2017-2018学年第二学期浙江省杭州市高二年级期末教学质量检测数学答案
AB n
3
x
………………4 分
所以数列{a2n－1}是首项为 1，公差为 4 的等差数列， 即 a2n－1＝4n－3； 数列{a2n}是首项为 3，公差为 4 的等差数列， 即 a2n＝4n－1， 所以 an＝2n－1，即 an＋1－an＝2． 因此存在 λ＝4，使得数列{an}为等差数列． 23． （本题满分 11 分） 解 （Ⅰ）设抛物线 Γ 的焦点为( ，0)，
3 ，OC＝ 5 ， 2 OE 15 所以 sin∠OCE＝ ． OC 10
因为 OE＝ （等体积转换求高亦可）
………………5 分
解法二 （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面 PAD⊥平面 ABCD，取 AD 中点 O，连接 PO， 则 PO⊥AD，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0，－1，0)，B(2，0，0)， C(2，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0， 3 )． 所以 AB 2,1,0 ，PD 0,1, 3 ， CD 2,0,0 ， 设平面 PCD 的法向量为 n＝(x，y，z)，则
＝sin2x－ 3 cos2x ＝2sin(2x－
π ) 3
………………5 分
π 所以 f ( ) ＝ 3 ； 3 （Ⅱ）所以函数 f (x)的最小正周期 T＝π，
因为 －
π π π ＋2kπ＜2x－ ＜ ＋2kπ， 2 3 2 π 5π 得 － ＋kπ＜x＜ ＋kπ， 12 12 π 5π 则函数的单调递增区间为(－ ＋kπ， ＋kπ)（k∈Z） ． 12 12 ………………4 分
21． （本题满分 10 分） 证明 （Ⅰ）因为 PC＝2 2 ，AD＝DC＝PD＝2， 所以 PD2＋DC2＝PC2， 所以 △PCD 是直角三角形． 所以 CD⊥PD， 又因为 CD⊥AD， 所以 CD⊥平面 APD．
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因为 CD 平面 ABCD， 所以平面 PAD⊥平面 ABCD． 解法一 （Ⅱ）取 AD 中点 O，连接 OC， 所以 AO＝BC＝1，AD//BC， 所以四边形 ABCO 是平行四边形， 所以 AB//OC． 作 OE⊥PD 于 E，连 EC， 因为 CD⊥平面 PAD，故面 PAD⊥面 PCD， 所以 OE⊥平面 PCD， ………………5 分
E A D O B （第 21 题） B C y z P
y 3z 0 ，取 z 1 ，则 n＝(0， 3 ，1)， 2 x 0
15 所以 sin ． 5 2 10 AB n
22． （本题满分 10 分） 解 （Ⅰ）由 anan＋1＝λSn－1，得 an＋1an＋2＝λSn＋1－1． 两式相减，得 an＋1(an＋2－an)＝λan＋1， 因为 an＋1≠0， 所以 an＋2－an＝λ． （Ⅱ）当 n＝1 时，a1a2＝λS1－1，由 a1＝1， 得 a2＝λ－1． 由（Ⅰ）知，a3＝λ＋1． 若数列{an}为等差数列，则 2a2＝a1＋a3， 解得 λ＝4． 所以 an＋2－an＝4，
2 ������
………………6 分
|
由题意得
p 2| 3 2 2 ， 2 2
解得 p＝2（负值舍去） ， 所以抛物线 Γ 的方程为 y2＝4x． ………………5 分
（Ⅱ）设直线 PA 的方程为 x＝my＋1，设 P(x1，y1)，A(x2，y2)，
x my 1 联立 2 ，得 y2－4my－4＝0， y 4x
2 3
1 17． ,1 2
3 5
19．[－12,－4]
三．解答题：本大题共 4 小题，共 40 分，要求写出详细的推证和运算过程 20． （本题满分 9 分）
π 解 （Ⅰ）因为 f (x)＝a·b＝( 2sin( x) ，－ 3 )·(sinx，2cos2x－1) 2 π ＝ 2sin( x) sinx－ 3 (2cos2x－1) 2
2018 年杭州市高二年级教学质量检测 参考答案及评分标准
一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 D 5 C 6 B 7 D 8 A 9 C 10 B 11 A 12 C
二、填空题（本大题共 7 小题，前 4 题 3 分，后 3 题 4 分，共 24 分） ． 13．2 14． y 2 x 18． f ( x ) x 15． x y 4 0 16．
所以 y1y2＝－4，① 设直线 PB 的方程为 x＝ny＋b，B(x3，y3)，
x ny b 联立 2 ，得 y2－4ny－4b＝0， y 4 x
所以 y1y3＝－4b，② 因为点 A 为线段 BC 的中点，所以 2y2＝y3，③ 由①，②，③ 得 b＝2， 即直线 PB 的方程为 x＝ny＋2， 因为 △＝16n2＋32＞0， 所以 | PB |＝ 1 n 2 | y1－y3 |＝4 1 n2 n2 2 ＝ 4 n 4 3n 2 2
3 1 ＝ 4 n2 2 4
≥4√2． ………………6 分
2
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2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题理(2)
数学试卷（理数）时间：120分钟总分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知为实数，，则的值为A.1B.C.D.2.“”是“直线和直线平行”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.下列说法正确的是A.一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B.“”与“”不等价C.“若，则全为”的逆否命题是“若全不为0，则”D.一个命题的否命题为假，则它的逆命题一定为假4.若，，，，则与的大小关系为A. B. C. D.5.已知命题及其证明：(1)当时，左边，右边，所以等式成立；(2)假设时等式成立，即成立，则当时，，所以时等式也成立．由(1)(2)知，对任意的正整数等式都成立．经判断以上评述A.命题，推理都正确B.命题正确，推理不正确C.命题不正确，推理正确D.命题，推理都不正确6.椭圆的一个焦点是，那么等于A.B.C.D.7.设函数（其中为自然对数的底数），则的值为A. B. C. D.8.直线（为参数）被曲线截得的弦长是A. B. C. D.9.已知函数在上为减函数，则的取值范围是A. B. C. D.10.一机器狗每秒前进或后退一步，程序设计师让机器狗以前进步，然后再后退步的规律移动，如果将此机器狗放在数轴的原点，面向数轴的正方向，以步的距离为个单位长，令表示第秒时机器狗所在位置的坐标．且，那么下列结论中错误的是A. B.C. D.11.已知A、B、C、D四点分别是圆与坐标轴的四个交点,其相对位置如图所示.现将沿轴折起至的位置,使二面角为直二面角,则与所成角的余弦值为A.B.C.D.12.点在双曲线上，、是这条双曲线的两个焦点，，且的三条边长成等差数列，则此双曲线中等于A.3B.4C.5D.6二、填空题（每小5分，满分20分）13.若，则__________.14.在三角形ABC中，若三个顶点坐标分别为，则AB边上的中线CD的长是__________．15.已知F1、F2分别是椭圆的左右焦点，A为椭圆上一点，M为AF1中点，N为AF2中点，O为坐标原点，则的最大值为__________．16.已知函数，过点作函数图象的切线，则切线的方程为。
浙江杭州2024年高二下学期6月期末考试数学试题+答案
2023学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卡两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名、姓名、试场号、座位号、准考证号，并用2B 铅笔将准考证号所对应的数字涂黑。
3．答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数11i =+z ，22i =−z （i 为虚数单位，2i 1=−），则复数21=−z z z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．命题“0∃>x ，23100−−>x x ”的否定是（ ） A ．0∀>x ，23100−−>x x B ．0∃>x ，23100−−≤x x C ．0∀≤x ，23100−−≤x xD ．0∀>x ，23100−−≤x x3．下列函数中，以π为最小正周期的奇函数是（ ） A ．sin 2=y xB ．cos =y xC ．2sin =y xD ．2cos =y x4．若甲、乙、丙三人排成一行拍照，则甲不在中间的概率是（ ） A ．14B ．13C ．23D ．345．在正方体1111−ABCD A B C D 中，P ，Q 分别是棱1AA 和1CC 上的点，113=PA AA ，113=BQ BB ，那么正方体中过点D ，P ，Q 的截面形状为（ ） A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形6．在同一个坐标系中，函数()log =a f x x ，()=−g x a x ，()=ah x x 的图象可能．．是（ ） A ． B ． C ． D ．7．已知()sin 23sin 2γβα=+，则tan()tan()αβγαβγ++=−+（ ）A ．2−B ．14 C ．32D ．12−8．已知经过圆锥SO 的轴的截面是顶角为θ的等腰三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO 分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），且上、下两部分几何体的体积之比是1：7，则cos θ=（ ）A ．13B C ．79D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。
浙江省“七彩阳光”新高考联盟2017-2018学年高二下学期期中联考数学参考答案
（2） …7 分
m 1 f ( x) e xm e x 1 …9 分 只要证 e x1 x 2 ln( x 1) 2
由（1）得 e x1 x 2 恒成立，当且仅当 x=-1 时取等。…11 分 只要证
…9 分
（2）i)当直线 OP 的斜率不存在或为 0 时, SOPQ 3 ii)当直线 OP 的斜率存在且不为 0 时
y kx 12 令直线 OP 为 y kx ，联立 x 2 y 2 得 (4k 2 3) x 2 12 即 x 2 …11 分 4k 2 3 1 3 4
x2 p
12k 2 12 2 y , p 4k 2 3 4k 2 3
OP OQ
高二数学 答案 第 2 页（共 4 页）
1 12 2 2 12 12 k 2 2 k 12 …12 分 , yQ 同理有 xQ 2 2 1 1 4 2 3 4 3k 4 2 3 4 3k k k
x 2 ln( x 1) 2 只要证 x ln( x 1) 。令 h( x) x ln( x 1) ，则 h( x) 1
令 h( x) 1
1 x 。 x 1 x 1
1 x 0 ，则 x=0，…13 分 当 x (1,0) 时， h( x) 0 y h( x) 在 x 1 x 1 x (1,0) 单调递减。 当 x (0, ) 时， h( x) 0 y h( x) 在 x (0, ) 单调递增. …14
等号不能同时取到， 题目得证. …15 分
分 当 x=0 时，h(x)取得最小值为 0. 又 21、解：（1）由已知得 e
2017-18学年高二年级第二学期期末考试数学试卷(理数)
2017-18学年高二年级第二学期期末考试数学试卷（理数）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．第I 卷（选择题，共60分）注意事项：１．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上．２．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上． 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}1,0=A ，{}A y A x y x z z B ∈∈+==,,|，则集合B 的子集个数为（ ）A .3B .4C . 7D .82．若322->m x 是41<<-x 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是（ ）A .[]3,3-B .(][)+∞-∞-,33,C . (][)+∞-∞-,11,D .[]1,1-3．命题“[)+∞-∈∀,2x ，13≥+x ”的否定为( )A .[),,20+∞-∈∃x 130<+xB .[),,20+∞-∈∃x 130≥+xC .[)+∞-∈∀,2x ，13<+xD .()2,-∞-∈∀x ，13≥+x4．已知函数()x f 在()+∞∞-,单调递减，且为奇函数，若()11-=f ，则满足()121≤-≤-x f 的x 的取值范围是( ）A .[]2,2-B .[]1,1-C .[]4,0D .[]3,15．已知函数()xx f 5=，()x ax x g -=2，若()[]11=g f ，则=a ( )A .1B .2C .3D .1-6．已知函数()⎩⎨⎧>+≤+-=2,log 3,2,6x x x x x f a ，()1,0≠>a a 且的值域是[)+∞,4，则实数a 的取值范围是( )A .[]1,1-B .(]2,1C .[]4,0D .[]3,17．已知函数()ax f x x -+=212 是奇函数，则使()3>x f 成立x 的取值范围是 ( )A .()1,-∞-B .()0,1-C . ()1,0D .()+∞,18．若0>>b a ，10<<c ，则 ( )A .c c b a log log <B .b a c c log log <C .c c b a <D .a b c c >9．已知函数()12-=-mx x f 为偶函数，记()3log 5.0f a = ，()5log 2f b = ，()m f c 2=，则c b a ,,的大小关系为 ( ) A .c b a << B .b c a << C . b a c << D .a c b <<10．已知函数()34213123-+-=x mx x x f 在区间[]2,1上是增函数，则实数m 的取值范围是（ ）A .[]5,4B .[]4,2C . (][)+∞-∞-,11,D .(]4,∞- 11．已知函数()|1|23,0,21,0x x f x x x x -⎧>=⎨--+≤⎩若关于x 的方程()[]()()012=--+a x f a x f 有7个不等实根，则实数a 的取值范围是( )A .()1,2-B .[]4,2C . ()1,2--D .(]4,∞-12. 已知函数()a x x f ++-=13，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e e x ,1 与()x x g ln 3=的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A .[]4,03-e B .⎥⎦⎤⎢⎣⎡+21,03e C . ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+4,2133e e D .[)+∞-,43e第II 卷（非选择题，共90分）注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．已知函数()()2'11f x f x x =++，则()=⎰1dx x f .14．函数()()x x f cos sin lg =的定义域为_______________． 15．若()02222222≥++---x x xx a 在区间[]2,1上恒成立，则实数a 的取值范围是 ______．16．设()'f x 是奇函数()x f 的导函数，()02=-f ，当0>x 时，()()'0xf x f x ->，则使()0>x f 成立的x 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分 17．(本小题满分12分)在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,且ab c b a 3222+=+.（1）求角C 的值；（2）若ABC ∆为锐角三角形,且1=c ,求b a -3的取值范围. 18．(本小题满分12分)件，产品尺寸（单位：）落在各个小组的频数分布如下表：（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在的概率；（2）求这50件产品尺寸的样本平均数x ；（3）根据频率分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸z 服从正态分布2(,)N μσ；其中μ近似为样本平均值x ，2σ近似为样本方差2S ，经计算得222.37S =，利用正态分布，求(27.43)P z ≥． 19.(本小题满分12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，CB AC =，1AA AB =，160=∠BAA（1）证明：C A AB 1⊥；（2）若平面⊥ABC 平面B B AA 11，CB AB =，求直线C A 1与平面C C BB 11所成角的正弦值． 20. (本小题满分12分)已知三点()1,2-A ，()1,2B ，()0,0O ，曲线C 上任意一点()y x M ,满足||()2MA MB OM OA OB +=++．（1） 求C 的方程；（2） 动点()00,y x Q ()220<<-x 在曲线C 上，l 是曲线C 在Q 处的切线．问：是否存在定点()t P ,0()0<t 使得l 与PB PA ,都相交，交点分别为E D ,，且ABQ ∆与PDE ∆的面积之比为常数？若存在，求t 的值；若不存在，说明理由．21.(本小题满分12分）已知函数()x x f ln =，()xe x g =．（1）求函数()x x f y -=的单调区间；（2）求证：函数()x f y =和()x g y =在公共定义域内，()()2>-x f x g 恒成立； （3）若存在两个不同的实数1x ，2x ，满足()()a x x f x x f ==2211，求证：1221>ex x ．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所作第一题计分.22.(本小题满分10分)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。
【新结构】2023-2024学年浙江省浙南名校联盟第二学期期末联考数学试卷+答案解析
【新结构】2023-2024学年浙江省浙南名校联盟第二学期期末联考数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则()A. B. C. D.2.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点不同于A、且，则二面角的大小为()A. B.C. D.3.已知M，N，P，Q是平面内四个互不相同的点，，为不共线向量，，，，则()A.M，N，P三点共线B.M，N，Q三点共线C.M，P，Q三点共线D.N，P，Q三点共线4.已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数k的取值范围是()A. B. C. D.5.已知复数，则()A. B. C.2 D.6.函数，若在区间上是单调函数，且则的值为()A. B.或2 C. D.1或7.若，则()A. B.C.D.8.正项数列中，为实数，若，则的取值范围是()A.B.C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知x ，，且，，则()A.B.C. D.10.高二年级安排甲、乙、丙三位同学到A ，B ，C ，D ，E 五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有()A.所有可能的方法有种B.如果社区A 必须有同学选择，则不同的安排方法有61种C.如果同学甲必须选择社区A ，则不同的安排方法有25种D.如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种11.已知定义在R 上的函数满足，且不是常函数，则下列说法中正确的有()A.若2为的周期，则为奇函数B.若为奇函数，则2为的周期C.若4为的周期，则为偶函数D.若为偶函数，则4为的周期三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若随机变量，，若，，则__________.13.如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上正方形ABCD内部，含边界，则的取值范围为__________.14.已知函数，若函数有三个极值点，，，若，则实数a的取值范围是__________.四、解答题：本题共5小题，共77分。
浙江省台州市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题含答案
台州市2023学年第二学期高二年级期末质量评估试题数学（答案在最后）2024.6一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}3A x x =≤，集合{}2,3,4,5B =，则A B = （）A.{}3x x ≤ B.{}2,3 C.{}2,3,4,5 D.{}345x x x x ≤==或或【答案】B 【解析】【分析】根据题意结合集合间的交集运算求解.【详解】因为集合{}3A x x =≤，集合{}2,3,4,5B =，所以{}2,3A B ⋂=.故选：B.2.复数z 及其共轭复数z 满足232i z z +=+（其中i 是虚数单位），则z =（）A.23i 3-+B.23i 3--C.12i+ D.12i-【答案】D 【解析】【分析】设出复数z 的代数形式，结合共轭复数及复数相等求出z 即可.【详解】设i,,z a b a b =+∈R ，由232i z z +=+，得i 2(i)32i a b a b ++-=+，即3i 32i a b -=+，因此1,2a b ==-，所以12z i =-.故选：D3.已知向量()1,a x = ，(),4b x = ，x ∈R ．若()//a b b +，则x =（）A.2B.2或2-C.4- D.4-或1-【答案】B 【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示式列出方程，求解即得.【详解】因()1,a x =，(),4b x = ，则(1,4)a b x x +=++ ，由()//a b b +可得，(4)4(1)x x x +=+，解得，2x =或2-.故选：B.4.已知a ，b 为正实数，22411a b +=，则（）A.ab 的最小值为4B.ab 的最大值为4C.ab 的最小值为2D.ab 的最大值为2【答案】A 【解析】【分析】由题设条件等式，运用基本不等式计算即得.【详解】因a ，b 为正实数，由22411a b +=可得22412412a b ab ab =+≥⨯=，即得4ab ≥，当且仅当21a b=时取等号，即a b ==时，ab 的最小值为4.故选：A.5.设定义在R 上的函数()sin2f x x =．记()()1f x f x =，对任意的*n ∈N ，()()1n n f x f x +'⎡⎤=⎣⎦，则()2024f x =（）A.sin2xB.cos2x- C.20232cos2x- D.20242sin2x【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由复合函数的求导法则可得对于*n ∈N ，若n 能被4整除，则()12cos 2n n f x x -=-，代入计算，即可求解.【详解】由题意可得，()1sin2f x x =，()()2sin 22cos 2f x x x '==，()()232cos 22sin 2f x x x '==-，()()2342sin 22cos 2f x x x =-=-，()()3452cos 22sin 2f x x x '=-=，通过以上可以看出()n f x 满足以下规律：①对于*n ∈N ，若n 能被4整除，则()12cos 2n n f x x -=-；②对于*n ∈N ，若n 除4余1，则()12sin 2n n f x x -=，③对于*n ∈N ，若n 除4余2，则()12cos 2n n f x x -=，④对于*n ∈N ，若n 除4余3，则()12sin 2n n f x x -=-，则()()2023202450642cos 2f x f x x⨯==-.故选：C6.甲、乙等5人站成前排2人、后排3人拍照，其中甲、乙两人在同一排相邻的排法共有（）A.12种B.24种C.36种D.48种【答案】C 【解析】【分析】分两种情况，甲、乙两人站前排和甲、乙两人站后排，先排甲、乙再排其他人，利用分类加法原理可求解.【详解】分两种情况，当甲、乙两人站前排时，有2323A A 12⋅=种排法，当甲、乙两人站后排时，先排甲、乙再排其他人，有2122322A A A 24⋅⋅=种排法，综上，共有122436+=种排法.故选：C7.现有2道单选题，假定学生张君对每道题有思路与无思路的概率均为0.5．他对题目若有思路，做对的概率为0.75；若没有思路，做对的概率为0.25．在已知张君恰做对1题的条件下，则其恰有1题有思路的概率为（）A.716B.12C.916D.58【答案】D 【解析】【分析】首先利用全概率公式求做1题且作对的概率，再结合二项分布概率公式，以及条件概率公式，即可求解.【详解】设事件A 为张君对1题有思路，A 表示张君对1题没有思路，事件B 表示做对，则()()()()()0.50.750.50.250.5P B P B A P A P B A P A =+=⨯+⨯=，所以2题恰有1题作对的概率为12C 0.50.50.5⨯⨯=，则2题中作对1题，且只有1题有思路的概率()12C 0.50.750.50.750.50.250.50.250.3125P =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，所以张君恰做对1题的条件下，则其恰有1题有思路的概率为0.312550.6250.58==.故选：D8.设323210()f x a x a x a x a =+++（1023,,,a a a a ∈R 且30a ≠），方程()0f x =在复数集C 内的三个根为123,,x x x ，可以将上述方程变形为3123()()()0a x x x x x x ---=，展开得到2312331223333131230()()x x x x x a x a x x x a x a x x x x x -+-+++=+，比较该方程与方程()0f x =，可以得到011223311233321233,,a x a ax x x x x a x x x x x x a a ++=+=--+=．已知(i)1i f =+（i 是虚数单位），且tan ,tan ,tan αβγ是()0f x =的三个实根，则tan()αβγ++=（）A.1B.1- C.2D.2-【答案】B 【解析】【分析】由(i)1i f =+结合复数相等得02131,1a a a a -=-=，再借助复数根的定义，结合和角的正切公式计算即得.【详解】依题意，3232101i i i i a a a a ++=++，即0213()i 1(i )a a a a --=++，而0123,,,a a a a ∈R 且30a ≠，则02131,1a a a a -=-=，23tan tan tan a a αβγ++=-，13tan tan tan tan tan tan a a αββγγα++=，03tan tan tan a a αβγ=-，所以tan tan tan tan()tan 1tan tan tan()tan tan 1tan()tan 1tan 1tan tan αβγαβγαβαβγαβαβγγαβ++++-++==+-+⋅-⋅-0233021313tan tan tan tan tan tan tan tan tan t 1an tan t )1(a 1n a a a a a a a a a a αβγαβγαββγγα-+-=+===---++-+-.故选：B【点睛】关键点点睛：由已知结合复数相等求得02131,1a a a a -=-=是解题的关键.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.若随机变量X 服从二项分布15,3B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()29D X =B.若随机变量X 服从正态分布()5,4N ，则()()731P X P X >+≥=C.当事件A ，B ，C 两两独立时，()()()()P ABC P A P B P C =D.当事件A ，B ，C 两两互斥时，()()()()P A B C P A P B P C ++=++【答案】BD 【解析】【分析】根据二项分布得方差公式即可判断A ；根据正态分布得对称性，从而可判断B ；根据独立事件乘积公式结合具体事件说明即可判断C ；根据互斥事件和概率公式计算，即可判断D ．【详解】对于A ，由随机变量X 服从二项分布1(5,)3B ，得1110()51339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B ，因为随机变量X 服从正态分布()5,4N ，则对称轴为5X =，()()73P X P X >=<，所以()()731P X P X >+≥=，故B 正确；对于C ，三个事件A ，B ，C 两两独立能推出()()()P AB P A P B =，且()()()P AC P A P C =，且()()()P BC P B P C =，但是推不出()()()()P ABC P A P B P C =，比如：从1，2，3，4中随机选出一个数字，事件A ：取出的数字为1或2．事件B ：取出的数字为1或3，事件C ：取出的数字为1或4，则AB AC BC ABC ===为取出数字1，所以()()()()()()()11,24P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =======，满足()()()P AB P A P B =．且()()()P AC P A P C =，且()()()P BC P B P C =，但是推不出()()()()P ABC P A P B P C =，故选项C 错误；当事件A ，B ，C 两两互斥时，则,A B C +互斥则()()()()()()P A B C P A B P C P A P B P C ++=++=++,D 选项正确；故选：BD.10.关于函数()3f x x =的图象的切线，下列说法正确的是（）A.在点()1,1A 处的切线方程为32y x =-B.经过点()1,1A 的切线方程为32y x =-C.切线():0l y kx b k =+≠与()y f x =的图象必有两个公共点D.在点()311,P x x 处的切线过点()()30001,Q x x xx ≠，则012x x =-【答案】ACD 【解析】【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义判断A 、C 、D ，设切点为()322,x x ，表示出切线方程，求出2x ，即可判断B.【详解】由()3f x x =得()23f x x '=，对于A ：由()13f '=，所以函数在点()1,1A 处的切线方程为()131y x -=-，即32y x =-，故A 正确；对于B ：设切点为()322,x x ，所以()2223f x x '=，所以切线方程为()322223y x x x x -=-，又切线过点()1,1A ，所以()32222131x x x -=-，解得21x =或212x =-，所以过点()1,1A 的切线方程为32y x =-或3410x y -+=，故B 错误；对于C 、D ：()2113f x x ='，则在点()311,P x x 的切线方程为()321113y x x x x -=-，则()013203113x x x x x -=-，即()()()1222001100113x xx x x x x x x -++=-，因为10x x ≠，则122200113x x x x x ++=，即12201020x x x x +-=，即()()101020x x xx +-=，所以012x x =-，又()00f '=，当0x ≠时()230f x x '=>，又点()()3001,Q x x xx ≠在函数()3f x x =上，且与点()311,P x x 相异，即过曲线上任意点（除原点外）的切线必经过曲线上另一点（不是切点），对于切线():0l y kx b k =+≠，则切点不是坐标原点，所以切线():0l y kx b k =+≠与()y f x =的图象必有两个公共点，故C 、D 正确.故选：ACD11.已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为定值．若ABC △的面积212S a =，则（）A.tan A 的最大值为43B.22b c +的最小值为22aC.ABC △周长的最小值为)1a+D.b c的取值范围是11,22⎤-⎥⎣⎦【答案】ACD 【解析】【分析】根据已知条件得到sin a b C =，2sin a bc A =，设边a 上的高为h ，211.22S a a h h a ==⨯∴= 利用利用余弦定理、同角三角函数关系式和基本不等式计算判断各个选项；【详解】211sin ,sin ,22S a ab C a b C ==∴= 211sin 22S a bc A == ，2sin a bc A ∴=，∴2sin sin sin sin ,sin sin sin A B A C A B C ==，设边a 上的高为h ，211.22S a a h h a ==⨯∴= 对于A ，根据余弦定理2222222cos ,2cos a b c bc A b c a bc A =+-∴+=+，2sin a bc A = ，22sin 2cos b c bc A bc A ∴+=+，22sin 2cos bc A bc A b c bc bc++∴=，22sin 2cos 2b c b cA A bc c b ++==+≥，当b c c b =时，即b c =时，等号成立，2cos 2sin ,sin (0,1],cos 0A A A A ≥-∈∴>所以两边平方可得()222224cos 2sin 44sin sin ,sin cos 1,A A A A A A ≥-=-++= 2244sin 44sin sin ,A A A -≥-+244sin 5sin 0,sin 0,sin ,5A A A A ∴-+≤≠∴≤ 3sin cos [,1),tan 5cos AA A A ∴∈=,所以tan A 的最大值为43，故A 正确.对于B ，22222sin a b c bc A+≥=,当b c =时，等号成立，由A 可知4sin ,5A ≤，所以222225sin 2a abc A +≥=，则22b c +的最小值为252a ，故B 错误；对于C ，ABC △周长为,2a b c b c +++≥== ，当b c =时，等号成立，4sin ,5A ≤ ，b c ∴+≥所以ABC △周长的最小值为)1a +，故C 正确；对于D ，22525sin 2cos (sin 2cos ))(cos ,sin 55b c bc A bc A bc A A bc A ∴+=+=+≤+ϕϕ=ϕ=sin()(1,1)A +ϕ∈- 22b c ∴+两边同时除以2c ，2222110b b c c +≤∴≤，计算可得bc 的取值范围是11,22⎤-⎥⎣⎦，故D 正确；故选：ACD.【点睛】解三角形中求最值方法1.边的范围或最值方法：根据边角的各自特点，利用正（余）弦定理进行合理转化，在利用三角函数的范围或基本不等式进行求解；2.周长范围或最值方法：周长问题可看作边长问题，解决周长问题可类同求边的范围或最值；3.角的范围或最值方法：可借助三角函数的有界性，或利用正（余）弦定理把三角转化成边，在结合不等式的相关性质进行求解；4.面积的范围或最值方法：通常利用面积公式，将其转化为同一类元素，然后三角函数的有界性或者实数的不等式求解三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.()52x y +的展开式中32x y 的系数是______（用数字作答）·【答案】40【解析】【分析】二项式定理展开式中的特定项的系数问题，只需按照二项式定理展开即可.【详解】根据二项式定理，含有32x y 的项为2323235C (2)40T x y x y ==.故答案为：40.13.已知π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin 3αβ-=，1cos cos 4αβ=，则()tan αβ-=______，()cos αβ+=______．【答案】①.②.16【解析】【分析】利用题设等式先求出tan tan 3αβ-=，再由()sin αβ-求出cos()αβ-，继而求得sin sin αβ和tan tan αβ⋅，最后分别代入和角公式与差角公式计算即得.【详解】由()sin 3αβ-=可得，sin cos cos sin 3αβαβ-=两边分别除以1cos cos 4αβ=的左式和右式，tan tan 3αβ-=.因π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故1cos()3αβ-==，展开得，1cos cos sin sin 3αβαβ+=，因1cos cos 4αβ=，代入得，1sin sin 12αβ=，两式相除得，1tan tan 3αβ⋅=，于是，()tan tan 3tan 11tan tan 13αβαβαβ--===+⋅+，()111cos cos cos sin sin 4126αβαβαβ+=-=-=.故答案为：16.14.在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形11ADD A 的中心，直线l ⊂底面ABCD ，则二面角1A l P --的平面角的正弦值的最大值是______．【答案】22【解析】【分析】利用空间向量方法计算该二面角的余弦值的平方，然后相应证明21cos 2θ≥，即可得到sin 2θ≤，最后给出取到等号的例子即可.【详解】不妨设正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，以A 为原点，1,,AB AD AA分别作为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系.则平面ABCD 即为由x 轴和y 轴确定的平面，()10,0,2A ，()0,1,1P .设与l 同向的一个非零向量是(),,0u v α=，()00,,0M x y 是原点A 在l 上的投影，则由于向量(),,0v u β=- 与α垂直且可落入平面ABCD 内，故存在实数t 使得AM t β= ，即()()00,,0,,0x y vt ut =-.设()1,,n a b c = 和()2,,n p q r =分别是l 与()10,0,2A 确定的平面和l 与()0,1,1P 确定的平面的一个法向量.则1112200n n A M n n PM αα⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅=⎪⎩，故()00002010ua vb x a y b c up vq x p y q r +=+-=⎧⎨+=+--=⎩.解得12,n n的一个可能的取值是()1002,2,n v u x v y u =-- ，()()200,,1n v u x v y u =--- .由于()()00,,0,,0x y vt ut =-，故()()2212,2,n v u u v t =--+ ，()()222,,n v u u u v t =--+ .记二面角1A l P --的值为θ，则()()()()()()()()()222222222212222222222222222221222cos 4422u v u v t u u v t n n n n u v u v t u v u v t u u v tθ+++-+⋅==⋅+++⋅+++-+ .一方面，由于()()()()()()()()222222222222222222222222224422u v u vt u u v tu v u v t u v u v t u u v t+++-+-+++⋅+++-+()()()()()()()422222422222222222222222222422422u v t u u v t u v u v u v t u v u u v t=++++++++-++()()()()()()222222222222224442442u v t u u v t u v uv u v u u v t-+⋅+-++++⋅+()()()()()()223422222222222232242442u v u v t u v u v t u u v t u v t -++-++++-+()()()()()()()432222422322222222222243842u v t u u v t u v u v t u v u v uv =+-++++++-++()()()()()2232222222222234u v t uuvtu vtv u v =+-+++++0≥，故()()()()()()()()2222222222222222222222222244220u v u vt u u v tu v u v t u v u v t u u v t +++-+-+++⋅+++-+≥，从而()()()()()()()()222222222222222222222222221cos 24422u v u v t u u v t u v u v t u v u v t u u v t θ+++-+=≥+++⋅+++-+.故2211sin 1cos 122θθ=-≤-=，从而sin 2θ≤.另一方面，当l 为直线AB 时，由于AB 垂直于平面11ADD A ，1,AA AP 在平面11ADD A 内，故1AB AA ⊥，AB AP ⊥.所以二面角1A l P --的大小等于1A AP ∠，即1sin sin sin 452A AP θ=∠=︒=.综上，二面角1A l P --的正弦值的最大值是2.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用空间向量方法计算二面角的余弦值，再用代数变形求正弦值的最大值.四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.15.已知函数()()π2sin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=-><<⎪⎝⎭，x ∈R ．给出如下三组条件：①函数()f x 的最小正周期为π，且当5π12x =时，()f x 取到最大值；②函数()f x 的单调递减区间是()7ππ,π1212πk k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，单调递增区间是()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；③1x ，2x 是方程()1f x =的两个根，12x x -的最小值为π3，且6π06πf x f x ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．从这三组条件中任选一组作为条件，完成以下问题：（1）求函数()f x 的解析式；（2）若0π2263x f ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求05π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．注：如果选择多组条件分别解答，按第一组解答给分．【答案】（1）()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭;（2）149.【解析】【分析】(1)利用周期计算ω，利用代点法计算ϕ即可;(2)代入找到角的关系即可.【小问1详解】若选择①：由题知2ππT ω==，故2ω=．当5π12x =时，5ππ22π122k ϕ⨯-=+，k ∈Z ，故π2π3k ϕ=-，又π02ϕ<<，故π3ϕ=．所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭．若选择②：由单调区间可知周期为π，故2ππT ω==，故2ω=．由题意知当π12x =-时，()f x 取最小值，即ππ22π122k ϕ⎛⎫⨯--=- ⎪⎝⎭，k ∈Z ，故π2π3k ϕ=-，又π02ϕ<<，故π3ϕ=．所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．若选择③：令()1f x =，即()2sin 1x ωϕ-=，易知，()()12π5π2π2π2π663x x k k ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫---≥+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()21min2π3x x ω-=，又12x x -的最小值为π3，故2ω=．由6π06πf x f x ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知π,06⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，则π2π6k ϕ⨯-=，k ∈Z ，故ππ3k ϕ=-，又0πϕ<<，故π3ϕ=．所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【小问2详解】由00π22sin 263x f x ⎛⎫+==⎪⎝⎭，得01sin 3x =．故()200005ππ142sin 22cos2212sin 1229f x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．16.已知函数()1f x x a x a=-+-为偶函数．（1）求实数a 的值；（2）若不等式()f x bx ≥恒成立，求实数b 的取值范围．【答案】（1）0a =．（2）[]1,1-．【解析】【分析】（1）由偶函数的定义域关于原点对称即可求得a 的值；（2）根据函数定义域分段讨论，化简不等式，利用不等式恒成立即得参数范围.【小问1详解】()f x 的定义域为{}x x a ≠，由()f x 是偶函数，知其定义域关于原点对称，故0a =；当0a =时，()1f x x x=+为偶函数.所以0a =．【小问2详解】由（1）知，()1f x x x=+，则()f x bx ≥恒成立即1x bx x+≥（*）恒成立．①当0x >时，（*）式恒成立等价于1x bx x+≥恒成立，即211b x≤+恒成立，因210x >，故1b ≤；②当0x <时，（*）式恒成立等价于1x bx x--≥恒成立，即211b x ≥--恒成立，因210x-<，故1b ≥-．综上可得，b 的取值范围是[]1,1-．17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BB ==，BC =．D ，E 分别是棱1AC CC 、的中点，点F 在线段1A E 上．（1）若12A F FE =，求证：//AF 平面BDE ；（2）若三棱锥F ABD -的体积为32，求直线BF 与平面11AA C C 所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析（2）13．【解析】【分析】（1）先证明11AA F C EF ∽△△得A ，F ，1C 三点共线，再证AF DE ∥即得；（2）过点B 作BH AC ⊥,证BH ⊥平面11AA C C ，可得BFH ∠就是直线BF 与平面11AA C C 所成的角，利用体积求出点F 到平面ABC 的距离h ，证32DF h ==，继而求出,BH HF 即得.【小问1详解】连接1C F ,在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA CC ∥，所以11AA F C EF ∠=∠．又因为112AA C E =，12A F FE =，所以11AA F C EF ∽△△，故11AFA C FE ∠=∠，即A ，F ，1C 三点共线．因点D ，E 分别是棱AC 、1CC 的中点，故AF DE ∥，又DE ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，所以AF ∥平面BDE ．【小问2详解】过点B 作BH AC ⊥，垂足为点H ，连接FH ，FB ．在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，又BH ⊂平面，所以1AA BH ⊥，又BH AC ⊥，1AA AC A = ，所以BH ⊥平面11AA C C ．故FH 是斜线FB 在平面11AA C C 上的射影，所以BFH ∠就是直线BF 与平面11AA C C 所成的角．记点F到平面ABC的距离为h，11112332232F ABD ABDV S h-==⨯⨯⨯⨯==△，得32h=．因1322AA CE h+==,故得F为1A E的中点，即32DF h==．在Rt ABC中，因2,AB BC==,则60BAC∠= ,于是，sin60BH AB=︒=，cos601AH AB=︒=，1HD AD AH=-=．求得2HF==，故239tan13BHBFHHF∠==．所以直线BF与平面11AA C C．18.已知函数()()()Rlnxf x ax a=∈+．（1）当0a=时，求函数()f x的单调区间；（2）当1a=时，证明：()112f x x<+；（3）若()f x既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．【答案】（1）单调递增区间是()e,+∞，函数()f x的单调递减区间是()0,1，()1,e．（2）证明见解析（3）01a<<【解析】【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数后由导数的正负可求出函数单调区间；（2）不等式转化为()11ln12x xx<++，构造函数()()2ln12xh x xx=+-+，利用导数求出其单调区间，利用其单调性可证得结论；（3）设t x a=+，令()lnt ag tt-=，则转化为()g t既有极大值又有极小值，则()2lnlnt attg tt-'-=，令()ln ln1t a as t t tt t-=-=+-，然后对函数求导后，分0a≤，1a=，1a>，01a<<四种情况讨论即可得答案.【小问1详解】当0a=时，()lnxf xx=，函数()f x的定义域为()()0,11,+∞，()2ln 1ln x f x x-'=，令()0f x ¢>，解得e x >；令()0f x '<，解得01x <<或1e x <<，故函数()f x 的单调递增区间是()e,+∞，函数()f x 的单调递减区间是()0,1，()1,e ．【小问2详解】当1a =时，()()ln 1xf x x =+，函数()f x 的定义域为()()1,00,-⋃+∞，不等式()112f x x <+就是不等式()11ln 12x x x <++（*），当10x -<<时，（*）式等价于()2ln 12xx x +<+；当0x >时，（*）式等价于()2ln 12xx x +>+．设()()2ln 12x h x x x =+-+，()()()()2221401212x h x x x x x =-=++'>++，故()h x 在()1,-+∞上单调递增，故当10x -<<时，()()00h x h <=，即()2ln 12xx x +<+，当0x >时，()()00h x h >=，即()2ln 12xx x +>+．所以原式成立．【小问3详解】设t x a =+，令()ln t ag t t-=，()f x 既有极大值又有极小值等价于()g t 既有极大值又有极小值．()2ln ln t at t g t t-'-=，记()ln ln 1t a as t t t t t-=-=+-．()221a t a s t t t t='-=-，①当0a ≤时，有()0s t ¢³，则()s t 在()()0,11,+∞ 上单调递增，故函数()s t 在()()0,11,+∞ 上至多有1个零点，不合题意；②当1a =时，()s t 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，且()10s =，故()s t 在()()0,11,+∞ 上没有零点，不合题意；③当1a >时，()s t 在()()0,11,a 上单调递减，在[),a +∞上单调递增，又()110s a =->，()ln 0s a a =>，故函数()s t 在()()0,11,+∞ 上没有零点，不合题意；④当01a <<时，()s t 在()0,a 上单调递减，在[)(),11,a +∞ 上单调递增，且有()e lne 10e ea as =+-=>，()110s a =-<，()ln 0s a a =<，2221122122e e 1112a as a a a a a a--⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-≥+-+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦（这里用不等式：当0x ≥时，2e 12xx x ≥++）244221022a aa a a ⎛⎫=++--=> ⎪⎝⎭．下面证明当0x ≥时，2e 12xx x ≥++，令2()e 1(0)2xx x x x ϕ=---≥，则()e 1x x x ϕ'=--，令()()e 1x t x x x ϕ'==--，则()e 10(0)x t x x '=-≥≥，所以()()e 1x t x x x ϕ'==--在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)0''≥=x ϕϕ，所以()ϕx 在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)x ϕϕ≥，所以当0x ≥时，2e 12xx x ≥++，所以()()e 10s s ⋅<，()21e 0a s a s -⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，又因为函数()s t 的图象分别在区间()0,1，()1,+∞上连续，所以函数()s t 在21e ,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,e 内各有1个零点，分别记为1t 和2t ，故1t 、2t 分别为函数()g t 的极大值点、极小值点．即()f x 既有极大值又有极小值．综上，当01a <<时，()f x 既有极大值又有极小值．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，考查利用导数解决函数极值问题，第（3）问解题的关键是换元后将问题转化为()ln t ag t t-=既有极大值又有极小值，然后两次求导后分情况讨论，考查计算能力和数学转化的思想及分类讨论思想，属于难题.19.在做抛掷质地均匀硬币的试验过程中，将正面朝上记作1，反面朝上记作0，记录结果得到一串由0和1构成的序列.在序列中规定：仅有数字0相连的排列称为由0构成的游程；仅有数字1相连的排列称为由1构成的游程.如在序列000111110100001101110010011000中，共有13个游程，其中由0构成的游程有7个，分别是000，0，0000，0，00，00，000；由1构成的游程有6个，分别是11111，1，11，111，1，11.（1）由2个0和3个1随机构成的序列中，求游程个数的分布列与期望；（2）由m 个0和n 个1随机构成的序列，记作123m n a a a a +⋅⋅⋅.记事件{}111A a ==，{}10,1k k k A a a -===，2k =，3，…，m n +.（i ）求()1P A ，()2P A ；（ii ）求游程个数的期望.【答案】（1）分布列见解析，175（2）（i ）()1n P A m n =+，()()()21mn P A m n m n =++-；（ii ）21mn m n++．【解析】【分析】（1）由已知{}2,3,4,5X ∈，分别求出()2P X =，()3P X =，()4P X =，()5P X =，即可列出分布列，求出期望；（2）（i ）由古典概型可得()1n P A m n=+，()()()21mn P A m n m n =++-；（ii ）由（i ）可知()()()12C C 1n m n k n m n mn P A m n m n -+-+==++-，2k =，3，…，m n +，设设1游程个数为Y ，设0游程个数为Z ，则由期望的性质可得()()1m n k k E Y P A +==∑，进而可得()n mn E Y m n +=+，类似可得()m mnE Z m n+=+，则得两类游程数目的数学期望为()21mnE Y Z m n+=++.【小问1详解】设X 表示游程的个数，则{}2,3,4,5X ∈，由2个0和3个1在排列时，共有25C 10=种排列，当2X =时，有2种排列：11100、00111，所以()212105P X ===；当3X =时，有3种排列：10011、11001、01110，所以()3310P X ==；当4X =时，有4种排列：10110、11010、01011、01101，所以()424105P X ===；当5X =时，只有一种排列：10101，所以()215105P X ===.故X 的分布列为：X 2345P1531025110期望为()13211723455105105E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】（i ）()111C C n m n n m n n P A m n -+-+==+，()()()122C C 1n m n n m n mn P A m n m n -+-+==++-.（ii ）可知当随机事件k A 发生时，k a 就是一个1游程的开始，此时令1,0,k k A k A I A ⎧=⎨⎩发生不发生，设1游程个数为Y ，则1km n A k Y I+==∑，由（i ）可知()111C C n m n n m n n P A m n-+-+==+，()()()12C C 1n m n k n m n mnP A m n m n -+-+==++-，2k =，3，…，m n +，由期望的性质可知，()()()111kk m nm nm nA A k k k k E Y E I E I P A +++===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑()()21m nk n mn n mn m n m n m n m n+=+=+=+++-+∑，设0游程个数为Z ，类似可得()m mnE Z m n+=+，因此两类游程数目的数学期望为()221m n mn mnE Y Z m n m n+++==+++.【点睛】关键点点睛：解答本题关键是（2）（ii ）先令1,0,kk A kA I A ⎧=⎨⎩发生不发生，则1游程个数为1k m nA k Y I +==∑，再利用期望的性质，()()()111k k m nm n m n A A k k k k E Y E I E I P A +++===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑，进而求得游程个数的期望.。
浙江省杭州市2022-2023学年高二下学期期末数学试题(解析版)
2022学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！3．考试结束，只需上交答题卡．选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的．1. 直线3210x y +−=的一个方向向量是（ ） A. ()2,3− B. ()2,3C. ()3,2−D. ()3,2【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果.【详解】因为直线3210x y +−=的斜率为32−，所以直线的一个方向向量为31,2−，又因为()2,3−与31,2−共线，所以3210x y +−=的一个方向向量可以是()2,3−， 故选：A.2. 若{},,a b c是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（ ）A. ,,b c b b c +−−B. a ，a b + ，a b −C. a b + ，a b − ，cD. ,,a b a b c c +++【答案】C 【解析】【分析】根据空间基底的概念逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对选项A ：()b c b c −−=−+，因此向量,,b c b b c +−−共面，故不能构成基底，错误；对选项B ：()()12a a b a b =++−，因此向量a ，a b + ，a b −共面，故不能构成基底，错误； 对选项C ：假设()()c a b a b λµ=++− ，即()()c a b λµλµ=++− ，这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，正确；对于选项D ：()a b c a b c ++=++，因此向量,,a b a b c c +++共面，故不能构成基底，错误； 故选：C3. “巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制．“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．而早在16世纪，明代朱载最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．若第一个单音的频率为f ，则第四个单音的频率为（ ） A. 5f B. 142fC. 4fD. 132f【答案】B 【解析】【分析】先将所要解决的问题转化为：求首项为f ，公比为的等比数列的第4项，再利用等比数列的通项公式求得结果即可.【详解】由题设可得：依次得到的十三个单音构成首项为f ，公比为的等比数列{}n a ， 第四个单音的频率为31442a f f =×=. 故选：B.4. “点(),a b 在圆221x y +=外”是“直线20ax by ++=与圆221x y +=相交”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】求出给定的两个命题的充要条件，再分析即可判断得解. 【详解】命题p ：点(),a b 在圆221x y +=外等价于221a b +>，命题q ：直线20ax by ++=与圆221x y +=2214a b <⇔+>，从而有,p q q p ⇒ ，所以p 是q 必要不充分条件. 故选：B5. 第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州开幕，因工作需要，还需招募少量志愿者．甲、乙等4人报名参加了“莲花”、“泳镜”、“玉琮”三个场馆的各一个项目的志愿者工作，每个项目仅需1名志愿者，每人至多参加一个项目．若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种【答案】C 【解析】【分析】先从除甲外的3人中选1人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目，利用排列、组合知识计算求解．【详解】先从除甲外的3人中选1人参加“莲花”场馆的项目，再安排另外两个项目， 若甲不能参加“莲花”场馆的项目，则不同的选择方案共有122332C C A 18=种． 故选：C.6. A ，B 两个学科兴趣小组在实验室研究某粒子的运动轨迹，共同记录到粒子的一组坐标信息(),i i x y ．A小组根据表中数据，直接对(),x y 作线性回归分析，得到：回归方程ˆ0.46990.235yx +，决定系数20.8732R =．B 小组先将数据按照变换2u x =，2v y =进行整理，再对u ，v 作线性回归分析，得到：回归方程ˆ0.50060.4922v u =−+，决定系数20.9375R =．根据统计学知识，下列方程中，最有可能是该粒子运动轨迹方程的是（ ）A. 0.46990.2350x y −+=B. 0.50060.49220x y +−=C. 220.500610.49220.4922x y +=D. 220.500610.49220.4922x y +=【答案】C 【解析】【分析】由统计学知识可知，2R 越大，拟合效果越好，由此可得回归方程，整理得结论． 【详解】由统计学知识可知，2R 越大，拟合效果越好，又A 小组的决定系数20.8732R =，B 小组的决定系数20.9375R =，B ∴小组的拟合效果好，则回归方程为ˆ0.50060.4922vu =−+， 的又2222,,0.50060.4922u x v y y x ==∴=−+，即220.500610.49220.4922x y +=．故选：C ．7. 设A ，B ，C ，D 是半径为1的球O 的球面上的四个点．设0OA OB OC ++=，则AD BD CD ++不可能等于（ ）A. 3B.72C. 4D. 【答案】A 【解析】【分析】根据条件，得到3AD BD CD ++=，利用AD BD CD AD BD CD AD BD CD →→→→→→++≤++=++判断等号成立条件，确定AD BD CD ++不可能取的值.【详解】因为()()()3()3AD BD CD OD OA OD OB OD OC OD OA OB OC OD →→→→→→→→→→→→→→++=−+−+−=−++=，且1OD =，所以3AD BD CD ++=， 而AD BD CD AD BD CD AD BD CD →→→→→→++≤+=++，当且仅当,,AD BD CD →→→同向时，等号成立，而A ，B ，C ，D 在球面上，不可能共线，即,,AD BD CD →→→不同向，所以3AD BD CD AD BD CD ++>++=且,,AD BD CD 均小于直径长2，即6AD BD CD ++<， 综上，36AD BD CD <++<. 根据选项可知A 不符合. 故选：A8. 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆上不与顶点重合的一点，记I 为12PF F △的内心．直线PI 交x 轴于A 点，14OA c =，且212116PF PF a ⋅= ，则椭圆C 的离心率为（ ）A.12B.C.34D.【答案】B 【解析】【分析】先利用角平分线性质得到112253PF F A PF AF ==，设15PF t =，则23PF t =，根据椭圆定义得到4at =，然后利用平面向量的数量积和余弦定理即可求解. 【详解】不妨设点P 位于第一象限，如图所示，因为I 为12PF F △的内心，所以PA 为12F PF ∠的角平分线，所以1122PF F APF AF =，因为14OA c = ，所以112253PF F A PF AF ==， 设15PF t =，则23PF t =，由椭圆的定义可知，1282PF PF t a +==， 可得4at =，所以154a PF =，234a PF =，又因为11221122253cos c 41o 1s 46F P P a F PF PF PF F a F a F P ∠=×⋅∠=⋅=⋅ ，所以121cos 15F PF ∠=，在12PF F △中，由余弦定理可得， 222212121221217418cos 152158a c PF PF F F PF F a PF PF −+−∠===， 所以222a c =，则e =， 故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 若函数()f x 导函数的部分图像如图所示，则（ ）A. 1x 是()f x 的一个极大值点B. 2x 是()f x 的一个极小值点C. 3x 是()f x 的一个极大值点D. 4x 是()f x 的一个极小值点 【答案】AB 【解析】【分析】根据导函数值正负，与原函数单调性之间的关系，进行逐一判断.【详解】对于A 选项，由图可知，在1x 左右两侧，函数()f x 左增右减，1x 是()f x 的一个极大值点，A 正确.对于B 选项，由图可知，在2x 左右两侧，函数()f x 左减右增，2x 是()f x 的一个极小值点，B 正确. 对于C 选项，由图可知，在3x 左右两侧，函数()f x 单调递增，3x 不是()f x 的一个极值点，C 错误. 对于D 选项，由图可知，在4x 左右两侧，函数()f x 左增右减，4x 是()f x 的一个极大值点，D 错误. 故选：AB.10. 抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次．设事件:A “两次向上的点数之和大于7”，事件:B “两次向上的点数之积大于20”，事件:C “两次向上的点数之和小于10”，则（ ）A. 事件B 与事件C 互斥B. ()572P AB =C. ()25P B A = D. 事件A 与事件C 相互独立【答案】AC 【解析】【分析】列举出事件A 、B 、C 所包含的基本事件，利用互斥事件的定义可判断A 选项；利用古典概型的概率公式可判断B 选项；利用条件概率公式可判断C 选项；利用独立事件的定义可判断D 选项.【详解】抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的数字是1、2、3、4、5、6），抛掷两次， 设第一次、第二次抛掷骰子正面朝上的点数分别为m 、n ， 以(),m n 为一个基本事件，则基本事件的总数为2636=，事件A 包含的基本事件有：()2,6、()3,5、()3,6、()4,4、()4,5、()4,6、()5,3、()5,4、()5,5、()5,6、()6,2、()6,3、()6,4、()6,5、()6,6，共15种，事件B 包含的基本事件有：()4,6、()5,5、()5,6、()6,4、()6,5、()6,6，共6种， 事件C 包含的基本事件有：()1,1、()1,2、()1,3、()1,4、()1,5、()1,6、()2,1、()2,2、()2,3、()2,4、()2,5、()2,6、()3,1、()3,2、()3,3、()3,4、()3,5、 ()3,6、()4,1、()4,2、()4,3、()4,4、()4,5、()5,1、()5,2、()5,3、()5,4、()6,1、()6,2、()6,3，共30种，对于A 选项，事件B 与事件C 互斥，A 对；对于B 选项，事件AB 包含的基本事件有：()4,6、()5,5、()5,6、()6,4、()6,5、()6,6，共6种，所以，()61366P AB ==，B 错；对于C 选项，()()()25n AB P B An A ==，C 对； 对于D 选项，()1553612P A ==，()305366P C ==，事件AC 包含的基本事件有：()2,6、()3,5、()3,6、()4,4、()4,5、()5,3、()5,4、()6,2、()6,3，共9种，所以，()()()91364P AC P A P C ==≠⋅，D 错. 故选：AC.11. 设双曲线222:1(0)4x y C a a a a −=>−+，直线l 与双曲线C 的右支交于点A ，B ，则下列说法中正确的是（ ）A. 双曲线C 离心率的最小值为4B. 离心率最小时双曲线C 0y ±=C. 若直线l 同时与两条渐近线交于点C ，D ，则AC BD =D. 若1a =，点A 处的切线与两条渐近线交于点E ，F ，则EOF S △为定值 【答案】BCD 【解析】【分析】由离心率公式，结合基本不等式可判断A ；根据2a =可得双曲线方程，然后可得渐近线方程，可判断B ；将问题转化为AB 的中点与CD 的中点是否重合的问题，设直线方程，联立渐近线方程求C ，D 坐标，再由点差法求AB 的中点坐标，然后可判断C ；结合图形可知EOFOEP OFQ EFQP S S S S =−− 梯形，利用导数求切线方程，联立渐近线方程求E ，F 的横坐标，代入化简可判断D.【详解】由题知，22444a a a e a a a+−+==+≥，当且仅当2a =时等号成立，所以2e 的最小值为4，e的最小值为2，故A 错误；当2a =时，双曲线方程为22126x y −=，此时渐近线方程为y x =0y ±=，B 正确； 若直线l 的斜率不存在，由对称性可知AC BD =；当斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的中点为00(,)M x y ，CD 的中点为33(,)N x y则22112222221414x y a a a x y a a a −= −+ −=−+，由点差法可得2004y a a k x a −+⋅=，所以2004kx m a a k x a +−+⋅=， 所以0224amkx a a ak=−+−，又双曲线渐近线方程为y =，联立y kx m =+分别求解可得CD x x ，所以3022124amk x x a a ak =+==−+−， 所以M ，N 重合，则AC MC MA MD MB BD =−=−=，或AC MC MA MD MB BD =+=+=，故C 正确；若1a =，则双曲线方程为2214y x −=，渐近线方程为2y x =±，不妨设点A在第一象限，双曲线在第一象限的方程为y ，y ′=1)y x x −−，设点E ，F 坐标分别为(,),(,)E E F F x y x y ，分别作,EP FQ 垂直于y 轴，垂足分别为P ，Q ，E 在第一象限，F 在第四象限，则EOFOEP OFQ EFQP S S S S =−− 梯形 1111()()()2222E F E F E E F F F E E F x x y y x y x y x y x y =+−−+=− 又2,2E E F F y x y x ==−，所以1(22)22EOF F E E F E F S x x x x x x =+= ，联立渐近线方程和切线方程可解得112)2)E EF F x x x x x x −−−−− ，整理得(2(2E F x x −=−=，两式相乘得22112211(4)411E F x x x x x x −−=−−−，所以1E F x x =， 所以22EOFE F S x x == ，D 正确 故选：BCD【点睛】本题考察圆锥曲线的综合运用，C 选项需要灵活处理，将问题转化为AB 的中点与CD 的中点是否重合的问题，利用点差法和直接计算可解；D 选项需结合图象将面积灵活转化，在求解E F x x 时，要结合式子的结构特征灵活处理. 12. 已知曲线()exx f x =，()ln xg x x =，及直线y a =，下列说法中正确的是（ ） A. 曲线()f x 在0x =处的切线与曲线()g x 在1x =处的切线平行 B. 若直线y a =与曲线()f x 仅有一个公共点，则1ea = C. 曲线()f x 与()g x 有且仅有一个公共点D. 若直线y a =与曲线()f x 交于点()11,A x y ，()22,B x y ，与曲线()g x 交于点()22,B x y ，()33,C x y ，则2132x x x =【答案】ACD 【解析】【分析】对与A 选项，分别求出()f x 在0x =处的切线与()g x 在1x =处的切线即可判断； 对于B 选项，求出()f x ′，即可判断出曲线()f x 的单调性，画出草图则可判断； 对于C 选项，画出曲线()f x 与()g x 的草图，即可判断；对于D 选项，借助图像可知直线y a =过曲线()f x 与()g x 的交点B ,由此即可得出12312223ln ln x x x x x x e e x x ===，则可得12ln x x =，23e x x =，2222ln e ⋅=x x x ，则可得出2132x x x =..【详解】对于A 选项：()0=0f ，()()2(e e 1e )e ′⋅−′⋅==′−x x x x x x xf x ，()01f ′=， 所以曲线()f x 在0x =处的切线为：y x =； 同理()10g =，()21ln xg x x−′=，()11g ′=，曲线()g x 在1x =处的切线为1y x =−， 即曲线()f x 在0x =处的切线与曲线()g x 在1x =处的切线平行，正确； 对于B 选项：()1ex xf x −′=，令()0f x ′=，解得1x =， 所以曲线()f x 在(,1)−∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，()11=ef ， 又当x →−∞时()f x →−∞，当x →+∞时()0f x →， 若直线y a =与曲线()f x 仅有一个公共点，则1ea =或0a ≤，错误； 对于C 选项：曲线()g x 的定义域为：(0,)+∞，()21ln xg x x−′=， 令()0g x ′=，解得e x =，所以()g x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，且()110,(e)e==g g ， 所以曲线()f x 与曲线()g x 的大致图像为：易知当(0,1)x ∈时，()0f x >，()0g x <，即曲线()f x 与曲线()g x 在区间(0,1)上无交点；当[1,e]x ∈时，()f x 单调递减，()g x 单调递增，且1(1)(1)0e=>=f g ， 1e 1(e)e ()e −−=<=f g e ，即曲线()f x 与曲线()g x 在区间(1,e)上有一个交点；当(e,)x ∈+∞时，记()ln h x x x =−，1()1h x x′=−，当e x >时()0h x ′>恒成立， 即()h x 在(e,)+∞上单调递增，即()(e)e 10>=−>h x h ，即ln 1>>xx ,又曲线()f x 在(1,)+∞上单调递减，所以()(ln )<f x f x ，即ln ln ln e e <=x x x x x x， 即()()f x g x <恒成立，即曲线()f x 与曲线()g x 在区间(e,)+∞上没有交点； 所以曲线()f x 与()g x 有且仅有一个公共点，正确;对于D 选项：当直线y a =经过曲线()f x 与()g x 的交点时，恰好有3个公共点，且12301e x x x <<<<<，12312223ln ln x x x xx x ee x x ===, 由122()()(ln )==f x f x f x ，所以12ln x x =，由223()()(e )==xgx g x g ，所以23e xx =， 即221322ln e ⋅=⋅=xx x x x ，正确. 故选：ACD【点睛】方法点睛：判断两个函数的交点个数常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，根的个数即为交点个数；（2）数形结合法：在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，直接得出答案.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. ()8()x y x y −+的展开式中36x y 的系数为________．【答案】28− 【解析】【分析】利用8()x y +的展开式通项公式求3526,x y x y 项，然后可得()8()x y x y −+的展开式中36x y 项，可得答案.【详解】8()x y +的展开式通项公式818C r rr r T xy −+=，令5,6r =得5356266878C ,C T x y T x y ==， 所以()8()x y x y −+的展开式中36x y 项为()5356263688C C 28x y y x y x x y ⋅−+⋅=−，所以36x y 的系数为28−. 故答案为：28−14. 曲率是衡量曲线弯曲程度的重要指标．定义：若()f x ′是()f x 的导函数，()f x ′′是()f x ′的导函数，则曲线()y f x =在点()(),x f x 处的曲率()()()3221f x K f x =+ ′′′．已知()()cos 1ln f x x x =−−，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的曲率为________．【答案】0 【解析】【分析】求出原函数的导函数()f x ′与导函数的导函数()f x ′′，然后代入题中公式即可求出答案.【详解】因为()()cos 1ln f x x x =−−， 所以()()1sin 1f x x x ′=−−−，()()21cos 1f x x x′′=−−， 则()11sin011f ′=−−=−，()11cos001f ′′=−=， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的曲率为()()()()()()3322221001111f Kf ′′===+−′+.故答案为：0.15. 已知数列{}n a 满足28a =，()()1*122,nn n a n a n n −− =+≥∈ N ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且()()222212221log log n n n n n b a a a a +−+=⋅−⋅，则满足50n S −>的正整数n 的最小值为________．【答案】63 【解析】【分析】根据对数运算和递推公式可得数列{}n b 的通项公式，然后对数运算结合累乘法可得n S ，解不等式可得答案.【详解】因为()()1*122,nn n a n a n n −− =+≥∈ N ，280a =>， 所以()110,2n nn n a a n a −−>=+， 所以()()222212221log log n n n n n b a a a a +−+=⋅−⋅ 22212222222212121log log log n n n n n n n n a a a a a a a a +−+++−⋅=−⋅()()()()2221122log 222log 22n nn n +−−++−+()()22log 24log 22n n +−+所以()()222222224log 6log 4log 8log 6log 24log 22log 4n n S n n +=−+−+⋅⋅⋅++−+=， 因为50n S −>，所以2224log 5log 324n +>=，即2322n +>，解得62n >， 因为*n ∈N ，所以正整数n 的最小值为63. 故答案为：63 16. 设函数()2π2cos 2x f x x +=+，则使得()()12f x f x +>成立的x 的取值范围是________．【答案】5,13−【解析】【分析】利用函数的平移变换及偶函数的性质的应用，再利用导函数的正负与函数单调性的关系及绝对值不等式的解法即可求解. 【详解】由()2π2cos 2x f x x + =+ 向右平移2个单位，得()ππ2cos π2cos 22x xg x x x =+−=−为偶函数，所以()g x 关于y 轴对称， 所以()f x 关于2x =−对称， 当0x ≥时，()n ln ππ2si 222x g x x ′+=， 当[]0,2x ∈时，因为πsin 02x≥，所以()0g x ′>， 当()2,x ∈+∞时，()20ln π222g x ′>>−， 所以()g x 在上单调[)0,∞+递增，在(),0∞−上单调递减， 所以()f x 在(),2−∞−上单调递减，在()2,−+∞上单调递增，由()()12f x f x +>得1222x x ++>+，即()()22322x x +>+，解得531x <−<，所以使得()()12f x f x +>成立x 的取值范围是5,13 −.的故答案为：5,13 −.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用函数的平移变换及偶函数的性质应用，再利用导数法求出函数的单调性及绝对值的解法即可.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 如图，在四面体ABCD 中，AE AB λ= ，AH AD λ= ，()1CF CB λ=−，()1CG CD λ=− ，()0,1λ∈．（1）求证：E 、F 、G 、H 四点共面． （2）若13λ=，设M 是EG 和FH 的交点，O 是空间任意一点，用OA 、OB 、OC 、OD 表示OM ． 【答案】（1）证明见解析（2）42129999OM OA OB OC OD =+++【解析】【分析】（1）证明出//EH FG，即可证得结论成立；（2）由（1）可得出12EH FG = ，可得出//EH FG ，则12EM EH MG FG ==，由此可得出12EM MG = ，再结合空间向量的线性运算可得出OM 关于OA 、OB、OC 、OD 的表达式.【小问1详解】证明：因为EH AH AE AD AB BD λλλ=−=−=，()()()111FG CG CF CD CB BD λλλ=−=−−−=− ，所以1EH FG λλ=−，则//EH FG ，因此E 、F 、G 、H 四点共面． 【小问2详解】解：当13λ=时，13AE AB = ，即()13OE OAOB OA −=− ，可得2133OE OA OB =+ ， 因为23CG CD =，即()23OG OC OD OC −=− ，可得1233OG OC OD =+ ，由（1）知，13EH BD = ，23FG BD =，因此12EH FG = ，又因为EH 、FG 不在同一条直线上，所以，//EH FG ，则12EM EH MG FG ==，则12EM MG = ，即()12OM OE OG OM −=− ， 所以，2122111233333333OM OE OG OA OB OC OD=+=+++42129999OA OB OC OD =+++. 18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，()*221N n n a a n =+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式.（2）若{}n a 中的部分项n b a 组成的数列{}1n b a +是以11a +为首项，2为公比的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）()*21Nn a n n =−∈（2）21nnT =− 【解析】【分析】（1）利用等差数列的前n 项和及通项公式基本量计算即可；（2）利用等比数列概念及通项公式求出{}n b 的通项公式，再利用等比数列求和公式求解即可. 【小问1详解】设差数列{}n a 公差为d ，则由424S S =，()*221Nn n a a n =+∈可得()()11114684212211a d a d a n d a n d +=+ +−=+−+ ，解得112a d = = ，因此()*21N n a n n =−∈.【小问2详解】由21na n =−，得21nb n a b =−， 又由{}1n b a +是以11a +为首项，2为公比的等比数列，得12n nb a +=，因此22n n b =， 所以12n n b −=，所以122112nn nT −==−−. 19. 如图，在三棱柱111ABC A B C 中，所有棱长均为2，160A AC ∠=，1A B =．的（1）证明：平面11A ACC ⊥平面ABC ．（2）求平面11BA B 与平面111A B C 的夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】【分析】（1）取AC 中点M ，证明1A M BM ⊥，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理作答. （2）利用（1）中信息作出平面11BA B 与平面ABC 所成二面角的平面角，再借助直角三角形求解作答. 【小问1详解】三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，取AC 中点M ，连接1A M ，BM ，则BM AC ⊥，由1AA AC =，160A AC ∠=，得1A AC △为等边三角形，则1A M AC ⊥，显然1A MBM ==1A B =，则22211A M BM A B +=，有1A M BM ⊥， 又AC BM M = ，,AC BM ⊂平面ABC ，于是1A M ⊥平面ABC ，而1A M ⊂平面11A ACC ， 所以平面11A ACC ⊥平面ABC ．【小问2详解】在三棱柱111ABC A B C -中，平面111//A B C 平面ABC ，因此平面11BA B 与平面111A B C 的夹角的正弦值与平面11BA B 与平面ABC 的夹角的正弦值相等， 由（1）知1A M ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，则1A M AB ⊥，过M 作MN AB ⊥于点N ，连接1A N ，有1A M MN ⊥，11,,MN A M M MN A M =⊂ 平面1A MN ，于是AB ⊥平面1A MN ，而1A N ⊂平面1A MN ，则1A N AB ⊥，因此1A NM ∠为平面11BA B 与平面ABC 所成二面角的平面角， 显然sin 60MN AM =⋅ ，而1A M =，则1A N ===，从而111sin A M A NM A N∠=所以平面11BA B 与平面111A B C． 20. 第19届亚运会将于2023年9月23日在杭州拉开帷幕，为了更好地迎接亚运会，杭州市政府大举加强了城市交通基础设施的建设．至2023年地铁运行的里程数达到516公里，排位全国第六．同时，一张总长464公里、“四纵五横”为骨架、通达“东西南北中”十城区的快速路网也顺利完工准备接待世界各地的来宾．现杭州公共出行的主流方式为地铁、公交、打车、共享单车这四种，基本可以覆盖大众的出行需求． （1）一个兴趣小组发现，来自不同的城市的游客选择出行的习惯会有很大差异，为了验证这一猜想该小组进行了研究．请完成下列22×列联表，并根据小概率值0.010α=的独立性检验，分析城市规模是否与出行偏好地铁有关？（精确到0.001） 单位：人（2）国际友人David 来杭游玩，每日的行程分成()*M M ∈N段，为了更好的体验文化，相邻两段的出行方式不能相同，且选择地铁、公交、打车、共享单车的概率是等可能的．已知他每日从酒店出行的方式一定是从地铁开始，记第n 段行程上David 坐地铁的概率为n p ，易知11p =，20p = ①试证明14n p−为等比数列；②设第n 次David 选择共享单车的概率为n q ，比较5p 与5q 的大小．附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，n a b c d =+++．α 0.050 0.010 0.001x α 3.841 6.635 10.828【答案】（1）表格见解析，有关系 （2）①证明见解析；②55p q >． 【解析】【分析】（1）根据题意即可完成列联表，再根据公式求出2χ，再对照临界值表即可得出结论； （2）①根据全概率公式结合等比数列的定义即可得出结论； ②先求出n p 的表达式，进而可求出55,p q ，即可得解. 【小问1详解】 列联表如下：零假设为0H ：城市规模与出行偏好地铁无关，()22200804020609.524 6.63510010014060χ×−×≈>×××，根据小概率值0.010α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为城市规模与出行偏好地铁有关，此推断犯错误的概率不大于0.010； 【小问2详解】①证明：第n 段行程上David 坐地铁的概率为n p ，则当2n ≥时，第1n −段行程上David 坐地铁的概率为1n p −，不坐地铁的概率为11n p −−，则()11111101333n n n n p p p p −−−=⋅+−⋅=−+， 从而1111434n n p p −−=−−， 又11344p −=，所以14n p−是首项为34，公比为13−的等比数列；②由①可知1311434n n p −=−+， 则4531114344p =−+> ，又()5511134q p =−<，故55p q >． 21. 设抛物线2:2(0)C y py p =>，过焦点F 的直线与抛物线C 交于点()11,A x y ，()22,B x y .当直线AB 垂直于x 轴时，2AB =.（1）求抛物线C 的标准方程.（2）已知点()1,0P ，直线AP ，BP 分别与抛物线C 交于点C ，D . ①求证：直线CD 过定点；②求PAB 与PCD 面积之和的最小值. 【答案】（1）2:2C y x = （2）①证明见解析；②52. 【解析】【分析】（1）利用弦长求解p ，即可求解抛物线方程；（2）（i ）设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点； （ii ）利用面积分割法求出两个三角形面积表达式，然后利用二次函数求最值即可. 【小问1详解】由题意，当直线AB 垂直于x 轴时，12p x =，代入抛物线方程得1y p =±，则2AB p =，所以22p =，即1p =，所以抛物线2:2C y x =.【小问2详解】 （i ）设()33,C x y ，()44,D x y ，直线1:2AB x my =+， 与抛物线2:2C y x =联立，得2210y my −−=，因此122y y m +=，121y y =−. 设直线:1AC x ny =+，与抛物线2:2C y x =联立，得2220y ny −−=，因此132y y n +=，132y y =−，则312y y −=.同理可得422y y −=. 所以34341222343434121222122222CD y y y y y y k y y x x y y y y m y y −−=====−=−−−+++−. 因此直线()33:2CD xm y y x =−+，由对称性知，定点在x 轴上， 令0y =得，223333211112124222222y m x my x my m y y y y −−=−+=−+=−+=+ ()1221222211111212122222y y y y y y y y y y + +=+=++=+⋅=， 所以直线CD 过定点()2,0Q .（ii ）因为12121124PAB S PF y y y y =⋅−=− ， 12341212121211221122PCD y y S PQ y y y y y y y y y y −−−=⋅−=−=−==− ，所以125542PAB PCDS S y y +=−=≥ ， 当且仅当0m =时取到最小值52. 22. 设函数()2(1)e xf x x ax =−−，若曲线()f x 在0x =处的切线方程为2y x b =−+． （1）求实数,a b 的值．（2）证明：函数()f x 有两个零点．（3）记()f x ′是函数()f x 的导数，1x ，2x 为()f x 的两个零点，证明：122x x f a + >−′． 【答案】（1）11a b = =（2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义代入()02f ′=−即可得,a b 的值； （2）根据导函数判断出函数单调性，由零点存在性定理即可证明结论； （3）利用（1）（2）中的结论，结合()f x 单调性并构造函数并求其单调性，即可实现不等式证明.【小问1详解】由题意可得()()21e x f x x a ′=−−， 由切线方程可知其斜率为2−，所以()()02,0,f f b =−=′，解得11a b = = ． 【小问2详解】由()0f x =可得2(1)e 0x x x −−=，所以2(1)0e xx x −−=； 函数()f x 有两个零点即函数()2(1)ex x g x x =−−有两个零点． ()()112e x g x x =−+′， 当1x <时，()0g x ′<，()g x 单调递减；当1x >时，()0g x ′>，()g x 单调递增．又()010g =>，()110e g =−<，()22210e g =−>， 所以()()010g g <，()()120g g <，由零点存在定理可得()10,1x ∃∈使得()10g x =，()21,2x ∃∈使得()20g x =，所以函数()f x 有两个零点．【小问3详解】由（1）（2）知2()(1)e x f x x x =−−，可得()()21e 1x f x x ′=−−且12012x x <<<<． 要证明122x x f a + >− ′，即证明1221221e 112x x x x + + −−>−， 即证明122x x +>．令()()()2(01)h xg x g x x =−−<<，则 ()()()()()()()2221e e 11212120e e e x x x x x h x g x g x x x −−−− =+−=−++−′+=< ′′ ，因此()h x 单调递减，则()()10h x h >=．因此()10h x >， 即()()112g x g x >−，又12012x x <<<<，所以()()21g x g x >； 即()()212g x g x >−，又2x ，()121,2x −∈，且()g x ()1,2上单调递增， 因此212x x >−，即122x x +>．命题得证．【点睛】关键点点睛：本题第（3）问证明的关键在于将不等式122x x f a + >− ′转化成求证122x x +>，然后再利用构造函数利用函数单调性证明.在。
2017-2018学年浙江省杭州市萧山区四年级(下)期末数学试卷
2017-2018学年浙江省杭州市萧山区四年级（下）期末数学试卷一、基础知识：填空题1．（3.00分）在四则运算中，减法是的逆运算，是的逆运算．2．（3.00分）一个数由十个8，3个百分之一组成，这个数写作，读作．3．（3.00分）0.42里面有42个组成，或者说有个0.001组成．4．（3.00分）三角形的三个内角分别是15度、70度，第三个角是度；按角来分，它是三角形．5．（3.00分）平行四边形具有性，而三角形具有性．6．（3.00分）778330000千米=亿千米≈亿千米（精确到百分位）7．（3.00分）0.862m2=dm245kg=t．8．（3.00分）由三条5厘米长的线段围成的三角形，按边来分，是三角形，它的每个内角都是度．9．（3.00分）一个两位小数“四舍五入”后得到的近似数是4.3，这个两位小数最大可能是，最小可能是．10．（3.00分）小明期中考试，语文91分、英语87分、科学86分，这三门学科的平均分是分，加上数学成绩，四门学科的平均分刚好达到90分，数学得了分．二、判断题（对的打√，错的打×．）11．（3.00分）任意一个四边形的内角和一定是360度．．（判断对错）12．（3.00分）7.03保留一位小数约是7.0，也可以去掉小数末尾的0，写作7．．（判断对错）13．（3.00分）小东所在小组同学的平均体重是35kg，那么小东的体重不可能超过35kg．．（判断对错）14．（3.00分）比0.4大而比0.8小的数有无数个．．（判断对错）15．（3.00分）一个等腰三角形的两条边长分别为2cm与5cm，它的周长可能是9cm或12cm．．（判断对错）三、选择题16．（3.00分）有一个减法算式，把被减数、减数与差相加得80，被减数是（）A．40 B．80 C．16017．（3.00分）已知一个等腰三角形的其中两个内角分别是80°和50°，那么另一个内角是（）A．80°B．50°C．80°或50°18．（3.00分）小数0.7和0.70的（）A．大小相等意义不相同B．大小相等，且意义相同19．（3.00分）三根1米长的绳子，第一根截去0.407米，第二根截去0.074米，第三根截去0.74米，那么（）绳子剩下的最长．A．第一根B．第二根C．第三根20．（3.00分）用小正方体摆成的立体图形，从前面看到的是，从上面看到的是，从左面看到的是，摆这个图形用了（）个小正方体．A．8 B．9 C．10四、基本技能21．直接写出得数2.9+3.6= 6.07+4.89= 4.1﹣3.5=9﹣5.2=12+3.5=9.3﹣3= 4.8+0÷2.4=1.7+3.3×0=1.26×10=0.08×1000=30÷100=0.2÷10=38+56÷7=119÷（52﹣35）=50+25÷25=1.4+8.6﹣1.4=22．列竖式计算（打☆的题要验算）12.42+5.8=☆45.3﹣21.73=23．递等式计算91﹣39÷13+2375×（96﹣144÷24）692﹣[（430+870）÷13]．24．用简便方法计算4.7+0.68+0.32+5. 3 49.52﹣11.6﹣27.4103×87﹣93×8744×25 3000÷125÷8 99×64．五、作图题25．（1）仔细观察图后连一连．（2）如图立体图形，至少再添上个这样的小正方形，就成了长方体．26．（1）根据对称轴在下面格子图中补全这个轴对称图形；（2）画出这个轴对称图形向右平移9格后的图形．六、解答题（共1小题，满分0分）27．完成统计图并回答问题美术音乐体育科技项目人数年级低年级45205018高年级22164055（1）在图中画出体育组与科技组低、高年级参加的人数．（2）高年级参加组的人数最少，全校参加组的人数最多．七.解决问题28．爸爸体重65.2千克，比小明多40.8千克，小明和爸爸的体重一共是多少千克？29．100千克山茶籽可以榨25千克油，平均每千克山茶籽可以榨油多少克？30．芳芳买了两本书（如图所示），付给售货员20元，应找回多少钱？31．教室地面用面积为9平方分米的方砖500块正好铺满，如果改用边长为5分米的方砖铺，需要多少块？32．李师傅每小时加工零件84个，王师傅每小时加工零件76个，两位师傅各加工6小时，一共加工了多少个零件？33．有一块菜地（如图，单位：米），绕着这块菜地一周围篱笆，篱笆总长多少米？34．小强上星期前4天平均每天做仰卧起坐45个，后3天共做149个，小强上星期平均每天做仰卧起坐多少个？35．在“智慧星”数学抢答赛中，答对一题加10分，答错一题扣6分，丽丽共抢答了12题，最后得分40分，她答错了几题？2017-2018学年浙江省杭州市萧山区四年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、基础知识：填空题1．（3.00分）在四则运算中，减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算．【解答】解：减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算，故答案为：加法，除法，乘法．2．（3.00分）一个数由十个8，3个百分之一组成，这个数写作80.03，读作八十点零三．【解答】解：这个数写作：80.03；80.03读作：八十点零三．故答案为：80.03，八十点零三．3．（3.00分）0.42里面有42个组成，或者说有42个0.001组成．【解答】解：0.42里面有42个组成，或者说有42个0.001组成．故答案为：，42．4．（3.00分）三角形的三个内角分别是15度、70度，第三个角是95度；按角来分，它是钝角三角形．【解答】解：第三个角是180°﹣15°﹣70°=95°，则这个三角形是钝角三角形．故答案为：95、钝角．5．（3.00分）平行四边形具有易变性，而三角形具有稳定性．【解答】解：平行四边形具有易变性，三角形具有稳定性；故答案为：易变，稳定．6．（3.00分）778330000千米=7.7833亿千米≈7.78亿千米（精确到百分位）【解答】解：778330000千米=7.7833亿千米≈7.78亿千米．故答案为：7.7833；7.78．7．（3.00分）0.862m2=86.2dm245kg=0.045t．【解答】解：（1）0.862m2=86.2dm2；（2）45kg=0.045t．故答案为：86.2，0.045．8．（3.00分）由三条5厘米长的线段围成的三角形，按边来分，是等边三角形，它的每个内角都是60度．【解答】解：由三条5厘米长的线段围成的三角形，按边来分，是等边三角形，它的每个内角都是60度．故答案为：等边，60°．9．（3.00分）一个两位小数“四舍五入”后得到的近似数是4.3，这个两位小数最大可能是 4.34，最小可能是 4.25．【解答】解：一个两位小数“四舍五入”后得到的近似数是4.3，这个两位小数最大可能是 4.34，最小可能是 4.25；故答案为：4.34，4.25．10．（3.00分）小明期中考试，语文91分、英语87分、科学86分，这三门学科的平均分是88分，加上数学成绩，四门学科的平均分刚好达到90分，数学得了96分．【解答】解：（1）（91+87+86）÷3=264÷3=88（分）（2）90×4﹣91﹣87﹣86=360﹣（91+87+86）=360﹣264=96（分）答：这三门学科的平均分是88分，加上数学成绩，四门学科的平均分刚好达到90分，数学得了96分．故答案为：88，96．二、判断题（对的打√，错的打×．）11．（3.00分）任意一个四边形的内角和一定是360度．√．（判断对错）【解答】解：（n﹣2）×180°=（4﹣2）×180°=360°所以任意一个四边形的内角和度数是360°，题干说法是正确的．故答案为：√12．（3.00分）7.03保留一位小数约是7.0，也可以去掉小数末尾的0，写作7．×．（判断对错）【解答】解：7.03保留一位小数约是7.0，但不可以去掉小数末尾的0，写作7，故原题说法错误；故答案为：×．13．（3.00分）小东所在小组同学的平均体重是35kg，那么小东的体重不可能超过35kg．×．（判断对错）【解答】解：因为平均数比本小组最大的数据小，比最小的数据大，所以小东的体重有三种情况：不到35千克，多于35千克，或许正好是35千克；所以原题说法错误；故答案为：×．14．（3.00分）比0.4大而比0.8小的数有无数个．√．（判断对错）【解答】解：比0.4大而比0.8小的一位小数有：0.5、0.6、0.7，比0.4大而比0.8小的两位小数有：0.51、0.61、0.71、…，比0.4大而比0.8小的三位小数有：0.511、0.611、0.711、…，…，所以比0.4大而比0.8小的数有无数个，所以题中说法正确．故答案为：√．15．（3.00分）一个等腰三角形的两条边长分别为2cm与5cm，它的周长可能是9cm或12cm．×．（判断对错）【解答】解：5+5+2=12（厘米）答：这个等腰三角形的周长是12厘米．所以原题的说法错误．故答案为：×．三、选择题16．（3.00分）有一个减法算式，把被减数、减数与差相加得80，被减数是（）A．40 B．80 C．160【解答】解：80÷2=40答：被减数是40．故选：A．17．（3.00分）已知一个等腰三角形的其中两个内角分别是80°和50°，那么另一个内角是（）A．80°B．50°C．80°或50°【解答】解：因为50+50+80=180（度）所以另一个内角是50°．故选：B．18．（3.00分）小数0.7和0.70的（）A．大小相等意义不相同B．大小相等，且意义相同【解答】解：小数的末尾添上“0”或去掉“0”小数的大小不变，所以0.7=0.70；0.70的计数单位是0.01，0.7的计数单位是0.1，计数单位不同，意义不同．故选：A．19．（3.00分）三根1米长的绳子，第一根截去0.407米，第二根截去0.074米，第三根截去0.74米，那么（）绳子剩下的最长．A．第一根B．第二根C．第三根【解答】解：因为0.74＞0.407＞0.074，所以第二个根截去的最短，所以第二根绳子剩下的最长．答：第二根绳子剩下的最长．故选：B．20．（3.00分）用小正方体摆成的立体图形，从前面看到的是，从上面看到的是，从左面看到的是，摆这个图形用了（）个小正方体．A．8 B．9 C．10【解答】解：从上面看到的图形可得最下面一层6个小正方体排2行，结合从前面和从左面看到的图形可得在第二层前面一行的中间和右边2个小正方体组成6+1+2=8（个）小正方体．故选：A．四、基本技能21．直接写出得数2.9+3.6= 6.07+4.89= 4.1﹣3.5=9﹣5.2=12+3.5=9.3﹣3= 4.8+0÷2.4=1.7+3.3×0=1.26×10=0.08×1000=30÷100=0.2÷10=38+56÷7=119÷（52﹣35）=50+25÷25=1.4+8.6﹣1.4=【解答】解：2.9+3.6=6.5 6.07+4.89=10.96 4.1﹣3.5=0.69﹣5.2=3.812+3.5=15.59.3﹣3=6.3 4.8+0÷2.4=4.81.7+3.3×0=1.71.26×10=12.60.08×1000=8030÷100=0.30.2÷10=0.0238+56÷7=46119÷（52﹣35）=750+25÷25=511.4+8.6﹣1.4=8.622．列竖式计算（打☆的题要验算）12.42+5.8=☆45.3﹣21.73=【解答】解：12.42+5.8=18.22☆45.3﹣21.73=23.5723．递等式计算91﹣39÷13+2375×（96﹣144÷24）692﹣[（430+870）÷13]．【解答】解：（1）91﹣39÷13+23 =91﹣3+23=88+23=111（2）75×（96﹣144÷24）=75×（96﹣6）=75×90=6750（3）692﹣[（430+870）÷13]=692﹣[1300÷13]=692﹣100=59224．用简便方法计算4.7+0.68+0.32+5. 3 49.52﹣11.6﹣27.4103×87﹣93×8744×25 3000÷125÷8 99×64．【解答】解：（1）4.7+0.68+0.32+5.3=（4.7+5.3）+（0.68+0.32）=10+1=11；（2）49.52﹣11.6﹣27.4=49.52﹣（11.6+27.4）=49.52﹣39=10.52；（3）103×87﹣93×87=（103﹣93）×87=10×87=870；（4）44×25=（40+4）×25=40×25+4×25=1000+100=1100；（5）3000÷125÷8=3000÷（125×8）=3000÷1000=3；（6）99×64=（100﹣1）×64=100×64﹣1×64=6400﹣64=6336．五、作图题25．（1）仔细观察图后连一连．（2）如图立体图形，至少再添上7个这样的小正方形，就成了长方体．【解答】解：（1）根据题干分析画图如下：（2）3×2×2﹣（4+1）=12﹣5=7（个）；答：至少再添上7个这样的小正方形，就成了长方体．故答案为：7．26．（1）根据对称轴在下面格子图中补全这个轴对称图形；（2）画出这个轴对称图形向右平移9格后的图形．【解答】解：（1）根据对称轴在下面格子图中补全这个轴对称图形：（2）画出这个轴对称图形向右平移9格后的图形：六、解答题（共1小题，满分0分）27．完成统计图并回答问题美术音乐体育科技项目人数年级低年级45205018高年级22164055（1）在图中画出体育组与科技组低、高年级参加的人数．（2）高年级参加音乐组的人数最少，全校参加体育组的人数最多．【解答】解：（1）作图如下：（2）答：高年级参加音乐组的人数最少，全校参加体育组的人数最多．故答案为：音乐、体育．七.解决问题28．爸爸体重65.2千克，比小明多40.8千克，小明和爸爸的体重一共是多少千克？【解答】解：65.2﹣40.8+65.2=14.4+65.2=79.6（千克）答：小明和爸爸的体重一共是79.6千克．29．100千克山茶籽可以榨25千克油，平均每千克山茶籽可以榨油多少克？【解答】解：25÷100=0.25（千克）0.25千克=250克答：平均每千克山茶籽可以榨油250克．30．芳芳买了两本书（如图所示），付给售货员20元，应找回多少钱？【解答】解：20﹣（7.45+5.85）=20﹣13.3=6.7元）答：应找回6.7元钱．31．教室地面用面积为9平方分米的方砖500块正好铺满，如果改用边长为5分米的方砖铺，需要多少块？【解答】解：（9×500）÷（5×5）=4500÷25=180（块）答：需要180块．32．李师傅每小时加工零件84个，王师傅每小时加工零件76个，两位师傅各加工6小时，一共加工了多少个零件？【解答】解：（84+76）×6=160×6=960（个）答：一共加工了960个零件．33．有一块菜地（如图，单位：米），绕着这块菜地一周围篱笆，篱笆总长多少米？【解答】解：13+10+7+19+16+37+10+8=30+19+16+37+10+8=65+37+10+8=102+10+8=120（米）答：篱笆的总长是120米．34．小强上星期前4天平均每天做仰卧起坐45个，后3天共做149个，小强上星期平均每天做仰卧起坐多少个？【解答】解：（45×4+149）÷（4+3）=（180+149）÷7=329÷7=47（个）答：小强上星期平均每天做仰卧起坐47个．35．在“智慧星”数学抢答赛中，答对一题加10分，答错一题扣6分，丽丽共抢答了12题，最后得分40分，她答错了几题？【解答】解：假设全部做对，那么做错：（12×10﹣40）÷（10+6）=80÷16=5（道）答：她答错了5道题．。
2017-2018学年高二年级数学期末试卷(理数)含答案
2．若 x 2m2 3 是 1 x 4 的必要不充分条件，则实数 m 的取值范围是（ ）
10．已知函数 f x 1 x3 1 mx2 4x 3 在区间 1,2上是增函数，则实数 m 的取值范围是（
32
A . 3,3
B . ,3 3, C . ,1 1,
，则满足
11．已知函数
f
x
3|x1| , x2 2x
x 1,
0, x
0
若关于
x
的方程 f
x2
a
1f
x
a
0有
7
个不
等实根，则实数 a 的取值范围是(
)
A . 2,1
B .2,4
C . 2,1
D . ,4
12.
已知函数
A . loga c logb c B . logc a logc b C . a c bc
D . ca cb
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 9．已知函数 f x 2 xm 1 为偶函数，记 a f log0.5 3 ， b f log2 5 ， c f 2m，则
由题设知
，
则
解得 的横坐标分别是 则 有 又
，又 于是
， ，
，
，即 l 与直线 平行， 一定相交，分别联立方
设
是平面
的法向量，则
，即
。
对任意
，要使
与
的面积之比是常数，只需 t 满足
可取
，故，所以 与平面
20. （1）依题意可得
所成角的正弦值为 ---------12 分 ，
浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高二下学期6月期末联考试题数学
绝密★考试结束前2023学年第二学期浙南名校联盟期末联考高二数学学科试题考生须知：1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号.3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2320A xx x =++>∣，集合{}02024B x x =≤≤∣，则（ ） A.A B ⋂=∅ B.A B ⋃=R C.A B ⊆ D.B A ⊆2.已知,,,M N P Q 是平面内四个互不相同的点，,a b 为不共线向量，20232025MN a b =+，20242024,NP a b PQ a b =+=-+，则（ ）A.,,M N P 三点共线B.,,M N Q 三点共线C.,,M P Q 三点共线D.,,N P Q 三点共线3.已知复数z =z =（ ）C.2D. 4.若sin18m =，则sin63=（ ）)m B.12m +C.2m D.2m 5.如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点（不同于,A B ）且PA AC =，则二面角P BC A --的大小为（ ）A.60B.30C.45D.156.已知函数()e 1,0,0x x f x kx x ⎧-≥=⎨<⎩，若存在非零实数0x ，使得()()00f x f x -=成立，则实数k 的取值范围是（ ）A.(),1∞--B.(],1∞--C.()1,0-D.[)1,0-7.函数()()sin (0,0)f x A x A ωϕω=+>>，若()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，且()()ππ02f f f ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，则ω的值为（ ）A.23 B.23或2 C.13 D.1或138.正项数列{}n a 中，1n n a ka +=（k 为实数），若2022202320243a a a ++=，则222202220232024a a a ++的取值范围是（ ）A.[)3,9B.[]3,9C.[)3,15D.[]3,15二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知,x y ∈R ，且123,124x y ==，则（ ） A.y x > B.1x y +>C.14xy << 10.高二年级安排甲､乙､丙三位同学到,,,,A B C D E 五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有（ ） A.所有可能的方法有53种B.如果社区A 必须有同学选择，则不同的安排方法有61种C.如果同学甲必须选择社区A ，则不同的安排方法有25种D.如果甲､乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种11.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()110f x f x ++-=，且()f x 不是常函数，则下列说法中正确的有（ ）A.若2为()f x 的周期，则()f x 为奇函数B.若()f x 为奇函数，则2为()f x 的周期C.若4为()f x 的周期，则()f x 为偶函数D.若()f x 为偶函数，则4为()f x 的周期非选择题部分三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若随机变量()()23,,3,X B p Y N σ~~，若()10.657,(13)P X P Y p ≥=≤<=，则(5)P Y >=__________.13.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，若动点P 在以AB 为直径的半圆上（正方形ABCD 内部，含边界），则PC PD ⋅的取值范围为__________.14.已知函数()3e xf x x a =-，若函数()f x 有三个极值点()123123,,x x x x x x <<，若323x x ≥，则实数a的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为(),,,2sin sin cos sin cos a b c A C B B C -=. （1）求角B 的大小；（2）若b =ABC 周长的最大值. 16.（本题满分15分）已知点30,2P ⎛⎫-⎪⎝⎭，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴上，点M 在直线AB 上，且满足0,3PA AB AM AB ⋅==.（1）当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设Q 为（1）中的曲线C 上一点，直线l 过点Q 且与曲线C 在点Q 处的切线垂直，l 与曲线C 相交于另一点R ，当0OQ OR ⋅=（O 为坐标原点）时，求直线l 的方程.17.（本题满分15分）如图所示多面体ABCDEF 中，平面ADE ⊥平面,ABCD CF ⊥平面ABCD ，ADE 是正三角形，四边形ABCD 是菱形，π2,3AB CF BAD ∠===.（1）求证：EF ∥平面ABCD ；（2）求二面角E AF C --的正弦值.18.（本题满分17分）已知函数()(),xf x ag x ax ==，其中0a >且1a ≠. （1）若e a =，试证明：()(),x f x g x ∀∈≥R 恒成立；（2）若()0,x ∞∈+，求函数()()()ln g x h x f x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭的单调区间；（3）请判断2e π与2πe ⋅的大小，并给出证明.（参考数据：20.736,e 2.718,π 3.1416,ln π 1.145e≈≈≈≈）19.（本题满分17分）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲､乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲､乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行()*n n ∈N 次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为n X ，恰有1个黑球的概率为n p ，恰有2个黑球的概率为n q ，恰有0个黑球的概率为n r .（1）求12,p p 的值；（2）根据马尔科夫链的知识知道111n n n n p a p b q c r ---=⋅+⋅+⋅，其中[],,0,1a b c ∈为常数，同时1n n n p q r ++=，请求出n p ；（3）求证：n X 的数学期望()n E X 为定值.2023学年第二学期浙南名校联盟期末联考高二数学学科参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.答案：0.2 13.答案：[]0,16 14.答案：(20,(ln3)⎤⎦四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【详解】（1）因为()2sin sin cossin cos A C B BC -=，即2sin cos sin cos sin cos A B B C C B =+， 可得()2sin cos sin sin A B B C A =+=，又因为()0,πA ∈，则sin 0A ≠，可得1cos 2B =，且 0πB<<，可得π3B =. （2）法一：由正弦定理可得4sin sin sin a b c A B C ====，则4sin ,4sin a A c C ==， 可得24sin 4sin 4sin 4sin π3a b c AC A A ⎛⎫++=+=+-⎪⎝⎭π4sin 2sin 6sin 6A A A A A A ⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭，因为20π3A <<，则ππ5π666A <+<， 可得π6A ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭ABC 周长的最大值为法二：由余弦定理可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-，可得22212()3()32a c a c ac a c +⎛⎫=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当a c ==解得a c +≤ABC周长的最大值为16.详解：（1）设()0,0A x ，则由射影定理，有2AO BO OP =⋅，故22002332x OB x ==，即2020,3B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由13AB AM =，易得()2002,2M x x -，故M 的轨迹方程为()2102y x x =≠. （2）设2001,,2Q x x Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭点处的切线斜率为20012x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭'，故()200011:2QR l y x x x x =--+.代入拋物线方程，解得200200212,22R x x x x ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭.由0OQ OR ⋅=， 得220000************ x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅--+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得4004,x x ==所以l的方程为22y x =-+或22y x =+. 17.【详解】（1）证明：取AD 中点N ，连接NE NC ､，因为ADE 是正三角形，所以,2sin603EN AD EN ⊥=⋅= 因为平面ADE ⊥平面,ABCD EN ⊂平面ADE ， 平面ADE ⋂平面ABCD AD =所以EN ⊥平面ABCD ，又因为CF ⊥平面ABCD ，所以EN∥CF ，又因为EN CF =，所以四边形ENCF 是平行四边形，所以EF ∥NC ，又因为NC ⊂平面,ABCD EF ⊄平面ABCD ，所以EF∥平面ABCD .（2）连接AC BD ､交于O ，取AF 中点M ，连接OM ，所以OM∥CF ，因为CF ⊥平面ABCD ，所以OM ⊥平面ABCD ，因为OA OB ⊂､平面ABCD ，所以,OM OA OM OB ⊥⊥，又因为四边形ABCD 是菱形，所以OA OB ⊥，所以OA OB OM ､､两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系，)()()()(11,0,1,0,,0,1,0,,0,,22AB C D N E F ⎫---⎪⎪⎝⎭⎝， ()3123,0,3,22AF AE ⎛=-=-- ⎝，设平面AEF 的法向量为(),,m x y z =，23031022AF m x AE m x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩， 令()1,1,33,2x m ==，平面AFC 的法向量为()0,1,0n =， 设二面角E AF C --的大小为33,cos 88421m n m nθθθ⋅=====⋅⋅.所以二面角E AF C --. 18.证明：（1）设函数()()()x f x g x ϕ=-，则()e e xx ϕ'=-，当(),1x ∞∈-时()0x ϕ'<，当()1,x ∞∈+时()0x ϕ'>，所以()x ϕ在(),1∞-上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()()min ()110x f g ϕ=-=， 所以()0x ϕ≥，即()(),x f x g x ∀∈≥R 恒成立. （2）已知()()1ln ln ln ,ln h x x a x a h x a x =+-⋅=-'，从而01ln x a=， 若()0,1a ∈，则()()1ln 0,h x a h x x=->'在()0,∞+单调递增； 若()1,a ∞∈+，当10,ln x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0h x '>，当1,ln x a ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时()0h x '<，所以()h x 在10,ln x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，在1,ln x a ∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭单调递减.（3）由（2）可知()ln ln πln πh x x x =+-⋅在10,ln π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 因为11320.8730.736ln π 1.1454e≈≈>>≈ 从而由（2）知道()h x 在23,e 4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.所以23e 4h h ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 计算33331ln ln πln πln ln π44444h ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭.比较4ln 3和1ln π4的大小，因为 44256 3.16π381⎛⎫=>> ⎪⎝⎭，所以304h ⎛⎫< ⎪⎝⎭. 由此可知230e 4h h ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即222ln ln πln π0e e e h ⎛⎫=+-⋅< ⎪⎝⎭， 从而2e 222ln ln πln πln πln πe e e ⎛⎫⎛⎫+<⋅⇔⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2e 2ππe >⋅.19.详解：（1）设恰有2个黑球的概率为n q ，则恰有0个黑球的概率为1n n p q --.由题意知1111112211211111113333C C C C C C 52,C C 9C C 9p q +====， 所以()111111112332221121111111111333333C C C C C C C C 491C C C C C C 81p p q p q +=++--=. （2）因为()111111112332221111111111111333333C C C C C C C C 121C C C C C C 93n n n n n n p p q p q p -----+=++--=-+， 所以1313595n n p p -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭.又因为1320545p -=-≠，所以35n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以245-为首项，19-为 公比的等比数列.所以11321213,54594595n n n n p p --⎛⎫⎛⎫-=-⨯-=-⨯-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. （3）因为11111321111111113333C C C C 21C C C C 93n n n n n q p q p q ----=+=+①，()()1111311211111111113333C C C C 21111C C C C 93n n n n n n n n q p p q p p q p --------=+--=+--②所以①②，得()11121213n n n n q p q p --+-=+-.又因为11210q p +-=，所以210n n q p +-=.所以1nn p q -=.所以n X 的概率分布列为：所以()110112122n n n n n p p E X p p --⎛⎫=⨯--+⨯+⨯= ⎪⎝⎭.所以n X 的数学期望()n E X 为定值1.。