的一个特征向量, 求 k .
五、(15 分) 设 A, B 都是 n 阶实对称矩阵, 且 A 正定, 证明: AB 的特征值 都是实数.
六、(15 分) 设 σ 是 n 维线性空间 V 上的一个线性变换, 证明: σ 的秩 +σ 的零度 = n.
1
北京交通大学 2022 年高等代数考研真题
北京交通大学 2022 年高等代数考研真题
一、填空题 (每题 3 分)
1. 2n 级排列 13 · · · (2n − 1)(2n)(2n − 2) · · · 42 的逆序数为
.
2. 设 4 阶方阵 A, B 的伴随矩阵为 A∗, B∗, 且它们的秩为 r(A) = 3, r(B) =
1
2x1 3x1
+ 3x2 + 5x2
+ (a + 2)x3 + 4x4 = b + 3 + x3 + (a + 8)x4 = 5
福州大学2008年高等代数考研试题A卷及解答 (1)
福州大学2008年招收硕士研究生入学考试试卷招生学院_______________招生专业________________考试科目________________科目编号________________本卷共十题，每题15分一、填空题（每小题4分，满分20分）1、多项式32()61514f x x x x =-+-的有理根是_________；【答案解析】：22、矩阵012114210A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的逆矩阵1A -=_________；【答案解析】：124211221232⎛⎫- ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭3、设P 为数域，在线性空间[]n P x 中，多项式()f x 在基1{1,(),...,()}n x a x a ---下的坐标是_________；【答案解析】：(1)()()((),(),,...,)2!(1)!n f a f a f a f a n -'''-4、在欧式空间4R 中，向量1(1,2,2,3)α=，2(3,1,5,1)α=的夹角为________；【答案解析】：455、已知1101A ⎛⎫=⎪⎝⎭，则nA =________；【答案解析】：101n ⎛⎫⎪⎝⎭二、简答题（每小题5分，满分25分）6、求非齐次线性方程组1231234123412344212357375822268x x x x x x x x x x x x x x x -+=-⎧⎪-+++=⎪⎨-+-=-⎪⎪---=-⎩的通解；【考察重点】：求非齐次线性方程组的通解，属于简单计算题，掌握知识点即可。
【答案解析】：解：142011420110245231570555501111371580555500000222680666600000A -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭可知原方程组与下面方程组同解1342342451x x x x x x --=-⎧⎨-++=⎩令340x x ==，得原方程组的一个特解()5100--且原方程组的两个基础解系为()()123010,1001αα=-=-所以原方程组的通解为()()()12510030101001x k k =--+-+-其中1k ，2k 为任意常数。
福州大学数学研究生数学分析报告高等代数真题
一．证明1sin x在(,1)(01)c c <<上一致连续，但在(0,1)上不一致连续。
二．曲线ny x =(n 为正整数)上点(1,1)处的切线交x 轴于点(,0)ξ，求lim ()n y ξ→∞。
三．证明：若00()0,()0,f x f x +-''><则存在0x 的一个邻域，使得在邻域中0()()f x f x ≥。
四．求下列极限：2(1)lim 1sin x arctgx xπ→∞- 201sin (2)limsin x x x x→五．证明不等式 3(0).32x tgx x x π>+<<六．用柯西收敛原理判断下列级数的敛散性1111111112345632313n n n+-++-+++-+--七．证明(,)f x y =(0,0)点连续，且(0,0),(0,0)x y f f 存在但(0,0)点不可微。
八．证明级数1211(1)n n n x∞-=-+∑关于x 在(,)-∞∞上为一致收敛，对任何x 非绝对收敛。
九．计算d d ,sI xyz x y =⎰⎰其中222:1,0,0S x y z x y ++=≥≥外侧。
十．利用含参变量广义积分的积分顺序交换定理，并从等式222 d ax bxb x y a e e xe y x----=⎰ 出发，计算积分 22d (0)ax bxe e x b a x--+∞->>⎰一．计算下列两题1.求2d (,)d d x x f x t t x⎰ 2.求42 0cos d x x π⎰二．用定义证明()f x =(0,1)上一致连续。
三．设0x >，证明2ln(1)2x x x +>-。
四．确定常数,a b，使lim )0x ax b →+∞-=五．设()f x 在有限区间(,)a b 中可导，且lim (),x bf x -→'=∞问是否必有lim ()?x bf x -→=∞若是，请予证明；若否，请举例说明。
福州大学2007年高等代数考研试题及解答 (1)
1
所以
a1
2a2
3a3
4a4
a1, a2 , a3, a4
2 3
b
4
所以 Ax b 的通解为 x 1, 2,3, 4 k 1, 3, 2, 0 ， k R
8、设
A
2 0
1 3
，
B
10 26
4、在线性空间 R3 中，已知向量1 (4, 6, 0),2 (6, 9, 3),3 (6, 3, a) 共面，求 a 。
【考察重点】：考查向量共面和矩阵的关系，这类题型在历年真题中并不常见，但是考生还 是不可忽视其重要性。， 【答案解析】：
解：已知向量1 (4, 6, 0),2 (6, 9, 3),3 (6, 3, a) 共面，则1,2 ,3 线性相关，
3
0
,矩阵
B
的两个解为
1
2，
2
3
且 r(B) 2 ，所以矩阵 A 与 B 相似。
1 2 6
9、求矩阵
A
1
0
3
的最小多项式和若当标准型。
1 1 4
【考察重点】：考查矩阵的最小多项式和若当标准型 【答案解析】：
1 2 6 解：因为 E A 1 3 ( 1)3
个极大线性无关组。 【考察重点】：求向量组的极大无关组，考生掌握其基本方法即可解此题，涉及知识点在第
三章。 【答案解析】：
1 0 3 1
解：
(
f1,
f2,