【数学】杭州市高二数学期末试卷

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浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期数学期末检测试卷(含解析)

浙江省杭州市2023-2024学年高二下学期数学期末检测试卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（）{}{}31,1e M x x N x x =-<=<≤M N ⋂=A ．B ．C ．D ．{}23x x <≤{}24x x <<{}2e x x <≤{}1e x x <≤2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（）i 31i z -=-z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．样本数据的中位数和平均数分别为（）27,30,28,34,35,35,43,40A ．34，35B ．34，34C ．34.5，35D ．34.5，344．已知直线与圆有公共点，则的可能取值为（）30kx y k --=22:1O x y +=k A ．1B ．C ．D ．131-2-5．在中，角的对边分别是，且，则ABC ,,A B C ,,a b c ()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C=+++（）cos A =A ．B ．C ．D ．12-1312236．已知正方体的棱长为为棱的中点，则四面体的体积为1111ABCD A B C D -2,P 1BB 1ACPD （）A ．2B C ．D ．837．已知，则（）4sin25α=-tan2πtan 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭A ．4B ．2C ．D ．2-4-8．已知双曲线的上焦点为，圆的圆心位于，且与的22:1C y x -=F A x C 上支交于两点，则的最小值为（）,BD BF DF+A．B CD21-二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知分别是定义域为的偶函数和奇函数，且，设函数()(),f x g x R ()()e xf xg x +=，则（）()()()g x G x f x =()G x A ．是奇函数B ．是偶函数C ．在上单调递减D ．在上单调递增R R 10．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于轴()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π3y 对称，则（）A ．的图象关于直线对称B ．的最小值为()f x π3x =ω12C ．的最小正周期可以为D ．的图象关于原点对称()f x 4π52π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭11．如图，有一个棱台形的容器（上底面无盖），其四条侧棱均相1111ABCD A B C D -1111D C B A 等，底面为矩形，，容器的深度为，容器壁的厚度忽略11111111m 224AB BC A B B C====1m不计，则下列说法正确的是（）A ．1AA =B ．该四棱台的侧面积为(2mC ．若将一个半径为的球放入该容器中，则球可以接触到容器的底面0.9m D ．若一只蚂蚁从点出发沿着容器外壁爬到点A 1C 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．的展开式中的系数为．（用数字作答）712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 13．已知椭圆的左、右焦点分别为为上一动点，则的取22224:1(0)3x y C a a a +=>12,,F F A C 12AF AF 值范围是．14．已知两个不同的正数满足，则的取值范围是．,a b 33(1)(1)a b a b ++=ab 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知函数()1e 4xf x =(1)求曲线在点处的切线在轴上的截距；()y f x=()()1,1f l y (2)探究的零点个数．()f x 16．如图，在直三棱柱中，为棱上一点，111ABC A BC -12,1,AB BC AC AA M ====1CC 且．1AM BA ⊥(1)证明：平面平面；AMB ⊥1A BC (2)求二面角的大小．B AM C --17．设数列满足，且．{}n a ()122n n na n a +=+14a=(1)求的通项公式；{}n a(2)求的前项和．{}n a n n S 18．在机器学习中，精确率、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机Q R k 构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事A B 件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数()Q P A B =()R P B A =，其中．1o ee p p k p -=-()()()()()(),o e p P AB P AB p P A P B P A P B =+=+(1)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率．Q R 实际有雷实际无雷总计检测到有雷402464检测到无雷102636总计5050100(2)对任意一次测试，证明：．()212Q R QR k Q R P AB +-=-+-(3)若，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若0.61k <≤0.20.6k <≤，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果．00.2k ≤≤k 19．已知抛物线的焦点为，以点为圆心作圆，该圆与轴的正、负半轴分别2:4C y x =F F x 交于点，与在第一象限的交点为．,H G C P (1)证明：直线与相切．PG C (2)若直线与的另一交点分别为，直线与直线交于点．,PH PF C ,M N MN PG T （ⅰ）证明：；4TM TN=（ⅱ）求的面积的最小值．PNT【分析】求得集合，可求{}24M x x =<<M N⋂【详解】因为，{}{}{}3124,1e M x x x x N x x =-<=<<=<≤所以．{}2e M N x x ⋂=<≤故选：C ．2．B【分析】根据复数的四则运算和共轭复数的概念，以及复数的几何意义即可求解.【详解】因为，()()()()3i 1i i 342i 2i 1i 1i 1i 2z -++---====----+所以，2i z =-+故在复平面内对应的点为位于第二象限．z (2,1)-故选：B.3．D【分析】先将样本数据按从小到大进行排列，再根据样本数据的中位数、平均数概念公式进行计算即可.【详解】将样本数据按照从小到大的顺序排列可得，27,28,30,34,35,35,40,43故中位数为，343534.52+=平均数为．()12728303435354043348⨯+++++++=故选：D.4．B，求解即可.1≤【详解】由直线与圆有公共点，30kx y k --=22:1O x y +=可得圆心到直线的距离为，()0,0O 30kx y k--=1d =≤解得，所以的取值范围为．k ≤≤k ⎡⎢⎣故选：B.【分析】根据题意，利用正弦定理化简得，结合余弦定理，即可求解.222b c a bc +-=-【详解】因为，()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++由正弦定理得，即，()()2222a b c b c b c=+++222b c a bc +-=-又由余弦定理得.2221cos 22b c a A bc +-==-故选：C.6．A【分析】设与交于点，证得平面，得到，且AC BD O AC ⊥11BDD B 113OPD V S AC =⨯中，结合，即可求解.AC =11BDD B 111111BDD B BOP B OP D P D ODD S S S S S =--- 【详解】设与交于点，在正方形中，，AC BD O ABCD AC BD ⊥又由正方体中，平面，1111ABCD A B C D -1DD ⊥ABCD 因为平面，可得，AC ⊂ABCD 1AC DD ⊥又因为且平面，所以平面，1BD DD D = 1,BD DD ⊂11BDD B AC ⊥11BDD B所以四面体的体积为，且，1ACPD 113OPD V S AC =⨯ AC =在对角面中，可得，11BDD B 111111BDD B BOP B D P OPD ODD S S S S S =-=--所以四面体的体积为．1ACPD 123V =⨯=故选：A.7．D【分析】由已知可得，利用，可求值.251tan tan 2αα+=-tan2tan 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭22tan 1tan 2tan ααα=++【详解】因为，所以，2222sin cos 2tan 4sin2sin cos tan 15ααααααα===-++251tan tan 2αα+=-所以．2tan22tan 1tan tan 4ααπαα=⨯-⎛⎫+ ⎪⎝⎭221tan 2tan 2tan 41tan (1tan )1tan 2tan ααααααα-===-++++故选：D.8．B【分析】设出圆的方程与双曲线方程联立，可得，进而可得，利用两点1212,x x xx +22121x x +=间距离公式求出，并利用不等式方法求出其最小值.BF DF+【详解】由题可知．设圆，，.(F 22:()2A x a y -+=()11,B x y ()22,D x y 联立，得，则，22221()2y x x a y ⎧-=⎨-+=⎩222210x ax a -+-=212121,2a x x a x x -+==因此，故.()22212121221x x x x x x +=+-=222222121212112213y y x x x x +=+++=++=+=因为，所以，同理可得22111y x -=11BF===-.21DF =-故.)122BF DF yy +=+-又，且，故，从而22123y y +=12,1yy≥1y =≤=2y=≤=.())22121y y -≤所以)122BF DF y y +=+-2=2=2=2≥2==当时，有，，此时1a =()0,1B (D 11BF DF +=-+=所以的最小值是BF DF+故选：B.关键点睛：本题解题关键是由圆的方程与双曲线方程联立得到，再用不等式方法求22121x x +=其最小值.9．AD【分析】根据奇、偶性得到方程组求出、的解析式，从而得到的解析式，再()f x ()g x ()G x 由奇偶性的定义判断的奇偶性，利用导数判断函数的单调性.()G x 【详解】因为①，所以，()()e xf xg x +=()()e xf xg x --+-=即②，联立①②，解得，()()e xf xg x --=()()e e e e ,22x x x xf xg x --+-==所以，定义域为，又，()e e e e x x x x G x ---=+R ()()e e e e x xx xG x G x ----==-+所以是奇函数，又，()G x ()()()()()2222ee e e 40eeeexx x x xx xx G x ----+--=+'=>+所以在上单调递增，故A ，D 正确，B 、C 错误．()G x R 故选：AD10．ABD【分析】根据图象平移判断A ，根据关于直线对称可得判断B ，由周π3x =()132k k ω=+∈Z 期计算可判断C ，可先证明函数关于点对称，再由图象平移判断D.ω()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】对于A ，将的图象向左平移个单位长度后，关于轴对称，所以的图()f x π3y ()f x 象关于直线对称，故A 正确；π3x =对于B ，由题可知，解得，又，所以的最小()ππππ332k k ω+=+∈Z ()132k k ω=+∈Z 0ω>ω值为，故B 正确；12对于C ，若最小正周期，则，由B 项可知，不存在满足条件的，故C 错4π5T =2π52T ω==ω误；对于D ，因为，代入，得2π2ππsin 333f ω⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()132k k ω=+∈Z ，()2πsin 2π03f k ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭所以的图象关于点对称，将的图象向右平移个单位长度可以得到()f x 2π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x 2π3的图象，2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭则对称中心对应平移到坐标原点，故的图象关于原点对称，故D 正确．2π,03⎛⎫-⎪⎝⎭2π3f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：ABD 11．BD【分析】由勾股定理即可判断A ，由梯形的面积公式代入计算，即可判断B ，做出轴截面图形代入计算，即可判断C ，将四棱台展开，然后代入计算，即可判断D 【详解】对于A ，由题意可得，故A错误；132AA ==对于B ，梯形11ADD A =所以梯形的面积为11ADD A 242+=梯形，11ABB A=所以梯形的面积为，11ABB A 122+=故该四棱台的侧面积为，故B正确；2⨯=对于C ，若放入容器内的球可以接触到容器的底面，则当球的半径最大时，球恰好与面、面、面均相切，11ADD A 11BCC B ABCD 过三个切点的截面如图（1）所示，由题意可知棱台的截面为等腰梯形，较长的底边上的底角的正切值为，则，12212=-tan 2MPN ∠=-由于互补，故，,MPN MON ∠∠tan 2MON ∠=则，所以，从而球的半径为22tan 21tan MOPMOP ∠=-∠tanMOP ∠=，0.9=<所以将半径为的球放入该容器中不能接触到容器的底面，故C 错误；0.9cm对于D ，将平面与平面展开至同一平面，ABCD 11DCC D 如图（2），则，1AC ==将平面与平面展开至同一平面，如图（3），ABCD 11BCC B 则，145333044AC ⎛=+=< ⎝D 正确．故选：BD难点点睛：解答本题的难点在于选项D 的判断，解答时要将空间问题转化为平面问题，将几何体侧面展开，将折线长转化为线段长，即可求解.12．672【分析】利用二项式定理，求得二项展开式中的通项，把含x 的进行幂运算合并，然后令指数等于3，即可求解.【详解】因为通项为，令，得，712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭77721771C (2)2C rr r r r rr T x x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭72r 3-=2r =所以的系数为．3x 72272C 672-=故672.13．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】先根据椭圆、、之间的关系，求出，再根据椭圆的定义，把换成a b c 12c a=1AF ，最后根据，代入即可.22a AF -[]2,AF a c a c ∈-+【详解】设椭圆的半焦距为，则，C (0)c c >12c a==，12222221AF a AF aAF AF AF -==-因为，即，[]2,AF a c a c ∈-+213,22AF a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以，即.2211,33a AF ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦121,33AF AF ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为.1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．10,4⎛⎫⎪⎝⎭【分析】本题将条件式化简后结合基本不等式得出关于ab 的不等式，再构造函数并利用函数的单调性求解即可.【详解】将两边展开，33(1)(1)a b a b ++=得到，22113333a a b b a b +++=+++从而，()()221130ab a b a b ⎛⎫-+-+-= ⎪⎝⎭故，而，()130a b a b ab ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭a b¹故，又，130a b ab ++-=00a b ＞，＞故，133a b ab =++>从而．321+<设函数，则，()3223g x x x=+112gg ⎛⎫<= ⎪⎝⎭观察易得在，()g x ()0,∞+12<又，所以．0,0a b >>104ab <<故答案为.10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭关键点点睛：本题考查函数与不等式的综合，其关键是利用均值不等式构造关于ab 的不等式，再构造函数并利用函数的单调性解决问题.321+<()3223g x x x =+15．(1)12-(2)有两个零点()f x【分析】（1）求得，，利用导数的几何意()1e 4x f x '=()e 1142f ='-()e 114f =-义，求得切线方程，进而求得其在轴上的截距；y（2）得到在上递增，结合，得到，()1e 4x f x '=()0,∞+()10,104f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭''01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭使得，进而求得单调性，结合零点的存在性定理，即可求解.()00f x '=()f x【详解】（1）解析：由函数，可得，()1e 4x f x =()1e 4x f x '=()e 1142f ='-又，所以的方程为，即，()e 114f =-l ()e 1e 11424y x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭e 11422y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭令，可得，所以直线在轴上的截距为．0x =12y =-l y 12-（2）解：因为和上均单调递增，1e 4x y =y =()0,∞+所以在上单调递增，()1e 4x f x '=()0,∞+又因为，所以，使得，()141111e 10,1e 04442f f ⎛⎫=-=''- ⎪⎝⎭01,14x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00f x '=所以，当时，，在单调递减；()00,x x ∈()0f x '<()f x ()00,x 当时，，在单调递增，()0,x x ∞∈+()0f x '>()f x ()0,x ∞+又因为，()()14100111e 1e 0,110,4e 2010041044f f f ⎛⎫=->=-=- ⎪⎝⎭所以有两个零点．()f x 方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与和相关的常见同构模型e xln x①，构造函数或；e ln e ln e ln a a a a b b b b ≤⇔≤()lnf x x x =()e xg x x =②，构造函数或；e e ln ln e ln a a a b b a b b <⇔<()ln x f x x =()e x g x x =③，构造函数或.e ln e ln e ln a a a a b b b b ±>±⇔±>±()lnf x x x =±()e xg x x =±16．(1)证明见解析(2)4π【分析】（1）由线面垂直得到，结合勾股定理逆定理得到，证明出1AA BC ⊥BC AC ⊥平面，得到，结合题目条件证明出平面，得到面面垂直；BC⊥11AA C C AMBC ⊥AM ⊥1A BC （2）建立空间直角坐标系，设点，根据向量垂直得到方程，求出()0,0,M a ，进而求出平面的法向量，得到二面角的余弦值，得到答案.a M ⎛=⎝【详解】（1）在直三棱柱中，平面，111ABC A B C -1AA ⊥ABC ∵平面，BC ⊂ABC ∴，1AA BC ⊥∵2,1,AB BC AC ===∴，222AB AC BC =+∴，BC AC ⊥，平面，1AC AA A⋂=1,AC AA ⊂11AA C C ∴平面．BC ⊥11AA C C 平面，AM ⊂ 11AA C C ∴，AM BC ⊥，平面，11,AM A B A B BC B ⊥= 1,A B BC ⊂1A BC ∴平面．AM ⊥1A BC 又平面，AM ⊂AMB平面平面．∴AMB ⊥1A BC （2）由（1）可知两两垂直，1,,CA CB CC 如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标C 1,,CA CB CC x y z 系，Cxyz 则．())()10,0,0,,,0,1,0C AAB设点，()0,0,M a 则．()()()1,,0,1,0,AM a BA CB AB ==-==，解得．11,30AM BA AM BA ⊥∴⋅=-+=a M ⎛=∴ ⎝设平面的法向量为，AMB (),,m x y z =则可取．0,0,m AM z m AB y ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=+=⎩(m = 易知为平面的一个法向量．()0,1,0n CB ==AMCcos ,m n m n m n ⋅〈〉===⋅故由图可知二面角的大小为．B AM C --4π17．(1)()12nn a n n =+⋅(2)()21224+=-+⋅-n n S n n【分析】（1）由已知可得，累乘法可求的通项公式；()122n n n a a n ++={}n a （2）由（1）可得，利用错位相减法可求的前()1212223212nn S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ {}n a 项和.n n S 【详解】（1）由题易知，且，0n a ≠()122n n n a a n ++=所以，()2341231212324251231n n n a a a a a a a a n -+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯- 所以，()()121121212n n n n n a n n a --+⋅==+⋅⨯所以也满足该式，()112,n n a n n a =+⋅所以．()12nn a n n =+⋅（2），①()1212223212nn S n n =⨯⨯+⨯⨯+++⋅ ，②()()2121221212n n n S n n n n +=⨯⨯++-⋅++⋅ ②-①，得．()()11212212222n n n S n n n +=+⋅-⨯⨯+⨯++⋅ 设，③1212222nn T n =⨯+⨯++⋅ 则，④()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+⋅ ④-③，得，()()()1121112222222122n n n n n n T n n n ++++=⋅-+++=⋅--=-+ 所以．()()()1121122124224n n n n S n n n n n +++=+⋅--⋅-=-+⋅-18．(1)；．0.625=Q 0.8R =(2)证明见解析(3)0.32【分析】（1）利用条件概率的计算公式计算即可；（2）由条件概率与互斥事件的概率公式证明即可；（3）由（2）计算出的值，判断机器人的检测效果即可.k 【详解】（1），()()()400.62564P AB Q P A B P B ====．()()()400.850P AB R P B A P A ====（2），()()()()()()1111111o e oe e P AB P AB p p p k p p P A P B P A P B ----==-=-----要证明，()212Q R QR k Q R P AB +-=-+-需证明．()()()()()()()1221P AB P AB Q R QR Q R P AB P A P B P A P B --+-=+---等式右边：()()()()()()()()||2||22||2P A B P B A P A B P B A Q R QR Q R P AB P A B P B A P AB +-+-=+-+-．()()()()()()()()()()()()()22P AB P AB P AB P AB P B P A P B P A P AB P AB P AB P B P A +-⨯⨯=+-()()()()()()()22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-等式左边：因为，()()()()()1P A B P AB P A P B P AB ⋃=-=+-所以()()()()()()()()()()()()()121111P AB P AB P A P B P AB P A P B P A P B P A P B P A P B --+-=⎡⎤⎡⎤------⎣⎦⎣⎦．()()()()()()()22P A P B P AB P A P B P A P B +-=+-等式左右两边相等，因此成立．()212Q R QRk Q R P AB +-=-+-（3）由（2）得，因为，0.6250.820.6250.810.320.6250.820.4k +-⨯⨯=-=+-⨯0.20.320.6<<所以（1）中机器人的检测效果一般．19．(1)证明见解析(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）163【分析】（1）根据题意，表示出直线的方程，然后与抛物线方程联立，由即可证明；PG Δ0=（2）（ⅰ）根据题意，设直线的方程为，与抛物线方程联立，即可得到点的PF 1x ty =+,N H 坐标，从而得到直线的方程，再与抛物线方程联立，即可得到点的坐标，再结合相似PH M 三角形即可证明；（ⅱ）由条件可得，再由代入计算，即可43PNTPNES S =△△12PNES EP EN = 证明.【详解】（1）由题意知，()1,0F 设，则，()2,2(0)P n n n >21PF n =+所以，所以，21GF FH n ==+()2,0G n -所以直线的斜率为，方程为．PG 1n ()21y x n n =+联立方程得，()221,4,y x n n y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩22440y ny n-+=因为，所以直线与相切．Δ0=PG C （2）（ⅰ）设直线的方程为，PF 1x ty =+由可得，则，又因为，所以．24,1,y x x ty ⎧=⎨=+⎩2440y ty --=4P N y y =-()2,2P n n 212,N n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭由（1）知，点，直线的斜率为，方程为，()22,0H n +PH n -()22y n x n=---由得，由，()224,2,y x y n x n ⎧=⎪⎨=---⎪⎩224480y y n n +--=248P M y y n =--得．22444,2M n n n n ⎛⎫++-- ⎪⎝⎭作，垂足为，则，直线的方程为，NE PG ⊥E EN PM ∥EN 212y n x n n ⎛⎫=---⎪⎝⎭将直线与的方程联立，得解得．EN PG ()2212,1,y n x n n y x n n ⎧⎛⎫=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=+⎪⎩11,E n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以，所以，2211441,,4,4EN n PM n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4PM EN =由相似三角形的性质可得．4TM TN=（ⅱ）由（ⅰ）知，所以，故，4TM TN=4TP TE=43PNT PNES S =△△因为，221111,,1,EP n n EN n n n n ⎛⎫⎛⎫=++=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以（当且仅当时等号成立），()323311114222PNEn S EP EN n n n +⎛⎫===+≥ ⎪⎝⎭ 1n =故，即的面积的最小值为．41633PNT PNES S =≥△△PNT 163方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.。

2023-2024学年浙江省杭州市高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年浙江省杭州市高二（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

1．已知集合A ＝{0，1，2，3，4}，B ＝{x |x 2﹣5x +4≥0}，则A ∩B ＝（） A ．{1，2，3，4}B ．{2，3}C ．{1，4}D ．{0，1，4}2．已知（2+i ）z ＝i ，i 为虚数单位，则|z |＝（） A ．15B ．13C ．√55D ．√533．已知平面向量a →=(2，0)，b →=(−1，1)，且（m a →−b →）∥（a →+b →），则m ＝（） A ．﹣1 B ．0C ．1D ．1±√324．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)左，右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），若双曲线左支上存在点P 使得|PF 2|=32c −2a ，则离心率的取值范围为（）A ．[6，+∞）B ．（1，6]C ．[2，+∞）D ．[4，+∞）5．已知2cos 2θ﹣cos θ＝1，θ∈（0，π），则|sin θ|＝（） A ．0B ．12C ．√32或0 D ．√326．数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当x 较大时，1+12+13+⋯+1x=lnx +γ（x ∈N *，常数γ＝0.557…）．利用以上公式，可以估算1101+1102+⋯+1300的值为（） A ．ln 30B ．ln 3C ．﹣ln 3D ．﹣ln 307．已知α，β∈(0，π2)，则“cos(α−β)＜14”是“cosα+sinβ＜14”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知圆C ：x 2﹣2x +y 2＝0与直线l ：y ＝mx +2m （m ＞0），过l 上任意一点P 向圆C 引切线，切点为A 和B ，若线段AB 长度的最小值为√2，则实数m 的值为（） A ．2√77B ．√77C ．√142D ．√147二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年浙江省杭州二中高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年浙江省杭州二中高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线x 2＝4y 的准线方程为（） A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．y ＝1D ．y ＝﹣12．圆x 2+y 2﹣4x ＝0上的点到直线3x ﹣4y +9＝0的距离的最小值为（） A ．1B ．2C ．4D ．53．设平面α内不共线的三点A ，B ，C 以及平面外一点P ，若平面α内存在一点D 满足PD →=xPA →+(2−x)PB →+3xPC →，则x 的值为（） A ．0B ．−19C ．−13D ．−234．已知△ABC 的三个顶点分别为A （1，0，0），B （0，2，0），C （2，0，2），则BC 边上的中线长为（） A ．1B ．√2C ．√3D ．25．设{a n }是公差为d 的等差数列，S n 是其前n 项和，且a 1＜0，S 4＝S 8，则（） A ．d ＜0B ．a 7＝0C ．S 12＝0D ．S n ≥S 76．用数学归纳法证明：f(n)=1+12+13+⋯+12n ≥n+22（n ∈N *）的过程中，从n ＝k 到n ＝k +1时，f （k +1）比f （k ）共增加了（） A ．1项B ．2k ﹣1项C ．2k +1项D ．2k 项7．若数列{a n }满足递推关系式a n+1=2a na n +2，且a 1＝2，则a 2024＝（） A ．11012B ．22023C ．11011D ．220218．设双曲线Γ的中心为O ，右焦点为F ，点B 满足2FB →=OF →，若在双曲线Γ的右支上存在一点A ，使得|OA |＝|OF |，且∠OAB ≥3∠OBA ，则Γ的离心率的取值范围是（） A ．[2√15−27，2√15+27]B ．(1，2√15+27]C ．(1，3√15+37] D ．[3√15−37，3√15+37]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知f （x ），g （x ）在R 上连续且可导，且f '（x 0）≠0，下列关于导数与极限的说法中正确的是（） A ．limΔx→0f(x 0−Δx)−f(x 0)Δx =f′(x 0)B ．limΔℎ→0f(t+Δℎ)−f(t−Δℎ)2Δℎ=f′(t)C ．limΔx→0f(x 0+3Δx)−f(x 0)3Δx =f′(x 0)D ．limΔx→0g(x 0+Δx)−g(x 0)f(x 0+Δx)−f(x 0)=g′(x 0)f′(x 0) 10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，正项等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则（） A ．数列{Sn n}是等差数列B ．数列{3a n }是等比数列C ．数列{lnT n }是等差数列D ．数列{T n+2T n}是等比数列 11．已知O 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的顶点，直线l 交抛物线于M ，N 两点，过点M ，N 分别向准线x =−p2作垂线，垂足分别为P ，Q ，则下列说法正确的是（）A ．若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与y 轴相切B ．若直线l 过焦点F ，则PF ⊥QFC ．若M ，N 两点的纵坐标之积为﹣8p 2，则直线l 过定点（4p ，0）D ．若OM ⊥ON ，则直线l 恒过点（2p ，0）12．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A ．QC →=AD →+2AB →−2AA 1→B ．若M 为线段CQ 上的一个动点，则BM →⋅BD →的最小值为1 C ．点F 到直线CQ 的距离是√173D ．异面直线CQ 与AD 1所成角的正切值为√17 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知f （x ）＝e sin x ，则f '（x ）＝．14．若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足|PA||PB|=2，则△P AB 面积的最大值为．15．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为（﹣1，0），则|PF||PA|的最小值为．16．意大利著名数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardoFibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割√5−12≈0.618，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为{a n}．记一个新的数列{b n}，其中b n的值为a n除以4得到的余数，则∑2024i=1b i=．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，直线l：y＝2x﹣2与x轴交于点A．（1）求过点A的f（x）的切线方程；（2）若点B在函数f（x）图象上，且f（x）在点B处的切线与直线l平行，求B点坐标．18．（12分）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝9有两个不同的交点D，E．（1）求r的取值范围；（2）若r＝4，求线段DE的长．19．（12分）已知数列{a n}是首项为正数的等差数列，S n=n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=(a n+1)⋅2a n，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为正方形，且P A＝PC，PB＝PD，（1）若AC与BD交于点O，证明：PO⊥平面ABCD；（2）棱PD上的点E满足PE＝2DE，若PA=√3，AB＝2，求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．21．（12分）已知数列{a n}满足a1＝1，且对任意正整数n都有a n+1＝a n+n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为T n，b n=n−(−1)n a n，（n∈N*），若A={n|n≤100且T n≤100，n∈N∗}，求集合A中所有元素的和．22．（12分）已知焦点在x轴上的椭圆C：x2a2+y2b2=1，长轴长为4，离心率为12，左焦点为F．点M在椭圆内，且MF⊥x轴，过点M的直线与椭圆交于A、B两点（点B在点A右侧），直线AN、BN分别与椭圆相切且交于点N．（1）求椭圆的方程；（2）若直线AF与直线BF的倾斜角互补，则M点与N点纵坐标之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由．2023-2024学年浙江省杭州二中高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线x 2＝4y 的准线方程为（） A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．y ＝1D ．y ＝﹣1解：因为抛物线的标准方程为：x 2＝4y ，焦点在y 轴上；所以2p ＝4，即p ＝2，所以p2=1，所以准线方程y ＝﹣1，故选：D ．2．圆x 2+y 2﹣4x ＝0上的点到直线3x ﹣4y +9＝0的距离的最小值为（） A ．1B ．2C ．4D ．5解：化圆x 2+y 2﹣4x ＝0为（x ﹣2）2+y 2＝4，得圆心坐标为（2，0），半径为2．圆心到直线3x ﹣4y +9＝0的距离d =|6+9|√3+4=3．∴圆x 2+y 2﹣4x ＝0上的点到直线3x ﹣4y +9＝0的距离的最小值为d ﹣r ＝3﹣2＝1．故选：A ．3．设平面α内不共线的三点A ，B ，C 以及平面外一点P ，若平面α内存在一点D 满足PD →=xPA →+(2−x)PB →+3xPC →，则x 的值为（） A ．0B ．−19C ．−13D ．−23解：因为A ，B ，C 三点不共线，点P 是平面α外一点，D 在平面α内，由共面向量基本定理可得：存在唯一一对实数λ，μ，使得AD →=λAB →+μAC →，即PD →−PA →=λ(PB →−PA →)+μ(PC →−PA →)，整理为PD →=(1−λ−μ)PA →+λPB →+μPC →，与PD →=xPA →+(2−x)PB →+3xPC →相比较，可得{1−λ−μ=xλ=2−x μ=3x，解得x =−13．故选：C ．4．已知△ABC 的三个顶点分别为A （1，0，0），B （0，2，0），C （2，0，2），则BC 边上的中线长为（） A ．1B ．√2C ．√3D ．2解：设BC 的中点为D ，则D （1，1，1），故AD →=(0，1，1)，则|AD →|=√2，即BC 边上的中线长为√2．故选：B ．5．设{a n}是公差为d的等差数列，S n是其前n项和，且a1＜0，S4＝S8，则（）A．d＜0B．a7＝0C．S12＝0D．S n≥S7解：根据题意，{a n}是公差为d的等差数列，若S4＝S8，则S8﹣S4＝a5+a6+a7+a8＝0，变形可得：a6+a7＝0，则有a1+a12＝a6+a7＝0，又由a1＜0，则a12＞0，其公差d＞0，A错误；而a6+a7＝0，则a6＜0，a7＞0，B错误；Sn的最小值为S6，D错误；S12=(a1+a12)×122=0，C正确．故选：C．6．用数学归纳法证明：f(n)=1+12+13+⋯+12n≥n+22（n∈N*）的过程中，从n＝k到n＝k+1时，f（k+1）比f（k）共增加了（）A．1项B．2k﹣1项C．2k+1项D．2k项解：根据题意，证明f(n)=1+12+13+⋯+12n≥n+22时，f（k+1）中有2k+1项，f（k）中有2k项，则f（k+1）比f（k）增加了2k+1﹣2k＝2k项．故选：D．7．若数列{a n}满足递推关系式a n+1=2a na n+2，且a1＝2，则a2024＝（）A．11012B．22023C．11011D．22021解：∵a n+1=2a na n+2，∴1a n+1=a n+22a n，即1a n+1=12+1a n，∴1a n+1−1a n=12，又∵a1＝2，∴1a1=12，∴数列{1a n}是首项为12，公差为12的等差数列，∴1a n=12+12(n−1)=12n，∴a n=2 n ，∴a2024=22024=11012．故选：A ．8．设双曲线Γ的中心为O ，右焦点为F ，点B 满足2FB →=OF →，若在双曲线Γ的右支上存在一点A ，使得|OA |＝|OF |，且∠OAB ≥3∠OBA ，则Γ的离心率的取值范围是（） A ．[2√15−27，2√15+27]B ．(1，2√15+27]C ．(1，3√15+37] D ．[3√15−37，3√15+37]解：不妨设A 在第一象限，A 是以O 为圆心，OF 为半径的圆O 与Γ的交点．设Γ的左焦点为X ，则∠XOA ＝∠OAB +∠OBA ≥4∠OBA ，∠AFO =12∠XOA ≥2∠OBA ，即∠F AB ≥∠FBA ，F A ≤FB ，在圆O 上取一点C ，使FC ＝FB ，则FC ≥F A ，由双曲线的定义知CX ﹣CF ≤2a （a 是实半轴长），即（2a +CF ）2≥CX 2＝4c 2﹣CF 2（c 是半焦距），代入CF =FB =c 2，得(2a +c 2)2≥4c 2−c 24，解得e ∈(1，2+2√157]．故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知f （x ），g （x ）在R 上连续且可导，且f '（x 0）≠0，下列关于导数与极限的说法中正确的是（） A ．lim Δx→0f(x 0−Δx)−f(x 0)Δx =f′(x 0)B ．limΔℎ→0f(t+Δℎ)−f(t−Δℎ)2Δℎ=f′(t)C ．limΔx→0f(x 0+3Δx)−f(x 0)3Δx =f′(x 0)D ．limΔx→0g(x 0+Δx)−g(x 0)f(x 0+Δx)−f(x 0)=g′(x 0)f′(x 0) 解：A ：lim △x→0f(x 0−△x)−f(x 0)△x =−lim △x→0f(x 0−△x)−f(x 0)−△x =−f ′（x 0），故A 错误；B ：lim△ℎ→0f(t+△ℎ)−f(t−△ℎ)2△ℎ=lim △ℎ→0f(t+△ℎ)−f(t−△ℎ)(t+△ℎ)−(t−△ℎ)=lim △ℎ→0f(t+2△ℎ)−f(t)2△ℎ=f ′（t ），故B 正确；C ：根据极限与导数的定义可判断C 正确；D：lim△x→0g(x0+△x)−g(x0)f(x0+△x)−f(x0)=lim△x→0g(x0+△x)−g(x0)△xf(x0+△x)−f(x0)△x=△x→0limg(x0+△x)−g(x0)△x△x→0limf(x0+△x)−f(x0)△x=g′(x0)f′(x0)，故D正确．故选：BCD．10．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，正项等比数列{b n}的前n项积为T n，则（）A．数列{S nn}是等差数列B．数列{3a n}是等比数列C．数列{lnT n}是等差数列D．数列{T n+2T n}是等比数列解：根据题意，设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则S n=d2n2+(a1−d2)n⇒S nn=d2n+(a1−d2)，依次分析选项：对于A，S nn−S n−1n−1=d2(n≥2)是常数，故A正确；对于B，易知3a n3a n−1=3a n−a n−1=3d(n≥2)是常数，故B正确；对于C，由lnT n﹣lnT n﹣1＝lnb n（n≥2）不是常数，故C错误；对于D，T n+2T n÷T n+1T n−1=b n+2b n=q2(n≥2)是常数，故D正确．故选：ABD．11．已知O为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的顶点，直线l交抛物线于M，N两点，过点M，N分别向准线x=−p2作垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是（）A．若直线l过焦点F，则以MN为直径的圆与y轴相切B．若直线l过焦点F，则PF⊥QFC．若M，N两点的纵坐标之积为﹣8p2，则直线l过定点（4p，0）D．若OM⊥ON，则直线l恒过点（2p，0）解：设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线l过焦点F（p2，0）时，设其方程为x＝ty+p2，联立{x=ty+p2y2=2px，得y2﹣2pty﹣p2＝0，所以y1+y2＝2pt，y1y2＝﹣p2，所以x1+x2＝t（y1+y2）+p＝2pt2+p，对于选项A，线段MN中点坐标为（x1+x22，y1+y22），即（pt2+12p，pt），其到y轴的距离为pt2+12p，弦长|MN|＝x1+x2+p＝2pt2+2p，因此以MN为直径的圆的半径为|MN|2=pt2+p≠pt2+12p，所以以MN 为直径的圆与y 轴不相切，即选项A 错误；对于选项B ，由题意知，P （−p 2，y 1），Q （−p2，y 2），所以PF →⋅QF →=（p ，﹣y 1）•（p ，﹣y 2）＝p 2+y 1y 2＝p 2﹣p 2＝0，即PF ⊥QF ，故选项B 正确；当直线l 不过焦点F （p2，0）时，设其方程为x ＝ty +m （m ≠0），联立{x =ty +m y 2=2px，得y 2﹣2pty ﹣2pm ＝0，所以y 1y 2＝﹣2pm ，所以x 1x 2=y 122p ⋅y 222p =4p 2m 24p2=m 2，对于选项C ，若M ，N 两点的纵坐标之积为﹣8p 2，则y 1y 2＝﹣2pm ＝﹣8p 2，所以m ＝4p ，所以直线l 的方程为x ＝ty +4p ，过定点（4p ，0），即选项C 正确；对于选项D ，若OM ⊥ON ，则OM →⋅ON →=x 1x 2+y 1y 2＝m 2﹣2pm ＝m （m ﹣2p ）＝0，因为m ≠0，所以m ＝2p ，所以直线l 的方程为x ＝ty +2p ，过定点（2p ，0），即选项D 正确．故选：BCD ．12．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A ．QC →=AD →+2AB →−2AA 1→B ．若M 为线段CQ 上的一个动点，则BM →⋅BD →的最小值为1 C ．点F 到直线CQ 的距离是√173D ．异面直线CQ 与AD 1所成角的正切值为√17解：因为CQ →=CB →+BQ →=−AD →+2BA 1→=−AD →+2（AA 1→−AB →）＝﹣2AB →−AD →+2AA 1→，所以QC →=−CQ →=−（﹣2AB →−AD →+2AA 1→）=AD →+2AB →−2AA 1→，故A 正确；如图以A 1为坐标原点，建立空间直角坐标系，则B （0，1，﹣1），D 1（﹣1，0，0），D （﹣1，0，﹣1），Q （0，﹣1，1），C （﹣1，1，﹣1），A （0，0，﹣1），P （1，﹣1，0），F （1，0，0），BD →=(−1，−1，0)，CQ →=(1，−2，2)，AD 1→=(−1，0，1)，CP →=(2，−2，1)，CF →=（2，﹣1，1），对于B ：因为M 为线段CQ 上的一个动点，设CM →=λCQ →，λ∈[0，1]，则BM →=BC →+CM →=（﹣1，0，0）+λ（1，﹣2，2）＝（λ﹣1，﹣2λ，2λ），所以BM →•BD →=−（λ﹣1）+2λ＝λ+1，所以当＝1时，(BM →⋅BD →)max =2，故B 正确；对于C ：|CF →|=√22+(−1)2+12=√6，CF →⋅CQ →|CQ →|=222=2，所以点F 到直线CQ 的距离d =√|CF →|2−(CF →⋅CQ→|CQ →|)2=√2，故C 错误；对于D ：因为cos ＜CQ →，AD 1→＞=CQ →⋅AD 1→|CQ →|⋅|AD 1→|=13√2=√26，所以sin ＜CQ →，AD 1→＞=√1−(√26)2=√346，所以tan〈CQ →，AD 1→〉=√17，即异面直线CQ 与 AD 1所成角的正切值为√17，故D 正确．故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知f （x ）＝e sin x ，则f '（x ）＝ e sin x •cos x ．解：根据题意，可得f '（x ）＝e sin x •（sin x ）′＝e sin x •cos x ．故答案为：e sin x •cos x ．14．若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足|PA||PB|=2，则△P AB 面积的最大值为 3 ．解：平面内两定点A，B间的距离为3，设A（−32，0），B（32，0），P（x，y），由|PA||PB|=2，得√(x+3)2+y2√(x−2)2+y2=2，所以(x−52)2+y2=4，所以要使△P AB的面积最大，只需点P到AB的距离最大，如图所示：由图可知当点P到AB的距离h＝r＝2 时，△P AB面积的最大值，故S△P AB的最大值为12×3×2=3．故答案为：3．15．已知点P是抛物线y2＝4x上动点，F是抛物线的焦点，点A的坐标为（﹣1，0），则|PF||PA|的最小值为√22．解：由抛物线的方程y2＝4x可得焦点F（1，0），A（﹣1，0）在准线上，过抛物线上的点P作PD垂直于准线交于D点，由抛物线的性质可得|PF|＝|PD|，在△P AD中，|PD||PA|=cos∠DP A＝cos∠P AF，所以|PD||PA|最小时，则cos∠P AF最小，则∠P AF最大，而∠P AF最大时即过点A的直线与抛物线相切，设P（x，y）在第一象限，y＞0，由y2＝4x可得y＝2√x，y'=√x，所以在P处的切线的斜率为√x =y−0x+1=2√xx+1，整理可得：2x＝x+1，解得x＝1，代入抛物线的方程可得y＝2，即P（1，2），所以|PF||PA|的最小值为|PD||PA|=√[1−(−1)]2+22=√22．故答案为：√2 2．16．意大利著名数学家莱昂纳多•斐波那契（LeonardoFibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割√5−12≈0.618，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为{a n}．记一个新的数列{b n}，其中b n的值为a n除以4得到的余数，则∑2024i=1b i=2698．解：由题意，斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…每项被4除所得的余数构成数列{b n}，可得数列{b n}的各项分别为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，即数列{b n}中各项除以4所得余数组成以6为周期的周期数列，所以数列{b n}在一个周期内的和为1+1+2+3+1+0＝8，因为2024＝337×6+2，所以∑2024i=1b i=337×8+b1+b2＝2698．故答案为：2698．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）＝x3﹣x+1，直线l：y＝2x﹣2与x轴交于点A．（1）求过点A的f（x）的切线方程；（2）若点B在函数f（x）图象上，且f（x）在点B处的切线与直线l平行，求B点坐标．解：（1）设切点为（x0，f（x0）），切线斜率k=f′(x0)=3x02−1，∴切线方程为y−(x03−x0+1)=(3x02−1)(x−x0)，∵所求切线过点A（1，0），∴−x03+x0−1=3x02−1−3x03+x0，解得：x0＝0或x0=3 2．当x0＝0时切线方程为y＝﹣x+1；当x0=32时切线方程为y=234x−234．（2）由f′（x）＝3x2﹣1＝2，解得x＝±1，∴B（1，1）或B（﹣1，1）．18．（12分）已知圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝9有两个不同的交点D，E．（1）求r的取值范围；（2）若r＝4，求线段DE的长．解：（1）由于圆O：x2+y2＝r2（r＞0）与圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝9有两个不同的交点，故|r﹣3|＜5＜r+3，整理得：2＜r＜8，即r∈（2，8）．（2）∵OD＝r＝4，所以：x2+y2＝16，根据圆与圆的位置，CD＝3，OC＝5，所以△OCD为直角三角形，利用面积相等，所以DE=2⋅3⋅45=245．19．（12分）已知数列{a n}是首项为正数的等差数列，S n=n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=(a n+1)⋅2a n，求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）根据题意，n≥2时，a n=s n−s n−1=n2−(n−1)2=2n−1，n＝1时，a1＝S1＝1＝2×1﹣1，故a n＝2n﹣1；（2）由（1）的结论，可知b n=2n⋅22n−1=n⋅22n=n⋅4n，故T n=b1+b2+⋯+b n=1⋅41+2⋅42+⋯+n⋅4n，可得4T n=1⋅42+2⋅43+⋅⋯⋅(n−1)⋅4n+n⋅4n+1，两式相减，得3T n=n⋅4n+1−(41+42+⋯+4n)=n⋅4n+1−1−4n1−4⋅4=n⋅4n+1−43⋅(4n−1)=(n−1 3)4n+1+43所以T n=(n3−19)⋅4n+1+49．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为正方形，且P A＝PC，PB＝PD，（1）若AC与BD交于点O，证明：PO⊥平面ABCD；（2）棱PD上的点E满足PE＝2DE，若PA=√3，AB＝2，求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．（1）证明：由题意知，点O既是AC的中点，也是BD的中点，因为P A＝PC，PB＝PD，所以PO⊥AC∵PB＝PD，PO⊥BD⇒PO⊥AC又AC ∩BD ＝O ，AC 、BD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ．（2）解：以O 为坐标原点，OD ，OC ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B （−√2，0，0），C （0，√2，0），P （0，0，1），E （2√23，0，13），所以PB →=(−√2，0，−1)，BC →=(√2，√2，0)，CE →=(2√23，−√2，13)，设平面PBC 的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅PB →=0n →⋅BC →=0，即{−√2x −z =0√2x +√2y =0，取x ＝1，则y ＝﹣1，z =−√2，所以n →=(1，−1，−√2)，设直线CE 与平面PBC 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜CE →，n →＞|=|CE →⋅n →||CE →|⋅|n →|=|2√23+√2−√23|√89+2+19×2=2√69，故直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值为2√69． 21．（12分）已知数列{a n }满足a 1＝1，且对任意正整数n 都有a n +1＝a n +n +1．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{b n }的前n 项和为T n ，b n =n −(−1)n a n ，（n ∈N *），若A ={n|n ≤100且T n ≤100，n ∈N ∗}，求集合A 中所有元素的和．解：（1）由a 1＝1，且对任意正整数n 都有a n +1＝a n +n +1，即a n +1﹣a n ＝n +1，可得a n ＝a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+...+（a n ﹣a n ﹣1）＝1+2+3+...+n =12n （n +1）；（2）b n =n −(−1)n ⋅n(n+1)2，显然，当n 为偶函数，n −n(n+1)2＜0， T 2k =(1+2+⋯+2k)+12⋅[1⋅2−2⋅3+3⋅4−4⋅5+⋯+(2k −1)⋅2k −2k ⋅(2k +1)]=k ⋅(2k +1)+12⋅[−2⋅2−2⋅4−⋯−2⋅2k]＝2k 2+k ﹣（2+4+⋯+2k ）＝2k 2+k ﹣k （k +1）＝k 2，由k 2≤100， ∴k ≤10．则T 2，T 4，…，T 20满意题意；T 2k+1=k 2+(2k +1)+(2k +1)⋅(k +1)=3k 2+5k +2≤100，可得k ≤4， ∴T 1，T 3，T 5，T 7，T 9满足．∴A 中所有元素和为（1+3+5+7+9）+（2+4+⋯+20）＝25+110＝135． 22．（12分）已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1，长轴长为4，离心率为12，左焦点为F ．点M 在椭圆内，且MF ⊥x 轴，过点M 的直线与椭圆交于A 、B 两点（点B 在点A 右侧），直线AN 、BN 分别与椭圆相切且交于点N ．（1）求椭圆的方程；（2）若直线AF 与直线BF 的倾斜角互补，则M 点与N 点纵坐标之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由．解：（1）椭圆C 的长轴长为4，则2a ＝4，所以a ＝2，又离心率为12，所以c ＝1，所以b =√3，所以椭圆的方程为x 24+y 23=1．（2）由（1）知，x 24+y 23=1，由点M 在椭圆内，且MF ⊥x 轴，设M （﹣1，y μ），则直线AB 的方程为y ﹣y μ＝k （x +1），联立直线和椭圆的方程，可得{y =kx +k +y μ3x 2+4y 2=12，则3x 2+4(kx +k +y μ)2=12，所以(4k 2+3)x 2+8(k +y μ)⋅kx +4⋅(k +y μ)2−12=0，所以{x 1+x 2=−8(k+y μ)k4k 2+3x 1x 2=4(k+y μ)2−124k 2+3，所以k AF =k BF ⇔y 1x 1+1=−y 2x 2+1，所以（x 2+1）•y 1+（x 1+1）•y 2＝0，所以（x 2+1）（kx 1+k +y μ）+（x 1+1）•（kx 2+k +y μ）＝0，所以2（2x 1x 2+（2k +y μ）（x 1+x 2）+2（k +y μ）＝0，2k 2+3ky μ+y μ2⇔2k[4(k 2+y μ)2−12]−8k(2+k μ)(2k +y μ)+2⋅(k +y μ)⋅(4k 2+3)=0 ⇔8k 2+16k 2y μ+8ky μ2−24k −16k 3−24k 2y μ−8ky μ2+8k 2+6k +8k 2y μ+6y μ=0，所以6y μ＝18k ，所以y μ＝3k ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则直线AN 的方程为x⋅x 14+y⋅y 13=1，所以x =4x 1⋅(1−y⋅y 13)，直线BN 的方程为x⋅x 24+y⋅y 23=1，所以x =4x 2⋅(1−y⋅y 23)，所以1−y⋅y 13x 1=1−y⋅y 23x 2，所以x2（3﹣y•y1）＝x1•（3﹣y•y2），3（x2﹣x1）＝（x2y1﹣x1y2）•y N，所以y N=3(x2−x1)x2y1−x1y2．因为x2y1﹣x1y2＝x2（kx1+k+yμ）﹣x1（kx2+k+yμ）＝（k+yμ）（x2﹣x1），所以y N=3k2+yμ=34k，所以yμ⋅y N=94为定值．。

浙江省杭州校区2023-2024学年高二上学期期末数学试题含答案

杭州2023学年第一学期期末考试高二数学试卷（答案在最后）命题人：一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1.已知复数z 满足4,4i z z z z +=-=-，则||z =（）A.2B.4C. D.【答案】C 【解析】【分析】由条件求得z ，即可计算复数模.【详解】∵4z z +=，4i z z -=-，∴244i z =-，22i z =-，∴z ==故选：C.2.已知集合{}{ln(1)},e x M xy x N y y ==-==∣∣，则M N ⋂=（）A.(0,1)B.(,1)-∞ C.(1,)+∞ D.∅【答案】A 【解析】【分析】求函数ln(1)y x =-的定义域得出集合M ，求函数e x y =的值域得出集合N ，再求出M N ⋂即可.【详解】{ln(1)}{10}{1}M xy x x x x x ==-=->=<∣∣∣,{}{}e 0xN y y yy ===>∣∣,所以{01}(0,1)M N xx ⋂=<<=∣.故选：A.3.小港、小海两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小港每次购买50元葡萄，小海每次购买3千克葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（）A.小港两次购买葡萄的平均价格比小海低B.小海两次购买葡萄的平均价格比小港低C.小港与小海两次购买葡萄的平均价格一样D.丙次购买葡萄的平均价格无法比较【答案】A【分析】根据题意计算出两人两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小即可.【详解】设两次葡萄的单价分别为a 元/千克和b 元/千克，且a b ¹，则小海两次均购买3千克葡萄，平均价格为()362a b a b++=元/千克，小港两次均购买50元葡萄，平均价格为10025050aba b a b =++元．因为()()()()22420222a b ab a b a b ab a b a b a b +--+-==>+++，所以小港两次购买葡萄的平均价格比小海低．故选：A .4.已知直线3y kx =-与曲线ln y x =相切，则实数k 的值为（）A.eB.1eC.2e D.21e 【答案】C 【解析】【分析】首先设切点为()00,ln x x ，利用导数的几何意义得到01k x =，从而得到直线方程为03xy x =-，再将切点代入直线求解即可.【详解】设切点为()00,ln x x ，1y x'=，则01k x =，所以直线方程为03xy x =-.又因为()00,ln x x 在直线03xy x =-上，所以0ln 132x =-=-，解得20x e -=.所以221k e e-==.故选：C5.已知向量(2,4),(1,)a b t =-= ，若a 与b 共线，则向量a b +在向量(0,1)j =- 上的投影向量为（）A.jB.j-C.2jD.2j-【答案】D【分析】根据a 与b 共线，可得240t --=，求得2t =-，再利用向量a b +在向量()0,1j =- 上的投影向量为()a b jjjj+⋅⋅ ，计算即可得解.【详解】由向量()2,4a =-，()1,b t = ，若a 与b共线，则240t --=，所以2t =-，则(1,2)a b +=-，所以向量a b +在向量()0,1j =- 上的投影向量为：()(1,2)(0,1)21a b jj j j jj+⋅-⋅-⋅=⋅=-，故选：D.6.已知数列{}n a 为等比数列，公比为q ，前n 项和为n S ，则“20S >”是“数列{}2n S 是单调递增数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的定义和数列单调的定义求解即可.【详解】因为数列{}n a 为等比数列，公比为q ，前n 项和为n S ，若20S >，即2210()S a a =>+，则222222+21120()nn n n n S a a a a S q ++=+=+>-，即数列{}2n S 是单调递增数列；若数列{}2n S 是单调递增数列，则222222+21120()nn n n n S a a a a S q ++=+=+>-，所以2210()S a a =>+；所以“20S >”是“数列{}2n S 是单调递增数列”的充要条件.故选：C.7.在三棱锥-P ABC 中，2PA PB PC AC AB =====，且AC AB ⊥，则三棱锥-P ABC 外接球的表面积为（）A.8πB.9πC.16πD.24π【答案】B【分析】根据题意，由条件确定球心的位置，即可得到球的半径，再由球的表面积公式，即可得到结果.【详解】由题意可得，点P 在底面上的射影M 是CB 的中点，是三角形ABC 的外心，令球心为O ，因为2AC AB ==，且AC AB ⊥，所以MB MC MA ===，又因为PA PB PC ===2PM ==，在直角三角形OBM 中，222OB OM BM =+，即()2222R R =+-，解得32R =，则三棱锥外接球的表面积为294π4π9π4R =⨯=.故选：B8.设点(0,2)A ，抛物线22(0)y px p =>上的点P 到y 轴的距离为d ．若||PA d +的最小值为1，则p =（）A.6B.4C.3D.2【答案】C 【解析】【分析】结合抛物线的定义得到关于p 的方程，解出即可.【详解】抛物线22(0)y px p =>，则焦点(,0)2p F ，准线2p x =-，PA d +最小时，即2p PA d ++最小，根据抛物线的定义，||2pd PF +=，所以只需求||||PA PF +的最小值即可，当P 为线段AF 与抛物线交点时，||||PA PF +最小，且最小值为12p AF ==+，解得3p =.故选：C.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）9.下列表述正确的是（）A.如果0,a b c d >>>，那么ac bd >B.如果0a b >>a b>C.如果0,0c a b d >>>>，那么11ac bd < D.如果a b ≥，那么2a bb a +≤≤【答案】BCD 【解析】【分析】根据不等式的基本性质判断ABC ，利用作差法判断D 即可.【详解】A ：由,0c d b >>，得bc bd >，若0a b >>，0c >，得ac bc >，则ac bc bd >>，即ac bd >；若0a b >>，0c <，得ac bc <，则ac bd >不成立，故A 错误；B ：若0a b >>a b >B 正确；C ：由0a b >>，0c d >>，得0ac bd >>，则0abcd >，所以ac bdabcd abcd >，即11acbd<，故C 正确；D ：若a b ≥，则0,02222a b b a a b a bb a +-+--=≤-=≥，所以,22a b a bb a ++≤≥，即2a bb a +≤≤，故D 正确.故选：BCD10.已知双曲线C 的两个焦点分别为()()1222,0,2,0F F -，且满足条件p ，可以解得双曲线C 的方程为224x y -=，则条件p 可以是（）A.实轴长为4B.双曲线C 为等轴双曲线C.离心率为22D.渐近线方程为y x=±【答案】ABD【解析】【分析】根据双曲线实轴、离心率、渐近线方程等性质逐项分析即可.【详解】设该双曲线标准方程为22221x y a b-=，则c =对于A 选项，若实轴长为4，则2a =，2224b c a ∴=-=，符合题意；对于B 选项，若该双曲线为等轴双曲线，则a b =，又c =2228a b c +==，可解得224a b ==，符合题意；对于C 选项，由双曲线的离心率大于1知，不合题意；对于D 选项，若渐近线方程为y x =±，则a b =，结合2228a b c +==，可解得224a b ==，符合题意，故选：ABD.11.如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱,,AD AB BC 的中点，点P 为线段1D F 上的动点（包含端点），则（）A.存在点P ，使得1//C G 平面BEPB.对任意点P ，平面1FCC ⊥平面BEPC.两条异面直线1D C 和1BC 所成的角为45︒D.点1B 到直线1D F 的距离为4【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项当P 与1D 重合时，用线面平行可得出11//C G D E ，进而可得；B 选项证明BE ⊥平面1FCC 即可得出；选项C 由正方体的性质和画图直接得出；选项D 由余弦定理确定1145B D F ∠=︒，之后求距离即可.【详解】A ：当P 与1D 重合时，由题可知，11111111//,,//,,//,EG DC EG DC D C DC D C DC EG D C EG D C ==∴=，四边形11EGC D 为平行四边形，故11//C G D E ，又1C G ⊄平面BEP ，1D E ⊂平面BEP ，则1//C G 平面BEP ，故A 正确；B ：连接CF ，1CC ⊥ 平面ABCD ，BE ⊂平面ABCD ，1CC BE ∴⊥，又,,,AE BF AB BC A CBF BAF CBF ==∠=∠∴ ≌，故90,AEB BFC EBA BFC CF BE ∠=∠⇒∠+∠=︒∴⊥，又11,,CF CC C CF CC =⊂ 平面1FCC ，BE ∴⊥平面1FCC ，又BE ⊂平面BEP ，故对任意点P ，平面1FCC ⊥平面BEP ，故B 正确；C ：由正方体的结构特征可知11//BC AD ，异面直线1D C 和1BC 所成的角即为1AD 和1D C 所成的角，由图可知为60︒，故C 错误；D ：由正方体的特征可得1111B D FD B F =====，222222111111111116cos ,4522B D FD B F B D F B D F B D FD +-+-∴∠===∴∠=︒⋅，所以点1B 到直线1D F 的距离1111sin 42d B D B D F =∠==，故D 正确；故选：ABD.12.设定义在R 上的函数(),()f x g x 的导函数分别为(),()f xg x ''，若(2)(2)2,()(2)f x g x f x g x ''++-==+且(1)y g x =+为偶函数，则下列说法中正确的是（）A.(1)0g '= B.(2)(3)(4)0g g g ++=C.()g x '的图象关于3x =对称 D.函数()f x 为周期函数，且周期为4【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，根据(1)y g x =+为偶函数求出()g x 的表达式，然后给()g x 的表达式两边求导，然后取特值求解；对于D ，根据()(2)f x g x ⅱ=+和(1)y g x =+为偶函数找到(),()f x g x 的关系，求出周期；B ：根据()g x 的性质，取特值求解；C ：根据已知推导出(6)()g x g x ''-=.【详解】A ：因为(1)y g x =+为偶函数，所以()()11g x g x -+=+，所以()()11g x g x ''--+=+，令0x =，则()()11g g ''-=，所以()10g '=，故A 正确；D ：因为()(2)f x g x ⅱ=+，所以()()2f x g x m =++，用x -代替原来的x 得()()2f x g m x =--+，①又(1)y g x =+为偶函数，所以()()11g x g x -+=+，用1x -代替原来的x 得：()()2g x g x -=，②由①②得()()f x x g m -=+，③又(2)(2)2f x g x ++-=，用2x --代替原来的x 得：()()24x x f g +-+=，④由③④联立得：()()24g m x g x +++=，⑤用4x +代替原来的x 得：()()248g x m x g ++++=，⑥⑥减去⑤得：()()8g x g x +=，故()g x 为周期函数，且周期为8，用x -代替原来的x 得：()()8g x g x -=-，⑦因为(2)(2)2f x g x ++-=，用2x +代替原来的x 得：()()42f x g x ++-=，⑧因为(2)(2)2f x g x ++-=，用6x -代替原来的x 得：()()482f x g x -+-=，⑨由⑦⑧⑨得：()()44f x f x -=+，用4x +代替原来的x 得：()()8f x f x =+，所以()f x 为周期函数，且周期为8，故D 错误；B ：因为常函数()()111f g ==为满足题意得一组解，但(2)(3)(4)30g g g ++=¹，故B 错误；C ：由(2)(2)2f x g x ++-=，则(2)(2)0f x g x ''+--=，即()(4)f x g x ''=-，又()(2)f x g x ⅱ=+，则(4)(2)g x g x ''-=+，即(6)()g x g x ''-=，故C 正确；故选：AC.【点睛】关键点点睛：对于抽象函数可任意赋值（符合已知条件）得到函数的周期，再根据周期性和奇偶性取特值代入求解.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数.某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是7.6，8.5，7.8，9.2，8.1，9，7.9，9.5，8.3，8.8，6.9，9.4，则这组数据的下四分位数（也称第一四分位数）是________.【答案】7.85【解析】【分析】由样本数据结合下四分位数的定义求解即可.【详解】将样本数据按从小到大排列可得，6.9,7.6,7.8,7.9，8.1,8.3,8.5,8.8，9,9.2,9.4,9.5，又1225%3⨯=，所以样本数据的下四分位数为7.87.97.852+=，故答案为：7.85.14.已知有100个半径互不相等的同心圆，其中最小圆的半径为1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，则这100个圆中最大圆的半径是_____．【答案】10【解析】【分析】设这100个圆的半径从小到大依次为12100,,,r r r ，得211r =且2211n n r r +-=，则2{}n r 是以1为首项，1为公差的等差数列，结合等差数列的通项公式计算即可求解.【详解】设这100个圆的半径从小到大依次为12100,,,r r r ，则211r =，又每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，所以2211(1,2,,99)n n r r n +-== ，所以数列2{}n r 是以1为首项，1为公差的等差数列，1,2,,100n = ，所以2n r n =，所以2100100r =，由1000r >，解得10010r =.故答案为：1015.设椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点为(),0F c ，点()3,0A c 在椭圆外，P 、Q 在椭圆上，且P是线段AQ 的中点.若直线PQ 、PF 的斜率之积为12-，则椭圆的离心率为______.【答案】2【解析】【分析】取线段PQ 的中点M ，连接OM ，推导出//OM PF ，可得出12OM PQ PF PQ k k k k ==-，利用点差法可求得22b a的值，由此可求得椭圆Γ的离心率的值.【详解】如下图所示：由题意可知，点(),0E c -为椭圆Γ的左焦点，因为点()3,0A c 、(),0F c ，易知点F 为线段AE 的中点，又因为P 为AQ 的中点，所以，//PF QE ，取线段PQ 的中点M ，连接OM ，则2AP AF PMOF==，所以，//OM PF ，所以，OM PF k k =，故12OM PQ PF PQ k k k k ==-，设点()11,P x y 、()22,Q x y ，则点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以，22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两个等式作差可得22221212220x x y y a b --+=，可得2221222212y y b x x a -=--，所以，122221212222121212012202OM PQy y y y y y b k k x x x x x x a +---=⋅==-=-+---，所以，椭圆Γ的离心率为2222222121122c c a b b e a a a a -===--.故答案为：22.16.已知数列{}n a 满足1π(1)cos 3n n n a n a +=-+，若11a =，则2024a =_____．【答案】67512【解析】【分析】用累乘法，结合余弦函数的周期性求解.【详解】因为πcos 3n y =的最小正周期为2π6π3=，且2023=3376余1，由已知可得()()337320242202416751220231111111111111111=222222aa a a a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⨯-+⨯-⨯--⨯-⨯-+⨯+⨯-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故答案为：67512.【点睛】关键点点睛：数列中带有三角函数且求数列中较大的某一项时，通常想到用周期函数的性质求解.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.记ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、csin A c A +=．（1）求角C ；（2）若ABC 的周长为20，面积为，求边c ．【答案】17.60︒18.7【解析】【分析】（1）根据正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式和同角的三角函数关系化简，即可求解；（2）根据三角形的面积公式可得40ab =，由余弦定理计算可得22240a b c +=+，结合22()(20)a b c +=-计算即可求解.【小问1详解】cos sin A c A +=，cos sin sin )C A C A B A C +==+，cos sin sin cos cos C A C A A C C A +=+，sin sin cos C A A C =，又0180A ︒<<，得sin 0A >，所以sin C C =，即sin tan cos CC C==，由0180C ︒<<，解得60C ︒=；【小问2详解】由（1），得1sin 2ABC S ab C === 40ab =，由余弦定理，得222cos cos 602a b c C ab ︒+-==，即2221280a b c +-=，得22240a b c +=+.又20a b c ++=，所以22()(20)a b c +=-，即222240040a ab b c c ++=-+，即22408040040c c c ++=-+，解得7c =.18.已知A 、B 是抛物线24y x =上异于顶点的两个动点，直线AB 与x 轴交于P ．（1）若OA OB ⊥，求P 的坐标；（2）若P 为抛物线的焦点，且弦AB 的长等于6，求OAB 的面积．【答案】（1）(4,0)；（2【解析】【分析】（1）设直线AB 的方程为x my t =+(0)t ≠，与抛物线方程联立，根据韦达定理及平面向量数量积公式可求得t 的值，从而求出P 的坐标；（2）设直线AB 的方程为1x ny =+，与抛物线方程联立，根据韦达定理及弦长公式可求得2n 的值，再求出点O 到直线AB 的距离，从而求出OAB 的面积.【小问1详解】因为直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为x my t =+，(0)t ≠，1122(,),(,)A x y B x y ，由24x my t y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y my t --=，所以216160m t ∆=+>，124y y m +=，124y y t =-，由OA OB ⊥，得12121222212)0((4)441616O y t x x B y y A O y y t t t -=+⋅=+=-=-= ，解得4t =，满足0∆>，所以直线AB 方程为4x my =+，令0y =得4x =，即P 的坐标(4,0).【小问2详解】由题意知抛物线的焦点为(1,0)，因为直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为1x ny =+，点3344(,),(,)A x y B x y ，由214x ny y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ny --=，所以216160n ∆=+>，344y y n +=，344y y =-，所以2344(1)6AB y n =-==+=，解得212n =，点O 到直线AB 的距离为3d ==，所以116223OAB S AB d ==⨯⨯= ,故OAB 的面积为.19.设a 为实数，函数32()3,()ln f x x x a g x x x =-+=．（1）求()f x 的极值；（2）对于1221[1,3],,e e x x ⎡⎤∀∈∀∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12f x g x ≥，试求实数a 的取值范围．【答案】（1）极大值为a ，极小值为4a -（2）e 4a ≥+【解析】【分析】（1）利用导数分析函数()f x 的单调性，由此可求得函数()f x 的极大值和极小值；（2）分析可知()()12min max f x g x ≥，利用导数求得函数()f x 在[]1,3上的最小值，求出函数()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围.【小问1详解】函数()323f x x x a =-+的定义域为R ，()()23632f x x x x x '=-=-，令()0f x '=，可得0x =或2，列表如下：x(),0∞-0()0,22()2,+∞()f x '+-+()f x 递增极大值递减极小值递增故函数()f x 的极大值为()0f a =，极小值为()24f a =-.【小问2详解】对于[]11,3x ∀∈，21,e e x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12f x g x ≥，则()()12min max f x g x ≥.由（1）可知，函数()f x 在[)1,2上单调递减，在(]2,3上单调递增，故当[]1,3x ∈时，()()min 24f x f a ==-，因为()ln g x x x =，且1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()1ln 0g x x '=+≥在1,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，故函数()g x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故()()max e e g x g ==，由题意可得4e a -≥，故e 4a ≥+.20.设正项等比数列{}n a 的公比为q ，且1q ≠，*q ∈N .令2log n q nn nb a +=，记n T 为数列{}n a 的前n 项积，nS 为数列{}n b 的前n 项和.（1）若2134a a a =，2367S T +=，求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 为等差数列，且99299log 99S T -=，求q .【答案】（1）342n n a -=（2）2【解析】【分析】（1）根据等比数列的性质求得364T =，结合已知化简得()2113log 5log 20q q a a --=，解得11log 3q a =-或1log 2q a =，利用对数运算求得q ，即可求得通项公式；（2）利用等差数列的性质及对数运算得nn a q =或1n n a q +=，分类讨论建立方程求解即可.【小问1详解】因为2134a a a =，所以2224a a =，解得24a =，所以33123264T a a a a =⋅⋅==，又2121126log log 1q q S b b a a =+=++，所以2311266467log log 1q q S T a a +=++=+，整理化简得()2113log 5log 20q q a a --=，解得11log 3q a =-或1log 2q a =，所以131a q-=或21a q =，又214a a q ==，所以8q =或q =（舍去），所以112a =，所以13412n n n a a q--==.【小问2详解】因为{}n b 为等差数列，所以2132b b b =+，即11112212log 1log log 2q q q a a a =+++，解得1log 1q a =或1log 2q a =，所以1a q =或21a q =，所以nn a q =或1n n a q+=，①当n n a q =时，21n n nb n n+==+，易知{}n b 是等差数列，所以()9999210051992S +==⨯，()2999950299222log log log 9950log T q q q qq ⨯=⋅==⨯ ，又99299log 99S T -=，所以251999950log 99q ⨯-⨯=，所以2log 1q =，解得2q =；②当1n n a q+=时，21n n nb n n +==+，易知{}n b 是等差数列，所以()999919950992S +==⨯，()231009951299222log log log 9951log T q q q qq ⨯=⋅==⨯ ，又99299log 99S T -=，所以25051log 1q -=，解得49*512N q =∉，舍去；综上，2q =.21.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ，且BC BD BA ==，120CBA CBD ∠∠== ，点P 在线段AC 上，点Q 在线段CD 上.（1）求证：AD BC ⊥；（2）若AC ⊥平面BPQ ，求BPBQ的值；（3）在（2）的条件下，求平面ABD 与平面PBQ 所成角的余弦值.【答案】21.证明见解析22.32BP BQ =23.55【解析】【分析】（1）根据三角形全等，可证明线线垂直，进而可得线面垂直，进而可求证，（2）建立空间直角坐标系，利用向量即可求解.或者利用空间垂直关系的转化即可结合三角形的边角关系求解.（3）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解.【小问1详解】证明：过A 作AO ⊥直线BC 于O ，连接DO .由题知,,60BA BD BO BO ABO DBO ∠∠==== ，,90ABO DBO DOB AOB ∠∠∴≅∴== ，即BC DO ⊥，又,,,BC AO AO DO O AO DO ⊥⋂=⊂平面AOD ,BC ∴⊥平面AOD ，又AD ⊂平面AOD ，BC AD ∴⊥，即AD BC⊥【小问2详解】方法一：平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ⋂平面BCD BC =，,AO BC AO ⊥⊂平面ABC AO ∴⊥平面BCD .以O 为原点，以OB 的长度为单位长度，以,,OD OC OA uuu r uuu r uu r的方向分别为x 轴，y 轴，z 的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，如图，则)(()()3,0,0,3,0,1,0,0,3,0DA B C .AC ⊥ 平面,,BPQ AC BP AC BQ ∴⊥⊥.BA BC P =∴ 为AC中点，由题知)(3,0,0,3,CD AC =-=设()))0,2,03,0,23,0BQ BC CD λλλ=+=+-=-，()23230,3AC BQ λλ∴⋅=-=∴=，,0,0,33BQ BQ ⎛⎫∴=∴= ⎪ ⎪⎝⎭，又在ABC 中，2,120BC BA ABC ∠=== ，所以1,2BP BP BQ =∴=.方法二：AC ⊥ 平面,,BPQ AC BP AC BQ ∴⊥⊥.设2BA BC ==，由120ABC ∠= 知，1BP ∴=.平面ABC⊥平面BCD ，平面ABC ⋂平面,,BCD BC AO BC AO =⊥⊂平面ABC ，AO ∴⊥平面BCD ，又BQ ⊂平面,BCD AO BQ ∴⊥，又,AC BQ AC AO A ⊥⋂=，BQ ∴⊥平面ABC BQ BC ∴⊥.2,30,2,332BP BC BCQ BQ BQ ∠==∴=⨯=∴= 【小问3详解】由（2）知，平面PBQ 的一个法向量为AC，设平面ABD 的一个法向量为()((),,.0,1,,n x y z AB DB ===，则0,0,n AB y n DB y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩令y =则()n =，cos ,5AC n AC n AC n⋅==，∴平面ABD 与平面PBQ所成角的余弦值为.22.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过点(2,1)A，焦距为(3,0)B 作直线l 与椭圆交于C 、D 两点，直线AC AD 、分别与直线3x =交于E 、F ．（1）求椭圆的标准方程；（2）记直线AC AD 、的斜率分别为21k k 、，证明21k k +是定值；（3）是否存在实数λ，使CDE CDF S S λ=△△恒成立．若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22163x y +=（2）证明见解析（3）存在；1λ=【解析】【分析】（1）利用点在椭圆上和焦距列方程组解出即可；（2）设出CD 两点坐标，表示出斜率21k k 、，并设出直线CD 方程与椭圆联立，消去y ，表示出韦达定理，代入21k k +的表达式中化简即可；（3）解方程组分别求出直线的交点,E F 坐标，再求出,E F 到直线CD 的距离，结合已知面积关系表示出两三角面积的方程，再利用212k k +=-代入化简即可.【小问1详解】因为椭圆过点(2,1)A，焦距为，所以222222411633a a bb a b ⎧⎧+==⎪⇒⎨⎨=⎩⎪-=⎩，所以椭圆的标准方程为22163x y +=.【小问2详解】证明：设()()121122121211,,,,,22y y C x y D x y k k x x --==--，直线CD 的斜率一定存在，设为()3y k x =-，则()221633x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 得到()222221121860k x k k +-+-=，()()()2222Δ124211860k k k =-+->，2212122212186,2121k k x x x x k k -+==++，()()()()()1212121212121212222222222313122251242412842118624842144212k k k x k x x x k x x x x x x x x x x k k k k k k k k k +----=+--⎡⎤-++-++⎣⎦=-++-+++=--+++-+=+=-，故21k k +是定值.【小问3详解】设存在实数λ，使CDE CDF S S λ=△△恒成立，由()()11123,13y k x E k x ⎧-=-⇒+⎨=⎩，()()22123,13y k x F k x ⎧-=-⇒+⎨=⎩，设E 到直线CD 的距离为2d ，F 到直线CD 的距离为1d ，则12d d ==因为CDE CDF S S λ=△△，所以211122CD d CD d λ⨯=⨯⨯，②把①代入②并化简可得2111k k λ+=+，由上问可知112222k k k k +=-⇒=--，代入上式可得1111k k λ+=+，所以1λ=.【点睛】关键点点睛：①求曲线的标准方程常用待定系数法和曲线的性质列方程组求解；②证明斜率之和为定值时，首先用曲线上的点表示出斜率，再直曲联立，利用韦达定理化简斜率之和的表达式；。

2023-2024学年浙江省杭州市高二上册期末数学模拟试题1(含解析)

2023-2024学年浙江省杭州市高二上册期末数学模拟试题一、单选题1．若空间向量()1,4,1BA = ，()2,0,2BC =- ，则AC =（）A ．()1,4,3--B ．()1,3,4--C ．()3,4,1-D ．()1,4,3-【正确答案】A【分析】根据空间向量的坐标运算求解即可.【详解】因为()1,4,1BA = ，()2,0,2BC =- ，所以()1,4,3AC BC BA =-=--．故选：A2．函数()()tan 11f x x x x =⋅-≤≤的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】分析函数()f x 的奇偶性可排除两个选项，再由当01x <<时()f x 值的符号即可判断作答.【详解】因当[]1,1x ∈-时，()()()()tan tan f x x x x x f x -=-⋅-=⋅=，则函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，AC 不满足；当01x <<时，()0f x >，选项D 不满足，选项B 符合要求.故选：B3．ABC 的三内角A ，B ，C 所对边长分别是a ，b ，c ，设向量),sin sin c B A n +-=r，(),sin m a b C =+u r ，若//m n，则角B 的大小为（）A ．6πB ．56πC ．3πD ．23π【正确答案】B根据//m n，得到)()()sin sin sin +=-+Cc B A a b ，再由正弦定理整理得到222a c b +-=，然后由余弦定理求解.【详解】设向量),sin sin c B A n +-=r，(),sin m a b C =+u r，因为//m n ，所以)()()sin sin sin +=-+Cc B A a b ，由正弦定理得：)()()+=-+cc b a a b ，即222a c b +-=，由余弦定理得222cos 22a cb B ac +-==-，因为()0,B π∈，所以56B π=故选：B本题主要考查平面向量共线的应用以及正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.4．在ABC 中，若点D 满足2BD D C =，则AD =()A ．1233AC AB+B ．5233AB AC-C ．2133AC AB-D ．2133AC AB+【正确答案】D【分析】根据平面向量的线性运算可求出结果.【详解】由2BD D C =，得2()AD AB AC AD -=- ，得32AD AC AB =+，得2133AD AC AB =+ .故选：D ．5．在数列{}n a 中，12a =，11ln(1n n a a n+=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n++【正确答案】A【详解】试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+12lnln ln 2121n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++--12ln(2121n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+--ln 2n =+故选A.6．双曲线()22210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F ，离心率为e ，过点F 且斜率为1的直线与双曲线的两条渐进线分别交于点A ，B ，若AB 的中点为M ，若FM 等于半焦距，则2e =（）A ．1BCD ．2【正确答案】B【分析】设直线AB 方程，然后与渐近线方程联立即可得出A B 、两点坐标，最后通过A B 、两点坐标得出AB 中点坐标并运用两点间的距离公式得出算式，化简整理，即可得出结果．【详解】双曲线2221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±，设双曲线的半焦距为c ，则双曲线的左焦点(),0F c -，过F 点且斜率为1的直线方程为y x c =+，联立b y x a y x c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，可得ac x b a bc y b a ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，联立b y x a y x c ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，可得ac x b a bc y b a ⎧=⎪⎪--⎨-⎪=⎪--⎩，不妨设,acbc A b a b a ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，,ac bc B b a b a -⎛⎫ ⎪----⎝⎭，故AB 中点坐标为222222,a c b c M b a b a ⎛⎫ --⎝⎭，则有FM c =，222c c b a =-，因为0c ≠，222b a =-，222b a=-222a b=-，所以(221a b=+所以)22=1b a，所以2222c a b=+=，故222cea==故选：B．7．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01e<<时，轨迹为椭圆；当1e=时，轨迹为抛物线；当1e>时，轨迹为双曲线．现有方程()()2222123m x y y x y+++=-+表示的曲线是椭圆，则m的取值范围为（）A．()0,1B．()1+∞C．()0,5D．()5+∞【正确答案】D.【详解】由()()2222123m x y y x y+++=-+可得()()222123m x y x y⎡⎤++=-+⎣⎦，23x y-+，=即动点(,)x y到定点()0,1-的距离与到定直线230x y-+=因为方程()()2222123m xy y x y+++=-+表示的曲线是椭圆，所以01<解得5m>，故选:D.8．如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 分別为1BD ，1BB 上的动点，则1C PQ周长的最小值为（）A ．3a B C D ．3a 【正确答案】B【分析】1C PQ 的三边都在三棱锥111B B C D -的三个侧面上，将三棱锥111B B C D -的侧面展开成平面图形，根据共线时最短求解.【详解】连接11,,BD B D 由图易得，1C PQ 的三边都在三棱锥111B B C D -的三个侧面上，将三棱锥111B B C D -的侧面展开成平面图形，如图，可得四边形111BC D C '为直角梯形，当11,,,C P Q C '四点共线时，1C PQ 的周长最小，=，故选:B.二、多选题9．设0ω>，函数()cos f x x x ωω=+在区间0,3π⎛⎤⎥⎝⎦上有零点，则ω的值可以是（）A ．16B ．56C ．13D ．23【正确答案】BD【分析】由题得π()2sin 6f x x ω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，求函数()f x 的零点，由条件列不等式求其解可得ω的范围即可.【详解】因为()1cos 2cos 22f x x x x x ωωωω⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以π()2sin 6f x x ω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令ππ6x k ω-=，解得()61π,Z 6k x k ω+=∈，因为0ω>，所以函数()f x 的最小的正零点为π6ω，由已知可得ππ063ω<≤，即12ω≥．故选：BD.10．已知数列{}n a 满足11a =，()*12N n n n a a n ++=∈，则下列结论中正确的是（）A ．45a =B ．{}n a 为等比数列C ．2022122021213a a a -+++=D ．2023122022213a a a -+++=【正确答案】AC【分析】利用递推式可求得234,,a a a 的值，可判断A ，B ，利用并项求和法结合等比数列的求和公式判断C ，D.【详解】因为()*12N n n n a a n ++=∈，所以122a a +=，234+=a a ，3342a a +=，又11a =，所以21a =，33a =，45a =，故A 正确；因为211a a =，323aa =，所以{}n a 不是等比数列，故B 错误；1220211235204202021()()()a a a a a a a a a a=+++++++++++ 1011101120222420201(14)412112+2++2===1433⨯---=+- ，故C 正确；()()()122022123420212022a a a a a a a a a +++=++++++ ()101110112023132021214242222+2++2===1433-⨯--=- ，故D 错误.故选：AC.11．已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,3B ，则（）A ．点P 到直线AB 的距离小于9B ．点P 到直线AB 的距离大于1C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，4PB =【正确答案】AC【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误．【详解】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为143x y+=，即34120x y +-=，圆心M 到直线AB 235=，所以，点P 到直线AB 的距离的最大值为23434955+=<，点P 到直线AB 的距离的最小值为2334155-=<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 均与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，()()22535029BM =-+-=，4PM =，由勾股定理可得22291613BP BM MP =-=-=，C 选项正确，D 选项错误，故选：AC ．12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点F 是线段1BC 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．当点F 在1BC 上移动时，直线1A F 与平面1BDC 所成角可能为60B ．无论点F 在1BC 上怎么移动，都有11A F B D⊥C ．当点F 移动至1BC 中点时，才有1A F 与1B D 相交于一点，记为点E ，且12A EEF=D ．当点F 在1BC 上移动时，异面直线1A F 与CD 所成角可能是30 【正确答案】BC【分析】对于A ，利用四面体的等体积法求解直线1A F 与平面1BDC 所成角的正弦值，从而判断正误；对于B ，证明正方体1111ABCD A B C D -的体对角线1B D ⊥平面11A BC ，根据1A F ⊂平面11A BC ，即可判断正误；对于C ，根据四点共面，利用梯形几何性质求解1A EEF，即可判断正误；对于D ，根据动点F 的位置，求解异面直线1A F 与CD 所成角的正切值取值范围来判断正误.【详解】对于A ，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，如图，连接11111,,,,A D A B A C BD DC 在正方体1111ABCD A B C D -中，面对角线1111112A B AC A D BC BD C D ======，故四面体11A BC D 为正四面体，所以111331114141323A BC D A ABD V V V --=-=-⨯⨯⨯=正方体，11322sin 6022BDC S=⨯⨯⨯︒=，则点1A 到平面1BDC 的距离为1113233A BC D BDC V h S-==，所以直线1A F 与平面1BDC 所成角的正弦值1sin h A Fθ=又11A BC V 为正三角形，则当点F 为1BC 的中点时，线段1A F 的长度最短，且为162322⨯⨯=，此时直线1A F 与平面1BDC 所成角的正弦值1sin hA Fθ=最大，且为()max23223sin 362θ==，由于22332>，则θ的最大值大于60 ，故A 错误；选项A 错误；对于B ，如图，连接11111,,A B AC B D在正方体1111ABCD A B C D -中，四边形1111D C B A 为正方形，所以1111AC B D ⊥，又1DD ⊥平面1111D C B A ，11AC ⊂平面1111D C B A ，所以111AC DD ⊥，又1111111,,B D DD D B D DD ⋂=⊂平面11DD B ，所以11A C ⊥平面11DD B ，且1B D ⊂平面11DD B ，所以111A C B D ⊥，同理可得11A B B D ⊥，又1111111,,A C A B A A C A B ⋂=⊂平面11A BC ，所以1B D ⊥平面11A BC ，又1A F ⊂平面11A BC ，所以总有11A F B D ⊥，选项B 正确；若F 不是1BC 的中点，则1A F 与1B D 是异面直线；当F 为1BC 的中点时，也是1B C 的中点，1A F 与1B D 均在平面111A B CD 内且必相交，所以当点F 移动至1BC 中点时，才有1A F 与1B D 相交于一点，记为点E ，连1A D 和1B F，如图，根据11//A D B C ，11A DE FB E ∽△△可得1A EEF＝11DA B F ＝2，选项C 正确；对于D ，因为11//A B CD ，所以11B A F ∠即异面直线1A F 与CD 所成的角，该角的正切值为111B FA B ，易知111112A B B F A B ≤≤11112B F A B ≤≤，tan 30= 故无论点F 在1BC 上怎么移动，异面直线1A F 与CD 所成的角都不可能是30 ，选项D 错误.故选：BC.关键点点睛：本题解决的关键在于根据线面角和异面直线夹角的定义找到对应的平面角，再通过解三角形确定其范围.三、填空题13．在等差数列{}n a 中，已知28142120a a a ++=，则9102a a -的值为________．【正确答案】30【分析】根据等差数列的通项公式求解.【详解】设{}n a 的公差为d ，2814111221413120a a a a d a d a d ++=+++++=，即1730a d +=，所以191110216(9)7302a d a d a a a d =+--+=+=，故答案为:30.14．已知等边三角形ABC 的边长为12，点P 满足320PA PB PC ++= ，则PA = ________．【正确答案】【分析】利用平面向量的坐标运算求出点P 坐标即可求解.【详解】建立如图所示坐标系，其中O 为BC 的中点，所以(6,0),(6,0)A B C -，设(,)P x y ，则(),(6,),(6,)PA x y PB x y PC x y =-=---=-- ，又因为320PA PB PC ++= ，所以3()2(6,)(6,)0x y x y x y -+---+--=，312260320x x xy y y ---+-=⎧⎪⎨---=⎪⎩解得1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以PA = ，所以PA =故答案为:.15．1F ，2F 为双曲线()2222:10x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A ，B 两点，若1113AF F B = ，35,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为双曲线C 上一点，12PF F △的内切圆圆心为I ，过2F 作2F T PI ⊥，垂足为T ，则OT =________．【正确答案】4【分析】设直线AB 方程为y x c =+，联立渐近线方程可得A 、B 坐标，再根据1113AF F B =和点35,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在双曲线上可得a ，然后结合图形，利用内切圆圆心为角平分线交点和双曲线定义可解.【详解】设直线AB 方程为y x c =+，两条渐近线方程分别为b y x a=，b y x a =-，联立y x c b y x a =+⎧⎪⎨=⎪⎩解得B bc y a b =--，联立y x c b y x a =+⎧⎪⎨=-⎪⎩解得A bc y a b =+，因为1113AF F B = ，0a b >>，所以3bc bc a b a b=-+，解得2a b =①又点35,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在双曲线上，所以2225914a b -=②，联立①②解得4,2a b ==，延长2F T 交1PF 于点F '，因为I 为12PF F △的内切圆圆心，所以2IPF IPF '∠=∠，又2F T PT ⊥，TP TP =，所以2TPF TPF '≅，所以T 为2F F '的中点，且2PF PF '=又O 为12F F 的中点，所以112OT F F '=由双曲线定义可知，111228F F PF PF PF PF a ''=-=-==，所以1142OT F F '==，故416．如图，正四面体ABCD 的顶点C 在平面α内，且直线BC 与平面α所成角为30︒，顶点B 在平面α上的射影为点O ，当顶点A 与点O 的距离最大时，直线CD 与平面α所成角的正弦值为________．【正确答案】12##0.5【分析】分析可得当四边形ABOC 为平面四边形时，点A 到点O 的距离最大，D 作DN ⊥平面ABOC ,垂足为N ，点D 作DM ⊥平面α，垂足为M ，则可求DM ，进而可求解.【详解】取AB 中点P ，连接CP ，当四边形ABOC 为平面四边形时，点A 到点O 的距离最大，此时，因为BO ⊥平面α，BO ⊂平面ABOC ，所以平面ABOC ⊥平面α，过D 作DN ⊥平面ABOC ,垂足为N ，则N 为正三角形ABC 的重心，设正四面体的边长为1，则2333CN CP ==,因为直线BC 与平面α所成角为30︒即30BCO ∠= ,且30BCN ∠= ，所以60OCN ∠= ,所以点N 到平面α的距离等于1sin 602d CN == ，过点D 作DM ⊥平面α，垂足为M ，则12DM d ==,所以直线CD 与平面α所成角的正弦值为12DM CD =，故答案为:12.四、解答题17．已知函数()()π=cos +>0,>0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫≤ ⎝⎭的部分图象如图．(1)求()f x 的解析式及单调减区间；(2)求函数π=24y f x -⎛⎫ ⎪⎝⎭在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．【正确答案】(1)π()cos(26f x x =-，减区间为π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(2)函数y 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为1-【分析】（1）利用已知条件求出函数()f x 的关系式，从而可求单调减区间；（2）由（1）得函数2π2cos(23y x =-，根据x 的范围，结合余弦函数性质得最值.【详解】（1）解：由图可知1A =，且ππ2π43124T ω=-=，所以2ω=，所以()cos(2)f x x ϕ=+，将点π(,1)12代入解析式可得πcos()16ϕ+=，得π2π,Z 6k k ϕ+=∈即π2π,Z 6k k ϕ=-+∈，又π2ϕ≤，所以π6ϕ=-则()cos(2)6f x x π=-所以()f x 的单调减区间满足π2π2π2π,Z 6k x k k ≤-≤+∈解得：π7πππ,Z 1212k x k k +≤≤+∈则()f x 的单调减区间为：π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）解：由（1）得：πππ2π2()2cos 2()2cos(2)4463y f x x x --⎡⎤==-=-⎢⎥⎣⎦因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2π2π2,33π3x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦故当=0x 时，min 1y =-；当3x π=时，max 2y =所以函数y 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为1-.18．已知圆()22:24C x y +-=，直线:10l mx y m +--=．(1)证明：直线l 总与圆C 相交；(2)设直线l 与圆C 交于E ，F 两点，求CEF △面积最大时，直线l 的方程．【正确答案】(1)证明见解析(2)0x y -=【分析】(1)根据直线l 所经过的定点在圆内即可证明；(2)利用面积公式确定当π2ECF ∠=时，CEF S △最大，从而求出圆心C 到直线l 的距离d =从而可求解.【详解】（1）直线:10l mx y m +--=可化为()110m x y -+-=，令1x =则1y =，所以直线l 恒过定点(1,1)A ,圆心(0,2)C 到点(1,1)A 的距离为2AC r =<=，所以定点(1,1)A 在圆C 内，所以直线l 总与圆C 相交.（2）因为211sin sin 2sin 22CEF S CE CF ECF r ECF ECF =∠=∠=∠△，所以当π2ECF ∠=时，CEF S △最大，此时圆心C 到直线l 的距离2d r ==，因为d =1m =-，此时直线l 的方程为0x y -=.19．如图所示，己知点G 是ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N两点，且AM xAB =u u u r u u u r ，AN yAC =u u u r u u u r ，x ，y 都为实数．(1)试用基底AM 和AN 来表示AG ，其中表示式中，系数中字母只含有x ，y ；(2)求2x y +的最小值．【正确答案】(1)1133AG AM AN x y=+(2)33+【分析】(1)根据向量的共线，利用基底表示求解；(2)利用基本不等式求解.【详解】（1）因为2111()3233AG AB AC AB AC =⨯+=+ ,因为AM xAB =u u u r u u u r ，AN yAC =u u u r u u u r ，所以1133AG AM AN x y=+ （2）又因为,,M N G 三点共线，由（1）可得11133x y+=，因为,M N 在线段,AB AC 上，所以,0x y >，所以()111213(333331223x y x x y x y y y x ⎛⎛⎫++=++≥⋅+= ⎪⎝+= ⎭⎝+当且仅当2y x x y =即y =即22,66x y +==时取得等号.所以2x y +的最小值为33+.20．已知单调递增的等比数列{}n a 满足23439a a a ++=，且36a +是2a ，4a 的等差中项．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若13log n n n b a a =，12n n S b b b =+++ ，对任意正整数n ，102n n n m S a +++<恒成立，试求m 的取值范围．【正确答案】(1)13n n a -=(2)32m ≤-【分析】(1)根据等差中项和等比数列的通项公式求解；(2)利用错位相减法求和12n n S b b b =+++ ，再分离参变量可得131223n m -<-+⋅即可求m 的取值范围.【详解】（1）设公比为q ，因为36a +是2a ，4a 的等差中项，所以243212a a a +=+，又因为24339a a a +=-，所以3321239a a +=-解得39a =，所以由23439a a a ++=可得33339a a a q q++=，整理得231030q q -+=解得3q =或13q =（舍），又因为2319a a q ==，所以11a =，所以数列{}n a 的通项公式为1113n n n a a q --==.（2）()111133lo 3g 31n n n n b n ---=--⋅=,()012103132313n n S n -⎡⎤=-⋅+⋅+⋅++-⋅⎣⎦ ,()123303132313n n S n ⎡⎤=-⋅+⋅+⋅++-⋅⎣⎦ ,所以()()112313(13)2333313132n n nn n S n n ---=++++--⋅=--⋅- ，所以133()3244n n S n =-+⋅-，因为102n n n m S a +++<恒成立，所以12()0n n S n m a +++<，所以33()3()3022n n n n m -+⋅-++⋅<，所以3333()3(3332222n n n n n m n n +⋅<-⋅+=⋅-⋅+，所以333322n n m ⋅<-⋅+即131223n m -<-+⋅，因为1110,232n -⎛⎤∈ ⎥⋅⎝⎦，所以1313,12232n -⎛⎤-+∈-- ⎥⋅⎝⎦，所以32m ≤-.21．如图，三棱柱111ABC A B C -，底面ABC 是边长为2的正三角形，11A A A B =，平面ABC ⊥平面11AAC C ．(1)证明：1A C ⊥平面ABC ；(2)若BC 与平面1AA B 1AA B 与平面11BB C C 夹角的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析；(2)平面1AA B 与平面11BB C C 所成角的余弦值为34.【分析】（1）取AB 的中点O ，AC 的中点H ，由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，得到1BH A C ⊥，再证明出1A C AB ⊥，从而得到1A C ⊥平面ABC ；（2）建立空间直角坐标系，设1A C a =，然后算出直线BC 的方向向量和平面1AA B 的法向量坐标，然后可求出a ，然后再算出平面11BB C C 的法向量坐标，然后可算出答案.【详解】（1）如图，取AB 的中点O ，AC 的中点H ，连接OC ，1OA ，BH ，因为AB BC =，H 是AC 的中点，所以BH AC ⊥，平面ABC ⊥平面11AAC C ，平面ABC ⋂平面11=AA C C AC ，BH ⊂平面ABC ，所以BH ⊥平面11AAC C ，又1AC ⊂平面11AAC C ，所以1BH A C ⊥，因11A A A B =，AC BC =，O 是AB 的中点，所以1OA AB ⊥，OC AB ⊥，又1=OA OC ⋂O ，1,OA OC ⊂平面1AOC ，所以AB ⊥平面1AOC ，因为1AC ⊂平面1AOC ，1A C AB ⊥.又BH AB B ⋂=，,BH AB ⊂平面ABC ，所以1A C ⊥平面ABC.（2）以O 为坐标原点，OB ，OC 分别为x ，y 轴，平行1AC 为z轴，建系如图所示，设1A C a =，则()1,0,0A -，()1,0,0B，()C，()1A a，()=BC - ，()2,0,0AB =，()1=AA a 设平面1AA B 的法向量为()111,,m x y z =，11111=0020=0m AA x az x m AB ⎧⎧⋅+=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅⎪⎪⎩⎩ ，取1z =可得，110,x y a==所以(0,,m a = 为平面1AA B 的一个法向量，设BC 与平面1AA B 所成的角为θ，则sin cos ,4BC m θ== ，解得a =从而(m =，(11==BB AA ，设平面11BB C C 的法向量为()222,,x n y z =，2221220=0=00x n BB n BC x ⎧=⎧⋅⎪⇒⎨⎨⋅-=⎩⎪⎩ ，取2x 可得，221,2y z ==-，所以)2n =- ，所以()0123cos ,4n m +⨯-== ，设平面1AA B 与平面11BB C C 夹角为ϕ，所以3cos =cos ,4n m ϕ= ，所以平面1AA B 与平面11BB C C 所成角的余弦值为34.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，点3(1,)2P 在椭圆C 上，且12A PA 的面积为3．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 不经过点P 且与椭圆C 交于,A B 两点，若直线PA 与直线PB 的斜率之积为14，作PH l ⊥于H 点．①求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标；②问是否存在定点G ，使得GH 为定值？若存在，请求出该定值，若不存在，请说明理由．【正确答案】(1)22143x y +=(2)①(2,3)-；②19(,),24G GH -=【分析】(1)利用12A PA 的面积求出a 的值，再利用点3(1,)2P 在椭圆上，求出b ，从而求出椭圆的方程；(2)①讨论斜率存在与不存在两种情况，当斜率存在时，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得出222(34)84120k x kmx m +++-=，利用韦达定理和题设条件：两直线斜率之积为14，得出k 与m 的关系，进而得出定点，斜率不存在时单独讨论；②利用PH l ⊥，得到动点H 在点P 和①中所求定点为直径的圆上，从而找出定点G ，求出定长GH .【详解】（1）由12A PA 的面积为3，得到：132322a ⨯⨯=，所以2a =又因为点3(1,2P 在椭圆上，291414b∴+=，得到b =所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）①当直线斜率不存在时，设直线1111111:(22,1),),(,)l x x x x A x y B x y =-<<≠-，（2211143x y ∴+=又111133122114PA PB y y k k x x ---⋅=⋅=--，得到221194(1)y x -=-，将2211334y x =-代入得到21120x x +-=，11x ∴=或12x =-，不合题意.当直线l 斜率存在时，设直线:l y kx m =+，1122(,),(,)A x yB x y 由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到222(34)84120k x kmx m +++-=2222644(34)(412)0k m k m ∴∆=-+->，即2234m k <+21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++221212121212121212333333()()()()()122222211(1)(1)()14PA PB y y kx m kx m k x x k m x x m k k x x x x x x x x --+-⋅+-+-++-⋅=⋅===---⋅--++将21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++代入化简得：22422990k km m m +-+-=，即(223)(23)0k m k m +--+=故23m k =+或32m k =-+，代入直线方程y kx m =+，从而得到直线过定点(2,3)-或3(1,)2，又因为直线不过点P ，故直线l 过定点(2,3)-②PH l ⊥ ，由①知直线l 过定点(2,3)M -所以点H 在以PM 为直径的圆上，故当G 为圆心19(,)24-时，GH为定值12PM ，故存在定点19(,)24G -，使GH在圆锥曲线中证明直线恒过定点的常用方法：设直线方程为y kx m =+，利用已知条件和韦达定理，整理得到以下两种情况可以说明直线恒过定点：(1)直接得到m 为定值0m ，说明直线恒过定点0(0,)m ；(2)得到,k m 的关系式，将此关系式代回直线方程可以看出直线恒过定点.如本题23m k =+，则直线为(2)3y k x =++，说明直线恒过定点(2,3)-.另外对直线斜率不存在情况也要加以讨论.。

2022-2023学年浙江省杭州市八区县高二上学期期末数学试题(解析版)

2022-2023学年浙江省杭州市八区县高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{|||2}A x x =<，{}2|230B x x x =+->，则A B =（）A ．{|21}x x -<<B ．{|12}x x <<C ．{|2}x x <D ．{|1}x x >【答案】B【详解】解：因为集合{|||2}{|22}A x x x x =<=-<<，{}{22301B x x x x x =+-=或}3x <-，所以A B ={|12}x x <<，故选：B 2．已知复数2i1iz =-，则以下判断正确的是（） A ．复数z 的模为1 B ．复数z 的模为2 C ．复数z 的虚部为i D ．复数z 的虚部为1-【答案】B【分析】根据复数除法运算即可求得1i z =-+，根据复数模长公式和虚部定义即可判断结果.【详解】由2i1i z =-可得()()()222i 1i 2i 2i 1i 1i 1i 1i z ++===-+-+-；即复数z 的虚部为1，所以CD 错误；则复数z 的模为()22112-+=，即A 错误，B 正确；故选：B3．在正四面体ABCD 中，点E ，F ，G 分别为棱BC ，CD ，AC 的中点，则异面直线AE ，FG 所成角的余弦值为（）A ．12 B 3C 3D 6【答案】C【分析】作出辅助线，找到异面直线AE ，FG 所成角，设出正四面体的边长，表达出其他边长，利用余弦定理求出答案.【详解】连接DE ，因为点F ，G 分别为棱CD ，AC 的中点，所以FG //AD ，所以EAD ∠或其补角为异面直线AE ，FG 所成角，设正四面体的边长为a ，则3AE DE ==，AD a =，由余弦定理得：222222233344cos 232a a a AE AD DE EAD AE AD a+-+-∠===⋅⨯所以异面直线AE ，FG 3故选：C4．将函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度，所得图象的一条对称轴方程为（）A ．π2x = B ．π4x =C ．π6x =-D ．π3x =【答案】B【分析】根据三角函数图象变换可得平移后的解析式为()sin 2g x x =，利用整体代换即可求得对称轴方程.【详解】将函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度可得()()sin π2sin 2g x x x =-=；令π22π,Z 2x k k =+∈，即其对称轴方程为ππ,Z 4x k k =+∈，当0k =时，π4x =.ACD 均不符合要求. 故选：B5．2020年1月30日世界卫生组织将新型冠状病毒疫情列为国际关注的突发公共卫生事件，这是21世纪以来首次由一种冠状病毒导致的大流行．基本再生数0R 与代间隔T 是流行病学基本参数，其中基本再生数指一个感染者传染的平均人数，代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：()e rtI t =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R ，T 近似满足01R rT =+．有学者基于已有数据估计出0 3.28R =，6T =．据此计算在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数翻两番需要的时间约为（备注：ln20.69≈）（） A ．1.8天 B ．2.9天 C ．3.6天 D ．4.5天【答案】C【分析】先由数据求出0.38r =，故()0.38e tI t =，设病例数翻两番需要的时间约为1t ，列出方程，求出答案.【详解】由题意得：3.2816r =+，解得：0.38r =，故()0.38etI t =，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数翻两番需要的时间约为1t ，则()()14I t t I t +=，即()10.380.38e 4e t t t +=，所以10.384e t =，两边取对数得：10.38ln 42ln 220.69 1.38t ==≈⨯=，解得：1 1.380.38 3.6t =÷≈（天），故选：C6．圆221:4O x y +=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为,A B ，则有（）A ．公共弦AB 所在直线方程为210x y -+= B ．公共弦AB 的长为645C ．线段AB 中垂线方程为20x y -=D ．290AO B ∠>【答案】D【分析】对于A ，联立两圆方程即可得公共弦AB 所在直线方程；对于B ，由弦长公式计算即可；对于C ，由题意可知线段AB 中垂线为直线12O O ，求出直线12O O 的方程即可判断；对于D ，求出,A B 坐标，计算出22O A O B ⋅的值，即可判断.【详解】解：对于A ，联立两圆方程得22224240x y x y x y ⎧+=⎨++-=⎩，可得220x y ，即公共弦AB 所在直线方程为220x y ，故错误；对于B ，设1(0,0)O 到直线AB ：220x y 的距离为d ，则有d =则弦长公式得：||AB =，故错误；对于C ，由题意可知线段AB 中垂线为直线12O O ，又因为1(0,0)O ，2(1,2)O -，所以直线12O O 的方程为20x y +=，故错误；对于D ，由22240220x y x y x y ⎧++-=⎨-+=⎩，解得20x y =-⎧⎨=⎩或6585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，取68(2,0),(,)55A B -，所以22112(1,2),(,),55O A O B -=--=所以22705O A O B ⋅=-<，所以290AO B ∠>︒，故正确. 故选：D.7．已知抛物线C 1：220y px p =>（）与椭圆C 2：22221(0)x y a b a b+=>>共焦点，C 1与C 2在第一象限内交于P 点，椭圆的左右焦点分别为12,F F ，且212PF F F ⊥，则椭圆的离心率为（） A1 B1C．4-D．3-【答案】B【分析】根据212PF F F ⊥得到2(,)b P c a ，然后将点P 代入抛物线方程得到222b pc a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，根据共焦点得到2p c =，最后联立求离心率即可.【详解】结合抛物线及椭圆的定义可得2(,)b P c a 在抛物线上，故222b pc a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且2p c =，∴42222224222101b b c c a c ac e e e a a=⇒=⇒-=⇒+-=⇒=.故选：B.8．已知()2f x x a =-+，()()1f x f x =，()()()1n n f x f f x -=，若函数()(),2n y f x x n n *=-∈≥N 不存．．在．零点，则实数a 可以取（） A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A【分析】利用反证法证明出：若对任意的x ∈R ，()(),2n f x x n n *≠∈≥N ，则()f x x ≠，从而可知方程()f x x =无实解，可得出Δ0<，求出实数a 的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】首先证明：若对任意的x ∈R ，()(),2n f x x n n *≠∈≥N ，则()f x x ≠.利用反证法，假设存在0x ∈R ，使得()00f x x =，即()100f x x =，则()()()()201000f x f f x f x x ===，猜想，对任意的n *∈N 且2n ≥，()00n f x x =，假设当()2,n k k k *=≥∈N 成立，即()00k f x x =，则当1n k =+时，()()()()10000k k f x f f x f x x +===，这说明当1n k =+时，猜想也成立，所以，若()00f x x =，则对任意的n *∈N 且2n ≥，()00n f x x =，这与题设条件不符，假设不成立，故对任意的x ∈R ，()f x x ≠，即2x a x -+≠，即方程20x x a +-=无实解，则140a ∆=+<，解得14a <-，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查利用复合函数零点的存在性求参数，解题的关键在于证明出：若对任意的x ∈R ，()(),2n f x x n n *≠∈≥N ，则()f x x ≠.从而将问题转化为方程()f x x =无实解，转化为Δ0<求解.二、多选题9．若方程22141x y t t +=--表示的曲线为C ，则下列说法正确的有（）A ．若14t <<，则曲线C 为椭圆B ．若曲线C 为双曲线，则1t <或4t >C ．曲线C 不可能是圆D ．若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则512t <<【答案】BD【分析】根据t 的取值，结合圆与圆锥曲线方程的特征逐一判断即可. 【详解】对于A, 当52t =时，41,t t -=-此时曲线C 为圆，故A 错，对于B,若曲线C 为双曲线，则(4)(1)0t t -⋅-<，即1t <或4t >，故B 对，对于C, 若曲线C 为圆，则41,t t -=-即52t =，故曲线C 可能是圆，故C 错，对于D, 曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆,则410t t ->->，解得512t <<，故D 对. 故选：BD.10．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有三个相同的小球，标号为1，2，3．从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A =“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B =“抽取的两个小球标号之积小于6”，则（）A ．事件A 发生的概率为14B ．事件A B ⋃发生的概率为56C ．事件,A B 是互斥事件D ．事件,A B 相互独立【答案】ABC【分析】A 选项，列举出两个小球标号之和大于5的情况，从而得到()P A ；B 选项，列举出抽取的两个小球标号之积小于6的情况，从而得到A B ⋃中共有情况数，得到()P A B ；C 选项，计算出()0P A B =，得到C 正确；D 选项，()()()P A B P A P B ≠⋅，D 错误.【详解】A 选项，从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，共有4312⨯=种情况，其中抽取的两个小球标号之和大于5的情况有：()()()3,3,4,2,4,3，共3种情况，故()31124P A ==，A 正确； B 选项，抽取的两个小球标号之积小于6的情况为：()()()()()()()1,1,1,2,1,3,2,1,2,2,3,1,4,1，共7种情况，故A B ⋃中共有3710+=种情况，故()105126P A B ==，B 正确； C 选项，由于事件,A B 中无相同情况，故()0P A B =，所以件,A B 是互斥事件，C 正确； D 选项，因为()()()P A B P A P B ≠⋅，事件,A B 不互相独立，D 错误. 故选：ABC11．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列关系式中正确的是（） A ．()()22sin b c b c ab C a +-=-B ．()()22cos b c b c ab C a +-=-C ．()()22sin sin sin sin A B A B A B +-=-D ．()()22cos cos cos cos A B A B A B +-=-【答案】BC【分析】利用余弦定理可判断出选项AB ，再根据两角和与差的正弦、余弦公式以及平方关系化简可得C 正确，D 错误.【详解】根据余弦定理2222cos c a b ab C =+-可得2222cos b c ab C a -=-；即()()22cos b c b c ab C a +-=-，所以B 正确，A 错误；根据两角和与差的正弦公式可得：()()()()()()2222222222sin sin sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin 1sin sin 1sin sin sin A B A B A B B A A B B A A B B A A B B A A B +-=+-=-=---=-即C 正确；对于D ：()()2222cos cos cos cos sin sin A B A B A B A B +-=-()()222222cos cos 1cos 1cos cos cos 1A B A B A B =---=+- 22cos sin A B =-，所以D 错误.故选：BC12．对于定义在R 上的函数()f x ，若()1f x +是奇函数，()2f x +是偶函数，且在[]1,2上单调递减，则（） A ．()30f = B ．()()04f f =C ．1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()f x 在[]3,4上单调递减【答案】AB【分析】由题有：()()11f x f x -+=-+，()()22f x f x -+=+.即()f x 图像关于()1,0对称，且关于直线2x =对称.A 选项，令0x =可得()1f ，1x =可得()3f ；B 选项，令2x =即可判断选项；C 选项，令12x =结合()f x 单调性可判断选项；D 选项，由图像的对称性可判断()f x 在[]3,4上的单调性.【详解】令()()1g x f x =+，由()1f x +是奇函数，则()()()()11g x f x g x f x -=-+=-=-+，即()()11f x f x -+=-+，()f x 图像关于()1,0对称. 令()()2h x f x =+，由()2f x +是偶函数，则()()()()22h x f x h x f x -=-+==+，即()()22f x f x -+=+，()f x 图像关于直线2x =对称. A 选项，令0x =，可得()()()1110f f f =-⇒=，又令1x =，可得()()130f f ==.故A 正确； B 选项，令2x =，可得()()04f f =，故B 正确； C 选项，令12x =，可得131302222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⇒+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又因()f x 在[]1,2上单调递减，由图像关于()1,0对称，则()f x 在[)0,1上单调递减，即()f x 在[]0,2上单调递减，故1322f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故C 错误.D 选项，由()f x 在[]0,2上单调递减，结合()f x 图像关于直线2x =对称，则()f x 在(]2,4上单调递增.故D 错误. 故选：AB【点睛】结论点睛：本题涉及抽象函数的奇偶性的相关结论.()f x 为定义在R 上函数，若()f x a +为奇函数，则()()f x a f x a -+=-+， ()f x 图像关于(),0a 对称；若()f x a +为偶函数，则()()f x a f x a -+=+， ()f x 图像关于x a =对称.三、填空题 13．写出使不等式()3R ax x x++≥∈恒成立的一个实数a 的值__________．【答案】不少于94的任意一个实数【分析】对不等式()3R a x x x++≥∈全分离,即()23R a x x x +≥-∈恒成立,只需()2max3a x x ≥-,对二次函数配方即可求得最大值,进而求得结果. 【详解】解:因为()3R ax x x++≥∈恒成立, 所以()23R a x x x +≥-∈,即只需()2max3a x x≥-,因为()22393R 24x x x x +⎛⎫-=--+∈ ⎪⎝⎭,所以()2max 934x x -=,故只需94a ≥即可.故答案为: 不少于94的任意一个实数14．已知a ，b 为单位向量．若21a b -=，则a 在b 上的投影向量的模为______．【分析】根据模与向量的关系求出a b ⋅的值，再根据a 在b 上的投影向量的模的公式a b b⋅求出答案即可.【详解】由题可知：()()()2222222212221a b a ba ab ba b -=-=-⋅+=+-⋅=即22a b ⋅=，则a 在b 上的投影向量的模为22a b b ⋅= 故答案为:15．已知,,A B C 三点都在体积为500π3的球O 的表面上，若AB =60ACB ∠=︒，则球心O 到平面ABC的距离为__________．【分析】由球的体积公式计算出球O 的半径R ，由正弦定理求出ABC 的外接圆半径r，从而得到球心O 到平面ABC 的距离.【详解】设球O 的半径为R ，则34π500π33R =，解得：5R =，设ABC 的外接圆半径为r ，在ABC 中，由正弦定理得：24sin AB r ACB ===∠，故2r =，则球心O 到平面ABC 的距离为d =16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 作直线交两条渐近线于点A ，B ，且1132AF BF =．若A 点在x 轴上的射影为M ，则112AF M BF F S S =△△__________．【答案】1516【分析】根据题意，利用三角形面积公式和比例性质，由11211112132142AAF M BF F B F M y S F SF F F y A C ⋅==⋅⋅求解即可.【详解】如图所示：则1121111111211211121333212442AAF M BF F B F M y S F M AF F M F M F SF F BF F F FO F F F A C y ⋅⋅==⋅=⋅=⋅=⋅，双曲线C 的渐近线为by x a=±， 32A A B B x y x y ∴==， 32A B AC x BCx ∴==，不妨设12BF =，13AF =，1AB =，则35AC =，25BC =，1125FC =，13F A =， 1154F A FC ∴=， 11211315416AF M BF F S F A SFC ∴=⋅=. 故答案为：1516. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用比例的性质与点的坐标的关系求得32AC BC=，从而求得1154F A FC =，由此结合1121134AF M BF F ACS F S F =⋅求解即可.四、解答题17．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =，若[],1,1m n ∈-，0m n +≠时，有()()0f m f n m n+>+．(1)证明：()f x 在[]1,1-上是增函数；(2)解不等式()()2110f x f x -+-<；(3)若存在实数x 使得()253f x t t ≤-+成立，求实数t 的取值范围．【答案】(1)证明见解析 (2){|01}x x << (3)1t ≤或4t ≥【分析】（1）结合条件，利用单调性定义证明函数单调性.（2）将不等式等价转化，利用函数奇偶性和单调性，建立不等式组，求得解集. （3）双变量问题，求出()f x 的最小值小于等于253t t -+，解不等式即可. 【详解】（1）对任意的[]12,1,1x x ∈-，由题意得：()()()12120f x f x x x +->+-当1211x x ,120x x -<时，()()()()12120f x f x f x f x +-=-<，则()()12f x f x <，故()f x 在[]1,1-上是增函数．（2）()()()2111f x f x f x -<--=-因为()f x 为奇函数，且在[]1,1-上是增函数，则 2211111111x x x x ⎧-<-⎪-≤-≤⎨⎪-≤-≤⎩则不等式的解集为{|01}x x <<（3）存在实数x ，使得()253f x t t ≤-+，等价于2min ()53f x t t ≤-+()min ()11f x f =-=-，则2531t t -+≥-，所以实数t 的取值范围是1t ≤或4t ≥18．已知函数()2cos 24)2f x x x πωωω⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭(1)求()0f 的值； (2)若()023f x =，且052,123x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再从下面①②③中选取一个作为条件，求012f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．①函数的一个对称中心为,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭；②函数图象过点,212π⎛⎫-- ⎪⎝⎭；③两条相邻对称轴间的距离为2π．【答案】(1)【分析】(1)先根据降幂公式和辅助角公式化简，然后直接求值可得； (2)根据所选条件，利用相应性质可求得ω，然后由()023f x =，结合和差公式可得.【详解】（1）())2sin22cos 1sin2f x x x x x ωωωω=-=2sin 23x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()02sin 3f π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（2）选①：263k ππωπ⋅-=，则()13Z k k ω=+∈，因为04ω<<，则1ω=选②：sin 163ππω⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，因为04ω<<，则,633πππωπ⎛⎫--∈-- ⎪⎝⎭故632πππω--=-，1ω=选③：22T π=，故22T ππω==，则1ω= 因为()0022sin 233f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以01sin 233x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为052,123x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以02,32x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，故0cos 233x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭0002sin 22sin 212636f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11232⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭19．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成功着陆，航天员翟志刚，王亚平，叶光富顺利出舱，神舟十三号载人飞行任务圆满完成.为纪念中国航天事业成就，发扬并传承中国航天精神，某校抽取2000名学生进行了航天知识竞赛并纪录得分（满分：100分），根据得分将数据分成7组：[)[)[]20,30,30,40,...,80,90，绘制出如下的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，求竞赛学生得分的众数和中位数；(2)先从得分在[)60,80的学生中利用分层抽样选出6名学生，再从这6名学生中选出2人参加有关航天知识演讲活动，求选出的2人竞赛得分都不低于70分的概率. 【答案】(1)众数为75分；中位数为72.5分 (2)25【分析】（1）根据众数、中位数的定义结合频率分布直方图运算求解；（2）根据频率分布直方图结合分层抽样求每组抽取的人数，利用列举法解决古典概型的概率问题. 【详解】（1）由频率分布直方图可知：[)70,80的频率最大，则众数为75分； ∵[)[)[]60,70,70,80,80,90的频率分别为0.2,0.4,0.2，设中位数为x ，则[)70,80x ∈，由题意可得：()0.04800.20.5x -+=，解得72.5x =，故中位数为72.5分.（2）因为[)[)60,70,70,80人数之比为1：2，所以[)60,70应抽取2人，设为A ，B ，[)70,80应抽取4人，设为C ，D ，E ，F ，这6人中再任选2人，共15种不同选法，如下：AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BC ，BD ，BE ，BF ，CD ，CE ，CF ，DE ，DF ，EF ，其中选出的2人竞赛得分都不低于70分的概率包含6种，故选出的2人竞赛得分都不低于70分的概率62155P ==. 20．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DA DB ===．(1)求点B 到平面PAC 的距离； (2)求二面角B PC D --的余弦值．【答案】(1)55(2)77【分析】(1)根据题意可得DAB 为正三角形，求出PCDS，利用等体积法即可求解；(2) 取AB 中点E ，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出平面PCD 和平面BPC 的法向量法向量，利用空间向量的夹角公式即可求解.【详解】（1）因为1DA DB ==，底面为菱形，则DAB 为正三角形， 3AC =，则15153224PCAS=⨯⨯=， 11534B PAC V h -=⨯⨯，因为PD ⊥平面ABCD ，所以1133132212P ABC V -=⨯⨯⨯=B PAC P ABC V V --=，得1531212h ⨯=，则55h =故点B 到平面PAC 的距离为55（2）取AB 中点E ，则DE DC ⊥，因为PD ⊥底面ABCD ，,DC DE ⊂底面ABCD ，所以,PD DC PD DE ⊥⊥，所以,,DP DE DC 两两互相垂直，则分别以DE ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.DE ⊥平面PDC ，则平面PCD 的法向量为()1,0,0n =,1,02B ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,0,1P ，()0,1,0C ，设平面BPC 的法向量(),,m x y z =，则·0·0BC m PC m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即1020y y z ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，令1x =，则(1,3,m =．设二面角B PC D --的平面角为θ，则由空间向量的夹角公式可得：1cos 7n m n mθ===故二面角B PC D --21．某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商店一种商品销售情况的调查发现：该商品在过去的一个月内（以30天计）的日销售价()P x （元）与时间x （元）的函数关系近似满足()1kP x x=+（k 为正实数）．该商品的日销售量()Q x （个）与时间x （天）部分数据如下表所示：已知第10天该商品的日销售收入为121元. (1)求k 的值；(2)给出以下两种函数模型：①()Q x ax b =+，②()25Q x a x b =-+，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量()Q x 与时间x 的关系，并求出该函数的解析式；(3)在（2）的情况下，求该商品的日销售收入()()030,N f x x x +≤≤∈（元）的最小值．【答案】(1)1k =(2)选②，()12525Q x x =--，130,N x x +≤≤∈ (3)min ()121f x =【分析】（1）根据第10天该商品的日销售收入为121元列出方程，求出1k =；（2）当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故选②，代入()10110Q =，()20120Q =，待定系数法求出解析式；（3）求出()()()100101,125,N 150149,2530,N x x x xf x P x Q x x x x x++⎧++≤≤∈⎪⎪=⋅=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩，当125x ≤≤时，由对勾函数得到其单调性，从而求出最小值，当2530x <≤时，由函数单调递减求出最小值，比较后得到()f x 的最小值.【详解】（1）由题意得：第10天该商品的日销售收入为(10)(10)(1)11012110Q kP ⋅=+⨯=，解得：1k =，（2）由题意，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减并不单调，故选②， ∵()25Q x a x b =-+，()10110Q =，()20120Q =，∴151105120a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：1,125a b =-=，∴()12525Q x x =--，130,N x x +≤≤∈；（3）由（2）可知：()100,125,N 12525150,2530,N x x x Q x x x x x +++≤≤∈⎧=--=⎨-<≤∈⎩，所以()()()100101,125,N 150149,2530,N x x x xf x P x Q x x x x x++⎧++≤≤∈⎪⎪=⋅=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩ 当125x ≤≤时，由对勾函数知100y x x=+在[]1,10上递减，在[]10,25上递增，所以当10x =时，()f x 取最小值，min ()121f x =，当2530x <≤时，150y x x=-在(]25,30上递减，所以当30x =时，()f x 取最小值，min ()124f x =，综上：所以当10x =时，()f x 取最小值，min ()121f x =.22．已知点,A F 分别为双曲线222:(0)C x y a a -=>的左顶点和右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线第一象限部分交于点B ，ABF △的面积为)21．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线112y kx k ⎛⎫=-≠- ⎪⎝⎭与双曲线的左、右两支分别交于M ，N 两点，与双曲线的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，记MON △，APQ △的面积分别为1S ，2S （O 为坐标原点）．若12S S λ=，求实数λ的取值范围．【答案】(1)22144x y -= (2)1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据双曲线方程即可写出,,a b c 之间的关系，再根据三角形面积公式解得2a =，即可得到双曲线C 的方程；（2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理和弦长公式即可写出MON △的表达式，同理可得APQ △的面积表达式，再通过构造函数即可求得实数λ的取值范围．【详解】（1）由题意可知2222:1x y C a a-=，所以(),0A a -，(),0F c ，由已知c =，可得(),B c a ，则()))2111121222FB AB SAF y c a a a =⋅=+⋅==，解得2a =，所以双曲线C 的方程为22144x y -=. （2）设()11,M x y ，()22,N x y联立221144y kx x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理可得()221250k x kx -+-=所以()22212210Δ42010501k k k x x k ⎧⎪-≠⎪⎪=+->⎨⎪-⎪=<⎪-⎩，解得11k -<<，由12221k x x k -+=-，12251x x k -=-可得，12MN x =-== 原点到直线1y kx =-的距离1d =，所以112MONSMN d ==设()33,P x y ，()44,Q x y ，易知渐近线方程为y x =±，不妨设()33,P x y 在渐近线y x =上，由1y kx y x =-⎧⎨=⎩得311x k =-，同理，411x k =+所以3411PQ x k =-=+ ()2,0A -到直线1y kx =-的距离2d所以222111221APQk SPQ d k +==-=所以MON APQ S S λ===， ()()211,00,3t k =+∈-⋃，则λ==令()11,1,3u t⎛⎫=∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，则13λ=故λ的取值范围是1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭。

浙江省杭州市数学高二下学期理数期末考试试卷

浙江省杭州市数学高二下学期理数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知a,b，若（其中i为虚数单位），则（）A . a=1,b=1B . a=1,b=-1C . a=-1,b=1D . a=-1,b=-13. （2分） (2019高二下·宁夏月考) 设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi ， yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为 =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是（）A . y与x具有正的线性相关关系B . 回归直线过样本点的中心（，）C . 若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD . 若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重比为58.79kg4. （2分） (2018高二下·滦南期末) 已知随机变量服从正态分布，且，（）．A .B .C .D .5. （2分）已知函数f(x)=x2+bx+c的导函数y=f'(x)的图象如图所示，且f(x)满足b2-4c>0，那么f(x）的顶点所在的象限为（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限6. （2分） (2019高二下·荆门期末) “三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大. 假设李某智商较高，他独自一人解决项目M的概率为；同时，有个水平相同的人也在研究项目M ，他们各自独立地解决项目M的概率都是 .现在李某单独研究项目M ，且这个人组成的团队也同时研究项目M ，设这个人团队解决项目M的概率为，若，则的最小值是（）A . 3B . 4C . 5D . 67. （2分） 2015年6月20日是我们的传统节日﹣﹣”端午节”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则P（B|A）=（）A .B .C .D .8. （2分）若存在负实数使得方程成立，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高三上·烟台期中) 曲线y=x3与直线y=x所围成图形的面积为（）A .B .C . 1D . 210. （2分）函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（）A . 1，－1B . 3，-17C . 1，－17D . 9，－1911. （2分）有9 名翻译人员，其中6人只能做英语翻译，2人只能做韩语翻译，另外1人既可做英语翻译也可做韩语翻译．要从中选5人分别接待5个外国旅游团，其中两个旅游团需要韩语翻译，三个需要英语翻译，则不同的选派方法数为（）A . 900B . 800C . 600D . 50012. （2分） (2018高二下·定远期末) 已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，若，，，则的大小关系是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若,则常数T的值为 ________14. （1分）若（x﹣）9的展开式中x3的系数是﹣84，则a=________15. （1分） (2015高二下·张掖期中) 函数g（x）=ax3+2（1﹣a）x2﹣3ax在区间（﹣∞，）内单调递减，则a的取值范围是________．16. （1分）(2016·诸暨模拟) 已知等比数列{an}的首项a1=1，且a2、a4、a3成等差，则数列{an}的公比q=________，数列{an}的前4项和S4=________．三、解答题 (共5题；共25分)17. （5分） (2015高二下·淮安期中) 已知z是复数，z+2i，均为实数（i为虚数单位），且复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．18. （5分）求二项式（x2+）10的展开式中的常数项？19. （5分） (2018高二下·辽宁期末) 4月16日摩拜单车进驻大连市旅顺口区，绿色出行引领时尚，旅顺口区对市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查统计，若将单车用户按照年龄分为“年轻人”(20岁～39岁)和“非年轻人”(19岁及以下或者40岁及以上)两类，抽取一个容量为200的样本，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”。

浙江省杭州市高二下学期数学期末考试试卷(理科)

浙江省杭州市高二下学期数学期末考试试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）设则a0,a1,...,a8中奇数的个数为（）A . 2B . 3C . 4D . 52. （2分）且n<55,则乘积(55-n)(56-n)...(69-n)等于（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·河南模拟) 为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（）A .B .C .D .4. （2分）甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，且。

若，则称甲乙“心有灵犀”。

现任意找两人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二下·太原期中) 关于残差和残差图，下列说法正确的是（）⑴残差就是随机误差⑵残差图的纵坐标是残差⑶残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高⑷残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越低．A . （1）（2）B . （3）（4）C . （2）（3）D . （2）（4）6. （2分）设离散型随机变量ξ的概率分布如下：则表中的a的值为（）ξ1234P aA . 1B .C .D .7. （2分） (2017高二上·清城期末) 二项式（a＞0）的展开式的第二项的系数为﹣，则dx的值为（）A . 3或B .C . 3D . 3或8. （2分） (2016高二下·仙游期末) 某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门．其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门．则不同的分配方案有（）A . 36种B . 38种C . 108种D . 114种二、填空题 (共5题；共6分)9. （1分） (2019高二下·虹口期末) 用0，1，2，3，4可以组成________个无重复数字五位数.10. （1分）(2020·宝山模拟) 在的展开式中，的系数为________11. （1分）(2017·内江模拟) （x+y）（x﹣y）7点展开式中x4y4的系数为________（用数字填写答案）12. （2分）某园林局对1000株树木的生长情况进行调查，其中槐树600株，银杏树400株．现用分层抽样方法从这1000株树木中随机抽取100株，其中银杏树树干周长（单位：cm）的抽查结果如下表：树干周长（单位：cm）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）株数418x6则x的值为________；若已知树干周长在30cm至40cm之间的4株银杏树中有1株患有虫害，现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止．则排查的树木恰好为2株的概率为________．13. （1分） (2017高二下·赣州期中) 3男3女共6名同学排成一排合影，要求女同学不站两头且不全相邻，则不同的排法种数为________．三、解答题 (共4题；共40分)14. （5分）证明：若n∈N + ，则3 2n+3﹣24n+37能被64整除．15. （20分） (2016高二下·晋江期中) 有4名男生，3名女生排成一排：（1）从中选出3人排成一排，有多少种排法？（2）若男生甲不站排头，女生乙不站在排尾，则有多少种不同的排法？（3）要求女生必须站在一起，则有多少种不同的排法？（4）若3名女生互不相邻，则有多少种不同的排法？16. （10分）新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据（x，y）（其中x（万元）表示购车价格，y（元）表示商业车险保费）：（8，2960），（13，3830），（17，4750），（22，5500），（（25，6370）），（33，8140），（（37，8950）），（45，10700），设由这8组数据得到的回归直线方程为 = x+1110，李先生2016年1月购买一辆价值20万元的新车．（1）试估计李先生买车时应缴纳的保费；（2）从2016年1月1日起，该地区纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如表：上一年的出险次数01234≥5下一年的保费倍率0.851 1.25 1.5 1.752连续两年没有出险打7折，连续三年没有出险打6折有评估机构从以往购买了车险的车辆中随机抽取1000辆调查，得到一年中出险次数的频数公布如表（并用相应频率估计车辆在2016年度出险次数的概率）：一年中的出险次数01234≥5频数5003801001541根据以上信息，试估计该车辆在2017年1月续保时应缴纳的保费（精确到元），并分析车险新政是否总体上减轻了车主负担，（假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保）17. （5分）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．求该射手恰好命中一次得的概率.参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共5题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、三、解答题 (共4题；共40分)14-1、15-1、15-2、15-3、15-4、16-1、16-2、17-1、。

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A． 6
B． 3
C． 3
D． 6
4．设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，（）
A．若 α⊥β，m α，n β，则 m⊥n
B．若 α//β，m α，n β，则 m//n
C．若 m⊥n，m α，n β，则 α⊥β
D．若 m⊥α，m//n，n//β，则 α⊥β
a 1 b1
17．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a＋c＝1．
若 cosC＋(cosA－ 3 sinA)cosB＝0，则 b 的取值范围是______．
18．设函数 f (x)（x∈R）满足| f (x)＋1－x |≤ 2 ，| f (x)－x |≤ 3 ，则 f (x)＝______．
中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合 A＝{1，2，m}，B＝{3，4}．若 A∩B＝{3}，则实数 m＝（）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．条件“t≥0”是“函数 f (x)＝x²＋tx－t 有零点”的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．直线 x＋ 3 y＋1＝0 的倾斜角等于（）
设 f (x)＝a·b．
（Ⅰ）求 f ( π )的值； 3
（Ⅱ）求函数 f (x)的最小正周期及单调递增区间．
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21．（本题满分 10 分）如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，侧
面 PAD 是正三角形，AD⊥CD，AD＝DC＝2BC＝2，PC＝2 2 ．
C．Sn≥n2
D．Sn≥2n－1
10．下列不等式成立的是（）
A．sin5＞cos5
B．sin(－5)＞cos(－5)
C．－sin5＜cos(－5)
D．sin(－5)＜－cos5
11．已知椭圆
C1：
x2 m2
＋y2＝1（m＞1）与双曲线
C2：
x2 n2
－y2＝1（n＞0）的焦点
重合，e1，e2 分别为曲线 C1，C2 的离心率，则（）
23．（本题满分 11 分）已知抛物线 Γ：y2＝2px（p＞0）的焦点 F 到直线
l：x－y＋2＝0 的距离为 3 2 ． 2
（Ⅰ）求抛物线 Γ 的方程；
（Ⅱ）过点(1，0)作直线 PA 交抛物线 Γ 于 P，A 两点，过点 A 作直线 BC 交抛
物线 Γ 于点 B，交 x 轴于点 C．若点 A 为线段 BC 的中点，求| PB |的最
（Ⅰ）求证：平面 PAD⊥平面 ABCD；
P
（Ⅱ）求直线 AB 与平面 PCD 所成角的正弦值．
A
D
B
C
（第 21 题）
22．（本题满分 10 分）设数列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝1，anan＋1＝λSn－1，其中 an≠0，λ 是常数，n∈N*．（Ⅰ）证明：an＋2－an＝λ；（Ⅱ）是否存在 λ，使得数列{an}为等差数列？并证明．
则（）
A．存在某个位置，使得 DE BF
B．存在某个位置，使得∠FDB＝ π 4
C．存在某个位置，使得平面 DEF 平面 DAC D．存在某个位置，使得 α＝ π
6
二、填空题：本大题共 7 小题，第 13~16 每题 3 分，第 17~19 每题 4 分，共 24 分。
13．log220－
5
5
19．若平面向量 a，b 满足| a |＝| 2a＋b |＝2，则 a·b 的取值范围是______．
三、解答题：本大题共 4 小题，共 40 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤。
20．（本题满分 9 分）已知向量
a＝( 2sin( π x) ，－ 3 )，b＝(sinx，2cos2x－1)（x∈R）． 2
2x y 0，
5．已知实数
x，y
满足

x

y

3

0，则
x－3y
的最大值是（
）
y 0，
A．－5
B．0
C．3
D．5
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6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A． π ＋ 4 33
B．π＋ 4 3
C． π ＋4 3
D． 2π ＋4 3
7．在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，若点 P 是
2
11 正视图
2
11 侧视图
俯视图（第 6 题）
线段 AD1 的中点，则异面直线 CP 与 BC1 所
成的角等于（）
A． π 6
B． π 4
C． π 3
D． π 2
8．若将函数 y＝2sin2x 的图象向左平移 π 个单位长度，则平移后的图象的对称轴 12
A．m＞n 且 e1e2＞1 C．m＜n 且 e1e2＞1
B．m＞n 且 e1e2＜1 D．m＜n 且 e1e2＜1
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12．在正四面体 D－ABC（所有棱长均相等的三棱锥）中，点 E 在棱 AB 上，满足
AE＝2EB，点 F 为线段 AC 上的动点．设直线 DE 与平面 DBF 所成的角为 α，
小值．
y
P
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O
x
A
B （第 23 题）
高二数学•第 4 页（共 4 页）
2018 年杭州市高二年级教学质量检测
考生须知：
数学试题卷
杭州小姜小范提供
1．本试卷分试题卷和答题卡两部分。满分 100 分，考试时间 90 分钟。 2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，
超出答题区域的作答无效！ 3．考试结束后，只需上交答题卡。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分。在每小题给出的四个选项
1 2
log225＝______．
14．已知双曲线
C： x2 a2

y2 b2
＝1（a＞0，b＞0）的离心率为
3 ，则双曲线 C 的渐
近线方程为______．
15．已知 AB 为圆 C：x2＋y2－4x－5＝0 的弦，设点 P(3，1)为 AB 的中点，则直线
AB 的方程为______． 16．若正实数 a，b 满足 a＋b＝1，则 a b 的最大值为______．
方程为（）
A． x kπ π （k∈Z） 26
C． x kπ π （k∈Z） 2 12
B． x kπ π （k∈Z） 26
D． x kπ π （k∈Z） 2 12
9．已知数列{an}满足 a1=1，an+1－an≥2（n∈N*），则（）
A．an≥2n＋1 B．an≥2n－1